《二次根式》教材分析
浙教版数学八年级下册1.1《二次根式》教案2
浙教版数学八年级下册1.1《二次根式》教案2一. 教材分析《二次根式》是初中数学八年级下册的重要内容，主要让学生了解二次根式的概念、性质和运算。
浙教版教材通过引入实际问题，引导学生探究二次根式的运算规律，培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
本节课的内容为1.1二次根式，主要包括二次根式的定义、性质和运算。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、有理数、无理数等基础知识，具备了一定的逻辑思维能力和运算能力。
但二次根式较为抽象，学生对其概念和性质的理解可能存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习需求，通过举例、讲解等方式，帮助学生理解和掌握二次根式的相关知识。
三. 教学目标1.理解二次根式的定义和性质；2.掌握二次根式的运算方法；3.能够运用二次根式解决实际问题；4.培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
四. 教学重难点1.二次根式的定义和性质；2.二次根式的运算方法；3.二次根式在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生探究二次根式的运算规律；2.讲授法：讲解二次根式的定义、性质和运算方法，引导学生理解并掌握相关知识；3.实践操作法：让学生在实际操作中，运用二次根式解决相关问题，提高学生的运算能力；4.小组讨论法：学生进行小组讨论，培养学生的合作意识和团队精神。
六. 教学准备1.教学课件：制作二次根式的相关课件，包括图片、动画等素材，以便于引导学生直观地理解二次根式；2.练习题：准备一些有关二次根式的练习题，用于巩固所学知识；3.教学工具：准备黑板、粉笔等教学工具，以便于进行板书。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些实际问题，如计算物体体积、求解方程等，引导学生发现这些问题都与二次根式有关。
然后提问：“这些二次根式有什么共同特点？我们可以如何对其进行简化？”从而引出二次根式的概念。
2.呈现（10分钟）讲解二次根式的定义、性质和运算方法。
数学最简二次根式教案(精选7篇)
数学最简二次根式教案（精选7篇）最简二次根式篇一教学建议1.教材分析本节是在前两节的基础上，从实际运算的客观需要出发，引出的概念，然后通过一组例题介绍了化简二次根式的方法。
本小节内容比较少（求学生了解的概念并掌握化简二次根式的方法），但是本节知识在全章中却起着承上启下的重要枢纽作用，二次根式性质的应用、二次根式的化简以及二次根式的运算都需要来联接。
(1)知识结构(2)重难点分析①本节的重点Ⅰ.概念Ⅰ.利用二次根式的性质把二次根式化简为。
重点分析本章的主要内容是二次根式的性质和运算，但自始至终围绕着二次根式的化简和运算。
二次根式化简的最终目标就是；而二次根式的运算则是合并同类二次根式，怎样判定同类二次根式，是在化简为的基础上进行的。
因此本节以二次根式的概念和二次根式的性质为基础，内容虽然简单，在本章中却起着穿针引线的作用，教师在教学中应给于极度重视，不可因为内容简单而采取弱化处理；同时初二学生代数成绩的分化一般是由本节开始的，分化的根本原因就是对概念理解不够深刻，遇到相关问题不知怎样操作，具体操作到哪一步。
②本节的难点是化简二次根式的方法与技巧。
难点分析化简二次根式，实际上是二次根式性质的综合运用。
化简二次根式的过程，一般按以下步骤：把根号下的带分数或绝对值大于1的小数化成假分数，把绝对值小于1的小数化成分数；被开方数是多项式的要因式分解；使被开放数不含分母；将被开方数中能开的尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面；化去分母中的根号；约分。
所以对初学者来说，这一过程容易出现符号和计算出错的问题。
熟练掌握化简二次根式的方法与技巧，能够进一步开拓学生的解题思路，提高学生的解题能力。
③重难点的解决办法是对于这一概念，并不要求学生能否背出定义，关键是遇到实际式子能够加以判断。
