塑性力学应力状态
弹性与塑性力学基础 第1章 应力分析
1 1 2 2 1 2 1 2 2 4
2
(1-7)
应力圆：任一截面正应力与剪应力关系图 确定任一截面上 的 和。 坐标系： － 圆 半 应力圆 心： 轴上点 径：
1 ( 1 2 ) 2
1 ( 1 2 ) 2
单 向 拉 伸 时 轴 与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
哈工大（威海） 材料学院
§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.2 应力的方向性
为了便于研究，通常将任意方向
截面上的应力分解为两个分量：
σ－垂直于截面的分量（正应力） τ－平行于截面的分量（剪应力）
即：
边 界 存 在 正 应 力 时 斜 截 面 受 力 图
1 cos2 2 sin 2
(1-4)
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
哈工大（威海） 材料学院
§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.3 平面应力状态应力关系 沿a-a方向,力的平衡方程为：
边 界 存 在 正 应 力 时 斜 截 面 受 力 图
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
哈工大（威海） 材料学院
§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.3 平面应力状态应力关系
任一截面上 的 和 确定方法：
取任一截面上法向 和 的值。第一主应力截面法向夹角的二倍 2 ，由 轴逆时针旋转，应力圆上对应于2点的轴上的 和
弹性与塑性力学基础
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第 一 章
应 力 分 析
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
1.1.1 应力定义
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(完整)弹塑性力学简答题
弹塑性力学简答题第一章 应力1、 什么是偏应力状态？什么是静水压力状态？举例说明？静水压力状态时指微六面体的每个面只有正应力作用,偏应力状态是从应力状态中扣除静水压力后剩下的部分。
2、应力边界条件所描述的物理本质是什么？物体边界点的平衡条件。
3、对照应力张量ij δ与偏应力张量ij S ，试问：两者之间的关系？两者主方向之间的关系?相同。
110220330S S S σσσσσσ=+=+=+.4、为什么定义物体内部应力状态的时候要采取在一点的领域取极限的方法？不规则，内部受力不一样。
5、解释应力空间中为什么应力状态不能位于加载面之外？保证位移单值连续。
连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续。
6、Pie 平面上的点所代表的应力状态有何特点?该平面上任意一点的所代表值的应力状态1+2+3=0,为偏应力状态，且该平面上任一法线所代表的应力状态其应力解不唯一。
固体力学解答必须满足的三个条件是什么？可否忽略其中一个？第二章 应变1、从数学和物理的不同角度，阐述相容方程的意义。
从数学角度看，由于几何方程是6个，而待求的位移分量是3个，方程数目多于未知函数的数目,求解出的位移不单值.从物理角度看,物体各点可以想象成微小六面体,微单元体之间就会出现“裂缝”或者相互“嵌入"，即产生不连续.2、两个材料不同、但几何形状、边界条件及体积力(且体积力为常数）等都完全相同的线弹性平面问题，它们的应力分布是否相同？为什么？相同。
应力分布受到平衡方程、变形协调方程及力边界条件，未涉及本构方程，与材料性质无关.3、应力状态是否可以位于加载面外？为什么？不可以.保证位移单值连续。
连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续.4、给定单值连续的位移函数，通过几何方程可求出应变分量,问这些应变分量是否满足变形协调方程？为什么？满足。
弹塑性力学名词解释
弹性力学：1.应力：应力是描述一点内力各个方向上单位面积上的作用力的极限值，由于内力具有多重方向性因而应力也有多重方向性，需要用9个量描述，但表面独立的量有6个，实际上这6个量之间真正独立的只有3个。
2.应变；应变是描述一点的变形程度的物理量，变形包括伸缩和方向改变。
一点的应变是一个复杂的物理现象，需要6个量描述，但独立的量只有3个。
