古典概型、几何概型复习知识点和综合习题精编版
1-3古典概型与几何概型
例（会面问题）甲、乙两人相约8点到9点在某 地会面，先到者等候另一人20分钟，过时就可 离去，试求这两人能会面的概率． 解： 以x，y分别表示甲、乙两人的到达时刻，则两人能
y
60
会面的充要条件为 x y 20
y x 20
x y 20
{( x , y ) | 0 x 60, 0 y 60} A {( x , y ) | ( x , y ) ,| x y | 20}
事件分别为A,B,C,D.
（1）第i次取到的是黑球；
…
1 2 i
…
a+b
a ab
P ( A)
a [(a b 1)!] ( a b )!
----------抽签的公平性
(2)第i次才取到黑球；
…
1
P( B)
…
i-1
2
a Pb
i 1
3
i
a Pb
i i 1
a+b
r
2( n r 1) n( n 1)
n!
练习：
P30 : 12
（2）袋中取球问题（有无放回取球，取球是否考虑顺序） 例：一个袋子中装有10个大小相同的球，其中 3个黑球，7个白球。每次随机地从袋中取一 球，连续取两次。 取球方式 (1)无放回 (2)有放回
分别求下列事件的概率：
(1)取到的两球刚好一个白球一个黑球 (2)两个球全是黑球 (3)两个球中至少有一个黑球
P ( A) 1 P ( A) 1 C 9995 C10000
10 10
0.00499
2.《学习指导与习题解析》：P21:6, P23:9
高中 古典概型 知识点+例题+练习
教学过程【训练2】(2014·滨州一模)甲、乙两名考生在填报志愿时都选中
了A，B，C，D四所需要面试的院校，这四所院校的面试安排在同
一时间．因此甲、乙都只能在这四所院校中选择一所做志愿，假设
每位同学选择各个院校是等可能的，试求：
(1)甲、乙选择同一所院校的概率；
(2)院校A，B至少有一所被选择的概率．
1．古典概型计算三步曲
第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；
第三，事件A是什么，它包含的基本事物有多少个．
2．确定基本事件的方法
列举法、列表法、树形图法．
教
学
效
果
分
析。
第九章 第二节 古典概型、几何概型
9
必备知识·自主梳理
题型突破·重点探究
课时作业·巩固提升
一轮 ·数学（文）
易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是试验中每个结果的发生是 等可能的，不同之处是几何概型的试验结果的个数是无限的，古典概 型中试验结果的个数是有限的.
A.14
B.13
1
2
C.2
D.3
13
必备知识·自主梳理
题型突破·重点探究
课时作业·巩固提升
一轮 ·数学（文）
[解析] 令 t＝2x，函数有零点就等价于方程 t2－2at＋1＝0 有正根，进而 Δ≥0
可得t1＋t2＞0⇒a≥1，又 a∈[－2，2]，所以函数有零点的实数 a 应满足 t1t2＞0
a∈[1，2]，故 P＝14.
大于 2 的区域.易知该阴影部分的面积为 4－π.因此满足
条件的概率是4－4 π＝1－π4. 答案：1－π4
12
必备知识·自主梳理
题型突破·重点探究
课时作业·巩固提升
一轮 ·数学（文）
题型一 几何概型 多维探究
考法(一) 与长度、角度有关的几何概型 [例1] (1)从区间[－2，2]中随机选取一个实数a，则函数f(x)＝4x－a·2x＋1 ＋1有零点的概率是( A )
14
必备知识·自主梳理
题型突破·重点探究
课时作业·巩固提升
一轮 ·数学（文）
(2)如图，扇形 AOB 的圆心角为 120°，点 P 在弦 AB 上，且 AP＝13AB，延 长 OP 交弧 AB 于点 C，现向扇形 AOB 内投一点，则该点落在扇形 AOC 内的概率为____________.