因此建议在教学过程中对概念本身采取弱化处理，让学生在反复练习中熟悉这个概念；同时教学中应充分对概念理解后应用具体的实例归纳总结出把一个二次根式化为的方法，在观察对比中引导学生总结具体解决问题的方法技巧。
《二次根式》教案分析与优化
本文将针对数学中的二次根式的教学进行分析和优化，旨在让学生更好地掌握和应用二次根式的概念，提升他们的数学水平。
一、教案分析1.教学目标根据教材要求，学生需要掌握二次根式的概念、性质和运算法则，并能够熟练地应用到解决实际问题中。
2.教学内容（1）二次根式的概念和性质；（2）二次根式的化简和恒等变形；（3）二次根式的加减乘除及相关应用。
3.教学方法（1）讲解法：教师通过讲解，让学生熟悉二次根式的概念、性质和运算法则。
（2）练习法：教师通过大量的例题和习题，让学生掌握二次根式的应用技巧。
（3）探究法：教师通过引导学生探究二次根式的性质和运算法则，增强学生的自主学习能力。
4.教学评价教师将通过平时的课堂练习和期末考试来评价学生对二次根式的掌握情况。
二、教案优化教学目标的优化除了学习二次根式的概念、性质和运算法则外，还可以增加一些实际应用的例子，让学生更加深入地了解二次根式的应用，以提高兴趣和自信心。
教学内容的优化（1）二次根式的概念和性质部分可以配合动画或实物展示来进行，让学生更加直观地理解二次根式的含义和特点。
（2）针对二次根式的化简和恒等变形，可以增加一些巧妙的方法和技巧，让学生更加熟练地掌握化简和变形的方法。
（3）在二次根式的加减乘除部分，可以增加一些多项式的加减乘除应用例子，以加深学生对二次根式的应用理解，提高其实际操作能力。
教学方法的优化（1）对于讲解法，可以增加互动性和趣味性，比如通过作图、互动问答等方式来进行讲解，使学生更加活跃和参与度高。
（2）在练习法方面，可以增加一些游戏化的练习方式，如竞赛、小组合作等方式，让学生在练习中体现其实际应用能力。
（3）对于探究法，可以增加更多的探究方向，如二次根式在工程中的应用等，激发学生的学习兴趣和快乐体验。
教学评价的优化除了平时的课堂练习和期末考试外，可以增加一些以小组为单位的项目作业，由学生进行实际应用和演示，来评价学生对二次根式的掌握和运用情况。
三、总结二次根式不仅是数学中重要的理论和知识，更是现实生活中不可或缺的应用技巧。
人教版数学八年级下册16.1《二次根式》说课稿1
人教版数学八年级下册16.1《二次根式》说课稿1一. 教材分析人教版数学八年级下册16.1《二次根式》是初中数学的重要内容，主要让学生了解二次根式的概念、性质和运算。
本节内容是在学生已经掌握了实数、有理数、无理数等基础知识的基础上进行学习的，为后续学习二次根式的应用和进一步学习高中数学打下基础。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对实数、有理数、无理数等概念有一定的了解。
但是，对于二次根式的概念和性质，学生可能初次接触，理解起来有一定的难度。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、讨论等方式，逐步理解和掌握二次根式的相关知识。
三. 说教学目标1.知识与技能：让学生掌握二次根式的概念、性质和运算方法。
2.过程与方法：通过观察、思考、讨论等方式，培养学生的逻辑思维能力和团队合作能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自主学习能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次根式的概念、性质和运算方法。
2.教学难点：二次根式的性质和运算规律。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等教学方法，引导学生主动探究、积极思考。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型等教学手段，帮助学生形象直观地理解二次根式的概念和性质。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习实数、有理数、无理数等基础知识，引出二次根式的概念。
2.探究二次根式的性质：让学生观察、分析例子，引导学生发现二次根式的性质。
3.学习二次根式的运算：通过讲解和练习，让学生掌握二次根式的运算方法。
