人教版九年级数学上册：探解圆中最值问题的三种 基本思路
推荐人教版九年级数学上册：期末难点突破突破二圆中的最值问题
第5题图第8题图突破二圆中的最值问题【方法归纳】解决最值问题常用的方法有：特殊位置与极端位置法，几何公理（定理）法，数形结合法等. 一、利用垂线段最短求最值1. {2013?咸宁）如图，在沁AAOB 中，OA=OB = 3V 29 0O 的半径为1，点J 3是边上的动点，过点P 作?0的一条切线PQ （点Q 为切点），则PQ 的最小值为2#?【解析】连 PO 、OQ ，M PQ= VP02-OQ z ，要使 PQ 最小，只需 PO 最小，:.OP ±AB 9 :.OP=39 :.PQ=2^2.2.如图，AABC 中，ZBAC =60°, ZABC =A 5\ AB = 2诉，D 是线段BC J;的一个动点，以AD 为直径画00分别交AB 、AC 于￡：、F ，连接EF ，则线段EF 的最小值为^ ?【解析】作直径EM ，连MF, ZM= 60% EF=^EM=^AD .要使 EF 最小，只需使 AD 最小，故 AD 丄BC.. /.AD=2, EF=^S.二、利用两点之间线段最短求最值3.如图，A 是半圆上一个三等分点，点B 是^?的中点，尸是直径MiV 上一动点，0O 的半径为1，则AP+RP 的最小值为在.【解析】取点B 关于MiV的对称点S 7,连AB/!MN 于P ，.:.AP+BP=AB f =^[2.4.如图，BC 为?0的直径，BC=4#，P 为上一动点，M 为的中点，设APAM 的周长为w ，则m 的取值范围是2V5+2<m<6+2V51【解析】PA<AC, PM<CM ,而 CM = 2v^"，AC=4，/. PA + PM < 4 + 2^5 ,作点 iVf 关于 BC 的对麻点 N ，?则 PM= PN ，??? PA + PM =PA -\- PN ^ AN ,易求 AN = 2#，A PA + PM > 2^5 , /. 2V5 + 2 < m < 6 + 2V5三、利用直径是圆中最长的弦求最值5.（2013 ?陳西）如图，AB 是00的一条弦，点C 是00上一动点，且ZACB = 30°，点E.F 分别是AC 、BC 的中点，直线与0O 交于G 、H 两点，若?0的半径为7,则GE+FH 的最大值为1Q. 5 ..【解析】连OA 、OB ，AOAB 为等边△，AB = 7, ￡F=yAB = 3. 5, /.GE+FH = GH-3. 5.要使 GE+RH ?最大，只需麄_*參參參?GH 取最大值，故 GH 为直径，/-GH= 14,:.GE +FH =10.5.?- …? ? ?6.如图，AJB 为00的直径，点C 为?0上异于A 、B 的一动点，弦AD=5v^"，ZACD=60%CA 、CB 焉关于:C 的一元二次方程JC 2— m:c + rz = 0的两根，则m 的最大值为10^2【解析】易求AB=10，作ZACB 的平分线交OO 于E ，证CA+CB=V^CE ，当CE 为直径时，CA+CB 最大.四、利用特殊位置与极端位置求最值7.如图，A （4, 0），_B （0, 4），？C 的圆心坐标为（一2, 0），半径为2, D 是?C 上一个动点，线段 DA 交:y 轴于E ，设AARE 的面积为S ，则S 的取值范围是8—2在<S<8+2在.【解析1直线AD 在x 轴上方与?C 相切时/ S 最小.直线AD 在o ：轴下方与0C 相切时，S 最大.8.如图，AB 为0O 的直径，（：为半圆的中点，？C 的半径为2,AB = S 9点P 是直径AB 上的一动点， ,PM 与?C 相切于M ，则PM 的取值范围为273<PM<277 ??【解析】PM = VPC2 - CM2 = VPC2 - 4，当PC最小时，PM有最小值，此时PC丄AB，F与0重合；当PC最大时，PM有最大值，此时P与A或B重合. ??。
圆中最值问题10种求法
