深圳民治街道六一学校数学有理数章末练习卷(Word版 含解析)

一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）

1．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：

（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是________；表示-3和2两点之间的距离是________；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m-n|.

（2）如果|x+1|=3，那么x=________；

（3）若|a-3|=2，|b+2|=1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B 两点间的最大距离是________.

（4）若数轴上表示a的点位于-4与2之间，则|a+4|+|a-2=________.

【答案】（1）3；5

（2）2或-4

（3）8

（4）6

【解析】【解答】解：数轴上表示4和1的两点之间的距离是：；表示和两点之间的距离是：故答案为：

或

或

故答案为：或（3）

或或

当时，则两点间的最大距离是，

当a=5，b=-1时，A、B两点间的距离是6，

当a=1，b=-3时，A、B两点间的距离是4，

当时，则两点间的最小距离是，

则两点间的最大距离是，最小距离是

故答案为：（4）数轴上表示a的点位于-4与2之间，则

故答案为：

【分析】（1）根据数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示的数的绝对值即可算出答案；

（2）根据绝对值的意义去绝对值的符号，再解方程即可；

（3）根据绝对值的意义去绝对值的符号，再解方程求出a,b的值，然后分四种情况求出ab 之间的距离，再比大小即可；

（4）根据数轴上的点所表示的数的特点可知-4＜a＜2，所以a+4＞0,a-2＜0，再根据绝对值的意义去绝对值符号并合并同类项即可.

2．如图，点A、B都在数轴上，O为原点.

（1）点B表示的数是________；

（2）若点B以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，则2秒后点B表示的数是________；

（3）若点A、B分别以每秒1个单位长度、3个单位长度的速度沿数轴向右运动，而点O 不动，t秒后，A、B、O三个点中有一个点是另外两个点为端点的线段的中点，求t的值. 【答案】（1）-4

（2）0

（3）解：① 当点O是线段AB的中点时，OB=OA

4－3t=2+t

t=0.5

② 当点B是线段OA的中点时， OA = 2 OB

2+t=2(3t-4)

t=2

③ 当点A是线段OB的中点时， OB = 2 OA

3t－-4=2(2+t)

t=8

综上所述，符合条件的t的值是0.5，2或8.

【解析】【解答】（1）点B表示的数是-4；（2）2秒后点B表示的数是 0 ；

【分析】（1）根据数轴上所表示的数的特点即可直接得出答案；

（2）用点B开始所表示的数＋点B运动的路程＝经过t秒后点B表示的数，即可得出结论；

（3）找出t秒后点A、B表示的数，分①点O为线段AB的中点，②当点B是线段OA的中点，③点A是线段OB的中点，根据线段中点的数学语言列出方程，求解即可求出此时的t值，综上即可得出结论。

3．如图，数轴的单位长度为1.

（1）如果点B，D表示的数互为相反数，那么图中点A、点D表示的数分别是________、________；

（2）当点B为原点时，在数轴上是否存在点M，使得点M到点A的距离是点M到点D 的距离的2倍，若存在，请求出此时点M所表示的数；若不存在，说明理由；

（3）在（2）的条件下，点A、点C分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度同时向右运动，同时点P从原点出发以3个单位长度/秒的速度向左运动，当点A与点C之间的距离为3个单位长度时，求点P所对应的数是多少？

【答案】（1）-4；2

（2）解：存在，如图：

当点M在A，D之间时，设M表示的数为x，则x﹣（﹣2）=2（4﹣x）

解得：x=2，当点M在A，D右侧时，则x﹣（﹣2）=2（x﹣4），解得：x=10，所以点M 所表示的数为2或10

（3）解：设当点A与点C之间的距离为3个单位长度时，运动时间为t，A点运动到：﹣2+2t，C点运动到：3+0.5t，①﹣2+2t﹣（3+0.5t）=3，解得：t=6，所以P点对应运动的单位长度为：3×6=18，所以点P表示的数为﹣18.

②3+0.5t﹣（﹣2+2t）=3，解得：t= ，所以P点对应运动的单位长度为：3× =4，所以点P表示的数为﹣4.

答：点P表示的数为﹣18或﹣4.

