正交试验的方差分析法
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3.3正交试验方差分析
A6 ＝
1（y1 3
y22
7
格式 8＝
13（K12
3 K32 2
y3）2 （y4 3y5
K 3 2）-
T2 9
1 2
y6）2 1（y7 3 1
y8
2y9）2 2 3
（y1yy62 y7 y8
9
...
y水9）平2（修3次正重项） 复测定值
9
3
3
2
1
y9
分析第1列因素时，其它列暂不考虑，将其看做条件因因素素A。第3
i
(6-2)
i i
(6-3)
则
xij i ij
(6-4)
其中 μ表示全试验观测值总体的平均数；
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偏差平方和
kn
SST
(xij x.. ) 2
因为
i1 j 1
k n
kn
(xij x..)2
(xi. x..) (xij xi.) 2
SST ＝ xi2－ i＝1
i＝1
n
n
SS
j
＝1 r
m i＝1
K
ij
（
－ 2
i＝1
x n
i
）2
（j ＝1，2，...，k）
试验总次数为n，每个因素水平数为
m个，每个水平作r次重复r＝n/m。
当m＝2时， SSj＝ n1（K1j - K2j）2（j＝1，2，...，k）
总自由度：
dfT＝n-1
i1 j1
i1 j1
k n
(xi. x..)2 2(xi. x..)(xij xi.) (xij xi.)2
(整理)正交试验结果的方差分析方法
正交试验结果的方差分析方法计算公式和项目试验指标的加和值=,试验指标的平均值与表4-13一样，第j列的(1) I j”水平所对应的试验指标的数值之和(2) II j——“ 2”水平所对应的试验指标的数值之和(3)……(4) k j——同一水平出现的次数。
等于试验的次数除以第j列的水平数.(5)I j/k j——“水平所对应的试验指标的平均”(6)II j/k j——“2”水平所对应的试验指标的平均值(7)……以上各项的计算方法，与“极差法”同，见4.1.7节(8)偏差平方和(4-1)(9) fj ——自由度.fj第j列的水平数－1.(10）Vj——方差.Vj =Sj/fj(4-2)（11）Ve——误差列的方差。
(4-3)（12）Fj——方差之比(4-4)（13）查F分布数值表（见附录6），做显著性检验。
显著性检验结果的具体表示方法与第3章相同。
（14）总的偏差平方和(4-5) （15）总的偏差平方和等于各列的偏差平方和之和。
即(4-6) 式中，m为正交表的列数。
若误差列由5个单列组成，则误差列的偏差平方和S e等于5个单列的偏差平方和之和,即：S e=S e1+S e2+S e3+S e4+S e5；也可用S e= S总－S’来计算，其中：S’为安排有因素或交互作用的各列的偏差平方和之和应引出的结论。
与极差法相比，方差分析方法可以多引出一个结论：各列对试验指标的影响是否显著，在什么水平上显著。
在数理统计上，这是一个很重要的问题。
显著性检验强调试验误差在分析每列对指标影响中所起的作用。
如果某列对指标的影响不显著，那么，讨论试验指标随它的变化趋势是毫无意义的。
因为在某列对指标的影响不显著时，即使从表中的数据可以看出该列水平变化时，对应的试验指标的数值也在以某种“规律”发生变化，但那很可能是由于实验误差所致，将它作为客观规律是不可靠的。
有了各列的显著性检验之后，最后应将影响不显著的交互作用列与原来的“误差列”合并起来，组成新的“误差列”，重新检验各列的显著性。
(整理)正交试验结果的方差分析方法
正交试验结果的方差分析方法计算公式和项目试验指标的加和值=,试验指标的平均值与表4-13一样，第j列的(1) I j”水平所对应的试验指标的数值之和(2) II j——“ 2”水平所对应的试验指标的数值之和(3)……(4) k j——同一水平出现的次数。