圆中最值的十种求法在圆中求最值是中考的常见题型，也是中考中的热点、难点问题，有的学生对求最值问题感到束手无策,主要原因就是对求最值的方法了解不多,思路不够灵活.现对在圆中求最值的方法，归纳如下：一、利用对称求最值1．如图:⊙O的半径为2,点A、B、C在⊙O上,OA⊥OB，∠AOC=60°,P是OB上一动点，求PA+PC的最小值.[分析]:延长AO交⊙O于D,连接CD交⊙O于P,即此时PA+PC最小,且PA+PC的最小值就等于弦CD的长.解：延长AO交⊙O于D,连接CD交OB于P连接PA,过O作OE⊥CD，垂足为E在△OCD中，因为∠AOC=60°所以∠D=∠C=30°在Rt△ODE中 cos30°=即DE=2×cos30°= 所以CD=2DE=2即PA+PC的最小值为2.二、利用垂线段最短求最值2．如图:在直角坐标系中，点A的坐标为（－3，－2）,⊙A的半径为1,P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q,则PQ长度的最小值为 .[分析]：连接AQ、PA，可知AQ⊥PQ. 在Rt△PQA中，PQ=,求PQ的最小值转化为求PA的最小值，根据垂线段最短易求PA的最小值为2。
解:连接PA、QA因为PQ切⊙A于点Q 所以PQ⊥AQ在Rt△APQ中，PQ2=PA2－AQ2即PQ=又因为A(－3,－2） ,根据垂线段最短。
所以PA的最小值为2所以PQ的最小值=三、利用两点之间线段最短求最值3．如图：圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6,D为PB的中点,一只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为( )A．B．2 C．3 D．3［分析］：因为圆锥的侧面是曲面蚂蚁从A爬行到点D，不好求爬行的最小值,要把立体图形展开为平面图形，再利用两点之间线段最短来解决问题.解：圆锥的侧面展开图如图2,连接AB根据题意得:弧AC的长为2πr=2π·2=4π,PA=6因为4π= 所以n=120°即∠APB=60°又因为PA=PB所以△PAB是等边三角形因为D为PB中点所以AD⊥PB PD=DB=3在Rt△PAD中，AD=，故选C。
新人教版九年级上册数学17.圆中的最值问题
拔高专题 圆中的最值问题图(1)探究点一：点与圆上的点的距离的最值问题例1：如图，A 点是⊙O 上直径MN 所分的半圆的一个三等分点，B 点是弧AN 的中点，P 点是MN 上一动点，⊙O 的半径为3，求AP+BP 的最小值。
解：作点A 关于MN 的对称点A ′，连接A ′B ，交MN 于点P ，连接OA ′，AA ′． ∵点A 与A ′关于MN 对称，点A 是半圆上的一个三等分点， ∴∠A ′ON=∠AON=60°，PA=PA ′，∵点B 是弧AN 的中点，∴∠BON=30°，∴∠A ′OB=∠A ′ON+∠BON=90°，又∵OA=OA ′=3， ∴A ′．∵两点之间线段最短，∴PA+PB=PA ′+PB=A ′．【教师总结】解决此题的关键是确定点P 的位置．根据轴对称和两点之间线段最短的知识，把两条线段的和转化为一条线段，即可计算。
探究点二：直线与圆上点的距离的最值问题例2：如图，在Rt△AOB中，，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），求切线PQ的最小值解：连接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，∵在Rt△AOB中，OA=OB=3 ，∴OA=6，∴OP=•OA OBAB=3，∴．【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O是一动点且P在第一象限内，过P作⊙O切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．求线段AB的最小值．解：（1）线段AB长度的最小值为4，理由如下：连接OP，∵AB切⊙O于P，∴OP⊥AB，取AB的中点C，∴AB=2OC；当OC=OP时，OC最短，即AB最短，此时AB=4．【教师总结】结合切线的性质以及辅助线的作法，利用“垂线段最短”是解决此类问题的关键。