高考一轮总复习-082.古典概型与几何概型(基础)-知识讲解
高考总复习：古典概型与几何概型【考点梳理】知识点一、古典概型1. 定义具有如下两个特点的概率模型称为古典概型：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等。
2. 古典概型的基本特征（1）有限性：即在一次试验中，可能出现的结果，只有有限个，也就是说，只有有限个不同的基本事件。
（2）等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的。
3.古典概型的概率计算公式由于古典概型中基本事件发生是等可能的，如果一次试验中共有n 种等可能的结果，那么每一个基本事件的概率都是1n。
如果某个事件A 包含m 个基本事件，由于基本事件是互斥的，则事件A 发生的概率为其所含m 个基本事件的概率之和，即n m A P =)(。
所以古典概型计算事件A 的概率计算公式为：试验的基本事件总数包含的基本事件数事件A A P =)( 4.求古典概型的概率的一般步骤：（1）算出基本事件的总个数n ；（2）计算事件A 包含的基本事件的个数m ；（3）应用公式()m P A n=求值。
5．古典概型中求基本事件数的方法：（1）穷举法；（2）树形图；（3）排列组合法。
利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理，必须做到不重复不遗漏。
知识点二、几何概型1. 定义：事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关。
满足以上条件的试验称为几何概型。
2.几何概型的两个特点：（1）无限性，即在一次试验中基本事件的个数是无限的；（2）等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的。
3.几何概型的概率计算公式：随机事件A 的概率可以用“事件A 包含的基本事件所占的图形面积（体积、长度）”与“试验的基本事件所占总面积（体积、长度）”之比来表示。
所以几何概型计算事件A 的概率计算公式为：Ω=μμA A P )( 其中μΩ表示试验的全部结果构成的区域Ω的几何度量，A μ表示构成事件A 的区域的几何度量。
高中数学必修3-古典概型、几何概型复习总结
古典概型、几何概型 必修32．从含有3件正品和1件次品的4件产品中任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是A ．14B ．13C ．12D ．1 3．将一颗骰子连续抛掷两次，至少出现一次6点向上的概率是 A.181 B.3611 C.3625 D.361 4．要将一根长为60cm 的木棒截成两段，有一段小于15cm 的概率是 A. 41 B. 21 C. 31 D. 32 5．在半径为2的圆中随机地撒一把豆子，则豆子落在圆内接正三角形ABC ∆中的概率等于A ．2πB ．2πC ．4πD ．4π7．口袋中装有编号为1，2，3，4，5的5个大小相同的球，其中1到3号为红球，4号和5号为白球，现从中任意摸出2个球．（1）求摸出的两球同色的概率；（2）求摸出的两球不同色，且至少有一个球的编号为奇数的概率．8.某校高一年级要从3名男生a 、b 、c 和2名女生d 、e 中任选3名代表参加学校的演讲比赛. 求：（1）男生a 被选中的概率；（2）求男生a 和女生d 至少一人被选中的概率.12．等腰Rt ABC ∆中，在斜边AB 上任取一点M ，则AM 的长小于AC 的长的概率为 ．13．在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点，则该点到此三角形的直角顶点的距离不大于1的概率是 ．16.袋中有大小相同的红、绿两种颜色的球各1个，每次从中任取一球，记下颜色，有放回地抽取3次，求：（1）“3次抽的都是红球”的概率；（2）“3次恰有两次抽的是绿球”的概率；（3）“3次抽的球颜色不全相同”的概率.17.某校学生李明放学回家有2路和11路两路公共汽车可供选择，其中2路车每5分钟一班，11路车每10分钟一班，问李明等车时间不超过3分钟的概率是多少？1.C2.C3.B4.B5.C6. ()()()1P A P B P C ++=7．解：基本事件共10个：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}（1）记“摸出的两球同色”为事件A ，事件A 包含的基本事件有4个：{1，2}，{1，3}，{2，3}，{4，5}，P(A)=42105= （2）记“摸出的两球不同色，且至少有一个球的编号为奇数” 为事件B ，事件B 包含的基本事件有5个： {1，4}，{1，5}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，P(B)=51102= 8.解:基本事件共(a,b,c)，(a,b,d)，(a,b,e)，(a,c,d)，(a,c,e)，(a,d,e) ，(b,c,d)，(b,c,e)，(b,d,e)，(c,d,e)共10种.(1)男生a 被选中的选法是:(a,b,c)，(a,b,d)，(a,b,e)，(a,c,d)，(a,c,e)，(a,d,e)共6种 男生a 被选中的概率为63105= (2)男生a 和女生d 至少一人被选中的选法是:(a,b,c)，(a,b,d)，(a,b,e)，(a,c,d)，(a,c,e)，(a,d,e)， (b,c,d)， (b,d,e)，(c,d,e)共9种男生a 和女生d 至少一人被选中的概率为9109.D 10.A 11.B 12.13. 8π 14. 52325300138=⨯⨯ 15．解：A B 这一事件包括4种结果，即出现1，2，3和5，42()63P A B == 16.17.解：设2路车到达时间为x 和11路到达时间为y .(x , y )可以看做平面中的点，试验的全部结果所构成的区域为{(,)|05010}x y x y Ω=≤≤≤≤且，这是一个长方形区域，面积为51050S Ω=⨯= A 表示李明等车时间不超过3分钟，所构成的区域为{(,)|03,03}A x y x y =≤≤≤≤或，即图中的阴影部分，面积为3103236A S =⨯+⨯=，这是一个几何概型，所以36()0.7250A S P A S Ω===。