4.应用拓展：布置一些相关的练习题，让学生巩固所学知识，并能够灵活运用。
七. 说板书设计板书设计要简洁明了，突出二次根式的概念、性质和运算方法。
可以设计如下：1.二次根式的概念–定义：形如√a（a≥0）的式子称为二次根式。
2.二次根式的性质–√a = √b（a=b≥0）–√a × √b = √(ab)（a≥0，b≥0）–√a ÷ √b = √(a/b)（a≥0，b>0）3.二次根式的运算方法–加减法：同底数相加减，指数不变；–乘除法：底数相乘除，指数相加减。
教材分析 二次根式
第1章 二次根式二次根式属于“数与代数”领域的内容，它是在学生学习了平方根、立方根等内容的基础上进行的，是对七年级上册“实数”“代数式”等内容的延伸和补充。
二次根式的运算以整式的运算为基础，在进行二次根式的有关运算时，所使用的运算法则与整式、分式的相关法则类似；在进行二次根式的加减时，所采用的方法与合并同类项类似；在进行二次根式的乘除时，所使用的法则和公式与整式的乘法运算法则及乘法公式类似。
这些都说明了前后知识之间的内在联系。
本章的主要内容有二次根式，二次根式的性质，二次根式的运算（根号内不含字母、不含分母有理化）。
一、教科书内容和教学目标1、本章的教学要求。
（1）了解二次根式的概念，了解简单二次根式的字母取值范围；（2）了解二次根式的性质；（3）了解二次根式的加、减、乘、除的运算法则；（4）会用二次根式的性质和运算法则进行有关实数的简单四则运算（不要求分母有理化）。
2、本章教材分析。
课本在回顾算术平方根的基础上，通过“合作学习”的三个问题引出二次根式的概念，并说明以前学的数的算术平方根也叫做二次根式。
在例题和练习的安排上，着重体现三个方面的要求：一是求二次根式中字母的取值范围；二是求二次根式的值；三是用二次根式表示有关的问题。
对于二次根式的性质，课本利用第4页图1-2给出的。
该图的含义是如果正方形的面积为a ，那么这个正方形的边长就是a ；反之，如果正方形的边长为a ，那么这个正方形的面积就是a ，因此就有a a 2)(。
从而得出二次根式的第一个性质。
至于第二个性质，可以通过学生的计算来发现，所以课本安排了一个“合作学习”，让学生自己去发现和归纳。
该节第一课时的重点在于对这两个性质的理解和运用，例题和练习的设计就围绕这两个性质展开。
第二课时是学习二次根式的另外两个性质，课本安排两组练习，意在让学生通过自己的尝试，与同学的合作交流来发现这两个性质。
通过两个例题和一组练习，使学生知道运用二次根式的性质，可以简化实数的运算，也可以对结果是二次根式的式子进行化简。
《二次根式》说课稿（写写帮整理）
《二次根式》说课稿（写写帮整理）第一篇：《二次根式》说课稿（写写帮整理）《二次根式》说课稿一、教材分析“二次根式”是《课程标准》“数与代数”的重要内容。
本章是在第13章的基础上，进一步研究二次根式的概念，性质，和运算。
本章内容与已学内容“实数”“整式”“勾股定理”联系紧密，同时也是以后将要学习的“锐角三角函数”“一元二次方程”和“二次函数”等内容的重要基础。
第一节研究了二次根式的概念和性质。
它是学习本章的关键，它也是学习二次根式的化简和运算的依据。
二、教学目标课标要求：学生要学会学习、自主学习，要为学生终生学习打下坚实的基础，根据教学大纲和新课标的要求，根据教材内容和学生的特点我确定了本节课的教学目标1、了解二次根式的概念2、了解二次根式的基本性质，经历观察、比较、总结二次根式的基本性质的过程，发展学生的归纳概括能力。
3、通过对二次根式的概念和性质的探究，提高数学探究能力和归纳表达能力。
4、学生经历观察、比较、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性与创造性，体验发现的乐趣，并提高应用的意识。
教学重点:二次根式的概念和基本性质教学难点:二次根式的基本性质的灵活运用三、教法和学法教学活动的本质是一种合作，一种交流。
学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者，本节课主要采用自主学习，合作探究，引领提升的方式展开教学。
依据学生的年龄特点和已有的知识基础，本节课注重加强知识间的纵向联系，拓展学生探索的空间，体现由具体到抽象的认识过程。
