单因素试验方差分析(试验数据处理)概论
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单因素试验的方差分析——概率论与数理统计(李长青版)
其次, 同一品种下数据表现出来的差异称为试验(随
机)误差, 这是由客观条件的偶然干扰造成, 与因素(品种) 无直接联系.
方差分析正是分析两类误差的有效工具.
本问题只考虑品种一种因素，故是单因素试验，即只有
一个因子，记为 A, 5个不同的品种就是该因子的5个不同 的水平，分别记为 A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , 由于同一品种在不 同的田块上的亩产量不同，故可以认为一个品种的亩产 量 就是一个母体，在方差分析中，总是假定各母体相互独 立地服从同方差的正态分布，即第 j 个品种的亩产量是 一个随机变量，它服从正态分布:
nj
ns , 称为总平均,
它是从 s 个总体中抽得的样本的样本均值.
用样本值 xij 与总平均
x 之间的偏差平方和来反映
种子品种代 号 (水平)
重复试验序号及作物实测产量 1 128 125 148 2 126 137 132 3 139 125 139 4 130 117 125 5 142 106 151 133 122 139
A1 A2
A3
这里试验的指标是作物产量, 作物是因素, 三种种 子品种代表三个不同的水平. 首先,形成数据差异的直接原因是种子的不同品 种.因此, 每个品种下产量的均值差异检验是我们的主 要任务.这种由因素(种子品种)造成的差异称为条件(系 统)误差.
H 0 : 1 2 s 0, H1 : 1 , 2 , , s 不全为零.
(二) 离差平方和分解 引入记号
nj
1 xj nj
s
x
i 1
ij
( j 1, 2,
, s) 水平Aj下的样本均值,
称为组内平均(或列平均)
25.单因素试验的方差分析
数学模型
j 与 2 均未知.
14
需要解决的问题
1.检验假设
H0 : 12 s , H1 : 1, 2 , , s不全相等.
2.估计未知参数1, 2 , , s , 2.
15
数学模型的等价形式
s
记n nj ,
j 1
1 n
s j 1
njj.
总平均
水平Aj的效 应, 表示水平 Aj下的总体 平均值与总 平均的差异.
i 1 nj
( Xij X• j )2
i 1
2
～ 2(nj 1).
23
又由于各 Xij 独立, 所以由 2 分布的可加性知
S E
2
～ 2
s
(nj
j 1
1),
即
S
E2～
2
(n
s),
s
其中n nj .
j1
根据 2 分布的性质可以得到，
SE 的自由度为n s; E(SE ) (n s) 2.
铝合金板的厚度
机器Ⅱ 0.257 0.253
机器Ⅲ 0.258 0.264
0.255 0.254
0.259 0.267
0.261
0.262
4
试验指标: 薄板的厚度 因素: 机器
水平:不同的三台机器是因素的三个不同的水平. 假定除机器这一因素外, 其他条件相同,
属于单因素试验. 试验目的: 考察各台机器所生产的薄板的厚度有 无显著的差异. 即考察机器这一因素对厚度有无 显著的影响. 结论: 如果厚度有显著差异， 表明机器这一因素对厚度的影响是显著的.
H0 : 1 23 ,
H1 : 1, 2 , 3不全相等.
