竖直面上圆周运动
竖直面内的圆周运动(解析版)
竖直面内的圆周运动一、竖直平面内圆周运动的临界问题——“轻绳、轻杆”模型1.“轻绳”模型和“轻杆”模型不同的原因在于“轻绳”只能对小球产生拉力，而“轻杆”既可对小球产生拉力也可对小球产生支持力。
2.有关临界问题出现在变速圆周运动中，竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况。
物理情景最高点无支撑最高点有支撑实例球与绳连接、水流星、沿内轨道的“过山车”等球与杆连接、球在光滑管道中运动等图示异同点受力特征除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零除重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上受力示意图力学方程mg＋F N＝mv2R mg±F N＝mv2R临界特征F N＝0mg＝mv2minR即v min＝gRv＝0即F向＝0F N＝mg过最高点的条件在最高点的速度v≥gR v≥0【典例1】如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R 的圆周运动。
小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F－v2图象如图乙所示，则()A ．小球的质量为aRbB ．当地的重力加速度大小为RbC ．v 2＝c 时，小球对杆的弹力方向向上D ．v 2＝2b 时，小球受到的弹力与重力大小相等 【答案】： ACD【典例2】用长L ＝ 0.6 m 的绳系着装有m ＝ 0.5 kg 水的小桶，在竖直平面内做圆周运动，成为“水流星”。
G ＝10 m/s 2。
求：(1) 最高点水不流出的最小速度为多少？(2) 若过最高点时速度为3 m/s ，此时水对桶底的压力多大？ 【答案】 (1) 2.45 m/s (2) 2.5 N 方向竖直向上【解析】(1) 水做圆周运动，在最高点水不流出的条件是：水的重力不大于水所需要的向心力。
这是最小速度即是过最高点的临界速度v 0。
以水为研究对象， mg ＝m v 20L解得v 0＝Lg ＝0.6×10 m/s ≈ 2.45 m/s(2) 因为 v ＝ 3 m/s>v 0，故重力不足以提供向心力，要由桶底对水向下的压力补充，此时所需向心力由以上两力的合力提供。
竖直平面内的圆周运动及实例分析
竖直平面内的圆周运动及实例分析竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周运动(带电粒子在匀强磁场中运动除外)，运动的速度大小和方向在不断发生变化，运动过程复杂，合外力不仅要改变运动方向，还要改变速度大小，所以一般不研究任意位置的情况，只研究特殊的临界位置──最高点和最低点。
一、两类模型——轻绳类和轻杆类1．轻绳类。
运动质点在一轻绳的作用下绕中心点作变速圆周运动。
由于绳子只能提供拉力而不能提供支持力，质点在最高点所受的合力不能为零，合力的最小值是物体的重力。
所以：（1）质点过最高点的临界条件：质点达最高点时绳子的拉力刚好为零，质点在最高点的向心力全部由质点的重力来提供，这时有，式中的是小球通过最高点的最小速度，叫临界速度；（2）质点能通过最高点的条件是；（3）当质点的速度小于这一值时，质点运动不到最高点高作抛体运动了；（4）在只有重力做功的情况下，质点在最低点的速度不得小于，质点才能运动过最高点；（5）过最高点的最小向心加速度。
2．轻杆类。
运动质点在一轻杆的作用下，绕中心点作变速圆周运动，由于轻杆能对质点提供支持力和拉力，所以质点过最高点时受的合力可以为零，质点在最高点可以处于平衡状态。
所以质点过最高点的最小速度为零，（1）当时，轻杆对质点有竖直向上的支持力，其大小等于质点的重力，即；（2）当时，；（3）当，质点的重力不足以提供向心力，杆对质点有指向圆心的拉力；且拉力随速度的增大而增大；（4）当时，质点的重力大于其所需的向心力，轻杆对质点的竖直向上的支持力，支持力随的增大而减小，；（5）质点在只有重力做功的情况下，最低点的速度，才能运动到最高点。
过最高点的最小向心加速度。
过最低点时，轻杆和轻绳都只能提供拉力，向心力的表达式相同，即，向心加速度的表达式也相同，即。
质点能在竖直平面内做圆周运动（轻绳或轻杆）最高点的向心力最低点的向心力，由机械能守恒，质点运动到最低点和最高点的向心力之差，向心加速度大小之差也等于。
