经济数学(函数习题)

第一章 函数习题 1－11．下列各组函数是否相同？为什么？(1) f (x )=x 与()tan(arctan )g x x =23,0(2)(),0x x f x x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩与320()0x x g x x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，，1)()(ƒ)3(==x g x xx 与(4)()()y f x s f t ==与解 (1)因为对∀x ∈(-∞, +∞), ()()f x g x 与都有定义,且()tan(arctan )()f x x x g x ===所以两个函数相同.(2)因为两个函数的对应规则不同,所以两个函数不同.(3)因为函数()x f x x =的定义域为{1()0}D D f x R x ==∈≠且而函数()g x 的定义域为2()D D f R ==所以由D 1≠D 2知, 两个函数为不相同的函数.(4) 两个函数的对应关系相同，定义域相同，故两个函数相同.2．求下列函数的定义域:(1) (2)y y201(3) (4), 0212x y y x x x x ⎧<⎪=+=≤≤⎨-<解（1）由偶次根式的定义可知,x 应满足关系式 210x -≥故函数的定义域为 ()(,1)(1,)D f =-∞-⋃+∞.(2）由关系式3010x x ->⎧⎨->⎩ 解得13x <<.故函数的定义域为()(1,3)D f =.(3) 要使该函数有意义, x 应满足关系式21010x x ⎧-≠⎨+≥⎩解得1,1x x ≠±≥-.故函数的定义域为 D (f )=(1,1)(1,)-⋃+∞.（4）因为分段函数的定义域为各分段函数定义域之并集，故D (f )=(-∞, 0)∪[0, 2]∪(2, +∞)=( -∞, +∞).11(),(0),(2),(),(2)1,(),(2),2()()(),0.f x f f f x f x f f h x xf x h f x f x h h h =-++++-+≠ 3.已知求 其中解 当x = 0时, 11(0)022f ==+.当x = 2时, 11(2)224f ==+.当x = -t 时, 1()2f t t -=-, 所以 1()2f x x -=- . 当2x t =时,1(2)22f t t =+, 所以23(2)12(1)x f x x ++=+. 当x =1t (t ≠0)时,11()1122t f t t t ==++, 所以1()12x f x x =+.当2x h =+时, 1(2)4f h h +=+ .当x t h =+时,1()2f t h t h +=++, 所以1()2f x h x h +=++.故 ()()1(2)(2)f x h f x h x h x +-=-+++.4．求下列函数的值.(1)11(),(0),(1),( 1.5).231x x f x f f a f x x +<⎧=+-⎨+>⎩，求，(2)()sin f x x =， 求1(arcsin ).2f - 解 (1) 当x =0时, f (0)=1.当1 + a < 1时, 即a < 0时, (1)2f a a +=+.当1 + a > 1, 即a < 0时, (1)25f a a +=+即2, 0(1)52, 0a a f a a a +<⎧+=⎨+>⎩ 当x = -1.5<1时, 有`( 1.5)0.5f -=-.(2) 因为()sin f x x =，所以1111(arcsin )sin(arcsin )sin(arcsin ).2222f -=-=-=- 5.求函数的定义域:(1)若()f x 的定义域是[-4，4]，求2()f x 的定义域 ; (2)若()f x 的定义域是[0，3 a ] (a > 0)，求()()f x a f x a ++-的定义域;(3)若()f x 的定义域是[0，1]， 求(lg )f x 的定义域;(4)若(1)f x -的定义域是[-1，1],求()f x 的定义域.解 (1) 因为()f x 中的x 满足 -4≤x ≤4所以2()f x 中的2x 必须满足244x -≤≤,即22x -≤≤. 故函数2()f x 的定义域是[-2, 2]. (2)欲使函数有定义,须且只需使()f x a +和()f x a -同时有定义, 于是03 (0)03x a a a x a a ≤+≤⎧>⎨≤-≤⎩即a≤x≤2a.故函数()()f x a f x a++-的定义域为[a, 2a].(3) 因为(lg)f x中的lg x ,必须满足0lg1x≤≤,即1≤x≤10.故函数(lg)f x的定义域为[1,10].(4) 由(1)f x-的定义域为[-1，1],得-1≤x≤1即0≤1x-≤2故函数()f x的定义域为[0, 2].6.