【解析】【解答】解：（1）∵点B，D表示的数互为相反数，∴点B为﹣2，D为2，∴点A为﹣4，

故答案为：﹣4，2；

【分析】（1）由数轴上表示的互为相反数的两个数，分别位于原点的两侧，并且到原点的距离相等得出BD的中点就是原点，进而即可得出点A,C所表示的数；

（2）存在，如图：分类讨论：当点M在A，D之间时，设M表示的数为x ，则AM=x-（-2），DM=4-x，根据AM=2DM列出方程，求解即可；当点M在A，D右侧时，AM=x-（-2），DM=x-4，根据AM=2DM列出方程，求解即可；

（3）设当点A与点C之间的距离为3个单位长度时，运动时间为t，A点运动到：﹣2+2t，C点运动到：3+0.5t，① 追击前根据两点间的距离公式列出方程3+0.5t﹣（﹣2+2t）=3 求解算出t的值，进而根据即可算出点P所表示的数；② 追击后根据两点间的距离公式列出方程﹣2+2t﹣（3+0.5t）=3求解算出t的值，进而根据即可算出点P所表示的数，综上所述即可得出答案。

4．已知 , , 三点在数轴上对应的位置如图如示，其中点对应的数为2，， .

（1）点对应的数是________，点对应的数是________；

（2）动点，分别同时从，两点出发，分别以每秒8个单位和3个单位的速度沿数

轴正方向运动.点为的中点，点在上，且，设运动时间为 .

①请直接用含的代数式表示点，对应的数；

②当时，求的值.

【答案】（1）-12；5

（2）解：① 对应的数是，对应的数是；

② ，，，

，

由，得，

由，得，

故当秒或秒时， .

【解析】【解答】解：（1）点对应的数为，，，点对应的数是：；点对应的数是：；

故点对应的数为，点对应的数是 .

【分析】（1）根据点对应的数，由的长确定出点表示的数，再根据的长确定出点表示的数；（2）①根据题意表示出点、的数即可；②列出含t的、的代数式，得出方程，求出方程的解即可.

5．已知，数轴上点A和点B所对应的数分别为，点P为数轴上一动点，其对应的数为．

（1）填空： ________ ， ________ ．

（2）若点 P到点 A、点 B 的距离相等，求点 P 对应的数.

（3）现在点 A、点 B分别以 2 个单位长度/秒和 0.5 个单位长度/秒的速度同时向右运动，点 P以 3 个单位长度/秒的速度同时从原点向左运动．当点 A与点 B之间的距离为2个单位长度时，求点 P所对应的数是多少？

【答案】（1）-1；3

（2）解：依题可得：

PA=|x+1|，PB=|3-x|，

∵点P到点A、点B的距离相等，

∴PA=PB，

即|x+1|=|3-x|，

解得：x=1，

∴点P对应的数为1.

（3）解：∵点A、点B 速度分别以 2 个单位长度/秒、 0.5 个单位长度/秒的速度同时向右运动，

∴A点对应的数为2t-1，

点B对应的数为3+0.5t，

①当点A在点B左边时，

∵AB=2，

∴（3+0.5t）-（2t-1）=2，

解得：t=，

∵点P以 3 个单位长度/秒的速度同时从原点向左运动，

∴×3=4，

∴P点对应的数为：-4.

②当点A在点B右边时，

∵AB=2，

∴（2t-1）-（3+0.5t）=2，

解得：t=4，

∵点P以 3 个单位长度/秒的速度同时从原点向左运动，

∴4×3=12，

∴P点对应的数为：-12.

【解析】【解答】解：（1）∵（a+1）2+|b-3|=0，

∴，

解得：.

故答案为：-2；3.

【分析】（1）根据平方和绝对值的非负性列出方程，解之即可得出答案.

（2）根据题意可得PA=|x+1|，PB=|3-x|，再由PA=PB得|x+1|=|3-x|，解之即可得出点P对应的数.

（3）根据题意可得A点对应的数为2t-1，点B对应的数为3+0.5t，分情况讨论：①当点A 在点B左边时，②当点A在点B右边时，由AB=2分别列出方程，解之得出t值，再由P 点的速度得出点P对应的数.

6．观察数轴，充分利用数形结合的思想．若点A，B在数轴上分别表示数a，b，则A，B两点的距离可表示为AB= ．根据以上信息回答下列问题：已知多项式的次数是b，3a与b互为相反数，在数轴上，点O是数轴原点，点A表示数a，点B表示数b．设点M在数轴上对应的数为 .