2021高考数学复习专题 古典概型与几何概型 (文 精讲)
专题11.2 古典概型与几何概型【考情分析】1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.3.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；4.了解几何概型的意义. 【重点知识梳理】 知识点一 基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 知识点二 古典概型具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型. (1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果. (2)每一个试验结果出现的可能性相同.【特别提醒】如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n ；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝mn.知识点三 古典概型的概率公式 P (A )＝事件A 包含的可能结果数试验的所有可能结果数.知识点四 几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.知识点五 几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性. 知识点六 几何概型的概率公式P (A )＝构成事件A 的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.【典型题分析】高频考点一 古典概型的概率计算【例1】【2020·浙江卷】盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则(0)P ξ==_______，()E ξ=_______． 【变式探究】(2019·天津卷)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F .享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．(ⅰ)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；(ⅰ)设M 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M 发生的概率．【方法规律】有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是解题的关键【变式探究】(1)(2019·全国卷ⅰ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )A.23B.35C.25D.15(2)(2019·全国卷ⅰ)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( ) A.16 B.14 C.13D.12【变式探究】(2019·江苏卷)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 ．【举一反三】(2018·天津卷)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160. 现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．ⅰ试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；ⅰ设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率． 高频考点二 综合考查古典概型与其他知识【例2】（2020·河南省焦作模拟）从集合{1,2,3,4}中随机抽取一个数a ，从集合{1,2,3}中随机抽取一个数b ，则向量m ＝(a ，b )与向量n ＝(2,1)共线的概率为( )A.16B.13C.14D.12【变式探究】（2020·黑龙江省大庆模拟）将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点的概率为 ．【举一反三】（2020·江苏省宿迁模拟）已知a ＝log 0.55，b ＝log 32，c ＝20.3，d ＝⎝⎛⎭⎫122，从这四个数中任取一个数m ，使函数f (x )＝13x 3＋mx 2＋x ＋2有极值点的概率为( )A.14B.12C.34D ．1高频考点三 与长度、角度有关的几何概型【例3】（2020·浙江省舟山模拟）在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形的面积大于20 cm 2的概率为 ( )A.16 B.13 C.23D.45【方法技巧】长度、角度等测度的区分方法(1)如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则把题中所表示的几何模型转化为长度，然后求解．解题的关键是构建事件的区域(长度)．(2)当涉及射线的转动、扇形中有关落点区域问题时，应以角度的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段．【变式探究】（2020·安徽省芜湖模拟）如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在ⅰDAB 内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为 ．高频考点四 与体积有关的几何概型【例4】（2020·江西省南昌模拟）在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为( )A.6πB.32πC.3πD.233π 【方法技巧】与体积有关的几何概型问题如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用空间几何体的体积表示，则其概率的计算公式为： P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积，求解的关键是计算事件的总体积以及事件A 的体积．