数列求和专题讲座(高三数学总复习专题)
广东省2017届高三理科数学总复习专题突破训练：数列
广东省2017届高三数学理一轮复习专题突破训练
数列
一、选择、填空题
1、（2016年全国I卷）已知等差数列{}na前9项的和为27，10=8a，则100=a（ ）
（A）100 （B）99 （C）98 （D）97
2、（2016年全国I卷）设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an的最大值为
3、（2015年全国II卷）等比数列｛an｝满足a1=3，135aaa =21，则357aaa ( )
（A）21 （B）42 （C）63 （D）84
4、（佛山市2016届高三二模）已知正项等差数列{}na中，12315aaa，若1232,5,13aaa成等比数列，则10a（ ）
A．19 B．20 C．21 D．22
5、（佛山市2016届高三二模）已知数列}{na的前n项和为nS，且满足11a，32nnaSn（其中*)nN，则nS .
6、（茂名市2016届高三二模）《九章算术》之后，人们学会了用等差数列知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布。
A．12 B．815 C．1631 D．1629
7、（汕头市2016届高三二模）在等差数列na中,已知4816aa，则该数列前11项和为( )
A．58 B．88 C．143 D．176
8、（珠海市2016届高三二模）已知递减的等比数列{ na }，各项为正数，且满足
123123269111132aaaaaa
高三数学总复习数列专题复习
用心 爱心 专心 117号编辑 1
高三数学总复习数列专题复习
第一课时
1、 设数列{an}是公差不为零的等差数列，Sn是数列{an}的前n项和，且23S＝9S2，S4＝4S2，求数列的通项公式．
2、已知数列na的前n项和nS满足1,)1(2naSnnn．
（1） 写出数列na的前三项321,,aaa；
（2） 求证数列nna)1(32为等比数列，并求出na的通项公式．
3、 已知公差大于零的等差数列}{na的前n项和为nS，且满足：.22,1175243aaaa
（Ⅰ）求通项na；
（Ⅱ）若数列}{nb是等差数列，且cnSbnn，求非零常数c；
4、数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1=1,an+1=nn2Sn(n=1,2,3，…)．
证明：(i)数列{nSn}是等比数列；(ii)Sn+1=4an.
答案：
1、设数列na的公差为d
由题意得：)2(464)2(9)33(11121dadadada 001da 或 98941da
因为0d 所以98,941da 9498nan
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2、（1）在1,)1(2naSnnn中分别令3,2,1n 得：
121212332122111aaaaaaaaa 解得：201321aaa
（2）由1,)1(2naSnnn得：2,)1(2111naSnnn
两式相减得：2,)1(2)1(211naaannnnn
即：2,)1(221naannn
nnnnnnnaaa)1(32)1(342)1(32)1(342111
【天津市2013届高三数学总复习之综合专题：数列求和(学生版)]
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数列求和
概述：先分析数列通项的结构特征，再利用数列通项揭示的规律来求数列的前n项和，即求和抓通项。
1、直接（或转化）由等差数列、等比数列的求和公式求和
思路：利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。
①等差数列求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(11；
②等比数列求和公式：)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn；
③)1(211nnkSnkn；
④)12)(1(6112nnnkSnkn；
⑤213)]1(21[nnkSnkn。
2、逆序相加法
思路：把数列正着写和倒着写再相加。（即等差数列求和公式的推导过程的推广）
例1：设函数222)(xxxf的图象上有两点),(),,(211121yxPyxP，若)(2121OPOPOP，且点P的横坐标为21。
（1）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；
（2）若;求,),()3()2()1(*nnSNnnnfnfnfnfS
3、错位相减法
思路：设数列na是等差数列，nb是等比数列，则求nnba的前n项和nS可用错位相减法。
例2：在数列na中，1112(2)2()nnnnaaanN，，其中0。
（1）求数列na的通项公式；
（2）求数列na的前n项和nS。
4、裂项相消法
思路：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。一般地，数列na为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，niiiiininiiiaadaadaa111111)11(1)11(11。
常见的通项分解（裂项）如下：
①)11(1)(1knnkknnan，（当1k时，通项裂项后求和是隔项相消的，注意观察剩余项）
高考数学总复习 基础知识名师讲义 第五章 第五节数列的求和 文
第五节 数列的求和
掌握等差数列、等比数列的前n项和公式，能把某些不是等差和等比数列的求和问题转化为等差、等比数列来解决；掌握裂项求和的思想方法，掌握错位相减法求和的思想方法，并能灵活地运用这些方法解决相应问题．
知识梳理
一、直接用等差、等比数列的求和公式求和
1．等差数列{}an的前n项和公式．
Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－12d.