为了为后续学习打下坚实的基础，例如在“锐角三角函数”一章中，会遇到很多实际问题，在解决实际问题的过程中，要遇到将二次根式化成最简二次根式等，本课适当加强练习，让学生养成联系和发展的观点学习数学的习惯。
四、教学过程活动一：根据学生已有知识探究二次根式的概念1.探究二次根式概念由四个实际问题（三个几何问题，一个物理问题）入手，设置问题情境，让学生感受到研究二次根式来源于生活又服务于生活。
二次根式教案三篇
二次根式教案三篇二次根式教案三篇二次根式教案篇1 一、内容解析本节教材是在学生学习二次根式概念的根底上，结合二次根式的概念和算术平方根的概念，通过观察、归纳和考虑得到二次根式的两个根本性质．对于二次根式的性质，教材没有直接从算术平方根的意义得到，而是考虑学生的年龄特征，先通过“探究”栏目中给出四个详细问题，让学生学生根据算术平方根的意义，就详细数字进展分析^p 得出结果，再分析^p 这些结果的共同特征，由特殊到一般地归纳出结论．基于以上分析^p ，确定本节课的教学重点为：理解二次根式的性质．二、目的和目的解析1．教学目的〔1〕经历探究二次根式的性质的过程，并理解其意义；〔2〕会运用二次根式的性质进展二次根式的化简；〔3〕理解代数式的概念．2．目的解析〔1〕学生能根据详细数字分析^p 和算术平方根的意义，由特殊到一般地归纳出二次根式的性质，会用符号表述这一性质；〔2〕学生能灵敏运用二次根式的性质进展二次根式的化简；〔3〕学生能从已学过的各种式子中，体会其共同特点，得出代数式的概念．三、教学问题诊断分析^p二次根式的性质是二次根式化简和运算的重要根底．学生根据二次根式的概念和算术平方根的意义，由特殊到一般地得出二次根式的性质后，重在能灵敏运用二次根式的性质进展二次根式的化简和解决一些综合性较强的问题．由于学生初次学习二次根式的性质，对二次根式性质的.灵敏运用存在一定的困难，打破这一难点需要老师精心设计好每一道习题，让学生在练习中进一步掌握二次根式的性质，培养其灵敏运用的才能.本节课的教学难点为：二次根式性质的灵敏运用.四、教学过程设计1．探究性质1问题1 你能解释以下式子的含义吗？师生活动：老师引导学生说出每一个式子的含义．【设计意图】让学生初步感知，这些式子都表示一个非负数的算术平方根的平方.问题2 根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的根据.师生活动学生独立完成填空后，让学生展示其思维过程，说出得到结论的根据．【设计意图】学生通过计算或根据算术平方根的意义得出结论，为归纳二次根式的性质1作铺垫．问题3 从以上的结论中你能发现什么规律？你能用一个式子表示这个规律吗？师生活动：引导学生归纳得出二次根式的性质：〔≥0〕.【设计意图】让学生经历从特殊到一般的过程，概括出二次根式的性质1，培养学生抽象概括的才能.例2 计算〔1〕〔2〕师生活动：学生独立完成，集体订正.【设计意图】稳固二次根式的性质1，学会灵敏运用.2．探究性质2问题4 你能解释以下式子的含义吗？师生活动：老师引导学生说出每一个式子的含义．【设计意图】让学生初步感知，这些式子都表示一个数的平方的算术平方根.问题5 根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的根据.师生活动学生独立完成填空后，让学生展示其思维过程，说出得到结论的根据．【设计意图】学生通过计算或根据算术平方根的意义得出结论，为归纳二次根式的性质2作铺垫．问题6 从以上的结论中你能发现什么规律？你能用一个式子表示这个规律吗？师生活动：引导学生归纳得出二次根式的性质：〔≥0〕【设计意图】让学生经历从特殊到一般的过程，概括出二次根式的性质2，培养学生抽象概括的才能.例3 计算〔1〕〔2〕师生活动：学生独立完成，集体订正.【设计意图】稳固二次根式的性质2，学会灵敏运用.3．归纳代数式的概念问题7 回忆我们学过的式子，如 ___________〔≥0〕，这些式子有哪些共同特征？师生活动：学生概括式子的共同特征，得得出代数式的概念.【设计意图】学生通过观察式子的共同特征，形成代数式的概念，培养学生的概括才能.4．综合运用〔1〕算一算：【设计意图】设计有一定综合性的题目，考察学生的灵敏运用的才能，第〔2〕、〔3〕、〔4〕小题要特别注意结果的符号.〔2〕想一想：中，的取值范围是什么？当≥0时，等于多少？当时，又等于多少？【设计意图】通过此问题的设计，加深学生对的理解，开阔学生的视野，训练学生的思维.〔3〕谈一谈你对与的认识.【设计意图】加深学生对二次根式性质的理解.5．总结反思〔1〕你知道了二次根式的哪些性质？〔2〕运用二次根式性质进展化简需要注意什么？〔3〕请谈谈发现二次根式性质的考虑过程？〔4〕想一想，到如今为止，你学习了哪几类字母表示数得到的式子？说说你对代数式的认识．6．布置作业：教科书习题16.1第2，4题.二次根式教案篇2 活动1、提出问题一个运动场要修两块长方形草坪，第一块草坪的长是10米，宽是米，第二块草坪的长是20米，宽也是米。