【变式探究】（2020·广东省江门模拟）在棱长为2的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为 ．高频考点五 与面积有关的几何概型【例5】（2020·山东省淄博模拟）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的，如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A.14B.18C.38D.316【变式探究】（2020·山东省滨州模拟）已知关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，2x ＋y －4≤0，x ≥0表示的平面区域为M ，在区域M 内随机取一点N (x 0，y 0)，则3x 0－y 0－2≤0的概率为( )A.56B.34C.35D.13【举一反三】（2020·陕西省宝鸡模拟）在区间(0,2)内随机取一个实数a ，则满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，y ≥0，x －a ≤0的点(x ，y )构成区域的面积大于1的概率是( )A.18B.14C.12D.34专题11.2 古典概型与几何概型【考情分析】1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.3.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；4.了解几何概型的意义. 【重点知识梳理】 知识点一 基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 知识点二 古典概型具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型. (1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果. (2)每一个试验结果出现的可能性相同.【特别提醒】如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n ；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝m n.知识点三 古典概型的概率公式 P (A )＝事件A 包含的可能结果数试验的所有可能结果数.知识点四 几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.知识点五 几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性. 知识点六 几何概型的概率公式P (A )＝构成事件A 的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.【典型题分析】高频考点一 古典概型的概率计算【例1】【2020·浙江卷】盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则(0)P ξ==_______，()E ξ=_______． 【答案】13，1 【解析】因为0ξ=对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，所以1111(0)4433P ξ==+⨯=，随机变量0,1,2ξ=，212111211(1)434324323P ξ==⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 111(2)1333P ξ==--=，所以111()0121333E ξ=⨯+⨯+⨯=.【变式探究】(2019·天津卷)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F .享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．(ⅰ)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；(ⅰ)设M 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M 发生的概率． 【解析】(1)由已知，老、中、青员工人数之比为6ⅰ9ⅰ10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人． (2)(ⅰ)从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{D ，E }，{D ，F }，{E ，F }，共15种．(ⅰ)由表格知，符合题意的所有可能结果为{A ，B }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{C ，E }，{C ，F }，{D ，F }，{E ，F }，共11种．所以，事件M 发生的概率P (M )＝1115.【方法规律】有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是解题的关键【变式探究】(1)(2019·全国卷ⅰ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )A.23B.35C.25D.15(2)(2019·全国卷ⅰ)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( ) A.16 B.14 C.13 D.12【答案】(1)B (2)D【解析】(1)设5只兔子中测量过某项指标的3只为a 1，a 2，a 3，未测量过这项指标的2只为b 1，b 2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a 1，a 2，a 3)，(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 1，b 1，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，(a 2，b 1，b 2)，(a 3，b 1，b 2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，共6种可能．故恰有2只测量过该指标的概率为610＝35.故选B.(2)设两位男同学分别为A ，B ，两位女同学分别为a ，b ，则用“树形图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示．由图知，共有24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“√”的情况)共有12种，故所求概率为1224＝12.故选D 。
