双星模型、三星模型、四星模型专练
高考物理模型101专题讲练：第26讲 双星、多星模型
第26讲 双星、多星模型1．（重庆高考）冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统．质量比约为7：1，同时绕它们连线上某点O 做匀速圆周运动．由此可知，冥王星绕O 点运动的（ ） A ．轨道半径约为卡戎的17B ．角速度大小约为卡戎的17C ．线速度大小约为卡戎的7倍D ．向心力大小约为卡戎的7倍 一.知识回顾1．双星模型(1)两颗星体绕公共圆心转动，如图1所示。
(2)特点①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即 Gm 1m 2L2＝m 1ω21r 1， Gm 1m 2L2＝m 2ω22r 2。
②两颗星的周期及角速度都相同，即T 1＝T 2，ω1＝ω2。
③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r 1＋r 2＝L 。
④两颗星到轨道圆心的距离r 1、r 2与星体质量成反比，即m 1m 2＝r 2r 1。
⑤双星的运动周期T ＝2πL 3Gm 1＋m 2。
⑥双星的总质量m 1＋m 2＝4π2L3T 2G 。
2．三星模型(1)三星系统绕共同圆心在同一平面内做圆周运动时比较稳定，三颗星的质量一般不同，其轨道如图2所示。
每颗星体做匀速圆周运动所需的向心力由其他星体对该星体的万有引力的合力提供。
(2)特点：对于这种稳定的轨道，除中央星体外(如果有)，每颗星体转动的方向相同，运行的角速度、周期相同。
(3)理想情况下，它们的位置具有对称性，下面介绍两种特殊的对称轨道。
①三颗星位于同一直线上，两颗质量均为m 的环绕星围绕中央星在同一半径为R 的圆形轨道上运行(如图3甲所示)。
②三颗质量均为m 的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图3乙所示)。
3.四星模型：(1)如图所示，四颗质量相等的行星位于正方形的四个顶点上，沿外接于正方形的圆轨道做匀速圆周运动。
Gm2L 2×2×cos 45°＋Gm22L2＝ma ，其中r ＝22L 。
四颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。
高中物理天体运动多星问题
双星模型、三星模型、四星模型天体物理中的双星， 三星，四星，多星系统是自然的天文现象，天体之间的相互作用 遵循万有引力的规律，他们的运动规律也同样遵循开普勒行星运动的三条基本规律。
双星、 三星系统的等效质量的计算，运行周期的计算等都是以万有引力提供向心力为出发点的。
双星系统的引力作用遵循牛顿第三定律： F F ，作用力的方向在双星间的连线上，角速度相等，12。
【例题1】天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。
双星系 统在银河系中很普遍。
利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。
已知某 双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为 T ,两颗恒星之间的距离为r ，试推算这个双星系统的总质量。
（引力常量为G ）【解析】：设两颗恒星的质量分别为 m 、m ,做圆周运动的半径分别为 r i 、「2，角速度分别为3 1、3 2。
根据题意有r i r 2 r根据万有引力定律和牛顿定律，有6曹2 m 1w 2r 1r联立以上各式解得根据解速度与周期的关系知1联立③⑤⑥式解得m 1m 2 G 122 r2m|W1 *r 1m 2r mi m 2【例题2】神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体， 探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了 LMCX3双星系统，它由可见星 A 和不可见的暗星 B 构成，两星视 为质点，不考虑其他天体的影响 .A 、B 围绕两者连线上的0点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图 4-2所示.引力常量为G,由观测能够得到可见星 A 的速率v 和运行周 期T.⑴ 可见星A 所受暗星B 的引力F a 可等效为位于 0点处质量为m 的星体(视为质点)对它的 引力，设A 和B 的质量分别为 m 、m ,试求m (用m 、m 表示).(2) 求暗星B 的质量皿与可见星A 的速率V 、运行周期T 和质量m 之间的关系式；(3) 恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量 m 的2倍，它将有可能成为黑洞•若可见星A 的速率v=x 105 m/s ，运行周期T=nX 104 s ，质量m=6m ，试通过估算来判断暗星 B 有可能 是黑洞吗(G=x 10-11 N ・m 2/kg 2, m=x 1030 kg )m i m 2T 2G解析：设 A B 的圆轨道半径分别为 ，由题意知, B 做匀速圆周运动的角速度相同,设其为点。