等于试验的次数除以第j列的水平数.(5)I j/k j——“水平所对应的试验指标的平均”(6)II j/k j——“2”水平所对应的试验指标的平均值(7)……以上各项的计算方法，与“极差法”同，见4.1.7节(8)偏差平方和(4-1)(9) fj ——自由度.fj第j列的水平数－1.(10）Vj——方差.Vj =Sj/fj(4-2)（11）Ve——误差列的方差。
(4-3)（12）Fj——方差之比(4-4)（13）查F分布数值表（见附录6），做显著性检验。
显著性检验结果的具体表示方法与第3章相同。
（14）总的偏差平方和(4-5) （15）总的偏差平方和等于各列的偏差平方和之和。
即(4-6) 式中，m为正交表的列数。
若误差列由5个单列组成，则误差列的偏差平方和S e等于5个单列的偏差平方和之和,即：S e=S e1+S e2+S e3+S e4+S e5；也可用S e= S总－S’来计算，其中：S’为安排有因素或交互作用的各列的偏差平方和之和应引出的结论。
与极差法相比，方差分析方法可以多引出一个结论：各列对试验指标的影响是否显著，在什么水平上显著。
在数理统计上，这是一个很重要的问题。
显著性检验强调试验误差在分析每列对指标影响中所起的作用。
如果某列对指标的影响不显著，那么，讨论试验指标随它的变化趋势是毫无意义的。
因为在某列对指标的影响不显著时，即使从表中的数据可以看出该列水平变化时，对应的试验指标的数值也在以某种“规律”发生变化，但那很可能是由于实验误差所致，将它作为客观规律是不可靠的。
有了各列的显著性检验之后，最后应将影响不显著的交互作用列与原来的“误差列”合并起来，组成新的“误差列”，重新检验各列的显著性。
第三章 正交试验设计(2)-正交试验数据方差分析和贡献率分析
Hubei Automotive Industries Institute
试验优化设计
主讲：刘建永
材 料 工 程 系 Department of Materials Engineering
第三章 正交试验设计
正交试验数据 方差分析与贡献率分析
正交试验结果的方差分析
1.离差平方和的计算
总离差平方和：
项目 因素A 因素B 因素C 误差 总和
平方和SS SSA SSB SSC SSE SST
自由度DF a－ 1 a－ 1 a－ 1 a－ 1 n－1
纯平方和 SSA－ fA×MSE SSB－ fB×MSE SSC－ fC×MSE fT×MSE SST
贡献率 ρA ρB ρC ρE
其中： 纯平方和＝ SS因－ f因×MSE 贡献率ρ因等于纯平方和与SST的比值 贡献率最大的几个因素是重要因素，与误差贡献率差不多的认为不 重要。
μ 3.2 的 1 − α 置信区间为： μ 3.2± t1−α / 2 ( f e′)σ / ne ˆ ˆ
′ ˆ 这里 σ = S e / f e′ ， ′ S e = S e + 不显著因子的平方和， f e′ = f e + 不显著因子的自由度，
ne = 试验次数 1 + 显著因子自由度之和
n e = 9 /( 1 + f A + f C ) = 9 / 5 = 1 . 8 ， ′ S e = S e + S B=132 ， f ′ = f + f =4 ，
y 31 54 38 53 49 42 57 62 64 T=450 yi2 =23484 ST=984
∑
方差分析表 把上述计算表中得到的平方和与自由度移至一张方差分 析表中继续进行计算。 例 3.3 的方差分析表 来源 平方和 S 自由度 f 均方和 MS 因子 A 因子 B 因子 C 误差 e T 618 114 234 18 984 2 2 2 2 8 309 57 117 9 F比 34.33 6.33 13.00
试验优化设计
主讲：刘建永
材 料 工 程 系 Department of Materials Engineering
第三章 正交试验设计
正交试验数据 方差分析与贡献率分析
正交试验结果的方差分析
1.离差平方和的计算
总离差平方和：
项目 因素A 因素B 因素C 误差 总和
平方和SS SSA SSB SSC SSE SST
自由度DF a－ 1 a－ 1 a－ 1 a－ 1 n－1
纯平方和 SSA－ fA×MSE SSB－ fB×MSE SSC－ fC×MSE fT×MSE SST
