古典概型和几何概型

古典概型和几何概型
古典概型和几何概型都是特殊的随机事件概率模型，
是高考常考的知识点.高考试卷中，古典概型和几何概型常
以选择题、填空题的形式出现，有时也有解答题，属中、低
档题目；理科绝大多数与排列组合、分布列、期望、方差、
平面几何、函数、向量等一起综合考查.
重点难点
重点：明确古典概型的等可能性和有限性；明确几何概
型的等可能性和无限性. 会灵活应用古典概型和几何概型
的概率计算公式，特别是古典概型中，文科学生主要掌握借
助表格、树形图用列举法求解概率；理科学生更应掌握用排
列组合、独立重复事件、二项分布、对立事件的概率公式和
互斥事件的概率加法公式等方法求概率.
摇难点：要会区分问题是古典概型或几何概型；慎重对
待基本事件的等可能性，注意要恰当地分类，并做到试验包
含的基本事件不重不漏；选择合适的方法和测度解决概率问
题，特别要分清问题是“放回”还是“不放回”，是“有序”
还是“无序”.
方法突破
（1）对简单的概率问题要能迅速判断出是哪种类型的
概率问题，再套用公式解决.
（2）对古典概型，要会用列举法，借助表格、树形图
等写出所有基本事件和所求事件包含的基本事件. 求古典
概型的一般方法和步骤如下：
①判断试验是否为等可能性事件，并用字母表示所求事
件.
②计算基本事件的个数n及事件A中所包含的基本事件
的个数m.
③计算事件A的概率P（A）=■.
（3）对几何概型，要根据题意判断是直线型、面积型、
体积型还是角度型.判断的关键是看它是不是等可能的，也
就是点是不是均匀分布的.求解的关键是要注意古典概型与
几何概型的区别（基本事件的有限性和无限性），构造出随
机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件
的概率.
（4）要注意古典概型、几何概型与其他知识的联系，
根据问题的特点，联想相关知识，找到所求事件满足的条件.
典例精讲
一、几种几何概型的辨别
1. 长度型几何概型
■例1 在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一
点M，求AM 思索 记“AM 破解 P（A）=■=■=■=■.
2. 角度型几何概型
■例2 如图1，在等腰直角三角形ABC中， 过直角顶
点C在∠ACB内部任作一条射线，与线段AB交于点M，求AM
■
图1
思索 这是与例题形式质异的几何概型问题. 记“AM
破解 在等腰直角三角形ABC中，∠CAC′=■. 又AC′=AC，
所以得∠ACC′=■，即P（B）=■=■=■=■.
3. 面积型几何概型
■例3 如图2，在等腰直角三角形ABC中，C为直角顶
点，在三角形内取点P，连结CP交AB于M，求AM ■
图2
思索 这是与例题形式质异的几何概型问题. 记“AM
破解 在等腰直角三角形ABC中，∠CAC′=45°. 令AC=1，
则P（C）=■=■=■.
二、古典概型与几何概型的辨别
■例4 （1）在[0，10]中任取一个整数，求它与2的和
小于5的概率；
（2）在[0，10]中任取一个数，求它与2的和小于5的
概率；
（3）从[0，10]中随机取两个数，求这两数之和大于12
的概率；
（4）在[0，10]中随机取三个数，求使得任意两数之和
大于第三个数的概率.
思索 题（1）中基本事件的个数为11个，且是等可能
的，故为古典概型；题（2）中基本事件的个数是无限的，
其可看成在长度为10的线段上取点，故为几何概型；与题
（2）不同，尽管题（3）中基本事件的个数是无限的，是在
线段上随机取点，但两点间的距离值不是等可能的，故不能
用线段的长度作为测度进行概率计算，而应该引进两个变量
解决；由题（3）可知，题（4）应该引进三个变量解决.
破解 （1）记“在[0，10]中任取一个整数，与2的和
小于5”为事件A，则P（A）=■.
（2）记“在[0，10]中任取一个数，与2的和小于5”
为事件B，则P（B）=■.
（3）设x，y为[0，10]上的任意两个数，等价于在平
面直角坐标系内，作出点（x，y），如图3，记“在[0，10]
中随机取两个数，这两数之和大于12”为事件C，则事件C
所包含的区域应满足0≤x≤10，0≤y≤10，x+y≥12，则P
（C）=■=■.
（4）在[0，10]上随机取三个数，等价于在空间直角坐
标系内，作出点（x，y，z），如图4，记“在[0，10]上随机
取三个数，任意两数之和大于第三个数”为事件D，则事件
D所包含的区域应满足x+y>z，y+z>x，x+z>y，则P（D）=
■=■=■.