双星模型三星模型四星模型
双星模型、三星模型、四星模型天体物理中的双星，三星，四星，多星系统是自然的天文现象，天体之间的相互作用遵循万有引力的规律，他们的运动规律也同样遵循开普勒行星运动的三条基本规律。
双星、三星系统的等效质量的计算，运行周期的计算等都是以万有引力提供向心力为出发点的。
双星系统的引力作用遵循牛顿第三定律：F F ='，作用力的方向在双星间的连线上，角速度相等，ωωω==21。
【例题1】天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。
双星系统在银河系中很普遍。
利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。
已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T ，两颗恒星之间的距离为r ，试推算这个双星系统的总质量。
（引力常量为G ）【解析】：设两颗恒星的质量分别为m 1、m 2，做圆周运动的半径分别为r 1、r 2，角速度分别为ω1、ω2。
根据题意有21ωω=①r r r =+21②根据万有引力定律和牛顿定律，有G1211221r w m rm m = ③G1221221r w m rm m =④联立以上各式解得2121m m rm r +=⑤根据解速度与周期的关系知Tπωω221== ⑥联立③⑤⑥式解得322214r GT m m π=+【例题2】神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX3双星系统，它由可见星A 和不可见的暗星B 构成，两星视为质点，不考虑其他天体的影响.A 、B 围绕两者连线上的O 点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图4-2所示.引力常量为G ，由观测能够得到可见星A 的速率v 和运行周期T.(1)可见星A 所受暗星B 的引力F a 可等效为位于O 点处质量为m ′的星体(视为质点)对它的引力，设A 和B 的质量分别为m 1、m 2，试求m ′(用m 1、m 2表示).(2)求暗星B 的质量m 2与可见星A 的速率v 、运行周期T 和质量m 1之间的关系式；(3)恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量m s 的2倍，它将有可能成为黑洞.若可见星A的速率v=2.7×105 m/s ，运行周期T=4.7π×104s ，质量m 1=6m s ，试通过估算来判断暗星B 有可能是黑洞吗？（G=6.67×10-11 N ·m 2/kg 2，m s =2.0×1030kg ）解析：设A 、B 的圆轨道半径分别为，由题意知，A 、B 做匀速圆周运动的角速度相同，设其为。
双星模型
.双星模型、三星模型、四星模型天体物理中的双星，三星，四星，多星系统是自然的天文现象，天体之间的相互作用遵循万有引力的规律，他们的运动规律也同样遵循开普勒行星运动的三条基本规律。
双星、三星系统的等效质量的计算，运行周期的计算等都是以万有引力提供向心力为出发点的。
双??FF，作用力的方向在双星间的连线上，角速度星系统的引力作用遵循牛顿第三定律：?????。
相等，21【例题1】天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。
双星系统在银河系中很普遍。
利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。
已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量。
