三水平试验方差分析
方差分析(包括三因素)讲解
2、CLASS 变量表；
CLASS必须的MODEL之前。
3、MODEL 因变量表=效应；
输出因变量均数，对主效应均数间的检
4、MEANS 效应[/选择项]；
验。
5、ALPHA=p 显著性水平（缺省值为0.05）
是指因变量与自变量效应，模型如下：
1、主效应模型 MODEL y=a b c; (a b c是主效应，y是因变量）
计判断，得出结论。
5
方差分析的基本思想：把全部数据关于总均值的离差平方和 分解成几部分，每一部分表示某因素诸水平交互作用所产生 的效应，将各部分均方与误差均方相比较，从而确认或否认 某些因素或交互作用的重要性。
用公式概括为：
各因素引起
由个体差异 引起（误差）
总变异=组间变异+组内变异
种类：常用方差分析法有以下4种 1、完全随机设计资料的方差分析（单因素方差分析） 2、随机区组设计资料的方差分析（二因素方差分析） 3、拉丁方设计资料的方差分析（三因素方差分析） 4、R*C析因设计资料的方差分析（有交互因素方差分析）
3
第一节 概述
因素（因子）—— 可以控制的试验条件 因素的水平 —— 因素所处的状态或等级 单（双）因素方差分析——讨论一个（两个） 因素对试验结果有没有显著影响。
4
例如：某厂对某种晴棉漂白工艺中酸液浓度（g/k）进 行试验，以观察酸液浓度对汗布冲击强力有无显著影 响。
冲击强力 序号
1
浓度
2 3 4 56
计算出F值：
QA
4217.3
(3 1) 2 28.38
QE
1114.7
(3(6 1))
5
15
列表：
方差来源 因素A 试验误差 总误差
正交实验的设计(四因素三水平)
正交设计就是从选优区全面试验点（水平 组合）中挑选出有代表性的部分试验点（水平 组合）来进行试验。图10-1中标有试验号的九 个“(·)”，就是利用正交表L9(34)从27个试验点 中挑选出来的9个试验点。即：
(1)A1B1C1 (4)A1B2C2 (7)A1B3C3
(2)A2B1C2 (5)A2B2C3 (8)A2B3C1
全面试验：可以分析各因素的效应 ，交互作用，也可 选出最优水平组合。但全面试验包含的水平组合数较多， 工作量大 ，在有些情况下无法完成 。
若试验的主要目的是寻求最优水平组合，则 可利用 正交表来设计安排试验。
正交试验设计的基本特点是：用部分试验 来代替全面试验，通过对部分试验结果的分析， 了解全面试验的情况。
正交表的三个基本性质中，正 交性是核心，是基础，代表性 和综合可比性是正交性的必然 结果
1.4 正交表的类别 1、等水平正交表 各列水平数相同的正交表
称为等水平正交表。如L4(23)、L8(27)、L12(211)等各列 中的水平为2，称为2水平正交表；L9(34)、L27(313)等 各列水平为3，称为3水平 算算
Kk 值值
计 算 极 差
R
绘 制 因 素 指 标 趋
势
图
计算各列偏差平方和、 自由度
列方差分析表，
进行F 检验
优水平 优组合
因素主次顺序
结论
分析检验结果， 写出结论
实例：为提高山楂原料的利用率，研究酶法液化工艺 制造山楂原汁，拟通过正交试验来寻找酶法液化的最 佳工艺条件。
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1 正交试验设计的概念及原理
1.1 正交试验设计的基本概念
正交试验设计是利用正交表来安排与分
方差分析简介
方差分析简介1. 引言方差分析（analysis of variance，简称ANOV A）是一种假设检验方法，即基本思想可概述为：把全部数据的总方差分解成几部分，每一部分表示某一影响因素或各影响因素之间的交互作用所产生的效应，将各部分方差与随机误差的方差相比较,依据F分布作出统计推断，从而确定各因素或交互作用的效应是否显著。
因为分析是通过计算方差的估计值进行的，所以称为方差分析。
方差分析的主要目标是检验均值间的差别是否在统计意义上显著。
如果只比较两个均值，事实上方差分析的结果和t检验完全相同。
只所以很多情况下采用方差分析，是因为它具有如下两个优点：（1）方差分析可以在一次分析中同时考察多个因素的显著性，比t检验所需的观测值少；（2）方差分析可以考察多个因素的交互作用。