进一步假设各总体均为正态变量, 且各总体的
生物统计第三节单因素试验资料的方差分析
C T / N 460.5 / 25 8482.41
2
2
上一张 下一张 主 页
退 出
SST x C
2
ij
(21.5 2 19.5 2 17.0 2 16.0 2 ) 8482 . 41
8567 . 75 8482 . 41
Байду номын сангаас85.34
MSE
P
⑥ 列出方差分析表
df
3、确定P值、下结论
•从上表得F=14.32，查附表5（方差分析界值表，
单侧），自由度相同时，F界值越大，P值越小。
因F0.01，2，27= 5.49；故P<0.01，按α=0.05水准
拒绝H0，接受HA，可认为三个不同时期切痂对
ATP含量的影响有统计显著性差异。
方差分析的结果只能总的来说多组间是否
S，即
x
得各最小显著极差，所得结果列于表6-15。
上一张 下一张 主 页
退 出
表6-15 SSR值及LSR值
dfe
上一张 下一张 主 页
退 出
将表6-14中的差数与表6-15中相应的最小显
著极差比较并标记检验结果。
检验结果表明：5号品种母猪的平均窝产仔数
极显著高于2号品种母猪，显著高于4号和1号品
③ 计算总的变异及总的自由度
SST x C
2
ij
dfT kn 1 N 1
④ 计算组间变异及相应的自由度
SSB Ti 2 / ni C
df b k 1
⑤ 计算组内变异及相应的自由度
SSE SST SSB
df e dfT df b
N k
单因素方差分析_2023年学习资料
单因素试验的方差分析的数学模型-首先，我们作如下假设：-1.X~N4,o2,i=1,2…a具有方差齐性。.X1,X2X相互独立，从而各子样也相互独立。-由于同一水平下重复试验的个体差异是随机误差，-所以设：-X =4+,j=1,2,,r,i=1,2,,a.线性统计模型-其中8为试验误差，相互独立且服从正态分布-即ε ， N0,o2
引-例-集装箱的最大抗压程度一试验指标-集装箱类型—试验因素（唯一的一个）-四种类型集装箱（1,2,3,4 四个水平-因此，本例是一个四水平的单因素试验。-用X1,X2,X3,X分别表示四种集装箱的最大抗压程度，为四个总体。假设X1,X2,X3,X4相互独立，且服从-方差相同的正态分布，即X~N,σ 2i=1,2,3, -本例问题归结为检验假设H:1=2=3=4是否成立
单因素试验资料表-水啊-重复-试验结果-AA-1-Xu-X21-Xal-Xir-X2r-Xar-列和T。= X-T.-T2.-T.总和∑I.=T-=1-i=l-列平均X。=T./r-…Xa-X.=7-水平组内平均值 总平均值
例：五个水稻品种单位产量的观测值-重复-AAAAA-1-41-33-38-37-31-2-39-35-34 40-120-105-108-114-99-∑∑x=546-j=1-i=1j=1-35363833-15= 6.4-纵向个体间的差异称为随机误差（组内差异），由试验造-成；横向个体间的差异称为系统误差（组间差异）， 因素的-不同水平造成。
基本概念-试验指标—试验结果。-因素—影响一个试验的指标变化的原因。-可控因素—-在影响试验结果的众多因素 ，可人为-控制的因素。-水平一可控因素所处的各种不同的状态。每个水-平又称为试验的一个处理。-单因素试验如果在一项试验中只有一个因素改变，-其它的可控因素不变，则该类试验称为-单因素试验。
单因素方差分析
2.0
0.7
1.5
0.9
0.9
0.8
1.1
-0.3
-0.2
0.7
1.3
1.4
概率论与数理统计
3
❖ 前言 方差分析的思想
➢ 我们可以计算出各组的均值与方差，但是如何通过这些数据 结果来判断呢？这就需要进行方差分析.
➢ 在实际问题中, 影响一个数值型随机变量的因素一般会有很多, 例如影响农作物产量的因素就有种子品种，肥料、雨水等; 影 响化工产品的产出率的因素可能有原料成分、剂量、催化剂 、反应温度、机器设备和操作水平等；影响儿童识记效果的 因素有教学材料、教学方法等. 为了找出影响结果(效果)最显 著的因素, 并指出它们在什么状态下对结果最有利, 就要先做 试验, 方差分析就是对试验数据进行统计分析, 鉴别各个因素 对对我们要考察的指标（试验指标）影响程度的方法．
概率论与数理统计
7
❖ 1.单因素试验的方差 概念
➢ 推断三种治疗方案是否存在差异的问题，就是要辨别治 疗方案的差异主要是由随机误差造成的，还是由不同方 案造成的，这一问题可归结为三个总体是否有相同分布 的讨论．根据实际问题的情况，可认为血红蛋白的增加 值服从正态分布，且在安排试验时，除所关心的因素（ 这里指的是这里方案）外，其它试验条件总是尽可能做 到一致，这就使我们可以近似的认为每个总体的方差相 同，即xi～N(μi，σ2) i = 1，2，3．
