探讨定积分不等式的证明方法
探讨定积分不等式的证明方法
探讨定积分不等式的证明方法定积分是微积分中重要的概念之一，它在数学和其他学科中有着广泛的应用。
定积分不等式是对定积分的一种推广和扩展，它可以用来证明数学中的很多重要不等式。
定积分不等式的证明方法有很多种。
下面将介绍其中的几种常见证明方法。
1.利用积分的定义定积分的定义是通过极限来定义的，可以用积分和极限的性质来证明定积分不等式。
一般的证明步骤如下：（1）通过积分的定义，将定积分转化为极限的形式。
（3）利用极限的性质，对被积函数和不等式进行变换和处理，最终得到待证不等式。
2.利用积分的性质和中值定理（1）利用中值定理，将定积分表示为导数的形式。
（3）利用中值定理和被积函数的性质，对待证不等式进行变换和处理，最终得到待证不等式。
3.利用积分的性质和数学归纳法数学归纳法是数学中常用的证明方法之一，可以用来证明定积分不等式。
具体的证明方法如下：（1）利用积分的性质，将待证不等式转化为一系列具有相似性质的子不等式。
（2）对待证不等式的子不等式进行归纳证明，即先证明基本情况，然后假设第n个不等式成立，再通过已知的前n个不等式得到第n+1个不等式。
（3）通过数学归纳法的证明，得到待证不等式。
这种证明方法的优点是简单直接，能够通过归纳证明得到待证不等式，但需要对数学归纳法的性质和待证不等式的子不等式非常熟悉。
除了以上的方法，还可以利用几何意义、特殊函数的性质、不等式的基本性质等进行证明。
不同的证明方法适用于不同的场合和问题，需要根据具体情况选择合适的方法。
综上所述，定积分不等式的证明方法有很多种，可以利用积分的定义、性质和中值定理，数学归纳法等进行证明。
不同的证明方法有不同的优点和适用范围，需要根据具体情况选择合适的方法。
对于定积分不等式的证明方法的深入理解和熟练应用，对于深化对定积分的理解和掌握具有重要意义。
利用定积分证明不等式
热点追踪Җ㊀广东㊀李文东㊀㊀不等式的证明是高考的重要内容,证明的方法多㊁难度大,特别是一些数列和型的不等式．这类不等式常见于高中数学竞赛题和高考压轴题中,由于证明难度较大,往往令人望而生畏．其中有些不等式若利用定积分的几何意义证明,则可达到以简驭繁㊁以形助数的解题效果．１㊀利用定积分证明数列和型不等式数列和型不等式的一般模式为ðni ＝１a i ＜g (n )(或ðni ＝１a i ＞g (n )),g (n )可以为常数．不失一般性,设数列a n ＝f (n )＞０,此类问题可以考虑如下的定积分证明模式．(１)若f (x )单调递减．因为f (i )＜ʏii －１f (x )d x ,从而ðni ＝１a i ＝ðn i ＝１f (i )＜ðni ＝１ʏii－１f (x )d x ＝ʏn０f (x )d x ．㊀㊀又因为ʏi i －１f (x )d x ＜f (i －１),从而ʏn ＋１１f (x )d x ＝ðn ＋１i ＝２ʏi i－１f (x )d x ＜ðn ＋１i ＝２f (i －１)＝ðni ＝１a i．㊀㊀(２)若f (x )单调递增．因为f (i )＞ʏi i －１f (x )d x ,从而ðni ＝１a i＝ðni ＝１f (i )＞ðni ＝１ʏii－１f (x )d x ＝ʏn０f (x )d x ．㊀㊀又因为ʏii －１f (x )d x ＞f (i －１),从而ʏn ＋１１f (x )d x ＝ðn ＋１i ＝２ʏii－１f (x )d x ＞ðn ＋１i ＝２f (i －１)＝ðni ＝１a i ．例１㊀(２０１３年广东卷理１９,节选)证明:１＋１２２＋１３２＋ ＋１n２＜７４(n ɪN ∗)．分析㊀本题证法大多采用裂项放缩来证明,为了得到更一般的结论,我们这里采用定积分来证明．证明㊀因为函数y ＝１xα(α＞０且αʂ１)在(０,＋ɕ)上单调递减,故ʏii －１１x αd x ＞１iα(i ȡ３),从而当αʂ１时,ðni ＝１１i α＜１＋１２α＋ðni ＝３ʏii －１１x αd x ＝１＋１２α＋ʏn２１x αd x ＝１＋１２α－１(α－１)x α－１n ２＝１＋１２α＋１(α－１)２α－１－１(α－１)nα－１．㊀㊀利用这个不等式可以得到一些常见的不等式．