2．等比数列{}an的前n项和公式．
Sn＝ na1，q＝1，a11－qn1－q，q≠1. (注意：公比含字母时一定要分类讨论)
二、错位相减法求和
例如{}an是等差数列，{}bn是等比数列，求a1b1＋a2b2＋„＋anbn的和就适用此法．做法是先将和的形式写出，再给式子两边同乘或同除以公比q，然后将两式相减，相减后以“qn”为同类项进行合并得到一个可求和的数列(注意合并后有两项不能构成等比数列中的项，不要遗漏掉)．
三、分组求和
把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和．
四、并项求和
例如求1002－992＋982－972＋„＋22－12的和可用此法．
五、裂项相消法求和
把数列的通项拆成两项之差，正负相消，剩下首尾若干项．
1．特别是对于canan＋1，其中{}an是各项均不为0的等差数列，通常用裂项相消法，即
利用canan＋1＝cd1an－1an＋1(其中d＝an＋1－an)．
2．常见的拆项．
1nn＋1＝1n－1n＋1；12n－12n＋1＝1212n－1－12n＋1；
1nn＋1n＋2＝121nn＋1－1n＋1n＋2；
六、公式法求和
k＝1nk＝nn＋12；k＝1n ()2k－1＝n2；k＝1nk2＝nn＋12n＋16；
k＝1nk3＝nn＋122.
七、倒序相加法求和
如果一个数列{an}多与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和就是用此法推导的．
高三数学总复习专题训练数列专题试题
卜人入州八九几市潮王学校2021年高三数学总复习专题训练数列专题
1、 数列11,232,,43),(2,,1,}{nnnnnSaSNnnSnaa对于任意的项和为前中
总成等差数列.〔1〕求a2，a3，a4的值；〔2〕求通项an；〔3〕计算.limnnS
解：〔1〕由题意知1232432nnnSSa
2、设数列na前项和为ns,且(3),(32)Nnmmasmnn,其中m为常数,m.3
(1) 求证:是等比数列;
(2) 假设数列na的公比q=f(m),数列nb满足),2,)((231,11nNnbfbabnn
求证:nb1为等差数列,求nb.
解〔1〕由,32)3(32)3(11mmasmmmasmnnnn得
,3,2)3(1mmaamnn两式相减得,321mmaann∴na是等比数列。
〔2〕2,32)(,111nNnmmmfqab
3、设正数数列{na}的前n项和Sn满足2)1(41nnaS.求：
〔1〕求数列{na}的通项公式；〔2〕设}{,11nnnnbaab记数列的前n项和为Tn，求Tn
解：〔I〕2)1(41nnaS①211)1(41nnaS②
①－②得2121)1(41)1(41nnnnnaaSSa，
整理得0)2)((11nnnnaaaa11100202(2)nnnnnnnaaaaaaan即
〔II〕)121121(21)12)(12(111nnnnaabnnn……10分
4、数列}{na满足212nnnaaa),3,2,1(n,它的前n项和为nS，且53a，366S．〔1〕求na；〔2〕等比数列}{nb满足abb121，4354aabb)1(a，设数列}{nnba的前n项和为nT，求nT．
高中数学解题方法谈：数列求和方法盘点
数列求和方法盘点
等差数列、等比数列的求和是高考常考的内容之一，一般数列求和的基本思想是将其通项变形，化归为等差数列或等比数列的求和问题，或利用代数式的对称性，采用消元等方法来求和.