二次根式教材分析(学生版)
第二十一章 《二次根式》教材分析一、本章知识结构框图：二、本章地位与作用承上启下的作用，与前面实数及整式一章有非常紧密的联系；二次根式的化简对勾股定理的应用是很好的补充；二次根式的概念、性质、化简与运算是后续解直角三角形、一元二次方程和二次函数的基础。
三、(建议) 课时安排21.1 二次根式 约2课时 21.2 二次根式的乘除 约2课时21.3 二次根式的加减 约3课时 数学活动与小结 约2课时 四、中考考试要求五、教学建议(一)加强知识间的纵向联系，充分理解概念与性质1．教学中要注意与已有知识和经验的联系，要在“实数”一章的基础上进行教学；对平方根的有关概念和性质进行复习，使学生理解二次根式的本质就是将数的算术平方根扩充到式的算术平方根，进而理解二次根式的性质。
2．教学中注意本章与第十五章“整式”的联系。
整式的运算法则和公式及运算律在二次根式的运算中同样适用。
教学中要注意本章内容与“整式”中相关内容的联系，使学生的学习形成正迁移。
3．注意本章知识与已学过知识的综合,如与因式分解的综合、与勾股定理的综合，与分式运算的综合等. （二）加强与实际的联系，突出二次根式的数学本质研究二次根式的概念和运算既是数学内在的需要，也是实际的需要，教学时应加强与实际的联系，可以适当增加一些贴近学生生活的实例，使学生在兴趣中认识二次根式的有关概念和运算，在解决实际问题中理解二次根式的本质，调动学生学习数学的积极性。
（三）重视二次根式的化简 1．二次根式的主要性质：(1))0(,0≥≥a a ； (2))0()(2≥=a a a ； (3)⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a ；(4) 积的算术平方根的性质：)0,0(≥≥⋅=b a b a ab ；(5) 商的算术平方根的性质：)0,0(>≥=b a ba b a ； (6)若0≥>b a ，则b a >.2．二次根式的化简是本章的主要内容之一，掌握化简的方法需要进行一定的训练；3．⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 与)0()(2≥=a a a 的逆用。
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《二次根式》教材分析1一、本章地位与作用本章内容属于“数与代数”的基础内容，既是“整式”、“分式”之后引入的第三类重要代数式，也是“实数”之后对“数”的认识的深化．本章内容具有极强的“工具性”，教材中安排本章在“勾股定理”之后、“二次方程”之前，意在为解二次方程做好准备；本学期安排本章在“勾股定理”之前，能为解任意直角三角形的三边数值扫清障碍．二、知识网络归纳三、课标及中考要求【课标要求】1参考了之前几次同题教材分析稿，例题也大多沿用之。
了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算．（不要求进行根号下等．）【中考要求】四、课时安排建议21．1 二次根式约2课时21．2 二次根式的乘除约2课时21．3 二次根式的加减约3～4课时数学活动与小结约2课时五、全章教学建议1．注意本章内容的“工具性”．二次根式相关知识的学习是为后续勾股定理、二次方程的学习打基础，因此应重点落实二次根式的性质、化简和计算（特别是实数的化简和计算）的准确性，提高学生的计算能力．尽管课本中的例题相对简单，但不要忽视它们在学生建立知识结构的过程所起的过渡作用．非实验班不建议在此补充涉及代数式化简、运算技巧的内容（如分母有理化等），相应地，学探诊测试6第6题及之后的题目可不作为基本教学要求．2．从提出二次根式的概念开始，就注意强化“二次根式在一定条件下才有意义”这一观念．