（引力常量为G）】神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案2【例题天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了.之一是观测双星系统的运动规律不考两星视为质点，B构成，LMCX3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星点做匀速圆周运动，它们之间的OB围绕两者连线上的虑其他天体的影响.A、v的速率由观测能够得到可见星A.引力常量为G，距离保持不变，如图4-2所示T.和运行周期视为质(m′的星体F可等效为位于O点处质量为(1)可见星A所受暗星B的引力a). m表示m′(用m、A和B的质量分别为m、m，试求点)对它的引力，设2121 m之间的关系式；v、运行周期T和质量求暗星B的质量m与可见星A的速率(2)12A.若可见星2倍，它将有可能成为黑洞(3)恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量m的s45有B，试通过估算来判断暗星，质量m m/s，运行周期T=4.7π×10=6m s的速率v=2.7×10s1可能是黑洞吗？302-112 10）/kg kg，m（G=6.67×10=2.0×N·m s】天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星，它们在万有引力作用下间距3【例题、ML，质量分别为始终保持不变，并沿半径不同的同心轨道作匀速园周运动，设双星间距为1）双星运动的周期。
高考物理专题32双星或多星模型练习含解析
专题32 双星或多星模型1．“双星模型”如图，各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即Gm 1m 2L 2＝m 1ω12r 1，Gm 1m 2L 2＝m 2ω22r 2，其中r 1＋r 2＝L .2.“双星问题”的隐含条件是两者受到的向心力相等，周期相等，角速度相同；双星轨道半径与质量成反比.3.多星问题中，每颗星做圆周运动所需的向心力由它们之间的万有引力的合力提供，即F 合＝m v 2r，以此列向心力方程进行求解．1.(多选)如图1所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O 点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L ，质量之比为m 1∶m 2＝3∶2，下列说法中正确的是( )图1A ．m 1、m 2做圆周运动的线速度之比为2∶3B ．m 1、m 2做圆周运动的角速度之比为3∶2C ．m 1做圆周运动的半径为25LD ．m 2做圆周运动的半径为25L答案 AC解析 设双星m 1、m 2距转动中心O 的距离分别为r 1、r 2，双星绕O 点转动的角速度均为ω，据万有引力定律和牛顿第二定律得Gm 1m 2L2＝m 1r 1ω2＝m 2r 2ω2，又r 1＋r 2＝L ，m 1∶m 2＝3∶2 所以可解得r 1＝25L ，r 2＝35Lm 1、m 2运动的线速度分别为v 1＝r 1ω，v 2＝r 2ω，故v 1∶v 2＝r 1∶r 2＝2∶3.综上所述，选项A 、C 正确．2．(2020·吉林长春市二模)2019年诺贝尔物理学奖授予了三位天文学家，以表彰他们对人类对宇宙演化方面的了解所做的贡献．其中两位学者的贡献是首次发现地外行星，其主要原理是恒星和其行星在引力作用下构成一个“双星系统”，恒星在周期性运动时，可通过观察其光谱的周期性变化知道其运动周期，从而证实其附近存在行星．若观测到的某恒星运动周期为T ，并测得该恒星与行星的距离为L ，已知引力常量为G ，则由这些物理量可以求得( ) A ．行星的质量 B ．恒星的质量C ．恒星与行星的质量之和D ．恒星与行星圆周运动的半径之比 答案 C解析 恒星与行星组成双星，设恒星的质量为M ，行星的质量为m .以恒星为研究对象，行星对它的引力提供了向心力，假设恒星的轨道半径为r 1，由GMm L 2＝M (2πT)2r 1得到行星的质量m ＝4π2L 2r 1GT2，以行星为研究对象，恒星对它的引力提供了向心力，假设行星的轨道半径为r 2，则有GMm L 2＝m (2πT )2r 2，得到恒星的质量M ＝4π2L 2r 2GT 2，则有M ＋m ＝4π2L 3GT 2，故A 、B 、D 错误，C正确．3．(多选)(2020·湖北随州市3月调研)2019年12月20日，国防科技大学领衔研制的我国天基网络低轨试验双星在太原卫星发射中心搭载CZ －4B 火箭成功发射，双星顺利进入预定轨道．假设两个质量分别为m 1和m 2(m 1>m 2)的星体A 和B 组成一双星系统，二者中心之间的距离为L ，运动的周期为T ，万有引力常量为G ，下列说法正确的是( )A ．因为m 1>m 2，所以星体A 对星体B 的万有引力大于星体B 对星体A 的万有引力 B ．星体A 做圆周运动的半径为m 2m 1＋m 2LC ．星体B 的线速度大小为2πm 2Lm 1＋m 2TD ．