有限元变分原理
有限元与变分原理
有限元与变分原理有限元方法和变分原理是结构力学和计算力学中常用的数值计算方法和理论基础。
本文将从概念、原理、应用和发展等方面介绍有限元方法和变分原理的相关知识。
一、有限元方法有限元方法是一种将连续物体离散化为有限个小区域的数值计算方法。
它将连续的物理问题转化为离散的代数问题，并通过求解代数方程组来获得物理问题的数值解。
有限元方法的基本思想是将复杂的连续介质分割成有限个简单的子域，即有限元，并在每个有限元上建立代数模型。
在建立完整的模型后，根据物理方程和边界条件，通过求解代数方程组，得到所求解的物理量。
有限元方法的优点在于能够处理复杂的几何形状和边界条件，适用于各种材料和结构力学问题。
二、变分原理变分原理是解决物理问题的一种重要数学工具。
它通过构造一个泛函，将物理问题转化为极值问题，通过求解泛函的极值问题来得到物理问题的解。
在结构力学和计算力学中，常用的变分原理包括极大势能原理、最小势能原理和最小总势原理。
这些变分原理的基本思想是，在满足一定边界条件的前提下，通过对位移场进行变分，使得系统的势能或总势能取得极值，从而得到系统的平衡位置和应力分布。
三、有限元方法与变分原理的应用有限元方法和变分原理在结构力学和计算力学中得到了广泛的应用。
它们可以用于求解各种结构的静力学、动力学和热力学问题。
在工程实践中，有限元方法常用于求解杆件、梁、板、壳和体等不同类型的结构。
通过将结构分割成有限个小单元，建立有限元模型，并利用变分原理进行求解，可以得到结构的应力、位移、变形等物理量的分布情况，从而评估结构的可靠性和安全性。
有限元方法还可以用于优化设计和参数优化，以满足结构的性能要求。
四、有限元方法与变分原理的发展有限元方法和变分原理的发展已经有几十年的历史。
随着计算机技术的进步和计算软件的不断发展，有限元方法已经成为结构力学和计算力学研究和工程实践中不可或缺的工具。
目前，有限元方法已经广泛应用于航空航天、汽车、船舶、建筑、能源等领域。
第五章刚塑性有限元法基本理论与模拟方法
塑性成形过程 计算机数值模拟
第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法
❖ 从数学的角度来讲，有限元法是解微分方程的一种数值方法。它的 基本思想是：在整个求解区域内要解某一微分方程很困难(即求出 原函数)时，先用适当的单元将求解区域进行离散化，在单元内假 定一个满足微分方程的简单函数作为解，求出单元内各点的解；然 后，再考虑各单元间的相互影响，最后求出整个区域的场量。
两个或一个事先得到满足，而将其余的一个或两个，通过拉格朗日
乘子引入泛函中，组成新的泛函，真实解使泛函取驻值，这就是不
完全广义变分原理。
❖ 在选择速度场时应变速率与速度的关系(1)式和速度边界条(3)式容 易满足，而体积不可压缩条件(2)式难于满足。因此，可以把体积 不可压缩条件用拉格朗日乘子入引入到泛函中，得到新泛函：
够的工程精度的前提下，可提高计算效率。
塑性成形过程 计算机数值模拟
第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法
❖ 由于刚塑性有限元法采用率方程表示，材料变形后的构形可通 过在离散空间对速度的积分而获得，从而避开了应变与位移之 间的几何非线性问题。
❖ 由于忽略了弹性变形，刚塑性有限元法仅适合于塑性变形区的 分析，不能直接分析弹性区的变形和应力状态，也无法处理卸 载和计算残余应力与变形。
在满足： (1) 速度-应变速率关系
ij
1 2
ui, j
u j,i
(2) 体积不可压缩条件 (3) 速度边界条件
V kk 0
ui ui
(在 Su 上)
的一切动可容场
ui*j
，