贡献率 ρA ρB ρC ρE
其中： 纯平方和＝ SS因－ f因×MSE 贡献率ρ因等于纯平方和与SST的比值 贡献率最大的几个因素是重要因素，与误差贡献率差不多的认为不 重要。
μ 3.2 的 1 − α 置信区间为： μ 3.2± t1−α / 2 ( f e′)σ / ne ˆ ˆ
′ ˆ 这里 σ = S e / f e′ ， ′ S e = S e + 不显著因子的平方和， f e′ = f e + 不显著因子的自由度，
ne = 试验次数 1 + 显著因子自由度之和
n e = 9 /( 1 + f A + f C ) = 9 / 5 = 1 . 8 ， ′ S e = S e + S B=132 ， f ′ = f + f =4 ，
y 31 54 38 53 49 42 57 62 64 T=450 yi2 =23484 ST=984
∑
方差分析表 把上述计算表中得到的平方和与自由度移至一张方差分 析表中继续进行计算。 例 3.3 的方差分析表 来源 平方和 S 自由度 f 均方和 MS 因子 A 因子 B 因子 C 误差 e T 618 114 234 18 984 2 2 2 2 8 309 57 117 9 F比 34.33 6.33 13.00
正交试验的方差分析法
C×D
B×D A×D
A
B A×B C A×C D A×D
C×D
B×D
B×C
A
B A×B C A×C D
E
D×E C×D C×E B×D B×E A×E A×B
B×C
(四) 列出试验方案
把正交表中安排原因旳各列(不包括欲考 察旳交互作用列)中旳每个数字依次换成该原 因旳实际水平，就得到一种正交试验方案。
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此例不考察交互作用，可将品种(A)、 密度(B)和施氮量 (C)依次安排在L9(34)旳第1、 2、3列上，第4 列 为空列，见表2-4。
表11-4 表头设计
列号 1 2 3 4 因素 A B C 空
原因 数 2 3
4
L9（34）表头设计
列
号
1
2
3
4
A A B×C1
C 3 1(3) 2(5) 3(8) 2(5) 3(8) 1(3) 3(8) 1(3) 2(5)
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第二节 正交试验资料旳方差分析
若各号试验处理都只有一种观察值，则称 之为单个观察值正交试验；
若各号试验处理都有两个或两个以上观察 值，则称之为有反复观察值正交试验。
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A原因是氮肥施用量，设A1、A2、A3 3个水平 ； B原因是磷肥施用量，设B1、B2、B3 3个水平 ； C原因是钾肥施用量，设C1、C2、C3 3个水平。 这是一种3原因每个原因3水平旳试验 ，各原因旳 水平之间全部可能旳组合有27种。
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假如进行全方面试验 ，能够分析各原因 旳效应 ，交互作用，也可选出最优水平组合。
正交试验方差分析
1（50） 1（6.5） 1（2.0） 1 1 2 2 2（7.0） 2（2.4） 3（7.5） 3（2.8 2 3 1 3 2 3
2（55） 1
3（58） 1
8பைடு நூலகம்
9 K1j
3
3 15.76
2
3 25.18
1
2 22.65
3
1 20.74
10.9
8.95
T 65.58
K2j
K3j K1j2 K2j2 K3j2
n
对上式做如下变换
SST ( X ij X ) 2 ( X ij X i. X i. X ) 2
i 1 j 1 i 1 j 1
r
n
r
n
( X ij X i. ) ( X i. X ) 2 (X ij X i. )( X i. X )
各式的物理意义
X
所有数据的平均值称为总平均 值 第i个水平的数据平均值称为组平均值 随机误差，又称为组内离差平方和
X i.