3.体积力：作用在物体每一点的外力。
比如每一点都有的重力。
4.面力：作用在物体表面的外力。
比如水给大坝表面的压力。
5.斜面应力公式：一点任一方向的面上的应力与这一点的6个坐标应力之间的关系，这个关系用于应力边界条件和斜面应力的计算。
物体表面的任一点的应力和该点的面力是相同的大小和方向。
6.平衡微分方程：分析一点：反映一点的体积力与该点的6个坐标应力之间的受力平衡的方程，方程是偏微分形式的方程。
直角坐标下的方程形式上简单，其它坐标的复杂些。
7.可能应力：满足应力边界条件和平衡微分方程的应力场（该点进入弹塑性阶段时还要满足应力形式的屈服条件），因为应力对应的应变不一定是真实应变，因此只满足应力方程的应力只是可能应力而不一定是真实应力。
8.位移：分析一点：一点变形前后的位置差值。
变形体研究的位移是该点空间位置的连续函数。
9.几何方程：分析一点：反映一点位移与该点应变之间关系的方程。
直角坐标的几何方程形式上是最简单的，而其它坐标的复杂些。
10.变形协调方程：变形体不出现开裂或堆叠现象，即一点变形后产生的位移是唯一的，这时对一点的应变分量之间的相互约束关系。
直角坐标下的方程形式上简单，其它坐标的复杂些。
11.物理方程：这是材料变形的固有性质，反映一点应力与应变之间的约束关系，这种约束关系和坐标选取无关，即各种坐标下的物理关系都是相同的函数。
12.弹性：弹性指物体在外界因素(外荷载、温度变化等)作用下引起变形，在外界因素撤除后，完全恢复其初始的形状和尺寸的性质。
13.完全弹性：材料变形性质只有弹性而没有其他如流变、塑性等变形性质。
塑性力学-应力状态
几何关系
l m n 1
2 2 2
l,m,n不能同时为零 ，因此前式为包括三个未知量
应力强度 或广义剪应力
i
3 2
0
1
1 2 2
( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 3J 2 ( x y )2 ( y z )2 ( z x ) 2 6( xy yz zx )
2 2 2
0 为平均应力或静
水压力，只引起物 体体积的变化，i 或0只引起物体形 状的变化， 与应 力状态有关。
应力偏量分量、主应力用应力强度、 平均应力与应力状态状态角表示
应力偏量 主应力
s1+s2+s3 = 0
1+2+3 = 30
应力星圆
应力星圆是以距原点O为0的一点为圆心，以
塑性力学
第1章 应力分析
1. 应力状态
2. 三维应力状态分析
3. 三维应力状态的主应力
4. 最大剪应力
5. 等倾面上的正应力和剪应力 6. 应力罗德参数与应力罗德角 7. 应力张量的分解 8. 平衡微分方程
1－1 应力状态
1. 外力
体力、面力
(1) 体力 —— 弹性体内单位体积上所受的外力
Q —— 体力分布集度 F lim （矢量） V 0 V F Xi Yj Zk
八面体上 的正应力 与剪应力
p 0 0
称为应力状态的特征角，cos 为应力形式指数 。
弹塑性力学 第02章应力状态理论
§2-1 §2-2 §2-3 §2-4 §2-5 §2-6 §2-7
应力状态理论
体力和面力 应力和一点的应力状态 与坐标轴倾斜的微分面上的应力 平衡微分方程·应力边界条件 主应力·应力张量不变量 最大切应力 偏应力张量及其不变量
§2-1 体力和面力
作用于物体上的外力分为两类 ①体力：指分布在物体内所有质点上的力，如重 力、惯性力和电磁力等；用 Fbx , Fby , Fbz 表示单位 体积的体力；其量纲为 MT −2 L−2 ；其单位为 N m 3。 ②面力：指作用在物体表面上的力，如风力、液 体压力等；用 f sx , f sy , f sz 表示单位面积的面力；其 量纲为 MT L ；其单位为 N m 。
⎧σ x = −γy ⎨ ⎩τ xy = 0
平面情况下面力边界 条件简化为
⎧ ⎪ f sx = σ x l + τ yx m ⎨ ⎪ ⎩ f sy = τ xy l + σ y m
AB边
l = 0， m = −1
f sx = 0， f sy = γh
⎧ ⎪σ y = −γh ⎨ = 0 τ ⎪ xy ⎩
⎧τ zy = τ yz ⎪ ⎨τ xz = τ zx ⎪τ = τ yx ⎩ xy
切应力互 等定理
σ ij = σ ji
在弹性体的表面，考虑任一微分四面体的平衡。 设物体单位面积上的面力为 f sx , f sy , f sz ，物体表面外 法线的方向余弦为l，m，n，则应用平衡关系，可得
⎧ f sx = σ x l + τ yx m + τ zx n ⎪ ⎪ ⎨ f sy = τ xy l + σ y m + τ zy n ⎪ ⎪ ⎩ f sz = τ xz l + τ yz m + σ z n