下面我们结合具体实例来研究求和的方法.
一、直接求和法（或公式法）
将数列转化为等差或等比数列，直接运用等差或等比数列的前n项和公式求得.
例1 求2222222212345699100L．
解：原式22222222(21)(43)(65)(10099)3711199LL．
由等差数列求和公式，得原式50(3199)50502．
二、倒序相加法
此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和.
例2 求222222222222123101102938101L的和．
分析：由于数列的第k项与倒数第k项的和为常数1，故采用倒序相加法求和．
解：设222222222222123101102938101SL
则222222222222109811012938101SL．
两式相加，得 2111105SSL，．
小结：对某些具有对称性的数列，可运用此法.
三、裂项相消法
如果一个数列的每一项都能化为两项之差，而前一项的减数恰与后一项的被减数相同，一减一加，中间项全部相消为零，那么原数列的前n项之和等于第一项的被减数与最末项的减数之差.多用于分母为等差数列的相邻k项之积，且分子为常数的分式型数列的求和.
例3 已知222112(1)(21)6nnnnL，
求 22222222235721()11212312nnnNLL的和．
分析：首先将数列的通项公式化简，然后注意到它可写成两项的差，在求和的过程中，中间的项相互抵消了，从而可求出原数列的前n项和.
高一数学奥赛数列专题选讲数列求和的主要方法
1 高一数学奥赛数列专题选讲二：数列求和的主要方法
一． 基本公式法
例1． 13742222n
练1．98852
练2. 123232323232n=
二．错位相消法
例).0()12(531:112aanaaSnn：求和
练1. 已知数列.}{,)109()1(nnnnSnana项和的前求
三．分组求和法
例2．求数列1,,6,4,2nnnnnn , 前n项的和.
2 例3. 已知数列{}na的通项65()2()nnnnan为奇数为偶数，求其前n项和nS
练1. 数列815,413,211的前n项和为
练2. 已知：nSnn1)1(654321.求nS.
四．裂项相消法
例4求数列2112，2124，2136，2148，…的前n项和nS.
练1、已知数列}{na的通项公式)12)(12()2(2nnnan，求它的前n项和.
3 练2. 设数列{}na的前n项和为nS，点(,)()nSnnNn均在函数y＝3x－2的图像上.
（1）求数列{}na的通项公式； （2）设16nnnaab，nT是数列{}nb的前n项和，求使得10nmT对所有nN都成立的最小正整数m.
练3、数列{}na的通项公式是1()1nanNnn，若前n项和为10，则项数n为( ) A．11 B．99 C．120 D．121
4 五．倒序相加法：例1．．求和：222222222222110108339221011
练1. 设221)(xxxf，求：)4()3()2()()()(213141ffffff；
六．观察规律法
关于数列求和问题的一些思考
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关于数列求和问题的一些思考
作者：褚艳春 杨红强
来源：《学周刊·下旬刊》2014年第11期
在中学数学的教学中，求数列各项和的问题是我们不容忽视的教学重点内容，依据《课程标准》的要求，高中阶段的学生应该掌握等差数列，等比数列前n项的求和公式，还应该会采用这些简单的公式去解决生活中一些常见的简单问题。
一、关于数列求和问题的认识
与数列有关的题目是我们在中学阶段重点学习的内容，一般使用公式法、通项分析法、错位相减法、裂项相消法、递推法和阶差法等方法进行数列的求和，在这些方法中公式法是最基本的方法。我们在学习数列的时候首先学习的就是等差数列和等比数列，公式法的本质就是一定要记清楚、记准确公式，能够准确地通过分析数列的特征给出其通项公式，然后求出数列前项和。
通项分析法是相对灵活多变的方法，首先分析数列各项的特征，观察有没有什么共同的特点，例如各项是否可以分解，局部是否可以先求和等等，分组求和然后再整体求和。遇到这种题目，我们要灵活面对，方法不唯一，具体情况还得具体分析，上面我们只是介绍了通项分析法运用的一部分，也是我们常见的一类题目，必须要牢牢掌握。
错位相减法是我们常用的方法，值得注意的是在解题过程当中一定要自仔细认真，因为在解题过程当中数列的项数是繁多的，稍微不注意就容易写错。
裂项相消法就是把一项分解成两项甚至是多项，然后采用消除的办法求得前项和。用这种方法解决数列问题的类型有很多，其中包括等差型、无理型、指数型、对数型、三角函数型等等，其中三角函数型是不常见的，但是我们在遇到的时候要会解，以上介绍的几种类型一定要牢牢的掌握，在解题过程当中我们经常会遇到，每一种类型都有自己鲜明的特点，同学们要在理解的基础上加以记忆，灵活多变的去解决遇到的不同问题。