高二年级数学必修3第三章知识点：古典概型与几何概型知识点总结
高二年级数学必修3第三章知识点：古典概型与几何概型知
识点总结
数学在科学发展和现代生活生产中的应用非常广泛，以下是为大家整理的高二年级数学必修3第三章知识点，希望可以解决您所遇到的相关问题，加油，一直陪伴您。
知识梳理
1. 基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果(事件 )称为一个基本事件
特别提醒：基本事件有如下两个特点：
○1任何两个基本事件都是互斥的;
○2任何事件都可以表示成基本事件的和。
2.所有基本事件的全体，叫做样本空间，用表示，例如抛一枚硬币为一次实验，则={正面，反面}。
3.等可能性事件(古典概型)：如果一次试验中可能出现的结果有个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是，这种事件叫等可能性事件
特别提醒：古典概型的两个共同特点：
○1有限性，即试中有可能出现的基本事件只有有限个，即样本空间中的元素个数是有限的;
○2等可能性，即每个基本事件出现的可能性相等。
4.古典概型的概率公式：如果一次试验中可能出现的结果有个，而且所有结果都是等可能的，如果事件包含个结果，那么事件的概率
5.几何概型：如果第个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。
特别提醒：几何概型的特点：
○1试验的结果是无限不可数的;
○2每个结果出现的可能性相等。
6.几何概型的概率公式： P(A)=
最后，希望小编整理的高二年级数学必修3第三章知识点对您有所帮助，祝同学们学习进步。
高考数学一轮复习---古典概型与几何概型知识点与题型复习
古典概型与几何概型知识点与题型复习一、基础知识1.古典概型(1)古典概型的特征：①有限性：在一次试验中，可能出现的结果是有限的，即只有有限个不同的基本事件；,②等可能性：每个基本事件出现的可能性是相等的.一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性. (2)古典概型的概率计算的基本步骤：①判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件为A ；②分别计算基本事件的总数n 和所求的事件A 所包含的基本事件个数m ； ③利用古典概型的概率公式P (A )＝mn ，求出事件A 的概率.(3)频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同(1)概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.(2)几何概型的基本特点：①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个； ②每个基本事件出现的可能性相等. (3)计算公式：P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).几何概型应用中的关注点(1)关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率. (2)确定基本事件时一定要选准度量，注意基本事件的等可能性.二、考点解析考点一 古典概型例、(1)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( )A.112B.114C.115D.118(2)将一枚质地均匀的骰子投掷两次，得到的点数依次记为a 和b ，则方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解的概率是( )A.736B.12C.1936D.518跟踪训练1.已知a ∈{－2,0,1,2,3}，b ∈{3,5}，则函数f (x )＝(a 2－2)e x ＋b 为减函数的概率是( ) A.310 B.35 C.25 D.152.从分别标有1,2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )A.518B.49C.59D.793.将A ，B ，C ，D 这4名同学从左至右随机地排成一排，则“A 与B 相邻且A 与C 之间恰好有1名同学”的概率是( )A.12B.14C.16D.18 考点二 几何概型类型(一) 与长度有关的几何概型例1、在[－6,9]内任取一个实数m ，设f (x )＝－x 2＋mx ＋m ，则函数f (x )的图象与x 轴有公共点的概率等于( ) A.215 B.715 C.35 D.1115 类型(二) 与面积有关的几何概型例2、(1)如图，六边形ABCDEF 是一个正六边形，若在正六边形内任取一点，则该点恰好在图中阴影部分的概率是( )A.14B.13C.23D.34(2)如图，圆O ：x 2＋y 2＝π2内的正弦曲线y ＝sin x 与x 轴围成的区域记为M (图中阴影部分)，随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是( )A.4π2B.4π3C.2π2D.2π3类型(三) 与体积有关的几何概型例3、已知在四棱锥P ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，P A ＝AB ＝2，现在该四棱锥内部或表面任取一点O ，则四棱锥O ABCD 的体积不小于23的概率为________.