SSE 表示每一个数据与其组平均值的离差平方和，反映了实验中的
SS A
表示组平均值与总的平均值得离差平方和，反映了由于因素不同水平引 起的差异又称为组间离差平方和
再稍做整理
X 总和 2 2 SST ( X ij X ) ( X ij ) N i 1 j 1 i 1 j 1 X 总和 校正项CF N
2 2 i 1 j 1 r n i 1 j 1 r n i 1 j 1
r
n
r
n
r
n
( X ij X i. ) ( X i. X ) 2
2 i 1 j 1 i 1 j 1
卫生统计学第八章正交试验方差分析
REPORTING
WENKU DESIGN
正交试验设计定义与原理
正交试验设计定义
正交试验设计是研究多因素多水平的一种设计方法，它是根 据正交性从全面试验中挑选出部分有代表性的点进行试验， 这些有代表性的点具备了“均匀分散，齐整可比”的特点。
正交试验设计原理
正交试验设计是利用正交表来安排与分析多因素试验的一种 设计方法。它是由试验因素的全部水平组合中，挑选部分有 代表性的水平组合进行试验的，通过对这部分试验结果的分 析，了解全面试验的情况。
THANKS
感谢观看
REPORTINGΒιβλιοθήκη https://VS
正交表特点
每列中不同数字出现的次数相等；任意两 列中数字的排列方式齐全而且均衡。
正交试验设计步骤
挑因素，选水平
根据试验的目的和专业知识，挑选出与考察指标有关的因素。对选出的因素要分清主次，合理安排。 选取的水平数应根据实际情况而定，过少会导致结果不准确，过多则可能数据分布的规律性较差，代 表性差；
通过建立线性模型来描述各因素 与结果之间的关系，从而进行方 差分析和参数估计。
PART 03
正交试验方差分析步骤
REPORTING
WENKU DESIGN
数据整理与描述性统计
整理试验数据
按照试验因素和水平整理数据，列出试验指标的观察值。
计算总均值和总变异
计算所有观察值的总和、均值、离差平方和等描述性统计量。
选正交表，进行表头设计
根据确定的列数（C）与水平数（t）选择相应的正交表。选择的原则是首先满足列数，其次是水平数。若 有2个或2个以上正交表满足条件时则应选取行数最少的一个；
正交试验设计步骤
明确试验方案，进行试验；
WENKU DESIGN
正交试验设计定义与原理
正交试验设计定义
正交试验设计是研究多因素多水平的一种设计方法，它是根 据正交性从全面试验中挑选出部分有代表性的点进行试验， 这些有代表性的点具备了“均匀分散，齐整可比”的特点。
正交试验设计原理
正交试验设计是利用正交表来安排与分析多因素试验的一种 设计方法。它是由试验因素的全部水平组合中，挑选部分有 代表性的水平组合进行试验的，通过对这部分试验结果的分 析，了解全面试验的情况。
THANKS
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正交表特点
每列中不同数字出现的次数相等；任意两 列中数字的排列方式齐全而且均衡。
正交试验设计步骤
挑因素，选水平
根据试验的目的和专业知识，挑选出与考察指标有关的因素。对选出的因素要分清主次，合理安排。 选取的水平数应根据实际情况而定，过少会导致结果不准确，过多则可能数据分布的规律性较差，代 表性差；
通过建立线性模型来描述各因素 与结果之间的关系，从而进行方 差分析和参数估计。
PART 03
正交试验方差分析步骤
REPORTING
WENKU DESIGN
数据整理与描述性统计
整理试验数据
按照试验因素和水平整理数据，列出试验指标的观察值。
计算总均值和总变异
计算所有观察值的总和、均值、离差平方和等描述性统计量。
选正交表，进行表头设计
根据确定的列数（C）与水平数（t）选择相应的正交表。选择的原则是首先满足列数，其次是水平数。若 有2个或2个以上正交表满足条件时则应选取行数最少的一个；
正交试验设计步骤
明确试验方案，进行试验；
正交试验的方差分析
x 1 4
20 K 1
5 l 1
xkl
1 4
4 K 1
xk
4.2
• 依次求出Q、f、S2、F,与F表比较 2 Q1=10 (xi1 x )2 i 1 =10×[(3.65-4.2)2+(4.75-4.2)2]=6.05
• 其余Qj （j=2,3）同理可求
45
Qr
(xkl xk )2
产率
产率
﹪
-55
xK
50
-5
59
4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
56
1
58
3*
55
0
58
3
47
-8
52
-3
x = -5/8
(1)方差分析 • 依次求出Q、f、S2、F，与F表比较
第1列差方和：
2
Q1=4 (xi1 x )2 i 1 = 4{[3/4-(-5/8)]2+[(-2)-(-5/8)]2} = 121/8
• 其余Qj（j=2…7）同理可求
9-3-2 关于Qr的计算 一 表头留出空白列
其它的列若与空白列的Q值相近，加起来共同作 为Qr的估计值，可以提高方差分析检验的灵敏度(自 由度增大了)
二 无空白列
1 根据以往资料
若已知 2 ，可认为fr=∞，此时
F
Q因子 / f因子
2
，查表 Fα (f因子,∞)
2 选更大的正交表，从而留出空白列
1
2
2
1
1
2
2
1
2
2
1
2
1
1
2
3
2
-12
-12
-4
-5
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(一) 正交设计的基本概念
正 交 设 计 是利用正交表来安排多因素试
验、分析试验结果的一种设计方法。它从多因 素试验的全部水平组合中挑选部分有代表性的 水平组合进行试验，通过对这部分试验结果的 分析了解全面试验的情况 合。