（1）A，B两点之间的距离是________.

（2）若满足AM = BM，则 ________.

（3）若A，M两点之间的距离为3，则B，M两点之间的距离是________.

（4）若满足AM + BM =12，则 ________.

（5）若动点M从点A出发第一次向左运动1个单位长度，在此新位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度…按照此规律不断地左右运动，当运动了2019次时，则点M所对应的数 ________.

【答案】（1）8

（2）2

（3）5或11

（4）-4或8

（5）-1012

【解析】【分析】（1）先根据多项式的次数的定义求出b，进而利用3a与b互为相反数的关系求出a，然后根据数轴上两点间的距离公式列式计算即可；

（2）利用两点之间的距离公式分别列出表示线段AM和BM的代数式，然后根据AM=BM 建立方程求解即可；

（3）根据两点间的距离公式，分点M在点A的左侧和右侧两种情况分别列出表示线段AM的代数式，然后由已知条件AM=3建立方程，从而求出m的值，进而根据两点间的距离公式求出BM；

（4）根据两点间的距离公式，分点M在点A的左侧和B的右侧两种情况分别列出表示线段AM和BM的代数式，然后利用AM + BM =12列方程求解；

（5）可知点A连续运动两次实质上是向右移动1个单位长度，当运动了2018次时，实际上向右移动了1009个单位长度，则当运动第2019次时，则点M所对应的数为-2+1009-2019，得解。

7．阅读下列材料：

1×2＝（1×2×3－0×1×2），

2×3＝（2×3×4－1×2×3），

3×4＝（3×4×5－2×3×4），

由以上三个等式相加，可得1×2＋2×3＋3×4＝ ×3×4×5＝20．

读完以上材料，请你计算下列各题：

（1）1×2＋2×3＋3×4＋…＋10×11（写出过程）；

（2）1×2＋2×3＋3×4＋…＋ n×（ n＋1）＝________；

（3）1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋7×8×9＝________．

【答案】（1）解：1×2+2×3+3×4+…+10×11，

= ×（1×2×3-0×1×2）+ ×（2×3×4-1×2×3）+ ×（3×4×5-2×3×4）+…+ ×（10×11×12-9×10×11），

= ×（1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+…+10×11×12-9×10×11），

= ×10×11×12，

=440；

（2） n（n+1）（n+2）

（3）1260

【解析】【解答】解：（2）∵1×2+2×3+3×4= ×3×4×5，

∴1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）= n（n+1）（n+2）；（3）1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+7×8×9=

×7×8×9×10=1260．

故答案为：

n（n+1）（n+2）；1260．

【分析】（1）根据题目信息列出算式，然后提取，进行计算即可得解；（2）观察不难发现，两个连续的自然数的积等于这两个数与后面的数的积减去与前面的数的积的

，然后列出算式进行计算即可得解；（3）根据（2）的规律类比列式进行计算即可得解．

8．我们知道，|a|表示数a在数轴上的对应点与原点的距离．如：|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离。而|5|=|5-0|，即|5-0|表示5和0在数轴上对应的两点之间的距离。类似的，有：|5-3|表示5和3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|=|5-（-3）|，所以|5+3|表示5和-3在数轴上对应的两点之间的距离。一般地，点A、B在数轴上分别表示数a和b，那么点A和B之间的距离可表示为|a-b|。

利用以上知识：

（1）求代数式|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-100|的最小值=________。

（2）求代数式|x-1|+| x-1|+| x-3|+| x-4|的最小值。

【答案】（1）2500

（2）解：1、1……2、2……9、9……16、16，

则最中间的一个数是2，

∴当x=2,

|x-1|+|x-1|+|x-3|+|x-4|

=|x-1|+|x-2|+|x-9|+|x-16|

=(12|2-1|+6|2-2|+4|2-9|+3|2-16)|

=

=.

【解析】【解答】解：(1) 由题意得：|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-100|的最小值为：

|50.5-1|+|50.5-2|+|50.5-3|+…+|50.5-100|=2500.

【分析】（1）由于|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-100|表示数轴上某点到1、2、3……100的距离之和，因此当x所对应的点在点1和点100最中间时取最小值，这时把x=50.5代入原式求值即可.