人教版九年级数学上册：探解圆中最值问题的三种 基本思路
探解圆中最值问题的三种基本思路圆中探求最值是近几年中考的一个凸显亮点，背景丰富有创意，解法灵活有创新，可谓八仙过海，各显其能，是一个值得深思和探究的好课题.下面就结合2019年的考题，向大家推荐这类最值的探解基本思路，供学习时借鉴.一、直径是圆中最长的弦为依据求最值1.探求三角形中位线的最大值例1 （2019年东营）如图1，AC 是⊙O 的弦，AC=5，点B 是⊙O 上的一个动点，且∠ABC=45°，若点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，则MN 的最大值是 ．解析：因为点M ，N 分别是BC ，AC 的中点，所以MN=21AB ，所以当弦AB 取得最大值时，MN 就取得最大值，因为直径是圆中最大的弦，所以当弦AB 是直径时，AB 最大，如图1，连接 AO 并延长交⊙O 于点B ′，连接CB ′，因为AB ′是⊙O 的直径，所以∠ACB ′=90°．因为∠ABC=45°，AC=5，所以∠AB ′C=45°，所以AB ′=2255 =52，所以MN 的最大 值为最大MN =225．所以应该填．点评：当线段是圆的某条弦时，熟记直径是圆中最大的弦是解题的关键.2.探求圆上动点到定弦的最大值例2（2019•广元）如图2，△ABC 是⊙O 的内接三角形，且AB 是⊙O 的直径，点P 为⊙O 上的动点，且∠BPC=60°，⊙O 的半径为6，则点P 到AC 距离的最大值是 ．解析：如图2，过O 作OM ⊥AC 于M ，延长MO 交⊙O 于P ，则此时，点P 到AC 的距离最大，且点P 到AC 距离的最大值=PM ，因为OM ⊥AC ，∠A=∠BPC=60°，⊙O 的半径为6，所以OP=OA=6，所以OM=23OA ＝23×6＝33，所以PM=OP+OM=6+33，所以点P 到AC 距离的最大值是6+33，所以答案为6+33．点评：圆上动点到定弦距离的最大值就是垂直平分线弦的直径的两个端点到弦的距离，这是垂径定理的应用，也是直径是圆中最大的弦的应用.此法也是用于在拱形中计算最值.2.探求圆上动点与线段上动点构成线段的最大值与最小值的和例3（2019•玉林）如图3，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点O 是AB 的三等分点，半圆O 与AC 相切，M ，N 分别是BC 与半圆弧上的动点，则MN 的最小值和最大值之和是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8解析：如图3，设⊙O 与AC 相切于点D ，连接OD ，作OP ⊥BC 垂足为P 交⊙O 于F ，此时垂线段OP 最短，PF 最小值为OP ﹣OF ，因为AC=4，BC=3，所以AB=5.因为点O 是AB 的三等分点，所以OB=32×5=310，因为∠OPB=90°，所以OP ∥AC ，所以32==AB OB AC OP , 所以OP=38.因为⊙O 与AC 相切于点D ，所以OD ⊥AC ，所以OD ∥BC ，所以31==AB OA BC OD , 所以OD=1，所以MN 最小值为OP ﹣OF=38﹣1=35； 如图3，当N 在AB 边上时，M 与B 重合时，MN 经过圆心，经过圆心的弦最长，所以MN 最大值=310+1=313，所以MN 长的最大值与最小值的和是35+313=6．所以选B ． 点评：单边切圆动点线段的最值问题，求解时，需要分开，一是动线段的最小值，依据圆心这个定点到定线段的垂线段最短，在此基础上，确定动点线段的最小值；二是动点线段的最大值，依据直径是圆中最大的弦确定求解.解答后，要熟记问题的背景特点，继而灵活准确计算最值的和.二、定弦的弦心距最短，探求线段的最大值例4 （2019•嘉兴）如图4，在⊙O 中，弦AB=1，点C 在AB 上移动，连结OC ，过点C 作CD ⊥OC 交⊙O 于点D ，则CD 的最大值为 ．