避免教材第7页小贴士“在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数”给学生带来的误解和误导．总有为数不少的学生将二次根式有意义的“非负性”条件误记为“正性”条件，可能与此有关．3．注意对“实数”一章知识的复习，体现“数式通性”的原则；注意与“整式”、“分式”相关知识的联系，相关结论可以类比记忆．4．注意教材和学探诊中，有些题目需要用到勾股定理，可先回避．六、各小节教学建议21．1 二次根式（1）实例引入，注意复习开平方、算术平方根的概念和符号表示．（2）二次根式的形式定义：建议不要把精力放在辨别一个式子是否为二次根式上，而应该侧重于理解被开方数是非负数（不要误记为正数）的要求． 例如，2是二次根式吗按本人的理解，2作为单独一个数应属于单项式，非二次根式． 学探诊92页第6题：下列各式中，一定是二次根式的是：（A ）23-（B ）2(0.3)-（C ）2-（D ）x ，答案B ．本人认为题干应该改为“下列各二次根式一定有意义的是”．总之，真正该提醒学生的是“数式通性”：如果被开方数是一个常数，那么它不可以是负数；如果被开方数含字母，那么它有取值范围的限制（与分式类似）．（3）二次根式（根号）的双重非负性：)0(,0≥≥a a ；（4）教材要求掌握的公式：2() (0)a a a =≥，2 (0)a a a =≥，建议授课时提高要求，理解并掌握⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a ． 2a 与2)(a 的对比：① 运算顺序不同：2)(a 是先求算术平方根再平方，2a 是先平方再求算术平方根；② a 的取值不同：2)(a 中a 的取值是0≥a ，而2a 中a 的取值是任意实数；③ 运算结果不同：2)(a =a （0≥a ）；2a =⎩⎨⎧<-≥=)0()0(||a a a a a ．（5）代数式的概念：建议适当补充一些代数式的书写规范（如果之前没有讲过）．例1：当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义；（4．（1（2（3答案：（1）1x≥且1x≠．x≤；（3）1x≥；（2）1x>；（4）0提高题：求下列函数解析式中自变量x 的取值范围：（1）2y x =+－x 23-； （2）y x =-－11x +； （3）21x y -=； （4）222y x x =-+． 答案：（1）322x -≤≤；（2）0x ≤且1x ≠-；（3）12x ≥且2x ≠；（4）全体实数． 例2 ：若x 、y 为实数，且y ＝2-x ＋x -2＋3．求y x 的值． （y x=9） 例3 ：判断下列等式是否成立：(1)2(19)19()= (2)2(19)19()-=- (3)2(19)19()-= (4)()2()a b a b -=-(5)2()()a b a b -=- (6)2(0)().a a a =-≤答案：（1）√；（2）×；（3）√；（4）√；（5）×；（6）√．例4 ：已知c b a ,,为三角形的三边，则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+= ． （a b c ++）21．2 二次根式的乘除（1）从具体到抽象，归纳得出乘法公式：(0,0)a b ab a b ⋅=≥≥理解二次根式乘除运算法则的合理性：可与()n n n a b ab =做形式上的类比； ***可以利用算术平方根的定义进行推理证明：∵()()()222a b a b ab ⋅=⋅= 且 0,0a b ≥≥，∴ a b ab ⋅=． 从公式的适用范围看，包括了某些字母取0的情况；为降低难度，如果遇到纯二次根式化简问题，可以默认为字母都表示正数； 当涉及字母的取值范围问题时，不能认为字母都是正数．（2）公式的逆用：)0,0(≥≥⋅=b a b a ab ；．能利用这条性质对二次根式进行化简．注意学生不易理解“开得尽方的因数或因式”的含义， 教材在第8页小贴士的解释：可以开方后移到根号外的因数或因式．在这里，不妨多举一些例子，让学生明确在化简时，一般先将被开方数进行因数分解或因式分解，然后再将能开得尽方的因数或因式开出来．初步总结乘法运算的结果应满足以下两个要求：①结果是一个二次根式，或单项式乘以二次根式；也可能没有根号，只是单项式；②根号下不再有 “开得尽的因数或因式”．