高中物理重要方法典型模型突破11-模型专题(3) -竖直平面内圆周运动 (解析版)
专题十一模型专题（3）竖直面上的圆周运动【典型模型解读】1.竖直面内匀速圆周运动：注意匀速圆周运动的条件2.竖直平面内非匀速圆周运动的两类典型模型分析轻绳模型轻杆模型实例如球与绳连接、沿内轨道运动的球等如球与杆连接、球在内壁光滑的圆管内运动等图示最高点无支撑最高点有支撑最高点受力特征重力、弹力，弹力方向指向圆心重力、弹力，弹力方向指向圆心或背离圆心受力示意图力学方程mg+F N=mrv2mg±F N=mrv2临界特征F N=0,v min=gr竖直向上的F N=mg,v=0过最高点条件v≥gr v≥0速度和弹力关系讨论分析①能过最高点时，v≥gr，F N+mg=mrv2，绳、轨道对球产生弹力F N②不能过最高点时，v<gr，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道做斜抛运动①当v=0时，F N=mg，F N为支持力，沿半径背离圆心②当0<v<gr时，-F N+mg=mrv2，F N背离圆心，随v的增大而减小③当v=gr时，F N=0④当v>gr时，F N+mg=mrv2，F N指向圆心并随v的增大而增大【典例讲练突破】【例1】（2019高考江苏卷物理6）如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动．座舱的质量为m，运动半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，则座舱（）A.运动周期为2πRω B.线速度的大小为ωRC.受摩天轮作用力的大小始终为mgD.所受合力的大小始终为m ω2R【解析】由于座舱做匀速圆周运动，由公式2πTω=，解得：2πT ω=，故A 错误；由圆周运动的线速度与角速度的关系可知，v R ω=，故B 正确；由于座舱做匀速圆周运动，所以座舱受到摩天轮的作用力是变力，不可能始终为mg ，故C 错误；由匀速圆周运动的合力提供向心力可得：2F m R ω=合，故D 正确。
【答案】BD【练1】在考驾驶证的科目二阶段，有一项测试叫半坡起步，这是一条类似于凸型桥面设计的坡道。
20竖直平面内的圆周运动模型
竖直平面内的圆周运动模型考点规律分析(1)竖直平面内的圆周运动模型在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点时的受力情况，可分为三种模型。
一是只有拉(压)力，如球与绳连接、沿内轨道的“过山车”等，称为“轻绳模型”；二是只有推(支撑)力的，称为“拱桥模型”；三是可拉(压)可推(支撑)，如球与杆连接，小球在弯管内运动等，称为“轻杆模型”。
(2)三种模型对比典型例题例1长度为L＝0.50 m的轻质细杆OA，A端有一质量为m＝3.0 kg的小球，如图所示，小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0 m/s，g取10 m/s2，则此时细杆OA受到()A．6.0 N的拉力B．6.0 N的压力C．24 N的拉力D．24 N的压力[规范解答]设小球以速率v0通过最高点时，球对杆的作用力恰好为零，即mg ＝m v 20L得v 0＝gL ＝10×0.50 m/s ＝ 5 m/s 。
由于v ＝2.0 m/s< 5 m/s ，可知过最高点时，球对细杆产生压力，细杆对小球为支持力，如图所示，为小球的受力情况图。
由牛顿第二定律mg －N ＝m v 2L ，得N ＝mg －m v 2L ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3.0×10－3.0×2.020.50 N ＝6.0 N 由牛顿第三定律知，细杆OA 受到6.0 N 的压力。
[完美答案] B例2 一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与水一起以细绳的另一端点为圆心在竖直平面内做圆周运动，如图所示，水的质量m ＝0.5 kg ，水的重心到转轴的距离l ＝50 cm ，g 取10 m/s 2。
求：(1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；(结果保留三位有效数字)(2)若在最高点水桶的速率v ＝3 m/s ，求水对桶底的压力大小。