设函数()f x对一切正数都满足方程()f xy=()f x+()f y.试证下列各式：（1）(1)0f=（2）1()()f f xx=-（3）()()() xf f x f y y=-证(1)在已知方程中,令x=1,y=1,得(1)(1)(1)2(1)f f f f=+=即(1)0f=.(2)在已知方程中,令1yx=, 则1(1)()()0f f x fx=+=即1()()f f xx=-.(3)在已知等式中, x不变,而将y用1y代换,得1()()()xf f x fy y=+将(2)式代入上式,得()()()xf f x f yy=-.7. 当κ为何值时2()22x k f x kx kx +=++的定义域是(-∞，+∞).解 当0k =时, ()2x f x =,此时函数的定义域为(-∞，+∞).当0k ≠时,只要 2220kx kx ++≠,即2(2)420k k ∆=-⨯<,也就是0< k < 2时, 函数的定义域为(-∞，+∞). 故当0≤ k <2时, 函数2()22x k f x kx kx +=++的定义域是(-∞，+∞).习题 1－21. 判断下列函数的单调性：221(1)() (2)log 2(3)ln (4)1x xy y y x x y x ===+=-解 (1) 对于指数函数1()2x y =，底数1 1.2<，故是单调减函数.(2) 对于对数函数.1,2,log 2故是单调增函数底数>=x y(3) 因为ln y x x =+的定义域为（0，+∞）,对于∀x 1,x 2∈（0，+∞），当x 1<x 2时，有121222()()ln ln f x f x x x x x -=+--1122ln x x x x =-+ 由假设知11220,ln0x x x x -<<，得12()()0f x f x -<即12()()f x f x <. 所以ln y x x =+在（0，+∞）上是单调增函数.（4）因为2y x =在（-∞，0）上是减函数，而在（0，+∞）上是增函数，所以21y x =-在（-∞，0）上为增函数，而在（0，+∞）上为减函数.2. 指出下列函数的奇偶性：()31(1)3 (2)lg11110(3) (4)101(5)sin ,0 (6)cos sin .x xx y x x y x xx x a a y y x x x y x x y x x x x--=+=-<<+-≤⎧-==⎨+>⎩=≠=+，，解 (1) 因为对∀x ∈（-∞，+∞），均有 33()()3()(3)()f x x x x x f x -=-+-=-+=-所以该函数为奇函数.（2）因为∀(1,1)x ∈-, 均有11()lg lg ()11x x f x f x x x +--==-=--+所以该函数为奇函数.（3）因为对于∀x ∈（-∞，0）∪（0，+∞）, 均有()()x x x xa a a a f x f x x x -----===-所以该函数为偶函数.（4）因为当x >0, 即 0x -<时，有()1()1f x x x -=--=+,而当 x ≤0,即 -x ≥0时，有()1()1f x x x -=+-=-,于是10()()1,0x x f x f x x x +>⎧-==⎨-≤⎩, 所以该函数()f x 为偶函数.（5）因为∀x ∈（-∞，0）∪（0，+∞），均有11()()sin()sin ()f x x x f x x x -=--==所以该函数()f x 为偶函数.(6) 因为∀x ∈（-∞,+∞）, 均有()()cos()sin()f x x x x -=--+-cos sin (cos sin )()x x x x x x f x =--=-+=-所以该函数()f x 为奇函数.3. 下列函数是否为周期函数，如果是周期函数，求其周期.（1）()f x =|sin x | (2) ()f x =x cos x解 (1) 令()f x T += ()f x , 则|sin(x +T )|= |sin x | .而满足上式的T 之最小正值为π.因此,()f x 是以π为周期的周期函数.(2) 设()()f x T f x +=, 则()cos()cos x T x T x x ++=当x = 0 时, 由T cos T = 0, 得T 1 =2π;当x =2π时, 由2()cos()0,22T T T πππ++==得.由于()f x 不满足)(f D x ∈∀,T 均为唯一正值, 即T 随x 的变化而变, 所以x x x f cos )(=不是周期函数.4. 证明函数ƒ2()1x x x =++在),0(+∞上是单调增函数. 证 因为∀1212,(0,)x x x x ∈+∞<且均有221211221212()()(1)(1)()(1)f x f x x x x x x x x x -=++-++=-++1212120,10,()()0,x x x x f x f x -<++>-<而时所以即 12()()f x f x <故()f x 为单调增函数.5. ()f x 为定义在（-1，1）上的奇函数，若()f x 在（0，1）内是单调增函数, 证明在（-1，0）内也单调递增.