3-1-1 应力状态分析
设ABC为主平面，在主平面上有τ=0 由于τ2= S2-σ2 即可得S=σ 所以Sx=Sl=σl Sy=σm Sz=σn 因此有： (σx-σ)l+τyxm+τzxn =0
τxyl+(σy-σ)m+τzyn =0 τxzl+τyzm+(σz-σ)n=0 而：l2+m2+n2=1 此为隐含条件 所以有：
第13章 应力分析stress analysis
本章内容：应用塑性力学分析金属在外力作用下的变形行为 本章重点：点的应力状态分析
应力stress：单位面积上的内力。
材料力学方法：切面法，将物体切开, 利用内力外力平衡条件求切面上 的应力分布。
：把物体切成无数个微六面体（或其他形状），称微元体或单元体，根据 单元体静力平衡条件写出平衡微分方程，再考虑其他条件求解。
13．1 应力状态分析
目标：任意一点的应力状态stress state —— 整个变形体的应 力状态
13．1．1 应力分析截面法
外力outside forces—— 产生内力 应力：正应力（stress）σ，切应力（shear stress）τ 要点：截开物体后，内力变外力。 13．1．1．1 单向拉伸uniaxial tensile应力分析
13．1．4．2 主轴坐标系
若以主应力（σ1 σ2 σ3方向即主轴方向）作坐标系，则坐标轴 为1，2，ห้องสมุดไป่ตู้方向轴。
此时， 在此坐标系下的任意斜面（l, m, n）上有：
S1=σ1l S2=σ2m S3=σ3n 以及：S2=σ12 l2+ σ22 m2 +σ32n2
σ=σ1 l2+ σ2 m2 +σ3n2 τ2= S2-σ2 而且：J1=σ1 + σ2 +σ3 J2=-(σ1σ2 + σ2σ3 +σ3σ1) J3=σ1σ2σ3 又由于：l2+m2+n2=1 所以有： 此方程为一椭球面方程，称应力椭球面。 其中S1 S2 S3分别表示全应力S在1，2，3轴向上的投影。
弹塑性力学应力应变关系
我所认识的应力和应变关系在这之前我认识了应力和应变的概念、性质以及从静力学和几何学的角度出发所得到的平衡方程和几何方程。
但是平衡方程仅反映了应力分量和外力分量的关系；几何方程仅建立了位移分量和应变分量的关系。
而谈到应力与应变的关系，对于可变形固体，在弹塑性力学中，在外力的作用下，其将发生变形。
变形分为两个阶段，弹性阶段和塑性阶段。
在弹性阶段，发生的弹性变形可以完全恢复，它是一个可逆过程。
此时，应力与应变的关系是一一对应的，是单值函数关系。
而在塑性阶段，所发生的塑性变形是不可以恢复的，是不可逆过程。
相对应的，塑性阶段的应力应变的关系是非线性关系，不存在一一对应的关系。
我所认识的应力和应变的关系就是本构关系。
本构关系也称为物理关系，它反应的是可变形材料的固有属性，实质上是一组联系力学参数和运动参数的方程式，也就是我们所说的本构方程。
在说应力与应变的关系之前，先说一下本构关系的相关影响因素，包括材料、环境、加载类型、以及加载速度。
即，),,(T t f εσ=。
另外，有各种各样的本构系，比如：弹性本构关系、塑性本构关系、粘弹性本构关系、粘塑性本构关系、各向同性本构关系、各向同性本构关系等等。
简单情况的本构关系：应力和应变的关系包括弹性和塑性的应力应变关系。
我们所说的是线性弹性体的应力应变关系，又分为简单应力状态和复杂应力状态。
在简单拉伸情况下，理想弹性材料的应力和应变的关系很简单，就是材料力学中的胡克定律： 。
而在塑性阶段，应力应变之间不再是简单的胡克定律，而是 。
另外，简单拉伸情况下的卸载定律是 。
在后继弹性阶段，也就是卸载后重新加载的材料会继续发生新的塑性变形，在此时的屈服称为后继屈服，相应的屈服点称为后继屈服点。
初始屈服和后继屈服的不同是：第一，应力的数值不一样，后继屈服的应力值更大；第二，屈服点的个数不一样。
初始屈服点只有一个，而后继屈服点会有好多个，则其对应的应力值也会有很多个。
最后，在卸载全部载荷后进行反向加载比如说把拉伸改成压缩，此时会产生Bauschinger 效应。
塑性力学-第二章 应力状态和应变状态
（2—36）
T～等效剪应力或剪应力强度。 其意义是，原来的应力状态，在某种意义上可以用等效的，大小为 T 的纯剪切应力状态来代 替。 也就是说，纯剪切状态 1 T , 2 0, 3 T ，的剪应力强度等于 T，而实际应力状态的 剪应力强度也等于 T。 8， 、σi、T 和 J2 一样，在塑性本构关系中起重要作用。 ，它们之间的换算关系如下：
（2—25） 在后面的第三章可以看到，应力偏量的第二不变量在研究塑性本构关系时具有特殊的重要意 义。由于 sij 是对称张量， （2—24）式也可以写为：
