人教版初二数学上册因式分解复习
人教版八年级上册数学课件：第14章整式的乘法与因式分解单元复习
数学
23.请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和 (只需表示，不必化简)； (2)由(1)，你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；
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(3)如果图中的 a，b(a＞b)满足 a2＋b2＝53，ab＝14，求：
①a＋b 的值；②a2－b2 的值．
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17.若 xm＝3，xn＝5，则 x2m＋n 的值为 45 .
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9.【例 4】已知 a2＋a－4＝0，则代数式 a(a＋1)的值是( A )
A．4
B.8
C.12
D.16
小结：用整体思想解决问题，a2＋a＝4.
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18.已知 a＋b＝m，ab＝－4，化简(a－2)(b－2)的结果是( D )
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解：原式＝x2－4xy＋4y2－(x2－y2)－2y2 ＝x2－4xy＋4y2－x2＋y2－2y2＝－4xy＋3y2. (1)当 x＝1，y＝－3 时， 原式＝－4×1×(－3)＋3×(－3)2＝39. (2)当 4x－3y＝0 时，原式＝－y(4x－3y)＝0. 小结：(1)先化简后直接代入求值；(2)对多项式进行变形后运 用整体思想代入求值.
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解：(1)两个阴影图形的面积和可表示为 a2＋b2，(a＋b)2－2ab. (2)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab (3)①∵a2＋b2＝53，ab＝14， ∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝53＋2×14＝81，∴a＋b＝±9. 又∵a＞0，b＞0，∴a＋b＝9. ②∵(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝53－2×14＝25，∴a－b＝±5. 又∵a＞b＞0，∴a－b＝5， ∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝9×5＝45.
2021-2022学年人教版八年级数学上册《因式分解》期末综合复习训练1(附答案)
2021-2022学年人教版八年级数学上册《因式分解》期末综合复习训练1（附答案）1．已知x﹣y＝2，xy＝，那么x3y+3x2y2+xy3的值为（）A．3B．6C．D．2．若＝9×11×13，则k＝（）A．12B．11C．10D．93．如图所示，长方形中放入5张长为x，宽为y的相同的小长方形，其中A，B，C三点在同一条直线上．若阴影部分的面积为52，大长方形的周长为36，则一张小长方形的面积为（）A．3B．4C．5D．64．4张长为m，宽为n（m＞n）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（m+n）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2，若S1＝S2，则m，n满足的关系式是（）A．m＝1.5n B．m＝2n C．m＝2.5n D．m＝3n5．224﹣1可以被60和70之间某两个数整除，这两个数是（）A．64，63B．61，65C．61，67D．63，656．若（20212﹣4）（20202﹣4）＝2023×2019×2018m，则m的值是（）A．2020B．2021C．2022D．20247．一个自然数若能表示为相邻两个自然数的平方差，则这个自然数称为智数，比如：22﹣12＝3，3就是智数，从0开始，不大于2021的智数共有（）A．1009B．1010C．1011D．以上都不对8．已知x2+3x﹣3＝0，则代数式x3+5x2+3x﹣10的值为（）A．﹣1B．10C．6D．﹣49．若s+t＝4，则s2﹣t2+8t的值是（）A．8B．12C．16D．3210．已知a﹣2b＝2，那么a2﹣4b2﹣8b+1的值为．