有限元基本原理与概念

散 化结构；区别是，桁架的单元是杆件，而
图（c）的单元是三角形块体（注意：三角
形单元内部仍是连续体）。
第六章 用有限单元法解平面问题
求解方法
2.单元分析
每个三角形单元仍然假定为连续的、均匀的、 各向同性的完全弹性体。因单元内部仍是连续体， 应按弹性力学方法进行分析。
取各结点位移 δi (ui vi )T (i 1,2,) 为基本未 知量。然后对每个单元,分别求出各物理量,并均 用 δi (i 1,2,) 来表示。
• 淬火3.06 min 时的 温度分布
导出方法
• 淬火3.06 min 时的 马氏体分 布
第六章 用有限单元法解平面问题
§6-1 基本量和基本方程的 矩阵表示
采用矩阵表示,可使公式统一、简洁， 且便于编制程序。
本章无特别指明，均表示为平面应力 问题的公式。
第六章 用有限单元法解平面问题
基本物理量：
第六章 用有限单元法解平面问题
FEM
第六章 用有限单元法解平面问题
概述
1.有限元法（Finite Element Method）
简称FEM，是弹性力学的一种近似解法。 首先将连续体变换为离散化结构，然后再利用 分片插值技术与虚功原理或变分方法进行求解。
2. FEM的特点
（1）具有通用性和灵活性。
第六章 用有限单元法解平面问题
简史
• 数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法， 变分原理和加权余量法。
• 在1963年前后，经过J.F.Besseling, R.J.Melosh, R.E.Jones, R.H.Gallaher, T.H.Pian（卞学磺）等许多人的工作，认识到有限 元法就是变分原理中Ritz近似法的一种变形，发展了用各种不同 变分原理导出的有限元计算公式。
第六章 用有限单元法解平面问题
求解方法
单元分析的主要内容：
（1）应用插值公式, 由单元结点位移
δe (δi
δ j
δ m
)T
，求单元的位移函数
d (u(x, y),v(x, y))T。
这个插值公式称为单元的位移模式，为：
d Νδe。
第六章 用有限单元法解平面问题
求解方法
• （2）应用几何方程，由单元的位移函数d，
第六章 用有限单元法解平面问题
简史
有限元应用实例
• 有限元法已经成功地应用在以下一些领域：
•
固体力学，包括强度、稳定性、震动和瞬态问题的分析；
•
传热学；
•
电磁场；
•
流体力学。
• 转向机构支架的强度分析（用MSC/Nastran完成）
第六章 用有限单元法解平面问题
有限元应用实例
• 金属成形过程的分析（用Deform软件完成） • 分析金属成形过程中的各种缺陷。
• 1954-1955年，J.H.Argyris在航空工程杂志上发表了一组能量 原理和结构分析论文。
• 1960年，Clough在他的名为“The finite element in plane stress analysis”的论文中首次提出了有限元（finite element） 这一术语。
第六章 用有限单元法解平面问题
第六章 用有限单元法解平面问题
三角形单元
•
泰勒级数展开式中，低次幂项是最重要的。
所以三角形单元的位移模式，可取为：
u 1 2 x 3 y, v 4 5 x 6 y。
（a）
插值公式（a）在结点 xi , yi (i, j, m) 应等于结
点位移值
ui , vi (i,
第六章 用有限单元法解平面问题
应用的方程
FEM中应用的方程：
几何方程:
ε (u v u v )T x y x y
(a)
物理方程: σ Dε
(b)
其中D为弹性矩阵，对于平面应力问题是:


D

E 1 μ2
1

μ
0
μ 1 0
0
1
0
μ

(c)