若α＝１２,则ðn i ＝１１i＜１－３２＋２n ＝２n －１＋(２－３２)＜２n －１．㊀㊀当α＞１时,ðni ＝１１iα＜１＋１２α＋１(α－１)２α－１＝１＋α＋１α－１ １２α．特别地,若α＝２,则ðni ＝１１i ２＜１＋２＋１２－１ １２２＝７４;若α＝３,则ðni ＝１１i３＜１＋３＋１３－１ １２３＝５４;若α＝３２,则ðni ＝１１ii＜１＋３２＋１３２－１ １２３２＝１＋５２４＜３;若α＝１,则１n＜ʏnn －１１x d x ＝l n x nn －１＝l n n －l n (n －１),从而可以得到１２＋１３＋ ＋１n ＋１＜ʏn ＋１１１xd x ＝l n (n ＋１),１n ＋１＋１n ＋２＋ ＋１２n＜ʏ２nn１xd x ＝l n２．㊀㊀另一方面,１n －１＞ʏnn －１１xd x ＝l n x n n －１＝l n n －l n (n －１),则１＋１２＋１３＋ ＋１n －１＞ʏn１１x d x ＝l n n ．㊀㊀当α＝１时,借助定积分的几何意义上述不等式４２热点追踪还可以进一步加强．图１是函数y ＝１x的部分图象,显然S 曲边梯形A B C F ＜S 梯形A B C F ,于是ʏn ＋１n１x d x ＜１２(１n ＋１n ＋１),得l n (１＋１n )＜１２(１n ＋１n ＋１),令n ＝１,２, ,n ,并采用累加法可得１＋１２＋１３＋ ＋１n＞l n (n ＋１)＋n２(n＋１)(n ȡ１)．图１例２㊀证明:l n ４２n ＋１＜ðni ＝１i４i ２－１(n ɪN ∗)．分析㊀由于i ４i ２－１＝１４(１２i －１＋１２i ＋１),l n ４２n ＋１＝１４l n (２n ＋１),故证明l n (２n ＋１)＜ðni ＝１(１２i －１＋１２i ＋１)．构造函数f (x )＝１２x ＋１,显然f (x )单调递减,考虑到ðni ＝１(１２i －１＋１２i ＋１)的结构,对函数f (x )采用类似图１中的梯形面积放缩．证明㊀由分析得ʏii －１１２x ＋１d x ＜１２(１２i －１＋１２i ＋１),故１２l n (２n ＋１)＝ʏn０１２x ＋１d x ＝ðni ＝１ʏii －１１２x ＋１d x ＜１２ðni ＝１(１２i －１＋１２i ＋１),不等式两边除以１２即为所证．例３㊀证明１３＋１５＋１７＋ ＋１２n ＋１＜１２l n (n ＋１)(n ɪN ∗)．分析㊀若考虑函数y ＝１２x ＋１,则有１２i ＋１＜ʏii －１１２x ＋１d x ,则ðni ＝１１２i ＋１＜ðni ＝１ʏii －１１２x ＋１d x ＝ʏn０１２x ＋１d x ＝１２l n (２x ＋１)n０＝１２l n (２n ＋１),达不到所证的精度,必须改变定积分放缩的精度．证明㊀结合不等式的右边,考虑函数f (x )＝１x．如图２所示,在区间[i ,i ＋１]上,取区间的中点i ＋１２,并以１i ＋１２为高作矩形A E F B ,则S 矩形A E F B ＜ʏi ＋１i １x d x ．于是有２２i ＋１＝１i ＋１２＜ʏi ＋１i１xd x ,则ðni ＝１２２i ＋１＜ðni ＝１ʏi ＋１i１xd x ＝ʏn ＋１１１xd x ＝l n (n ＋１),即ðn i ＝１１２i ＋１＜１２ln (n ＋１)．图２例４㊀设n 是正整数,r 为正有理数．(１)求函数f (x )＝(１＋x )r ＋１－(r ＋１)x －１(x ＞－１)的最小值;(２)证明:n r ＋１－(n －１)r ＋１r ＋１＜n r＜(n ＋１)r ＋１－nr ＋１r ＋１;(３)设x ɪR ,记[x ]为不小于x 的最小整数,例如[２]＝２,[π]＝４,[－３２]＝－１．令S ＝３８１＋３８２＋３８３＋ ＋３１２５,求[S ]的值．(参考数据:８０４３ʈ３４４ ７,８１４３ʈ３５０ ５,１２５４３ʈ６２５ ０,１２６４３ʈ６３１ ７．)分析㊀出题者的本意是利用第(１)问中的伯努利不等式来证明后两问,但这里我们利用积分来证明．证明㊀(１)f m i n (x )＝０(求解过程略)．(２)因为r 为正有理数,函数y ＝x r 在(０,＋ɕ)上单调递增,故ʏnn －１x r d x ＜nr,而５２热点追踪ʏnn －１x rd x ＝x r ＋１r ＋１n n －１＝n r ＋１－(n －１)r ＋１r ＋１,故n r ＋１－(n －１)r ＋１r ＋１＜n r．