有限元法的原理_求解域_概述及解释说明
有限元法的原理求解域概述及解释说明1. 引言1.1 概述有限元法是一种数值分析方法，用于求解物理问题的数学模型。
它在工程领域得到了广泛的应用，能够对复杂的结构和系统进行精确的建模和计算。
有限元法通过将连续域划分为许多小的离散单元，在每个单元上使用适当的近似函数来表示待求解的变量，然后利用这些离散单元之间相互连接关系建立代数方程组，并通过求解该方程组得到所需结果。
1.2 文章结构本文将围绕有限元法展开讨论，并按照以下结构组织内容：引言包含概述、文章结构和目的；有限元法的原理部分将涵盖离散化方法、强弱形式及变分问题以及单元划分和网格生成；求解域部分将介绍求解域的定义与划分、边界条件设定和处理以及网格节点和单元的挑选策略；概述及解释说明部分将探讨有限元法在工程领域中的应用、与其他数值方法之间的对比与优势以及未来发展趋势和挑战；最后，本文将总结主要观点，并展望有限元法在应用领域的发展前景。
1.3 目的本文旨在对有限元法进行全面而清晰的介绍和解释，包括其基本原理、求解域的定义与处理方法以及在工程领域中的应用。
通过深入理解有限元法的原理和应用，读者可以更好地了解该方法的优劣势，并掌握将其应用于实际问题求解的能力。
此外，本文还将通过探讨有限元法未来的发展趋势和挑战，为研究者提供对该方法进行进一步改进和扩展的思路。
2. 有限元法的原理2.1 离散化方法有限元法是一种使用离散化方法来对偏微分方程进行求解的数值方法。
它将求解域划分为许多小单元，每个小单元称为有限元。
在这些有限元内，我们假设待求解的场量是线性或非线性的，并通过适当选择合适的函数空间来进行近似。
2.2 强弱形式及变分问题在有限元法中，我们将偏微分方程转化为一个弱形式或者说变分问题。
这是通过将原始方程乘以一个测试函数并进行积分得到的。
这样可以减小方程中高阶导数项对近似解产生的影响，并提供了更好的数学性质以进行计算。
2.3 单元划分和网格生成为了进行离散化，求解域需要被划分成一系列小单元。
有限元法的变分原理及其在土石坝设计中的应用
有限元法的变分原理及其在土石坝设计中的应用有限元法是采用直接法计算变分问题的重要方法，在土木工程计算领域的分析软件如ANSYS、Workbench、Autobank等均以变分法为理论基础。
本文将就有限元法的变分原理作一简单梳理，并采用Autobank软件建模分析某土石坝的渗流场及应力变形，计算结果表明大坝应力变形符合工程实际，计算分析对大坝设计工作起到了指导作用。
标签：有限元；变分法；Autobank；土石坝设计；应力变形分析引言随着坝工技术的发展，土石坝建设高度越来越高，其应力和变形计算越来越关系到大坝安全。
因此，结构计算分析将会在土石坝的设计和科学研究中发挥越来越重要的作用。
有限元法的理论基础为变分法，变分法历史悠久，是近代发展起来的一门重要数学分支，在工程技术及科学研究中有着广泛的应用。
变分法起源于泛函的极值问题，其关键定理是欧拉-拉格朗日方程。
Autobank软件应力变形分析模块是以变分法为理论基础开发的一款有限元分析软件，提供线弹性模型、非线性模型（如邓肯E-B、E-μ模型）等，在水利工程设计中有着广泛的应用。
1、有限元法简介目前在水利工程结构分析领域常用的数值计算方法有：有限差分法FDM、有限元法FEM、边界元法BEM、离散元法DEM等，其中有限元法是应用最广泛的方法。
有限元法是以变分原理为基础发展起来的，是一种高效的数值计算方法。
工程计算和科学研究领域，常常需要求解各类常微分方程（组）、偏微分方程（组），而许多微分方程（组）的解析解很难得到，甚至无法求出。
使用有限元法将微分方程离散化后，编制计算机程序辅助求解，是一种可行且高效的方法。