解析：如图4，连接OD ，在直角三角形OCD 中，222OC OD CD -=,因为圆的半径是定值，要想使得CD 长最大，只需满足OC 的长度最小，因为AB 是圆的弦，所以O 到弦AB 的最短距离是弦AB 的弦心距，所以当OC ⊥AB 时，OC 最短，此时点D 恰好与点B 重合，所以4142222==-=AB OC OD CD ,所以CD 的最大值为21. 点评：此类最值的特点有五：一是有圆的定弦；二是动点之一必须在定弦上；三是能构造出直角三角形；四是等式有特点：动线段的平方和时定值即222-动线段半径动线段=；五是运用点到直线的距离中以垂线段为最短，构造最长值.三、三角形的三点一线时第三边最大，探求最大值1.探求直角三角形斜边长的最大值例5（2019年湖北鄂州）如图5，在平面直角坐标系中，已知C （3，4），以点C 为圆心的圆 与y 轴相切．点A 、B 在x 轴上，且OA=OB ．点P 为⊙C 上的动点，∠APB=90°，则AB 长 度的最大值为 ．解析：如图5，连接OC,OP,PC ，当点O,P,C 三点不共线时，则OC+PC ＞OP ；当点O,P,C 三点共线时，OC+PC=OP ，综上所述OP ≤OC+PC ，且当点O,P,C 三点共线时，PO 取得最大值，所以连接OC 并延长，交⊙C 上一点P ，以O 为圆心，以OP 为半径作⊙O ，交x 轴于A 、B ，此时AB 的长度最大，过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为D ，因为C （3，4），所以OC=5， 因为以点C 为圆心的圆与y 轴相切，所以⊙C 的半径为3，所以OP=OC+PC=5+3=8，因为∠APB=90°，AO=OB ，所以PO 是直角三角形PAB 斜边上的中线，所以AB 长度的最大值为16，所以应该填16．点评：准确构造含有动点，且有一条定线段的动态三角形是解题的关键，利用动态三角形的存在性和三点一线型，综合确定线段的最值是解题的核心，这种确定最值的思想非常重要，应用也非常广泛，务必熟练驾驭，做到准确找动态三角形，准确定共线线段，确实把最值准确定出.2.探求动态三角形中位线长的最大值例6(2019年乐山）如图6，抛物线4412-=x y 与x 轴交于A,B 两点，P 是以点C(0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q 是线段PA 的中点，连结OQ.则线段OQ 的最大值是（ ） ()A 3 ()B 241 ()C 27 ()D 4解析：如图6，连接BC,PC,PB ，当点B,P,C 三点不共线时，则BC+PC ＞PB ；当点B,P,C 三点共线时，且点P 与点B 位于圆心点C 的两侧，此时BC+PC=PB ，综上所述PB ≤BC+PC ，所以当点B,P,C 三点共线时，PB 取得最大值，所以连接BC 并延长，交⊙C 上一点P ，此时PB 的值最大.因为抛物线4412-=x y 与x 轴交于A,B 两点，所以点A(-4,0)，点B(4,0),所以OA=OB=4,因为点C （0,3）,所以OC=3,PC=2,BC=5,所以PB 的最大值为：PB=PC+CB=2+5=7,因为点O 是AB 的中点，点Q 是PA 的中点，所以OQ 是三角形PAB 的中位线，所以OQ=21PB, OQ 的最大值为27，所以选C. 点评：构造动态三角形时，以PB 为核心是解题的关键，确定了PB 的最大值，问题就顺利得解.解答时，要注意，当动点位于两定点之间时，线段取最小值；当动点位于两定点之外时，线段取得最大值.一定要熟记！感兴趣的读者，不妨计算一下OQ 的最小值.。
初三最值问题的常用解法及模型
初三最值问题的常用解法及模型一、引言初三数学中最值问题一直是学生们头疼的难题。
最值问题不仅仅是考察学生对知识点的掌握程度，更重要的是考验学生解决实际问题和推理的能力。
在本文中，我们将探讨初三数学中最值问题的常用解法及模型，帮助学生们更好地理解和应对这一难点。