同理可得n r＜ʏn ＋１n x rd x ＝x r ＋１r ＋１n ＋１n ＝(n ＋１)r ＋１－n r ＋１r ＋１,从而n r ＋１－(n －１)r ＋１r ＋１＜n r＜(n ＋１)r ＋１－n r ＋１r ＋１．(３)由于i １３＜ʏi ＋１i x １３d x ＜(i ＋１)１３,故S ＝ð１２５i ＝８１i１３＜ð１２５i ＝８１ʏi ＋１ix １３dx ＝ʏ１２６８１x １３dx ＝３４x ４３１２６８１＝３４(１２６４３－８１４３),３４(１２５４３－８０４３)＝３４x ４３１２５８０＝ʏ１２５８０x １３d x ＝ð１２４i ＝８０ʏi ＋１ix １３d x ＜ð１２４i ＝８０(i ＋１)１３＝S ．３４(１２５４３－８０４３)＜S ＜３４(１２６４３－８０４３)．代入数据,可得３４(１２５４３－８０４３)ʈ２１０．２,３４(１２６４３－８１４３)ʈ２１０．９．由[S ]的定义,得[S ]＝２１１．２㊀利用积分证明函数不等式我们知道ʏx ２x １fᶄ(x )d x ＝f (x ２)－f (x １),因此,对于与f (x ２)－f (x １)有关的问题,可以从定积分的角度去思考．若f (x )的导数f ᶄ(x )在区间(a ,b )上单㊀图３调递减且f ᶄ(x )为凹函数,如图３所示．设A C 的中点为B ,过点B 作B G ʅx 轴与f (x )交于点G ,过点G 作f (x )的切线与直线AH 和C D 分别交于点F 和I ．设A (x １,０),C (x ２,０),则f (x ２)－f (x １)＝ʏx ２x １fᶄ(x )d x ＝S 曲边梯形A C J H ,S 矩形A C D E ＝f ᶄ(x ２＋x １２)(x ２－x １)．因为S 曲边三角形E G H ＞S әE F G ＝S әD I G ＞S 曲边三角形J D G ,S 曲边梯形A C J H －S 矩形A C D E ＝S 曲边三角形E G H －S 曲边三角形J D G ＞０,于是有f (x ２)－f (x １)x ２－x １＞f ᶄ(x ２＋x １２)．借助上述几何意义,一般地我们有如下结论．(１)若函数f (x )的导数f ᶄ(x )在区间(a ,b )上为凹函数,则对于任意的a ＜x １＜x ２＜b ,有f (x ２)－f (x １)x ２－x １＞f ᶄ(x ２＋x １２);(２)若函数f (x )的导数f ᶄ(x )在区间(a ,b )上为凸函数,则对于任意的a ＜x １＜x ２＜b ,有f (x ２)－f (x １)x ２－x １＜f ᶄ(x ２＋x１２)．例５㊀(１)函数f (x )＝l n x ,因为f ᶄ(x )＝１x在(０,＋ɕ)上为凹函数,则对任意０＜x １＜x ２,有l n x ２－l n x １x ２－x １＞１x ２＋x １２,即x ２－x １l n x ２－l n x １＜x １＋x ２２,此为对数均值不等式．(２)函数f (x )＝x l n x ,因为f ᶄ(x )＝１＋l n x 在(０,＋ɕ)上为凸函数,则对任意０＜x １＜x ２,有x ２l n x ２－x １l n x １x ２－x １＜１＋l n x ２＋x １２．许多考题都是以此为背景命题,比如,如下高三模拟考试的压轴题．例６㊀已知函数f (x )＝l n x －a x ２２＋(a －１)x －３２a(a ＞０),在函数f (x )的图象上是否存在不同两点A (x １,y １),B (x ２,y ２),线段A B 中点的横坐标为x ０,直线A B 的斜率为k ,使得k ＞f ᶄ(x ０)．简证㊀由于f ᶄ(x )＝１x－a x ＋a －１(a ＞０)在(０,＋ɕ)上为凹函数,可见结论成立!例７㊀设函数f (x )＝xex ,若x １ʂx ２,且f (x １)＝f (x ２),证明:x １＋x ２＞２．分析㊀本题的本质是极值点偏移问题,常见证法是利用对称性构造函数,这里采用定积分来证明．证明㊀不妨设x １＜x ２,由f ᶄ(x )＝１－x ex ,可知f (x )在(－ɕ,１]上单调递增,在[１,＋ɕ)上单调递减,且f (０)＝０．当x ＞０时,f (x )＞０,可知０＜x １＜１＜x ２．设x １e x １＝x ２e x ２＝t ,则x １＋x ２＝t (e x １＋e x ２),x ２－x １＝t (e x ２－e x １),考虑函数y ＝e x ,则根据定积分的梯形面积放缩有e x ２－e x １＝ʏx ２x １e xd x ＜(e x １＋e x２)(x ２－x １)２,则x ２－x １t ＜１２ x ２＋x １t(x ２－x １),故x １＋x ２＞２．(作者单位:广东省中山市中山纪念中学)６２。