[规范解答] (1)以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小。
高中物理：物体在竖直面内的圆周运动
1、轻绳或细杆作用下物体在竖直面内的圆周运动（1）轻杆作用下的运动如图所示，杆长为L，杆的一端固定一质量为m的小球，杆的质量忽略不计，整个系统绕杆的另一端在竖直平面内做圆周运动，小球在最高点A时，若杆与小球m之间无相互作用力，那么小球做圆周运动的向心力仅由重力提供：得=，由此可得小球在最高点时有以下几种情况：当=0时，杆对球的支持力F N = mg，此为过最高点的临界条件。
②当=时，，=0③当0＜＜时，m g＞＞0且仍为支持力，越大越小④当＞时，＞0，且为指向圆心的拉力，越大越大（2）细绳约束或圆轨道约束下的运动：如图所示为没有支撑的小球（细绳约束、外侧轨道约束下）在竖直平面内做圆周运动过最高点时的情况。
①当，即当==时，为小球恰好过最高点的临界速度。
②当＜，即＞=时（绳、轨道对小球还需产生拉力和压力），小球能过最高点③当＞，即＜=时，小球不能通过最高点，实际上小球还没有到达最高点就已经脱离了圆周轨道。
竖直面内的圆周运动一般不是匀速圆周运动，而是变速圆周运动，此时由物体受到的合力沿半径方向的分力来提供向心力，一般只研究最高点和最低点，此情况下，经常出现临界状态，应注意：（1）绳模型：临界条件为物体在最高点时拉力为零（2）杆模型：临界条件为物体在最高点时速度为零例1、一根绳子系着一个盛水的杯子，演员抡起绳子，杯子就在竖直面内做圆周运动，到最高点时，杯口朝下，但杯中的水并不流出来，如图所示，为什么呢？解析：对杯中水，当=时，即=时，杯中水恰不流出，若转速增大，＜时，＞时，杯中水还有远离圆心的趋势，水当然不会流出，此时杯底对水有压力，即N+=，N=－；而如果＞，＜时，水会流出。
例2、如图所示，轻杆OA长l=0.5m，在A端固定一小球，小球质量m=0.5kg，以O点为轴使小球在竖直平面内做圆周运动，当小球到达最高点时，小球的速度大小为=0.4m/s，求在此位置时杆对小球的作用力。
（g取10 m／s 2）解法一：先判断小球在最高位置时，杆对小球有无作用力，若有作用力，判断作用力方向如何小球所需向心力==0.5×=0.16 N小球受重力=0.5×10=5 N重力大于所需向心力，所以杆对小球有竖直向上的作用力F，为支持力以竖直向下为正方向，对小球有－F=解得：F= 4.84 N解法二：设杆对小球有作用力F，并设它的方向竖直向下，对小球则有－F=F=－=－4.84 N“－”表示F方向与假设的方向相反，支持力方向向上。
高中物理必修二 第二章 专题强化5 竖直面内的圆周运动
6.在游乐园乘坐如图所示的过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内 沿圆周轨道运动，已知重力加速度为g，下列说法正确的是 A.车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉
住，若没有保险带，人一定会掉下去 B.人在最高点时对座位仍会产生压力，但压力一定
小于mg C.人在最高点和最低点时的向心加速度大小相等
√D.人在最低点时对座位的压力大于mg
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
过山车上人经过最高点及最低点时，受力如图，
在最高点，由 mg＋FN＝mvR12，可得：FN＝m(vR12－g)
①
在最低点，由 FN′－mg＝mvR22，可得：FN′＝m(vR22＋g)
②
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
当 v1≥ gR时，在最高点无保险带也不会掉下，且还可能会对座位 有压力，大小因 v1 而定，A、B 错误. 最高点、最低点两处向心力大小不相等，向心加速度大小也不相等 (变速率)，C错误. 由②式知，在最低点FN′＞mg，根据牛顿第三定律知，D正确.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
二、竖直面内圆周运动的轻杆(管)模型
导学探究
如图所示，细杆上固定的小球和在光滑管形轨道内运动的小球在重 力和杆(管道)的弹力作用下在竖直平面内 做圆周运动，这类运动称为“轻杆模型”. 1.分析求解小球通过最高点的最小速度. 答案 由于杆和管在最高点处能对小球产生向上的支持力，故小球 恰能到达最高点的最小速度v＝0，此时小球受到的支持力FN＝mg.