11．已知x2﹣3x+1＝0，则﹣2x2+6x＝；x3﹣2x2﹣2x+9＝．12．把多项式2x2﹣4x分解因式的结果是．13．分解因式：﹣9a2+b2＝．14．若4x2﹣（k﹣1）x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为．15．分解因式：﹣（a+2）2+16（a﹣1）2＝．16．因式分解：x4﹣18x2+81＝．17．因式分解：（a+2b）2﹣8ab的结果是．18．因式分解：x3+x2y﹣xy2﹣y3．19．分解因式：a2+4b2+c4﹣4ab﹣2ac2+4bc2﹣1．20．选择适当的方法分解下列多项式（1）x2+9y2+4z2﹣6xy+4xz﹣12yz（2）（a2+5a+4）（a2+5a+6）﹣120．21．分解因式：（1）（x﹣1）（x+3）+4（2）﹣3ab3+12ab2﹣12ab．22．阅读下列材料：已知二次三项式2x2+5x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m 的值．解：设另一个因式为（2x+n），得2x2+5x+m＝（x+3）（2x+n）展开，得2x2+5x+m＝2x2+（n+6）x+3n∴解得∴另一个因式为（2x﹣1），m的值为﹣3．仿照以上做法解答下题：已知二次三项式2x2+3x+k有一个因式为（x﹣1），求另一个因式及k的值．23．分解因式：x2+12x﹣189，分析：由于常数项数值较大，则将x2+12x﹣189变为完全平方公式，再运用平方差公式进行分解，这样简单易行．x2+12x﹣189＝x2+2*6x+62﹣36﹣189＝（x+6）2﹣225＝（x+6）2﹣152＝（x+6+15）（x+6﹣15）＝（x+21）（x﹣9）请按照上面的方法分解因式：x2﹣60x+884．24．阅读下列材料：材料1、将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）（1）x2+4x+3＝（x+1）（x+3）（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式．（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3．25．阅读理解应用待定系数法：设某一多项式的全部或部分系数为未知数、利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值．待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解：x3﹣1．因为x3﹣1为三次多项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次多项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想x3﹣1可以分解成（x﹣1）（x2+ax+b），展开等式右边得：x3+（a﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b，根据待定系数法原理，等式两边多项式的同类项的对应系数相等：a﹣1＝0，b﹣a＝0，﹣b＝﹣1可以求出a＝1，b＝1．所以x3﹣1＝（x﹣1）（x2+x+1）．（1）若x取任意值，等式x2+2x+3＝x2+（3﹣a）x+s恒成立，则a＝；（2）已知多项式x3+2x+3有因式x+1，请用待定系数法求出该多项式的另一因式；（3）请判断多项式x4+x2+1是否能分解成两个整系数二次多项式的乘积，并说明理由．参考答案1．解：∵x﹣y＝2，xy＝，∴原式＝xy（x2+3xy+y2）＝xy（x2﹣2xy+y2+5xy）＝xy[（x﹣y）2+5xy]＝×（4+）＝3．故选：D．2．解：＝9×11×13，（10+1）（10﹣1）（12+1）（12﹣1）＝9×11×13k，11×9×13×11＝9×11×13k，∴k＝11．故选：B．3．解：依题意得：，即，（①2﹣②）÷2，得：xy＝5．∴一张小长方形的面积为5．故选：C．4．解：大正方形的面积为（m+n）2，阴影部分的面积S2＝n（m+n）×4＝S1，因此有（m+n）2＝S1+S2，即（m+n）2＝n（m+n）×4×2，整理得，m2﹣2mn﹣3n2＝0，∴（m﹣3n）（m+n）＝0，∵m＞0，n＞0，∴m﹣3n＝0，即m＝3n，故选：D．5．解：224﹣1＝（212﹣1）（212+1）＝（26﹣1）（26+1）（212+1）＝63×65×（212+1），则这两个数为63与65．故选：D．6．