积分不等式证明技巧解析
∫
2 f ( x ) dx ≤
∫
0
b a
1
f(
1) 1 ( ) d x + f′ 3 3
(x ∫
0
1
2
-
1) 1 dx = f ( ) . 3 3
6 借助于参数表达式来证明积分不等式
引入参数 t , 构造辅助函数
[ f ( x) ∫
- tg ( x ) ] d x ≥ 0 , 得到关于 t 的二次多项式 , 利用判别
n- 1 n- 2
+ … + 6 cn- 3 x + …
例 4 求 ( x 4 - x3 + 2 x 2 - x + 1) co s x d x. 解 列竖式计算 :
x x
4 4 3
∫
- x - x
+ 2x
2 2 2
- x - 6x + 5x
+1 - 20 + 21
3 2
12 x
3
- 10 x
∫
第 12 卷第 6 期
杨和稳 : 积分不等式证明技巧解析
27
1 ( ξ ) < 0 , x ∈ [ 0 , 1 ] , 所以 , 其中ξ介于 与 x 之间 . 因为 f ″ 3
f ( x) < f (
1 0
1) 1 1) 1 1 1) 2 ( ) (x ( ) ( x2 + f′ , f ( x ) < f ( ) + f ′ , 3 3 3 3 3 3
a x
例 4 设 f ( x ) 在 [ a , b] 上有连续导数 , 且 f ( a) = f ( b) = 0 , 证明 : b 4 ( x) | ≥ max | f ′ | f ( x ) | d x. 2
关于定积分不等式的证法探悉
关于定积分不等式的证法探悉作者：张笛来源：《科教导刊》2014年第02期摘要本文讨论、研究了利用定积分定义，性质，定积分计算，初等不等式，泰勒公式，构造变限积分函数，中值定理，被积函数相关性态，二重积分和柯西—施瓦茨不等式等方法来证明积分不定式；并加以例题分析，阐述运用这些方法时的基本思路和解题技巧。
关键词定积分不等式证明中图分类号：O172.2 文献标识码：AAbout the Proof Method of Definite Integral InequalityZHANG Di（College of Science， China University of Mining and Technology， Beijing 100083）Abstract This article discusses the use of the definite integral definition， nature， definite integral calculation， elementary inequality， Taylor formula， structural change limit integral function， the mean value theorem， the plot function-related behavior， double integrals and Cauchy - Schwarz inequality integration and other methods to prove the infinitive； analyze and make examples to explain the basic ideas and problem-solving skills when using these methods.Key words definite integral； inequality； proof0 引言定积分不等式证明是高等数学的重点和难点，下面通过例题分析，来探讨在定积分不等式证明过程中的基本思路、技巧和方法。
利用定积分证明不等式