证 对于∀x 1, x 2∈（-1，0）,设x 1<x 2，由已知得11()()f x f x -=-2212()()()()f x f x f x f x -=-->-且,其中 -x 1, -x 2∈（0，1）.则 121212()()()()[()()]0f x f x f x f x f x f x -=--+=---<即 12()()f x f x <故()f x 在（-1，0）内也单调递增.6*. 证明x x y cos =不是周期函数.证 因为D (ƒ) = [0,+∞) ,不是以原点为中心的对称集合,所以x x x f cos )(=不是周期函数.7. 证明函数21()25f x x x =++在其定义域内是有界的.证 因为22 25(1)44x x x ++=++≥所以 2110425x x ≤≤++故由函数有界的定义知，函数()f x 在其定义域内是有界的.8. 设函数()f x 的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）且满足1()()c af x bf x x +=,其中a ，b ，c 均为常数，|a|≠|b| . 证明()f x 为奇函数.证 在已知等式中，用1x 代替x , 得1()()af bf x cx x +=解方程组 1()()1()()c af x bf x x af bf x cx x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ , 得)(1)()(22222b a b a x c bx a x f ≠-⋅-= 因为222222()()1()()()a bx c a bx c f x f x x a b x a b ---=⋅=-=----所以()f x 为奇函数.9. 证明定义在对称区间上的任意函数可以写成一个偶函数和一个奇函数之和. 证 设()f x 是定义在对称区间I 上的任意一个函数, 而2()()()()()()()()222f x f x f x f x f x f x f x f x +---+---==+则令 12()()()()(),()()22f x f x f x f x F x F x x I +---==∈ 因为,,x I x I ∀∈-∈均有且11()()()()2f x f x F x F x -+-==22()()()()2f x f x F x F x ---==-即12()()F x F x I 与分别是对称区间上的偶函数与奇函数,且12()()()f x F x F x =+故函数()f x 可表示为偶函数F 1(x )与奇函数F 2(x )之和.习题 1－31． 1． 求下列函数的反函数及其定义域：2(1) (2)1lg(1)2x y y x x +==++-022(3) (4)512422,x y y x x x ⎧≤≤⎪==-⎨<≤-⎪⎩解 （1）由所给函数解出x , 得2(1)1y x y +=-交换x, y 得, 反函数 2(1) (1)1x y x x +=≠-.(2) 由已知函数解出x ,得(1)101y x -=-交换x, y 得, 反函数 (1)101x y -=- (-∞, +∞). (3) 当0≤x ≤2时,由2(02)y y =-≤≤得x =当2< x ≤ 4时, 由22(26)y x y =-<≤,得1(2)2x y =+所以原函数的反函数为1 02()1(2) 262x y f x x x -≤≤==⎨+<≤⎪⎩，，其定义域为[0，6].（4）由所给函数解出x , 得 1(1)5x y =+交换x, y 得, 反函数 1(1) (,)5y x =+-∞+∞.2． 2． 下列函数是由那些简单函数复合而成的.22cos 3(1)sin (3) (4)(1lg )x y y xy e y x ===+解（1）该函数是由幂函数1,y u v ==-以及正弦函数sin v x = 复合而成的.（2）该函数是由幂函数y = u 2与正弦函数sin u x =复合而成.（3）该函数是指数函数u y e =, 幂函数2u v =及余弦函数cos v x =复合而成的.(4) 该函数是由幂函数3y u =, 对数函数1lg u x =+复合而成.3. 已知2(),()2,[()][()],[()],[()].x f x x g x f g x g f x f f x g g x ==求， 解 由复合函数定义, 得22[()](2)4,[()]2x x x f g x g f x ===2242[()](),[()]2x f f x x x g g x ===。