两星体的质量之和为4π2L3GT2答案 BD解析 两者之间的万有引力提供彼此的向心力，此为相互作用力，大小相等，方向相反，故A 错误；对A 、B 两星体，根据牛顿第二定律有Gm 1m 2L 2＝m 1r 1(2πT )2和G m 1m 2L 2＝m 2r 2(2πT)2，又因为r 1＋r 2＝L ，联立解得星体A 和星体B 的运动半径分别为r 1＝m 2m 1＋m 2L ，r 2＝m 1m 1＋m 2L ，故B 正确；星体B 的线速度大小为v ＝2πr 2T＝2πm 1L m 1＋m 2T ，故C 错误；将G m 1m 2L 2＝m 1r 1(2πT )2和G m 1m 2L2＝m 2r 2(2πT )2简化后相加，结合r 1＋r 2＝L ，可得m 1＋m 2＝4π2L3GT2，D 正确．4．(2020·河北保定市调研)把地球和月球看作绕同一圆心做匀速圆周运动的双星系统，质量分别为M 、m ，相距为L ，周期为T ，若有间距也为L 的双星P 、Q ，P 、Q 的质量分别为2M 、2m ，则( )A ．地、月运动的轨道半径之比为M mB ．地、月运动的加速度之比为M mC ．P 运动的速率与地球的相等D ．P 、Q 运动的周期均为22T 答案 D解析 对地、月有G Mm L2＝M (2πT)2r 地＝m (2πT)2r 月，故轨道半径与质量成反比，即r 地r 月＝mM，A 错误；加速度a ＝(2πT)2r ，正比于轨道半径，反比于质量，B 错误；设P 、Q 的周期为T ′，则有G 2M ×2m L 2＝2M (2πT ′)2r P＝2m (2πT ′)2r Q ，轨道半径与质量成反比且地、月间距跟P 、Q 间距均等于L ，故地球与P 的轨道半径r 相等，于是2T ′2＝T 2，解得T ′＝22T ，D 正确；由速率v ＝2πT r 得v P v 地＝TT ′＝2，C 错误． 5．由三个星体构成的系统，叫作三星系统．有这样一种简单的三星系统，质量刚好都相同的三个星体甲、乙、丙在三者相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O 在三角形所在的平面内做相同周期的圆周运动．若三个星体的质量均为m ，三角形的边长为a ，万有引力常量为G ，则下列说法正确的是( )A ．三个星体做圆周运动的半径均为aB ．三个星体做圆周运动的周期均为2πa a3GmC ．三个星体做圆周运动的线速度大小均为3GmaD ．三个星体做圆周运动的向心加速度大小均为3Gma2 答案 B解析 质量相等的三星系统的位置关系构成一等边三角形，其中心O 即为它们的共同圆心，由几何关系可知三个星体做圆周运动的半径r ＝33a ，故选项A 错误；每个星体受到的另外两星体的万有引力的合力提供向心力，其大小F ＝3·Gm 2a 2，则3Gm 2a 2＝m 4π2T2r ，得T ＝2πaa 3Gm ，故选项B 正确；由线速度公式v ＝2πrT 得v ＝ Gma，故选项C 错误；向心加速度a ＝F m＝3Gma2，故选项D 错误．6．(多选)宇宙中存在一些离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统．若某个四星系统中每个星体的质量均为m ，半径均为R ，忽略其他星体对它们的引力作用，忽略星体自转，则可能存在如下运动形式：四颗星分别位于边长为L 的正方形的四个顶点上(L 远大于R )，在相互之间的万有引力作用下，绕某一共同的圆心做角速度相同的圆周运动．已知引力常量为G ，则关于此四星系统，下列说法正确的是( ) A ．四颗星做圆周运动的轨道半径均为L2B ．四颗星表面的重力加速度均为G m R2C ．四颗星做圆周运动的向心力大小为Gm 2L2(22＋1)D ．四颗星做圆周运动的角速度均为 4＋2Gm2L3答案 BD解析 任一颗星体在其他三颗星体的万有引力的作用下，合力方向指向对角线的交点，围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，轨道半径均为r ＝22L ，故A 错误；星体表面的物体受到的万有引力等于它受到的重力，即Gmm ′R 2＝m ′g ，解得g ＝GmR 2，故B 正确；由万有引力定律可得四颗星做圆周运动的向心力大小为F n ＝Gm 22L2＋2G m 2L 2cos 45°＝Gm 2L 2(12＋2)，选项C 错误；由牛顿第二定律得F n ＝Gm 2L 2(12＋2)＝mω2(22L )，解得ω＝4＋2Gm2L3，故D正确．。
高中物理天体运动多星问题
双星模型、三星模型、四星模型天体物理中的双星，三星，四星，多星系统是自然的天文现象，天体之间的相互作用遵循万有引力的规律，他们的运动规律也同样遵循开普勒行星运动的三条基本规律。
双星、三星系统的等效质量的计算，运行周期的计算等都是以万有引力提供向心力为出发点的。
双星系统的引力作用遵循牛顿第三定律：F F ='，作用力的方向在双星间的连线上，角速度相等，ωωω==21。
【例题1】天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。
双星系统在银河系中很普遍。
利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。