类型(四) 与角度有关的几何概型例4、如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧，在∠DAB 内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________.跟踪训练1.一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是AB 的中点，一只蝴蝶在几何体ADF BCE 内自由飞翔，则它飞入几何体F AMCD 内的概率为( )A.34B.23C.13D.122.在区间[0，π]上随机取一个数x ，则事件“sin x ＋cos x ≥22”发生的概率为________. 3.向圆(x －2)2＋(y －3)2＝4内随机投掷一点，则该点落在x 轴下方的概率为________.课后作业1.2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22 mm ，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是( ) A.363π10 mm 2 B.363π5 mm 2 C.726π5 mm 2 D.363π20mm 2 2.甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“《论语》知识大赛”，决出第1名到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说“你当然不会是最差的”，从上述回答分析，丙是第一名的概率是( )A.15B.13C.14D.163.现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完结束的概率为( ) A.110 B.15 C.310 D.254.如图是一个边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍.若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为( )A.π8B.π16C.1－π8D.1－π165.已知圆C ：x 2＋y 2＝1，直线l ：y ＝k (x ＋2)，在[－1,1]上随机选取一个数k ，则事件“直线l 与圆C 相离”发生的概率为( )A.12 B.2－22 C.3－33 D.2－326.从1～9这9个自然数中任取7个不同的数，则这7个数的平均数是5的概率为________.7.一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称这个三位数为“好数”(如213,134)，若a ，b ，c ∈{1,2,3,4}，且a ，b ，c 互不相同，则这个三位数为“好数”的概率是________.8.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，展现了一种相互转化，相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在如图所示的平面直角坐标系中，圆O 被函数y ＝3sin π6x 的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为________.9.已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率.10.在某大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到A ，B ，C ，D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.(1)求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率； (3)求五名志愿者中仅有一人参加A 岗位服务的概率.提高训练1.甲、乙二人约定7：10在某处会面，甲在7：00～7：20内某一时刻随机到达，乙在7：05～7：20内某一时刻随机到达，则甲至少需等待乙5分钟的概率是( )A.18B.14C.38D.582.如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个2×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为( )A.17B.27C.37D.473.已知等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，在∠CAB 内作射线AM ，则使∠CAM ＜30°的概率为________.4.已知P 是△ABC 所在平面内一点，且PB ―→＋PC ―→＋2P A ―→＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )A.14B.13C.12D.235.点集Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤e ，0≤y ≤e}，A ＝{(x ，y )|y ≥e x ，(x ，y )∈Ω}，在点集Ω中任取一个元素a ，则a ∈A 的概率为( )A.1eB.1e 2 C.e －1e D.e 2－1e26.如图，来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC .△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则( ) A.p 1＝p 2 B.p 1＝p 3 C.p 2＝p 3 D.p 1＝p 2＋p 37.双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，其中a ∈{1,2,3,4}，b ∈{1,2,3,4}，且a ，b 取到其中每个数都是等可能的，则直线l ：y ＝x 与双曲线C 的左、右支各有一个交点的概率为( ) A.14 B.38 C.12 D.588.在区间[0,1]上随机取两个数a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋ax ＋14b 有零点的概率是________.。