2、有限元法的变分原理2.1 泛函及其极值设有泛函的极值问题：研究泛函在某函数类中的极值问题即变分问题，例如最小曲面问题、悬链线问题、边坡稳定最小安全系数的滑弧问题、重力坝的最优断面问题等。
研究泛函极值的方法即变分法。
直接法是求解泛函极值的近似方法，对于无法求解解析解的变分问题及工程计算，有着及其重要的作用。
有限元ppt课件
里兹法:
选择一个定义于整个求解域 并满足边界条件的试探函数
将试探函数代入泛函表 达式,建立线性方程
求解方程 计算系数
16
设有边值问题
d2 y dx2
y
1
0
(1-8)
y(0) 0, y(1) 0
通过数学推导，求得其泛函为
I y(x) 1(1 y2 1 y2 y)dx
39
厚度为1的微分体,在水平方向拉
力F的作用下发生了位移 xdx
拉力表达式:
F xdy 1
x
x dy
拉力做的功:
dx
xdx
dW
1 2
F xdx
将F代入:
dW
1 2
x
x x dy
dU
dW
1 2
x
x
dxdy
单位体积内的应变能:
边值问题的求解
泛函极值的求解
泛函:给定满足一定条件的函数集合A:{y(x)},和实数 集合R。设y(x)是A中的函数,V是R中的变量,若A和V 之间存在一个对应关系,就是A中的每个函数y(x),R 中都有唯一的V值与之对应,则称V是函数y(x)的泛函,
记为V=V(y(x))。
A称为泛函的定义域,可变函数y(x)称为自变函数,依赖 自变函数而变的量V,称为自变函数的泛函。
U T dV V
单位体积内的虚应变能为
U T
U
U
o
43
2.虚位移原理 虚位移原理又称虚功原理,是最基本的能量原理.
虚位移原理:如果在虚位移发生之前弹性体是平衡的, 那么在虚位移发生时,外力在虚位移上所做的功就等 于弹性体的虚应变能,即
有限元法的基本原理
第二章有限单元法的基本原理作为一种比较成熟的数值计算方法，有限元的数学基础是变分原理。
经过半个过世纪的发展，它的数学基础已经比较完善。
从数学角度分析，有限元法是以变分原理和剖分插值为基础的数值计算方法。
它广泛的应用于解算各种类型的偏微分方程，特别对椭圆型方程，因为椭圆型方程的边值问题等价于适当的变分问题，即能量积分的级值问题。
通过变分，导出相应的泛涵，再把作用域从几何上剖分为足够小的单元，这样就能够用简单的图形去拟合复杂的边界，用简单的初等函数去模拟单元的性质。
在解算中先对每个单元进行分析，后在通过连接单元的节点对作用域的整体进行分析，就是对泛涵求极值，从而把一个复杂的偏微分方程求解问题，变成解线形代数方程组的问题。
尽管这样会出现大量的未知数，由于采用了矩阵分析的方法，总体上很有规律，适合编制程序用计算机完成。
通常的数学考虑包括这些：1）从古典变分方法原理去定义微分方程边值问题的广义解以及在古典变分方法的框架对有限元进行理论分析。
2）保证偏微分方程边值问题的提法正确，即要求解存在、唯一和稳定，即保证数值解法是可靠的。
3）有限元中重要的一点是采用了分块多项式插值函数，因此，有限元的误差估计转化为插值逼近的误差估计问题。
4）有限元的收敛性和误差估计。
由于本文是应用有限元的理论解决大地测量中的问题，因此，这里将不讨论上叙问题，而是从固体力学的基本方程出发，通过虚功原理建立起离散化的有限元方程。
另外，还以八节点六面体单元为例，简要叙述了实际中最常用的等参单元的概念及其数值变化的一些公式。
§2.1 弹性力学基本方程有限元法中经常要用到弹性力学的基本方程，这里写出这些方程的矩阵表达式。
2-1-1、平衡方程对任意一点的受力情况分析，沿坐标轴方向x, y ,z分解得到平衡方程0*00000000=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂z y xxz yz xy z y x F F F z yzz x y z y x τττσσσ 记为： 0=+F A σ其中A 是微分算子，F 是体积力向量。