概率论与数理统计
❖2. 单因素方差分析的数学模型
➢ 单因素方差分析问题的一般提法为： ➢ 因素A有m个水平A1, A2, …, Am, 在Ai水平下, 总体Xi～N(μi,
σ2), i = 1, 2, …, m．其中μi和σ2均未知, 但方差相等, 希望 对不同水平下总体的均值进行比较． 设xij表示第i个总体的第j个观测值(j = 1, 2, …, ni, i = 1, 2, …, m), 由于Xij～N(μi, σ2), i = 1, 2, …, m．单因素方差分 析模型常可表示为：
单因素试验的方差分析
其中
r n i
2r
2
S S A X iX n i ii
i 1j 1
i 1
组间平方和（系
如果H0 成立，则SSA 较小。 统离差平方和）
反映的是各水平平均值偏离总平均值的偏离程度。
其中
1 r ni
ni1 j1
ij,
ni
i ij
j1
r ni
2 r ni
2
由P106定理5.1可推得：
S S 2 T~2 n 1 ,S S 2 A ~2 r 1 ,S S 2 E ~2 n r
将 分别SS记2T 作, SS2A
,
SSE
2
的自d由fT度,dfA,dfE
则 FSSA dfA~Fr1,nr
SSE dfE
（，称记作均S S 方A 和d f）A M S A ,S S Ed fE M S E
j1
i1
同一水平 下观测值 之和
所以观测 值之和
例2 P195 2 以 A、B、C 三种饲料喂猪，得一个月后每猪 所增体重（单位：500g）于下表，试作方差分析。
饲料
增重
A
51
40
43
48
B
23
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ25
26
C
23
28
解：T1 51404348182, T2 232526 74, T3 232851
F0.012,610.92
1 5 .0 3
总和 1024.89 8
不同的饲料对猪的体重的影响极有统计意义。
例2的上机实现步骤
输入原始数 据列，并存 到A，B，C 列；
各水平数据放同一列
各水平数据 放在不同列
单因素试验的方差分析
=
2 2
=
2 s
2
;
(3)从每个总体中抽取的样本相互独立.
那么,要从已知数据中推断 s 个总体是否具有显著 的差异,就要比较各个总体的均值是否相等.设第 j 个总
体的均值为 j ,则要检验的假设为
H0 : 1 2 s , H1 : 1, 2 , , s不全相等.
（8-1）
单 因 素 A 具 有 s 个 水 平 A1, A2 , , As , 在 每 个 水 平
推进器 B
A1
B1
58.2 52.6
B2
56.2 41.2
B3
65.3 60.8
燃料 A
49.1 54.1 51.6 A2 42.8 50.5 48.4
60.1 70.9 39.2 A3 58.3 73.2 40.7
75.8 58.2 48.7 A4 71.5 51.0 41.4
这里的试验指标是射程,推进器和燃料是因素, 它们分别有 3 个、 4 个水平.这是一个双因素试验.试 验的目的在于考察在各种因素的各个水平下射程有 无显著的差异,即考察推进器和燃料这两个因素对射 程是否有显著的影响.
H1 : 1,2 ,
,
不全为0.
s
1.3 偏差平方和及其分解
定义 8.2 方和,其中
s nj
称 ST (Xij X )2 为样本的总偏差平 j 1 i1
称为样本的总均值.
1 s nj
X n j1 i1 X ij
s nj
定义 8.3 称 SE =
( Xij X .j )2 为样本的误差平方
差. SA 体现了各水平 Aj 的样本均值 X j 与总均值 X 之间
的差异,反映了样本之间的不同,它是由因素 A 的不同水 平效应的差异以及随机误差引起的.
单因素试验的方差分析
概率学与数理统计
单因素试验的方差分析
在方差分析中,我们将要考察的指标称为试验指标，影响 试验指标的条件称为因素(或因子),常用A、B、C, …来表示. 因 素可分为两类，一类是人们可以控制的；一类是人们不能控 制的。 例如，原料成分、反应温度、溶液浓度等是可以控制 的，而测量误差、气象条件等一般难以控制。 以下我们所说 的因素都是可控因素，因素所处的状态称为该因素的水平。 如果在一项试验中只有一个因素在改变，这样的试验称为单 因素试验，如果多于一个因素在改变，就称为多因素试验.
一、单因素试验方差分析的统计模型
例9.1 为求适应某地区的高产水稻的品种( 因素或因子) , 现选了 五个不同品种( 水平)的种子进行试验, 每一品种在四块试验田上进 行试种。假设这 20块土地的面积与其他条件基本相同, 观测到各块 土地上的产量( 单位: 千克) 见表9–1。
在这个问题目中, 要考察的指标是水稻的产量, 影响产量的因
分析的统计模型 .