2
第六章 用有限单元法解平面问题
建立结点平衡方程组，求解各结点的位移。
第六章 用有限单元法解平面问题
思考题
• 1.桁架的单元为杆件，而平面体的单元为三角
形块体，在三角形内仍是作为连续体来分析的。 前者可用结构力学方法求解，后者只能用弹性 力学方法求解，为什么？
2. 在平面问题中，是否也可以考虑其它的单 元形状，如四边形单元？
第六章 用有限单元法解平面问题
求出单元的应变，表示为 ε Bδe。
（3）应用物理方程，由单元的应变 ε ，
求出单元的应力，表示为 σ Sδe。
（4）应用虚功方程，由单元的应力 σ ，
求出单元的结点力，表示为
F e (Fi Fj Fm kδe。
第六章 用有限单元法解平面问题
求解方法
• Fi (Fix Fiy T --结点对单元的作用力，作用
•
将连续体变换为离散化结构（图（c））：
即将连续体划分为有限多个、有限大小的单元，
并使这些单元仅在一些结点处用绞连结起来，构
成所谓‘离散化结构’。
(c) 深梁（离散化结构）
第六章 用有限单元法解平面问题
结构离散化
例如：将深梁划分为许多三角形单元，这 些单元仅在角点用铰连接起来。
• 图（c）与图( a）相比，两者都是离
工程问题，从二十世纪六十年代中期以来，有限元法得到了巨大
的发展，为工程设计和优化提供了有力的工具。
第六章 用有限单元法解平面问题
简史
算法与有限元软件
• 从二十世纪60年代中期以来，大量的理论研究不但拓展了有限 元法的应用领域，还开发了许多通用或专用的有限元分析软件。
• 理论研究的一个重要领域是计算方法的研究，主要有： • 大型线性方程组的解法，非线性问题的解法，动力问题计算方
导出方法
• 型材挤压成形的分析。型材在挤 压成形的初期，容易产生形状扭 曲。
• 螺旋齿轮成形过程的分析
第六章 用有限单元法解平面问题
有限元应用实例
• 焊接残余应力分析（用Sysweld完 成）
导出方法
• 结构与焊缝布置
• 焊接过程的温度分布与轴向残余应力
第六章 用有限单元法解平面问题
有限元应用实例
• 1956年M.J.Turner, R.W.Clough, H.C.Martin, L.J.Topp在纽 约举行的航空学会年会上介绍了一种新的计算方法，将矩阵位移 法推广到求解平面应力问题。他们把结构划分成一个个三角形和 矩形的“单元”，利用单元中近似位移函数，求得单元节点力与 节点位移关系的单元刚度矩阵。
于单元，称为结点力，以正标向为正。
Fi (Fix Fiy T
－－单元对结点的
作用力，与 Fi 数
值相同,方向相反， 作用于结点。
Fiy vi
Fix i
ui
Fiy
y v j Fjy i
Fix
j
uj
F jx
vm Fmy
um
m Fmx
o
x
第六章 用有限单元法解平面问题
求解方法
• （5）将每一单元中的各种外荷载，按虚 功 等效原则移置到结点上，化为结点荷 载，表示为
第六章 用有限单元法解平面问题
导出方法
•
我国的力学工作者为有限元方法的初期发展做出了许多贡献，
其中比较著名的有：陈伯屏（结构矩阵方法），钱令希（余能原
理），钱伟长（广义变分原理），胡海昌（广义变分原理），冯
康（有限单元法理论）。遗憾的是，从1966年开始的近十年期间，
我国的研究工作受到阻碍。
•
有限元法不仅能应用于结构分析，还能解决归结为场问题的
j, m)。由此可求出1
~

。
6
第六章 用有限单元法解平面问题
应用的方程
虚功方程:
(δ* )T F
y
Fiy ,vi*
(ε* )T σdxdyt A
i
Fix ,ui*
其中:
Fjy , v*j j
Fjx ,u*j
• δ* --结点虚位移; o
图6-1
x
ε* --对应的虚应变。
在FEM中，用结点的平衡方程代替平衡
微分方程，后者不再列出。
第六章 用有限单元法解平面问题
第六章 用有限单元法解平面问题
概述 第一节 基本量及基本方程的矩阵表示 第二节 有限单元法的概念 第三节 单元的位移模式与解答的收敛性 第四节 单元的应变列阵和应力列阵 第五节 单元的结点力列阵与劲度矩阵 第六节 荷载向结点移置 单元的结点荷载列阵
第六章 用有限单元法解平面问题
第七节 结构的整体分析结点平衡方程组 第八节 解题的具体步骤 单元的划分 第九节 计算成果的整理 第十节 计算实例 第十一节 应用变分原理导出有限单元法的基本方程 例题 习题的提示与答案 教学参考资料
通过求解联立方程，得出各结点位移值，从而求
出各单元的应变和应力。
第六章 用有限单元法解平面问题
归纳起来，FEM分析的主要步骤：
求解方法
1.将连续体变换为离散化结构 2.对单元进行分析
（1）单元的位移模式 （2）单元的应变列阵 （3）单元的应力列阵 （4）单元的结点力列阵 （5）单元的等效结点荷载列阵 3.整体分析
简史
（2）对同一类问题，可以编制出通用程序， 应用计算机进行计算。
（3）只要适当加密网格，就可以达到工程 要求的精度。
3. FEM简史
FEM是上世纪中期才出现，并得到迅速发展 和广泛应用的一种数值解法。
1943年柯朗第一次提出了FEM的概念。