1 J 2 sij sij 2
（2—26）
（二）几种特定截面上的应力 求得一点处的主平面的方向和主应力大小以后，可以求得通过该点任意倾斜方向截面上的正 应力和剪应力。选三个主应力方向 1、2、3 为坐标轴，设任意斜截面的法线为 n，它对于 1、2、3 轴的方向余弦为 l1，l2，l3。图 2.3 所示的微元四面体即由三个与主平面一致的坐标面及一个斜截 面组成。设斜截面上的总应力 p 分解为沿三个主轴的分量 p1，p2，p3，由微元体的平衡得到
pj=σijli
σn= pjlj
（2—2）代入（2—3）得：
（2—3） （2—4）
n = ij lilj= xl12 y l22 z l32 2 xyl1l2 2 yzl2l3 2 zx l3l1
斜截面上的剪应力 τn 为：
2 2 2 2 2 2 n p2 n px py pz n
第二章
应力状态和应变状态
§2.1
（一）应力张量及其分解、应力不变量
应力状态
图 2.1 物体内任意点处的应力状态可以用对称的应力张量表示：
x xy xz yx y yz zx zy z
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I 1 、 I 2 、 I 3 不随坐标方向不同而变，称为应力
张量不变量，分别称为应力张量第一（一次） 不变量、第二（二次）不变量与第三（三次） 不变量。 解一元三次方程，得三个主应力1, 2, 3。 I1、I2、I3可用主应力表示如下：
I1 1 2 3 I 2 1 2 2 3 3 1 I 3 1 2 3
v cos ,
2
1 v sin2 2
平面应力状态
p q cos 2 xy sin 2 q sin 2 xy cos 2
主应力与应力主向
1 2 2 p q xy 2
tan 2 0
xy
q
M dS
dP
n
(法线)
应力分量 单位:
—— 正应力 —— 剪应力
与面力相同
MPa (兆帕)
应力关于坐标连续分布的
( x, y, z ) ( x, y, z )
斜截面上的应力
斜截面上的总应力
P P cos S S / cos
斜截面上的正应力和剪应力
最大剪应力
max
1 ( 1 2 ) 2
1 1 p ( x y ), q ( x y ) 2 2
摩尔应力圆
1－2 三维应力状态
x面的应力： x , xy , xz y面的应力： y , yx , yz z面的应力： z , zx , zy
第1章 应力分析
1. 应力状态
2. 三维应力状态分析
3. 三维应力状态的主应力
4. 最大剪应力
5. 等倾面上的正应力和剪应力 6. 应力罗德参数与应力罗德角 7. 应力张量的分解 8. 平衡微分方程
1－1 应力状态
1. 外力
体力、面力
(1) 体力 —— 弹性体内单位体积上所受的外力
Q —— 体力分布集度 F lim （矢量） V 0 V F Xi Yj Zk
x xy xz 用矩阵表示： yx y yz zx zy z
其中，只有6个量独立。
z
z
xy yx yz zy zx xz
剪应力互等定理
O x
xz xy y y yx yz x zx zy z
应力强度 或广义剪应力
i
3 1 0 ( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 3J 2 2 2 1 2 2 2 ( x y )2 ( y z )2 ( z x )2 6( xy yz zx ) 2
2i / 3为半径所画的圆。由圆心O点开始作与 轴O成 角的直线，则此直线与圆的交点在 O 轴上的投影即为 1。由OA线顺时针旋转 120作一直线，此直线与圆的交点在 轴上的 投影即为2。而由OA线顺时针旋转240所作 的直线与圆的交点在 轴上的投影即为3。
cos
pv
x xy xz y yz yx zx zy z
l cos(v , x ), m cos(v , y ), n cos(v , z )
利用力的平衡条件，可得任意斜截面上的应
力 pv
pvx x l xy m xz n pvy yx l y m yz n pvz zx l zy m z n
( x v )l xy m xz n 0 yx l ( y v )m yz n 0 zx l zy m ( z v )n 0
几何关系
l m n 1
2 2 2
l , m , n 不能同时为零，因此前式为包括三个未知量
X、Y、Z为体力矢量在坐标轴上的投影 单位： N/m3 kN/m3
z
Z
Q
k i
O j
X
V Y
y
(1) F 是坐标的连续分布函数； x 说明：(2) F 的加载方式是任意的 (如：重力，磁场力、惯性力等) (3) X、Y、Z 的正负号由坐标方向确定。
(2) 面力