二、常用解法1. 图形法最值问题常常可以通过图形法来解决。
给定一个函数y = f(x)，可以通过画出其图像，然后找出函数的极值点来求解最值问题。
通过观察图像的特点，我们可以更直观地理解函数的最值点在何处，从而得到更准确的解。
2. 性质法有些最值问题可以通过利用函数的性质来解决。
关于一元二次函数的最值问题，我们可以通过一元二次函数的性质，如开口方向、顶点位置等来推导出最值点的位置，从而得到解的方法。
3. 等式法有些最值问题可以通过建立方程或不等式来解决。
通过建立关于未知数的方程或者不等式，我们可以将最值问题转化为解方程或解不等式的问题，从而得到最值点的位置。
三、常用模型1. 长方形面积最大问题给定一段定长的绳子，用这段绳子围成一个长方形，求这个长方形的面积最大是一个最值问题。
通过建立关于长方形面积的函数，然后利用导数的性质找出函数的最值点，从而求解长方形面积最大问题。
2. 等边三角形周长最小问题给定一个定长的线段，求能够围成等边三角形的线段最小是一个常见的最值问题。
通过建立关于等边三角形周长的函数，然后利用导数的性质找出函数的最值点，从而求解等边三角形周长最小问题。
3. 盒子体积最大问题给定一定面积的纸张，通过剪切和折叠，能够制成一个盒子，求使得盒子体积最大的折法是一个典型的最值问题。
通过建立关于盒子体积的函数，然后利用导数的性质找出函数的最值点，从而求解盒子体积最大问题。
四、个人观点和理解最值问题在初三数学中是一个重要的难点，但也是一个可以锻炼学生逻辑思维能力和数学推理能力的好机会。
通过多维度的解法和模型，学生们可以更好地理解和掌握最值问题的解法，并且能够将数学知识与实际问题相结合，培养出更强的数学建模能力。
初中圆的最值问题三种解法
在初中数学中，圆的最值问题可以通过三种不同的解法来求解。
以下是三种常见的解法：
1. 几何解法：
首先，确定问题中圆的相关条件，例如圆的半径或圆心坐标等。
然后，利用几何性质和定理来分析问题。
对于圆的最值问题，常常使用切线和切线长度来解决。
通过找到与切线相关的角度和长度关系，可以求得圆的最大值或最小值。
2. 代数解法：
这种方法使用代数方程和函数来解决圆的最值问题。
首先，将圆的方程转化为合适的形式，例如标准方程或一般方程。
然后，利用代数的方法，对方程进行求导或化简，找到函数的最值点。
最后，将最值点带入原始问题中，求得圆的最大值或最小值。
3. 组合解法：
这种方法结合了几何和代数的思想。
首先，利用几何性质和定理来确定问题中的几何关系。
然后，将几何关系转化为代数方程或函数。
接下来，通过代数的方法求解方程或函数的最值点。
最后，将最值点代入几何关系中，求得圆的最大值或最小值。
九年级上册圆的最值题型整理与寻找隐圆和动点路径长方法归纳
授课类型 T 能力( 圆最值 )授课日期及时段2019年教学内容（比一比！）动点运动轨迹——圆或圆弧型动点轨迹为定圆，利用三点共线方法指导：1．当动点的轨迹是定圆时，可利用“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径和，最小值为定点到圆心的距离与半径差”性质求解．2．试着观察“动点与其他定点连结的线段长是否为‘定值’或动点与两定点构成的角是否为直角”，这是常见判断动点轨迹是圆的条件。
Ⅰ 动点到定点的距离不变．．．．．．．．．．，则点的轨迹是圆或圆弧； 1.如图 1，在正方形 ABCD 中，边长为 2,点 E 是 AB 的中点，点 F 是 BC 边上任意一点，将△BEF 沿 EF 所在直线折叠得到△PEF ，连接 AP ，则 CP 的最小值________，AP 的最小值是_________.