■
图3 图4
三、有放回抽样和无放回抽样的区别 ■例5 现
有一批产品共3件，其中2件是正品，1件次品.
（1）从中一次取出2件，求2件都是正品的概率；
（2）如果从中取出1件，然后放回，再任取1件，求
两次取出的都是正品的概率.
思索 本例不仅有“有序”与“无序”的区别，还有”
有放回”和“无放回”的区别. 在基本事件个数不是很多的
情况下，都可以用列表或树形图的方式逐一列出.
破解 将2件正品分别记为正1、正2.
（1）一次取出2件产品，所有的基本事件为（正1，正
2），（正1，次），（正2，次），共3个，且所有的基本事件
都是等可能的，其中事件“2件都是正品”所包含的基本事
件只有1个，故所求事件的概率为■.
（2）从中取出1件放回后再取1件，所有的基本事件
为（正1，正1），（正1，正2），（正1，次），（正2，正1），
（正2，正2），（正2，次），（次，正1），（次，正2），（次，
次），共9个，且所有的基本事件都是等可能的，其中事件
“两次取出的都是正品”所包含的基本事件共4个，故所求
事件的概率为■.
■例6 某市公租房的房源位于A，B，C三个片区. 设每
位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任意一个
片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：
（1）没有人申请A片区房源的概率；
（2）每个片区的房源都有人申请的概率.
思索 利用古典概型的概率计算公式计算即可.
破解 （1）所有可能的申请方式共有34种，而“没有
人申请A片区房源”的申请方式有24种，记“没有人申请A
片区房源”为事件A，则P（A）=■=■.
（2）所有可能的申请方式有34种，而“每个片区的房
源都有人申请”的申请方式有C■■A■■种，记“每个片区
的房源都有人申请”为事件B，从而有P（B）=■=■.
变式练习
1. 已知A={a，b，c，d}，B={1，2，3，4}，A=B，则（a-1）
（b-2）（c-3）（d-4）≠0的概率是（ ）
A. ■ B. ■ C. ■ D. ■
2. 设不等式组0≤x≤2，0≤y≤2表示的平面区域为D，
在区域D内随机取一个点P，则此点到坐标原点的距离大于
2的概率是（ ）
A. ■ B. ■
C. ■ D. ■
3. 如图5，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通
信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区
域CBF（该矩形区域内无其他信号来源， 基站工作正常）. 若
在该矩形区域内随机地选一地点， 则该地点无信号的概率
是（ ）
■
图5
A. 1-■ B. ■-1
C. 2-■ D. ■
4. 已知函数f（x）=ax2-2bx+a（a，b∈R）.
（1）若a是从集合{0，1，2，3}中任取的一个元素，b
是从集合{0，1，2，3}中任取的一个元素，求方程f（x）=0
恰有两个不等实根的概率；
（2）若a是从区间[0，2]中任取的一个数，b是从区间
[0，3]中任取的一个数，求方程f（x）=0没有实根的概率.
5. 已知向量a=（2，1），b=（x，y）.
（1）若x∈{-1，0，1}，y∈{-2，-1，2}，求向量a⊥
b的概率；
（2）若用计算机产生的随机二元数组（x，y）构成区
域Ω：-10圳b>a且a≠0. 此时a，b的取值情况有：（1，2），
（1，3），（2，3），即事件A包含的基本事件数为3. 所以方
程f（x）=0恰有两个不相等的实数根的概率为P（A）=■.
（2）因为a是从区间[0，2]中任取的一个数，b是从区
间[0，3]中任取的一个数，则试验的全部结果构成区域{（a，
b）0≤a≤2，0≤b≤3}，这是一个矩形区域，其面积SΩ=2
×3=6. 设“方程f（x）=0没有实根”为事件B，则事件B
所构成的区域为{（a，b）0≤a≤2，0≤b≤3，a>b}，其面
积SM=■×2×2=2.由几何概型的概率计算公式可得方程f
（x）=0没有实数根的概率为P（B）=■=■.
5. （1）从x∈{-1，0，1}，y∈{-2，-1，
2}取两个数x，y的基本事件有：（-1，-2），（-1，-1），
（-1，2），（0，-2），（0，-1），（0，2），（1，-2），（1，-1），
（1，2），共9种. 设“向量a⊥b”为事件A，若向量a⊥b，
则2x+y=0. 所以事件A包含的基本事件有：（-1，2），（1，
-2），共2种. 所以所求事件的概率P（A）=■.摇
（2）二元数组（x，y）构成区域Ω={（x，y）-1