方差分析的缺点是条件有些苛刻，需要满足如下条件：（1）各样本是相互独立的；（2）各样本数据来自正态总体（正态性：normality）；（3）各处理组总体方差相等（方差齐性：homogeneity of variance）。
因此在作方差分析之前，要作正态性检验和方差齐性检验，如不满足上述要求，可考虑作变量变换。
常用的变量变换方法有平方根变换，平方根反正弦变换、对数变换及倒数变换等。
方差分析在医药、制造业、农业等领域有重要应用，多用于试验优化和效果分析中。
2. 单因素方差分析2.1 基本概念（1）试验指标：在一项试验中，用来衡量试验效果的特征量称为试验指标，有时简称指标，也称试验结果，通常用y表示。
它类似于数学中的因变量或目标函数。
试验指标用数量表示称为定量指标，如速度、温度、压力、重量、尺寸、寿命、硬度、强度、产量和成本等。
不能直接用数量表示的指标称为定性指标。
如颜色，人的性别等。
定性指标也可以转化为定量指标，方法是用不同的数表示不同的指标值。
（2）试验因素：试验中，凡对试验指标可能产生影响的原因都称为因素(factor)，也称因子或元，类似于数学中的自变量。
方差分析
第7章方差分析摘要：多组资料均数比较一般采用方差分析的方法，SAS中方差分析的功能非常全面，能实现方差分析功能的过程有ANOV A过程和GLM过程。
对于两个平均数的假设测验，一般采用t测验来完成，对于多个平均数的假设测验，若采用t测验两两进行，不仅非常麻烦，而且容易犯第一类错误。
方差或称均方，即标准差的平方，它是一个表示变异程度的量。
在一项试验或调查中往往存在着许多种影响生物性状变异的因素，这些因素有较重要的，也有较次要的。
方差分析就是将总变异分裂为各个因素的相应变异，作出其数量估计，从而发现各个因素在变异中所占的重要程度；而且除了可控制因素所引起的变异后，其剩余变异又可提供试验误差的准确而无偏的估计，作为统计假设测验的依据。
当试验结果受到多个因素的影响，而且也受到每个因素的各水平的影响时，为从数量上反映各因素以及各因素诸水平对试验结果的影响，可使用方差分析的方法。
SAS系统用于进行方差分析的过程主要有ANOV A过程和GLM过程，对于均衡数据的分析一般采用ANOV A过程，对于非均衡数据的分析一般采用GLM过程。
方差分析和协方差分析在SAS系统中由SAS/STAT模块来完成，其中我们常用的有ANOV A过程和GLM过程。
前者运算速度较快，但功能较为有限；后者运算速度较慢，但功能强大，我们做协方差分析时就要用到GLM过程。
本章将首先介绍方差分析所用数据集的建立技巧，然后重点介绍这两个程序步。
§7.1 方差分析概述一、方差分析的应用场合、基本思想和前提条件1．应用场合当影响因素是定性变量（一般称为分组变量或原因变量），观测结果是定量变量（一般称为结果变量或反应变量），常用的数据处理方法是对均数或均值向量进行假设检验。
若只有一个原因变量，而且其水平数k≤2，一元时常用U检验、t检验、秩和检验，多元时用多元检验（T2检验或wilks’^检验）；若原因变量的水平数k≥3或原因变量的个数≥2，一元时常用下检验，也叫一元方差分析（简写成ANOV A）或非参数检验，多元时用多元方差分析（简写成MANOV A，其中最常用的是Wilks’^检验）。
三因素三水平正交表
三因素三水平正交表三因素三水平正交表1. 引言在实验设计中，正交表是一种重要的工具，用于帮助研究人员系统地设计和分析实验。
三因素三水平正交表是一种常用的正交设计，适用于同时研究三个因素对实验结果的影响。
本文将深入介绍三因素三水平正交表的概念、应用和分析方法，并分享本人对该设计方法的观点和理解。
2. 三因素三水平正交表的概念三因素三水平正交表是一种设计矩阵，用于确定三个因素的水平组合。
这种设计方法的特点是各个水平之间相互正交，即它们之间的相互作用效应被控制在最小程度上。
正交表能够帮助研究人员实现对实验因素的均衡和有效控制，提高实验结论的可靠性和稳定性。
3. 三因素三水平正交表的应用三因素三水平正交表广泛应用于各个领域的实验研究中。
在材料科学领域，研究人员可以使用这种设计方法来研究不同材料成分、工艺参数和环境条件对材料性质的影响。
在农学领域，研究人员可以利用三因素三水平正交表来探究不同施肥方案、种植密度和灌溉水量对作物产量的影响。