方差分析的任务是对于模型(9. 1 ) , 检验 s 个总体 N ( 1 , 2) , …, N
( s , 2)的均值是否相等, 即检验假设
H0 : 1 2 s H1 : 1 , 2 , s , 不全相等。
（9.2）
为将问题( 9. 2 ) 写成便于讨论的形式, 采用记号
s nj
ST
(xij x)2
j1 i1
(9.3)
这里
x
1 n
s j 1
nj i1
xij ，
ST能反应全部试验数据之间的差异，又称
为总变差 Aj下的样本均值
x
j
1 n
nj i1
xij
(9.4)
注意到
(xij x )2 (xij x j x j x )2 =(xij x j )2 (x j x )2 2(xij x j )(x j x )
单因素试验的方差分析
在方差分析中,我们将要考察的指标称为试验指标，影响 试验指标的条件称为因素(或因子),常用A、B、C, …来表示. 因 素可分为两类，一类是人们可以控制的；一类是人们不能控 制的。 例如，原料成分、反应温度、溶液浓度等是可以控制 的，而测量误差、气象条件等一般难以控制。 以下我们所说 的因素都是可控因素，因素所处的状态称为该因素的水平。 如果在一项试验中只有一个因素在改变，这样的试验称为单 因素试验，如果多于一个因素在改变，就称为多因素试验.
一、单因素试验方差分析的统计模型
例9.1 为求适应某地区的高产水稻的品种( 因素或因子) , 现选了 五个不同品种( 水平)的种子进行试验, 每一品种在四块试验田上进 行试种。假设这 20块土地的面积与其他条件基本相同, 观测到各块 土地上的产量( 单位: 千克) 见表9–1。
在这个问题目中, 要考察的指标是水稻的产量, 影响产量的因
分析的统计模型 .
方差分析的任务是对于模型(9. 1 ) , 检验 s 个总体 N ( 1 , 2) , …, N
( s , 2)的均值是否相等, 即检验假设
H0 : 1 2 s H1 : 1 , 2 , s , 不全相等。
（9.2）
为将问题( 9. 2 ) 写成便于讨论的形式, 采用记号
s nj
ST
(xij x)2
j1 i1
(9.3)
这里
x
1 n
s j 1
nj i1
xij ，
ST能反应全部试验数据之间的差异，又称
为总变差 Aj下的样本均值
x
j
1 n
nj i1
xij
(9.4)
注意到
(xij x )2 (xij x j x j x )2 =(xij x j )2 (x j x )2 2(xij x j )(x j x )
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单因素试验的方差分析
一、单因素试验
二、单因素试验方差分析的基本步骤
(1)计算平均值 (2)计算离差平方和 (3)计算自由度 (4)计算平均平方 (5)F检验
三、单因素试验方差分析的简化计算
（一）单因素试验
பைடு நூலகம்
机器设备
反应时间
原料成分 原料剂量
化工产品的 数量和质量
溶液浓度 操作水平
反应温度
压力
方差分析（analysis of variance,简称ANOVA） ——根据试验的结果进行分析,鉴别各个有关因素 对试验结果的影响程度.
将SSA ,SSe分别除以dfA，dfe，得：
MS A SSA / dfA MSe SSe / dfe
称MSA 为组间均方（mean square between group）
称MSe为组内均方（mean square in group） 或误差的均方（error mean square）
（5）F检验
列平均Xi Ti ni X 1
（组内平均值）
X 2 ...
Xr
X
1 n
r i 1
ni X i
r
（总平均值）
其中诸 ni 可以不一样，n i1 ni
(2)计算离差平方和
总平方和： (sum of square for total )
r nj
SST
( X ij X )2
j1 i1
r nj
组间均方与组内均方之比F是一个统计量：
FA
组间均方 组间均方
MSA MSe
~
F (dfA, dfe)
FA服从自由度为（dfA，dfe）的F分布，对于给定
的 ，通过查表得临界值 F(dfA, dfe)。
当FA F(dfA, dfe) 时 ，则认为因素A对试
验结果有显著影响 ，否则没有显著影响。
为了把方差分析的过程更清楚，制作方差分析表： 单因素方差分析表
方差来源 平方和 自由度 均方 F值
显著性
因子A SSA
随机误差 SSe
总和
SST
r-1 SSA/r-1 MSA n-r SSe/ n-s MSe
n-1
若 FA F0.01，则称因素A对试验结果有非常显著的影响，
作标记
；若F0.05 FA F0.01 ，则称因素A对试验结果
** * 有显著的影响，作标记 ；若 FA F 0.05(dfA, dfe)，
3 nj
SST
( Xij X )2 （51- 34.11）2 （40 - 34.11）2 ...（28 - 34.11）2
j1 i1
1024 . 89 3
SSA n j ( X j X )2 （4 45.5 - 34.11）2 （3 24.6 - 34.11）2 （2 25.5 - 34.11）2 j 1
934.72
SSe SST SSA 1024 .89 934 .72 90.17 (3)计算自由度
dfT n 1 9 1 8
dfA r 1 3 1 2
dfe n r 9 - 3 6
解： (4)计算均方
MS A SSA / dfA 934 .72 / 2 467 .36
试验指标(experimental index)——试验中要考察的指标. 因 素(experimental factor)——影响试验指标的条件.