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，找出最优水平组
例如， 研究氮、磷、钾肥施用量对某小麦品种产 量的影响： A因素是氮肥施用量，设A1、A2、A3 3个水平 ； B因素是磷肥施用量，设B1、B2、B3 3个水平 ； C因素是钾肥施用量，设C1、C2、C3 3个水平。 这是一个3因素每个因素3水平的试验 ，各因素的 水平之间全部可能的组合有27种。
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(三) 表头设计
表头设计就是把挑选出的因素和要考察 的交互作用分别排入正交表的表头适当的列 上。 在不考察交互作用时，各因素可随机安 排在各列上；若考察交互作用，就应按该正 交表的交互作用列表安排 各 因 素与交互作 用。
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此例不考察交互作用，可将品种(A)、
素
C 3 1(3) 2(5) 3(8) 2(5) 3(8) 1(3) 3(8) 1(3) 2(5)
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第二节 正交试验资料的方差分析
若各号试验处理都Biblioteka 有一个观测值，则称之为单个观测值正交试验；
若各号试验处理都有两个或两个以上观测
值，则称之为有重复观测值正交试验。
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因 水 1 2 3 平 品种 (A) 二九矮(A1) 高二矮(A2) 窄叶青 (A3) 密度 (B) 15(B1) 20(B2) 25(B3) 素 施氮量 (C) 3(C1) 5(C2) 8(C3)
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(二) 选用合适的正交表
根据因素、水平及需要考察的交互作用 的多少来选择合适的正交表。 选用正交表的原则是：既要能安排下试 验的全部因素(包括需要考查的交互作用)，又 要使部分水平组合数（处理数）尽可能地少。
稻优良品种(A)：二九矮、高二矮、窄叶青 ， 3 种密度(B)： 15、20、25（万苗/666.7m2）；3 种施氮量(C)： 3、5、8（kg/666.7m2），试采 用正交设计安排一个试验方案。
(一) 确定试验因素及其水平, 列出因素水 平表
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表11-3 因素水平表
各列中出现的最
大数字不完全相同的正交表称为 混合水平正 L8(41×24)表中有一列最大数字为4，有
4列最大数字为2。 也就是说该表可以安排1
个4水平因素和4个2水平因素。
L16(44×23)，L16(4×212)等都混合水平
正交表。
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三、正交设计方法
【例11· 某水稻栽培试验选择了3个水 1】
退 出
一、 单个观测值正交试验资料的方差分析
对【例11-1】用L9(34)安排试验方案后，
各号试验只进行一次，试验结果列于表2-6。试 对其进行方差分析。
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x1 8 9 5 3 7 6 4 2
表11-6 正交试验结果计算表
因 素 B (2) 1 2 3 1 C (3) 1 2 3 2 产量 340.0(x1) 422.5(x2) 439.0(x3) 360.0(x4) A (1) 1 1 1 2
验方案仅包含9个水平组合，就能反映试验方案
包含27个水平组合的全面试验的情况，找出最
佳的生产条件。
一、正交设计的基本原理
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表11-1
B1 B2 B3 B1 B2 B3 B1 B2 B3
33试验的全面试验方案
C1 A1B1C1 A1B2C1 A1B3C1 A2B1C1 A2B2C1 A2B3C1 A3B1C1 A3B2C1 A3B3C1 C2 A1B1C2 A1B2C2 A1B3C2 A2B1C2 A2B2C2 A2B3C2 A3B1C2 A3B2C2 A3B3C2 C3 A1B1C3 A1B2C3 A1B3C3 A2B1C3 A2B2C3 A2B3C3 A3B1C3 A3B2C3 A3B3C3
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表11-2
L8(27)正交表
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2水平正交表还有L4(23)、L16(215)等； (二) 正交表的特性 1、任一列中，不同数字出现的次数相同
3水平正交表有L9(34)、L27(313) 、…、 等。
例如L8(27)中不同数字只有1和2，它们各
出现4次；L9(34)中不同数字有1、2和3，它们
各出现3次 。
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退 出
2、任两列中，同一横行所组成的数字对出 现的次数相同
例如 L8(27)的任两列中(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)