利用定积分证明不等式作者：王小林来源：《学周刊·C》2013年第06期摘要：在中学和大学的教学中，关于不等式的证明方法，已有较多的人做了研究，较详细地介绍了证明不等式的若干种常用的方法，笔者在教学中发现，结合利用定积分的几何意义和平面图形的面积大小关系，来证明某些不等式，学生更容易理解，证明过程也更简单。
关键词：定积分；证明；不等式利用定积分证明不等式，主要是利用定积分的几何意义和平面图形的面积大小关系建立不等关系，进而证明不等式。
一、用定积分证明代数不等式例1.证明x>0时，■原高等数学教材中通常利用拉格朗日中值定理来证明这个不等式，方法如下：证明：首先取函数f（x）=1n（1+x），并取闭区间[0，x]显然f（x）在[0，x]上满足拉格朗日中值定理的条件于是有f（x）-f（0）=f′（ξ）（x-0）（0因为f（0）=0，f′（x）=■故上式即为1n（1+x）=■（0由于0x>0时，■对上述证明过程，部分数学基础较差的学生总是觉得难于理解，为什么要取函数f（x）=1n（1+x），并取闭区间[0，x]，使用拉格朗日中值定理得出的结论还要作替换才能找到不等关系。
二、用定积分证明数列不等式例2.求证1+■+■+…+■证明：函数y=■（x>0）是单调递减的函数，其图形如图1所示，在曲线y=■上取两点C （k，■）和Dk+1，■，再分别过这两点引x轴的垂线，观察图形，矩形ABDE的面积■上面各式两边相加得到■+■+■+…+■所以■+■+■+…+■故1+■+■+■+…+■事实上，对函数y=■（x>0，P>0，且P≠1）来说，具有与图1类似的图形，矩形ABDE的面积于是有不等式■以上各式两边相加，并记1+■+■+…+■=Sn，得到，Sn-1Sn当p=2时，就证明了例题2当p=■时得不等式2■-12■+■-1■，由于n>1，■+■-1■>0于是得不等式1+■+■+…+■>■（n>1）三、利用函数y=xp-1（x>0，p>1）的定积分，来证明著名的Young不等式例3.设a≥0，b≥0，■+■=1即（q=■），则有ab≤■+■（p>1）证明：函数y=xp-1（p>1）在x>0时是单调递增的（如图2所示）取x轴上点A（a，0），y轴上点B（0，b），过点A引x轴的垂线，交曲线于y=xp-1于E，过点B引y轴的垂线，交曲线于y=xp-1于D，交线段AE于C，则矩形OACB的面积≤曲边梯形OAE的面积+曲边梯形ODB的面积，又由y=xp-1得x=y■于是ab≤■xp-1dx+■y■dy积分得，ab≤■+■b■，而q=■所以ab≤■+■特别地，取p=q=2，得到a2+b2≥2ab。
关于积分不等式的证明
关于积分不等式的证明积分不等式是高等数学中的一个重要概念，它可以用来研究函数的性质和求解各类数学问题。
下面将对积分不等式进行证明并详细介绍其应用。
首先，我们来证明\[f(x)\geq0, x\in[a,b]\]是一个有界函数，则其积分\[F(x)=\int_a^xf(t)dt\geq0，x\in[a,b]\]也是有界函数。
证明：我们将证明积分\[F(x)=\int_a^xf(t)dt\geq0，x\in[a,b]\]具体分为以下两种情况：情况一：当\(F(x)\geq0，x\in[a,b]\)时，由于函数\(F(x)\)是连续的，所以根据闭区间上连续函数的值域定理，存在\(c\in[a,b]\)使得\(F(c)=M\)（其中，\(M\)是\(F(x)\)在区间\([a,b]\)上的最大值）。
假设\(M<0\)，则存在\(\delta>0\)，使得当\(x\in[a,b]\)且\(0<，x-c，<\delta\)时，有\(F(x)>F(c)\)。
进一步，根据积分的定义，我们可以找到\(\varphi(x)\)使得\(F(x)-F(c)=\int_c^x\varphi(t)dt\)。
由于函数\(f(x)\geq0，x\in[a,b]\)，所以有\(\varphi(t)\geq0\)。
结合前面的不等式，有\[F(x)-F(c)=\int_c^x\varphi(t)dt\geq0，x\in[a,b]\]。
注意到当\(x=c\)时，左边等式成立。
根据积分的唯一性定理，我们可以得到\(\varphi(t)\geq0\)。