(2)先提取将每个绝对值的系数变为整数，然后将12个1，6个2，4个9和3个16排成一组数，则最中间的一个数是2，则把2代入原式求值即是最小值.

9．已知数轴上，点A和点B分别位于原点O两侧，AB=14，点A对应的数为a，点B对应的数为b.

（1）若b＝－4，则a的值为________.

（2）若OA＝3OB，求a的值.

（3）点C为数轴上一点，对应的数为c.若O为AC的中点，OB＝3BC，直接写出所有满足条件的c的值.

【答案】（1）10

（2）解：当A在原点O的右侧时（如图）：

设OB=m,列方程得：m+3m=14，

解这个方程得，，

所以，OA= ，点A在原点O的右侧，a的值为 .

当A在原点的左侧时（如图)，

a=－

综上，a的值为± .

（3）解：当点A在原点的右侧，点B在点C的左侧时（如图), c=－ .

当点A在原点的右侧，点B在点C的右侧时（如图), c=－8.

当点A在原点的左侧，点B在点C的右侧时，图略，c= .

当点A在原点的左侧，点B在点C的左侧时,图略，c=8.

综上，点c的值为：±8，± .

【解析】【分析】(1)根据题意画出数轴，由已知条件得出AB=14,OB=4,则OA=10,得出a的值为10.(2)分两种情况,点A在原点的右侧时,设OB=m,列一元一次方程求解,进一步得出OA 的长度,从而得出a的值.同理可求出当点A在原点的左侧时,a的值.(3)画数轴,结合数轴分四种情况讨论计算即可.

10．

阅读下面材料：

点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|．

当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图（1），|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|；当A，B两点都不在原点时，

①如图（2），点A，B都在原点的右边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；

②如图（3），点A，B都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣a）=|a ﹣b|；

③如图（4），点A，B在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（﹣b）=|a﹣b|；

综上，数轴上A，B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．

回答下列问题：

①数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是；

②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是，如果|AB|=2，那么x为；

③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是．

④解方程|x+1|+|x﹣2|=5．

【答案】解：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是|2﹣5|=3；

数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是|﹣2﹣（﹣5）|=3；

数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是|1﹣（﹣3）|=4

②数轴上x与-1的两点间的距离为|x-（-1）|=|x+1|，如果|AB|=2，则x+1=±2，解得x=1或-3.

③根据题意得x+1≥0且x-2≤0，则-1≤x≤2；

④解方程|x+1|+|x﹣2|=5．

当x+1＞0，x-2＞0，则（x+1）+（x-2）=5，解得x=3

当x+1＜0，x-2＜0，则-（x+1）-（x-2）=5，解得x=-2

当x+1与x-2异号，则等式不成立.

所以答案为：3或-2.

【解析】【分析】①②直接根据数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．代入数值运用绝对值即可求任意两点间的距离．

③根据绝对值的性质，可得到一个一元一次不等式组，通过求解，就可得出x的取值范围．

④根据题意分三种情况：当x≤﹣1时，当﹣1＜x≤2时，当x＞2时，分别求出方程的解即可．

11．如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示-12，点B表示10，点C表示20，我们称点A和点C在数轴上相距32个长度单位．动点P 从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着折线数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒。则

img 小部件

（1）动点P从点A运动至点C需要时间多少秒?

（2）若P，Q两点在点M处相遇，则点M在折线数轴上所表示的数是多少?

（3）求当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等。

【答案】（1）解：解：∵点A表示-12，点B表示10，点C表示20，

∴OA=12，OB=10，BC=10

∵动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；

∴动点P从点A运动至点C需要时间为：12÷2+10÷1+10÷2=6+10+5=21.