2.(多选)如图所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环内侧做圆周 运动.圆环半径为R，小球半径不计，小球经过圆环内侧最高点时刚好不 脱离圆环，则其通过最高点时下列表述正确的是(重力加速度为g) A.小球对圆环的压力大小等于mg
竖直面内的圆周运动模型
竖直面内的圆周运动模型
圆周运动是一种常见的物理运动，也是许多物理运动中最重要的基础组成之一。
它出
现在自然界中的各个角落，给人们惊喜和鼓舞，引发科学家们深远的思考。
本文中，我们
将讨论竖直面内的圆周运动模型。
竖直面内的圆周运动是指空间坐标内的跟踪运动，它满足物体存在平方摩擦力（当它
的线速度与圆心的位置有关时）的要求。
在这种情况下，可以用以下方程来描述物体在竖直面上的圆周运动：
其中F是重力力，m是物体的质量，ω是角速度，θ是指定的时刻的角度，t是时间，a0是速度的初始值，∆t是时间间隔，R是圆的半径。
平方摩擦力的方程为：
其中μ是空气阻力系数，v是物体的速度，∆v是物体速度变化的量。
由于圆周运动中存在着速度，加速度和受力等变量，所以可以将其表示成动量方程：
根据以上方程，可以得出物体在竖直面内的圆周运动的具体运动轨迹，即：
从上面的计算公式可以看出，竖直面内的圆周运动模型是一个复杂的数学模型，其中
包括外力矩、时间等因素，它可以用来描述物体在单位机械作用下的数量运动规律，同时
还涉及到空气阻力和摩擦力等概念。
总而言之，竖直面内的圆周运动模型是一种综合的物理运动模型。
它可以满足大多数
物理实验的要求，并且可以用来更好地揭示物体在空间中的动态变化规律。
它也将为人类
在研究物理运动规律中提供更多新的思路。
竖直平面内的圆周运动
竖直平面内的圆周运动一.竖直平面内的圆周运动属于圆周运动二.两种情况：1、没有支撑物的物体在竖直平面内的圆周运动①临界条件：小球到达最高点时绳的拉力（或轨道的弹力）刚好等于零，小球重力提供其圆周运动的向心力，即mg=mv02/R∴刚过最高点的临界速度（最小速度）v=②当v≥v0时小球通过最高点③当v＜v0时小球不能到达最高点。
2、有支撑物的物体在竖直平面内的圆周运动v=0弹力的大小b图中的弹力a图中的弹力速度范围课堂练习1、绳系着装水的桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m=0.5kg，绳长=0.4m.求（1）桶在最高点水不流出的最小速率？（2）水在最高点速率=3m/s时水对桶底的压力？(g取10m/s2)2、细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动，现给小球一初速度，使它做圆周运动，a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是（）A．a处为拉力，b处为拉力B．a处为拉力，b处为推力C．a处为推力，b处为拉力D．a处为推力，b处为推力作业1.长度为0.5m的轻质细杆，A端有一质量为3kg的小球，以O点为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，小球通过最高点时的速度为2m/s，取g=10m/s2，则此时轻杆OA将（）A．受到6.0N的拉力B．受到6.0N的压力C．受到24N的拉力D．受到54N的拉力2.一轻杆一端固定一质量为m的小球，另一端以O为圆心，使小球做半径为R的圆周运动，以下说法正确的是()A、小球过最高点时，杆所受的弹力可以等于0B、小球过最高点时的最小速度为√gRC、小球过最高点时，杆对球的作用力可以与球所受重力方向相反，此时重力一定大于杆对球的作用力D、小球过最高点时，杆对球的作用力一定与小球所受重力方向相反3.