递推法大体上在解决自然数平方和、立方和的题目时常常会用到。采用递推法解决数列题目，起初我们要知道数列的通项公式，求通项的办法就是要先找到数列各项间的规律，继后化难为易，在中学课本上等差数列和等比数列其通项的求法就可以通过递推公式的形式来求出。上文我们已经介绍了等差数列其通项通过递推公式的办法证明了出来。我已经介绍了三种用递推法去解决问题的类型，这三种类型是我们在解决数列问题时经常会遇到的问题，希望读者可以理解并牢牢的掌握。
2023届高三数学一轮复习专题 数列累加法构造等比等递推公式求通项及常用求和方法 讲义 (解析版)
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数列求解通项的方法总结
方法一、公式法
当已知数列的类型（如已知数列为等差或等比数列）时，可以设出首项和公差（公比），列式计算。
1、等差数列通项公式： dnaan)1(1
2、等比数列通项公式：
例1、设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式
（2）当d＞1时，记cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．
变式1、已知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a5﹣3b2=7．
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和．
11nnqaa第 2 页 共 8 页
方法二、利用前n项和与通项的关系
已知数列{ a n}前n项和S n，求通项公式，利用
a n＝)1()2(11nSnSSnn
特别地，当n=1的值与S1的值相同时，合并为一个通项公式，否则写成分段的形式。
例2、（1）设数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn=3n+3．求{an}的通项公式；
（2）Sn为数列{an}的前n项和，己知an＞0，an2+2an=4Sn+3
（I）求{an}的通项公式.（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和．
变式2、（2015·四川）数列{an}（n=1，2，3…）的前n项和Sn，满足Sn=2an﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设数列的前n项和为Tn，求Tn．
第 3 页 共 8 页
方法三、利用递推关系式与通项的关系
类型1、累加法 形如)(1nfaann
例3、（2014·全国卷）数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=2an+1-an+2.
高二数学数列求和苏教版(文)知识精讲
高二数学数列求和苏教版（文）
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
数列求和
二. 本周教学目标：
小结数列求和的常用方法，初步掌握用拆项法、裂项法和错位法求一些特殊的数列
三. 本周知识要点：
（一）基本公式：
1. 等差数列的前n项和公式：
2)(1nnaanS， 2)1(1dnnnaSn
2. 等比数列的前n项和公式：
当1q时，qqaSnn1)1(1 ① 或qqaaSnn11 ②
当q＝1时，1naSn
（二）数列求和的常用方法：
1. 公式法（若问题可转化为等差、等比数列，则直接利用求和公式即可）
例1：求2222222210099654321之和
分析：本题运用平方差公式将原数列变形为等差数列，然后用等差数列的求和公式
解：原式＝)99100()56()34()12(22222222
＝)99100)(99100()56)(56()34)(34()12)(12(
＝1991173
其中n＝50，由等差数列求和公式，得：
50502)1993(5050s；
当q＝1时，1naSn
2. 拆项法(分组求和法)：
若数列na的通项公式为nnnbac，其中nnba,中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般用分组结合法
例2：求数列,)23(1,,101,71,41,11132naaaan的前n项和。
解：设数列的通项为an，前n项和为Sn，
则 )23(11naann
)]23(741[)1111(12naaaSnn
当1a时，232)231(2nnnnnSn 当1a时，2)13(12)231(11111nnaaannaaSnnnnn