因
可控因素
素
不可控因素
水 平(level of factor)——因素所处的状态.
单因素试验——在一项试验中只有一个因素改变. 多因素试验——在一项试验中有多个因素在改变.
T3 23 28 51 X 3 25.5
T 182 7451 307
dfA r 1 2, dfE n r 9 3 6, X 307 / 9 34.11
dfT n 1 8
有3种水平，所以r=3
解： (1)计算平均值 X1 45.5 X 2 24.6 X 3 25.5 X 34.11 (2)计算离差平方和
SST所对应的自由度称为总自由度：
dfT n 1
SSA所对应的自由度称为组间自由度：
dfA r 1
SSe所对应的自由度称为组内自由度：
dfe n r
三个自由度之间存在的关系：
dfT dfA dfe
（4）计算平均平方
用离差平方和除以对应的自由度可得到平均平方 (mean square)，简称均方。
效应（组间）平方和：
SSA
(X j X )2
(sum of square for factor A)
j1 i1
说明：
s
n j ( X j X )2 j 1
SSA反映了在每个水平下的样本均值与样本总均 值的差异，它是由因子A 取不同水平引起的，所以，
称SA是因子A的效应（组间）平方和.
误差（组内）平方和：
例1 下表列出了随机选取的、用于计算器的四种 类型的电路的响应时间（以毫秒计）.
表1 电路的响应时间
类型Ⅰ 类型Ⅱ 类型Ⅲ 类型Ⅳ
19
20
22
21
20
33
18
27
16
18
15
22
18
19
26
试验指标:电路的响应时间 因素:电路类型
水平: 四种电路类型为因素的四个不同的水平 单因素试验
试验目的:考察电路类型这一因素对响应时间有无
(sum of square for error)
说明：
r nj
SSe
( X ij X j )2
j1 i1
SSe 表示在每个水平下的样本值与该水平下的样
本均值的差异，它是由随机误差引起的，所以称 SSe
是误差（组内）平方和.
平方和分解公式：SST SSA SSe
(3)计算自由度
仅考虑离差平方和是不够的，为此需考虑自由度 (degree of freedom)
显著的影响.（从哪些值来看是否有影响呢？）
(二) 单因素试验方差分析的基本步骤
(1)计算平均值
水平
重复 试验结果 A1 A2 ... Ar
1
X11 X 21 ... X r1
...
... ... ... ...
ni
X 1n1
X 2n2
... X rnr
ni
列和Ti Xij
（组内和）j1
r
T1 T2 ... Tr 总和 Ti i 1
则称因素A无显著影响，无标记。
例2 以 A、B、C 三种饲料喂猪，得一个月后每猪 所增体重（单位：500g）于下表，试作方差分析。
饲料
增重
A
51
40
43
48
B
23
25
26
C
23
28
解：T1 51 40 43 48 182, X 1 45.5
T2 23 25 26 74, X 2 24.6
一、单因素试验
二、单因素试验方差分析的基本步骤
(1)计算平均值 (2)计算离差平方和 (3)计算自由度 (4)计算平均平方 (5)F检验
三、单因素试验方差分析的简化计算
（一）单因素试验
பைடு நூலகம்
机器设备
反应时间
原料成分 原料剂量
化工产品的 数量和质量
溶液浓度 操作水平
反应温度
压力
方差分析（analysis of variance,简称ANOVA） ——根据试验的结果进行分析,鉴别各个有关因素 对试验结果的影响程度.
将SSA ,SSe分别除以dfA，dfe，得：
MS A SSA / dfA MSe SSe / dfe
称MSA 为组间均方（mean square between group）
称MSe为组内均方（mean square in group） 或误差的均方（error mean square）
（5）F检验
列平均Xi Ti ni X 1
（组内平均值）
X 2 ...