因此，当\(x\in[c-\delta,c+\delta)\)时，\(\varphi(t)>0\)。
进一步，根据连续函数局部连续性的定理，我们可以找到\([\alpha,\beta]\subset[c-\delta,c+\delta)\)，使得\(\varphi(t)>0\)，当\(t\in[\alpha,\beta]\)。
定积分与不等式证明
２１ ０ １年 ８月
赤 峰 学 院 学 报 （科 学 教 育 版 ）
Ｊ ｕ ａ ｏ ｈｆ ｇＵ ｉ ｒ ｔ ｓｉ ｃ ｏ ｒ ｌ ｆ ｉ ｎ ｎ ｅｓ ｙ（ｃ ｎ ｅ＆ｅ ｕ ａ ｏ ） ｎ Ｃ ｅ ｖ ｉ ｅ ｄ ｃｔｎ ｉ
Ｖｎ１３ Ｎｏ８ ． ． Ａｕｇ ２０１ ． １
不 等 式 的 证 明 在 数学 分析 中起 着 重 要 作 用 ． 有 足 积 分 笛
的不等式较 为常见 ， 根据含积分 不等式的特点 ， 般可 以考 一 虑 以下几种求证方法 ：
应分积法：ｘｄ ｘ 』 Ｌ 用部分有』ｘ｝ｌ，￣ ｘ ２ｌ ｄ ｎ ＝ ｎ一ｘ ｘ ｌ ｎ ｘ ４ ￣
１ 充分运用积分运算方法 ． ２ 换元积分法 ， 分部积分法不仅能求解积分 ， 在积 分不等
证 引入参数 １ 考察 ｆ ） ）ｘ， １ ， ． ＋ 【 ）由题设 上式在［ｂ （ ｕｆ ｘ （ ａ］ ，上
对任何实数 Ｕ 都不能恒为“”不然 ， ０， 若假设有实数 ｕ使得 ，
ｒｘ ｕｆ）Ｏ （＋ ｘ（＝ ） ｘ
ｕｆｘ （ｄ＋ｕｆｘｘ （ｄ＋』［ｘ２ ＞ ￣ｘ ｘ２ ｆ）ｘｘ ｆ）ｄ ０ ） （ｅ ） （１ｘ
＝
１ 灵活 运 用 性 质 与 运 算 方 法 证 明
［ｎ ｛ｌ２－ ＋ 手ｘ ｎ １ 孚 一 ｎｎ －２
１１ 应用积分性质 ．
一
＜
些不等式的证明一般不必计算 出定 积分 ，因此对 于
再
等ｎ孚 １ ｌ ＋ ｎ 一
ｎ －Ｉ
含抽象函数 的定 积分不等式证 明， 可灵 活应用积分性质．
一
式 的证 明中也起了重要的作 用．
例 ２ 证明不等式 １（ １ ｎ ｎ －
几类定积分不等式的证明_王阳
（苏州大学外国语学院 江苏苏州 215006）
犹太人对自己的生活是有着传统性的恪守，男婴出生第八天要 举行割礼仪式，是对再生的追求，也是对性的约束。一直生活在异
[摘 要]现代美国犹太人在美国这块“应许之地”、“希望之乡”的生 乡的犹太人对自己的身份经历了尴尬、模糊和认定的全面过程。在
分法先求出 f (x) 在[a,b] 上的最大、最小值，再用估值定理即可。
∫ 例：求证
2 exp(− 1 ) ≤ 2
1
−
2 1
exp(− x2 )dx
≤
2
2。
证：先求被积函数
f (x) = exp(− x2 ) 在 ⎡⎢⎣−
1, 2
1 ⎤ 上的最大 2 ⎥⎦
和最小值。
∫ ∫ λ f ( x )dx ≥ λ 1 f ( x )dx 。
0
0
三、利用柯西-许瓦兹不等式证明定积分不等式
( ) ∫ ∫ 当 所 求 证 的 不 等 式 中 含 有 ： b f 2 (x)dx, b f (x)dx 2 或
a
a
∫ ∫ b f (x)dx b g(x)dx 的形式时，可用柯西——许瓦兹不等式求证。
a
a
∵ f ′(x) = −2x exp(−x2 )
3.4 落地技术的对比研究
且经过 T 检验(p<0.01)，它们之间存在显著性差异，体现出两个项
最佳着地技术是尽可能加大脚跟与身体重心之间的水平距离，
目的较大差别。众所周知，助跑速度和起跳能力是决定跳跃成绩的 尽量利用身体重心的抛物线轨迹使双脚落得更远。从起跳脚离地后，
两个最为重要的因素，而在实际情况中，则恰恰是由于主观上要求 运动员身体重心抛物线的移动轨迹就已被决定。但在实际跳跃中，
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探讨定积分不等式的证明方法摘要：文章针对被积函数的特性，给出了几种关于定积分不等式的有效证明方法。
关键词：定积分 不等式 证法不等式的证明在高等数学的学习中很常见，但关于定积分不等式的证明却一直是一个难点。
要证明定积分不等式，首先要看被积函数，其性质确定证明方法。
本文根据被积函数的连续性、单调性、可导性等分别给出几种证法。