【变式 1】在矩形 ABCD 中，已知 AB ＝2cm ，BC ＝3cm ，现有一根长为 2cm 的木棒 EF 紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒 EF 的中点 P 在运动过程中所围成的图形的面积_______cm 2.T 能力——圆最值检测定位【变式2】如图，一根木棒AB 长为2a，斜靠在与地面OM 垂直的墙壁ON 上，与地面的倾斜角∠ABO＝60°，若木棒沿直线NO 下滑，且 B 端沿直线OM 向右滑行，则木棒中点P 也随之运动，已知 A 端下滑到A′时，AA′)a，则木棒中点P 随之运动到P′所经过的路线长_______________．＝(323．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，P 是AB 边上的动点（不与点B 重合），将△BCP 沿CP 所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A 长度的最小值是________．4．如图，在□ABCD 中，∠BCD＝30°，BC＝4，CD＝3 3，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C 长度的最小值是________．5．如图，在四边形ABCD 中，AB＝AC＝AD，若∠BAC＝25°，∠CAD＝75°，则∠BDC＝_________°，∠DBC＝____________°．定边对定角模型定弦定角当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的轨迹是圆弧．见．直角→找．斜边（定长）→想．直径→定．外心→现．“圆”形；见．定角→找．对边（定长）→想．周角→转．心角→现．“圆”形；【一般解题步骤】①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧。
初三数学最值问题基本求法
初三数学最值问题基本求法数学最值问题，听起来是不是有点头疼？其实，它并没有你想象中的那么复杂。
咱们可以把这类问题看作是寻找一个“最佳”的答案，也就是最大值或最小值。
接下来，我就来给你讲讲怎么把这些问题搞定，让你也能轻松应对！1. 最值问题的基本概念首先，我们得搞清楚什么是最值问题。
最值问题就是在某些条件下，我们要找到一个最优解。
简单来说，就是在一堆可能的答案里，找到那个最顶尖的、最牛的或者最小的。
1.1 最大值和最小值举个例子吧，假如你要找一个班级里成绩最好的同学，或者找出一个商场里最便宜的商品，这就是在找最大值或最小值。
数学里也是这么回事，我们要在一定的条件下，找到一个变量的最大或最小值。
1.2 设定问题的条件为了找到最值，我们必须明确问题的条件。
这就像是你去打游戏的时候，得知道规则和目标，才能发挥出最好的成绩。
在数学题里，条件就是题目给定的信息，比如函数的范围、限制条件等。
2. 基本求解方法那么，如何求解最值问题呢？这儿有几个常用的方法，跟着我一步步来，保准你能搞定！2.1 代入法代入法是一种最常见的解题技巧。
比如你有一个函数，你可以将已知的条件代入到这个函数里，然后通过计算，找出最大值或最小值。
这就像是你拿到一道数学题，直接把条件带进去，然后一头扎进去计算，结果就会显现出来。
2.2 画图法有时候，画图也是个好方法。
尤其是当你面对的函数比较复杂的时候，画图可以帮助你更直观地看到函数的走势。
就像看风景一样，你能更清楚地看到山峰和谷底，进而找到函数的极值点。
3. 进阶技巧掌握了基本方法之后，咱们可以深入一点，看看更高级的技巧。
3.1 函数的导数法导数法对于那些学过一点微积分的同学来说，可能会有点复杂，但也非常有效。
通过导数，我们可以找出函数的斜率，从而判断函数的极值点。
简单来说，就是通过分析函数的“走势”，来找出它的最大值或最小值。
3.2 二次函数的最值对于二次函数，我们有一种特别的办法来找最值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
探解圆中最值问题的三种基本思路 圆中探求最值是近几年中考的一个凸显亮点，背景丰富有创意，解法灵活有创新，可谓八仙过海，各显其能，是一个值得深思和探究的好课题.下面就结合2019年的考题，向大家推荐这类最值的探解基本思路，供学习时借鉴.