已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T ，两颗恒星之间的距离为r ，试推算这个双星系统的总质量。
（引力常量为G ）【解析】：设两颗恒星的质量分别为m 1、m 2，做圆周运动的半径分别为r 1、r 2，角速度分别为ω1、ω2。
根据题意有21ωω=①r r r =+21②根据万有引力定律和牛顿定律，有G1211221r w m rm m = ③G1221221r w m rm m =④联立以上各式解得2121m m rm r +=⑤根据解速度与周期的关系知Tπωω221== ⑥联立③⑤⑥式解得322214r GT m m π=+【例题2】神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX3双星系统，它由可见星A 和不可见的暗星B 构成，两星视为质点，不考虑其他天体的影响.A 、B 围绕两者连线上的O 点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图4-2所示.引力常量为G ，由观测能够得到可见星A 的速率v 和运行周期T.(1)可见星A 所受暗星B 的引力F a 可等效为位于O 点处质量为m′的星体(视为质点)对它的引力，设A 和B 的质量分别为m 1、m 2，试求m′(用m 1、m 2表示).(2)求暗星B 的质量m 2与可见星A 的速率v 、运行周期T 和质量m 1之间的关系式；(3)恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量m s 的2倍，它将有可能成为黑洞.若可见星A 的速率v=2.7×105 m/s ，运行周期T=4.7π×104 s ，质量m 1=6m s ，试通过估算来判断暗星B 有可能是黑洞吗？ （G=6.67×10-11 N·m 2/kg 2，m s =2.0×1030 kg ）解析：设A 、B 的圆轨道半径分别为，由题意知，A 、B 做匀速圆周运动的角速度相同，设其为。
(完整版)双星三星四星问题
双星模型、三星模型、四星模型一、双星问题1.模型构建：在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做角速度、周期相同的匀速圆周运动的恒星称为双星。
2．模型条件： (1)两颗星彼此相距较近。
(2)两颗星靠相互之间的万有引力提供向心力做匀速圆周运动。
(3)两颗星绕同一圆心做圆周运动。
3．模型特点: (1)“向心力等大反向”——两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供。
(2)“周期、角速度相同”——两颗恒星做匀速圆周运动的周期、角速度相等。
(3)三个反比关系：m1r1＝m2r2；m1v1＝m2v2；m1a1＝m2a2推导：根据两球的向心力大小相等可得，m1ω2r1＝m2ω2r2，即m1r1＝m2r2；等式m1r1＝m2r2两边同乘以角速度ω，得m1r1ω＝m2r2ω，即m1v1＝m2v2；由m1ω2r1＝m2ω2r2直接可得，m1a1＝m2a2。
(4)巧妙求质量和：Gm1m2L2＝m1ω2r1①Gm1m2L2＝m2ω2r2②由①＋②得：G m1＋m2L2＝ω2L ∴m1＋m2＝ω2L3G4. 解答双星问题应注意“两等”“两不等”(1)“两等”: ①它们的角速度相等。
②双星做匀速圆周运动向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等。
(2)“两不等”:①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离。
②由m1ω2r1＝m2ω2r2知由于m1与m2一般不相等，故r1与r2一般也不相等。
二、多星模型(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．(2)三星模型：①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)．②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．(3)四星模型：①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙)．②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．三、卫星的追及相遇问题1、某星体的两颗卫星从相距最近到再次相距最近遵从的规律：内轨道卫星所转过的圆心角与外轨道卫星所转过的圆心角之差为2π的整数倍。
解析版-2020年高考物理二轮专项训练万有引力与航天双星及多星系统的分析计算