质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临界速度值为V，当小球以2V的速度经过最高点时，对轨道的压力值是（）（A）0 （B）mg (C)3mg (D)5mg4.一质量为0.5kg的小球，用0.4m长的细线拴住在竖直面内作圆周运动，求：当小球在圆上最高点速度为4m/s时，细线的拉力是多少？（g=10m/s2）5. 如图，质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临界速度是v，当小球以3v 的速度经过最高点时，对轨道的压力大小是多少？6.用钢管做成半径为R=0.5m的光滑圆环（管径远小于R）竖直放置，一小球（可看作质点，直径略小于管径）质量为m=0.2kg在环内做圆周运动，求:小球通过最高点A时，下列两种情况下球对管壁的作用力. 取g=10m/s2(1) A的速率为1.0m/s (2) A的速率为4.0m/s。
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练习.乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m
的人随车在竖直平面内旋转，下列说法正确
的是
(D)
A.车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险 带拉住，没有保险带，人就会掉下来
B.人在最高点时对座仍可能产生压
力，但压力一定小于mg
C.人在最低点时对座位的压力
等于mg
D.人在最低点时对座位的压力大于mg
拓展:汽车以恒定的速率v通过半径为r的凹型桥面，如图 所示，求汽车在最底部时对桥面的压力是多少？
解：汽车通过底部时，受力情况如图。
N
N由牛m顿g第二定m律v2：/ r
N m(g v2 / r)
h
N ' N m(g v2 / r)
G
N’ 小节:此问题中出现的汽车对桥面的
压力大于或小于车重的现象，是发生
率v通过半径为r的凹型 桥面，如图所示，求汽 车在最底部时对桥面的 压力是多少？
N–mg=mv2/r
(1)
N′=N=mg+mv2/r (2)
N
h
G
3
2.竖直平面的变速圆周运动
例3：线拉小球 已知一根长度为L的轻绳OA， A端栓有一质量为m的小球， 小球以O点为圆心在竖直平 面内做圆周运动，若小球 通过最高点的速率是v，求 此时轻绳OA对小球的拉力.
19
4．由上海飞往美国洛杉矶的飞机与洛杉矶返航飞 往上海的飞机，若往返飞行时间相同，且飞经太 平洋上空等高匀速飞行，飞行中两种情况相比较， 飞机上的乘客对座椅的压力( C )
• A.相等 • B.前者一定稍大于后者 • C.前者一定稍小于后者 • D.均可能为零
20
例五、质量为m的汽车以恒定的速率v通过半径均为r的拱 桥和凹型地面，如图所示，求在A点和B点，汽车对路面的压 力分别是多少？
A.v的最小值为 gL
B.v若增大，向心力也增大
C.当v由 gL逐渐增大时，杆对球的
弹力也增大
D.当v由 gL逐渐减小时，杆对球的
弹力也逐渐减小
9
总结：杆(轨道外侧)约束模型:
(1)临界条件：由于硬杆或管壁的支撑作 用，小球能到达最高点的临界速度
V临＝0， 轻杆或轨道对小球的支持力： FN=mg． 10
T+mg=mv2/R
(1)
T=mv2/r-mg
(2)
4
类似模型： （1）小球在光滑轨道的内侧运动
v
R
（2）杂技表演的“水流星”
5
练习1、如图要使小球滑到圆形轨道顶端
不掉下来，小球在轨道顶端的最小速度 应当是多大？已知轨道半径为R。
v 解：小球在最高点的受力情况如图
F向
mg
N
m
v2 R
由等式可看出，由于m 、 R一定，所
在圆周运动中的超重或失重现象
16
1、半径为R的光滑半圆球固定在水平面上， 顶部有一个小物体A，今给它一个水平的初
速度v0= gr ， 则物体将( )