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知识点一：变量间的相关系数 1.两变量之间的关系(1)相关关系——非确定性关系 (2)函数关系——确定性关系 2.回归直线方程：∧∧∧+=a x b y⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=---=∧∧====∧∑∑∑∑x b y a x n x yx n y x x x y y x x b n i i ni i i ni i n i i i ,)())((1221121例题分析例1：某种产品的广告费x （单位：百万元）与销售额y （单位：百万元）之间有一组对应数据如下表所示，变量y 和x 具有线性相关关系：x （百万元）2 4 5 6 8 y （百万元）3040605070（1）画出销售额与广告费之间的散点图；（2）求出回归直线方程。
针对练习1、对变量x, y 有观测数据理力争（1x ，1y ）（i=1,2,…，10），得散点图左；对变量u ，v 有观测数据（1u ，1v）（i=1,2,…，10）,得散点图右. 由这两个散点图可以判断（ ）（A ）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 （B ）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关 （C ）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 （D ）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 2．在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是（ ）（1） （2） （3） （4） A ．（1）（2） B ．（1）（3） C ．（2）（4） D ．（2）（3） 3. 下表是某小卖部一周卖出热茶的杯数与当天气温的对比表： 气温/℃ 18 13 10 4 -1 杯数 24 34 39 51 63若热茶杯数y 与气温x 近似地满足线性关系，则其关系式最接近的是（ ）A. 6y x =+B. 42y x =+C. 260y x =-+D. 378y x =-+知识点二：概率一、随机事件概率：事件：随机事件：可能发生也可能不发生的事件。
确定性事件: 必然事件（概率为1）和不可能事件（概率为0） （1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件； （2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件； （3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件；（4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件； 随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件 A 在n 次实验中发生了m 次，当实验的次数n 很大时，我们称事件A 发生的概率为()nmA P ≈说明：① 一个随机事件发生于具有随机性，但又存在统计的规律性，在进行大量的重复事件时某个事件是否发生，具有频率的稳定性 ，而频率的稳定性又是必然的，因此偶然性和必然性对立统一② 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况③ 随机事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这个摆动的幅度越来越小，而这个接近的某个常数，我们称之为概事件发生的概率④ 概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是一种大的整体的趋势，而频率是具体的统计的结果⑤ 概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值二、概率的基本性质： 基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件（2）若A ∩B 为不可能事件，即A ∩B=ф，那么称事件A 与事件B 互斥；（3）若A ∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件； （4）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)概率必须满足三个基本要求：① 对任意的一个随机事件A ，有()10≤≤A P② ()()0,1,=Φ=ΩΦΩP P 则有可能事件分别表示必然事件和不和用③如果事件()()()B P A P B A P B A +=+:,则有互斥和（概率加法公式）互斥事件：不能同时发生的两个事件称为互斥事件对立事件：两个互斥事件中必有一个发生,则称两个事件为对立事件，事件A 的对立事件记为：A互斥事件和对立事件的区别：① 若, B , , B , 中最多有一个发生则为互斥事件A A 可能都不发生，但不可能同时发生 ，从集合的关来看两个事件互斥，即指两个事件的集合的交集是空集② 对立事件是指的两个事件，而且必须有一个发生，而互斥事件可能指的很多事件，但最多只有一个发生，可能都不发生 ③ 对立事件一定是互斥事件 ④ 从集合论来看：表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是空集，但两个对立事件的并集是全集 ，而两个互斥事件的并集不一定是全集⑤ 两个对立事件的概率之和一定是1 ，而两个互斥事件的概率之和小于或者等于1 ⑥ 若事件B A ,是互斥事件，则有()()()B P A P B A P +=+⑦一般地，如果 n A A A ,...,,21 两两互斥，则有()()()()n n A P A P A P A A A P +++=+++......2121 ⑧()()A P A P -=1三、概率的概型：古典概型：① 所有基本事件有限个；②每个基本事件发生的可能性都相等满足这两个条件的概率模型成为古典概型。