有限元变分原理的通俗理解
有限元变分原理的通俗理解有限元变分原理，听起来高大上，其实一说起来，就像咱们日常生活中那些小道理，简单又有趣。
想象一下，咱们在家里做一块拼图，拼图上的每一片都是一小部分。
把这些拼图块合起来，才能看到整体的图案，对吧？有限元方法就像拼图，把一个复杂的问题拆分成很多简单的小块，逐个解决。
这些小块可以是小的三角形、四边形，甚至是更复杂的形状。
你看，问题被拆得稀巴烂，但其实每一块都有它的重要性。
再说了，变分原理就更好玩了。
它就像是一个聪明的数学家，告诉我们：嘿，想要找到最好的解决办法，不妨试试“最小化”这个方法。
听起来简单，可实际上就像是在赛跑，你要找到最短的路线，才能跑得快。
变分原理的核心就是找到一个最优解，这个解就好比是你在迷宫里找到的出口，让你顺利走出困境。
我们把这个过程形象化一下，就像是给每个拼图块都贴上了个标签，告诉它该怎么放，最终组成一个完整的图案。
说到这里，可能有人会问，这个原理到底有什么用呢？其实啊，它的应用广泛得很，建筑、机械、航空，甚至是咱们的手机设计，哪里没有它的影子？就好比你在家里修东西，有了工具箱，啥都能搞定。
比如说，你想设计一座大桥，必须考虑到风、雨、雪等各种因素。
有限元方法就像是一个精密的测量仪器，让你在设计的时候，能够计算出桥的每一部分该承受多大的力量，确保它安全可靠。
你知道吗？在这个过程中，计算机也成了我们的好帮手。
以前，咱们得靠手算，搞得头晕脑胀，现在一台电脑就能轻松搞定。
这就好比你去超市买东西，推着一辆购物车，电脑就是那个购物车，帮你把所有的“小块”都装进去，最后再把它们合并成一个“超市账单”。
所以，有限元变分原理不仅是一个理论，它还是一个实际操作的指南，教会我们如何处理复杂问题。
有限元方法可不是一成不变的，它可以根据不同的需求进行调整。
就像你炒菜，今天想吃辣，明天就可以清淡一些。
它能根据不同的情况，给出不同的解决方案，这让设计师们大开眼界，发挥创意。
比如，你想做个新型的跑车，有限元方法可以帮你测试车身在高速行驶时的稳定性，确保它在赛道上表现优异。
有限元方法
有限元方法求解微分方程，特别是椭圆型边值问题的一种离散化方法，其基础是变分原理和剖分逼近。
有限元方法是传统的里茨－加廖金方法的发展，并融会了差分法的优点，处理上统一，适应能力强，已广泛应用于科学与工程中庞大复杂的计算问题。
作为有限元方法出发点的变分原理，是表达物理基本定律的一种普遍形式。
其表述可概括如下：给出一个依赖物理状态v的变量J(v)（v是函数,J(v)在数学上称为泛函），同时给出J(v)的容许函数集V,即一切可能的物理状态,则真实的状态是V中使J(v)达到极小值的函数。
剖分逼近是有限元离散化的手段，把问题的整体（即求解域）剖分为有限个基本块，称为"单元"，然后通过单元上的插值逼近，得到一个结构简单的函数集，称为"有限元空间",它一般是容许函数集V的子集或有某种联系。
有限元方法就是在这个有限元空间中寻找J(v)的极小解作为近似解。
典型问题为具体说明有限元方法，讨论二维有界域Ω上的椭圆型方程, (1)变系数β表示介质不均匀。
物理学中许多平衡态或定常态问题都可归结为这个典型方程。
与方程(1)相配的有如下三类边界条件：第一类：；第二类：；第三类：。
这里的φ、g及α均为定义在边界дΩ上的已知函数，表示外法向导数，第二类边界条件是第三类当α=0时的特例。
为说明有限元方法能统一处理复杂的情况，假定讨论的问题是混合边值，并且介质有间断,即дΩ分成Г0和Г1两部分，分别有边界条件, (2),(3)β（x,y)有间断线，把Ω分为Ω-,Ω+两部分，在间断线上微分方程(1)无定义，而代之以接触条件, (4)及表示间断线上分别指向Ω+及Ω-的法向导数。