Xr
X
1 n
r i 1
ni X i
r
（总平均值）
其中诸 ni 可以不一样，n i1 ni
(2)计算离差平方和
总平方和： (sum of square for total )
r nj
SST
( X ij X )2
j1 i1
r nj
组间均方与组内均方之比F是一个统计量：
FA
组间均方 组间均方
MSA MSe
~
F (dfA, dfe)
FA服从自由度为（dfA，dfe）的F分布，对于给定
的 ，通过查表得临界值 F(dfA, dfe)。
当FA F(dfA, dfe) 时 ，则认为因素A对试
验结果有显著影响 ，否则没有显著影响。
为了把方差分析的过程更清楚，制作方差分析表： 单因素方差分析表
方差来源 平方和 自由度 均方 F值
显著性
因子A SSA
随机误差 SSe
总和
SST
r-1 SSA/r-1 MSA n-r SSe/ n-s MSe
n-1
若 FA F0.01，则称因素A对试验结果有非常显著的影响，
作标记
；若F0.05 FA F0.01 ，则称因素A对试验结果
** * 有显著的影响，作标记 ；若 FA F 0.05(dfA, dfe)，
3 nj
SST
( Xij X )2 （51- 34.11）2 （40 - 34.11）2 ...（28 - 34.11）2
j1 i1
1024 . 89 3
SSA n j ( X j X )2 （4 45.5 - 34.11）2 （3 24.6 - 34.11）2 （2 25.5 - 34.11）2 j 1
934.72
SSe SST SSA 1024 .89 934 .72 90.17 (3)计算自由度
dfT n 1 9 1 8
dfA r 1 3 1 2
dfe n r 9 - 3 6
解： (4)计算均方
MS A SSA / dfA 934 .72 / 2 467 .36
试验指标(experimental index)——试验中要考察的指标. 因 素(experimental factor)——影响试验指标的条件.
因
可控因素
素
不可控因素
水 平(level of factor)——因素所处的状态.
单因素试验——在一项试验中只有一个因素改变. 多因素试验——在一项试验中有多个因素在改变.
T3 23 28 51 X 3 25.5
T 182 7451 307
dfA r 1 2, dfE n r 9 3 6, X 307 / 9 34.11
dfT n 1 8
有3种水平，所以r=3
解： (1)计算平均值 X1 45.5 X 2 24.6 X 3 25.5 X 34.11 (2)计算离差平方和
SST所对应的自由度称为总自由度：
dfT n 1
SSA所对应的自由度称为组间自由度：
dfA r 1
SSe所对应的自由度称为组内自由度：
dfe n r
三个自由度之间存在的关系：
dfT dfA dfe
（4）计算平均平方
用离差平方和除以对应的自由度可得到平均平方 (mean square)，简称均方。
效应（组间）平方和：
SSA
(X j X )2
(sum of square for factor A)
j1 i1
说明：
s
n j ( X j X )2 j 1
SSA反映了在每个水平下的样本均值与样本总均 值的差异，它是由因子A 取不同水平引起的，所以，
称SA是因子A的效应（组间）平方和.
误差（组内）平方和：
例1 下表列出了随机选取的、用于计算器的四种 类型的电路的响应时间（以毫秒计）.
表1 电路的响应时间
类型Ⅰ 类型Ⅱ 类型Ⅲ 类型Ⅳ
19
20
22
21
20
33
18
27
16
18
15
22
18
19
26
试验指标:电路的响应时间 因素:电路类型
水平: 四种电路类型为因素的四个不同的水平 单因素试验
试验目的:考察电路类型这一因素对响应时间有无
(sum of square for error)
说明：
r nj
SSe
( X ij X j )2
j1 i1
SSe 表示在每个水平下的样本值与该水平下的样
本均值的差异，它是由随机误差引起的，所以称 SSe
是误差（组内）平方和.
平方和分解公式：SST SSA SSe
(3)计算自由度
仅考虑离差平方和是不够的，为此需考虑自由度 (degree of freedom)
显著的影响.（从哪些值来看是否有影响呢？）
(二) 单因素试验方差分析的基本步骤
(1)计算平均值
水平
重复 试验结果 A1 A2 ... Ar
1
X11 X 21 ... X r1
...
... ... ... ...
ni
X 1n1
X 2n2
... X rnr
ni
列和Ti Xij
（组内和）j1
r
T1 T2 ... Tr 总和 Ti i 1
则称因素A无显著影响，无标记。
例2 以 A、B、C 三种饲料喂猪，得一个月后每猪 所增体重（单位：500g）于下表，试作方差分析。
饲料
增重
A
51
40
43
48
B
23
25
26
C
23
28
解：T1 51 40 43 48 182, X 1 45.5
T2 23 25 26 74, X 2 24.6