绝密★启用前高考物理-万有引力与航天双星及多星系统的分析计算【类型一】双星系统模型1.宇宙中存在一些离其他恒星较远的两颗星组成的双星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．已知双星系统中星体1的质量为m，星体2的质量为2m，两星体相距为L，同时绕它们连线上某点做匀速圆周运动，引力常量为G．求该双星系统运动的周期．【答案】双星系统运动的周期为2πL．【解析】双星系统围绕两星体间连线上的某点做匀速圆周运动，设该点距星体1为R，距星体2 为r，对星体1，有①；对星体2，有②；根据题意有R+r=L③；由以上各式解得T=2πL。
2.如下图，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A 和B两者中心之间的距离为L。
已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧。
引力常数为G。
（1）求两星球做圆周运动的周期：（2）在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期为。
但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为。
已知地球和月球的质量分别为和。
求与两者平方之比。
（结果保留3位小数）【答案】（1）（2）【解析】（1）A和B绕O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A和B的向心力大小相等，且A和B和O始终共线，说明A和B有相同的角速度和周期，因此有：①，r+R=L②，联立解得：③，④，对A根据牛顿第二定律和万有引力定律得：⑤，解得：⑥；（2）将地月看成双星，由（1）得⑦，将月球看作绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得：⑧，解得：⑨，所以两种周期的平方比值为：⑩．3.如图所示，双星系统中的星球A、B都可视为质点，A、B绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，A、B之间距离不变，引力常量为G，观测到A的速率为v、运行周期为T，A、B的质量分别为m1、m2.(1)求B的周期和速率．(2)A受B的引力FA可等效为位于O点处质量为m′的星体对它的引力，试求m′.(用m1、m2表示)【答案】(1)T(2)【解析】(1)设A、B的轨道半径分别为r1、r2，它们做圆周运动的周期T、角速度ω都相同，根据牛顿第二定律有FA＝m1ω2r1，FB＝m2ω2r2，即＝.故B的周期和速率分别为：TB＝TA＝T，vB＝ωr2＝ω＝.(2)A、B之间的距离r＝r1＋r2＝r1，根据万有引力定律有FA＝G＝G，所以m′＝.4.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX－3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成．两星视为质点，不考虑其他天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示．引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T.(1)可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m′的星体(视为质点)对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求m′(用m1、m2表示)；(2)求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式．【答案】(1)m′＝(2)＝【解析】(1)设A、B的圆轨道半径分别为r1、r2，角速度均为ω由双星所受向心力大小相等，可得m1ω2r1＝m2ω2r2设A、B之间的距离为L，又L＝r1＋r2由上述各式得L＝r1①由万有引力定律得双星间的引力F＝G将①式代入上式得F＝G②由题意，将此引力视为O点处质量为m′的星体对可见星A的引力，则有F＝G③比较②③可得m′＝④(2)对可见星A，有G＝m1⑤可见星A的轨道半径r1＝⑥由④⑤⑥式解得＝.5.天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。
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双星模型、三星模型、四星模型专练1、天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。
双星系统在银河系中很普遍。