变分原理与微分方程(1)及附加条件(2)、(3)、(4)的边值问题相对应的是物理学中的极小能量原理。
构造"能量积分"并取J(v)的容许函数集V为一切满足边界条件(2)且一阶偏导数平方可积的函数,则使J(v)达到极小值的u,即,(6)也必满足方程(1)及(2)、(3)、(4)。
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1有限元变分原理有限元是求解偏微分方程的数值方法，在数学上属于变分法范畴，是古典的Ritz－Galerkin方法与分片多项式插值的结合。
古典的Ritz－Galerkin方法的试函数是求解域内的连续函数，有限元法的试函数是分片多项式。
作为变分法的试函数产生了很大区别：古典的Ritz－Galerkin方法的试函数要求域内的连续或平方可积且满足位移边界条件，试函数定义在泛函分析的Hilbert空间，或称为内积空间。
有限元法的试函数要求在单元域内连续或平方可积，且不用考虑位移边界条件，因为有限元是以节点位移参数为未知数，可以直接代入位移边界条件，但是单元间出现了连续性条件，即所谓的平面和三维弹性问题的C0连续，和薄板问题的C1连续等，相对古典的Ritz－Galerkin方法的试函数是一种广义函数。
有限元试函数定义在泛函分析的Sobolev空间，或称为广义导数空间。
2 分片检验2.1分片检验长期以来在有限元收敛理论中的分片检验成为关注的焦点，同时也是一个疑难症。
分片检验所以倍受关注，是因为它不仅可以用于检验单元的收敛性还可以用于构造收敛单元，而且十分方便。
分片检验的研究大致经历了如下三个里程。
第一，1965年Irons提出了不协调元的分片检验条件(Patch Test) [1,2]，这是一个通过数值计算检验单元的收敛性的方法，可以通过对一小片有限元问题的数值计算检验单元的收敛性，也是有限元法中最实用的检验单元收敛性的方法，但是，作为一种数值检验的方法，在数学和力学原理上的提法都不够严密，而有限元的单元收敛性又是不能回避的问题。
鉴于这个方法的有效性和实用性，人们一直对其开展系列的理论研究工作。
1972年Strang首先给出分片检验的数学描述[3]，后来，这个条件被解释成对一个单元的约束条件，称之为单体条件[4]，这个条件使用很方便，可以做为单体的约束条件构造单元函数，但是，对这个分片检验一直缺少严格的数学证明。
第二，1980年Stummel 基于严格的数学理论，建立了不协调元收敛的充分必要条件-广义分片检验[5]，并且，通过举反例证明Irons的分片检验即不充分也不必要[6]。
这个严格的理论是整体条件，而非单体条件，应用很困难，只限于用于少量单元的检验，而且需要有相当的泛函分析基础，对于大多数单元无法得到应用，更是无法用于指导构造不协调元，因此深入研究实用的不协调元收敛性条件是十分必要的。
此间，还推出了一些实用的充分条件，例如，F-E-M检验[7] 和IPT 检验[8]等，1995年建立了C0类非协调元收敛准则—强分片检验(SPT) [9]，1997年基于加权Sobolev 空间理论，建立了轴对称非协调元收敛准则—强分片检验(ASPT) [10]。
但是，数学的严格理论(例如，广义分片检验)难以在力学中应用，实用的力学准则(例如，分片检验)又缺少严格的数学基础。
有限元的发展特别需要分片检验能成为一种实用的先验性收敛准则，即可用于检验单元收敛性又可用于指导设计收敛的单元，而不是象广义分片检验和现在的各种收敛性充分条件需要对单元逐个进行收敛性检验。
虽然，分片检验研究还存在上述数学上的困难，但是，在力学应用上已经被接受，对数学上给出的通过分片检验但不收敛的反例在力学界反映强烈，多数持不同的意见[11，12]。