在医学研究中，正交表可以用于研究药物剂量、治疗时间和患者芳龄对治疗效果的影响。
4. 三因素三水平正交表的分析方法对于三因素三水平正交表的分析，通常采用方差分析方法。
研究人员首先计算不同因素之间的平方和，并进行方差分析，以确定各个因素的显著性水平。
通过计算F值和p值，可以确定每个因素的主效应和交互效应是否显著。
研究人员根据分析结果可以得出结论，并进一步对实验因素进行优化和调整。
5. 我的观点和理解在我看来，三因素三水平正交表是一种非常有用的设计工具，可以帮助研究人员系统地研究多个因素对实验结果的影响。
通过合理设计正交表，可以减少实验中因素相互影响的干扰，更加准确地评估因素对实验结果的贡献。
正交表还可以提供实验结果的响应曲面，帮助研究人员更好地理解因素之间的关系。
总结本文深入探讨了三因素三水平正交表的概念、应用和分析方法，并分享了本人对该设计方法的观点和理解。
三因素三水平正交表是一种重要的实验设计工具，可以帮助研究人员系统地研究多个因素对实验结果的影响。
常用三水平三因素正交试验设计[11页]
![常用三水平三因素正交试验设计[11页]](https://img.taocdn.com/s3/m/c24c2173a9956bec0975f46527d3240c8447a1b6.png)
常用三水平三因素正交试验设计[11页]
一、概述
三水平三因素正交试验设计是一种常用的试验设计方法，它可以在较少的试验次数内
得到较为全面和可靠的试验结果。
本文将介绍三水平三因素正交试验设计的基本概念、试
验设计流程和分析方法，希望对试验设计感兴趣的读者有所帮助。
二、基本概念
1. 因素
在试验设计中，因素指可以影响试验结果的各种变量，例如：温度、时间、压力、浓
度等等。
在三水平三因素正交试验设计中，通常会选取三个主要因素，并对每个因素设定
三个不同水平，共计九组试验。
2. 水平
3. 因素水平组合
在试验设计中，将不同因素和不同水平进行组合，得到的各种组合即为因素水平组合。
在三水平三因素正交试验设计中，共计有三个因素、每个因素有三个水平，因此共计有27种因素水平组合。
三、试验设计流程
1. 确定试验目的
在进行试验设计之前，首先需要明确试验目的，以便选取合适的因素和水平。
根据试验目的选取适当的因素和水平。
3. 构建试验设计表
根据选取的因素和水平，构建试验设计表。
在三水平三因素正交试验设计中，试验设
计表通常为一个3^3的矩阵，其中每一行代表一个因素水平组合。
4. 进行试验
按照试验设计表进行实验，记录实验数据。
5. 进行数据分析
对实验数据进行统计分析，得出试验结果。
四、数据分析方法
1. 方差分析法
方差分析法是一种常用的数据分析方法，它可以通过比较各组数据之间的方差来判断不同因素和水平对试验结果的影响程度。
五、总结。
三水平试验方差分析
4
0.285
因素A高度显著，因素B显著，因素C不显著。 因素主次顺序A-B-C。
（3）优化工艺条件的确定
本试验指标越大越好。对因素A、B分析，确定优水 平为A3、B1；因素C的水平改变对试验结果几乎无影响，
从经济角度考虑，选C1。优水平组合为A3B1C1。即温度
为58℃，pH值为6.5，加酶量为2.0%。
i 1 9
S e S S A S B S C 116 .2
列方差分析表如下：
最佳条件的选择： 对显著因子应取最好的水平，对不显著因子的水平可以 任意选取；在实际中通常从降低成本操作方便等角度加 以选择，上面的例子中对因子A与B应选择A2B2，因子C 可以任选，譬如为节约材料可选择C1
S j Qj P
T 2 65.58 2 P 477 .86 a 9
3 2 2 s A ( y ji y 2 y j2 j3 ) P 9 1 (248 .38 344 .84 976 .56) 477 .86 45.4 3
同理，SB=6.49，SC=0.31，Se=0.83（空列）
最后计算总平方和，得出
Q yi2 536 .33
i 1
27
S Q P 536 .33 375 .13 161 .20 S e S S因交 S ( S A S B SC S A B S AC S BC ) 0.34
用公式计算自由度：
方差分析表：