如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个n ，则每一个基本事件发生的概率都是n 1，如果某个事件A 包含了其中的m 个等可能的基本事件，则事件A 发生的概率为 ()n mA P =③古典概型的解题步骤； 1、求出总的基本事件数；2、求出事件A 所包含的基本事件数，然后利用公式P （A ）= 总的基本事件个数包含的基本事件数A几何概型：1、基本概念：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型； （2）几何概型的概率公式：P （A ）= 积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ；（3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．几何概型的基本特点：① 基本事件等可性 ② 基本事件无限多说明：为了便于研究互斥事件，我们所研究的区域都是指的开区域，即不含边界，在区域D 内随机地取点，指的是该点落在区域D 内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的面积成正比，而与其形状无关。
例题分析例2：从含有两件正品a,b 和一件次品c 的3件产品中每次任取一件，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率 . （1）每次取出不放回； （2）每次取出后放回.解：(1) 每次取出不放回的所有结果有（a,b),(a,c),(b,a),(b,c),(c,a),(c,b),其中左边的字母表示第一次取出的产品，右边的字母表示第二次取出的产品，共有6个基本事件，其中恰有臆见次品的事件有4个，所以每次取出不放回，取出的两件产品中恰有一件是次品的概率为3264（2）每次取出后放回的所有结果：（a,a),（a,b),(a,c),(b,a),(b,b),(b,c),(c,a),(c,b),(c,c) 共有9个基本事件, 其中恰有臆见次品的事件有4个,所以每次取出后放回，取出的两件产品中恰有一件是次品的概率为94针对练习 1、一箱内有十张标有0到9的卡片，从中任选一张，则取到卡片上的数字不小于6的概率是( )A. 13B. 35C. 25D. 142．从数字1，2，3，4，5中任取三个数字，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数大于400的概率是( )．A ．2/5B 、2/3C ．2/7D ．3/4 3．同时掷两枚骰子，所得点数之和为5的概率为( )．A ．1/4B ．1/9C ．1/6D ．1/124．在所有的两位数(10~99)中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是( )．A ．5/6B ．4/5C ．2/3D ．1/2 巩固练习1、下列事件 (1)物体在重力作用下会自由下落; (2)方程x 2+2x+3=0有两个不相等的实根; (3)某传呼台每天某一时段内收到传呼次数不超过10次; (4)下周日会下雨，其中随机事件的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个2．从装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )．A ．至少有1个白球，都是白球B ．至少有1个白球，至少有1个红球C ．恰有1个白球，恰有2个白球D ．至少有1个白球，都是红球3．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40％，甲不输的概率为90％，则甲、乙两人下成和棋的概率为( )．A ．60％B ．30％C ．10％D ．50％4．根据多年气象统计资料，某地6月1日下雨的概率为0.45，阴天的概率为0.20，则该日晴天的概率为( )．A ．0.65B ．0.55C ．0.35D ．0.755、若连掷两次骰子，分别得到的点数是m 、n ，将m 、n 作为点P 的坐标，则点P 落在区域2|2||2|≤-+-y x 内的概率是A.3611B.61C.41D.367 二、填空题：6.对于①“一定发生的”，②“很可能发生的”，③“可能发生的”，④“不可能发生的”，⑤“不太可能发生的”这5种生活现象，发生的概率由小到大排列为(填序号) 。
7．在10000张有奖明信片中，设有一等奖5个，二等奖10个，三等奖l00个，从中随意买l 张．(1)P(获一等奖)= ，P(获二等奖)= ，P(获三等奖)= ． (2)P(中奖)= ，P(不中奖)= ．8．同时抛掷两枚骰子，则至少有一个5点或6点的概率是 ．三、解答题：9． 由经验得知，在某商场付款处排队等候付款的人数及概率如下表：(1)至多有2人排队的概率是多少? (2)至少有2人排队的概率是多少?10．袋中有除颜色外完全相同的红、黄、白三种颜色的球各一个，从中每次任取1个．有放回地抽取3次，求：(1)3个全是红球的概率． (2)3个颜色全相同的概率． (3)3个颜色不全相同的概率． (4)3个颜色全不相同的概率．排队人数 0 1 2 3 4 5人以上 概率0.1 0.16 0.30.30.10.0411．某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示：年降水量／mm [100，150) [150，200) [200，250) [250，300)概率0.12 0.25 0.16 0.14(1)求年降水量在[100，200)(mm)范围内的概率；(2)求年降水量在[150，300)(mm)范围内的概率．12．抽签口试，共有10张不同的考签．每个考生抽1张考签，抽过的考签不再放回．考生王某会答其中3张，他是第5个抽签者，求王某抽到会答考签的概率．提高题13、已知一元二次方程x²+ax+b²=0,（1）若a是从区间[0，3]任取的一个整数，b是从区间[0，2]任取的一个整数，求上述方程有实数根的概率。