（3）除法公式及逆用：(0,0)a a a b b b =≥>，)0,0(>≥=b a b a b a 注意0b >的条件；可以通过归纳、或证明、或类比n n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭得出此公式；对于二次根式的除法运算和二次根式的化简，应让学生一题多解，一方面是熟悉二次根式性质、运算法则和方法，另一方面，通过一题多解，总结做题经验，使运算更灵活、更简洁．如 515515555353532==⨯⨯==； 515)5(155553532==⨯⨯=． a a a a a a aa 224222828==⨯⨯=；a a aa a a a a 22222228=⋅==⋅=． 又如 222222212212212=⨯=⨯⨯⨯=⨯=； 22)2(2122122==⨯=；22142122122=⨯=⋅=． 如果学生觉得不易灵活运用，也可总结为更易操作的“算法”：ab 型即a b 型，所有a b 的转化为a a b a b b b b ⨯⨯==⨯再化简；或者：ab 型即a b 型，所有的ab 转化为a b a b b b ⨯⨯=⨯再化简．用具体的实例归纳总结出把一个二次根式化为最简二次根式的方法技巧．如：当被开方数较大时，可用分解因数的办法将被开方数尽可能写成完全平方数的乘积形式．112,,12.5,3……等常见数值进行化简．总之，学生在化简运算的简洁性和准确性上都容易出现问题，因此建议在教学过程中先要求学生观察二次根式的特点，根据其特点分析运用哪条性质、哪种方法来解答，每步运算的根据的什么，培养学生的分析能力和观察能力，以及计算的目的性和条理性．（4）最简二次根式的概念：不要求学生背出定义，关键是遇到实际式子能够加以判断，让学生在练习中熟悉这个概念，同时明确二次根式的运算结果应化为最简二次根式．例5 ：计算：（1 （2； （3 （4．例6 ：化简：（1 （2 （3 （4（5 （6 （7； （8（9 （10）例7 ：计算： （1； （2 （3； （4；（5（6）3 （7 （8； （9． 例8 ：计算：（1）12322⨯⨯； （2）)126(75⋅÷．例9 1.414≈3个有效数字）．21．3 二次根式的加减（1）教材采用了“被开方数相同的最简二次根式”的说法；为简洁明了，建议还是类比同类项的概念给出“同类二次根式”的概念，能通过实例判断几个二次根式是不是同类二次根式，注意强调先化简的重要性．例如，分成几个小问题：①把被开方数都是整数的放在一个小题中，②把被开方数都是分数的放在一个小题中，③把被开方数带有简单字母的放在一个小题中，④把字母次数略高于2的放在一个小题中，……使问题的解决有一个由浅入深的渐进过程，最终再给出类似a的例子．（2）明确二次根式的加减法运算的实质就是合并同类二次根式，这与整式加减的实质类似．加减法的练习也同样可细分成几个层次进行教学．例如：①不需要化简能直接进行相加减的，②需要化简但被开方数都是简单整数的，③被开方数都是有理数但既有整数又有分数的，④被开方数含有字母的，等等．加减运算中常出现的错误类型有：① 运算结果含有28+或类似的式子；② 运算过程中有3294+=+或34143=或类似的问题； ③ 运算过程中有532=+或2322311=-或类似的问题． （4）二次根式的混合运算．教材利用小贴士类比了它与实数、整式运算的联系:第14页: “在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内仍成立”； 第17页: “在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用”．分析式子结构，明确运算顺序；关注乘法公式和运算律的应用；计算少跳步，避免类似(535316=，222=8之类的典型错误． 