第三，最近（2001年），王鸣对分片检验数学提法做出重要的发展[13]，阐明了分片检验做为一个收敛准则提法的充分必要条件是通过分片检验的单元函数还应满足弱超逼近性（weak superapproximation ）和弱连续性（weak continuity ）。
王鸣验证了文[6]列举的通过分片检验但不收敛的反例不满足这两个条件。
王鸣的工作可以结束人们对分片检验条件的种种疑惑，但是，还没有明确单元函数的弱超逼近性和弱连续性的力学意义，距离建立完整力学提法还有一步之遥。
是否力学上在构造单元时已经蕴含了这些条件，例如，构造单元位移函数除协调性外一般都要求含刚体和常应变模式和无多余零能模式。
目前，关于有限元收敛性和分片检验的研究还仅限于二维/三维（2D./3D.）弹性力学和薄板问题，而止于轴对称问题[10]。
分片检验原来的提法是将对应常应力状态的位移做为检验函数，并由此限定至少包含一个内点的用被检验单元分割的任意一小片（图2.3）的边界位移，如果求得的小片有限元解为检验函数的精确解，则称被检验的单元通过常应力分片检验。
显然，这是一个通过数值计算检验单元收敛性的方法。
当初提出的分片检验是用于检验不协调元的收敛性，后来又被用于检验混合/杂交元的收敛性。
由于当初的分片检验只是强调数值计算检验的方法，没有明确对单元本身的限制，后来在数学上引起的对分片检验的批评[6]和相关的争议都是与此有关。
按王鸣 [13]对分片检验的研究结果，被检验的单元函数的补充条件是被检验的单元满足弱超逼近性和一定的弱连续性。
图2.3. 分片检验网格下面，证明单体条件是常应力分片检验的充分条件，并根据力学原理解释了被检 node coordinates x i y i1 0.04 0.022 0.18 0.033 0.16 0.084 0.08 0.08E=105 =0.25 t=0.01验的单元函数的弱连续性和弱超逼近性条件，为分片检验提供一个力学理论基础。
2.2 单体条件是通过分片检验的充分条件上述单体条件是单元函数的约束条件，下面将证明单体条件是通过常应力分片检验的充分条件。
分片检验的有限元方程有两种表示方法，一种是由分片检验对应的常应力求出相应的边界力并转化为节点外力，另一种是直接代入分片检验函数对应的边界节点位移，可以证明当单元满足刚体位移条件时，两种方法是等价的，但是，前者可以自动检查刚体位移条件，而后者便于实施。
有限元列式为，q B q B q B c h +=* (12)其中，0B B B h -=， ⎰⎰∂∆=∆==ee V T c V T ds u R q B Bdv B u D Bq ~1,1,0 (13) 显然，⎰=e v h dv B 0 (14) 由此，单元刚度矩阵被分解为两个部分，将（14）代入分片检验条件的无外力作用的有限元方程，得， ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+∑0)(c ne e he c q q k k (15) 其中，⎰=e v c T c e c dv CB B k ，⎰=ev h T h e h dv CB B k 分别为对应“常应变“和高阶应变“的单元刚度矩阵，c q 为对应分片检验位移函数限定的边界节点位移向量（按冲大数方法求解c q 还应做相应的处理）。
当方程（15）满秩时，解存在且唯一。
显然，代入c q q =，如果（15）式成立，则通过分片检验，即，⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+∑0)(c ne ce h e c q q k k (16) 对于检验函数边界位移有*~cu u =，代入精确的积分公式，得， ⎰⎰∂=ee V T V c T ds u R dv u D ~* (17) 由于*c T u D 为常应变，得，⎰∂∆=eV T c ds u R F u ~1* (18) 其中，I F D T =。