利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。
已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T,两颗恒星之间的距离为r,试推算这个双星系统的总质量。
（引力常量为G)2、神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体,探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时,发现了LMＣX３双星系统，它由可见星A和不可见的暗星Ｂ构成，两星视为质点，不考虑其他天体的影响.A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动,它们之间的距离保持不变，如图4－2所示．引力常量为Ｇ，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期Ｔ.（1)可见星A所受暗星B的引力Ｆa可等效为位于O点处质量为m′的星体(视为质点）对它的引力,设A和B的质量分别为m1、ｍ2,试求m′(用m1、m２表示).（２)求暗星B的质量m２与可见星A的速率v、运行周期Ｔ和质量m1之间的关系式；(3)恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量ｍs的2倍，它将有可能成为黑洞.若可见星A的速率ｖ=2.７×1０５m/s,运行周期T＝４.７π×104ｓ,质量m1=6mｓ,试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗? (G＝6.67×10-11 N·m2/kg2，ｍs=２.0×１03０kg）3、天体运动中,将两颗彼此相距较近的行星称为双星，它们在万有引力作用下间距始终保持不变,并沿半径不同的同心轨道作匀速园周运动,设双星间距为L,质量分别为M1、M2,试计算（1）双星的轨道半径(2）双星运动的周期。
４、如右图，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕Ｏ点做匀速周运动，星球A和B两者中心之间距离为Ｌ。
已知A、B的中心和O三点始终共线,A和B分别在O的两侧。
引力常数为Ｇ。
⑴求两星球做圆周运动的周期。
⑵在地月系统中,若忽略其它星球的影响,可以将月球和地球看成上述星球A和Ｂ，月球绕其轨道中心运行为的周期记为T１。
但在近似处理问题时,常常认为月球是绕地心做圆周运动的,这样算得的运行周期Ｔ2。
已知地球和月球的质量分别为5.98×10２4ｋg 和７.35 ×1022kg 。
求T2与T１两者平方之比。
（结果保留３位小数)5、宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式:一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上,并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行.设每个星体的质量均为m．（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期.（2)假设两种形式下星体的运动周期相同,第二种形式下星体之间的距离应为多少?6、宇宙中存在由质量相等的四颗星组成的四星系统，四星系统离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用．已观测到稳定的四星系统存在两种基本的构成形式:一种是四颗星稳定地分布在边长为a的正方形的四个顶点上，均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，其运动周期为；另一种形式是有三颗星位于边长为a的等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，其运动周期为,而第四颗星刚好位于三角形的中心不动.试求两种形式下,星体运动的周期之比12TT.７、宇宙中存在一些离其它恒星很远的四颗恒星组成的四星系统,通常可忽略其它星体对它们的引力作用,稳定的四星系统存在多种形式,其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动；另一种四颗恒星始终位于同一直线上，均围绕中点O做匀速圆周运动.已知万有引力常量为G，求：（1）已知第一种形式中的每颗恒星质量均为ｍ,正方形边长为L，求其中一颗恒星受到的合力;(2)已知第二种形式中的两外侧恒星质量均为m、两内侧恒星质量均为M，四颗恒星始终位于同一直线,且相邻恒星之间距离相等.求内侧恒星质量M与外侧恒星质量m的比值Mm。