A.沿球面下滑到水平面 B.先沿球面下滑一段，然后离开球面做斜下 抛运动 C．按半径大于R的新的圆弧轨道做圆周运 动 D．立即离开半球做平抛运动
17
2．在质量为M的电动机飞轮上，固定着一个 质量为m的重物，重物到轴的距离为R，如 图所示，为了使电动机不从地面上跳起，电 动机飞轮转动的最大角速度不能超过( B )
G
21
F合
m v2 r
时，物体作圆周运动；
F合
m
v2 r
时，物体作离心运动；
F合
m v2 r
时，物体靠近圆心运动。
v
R
22
(2)当0<V< gr
力为：支持力
时，杆对小球的作用
FN=mg
-
m
v2 r
支持力FN随v的增大而减小，
其取值范围是mg> FN>0．
(3)当V＞ gr 时，杆对小球的作用力为：
拉力
F=
m
v2 r
-mg
拉力F随v的增大而增大，
其取值范围是F>mg
11
变式问题.杂技演员在表演水流星节目时，盛 水的杯子在竖直平面内做圆周运动，当杯子到 最高点时，里面水也不流出来，这是因为 A.水处于失重状态，不受重力的作用了 B.水受平衡力作用，合力为0 C.水受的合力提供向心力，使水做圆周运动 D.杯子特殊，杯底对水有吸力
A． M m g
mR
B． M m g mR
C． M m g
mR
D． Mg mR
18
3．如图，细杆的一端与一小球相连，可绕过 O点的水平轴自由转动,现给小球一初速度， 使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球 轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用 力可能是( ) AB
• A．a处为拉力，b处为拉力 • B．a处为拉力，b处为推力 • C．a处为推力，b处为拉力 • D．a处为推力，b处为推力
相互作用力为零 （2）在最高点v＞ ， 杆和球之间有怎样的作用力？
拉力 T+mg=mv2/R （3）在最高点v＜ ， 杆和球之间有怎样的作用力？
压力 mg-N=mv2/R
8
练习2.如图所示，长为L的轻杆，一端 固定着一个小球，另一端可绕光滑的水 平轴转使小球在竖直平面内运动，设小 球在最高点的速度为v,则(BC)
解： 汽车通过A、B时，受力情况如图。
汽车通过A点时：
由牛顿第二定律：m
N
由牛顿第三定律：
g
A
Nr
2
)
/
r
N A' N A m(g v2 r )
汽车通过B点时：由牛顿第二定律：
N
A
h
A NA’
G
NB
NB mg mv2 / r NB m(g v2 / r)
hB
由牛顿第三定律： N B ' N B m(g v2 / r)
竖直平面内的圆周运动
只研究物 体通过最高 点和最低点 的情况
1
1.竖直平面的匀速圆周运动
例1：汽车过拱桥 一辆质量为m的汽车以恒
定的速率v通过半径为r的 拱桥，如图所示，求汽车 在桥顶时对路面的压力是 多少？
mg–N=mv2/r
(1)
N′=N=mg-mv2/r (2)
N
h
G
r
2
例2:汽车过凹桥 一辆汽车以恒定的速
以 v 越小，N 就越小；当N=0时，小球可
具有最小速度为
vmin gR
（此时，仅由重力提供其向心力）。
N GR
6
总结：绳子(轨道内侧)约束模型:
如图所示,绳子和外轨对小球刚好没有弹力的作用.
mg=mv2/R v临界 Rg
(可理解为恰好转过或恰好转不过的速度)
v
v
o
绳
7
例4：杆拉小球 思考 （1）在最高点v= 时，弹力为多少？
14
例二、质量为m的汽车以恒定的速率v通过半径为 r的拱桥，如图所示，求汽车在桥顶时对路面的压力是 多少？
解：汽车通过桥顶时，受力情况如图。
汽车通过桥顶时：
由牛顿第二定律：mg N mv2 / r
N
由牛顿第三定律：
m(g
v2
r
)
N ' N m(g v2 r )
N
h
N’
G
r
O
注意:汽车过桥的速度不得太大,否则N’将消失,汽车将飞离桥面15 .