由于单体条件（8）式等价的（6）式，位移函数总可以分解为，***h c u u u += (19) 其中，⎰∂∆=e V T c ds u R F u ~1*，⎰∆-=e V T h udv D F u u 1*，*c u 为等于分片检验函数的单元位移函数（含刚体位移和常应变部分），*h u 是单元位移函数的高阶部分，而且0)1(*=∆-=⎰⎰⎰e eE V V T T V h T dv udv D u D dv u D 。
值得注意的是对于一般的不协调元不能保证如上的分解。
由（19）式，得，***h T c T T u D u D u D += (20)当位移函数*u 为分片检验函数*c u 时，由（20）式得0*=hT u D 。
这样，由（12）式代入c q q =得，0=c h q B (21)⎰==eV c h T h c e h dv q CB B q k 0 (22) 但是，为了保证方程（15）满秩，e h k 在方程中是不可缺少的。
除了给定的边界位移为c q q =，由于（18）式是分片检验函数在单元内的一个精确表达式，由此生成的小片内部节点的有限元方程满足0=∑m e c e c qk (23)其中，m 为与指定的某个内部节点的相关单元个数。
方程（16 13）得证。
由此可以看出精化元法可以将单元函数，单元应变和单元刚度矩阵分解为两个部分，分别对应常应变和高阶应变，一定通过分片检验。
单体条件是分片检验的充分条件，但是，只满足单体条件不一定能保证单元的逼近性质，如果只用应变⎰∂∆eV T ds u R ~1计算应变能，虽然可以通过分片检验，但是，由于有伪零能模式存在，仍不能保证单元收敛。
单元收敛的条件是除了满足单体条件外，单元函数还应包含刚体位移，常应变模式和无伪零能模式。
3 增强型分片检验增强型分片检验是将对应满足域内平衡的最低阶非零应力状态的位移做为检验函数，并由此限定至少包含一个内点的用被检验单元分割的任意一小片的边界位移，如果求得的小片有限元解为检验函数的精确解，则称被检验的单元通过增强型分片检验。
作为收敛条件，被检验的单元函数还要满足一定的弱连续性条件和含刚体模式而无伪零能模式及满足平衡方程的最低阶非零应变模式(或称保证收敛的基本应变模式)。
对于非齐次微分方程问题，最低阶应力项选为非零常应力，由非齐次微分方程确定的其他应力就不再是常应力，因此，单元函数的协调条件将是连续性要求更高的新的协调条件。
对于齐次阶微分方程问题，常应力可以自然满足域内平衡，增强型分片检验蜕化为常应力分片检验条件。
因此，增强型分片检验是分片检验的一个统一提法。
下面，提出一个新的放松连续性的变分原理并由此推出新的单体条件，进一步证明新的单体条件是增强型分片检验的充分条件，为增强型分片检验提供一个力学理论基础。
3.1 变分原理和增强型单体条件新的放松连续性条件的不协调元的变分原理的泛函为，W e ds u u T dv N P N u D C N u D n V T a T T T V T T mp e e -=---++=∑⎰⎰1))~())()(21((∂αβααπ (24)其中，u 是无连续性要求的用节点位移参数表示的单元位移函数； ~u是用节点位移参数表示的单元边界位移，它应包含刚体位移和保证收敛的基本应变模式；n 是单元个数; βαP N ,分别为βα,参数表示的保证收敛的基本应变和应力， N 和P 是插值矩阵；D T 是几何方程算子；C 是弹性常数矩阵; a T 是对应基本应力的边界力，它可表示为βRP T a =; R 是单元边界的方向余弦矩阵；W 是外力功。