1．运用定积分中值定理证明定积分中值定理是将定积分转化为连续函数在该区间上某点的函数值与该区间长度的乘积，即将定积分转化为函数来证明不等式。
例1：设)(x f 在[0,1]上连续且单调不增，证明a ∀∈[0,1]有⎰adxx f 0)(≥⎰1)(dx x f a．证明：由原不等式变形得⎰adx x f 0)(≥⎰⎰+1))()(dx x f dx x f a a （,即是要证：⎰-adx x f a 0)()1(≥⎰1)(dx x f a ,对左式，)(x f 在[0,1]上连续，故由定积分中值定理知：[]a ，01∈∃ξ使)()1()()110ξf a a dx x f a a-=-⎰（,同理对右式：[]12，a ∈∃ξ使)()1()(21ξf a a dx x f a -=⎰,显然，ξ1＜ξ2又f(x)在[0,1]上单调不增， ∴f (ξ1)≥f (ξ2)故原不等式⎰adx x f 0)(≥⎰1)(dx x f a 成立.定积分中值定理的运用直观易懂，它的条件也极其简单，易于掌握。
2．运用辅助函数证明构造辅助函数F(x)证明不等式，首先是做函数将要证结论中的积分上限（下限）换成x ，移项使不等式的一边为零，另一边的表达式即是辅助函数。
然后再求F ’(x)，并运用单调性及区间端点值特性证明不等式。
例2：设)(x f 在[a ，b]上连续,且)(x f >0. 试证：2b)()(1)(a b dx x f dx x f a ba-≥⎰⎰ 证明：构造辅助函数2)()(1)()(a x dt t f dt t f x F xaxa--=⎰⎰（将b 换成x ）， 则⎰⎰--+=xa xaa x dt t f x f dt t f x f x F )(2)()(1)(1)()('=⎰⎰⎰-+x a x a xadt dt x f t f dt t f x f 2)()()()(=dt x f t f t f x f xa )2)()()()((-+⎰ ∵)(x f ＞0，∴02)()()()(≥-+x f t f t f x f ， 又a <x ，∴0)('≥x F ，即)(x F 单调不减，又0)(=a F ，∴0)()(=≥a F b F ，故2b)()(1)(a b dx x f dx x f a ba-≥⎰⎰． 该题构造出积分上限函数，其目的是用单调性来证明不等式。
这种方法开门见山、直截了当。
3．运用定积分的性质和几何意义证明与定积分的概念相联系“以直代曲”的“近似代替”的思想，加上积分的几何直观使得不等式的证明变得更加简捷。
例３：证明不等式edx x e x x 12)1(sin 312π≤+⎰． 证明：因为31≤≤x 时)1(1)1(sin 22x e x e x x +≤+，两端积分得：e x e dx x e x x 12111)1(sin 312312π=+≤+⎰⎰例４：设1,≥b a 时，证明不等式b b e ab a ln 1+≤-． 证明：⎰-+=bb xdx b b 11ln ln ，111+=⎰--dx e ea x a ，根据定积分的几何意义知：b e b b dx e xdx b a a ba x -+=+≤---⎰⎰111ln ln )1（，即b b e ab a ln 1+≤-.本题关键在于深刻领悟定积分概念的由来，即求曲边梯形的面积问题推导的四个步骤：分割、取点、作和与求极限，这里充分运用了“近似代替”的几何直观来加以证明。
4．运用拉格朗日中值定理证明利用拉格朗日中值定理证明不等式，首先要构造满足中值定理条件的函数和区间，然后进行不等式放缩，再用定积分比较定理、估值定理或函数的绝对值不等式等。
例5：设)(x f 在],[b a 上可导，且M x f ≤）('，0)(=a f ， 试证：2b)(2)(a b Mdx x f a-≤⎰. 证明：由题设],[b a x ∈∀，)(x f 在[a ，b]上都满足拉氏中值定理的条件，于是有：))((')()()(a x f a f x f x f -=-=ξ，),(x a ∈ξ，∵M x f ≤）('， ∴)()(a x M x f -≤ 两边在[a ，b]上定积分得：2)(2)()(a b Mdx a b M dx x f baba -=-≤⎰⎰.此题运用拉格朗日中值定理简直如行云流水，如果采用其他办法显然比较繁琐。