一、直径是圆中最长的弦为依据求最值
1.探求三角形中位线的最大值
例1 （2019年东营）如图1，AC 是⊙O 的弦，AC=5，点B 是⊙O 上的一个动点，且∠ABC=45°，
若点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，则MN 的最大值是 ．
解析：因为点M ，N 分别是BC ，AC 的中点，所以MN=2
1AB ，所以当弦AB 取得最大值时，MN 就取得最大值，因为直径是圆中最大的弦，所以当弦AB 是直径时，AB 最大，如图1，连接 AO 并延长交⊙O 于点B ′，连接CB ′，因为AB ′是⊙O 的直径，所以∠ACB ′=90°．
因为∠ABC=45°，AC=5，所以∠AB ′C=45°，所以AB ′=2255 =52，所以MN 的最大 值为最大MN =225．所以应该填．
点评：当线段是圆的某条弦时，熟记直径是圆中最大的弦是解题的关键.
2.探求圆上动点到定弦的最大值
例2（2019•广元）如图2，△ABC 是⊙O 的内接三角形，且AB 是⊙O 的直径，点P 为⊙O 上
的动点，且∠BPC=60°，⊙O 的半径为6，则点P 到AC 距离的最大值是 ．
解析：如图2，过O 作OM ⊥AC 于M ，延长MO 交⊙O 于P ，则此时，点P 到AC 的距离最大，且点P 到AC 距离的最大值=PM ，因为OM ⊥AC ，∠A=∠BPC=60°，⊙O 的半径为6，
所以OP=OA=6，所以OM=23OA ＝2
3×6＝33，所以PM=OP+OM=6+33，所以点P 到AC 距离的最大值是6+33，所以答案为6+33．
点评：圆上动点到定弦距离的最大值就是垂直平分线弦的直径的两个端点到弦的距离，这是垂径定理的应用，也是直径是圆中最大的弦的应用.此法也是用于在拱形中计算最值.
2.探求圆上动点与线段上动点构成线段的最大值与最小值的和 例3（2019•玉林）如图3，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点O 是AB 的三等分点，半圆O 与AC 相切，M ，N 分别是BC 与半圆弧上的动点，则MN 的最小值和最大值之和是（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
解析：如图3，设⊙O 与AC 相切于点D ，连接OD ，作OP ⊥BC 垂足为P 交⊙O 于F ，
此时垂线段OP 最短，PF 最小值为OP ﹣OF ，因为AC=4，BC=3，所以AB=5.因为点O 是AB 的
三等分点，所以OB=
32×5=310，因为∠OPB=90°，所以OP ∥AC ，所以3
2==AB OB AC OP , 所以OP=38.因为⊙O 与AC 相切于点D ，所以OD ⊥AC ，所以OD ∥BC ，所以3
1==AB OA BC OD , 所以OD=1，所以MN 最小值为OP ﹣OF=38﹣1=35； 如图3，当N 在AB 边上时，M 与B 重合时，MN 经过圆心，经过圆心的弦最长，所以MN 最大值=310+1=313，所以MN 长的最大值与最小值的和是35+3
13=6．所以选B ． 点评：单边切圆动点线段的最值问题，求解时，需要分开，一是动线段的最小值，依据圆心这个定点到定线段的垂线段最短，在此基础上，确定动点线段的最小值；二是动点线段的最大值，依据直径是圆中最大的弦确定求解.解答后，要熟记问题的背景特点，继而灵活准确计算最值的和.