Q —— 面力分布集度（矢量） F lim S 0 S
1 0
2 i 3
应力星圆
应力状态与 应力星圆
【例】已知应力状态为：1=150MPa, 2=50MPa, 3= -50MPa，试画出应力星圆。 【解】 2 R i
3 2 1 (150 50) 2 (50 50) 2 ( 50 150) 2 3 2 200 / 3MPa
求解主应力时，先求出各应力张量不变量，
再解一元三次方程。
【例】已知一点的应力状态由如下应力分量确 定，即
x 3, y z 0, xy zx 1, yz 2
试求主应力的值。
【解】求各应力张量不变量，I1 = 3，I2= -6，I3 = -8，代入一元三次方程得
0 为平均应力或静
水压力，只引起物 体体积的变化，i 或0只引起物体形 状的变化， 与应 力状态有关。
应力偏量分量、主应力用应力强度、 平均应力与应力状态状态角表示
应力偏量 主应力
s1+s2+s3 = 0
1+2+3 = 30
应力星圆
应力星圆是以距原点O为0的一点为圆心，以
等倾面及其上应力
等倾面上一点的应力状态
向量 p 在等倾线上的投影 0 1 ( 1 2 3 ) 3 向量 p 在等倾面上的投影 0
0与轴1在等倾面上的投影之间的夹角
1 2 2 2 2 0 ( 1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 1 ) J2 3 3
1 2 2 2 2 v ( 1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 1 ) J2 3 3
主应力空间：以三个主 应力为轴而组成的笛卡 儿坐标系
p1
1
3
,
p2
2
3
,
p3
3
3
若将1, 2, 3轴在等倾
面上投影，则在等倾面 上可以得到互相成 120 角的三个坐标轴。
y
yx
zx
zy
yz
应力符号的意义：
xy
第1个下标 x 表示τ所在面的法线方向；
第2个下标 y 表示τ的方向. 应力正负号的规定： 正应力—— 拉为正，压为负。 剪应力—— 坐标正面上，与坐标正向一致时为正； 坐标负面上，与坐标正向相反时为正。
z
z
O x
xz xy y y yx yz x zx zy z
解得
3 3 2 6 8 0
1 4, 2 1, 3 2
斜截面上的正应力和剪应力
设斜截面上的正应力为v , 则由投影可得
v lpvx mp vy npvz
l 2 x m 2 y n 2 z 2lm xy 2mn yz 2nl zx
若三个坐标轴的方向为主方向，且主应力大小顺序
按x, y, z排列，则
v l 2 1 m 2 2 n 2 3
总应力为
2 2 2 pv pvx pvy pvz
斜截面上的剪应力为
v
p
2 v
2Hale Waihona Puke v三维应力圆 三维应力状态
下任意斜截面 上的正应力和 剪应力，在以 三个主应力组 成的应力圆所 围成的阴影的 范围之内。 最大剪应力等 于最大和最小 正应力值之差 的一半。
0 = (150+50-50)/3 = 50MPa
cos
1 0
2 i 3
150 50 3 2 200 / 3
y
yx
zx
zy yz
与材力中剪应力τ正负号规定的区别： 规定使得单元体顺时转的剪应力τ 为正，反之为负。
yx y
x
y
xy yx
xy
xy
yx
y
x
x
在用应力莫尔圆时必须用此规定求解问题
四面体受力图
在某点处取出 一无限小四 面体。它的 三个面分别 与x、y、z三 个轴相垂直。 另一面即为 任意倾斜面， 其法线为v， 其方向余弦 为l、m、n。
面，等倾面的法线方向也与三个主应力轴成相同的 角度。法线v为空间对角线，也称为等倾线。等倾面 法线的方向余弦l, m, n可由下式确定
l m n 1 l mn l m n
2 2 2
1 3
则等倾面上的正应力和剪应力
1 1 v ( 1 2 3 ) m I1 3 3
作用于任一斜截面上的应力向量分量可以用
作用在与坐标轴垂直的三个面上的应力向量 分量来表示。 pv pvx pvy pvz
上式可作为力的边界条件的表达式。
1－3 三维应力状态的主应力
在过任一点所作任意方向的单元面积上都有正应力
和剪应力。如果在某一方向剪应力为零，则此方向 即称为主方向（应力主向），而这时在该面上的正 应力便称为主应力。 如果v方向为主应力平面的方向，则有pvx = x l，pvy ＝y m，pvz = z n，则得
1－4 最大剪应力
主应力平面上
的剪应力为零； 最大剪应力位 于坐标轴分角 面上，而三个 最大剪应力分 别等于三个主 应力两两之差 的一半。
在主应力坐
标系中（1, 2, 3分别代 表 1, 2, 3） 主应力与最 大剪应力作 用面及其方 向余弦