因为SA×C和SB×C都很小，和误差项合并，作为误差项。 通过F值与临界值比较看出，因素A,B,C和交互作用A×B 对试验的影响都是显著的，从F值的大小看，因素C最显 著，以下依次为A，B，A×B
实验设计与数据分析-方差分析
（3）计算自由度（degree of freedom）
总自由度 ：dfT＝n－1 组间自由度 ：dfA ＝r－1 组内自由度 ： dfe ＝n－r
三者关系： dfT＝ dfA ＋dfe
（4）计算平均平方 均方＝偏差平方和除以对应的自由度
MSASSA/dfA
MSe SSe/dfe
2.1.3 Excel在单因素试验方差分析中的应用
利用Excel “分析工具库”中的“单因素方差分析”工具
2.2 双因素试验的方差分析
讨论两个因素对试验结果影响的显著性，又称“二 元方差分析”
2.2.1 双因素无重复试验的方差分析
（1）双因素无重复试验
（2）双因素无重复试验方差分析的基本步骤
MSB
SSB s 1
MSAB
(r
SSAB 1)(s1)
MSe
SSe rs(c 1)
⑤F检验
对有重复试验的双因素试验结果用F检验法进行分 析时，首先必须计算各个因素及两个因素之间的交互 作用所对应的F值。须注意的是，在F值的计算中， 不同的模型所对应的F值的计算方法不一样。模型根 据两个因素是随机因素还是固定因素决定。当两个因 素都是固定因素时，模型是固定模型；当两个因素都 是随机因素时，模型是随机模型；当两个因素中只有 一个因素为随机因素时，模型为混合模型。
分析第1列因素时，其它列暂不考虑，将其看做条件因因素素A。第3
水平3次重 复测定值
2.1 单因素试验的方差分析 （one-way analysis of variance）
2.1.1 单因素试验方差分析基本问题
（1）目的：检验一个因素对试验结果的影响是否显著性 （2）基本命题： 设某单因素A有r种水平：A1，A2，…，Ar，在每种水平
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yj32
976.56 360.62 a461.39 527.62
9
（1）计算
计算各列各水平的yjk值
计算各列各水平对应数据之和yj1、yj2、yj3及其平方yj12、 yj22、yj32。
计算各列偏差平方和及自由度 Sj bakb1y2jk1a(in1yi)2
Sj Qj P PT2 65.582 47.876 a9
（2）显著性检验
Se 0.830.415 fe 2
根据以上计算，进行显著性检验，列出方差分析表，结果见表
方差分析表
变异来源 平方和 自由度 均方
F值
Fa
显著性水平α
A
45.40
2
22.70 79.6 F0.05(2,4) =6.94
0.01
B
6.49
2
3.24 11.4 F0.01(2,4)=18.0
2
31
. 30
2
35
. 88
2)
376
. 29 ,
QC
1 9
( 6 . 27
2
35
. 21
2
59
. 16
2)
531
. 00 ,
Q ( A B )1
1 9
( 35
. 63
2
32
. 08
2
32
. 93
2)
375
. 89 ,
Q ( A B )2
1 9
( 34
. 30
2
31
. 73
2
34
. 61
2)
a
13
L27(313)交互列表
a
14
a
15
解：(选用正交表L27(313)
P 1 (100 . 64 ) 2 375 . 13 , 27
根据前面的公式作如下计算：Q A
1 ( 36 . 73 2 30 . 70 2 33 . 21 2 ) 377 9
. 17 ,
QB
1 9
( 33
. 46
QC
1 3
( 308025
273529
328329
) 303294
.3
S A Q A P 1421 .6
S B Q B P 5686 .9
S C Q C P 427 .6
9
S Q P
y
2 i
P
310519
302866
.78 7652 .2
i1
S e S S A S B S C 116 . 2 a
3
2
11.4
8
3
2
1
3
10.9
9
3
3
2
1
8.95
yj1
15.76 25.18 22.65 20.74
yj2
18.57 21.41 21.45 21.87 T65.58
yj3