二、定弦的弦心距最短，探求线段的最大值
例4 （2019•嘉兴）如图4，在⊙O 中，弦AB=1，点C 在AB 上移动，连结OC ，过点C 作CD ⊥OC 交⊙O 于点D ，则CD 的最大值为 ．
解析：如图4，连接OD ，在直角三角形OCD 中，2
22OC OD CD -=,因为圆的半径是定值，要想使得CD 长最大，只需满足OC 的长度最小，因为AB 是圆的弦，所以O 到弦AB 的最短距离是弦AB 的弦心距，所以当OC ⊥AB 时，OC 最短，此时点D 恰好与点B 重合，所以41422
22==-=AB OC OD CD ,所以CD 的最大值为21. 点评：此类最值的特点有五：一是有圆的定弦；二是动点之一必须在定弦上；三是能构造出直角三角形；四是等式有特点：动线段的平方和时定值即2
22-动线段半径动线段=；五是运用点到直线的距离中以垂线段为最短，构造最长值.
三、三角形的三点一线时第三边最大，探求最大值
1.探求直角三角形斜边长的最大值
例5（2019年湖北鄂州）如图5，在平面直角坐标系中，已知C （3，4），以点C 为圆心的圆 与y 轴相切．点A 、B 在x 轴上，且OA=OB ．点P 为⊙C 上的动点，∠APB=90°，则AB 长 度的最大值为 ．
解析：如图5，连接OC,OP,PC ，当点O,P,C 三点不共线时，则OC+PC ＞OP ；当点O,P,C 三点共线时，OC+PC=OP ，综上所述OP ≤OC+PC ，且当点O,P,C 三点共线时，PO 取得最大值，所以连接OC 并延长，交⊙C 上一点P ，以O 为圆心，以OP 为半径作⊙O ，交x 轴于A 、B ，此时AB 的长度最大，过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为D ，因为C （3，4），所以OC=5， 因为以点C 为圆心的圆与y 轴相切，所以⊙C 的半径为3，所以OP=OC+PC=5+3=8，
因为∠APB=90°，AO=OB ，所以PO 是直角三角形PAB 斜边上的中线，所以AB 长度的最大值为16，所以应该填16．
点评：准确构造含有动点，且有一条定线段的动态三角形是解题的关键，利用动态三角形的存在性和三点一线型，综合确定线段的最值是解题的核心，这种确定最值的思想非常重要，
应用也非常广泛，务必熟练驾驭，做到准确找动态三角形，准确定共线线段，确实把最值准确定出.
2.探求动态三角形中位线长的最大值
例6(2019年乐山）如图6，抛物线44
12-=x y 与x 轴交于A,B 两点，P 是以点C(0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q 是线段PA 的中点，连结OQ.则线段OQ 的最大值是（ ） ()A 3 ()B 241 ()
C 27 ()
D 4
解析：如图6，连接BC,PC,PB ，当点B,P,C 三点不共线时，则BC+PC ＞PB ；当点B,P,C 三点共线时，且点P 与点B 位于圆心点C 的两侧，此时BC+PC=PB ，综上所述PB ≤BC+PC ，所以当点B,P,C 三点共线时，PB 取得最大值，所以连接BC 并延长，交⊙C 上一点P ，此时PB 的值最大.因为抛物线44
12-=x y 与x 轴交于A,B 两点，所以点A(-4,0)，点B(4,0),所以OA=OB=4,因为点C （0,3）,所以OC=3,PC=2,BC=5,所以PB 的最大值为：PB=PC+CB=2+5=7,因为点O 是AB 的中点，点Q 是PA 的中点，所以OQ 是三角形PAB 的中位线，所以OQ=
21PB, OQ 的最大值为2
7，所以选C. 点评：构造动态三角形时，以PB 为核心是解题的关键，确定了PB 的最大值，问题就顺利得解.解答时，要注意，当动点位于两定点之间时，线段取最小值；当动点位于两定点之外时，线段取得最大值.一定要熟记！感兴趣的读者，不妨计算一下OQ 的最小值.。