各出现两次；L9(34)任两列中 (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)各出现1次。即 每个因素的一个水平与另一因素的各个水平互碰次数 相等，表明任意两列各个数字之间的搭配是均匀的。
A1
A2
A3
图11-1
3因素每个因素3水平试验点的均衡分布图
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退 出
正交设计就是从全面试验点（水平组合） 中挑选出有代表性的部分试验点（水平组合）
来进行试验。图1中标有‘ 的9个试验点。即：
’9个试验点，就
是利用正交表L9(34)从27个试验点中挑选出来 (1)A1B1C1 (2)A1B2C2 (3)A1B3C3
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退 出
一般情况下，试验因素的水平数应恰好 等于正交表记号中括号内的底数；因素的个 数（包括需要考查交互作用）应不大于正交 表记号中括号内的指数；各因素及交互作用 的自由度之和要小于所选 正交表 的 总 自由 度，以便估计试验误差。 若各因素及交互作用的自由度之和等于 所选正交表总自由度，则可采用有重复正交 试验来估计试验误差。
(4)A2B1C2 (5)A2B2C3 (6)A2B3C1
(7)A3B1C3 (8)A3B2C1 (9)A3B3C2
上一张 下一张 主 页 退 出
上述选择 ，保证了A因素的每个水平与B 因素 、 C 因 素的各个水平在试验中各搭配一 次。 从图1中可以看到，9个试验点分布是均衡 的 ，在立方体的每个平面上 有且仅有3个试验 点；每两个平面的交线上有且仅有1个试验点。 9个试验点均衡地分布于整个立方体内 ， 有很强的代表性，能够比较全面地反映全面试 验的基本情况。
因素数 2
3
1 A A B×C1 A B×C1 B×D1 C×D1
4
L8(27) 表头设计
因素数 3 1 A 2 B
4
4 5
A
A A D×E
B
B C×D B C×D
列 号 3 4 5 C A×B A×C C A×B A×C C×D B×D C A×B A×C B×D C A×B A×C C×E B×D B×E
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退 出
如果进行全面试验 ，可以分析各因素的 效应 ，交互作用，也可选出最优水平组合。 但全面试验包含的水平组合数较多，工
作量大 ，由于受试验场地、经费等限制而难
于实施 。
如果试验的主要目的是寻求最优水平组
合，则可利用正交设计来安排试验。
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正交设计的基本特点是：用部分试验来代
2、3列上，第4 列 为空列，见表2-4。 表11-4 表头设计 列 号 因 素 1 A 2 B 3 C
密度(B)和施氮量 (C)依次安排在L9(34)的第1、
4 空
L9（34）表头设计
列 号 2 B B A×C1 B A×C1 A×D1 C×D2 3 A×B1 C A×B1 C A×B1 A×D2 B×D2 4 A×B2 A×B2 A×C2 B×C2 D A×B2 A×C2 B×C2
(三) 正交表的类别 1、相同水平正交表 各列中出现的最大数
字相同的正交表称为相同水平正交表。
L4(23)、L8(27)、L12(211)等各列中最大数字 为2，称为两水平正交表； L9(34)、L27(313)等各列中最大数字为3，称 为3水平正交表。
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2、 混合水平正交表 交表。
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此例有3个3水平因素，若不考察交互作
用，则各因素自由度之和为因素个数× (水 平数-1) = 3 × (3-1) =6，小于L9(34)总自由度 9-1=8，故可以选用L9(34)； 若要考察交互作用，则应选用L27(313)， 此时所安排的试验方案实际上是全面试验方 案。
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用正交表安排的试验，具有均衡分散和整
齐可比的特点。 均衡分散，是指用正交表挑选出来的各因 素 水 平 组合在全部水平组合中的分布是均衡 的 。 由 图11-1可以看出，在立方体中 ，任一 平面内都包含 3 个 试验点， 任两平面的交线 上都包含1个试验点。
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在这9个水平组合中，A因素各水平下包括 了B、C因素的3个水平，虽然搭配方式不同， 但B、C皆处于同等地位，当比较A因素不同水 平时，B因素不同水平的效应相互抵消，C因素 不同水平的效应也相互抵消。所以A因素3个水 平间具有可比性。同样，B、C因素3个水平间 亦具有可比性。
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二、正交表及其特性
(一) 正交表
表 11-2 是L8(27)正交表，其中 “L”代表
正交表；L 右下角的数字“8”表示有8行，用
正 交 设 计 是利用正交表来安排多因素试
验、分析试验结果的一种设计方法。它从多因 素试验的全部水平组合中挑选部分有代表性的 水平组合进行试验，通过对这部分试验结果的 分析了解全面试验的情况 合。