31.25 18.99 21.48 22.97
yj12
248.38 634.03 513.02 430.15
yj22
344.84 458.39 460.10 478.30
sA93(y2jiy2j2y2j3)P 1(24.38834.84497.566)47.87645.4
3
同理，SB=6.49，SC=0.31，Se=0.83（空列）
a
10
自由度：fA＝fB＝fC＝fe＝3-1=2
计算方差
SA 45.4 22.7 fA 2
SB 6.493.23 fB 2
SC 0.310.155 fC 2
试验优化设计
吉林大学材料科学与工程学院 李欣
a
1
第二节 三水平正交试验方差分析
例 磁鼓电机是彩色录像机磁鼓组件的关键部件之一，按质量
要求其输出力矩应大于210g.cm。某生产厂过去这项指标的合 格率较低，从而希望通过试验找出好的条件，以提高磁鼓电机 的输出力矩。根据工程技术人员的经验，取试验因素和相应水 平如下表：
Q (B C )2
1 9
( 32
. 98
2
33
. 43
2
34
. 23
2)
375
. 22
a
16
由此得出
SAQAP2.04, SBQBP1.17, SCQCP15.857, SABS(AB)1 S(AB)2 Q(AB)1 Q(AB)2 2P1.32
类似地
SACQ(AC)1 Q(AC)2 2P0.28 SBCQ(BC)1 Q(BC)2 2P0.18
a
7
例：自溶酵母提取物是一种多用途食品配料。为探讨啤酒 酵母的最适自溶条件，安排三因素三水平正交试验。试验 指标为自溶液中蛋白质含量（％）。试验因素水平，试验 方案及结果分析见表。试对试验结果进行方差分析。
因素水平表
水平
1 2 3
温度（℃） A 50 55 58
试验因素
pH值 加酶量（％）
B
C
6.5
5
列方差分析表如下：
最佳条件的选择： 对显著因子应取最好的水平，对不显著因子的水平可以 任意选取；在实际中通常从降低成本操作方便等角度加 以选择，上面的例子中对因子A与B应选择A2B2，因子C 可以任选，譬如为节约材料可选择C1
a
6
验证试验：
对A2B2C1进行三次试验，结果为：234，240，220，平均 值为231.3. 此结果是满意的
2.0
7.0
2.4
7.5
2.8
a
8
表1 试验方案及结果分析表
处理号
A
B
C
空列
试验结果
yi
1
1（50） 1（6.5） 1（2.0） 1
6.25
2
1
2（7.0） 2（2.4） 2
4.97
3
1
3（7.5） 3（2.8
3
4.54
4
2（55） 1
2
3
7.53
5
2
2
3
1
5.54
6
2
3
1
2
5.5
7
3（58） 1
a
2
解：选用正交表L9(34)
表头设计：
试验计划与试验结果：
a
3
a
4
详细计算如下：
P 1 (1651 ) 2 302866 .78 9
Q
A
1 3
( 308025
352836
252004
) 304288
.3
1 Q B 3 ( 235225 430336 260100 ) 308553 .7
0.05
C△
0.31
2
0.
0.41
误差e△ 1.14
4
0.285
总和
53.03
a
11
因素A高度显著，因素B显著，因素C不显著。 因素主次顺序A-B-C。
（3）优化工艺条件的确定
本试验指标越大越好。对因素A、B分析，确定优水 平为A3、B1；因素C的水平改变对试验结果几乎无影响，
375
. 68 ,
Q ( A C )1
1 9
( 32
. 94
2
34
. 66
2
33
. 04
2)
375
. 33 ,
Q ( AC )2
1 9
( 34
. 21
2
33
. 13
2
33
. 30
2)
375
. 20 ,
Q ( B C )1
1 9
( 33
. 33
2
33
. 04
2
34
. 27
2)
375
. 22 ,
从经济角度考虑，选C1。优水平组合为A3B1C1。即温度为 58℃，pH值为6.5，加酶量为2.0%。
a
12
例 (有交互作用):
为提高某产品的产量，需要考虑3个因素：反应温度、反应压 力和溶液浓度。每个因素都取3个水平，具体数值见表。考虑 因素之间的所有一级交互作用，试进行方差分析，找出最好的 工艺条件。