5．运用Taylor 公式证明当已知被积函数f(x)二阶或二阶以上可导且又知最高阶导数的符号时，通常采用泰勒展开式来证明。
首先要写出f(x)的泰勒展开式，然后根据题意写出某些点的泰勒展开式，再进行适当的放缩以变成不等式，最后用定积分的性质进行处理。
例6：设)(x f 在],[b a 上单调增加，且)("x f ＞0，证明)()(a f a b -＜⎰badx x f )(＜2)()()(b f a f a b +-证明：先证左不等号：)()(a f a b -＜⎰badx x f )(，],[b a x ∈∀，x ＞a ，)(x f 单调增加，所以)(x f ＞)(a f故⎰badx x f )(＞)()(a f a b - (1)再证右不等号：⎰badx x f )(＜2)()()(b f a f a b +-，],[b a t ∈∀，)(t f 在点x 处的Taylor 展式为：2))(("!21))((')()(x t f x t x f x f t f -+-+=ξ,其中ξ在t 与x 之间，因)("ξf ＞0，所以)(t f ＞))((')(x t x f x f -+，将a t b t ==,分别代入上式并相加得：)()(b f a f +＞)(2)(')()(2x xf x f b a x f -++，将此式在],[b a 上积分得：[])()()(a b b f a f -+＞⎰⎰⎰-++bab abadx x xf dx x f b a dx x f )(2)(')()(2，有))](()([2a b b f a f -+＞⎰badx x f )(4，故⎰badx x f )(＜2)()()(b f a f a b +- (2)综合（1）、（2），原不等式得证.Taylor 公式的应用在大学数学的学习中是一个绝对的难点，往往很难掌握。
一个题目在你用其他方式很难解决时，Taylor 公式常会给你意想不到的突破。
6．运用柯西—斯瓦兹不等式证明 柯西—斯瓦兹不等式：例7：设)(x f 在[0,1]上有一阶连续导数且1)0()1(=-f f ，试证：1)]('[102≥⎰dx x f . 证明：∵⎰=-1)(')0()1(dx x f f f ，又1)0()1(=-f f ，所以⎰=101)('dx x f ，因)(x f 在[0,1]上可导，所以)(x f 在[0,1]上连续，由柯西—斯瓦兹不等式得：1))('()]('[1210102=≥⎰⎰⎰dx x f dx x f dx ， 即是1)]('[102≥⎰dx x f . 柯西—斯瓦兹不等式是大学数学中的又一难点，虽然记忆起来并不困难，但应用是灵活多变的。
7．运用重积分证明重积分要化为定积分来计算，这是众所周知的事实，但反之定积分的乘积往往又可以化为重积分，将定积分不等式的证明化为重积分不等式来证明，也是一种常见的方法。
例8：设)(x f 是在[0，1]上单调增加的连续函数，试证：⎰⎰⎰⎰≥12103102103)()()()(dxx f dx x f dx x xfdxx xf .证明：设dx x xf dx x f dx x f dx x xf I )()()()(12131213⎰⎰⎰⎰-==ydxdy y f x f dxdy y f x xf DD)()()()(2323⎰⎰⎰⎰- =dxdy y x y f x f D))(()(23-⎰⎰ (1)同样 dxdy x y y f x f I D))(()(32-=⎰⎰…（2） （1）+（2）可得dxdy y f x f y f x f y x I D))()()(()()(232--=⎰⎰， 由于)(x f 在[0，1]上单调增加，故0))()()((≥--y f x f y x ，∴0≥I ，从而dx x xf dx x f dx x f dx x xf)()()()(121312103⎰⎰⎰⎰≥即⎰⎰⎰⎰≥12103102103)()()()(dxx f dx x f dxx xfdxx xf总的来说，证明不等式是一门艺术，它具有自己独到的技术手法。
在此，我研究了上述7种方法来证明不等式，使一些复杂不等式的证明变得更加简洁，也会使一些不等式的证明变得一题多解。