答案１、解、设两颗恒星的质量分别为m１、m2，做圆周运动的半径分别为r1、r2，角速度分别为ω1、ω２。
根据题意有21ωω=①rrr=+21②根据万有引力定律和牛顿定律,有G 1211221r w m rmm =③ G 1221221r w m rm m =④ 联立以上各式解得2121m m rm r +=⑤根据解速度与周期的关系知Tπωω221==⑥ 联立③⑤⑥式解得322214r GT m m π=+2、解析:设A 、B 的圆轨道半径分别为，由题意知,A 、Ｂ做匀速圆周运动的角速度相同，设其为。
由牛顿运动定律,有121r m F A ω=,222r m F B ω=,B A F F = 设A 、B 间距离为,则21r r r += 由以上各式解得1221r m m m r +=由万有引力定律，有221r mm G F A =，代入得21221321)(r m m m m G F A += 令211r m m GF A '=,通过比较得22132)(m m m m +=' （2)由牛顿第二定律，有121221r v m rm m G =而可见星A 的轨道半径π21vT r = 将代入上式解得G Tv m m m π2)(322132=+ (３）将s m m 61=代入上式得G Tv m m m s π2)6(32232=+ 代入数据得s s m m m m 5.3)26(232=+ 设)0(2>=n nm m s ,将其代入上式得s s s m m nnm m m 5.3)16(}6(2232=+=+ s s s m m nnm m m 5.3)16(}6(2232=+=+ 可见,2232)6(m m m s +的值随的增大而增大，试令2=n ，得s s s m m m nn 4.3125.0)16(2<=+可见,若使以上等式成立，则必大于2，即暗星B 的质量s m 必大于s m 2,由此可得出结论：暗星Ｂ有可能是黑洞。
．3、解析:双星绕两者连线上某点做匀速圆周运动,即：222121221L M L M LM M Gωω==---－--－--① ..L L L =+21-------② 由以上两式可得:L M M M L 2121+=,L M M M L 2122+=又由12212214L TM L M M G π=.--－---－---③ 得：)(221M M G L L T +=4、⑴A 和B 绕O 做匀速圆周运动,它们之间的万有引力提供向心力,则A 和B 的向心力相等。
且A 和B 和O 始终共线,说明A 和B 有相同的角速度和周期。
因此有R M r m 22ωω=，L R r =+，连立解得L Mm m R +=,L M m Mr +=对A 根据牛顿第二定律和万有引力定律得L m M MT m L GMm +=22)2(π化简得 )(23m M G L T +=π⑵将地月看成双星,由⑴得)(231m M G LT +=π将月球看作绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得L T m LGMm 22)2(π=化简得 GML T 322π=所以两种周期的平方比值为01.11098.51035.71098.5)(242224212=⨯⨯+⨯=+=M M m T T 5、解析 （1)对于第一种运动情况,以某个运动星体为研究对象,根据牛顿第二定律和万有引力定律有:F １＝22222)2(R Gm F RGm =F 1＋Ｆ2=mv 2/R 运动星体的线速度:v =RGmR25 周期为T,则有T=vRπ2 T=4πGmR 53(2)设第二种形式星体之间的距离为r,则三个星体做圆周运动的半径为 R ′＝︒30cos 2/r 由于星体做圆周运动所需要的向心力靠其它两个星体的万有引力的合力提供,由力的合成和牛顿运动定律有:F 合＝222r Gm cos30°Ｆ合=m 22π4T R ′所以r ＝31)512(Ｒ６、对三绕一模式,三颗绕行星轨道半径均为a ,所受合力等于向心力,因此有222222142(3)m +G =m a a T a π⋅︒① ﻩﻩ解得3212(3-3)a T π②ﻩ对正方形模式,四星的轨道半径均为22a ,同理有 2222222422cos 452(2)m G a a T a π⋅︒③ 图4解得23224(42)7a T =Gmπ④故12(42)(33)4T --=T 7、解:（1)对其中任意一颗恒星，它受到的合力为222(2)mm F G G L L =合22(221)2Gm L = (2）设相邻两颗恒行间距为a ,四颗星总位于同一直线，即四颗恒星运动的角速度ω相同，由万有引力定律和牛顿第二定律,对内侧星M 有2222(2)2MM Mm Mm a GG G M a a a ω+-=对外侧星m 有22223(2)(3)2Mm Mm mm a GG G m a a a ω++= 解得:85:63M m =。