（2）解：由题意可得t>10s，∴(t-6)+2(t-10)=10，∴t=12

∴M所对的数字为6

（3）解：当点P在AO上，点Q在CB上时，OP=12-2t，BQ=10-t，

∵OP=BQ，∴12-2=10-t，∴t=2；

当点P在OB上，点Q在CB上时，OP=t-6，BQ=10-t，∵OP=BQ，

∴t-6=10-t，∴t=8

当点P在OB上，点Q在OB上时，OP=t-6，BQ=2(t-10)，

∵OP=BQ，∴t-6=2(t-10)，∴t=14，

当点P在OB上，点Q在OA上时，t-6=t-15+10，无解

当点P在BC上，点Q在OA上时，OP=10+2(t-16)，BQ=10+(t-15)，∵OP=BQ

∵10+2(t-16)=10+(t-15)，∴t=17

∴当t=2，8，14，17时，OP=BQ

【解析】【分析】（1）由点A，B，C表示的数，可以求出AO，OB，BC的长，再根据点P 在各段的运动速度，列式计算求出动点P从点A运动至点C需要时间。

（2）根据题意可求出t的取值范围为t＞10，可知点P在OA上的运动时间为6s，点Q在BC上的运动时间为10s，因此点M在线段PQ上，由此可知点P在线段PQ上的运动时间为（t-6）s，点Q在线段PQ上的运动时间为（t-10）s，再根据速度×时间-路程，列出关于t的方程，求出t的值，就可得到点M表示的数。

（3）分情况讨论：当点P在AO上，点Q在CB上；当点P在OB上，点Q在CB上时；当点P在OB上，点Q在OB上时；当点P在OB上，点Q在OA上时；当点P在BC上，点Q在OA上时，分别用含t的代数式表示出OP，BQ的长，再根据OP=PQ建立关于t的方程，分别解方程求出t的值。

12．在学习绝对值后，我们知道，表示数在数轴上的对应点与原点的距离. 如：

表示5在数轴上的对应点到原点的距离．而，即表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离.类似的，有：表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离. 一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数、，那么A、B之间的距离可表示为．

请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题：

（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是________；数轴上表示1和－3的两点之间的距离是________；

（2）数轴上P、Q两点的距离为3，且点P表示的数是2，则点Q表示的数是________. （3）点A、B、C在数轴上分别表示有理数、、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为________；

（4）满足的整数的值为________.

（5）的最小值为________.

【答案】（1）3；4

（2）5或-1

（3）

（4）正确的整数的值为-2、-1、0、1、2、3；

（5）2500

【解析】【解答】解：（1）根据题意，得：|5-2|=3；|1-（-3）|=4，（2）设点Q表示的点为x，根据题意，得：|x-2|=3，

∴x-2=3，或x-2=-3，

解得：x=5或x=-1，

故答案为：5或-1；（3）A到B的距离与A到C的距离之和可表示为|x+3|+|x-1|；（4）∵|x-3|+|x+2|=5，

∴当x＞3时，化简得:x-3+x+2=5，得x=3；

当-2≤x≤3时，化简得:3-x+x+2=5，所以整数的值为-2、-1、0、1、2、3；

当x＜-2时，3-x-x-2=5，得x=-2；

所以正确的整数的值为-2、-1、0、1、2、3．（5）|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-100|=（|x-1|+|x-100|）+（|x-2|+|x-99|）+…+（|x-50|+|x-51|），其中：|x-1|+|x-100|表示数轴上数x 的对应点到表示1、100两点的距离之和，所以当1≤x≤100时，|x-1|+|x-100|值最小，当1≤x≤100时，|x-1|+|x-100|=x-1+100-x=99,故有最小值为|100-1|=99；

同理：|x-2|+|x-99|表示数轴上数x的对应点到表示2、99两点的距离之和，

当2≤x≤99时，|x-2|+|x-99|=x-2+99-x=97,故有最小值为|99-2|=97；…

|x-50|+|x-51|表示数轴上数x的对应点到表示50、51两点的距离之和，

当50≤x≤51时，|x-50|+|x-51|有最小值为|51-50|=1．

综上所述，当50≤x≤51时，每个括号里两个绝对值式子的和的值最小，所以，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-100|有最小值为：99+97+95+…+3+1=（99+1）+（97+3）+…+（51+49）=100×25=2500．

【分析】（1）根据两点之间的距离公式直接计算即可；（2）设点Q表示的点为x，根据两点间的距离公式得到关于x的方程，解方程即可；（3）根据数轴上两点之间的距离公式可求A到B的距离与A到C的距离之和；（4）利用分类讨论的方法可以解答本题；（5）当绝对值的个数为奇数时，取得最小值x是其中间项，而当绝对值的个数为偶数时，则x 取中间两项结果一样．从而得出对于|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-100|，当50≤x≤51时取得最小值．