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，找出最优水平组
例如， 研究氮、磷、钾肥施用量对某小麦品种产 量的影响： A因素是氮肥施用量，设A1、A2、A3 3个水平 ； B因素是磷肥施用量，设B1、B2、B3 3个水平 ； C因素是钾肥施用量，设C1、C2、C3 3个水平。 这是一个3因素每个因素3水平的试验 ，各因素的 水平之间全部可能的组合有27种。
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(三) 表头设计
表头设计就是把挑选出的因素和要考察 的交互作用分别排入正交表的表头适当的列 上。 在不考察交互作用时，各因素可随机安 排在各列上；若考察交互作用，就应按该正 交表的交互作用列表安排 各 因 素与交互作 用。
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此例不考察交互作用，可将品种(A)、
素
C 3 1(3) 2(5) 3(8) 2(5) 3(8) 1(3) 3(8) 1(3) 2(5)
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第二节 正交试验资料的方差分析
若各号试验处理都Biblioteka 有一个观测值，则称之为单个观测值正交试验；
若各号试验处理都有两个或两个以上观测
值，则称之为有重复观测值正交试验。
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因 水 1 2 3 平 品种 (A) 二九矮(A1) 高二矮(A2) 窄叶青 (A3) 密度 (B) 15(B1) 20(B2) 25(B3) 素 施氮量 (C) 3(C1) 5(C2) 8(C3)
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(二) 选用合适的正交表
根据因素、水平及需要考察的交互作用 的多少来选择合适的正交表。 选用正交表的原则是：既要能安排下试 验的全部因素(包括需要考查的交互作用)，又 要使部分水平组合数（处理数）尽可能地少。
稻优良品种(A)：二九矮、高二矮、窄叶青 ， 3 种密度(B)： 15、20、25（万苗/666.7m2）；3 种施氮量(C)： 3、5、8（kg/666.7m2），试采 用正交设计安排一个试验方案。
(一) 确定试验因素及其水平, 列出因素水 平表
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表11-3 因素水平表
各列中出现的最
大数字不完全相同的正交表称为 混合水平正 L8(41×24)表中有一列最大数字为4，有
4列最大数字为2。 也就是说该表可以安排1
个4水平因素和4个2水平因素。
L16(44×23)，L16(4×212)等都混合水平
正交表。
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三、正交设计方法
【例11· 某水稻栽培试验选择了3个水 1】
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一、 单个观测值正交试验资料的方差分析
对【例11-1】用L9(34)安排试验方案后，
各号试验只进行一次，试验结果列于表2-6。试 对其进行方差分析。
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x1 8 9 5 3 7 6 4 2
表11-6 正交试验结果计算表
因 素 B (2) 1 2 3 1 C (3) 1 2 3 2 产量 340.0(x1) 422.5(x2) 439.0(x3) 360.0(x4) A (1) 1 1 1 2
验方案仅包含9个水平组合，就能反映试验方案
包含27个水平组合的全面试验的情况，找出最
佳的生产条件。
一、正交设计的基本原理
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表11-1
B1 B2 B3 B1 B2 B3 B1 B2 B3
33试验的全面试验方案
C1 A1B1C1 A1B2C1 A1B3C1 A2B1C1 A2B2C1 A2B3C1 A3B1C1 A3B2C1 A3B3C1 C2 A1B1C2 A1B2C2 A1B3C2 A2B1C2 A2B2C2 A2B3C2 A3B1C2 A3B2C2 A3B3C2 C3 A1B1C3 A1B2C3 A1B3C3 A2B1C3 A2B2C3 A2B3C3 A3B1C3 A3B2C3 A3B3C3
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表11-2
L8(27)正交表
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2水平正交表还有L4(23)、L16(215)等； (二) 正交表的特性 1、任一列中，不同数字出现的次数相同
3水平正交表有L9(34)、L27(313) 、…、 等。
例如L8(27)中不同数字只有1和2，它们各
出现4次；L9(34)中不同数字有1、2和3，它们
各出现3次 。
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2、任两列中，同一横行所组成的数字对出 现的次数相同