例10计算：（182- （2）2484554+-+（3）3241182182-+； （4）4832714122+-； （5()328122--⨯（6）0(π1)123+-（7)8185122-+（8）6813222124--+-例11计算：（1）3)154276485(÷+- （2）x xx x 3)1246(÷- （3） )65153(1051-⋅（4）2136233÷-（5）2)32()122)(488(---+ （6）)2332)(2332(-+ （7）2)534(+ （8）)3225)(65(-+ （9）1515)103()103(-+ （10） (11) )13(1312+⋅+÷（12）ab b a ab b 3)23(235÷-⋅（13）)93()24(3ab a ba b a a b a b +-+ （14）221122⎛⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（15）((((22221111-（16）ab －b a ―ab＋2++a b b a （a ＞0，b ＞0）例12一个长方体的长为，宽为cm 3，高为cm 2，则它的表面积为 2cm ，体积为 3cm ． （8+例13若8a ，小数部分是b ，则22ab b -= ．（5）★ 章节复习及综合（1）条件求值类题目：例14甲、乙两人对题目“求值：21122-++a a a，其中51=a ”有不同的解答， 甲的解答：2221111112492()5a a a a a a a a a a a ++-=+-=+-=-=， 乙的解答：5111)1(1211222==-+=-+=-++a a a a a a a a a a ，谁的解答是错误的为什么例15（1）如果524-+=+b a b a ，那么b a 2+=_____．（2）若实数x y ，满足033222=+-++y y x ，则xy 的值是 ． ．例16① 已知: 101=+aa ， 求221a a +的值． （6）② 已知: ()5721+=x ， ()5721-=y ， 求x 2xy + y 2 的值． （112） （2） 寻找规律、现场学习类：例17已知下列等式：991910⨯+=9999199100⨯+=，99999919991000⨯+=，······，① 根据上述等式的特点，请你写出第四个等式，并通过计算验证等式的正确性；② 观察上述等式的规律，请你写出第n 个等式． （允许写成99999n 个的形式）例18观察下列等式：12)12)(12(12121-=-+-=+；23)23)(23(23231-=-+-=+；34)34)(34(34341-=-+-=+；……回答下列问题：①；② ......+．（9）例19有这样一类题目：若你能找到两个数m 和n ，使22m n a+=且mn =，则a ±可变为222m n mn +±，即变成2()m n ±开方，从而使得5±=32++222++=，∴==请仿照上例解下列问题：（1； （2 七、***拓展专题（1）分母有理化：例20)a b ≠例21计算：)12008)(200720081 (3)41231121(+++++++++（2）二次根式比较大小：例22比较大小：（1）3与22（平方法） （2）－（被开方数）（3）571-与351-（分母有理化）（4）2002－2001与2001－2000（倒数法/分子有理化）例23观察下列各式的特点：2312->-，3223->-，2532->-，……(1) 请根据以上规律填空2007-2007- > (2) 请根据以上规律写出第)1(≥n n 个不等式，并证明你的结论． (3) 计算下列算式：.....+++9）（3）化简和运算技巧（注意隐含条件：字母的取值范围）：例24（1）已知a <0，化简二次根式b a 3-的正确结果是（ ）． AA ．ab a --B ．ab a -C ．ab aD ．ab a -（2）把mm 1-根号外的因式移到根号内，得（ ）． C A ．m B ．m - C ．m -- D ．m -例25（1）已知x+y=6，xy=6，求：xyyx +的值；（2）已知x ＋y=－8，xy=8，求的值．（- 例26计算)311)(37(6117)75)(53(7523+++++++++例27（1）化简ba ba b a b ab a b a a ba b +-÷++-⋅-+-2； （a b a b +-） （2）化简111111112222-++--++--+-++a a a a a a a a .（1a >）．（）例28（1）已知x ＝2323-+， y ＝2323+-， 求32234232y x y x y x xy x ++-的值；（5）（2）已知321+=a ， 求aa a a a a a -+---+-22212121的值． （3）。