例如 L8(27)的任两列中(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)
各出现两次；L9(34)任两列中 (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)各出现1次。即 每个因素的一个水平与另一因素的各个水平互碰次数 相等，表明任意两列各个数字之间的搭配是均匀的。
A1
A2
A3
图11-1
3因素每个因素3水平试验点的均衡分布图
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正交设计就是从全面试验点（水平组合） 中挑选出有代表性的部分试验点（水平组合）
来进行试验。图1中标有‘ 的9个试验点。即：
’9个试验点，就
是利用正交表L9(34)从27个试验点中挑选出来 (1)A1B1C1 (2)A1B2C2 (3)A1B3C3
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一般情况下，试验因素的水平数应恰好 等于正交表记号中括号内的底数；因素的个 数（包括需要考查交互作用）应不大于正交 表记号中括号内的指数；各因素及交互作用 的自由度之和要小于所选 正交表 的 总 自由 度，以便估计试验误差。 若各因素及交互作用的自由度之和等于 所选正交表总自由度，则可采用有重复正交 试验来估计试验误差。
(4)A2B1C2 (5)A2B2C3 (6)A2B3C1
(7)A3B1C3 (8)A3B2C1 (9)A3B3C2
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上述选择 ，保证了A因素的每个水平与B 因素 、 C 因 素的各个水平在试验中各搭配一 次。 从图1中可以看到，9个试验点分布是均衡 的 ，在立方体的每个平面上 有且仅有3个试验 点；每两个平面的交线上有且仅有1个试验点。 9个试验点均衡地分布于整个立方体内 ， 有很强的代表性，能够比较全面地反映全面试 验的基本情况。
因素数 2
3
1 A A B×C1 A B×C1 B×D1 C×D1
4
L8(27) 表头设计
因素数 3 1 A 2 B
4
4 5
A
A A D×E
B
B C×D B C×D
列 号 3 4 5 C A×B A×C C A×B A×C C×D B×D C A×B A×C B×D C A×B A×C C×E B×D B×E
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如果进行全面试验 ，可以分析各因素的 效应 ，交互作用，也可选出最优水平组合。 但全面试验包含的水平组合数较多，工
作量大 ，由于受试验场地、经费等限制而难
于实施 。
如果试验的主要目的是寻求最优水平组
合，则可利用正交设计来安排试验。
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正交设计的基本特点是：用部分试验来代
2、3列上，第4 列 为空列，见表2-4。 表11-4 表头设计 列 号 因 素 1 A 2 B 3 C
密度(B)和施氮量 (C)依次安排在L9(34)的第1、
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L9（34）表头设计
列 号 2 B B A×C1 B A×C1 A×D1 C×D2 3 A×B1 C A×B1 C A×B1 A×D2 B×D2 4 A×B2 A×B2 A×C2 B×C2 D A×B2 A×C2 B×C2
(三) 正交表的类别 1、相同水平正交表 各列中出现的最大数
字相同的正交表称为相同水平正交表。
L4(23)、L8(27)、L12(211)等各列中最大数字 为2，称为两水平正交表； L9(34)、L27(313)等各列中最大数字为3，称 为3水平正交表。
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2、 混合水平正交表 交表。
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此例有3个3水平因素，若不考察交互作
用，则各因素自由度之和为因素个数× (水 平数-1) = 3 × (3-1) =6，小于L9(34)总自由度 9-1=8，故可以选用L9(34)； 若要考察交互作用，则应选用L27(313)， 此时所安排的试验方案实际上是全面试验方 案。
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用正交表安排的试验，具有均衡分散和整
齐可比的特点。 均衡分散，是指用正交表挑选出来的各因 素 水 平 组合在全部水平组合中的分布是均衡 的 。 由 图11-1可以看出，在立方体中 ，任一 平面内都包含 3 个 试验点， 任两平面的交线 上都包含1个试验点。
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在这9个水平组合中，A因素各水平下包括 了B、C因素的3个水平，虽然搭配方式不同， 但B、C皆处于同等地位，当比较A因素不同水 平时，B因素不同水平的效应相互抵消，C因素 不同水平的效应也相互抵消。所以A因素3个水 平间具有可比性。同样，B、C因素3个水平间 亦具有可比性。
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二、正交表及其特性
(一) 正交表
表 11-2 是L8(27)正交表，其中 “L”代表
正交表；L 右下角的数字“8”表示有8行，用