解：∵20212﹣4＝20212﹣22＝（2021+2）（2021﹣2）＝2023×2019，20202﹣4＝20202﹣22＝（2020+2）（2020﹣2）＝2022×2018，又∵（20212﹣4）（20202﹣4）＝2023×2019×2018m，∴2023×2019×2022×2018＝2023×2019×2018×m，∴m＝2022．故选：C．7．解：∵（n+1）2﹣n2＝（n+1+n）（n+1﹣n）＝2n+1，∴所有的奇数都是智慧数，∵2021÷2＝1010......1，∴不大于2021的智慧数共有：1010+1＝1011（个）．故选：C．8．解：∵x2+3x﹣3＝0，∴x2+3x＝3，x3+5x2+3x﹣10＝x3+3x2+2x2+3x﹣10＝x（x2+3x）+2x2+3x﹣10＝3x+2x2+3x﹣10＝2x2+6x﹣10＝2（x2+3x）﹣10＝2×3﹣10＝﹣4．故选：D．9．解：∵s+t＝4，∴s2﹣t2+8t＝（s+t）（s﹣t）+8t＝4（s﹣t）+8t＝4s﹣4t+8t＝4s+4t＝4（s+t）＝4×4＝16，故选：C．10．解：∵a﹣2b＝2，∴原式＝（a+2b）（a﹣2b）﹣8b+1＝2（a+2b）﹣8b+1＝2a+4b﹣8b+1＝2a﹣4b+1＝2（a﹣2b）+1＝2×2+1＝4+1＝5．故答案为：5．11．解：∵x2﹣3x+1＝0，∴x2﹣3x＝﹣1，∴﹣2x2+6x＝﹣2（x2﹣3x）＝﹣2×（﹣1）＝2，x3﹣2x2﹣2x+9＝x3﹣3x2+x2﹣3x+x+9＝x（x2﹣3x）+（x2﹣3x）+x+9＝﹣x+（﹣1）+x+9＝8，故答案为：2，8．12．解：2x2﹣4x＝2x（x﹣2）．故答案为：2x（x﹣2）．13．解：﹣9a2+b2＝b2﹣9a2＝（b+3a）（b﹣3a）．故答案为：（b+3a）（b﹣3a）．14．解：∵4x2﹣（k﹣1）x+9是一个完全平方式，∴k﹣1＝±12，解得：k＝13或k＝﹣11，故选：13或﹣11．15．解：﹣（a+2）2+16（a﹣1）2＝[4（a﹣1）]2﹣（a+2）2＝（4a﹣4+a+2）（4a﹣4﹣a﹣2）＝（5a﹣2）（3a﹣6）＝3（5a﹣2）（a﹣2）故答案为：3（5a﹣2）（a﹣2）．16．解：x4﹣18x2+81＝（x2﹣9）2＝（x+3）2（x﹣3）2．故答案为：（x+3）2（x﹣3）2．17．解：原式＝a2+4ab+4b2﹣8ab＝a2﹣4ab+4b2＝（a﹣2b）2．故答案为：（a﹣2b）2．18．解：原式＝（x3+x2y）﹣（xy2+y3）＝x2（x+y）﹣y2（x+y）＝（x+y）2（x﹣y）．19．解：a2+4b2+c4﹣4ab﹣2ac2+4bc2﹣1＝（a2+4b2﹣4ab）+（﹣2ac2+4bc2）+（c4﹣1）＝（2b﹣a）2+2c2（2b﹣a）+（c2+1）（c2﹣1）＝（2b﹣a+c2+1）（2b﹣a+c2﹣1）．20．（1）解：原式＝（x﹣3y）2+4z（x﹣3y）+4z2＝（x﹣3y+2z）2；（2）解：原式＝（a2+5a）2+10（a2+5a）+24﹣120＝（a2+5a）2+10（a2+5a）﹣96＝（a2+5a+16）（a2+5a﹣6）＝（a﹣1）（a+6）（a2+5a+16）．21．（1）原式＝x2+2x+1＝（x+1）2．（2）原式＝﹣3ab（b2﹣4b+4）＝﹣3ab（b﹣2）2．22．解：设另一个因式为（2x+n），得：2x2+3x+k＝（x﹣1）（2x+n）展开得：2x2+3x+k＝2x2+（n﹣2）x﹣n．所以解得：n＝5，k＝﹣5．所以另一个因式为2x+5．23．解：x2﹣60x+884＝x2﹣2×30x+900﹣900+884＝（x﹣30）2﹣16＝（x﹣30+4）（x﹣30﹣4）＝（x﹣26）（x﹣34）．24．解：（1）x2﹣6x+8＝（x﹣2）（x﹣4）；（2）①令A＝x﹣y，则原式＝A2+4A+3＝（A+1）（A+3），所以（x﹣y）2+4（x﹣y）+3＝（x﹣y+1）（x﹣y+3）；②令B＝m2+2m，则原式＝B（B﹣2）﹣3＝B2﹣2B﹣3＝（B+1）（B﹣3），所以原式＝（m2+2m+1）（m2+2m﹣3）＝（m+1）2（m﹣1）（m+3）．25．解：（1）根据待定系数法原理，得3﹣a＝2，a＝1．故答案为1．（2）设另一个因式为（x2+ax+b），（x+1）（x2+ax+b）＝x3+ax2+bx+x2+ax+b＝x3+（a+1）x2+（a+b）x+b∴a+1＝0 a＝﹣1 b＝3∴多项式的另一因式为x2﹣x+3．答：多项式的另一因式x2﹣x+3．（3）多项式x4+x2+1能分解成两个整系数二次多项式的乘积．理由如下：方法一：设多项式x4+x2+1能分解成①（x2+1）（x2+ax+b）或②（x2+x+1）（x2+ax+1），①（x2+1）（x2+ax+b）＝x4+ax3+bx2+x2+ax+b＝x4+ax3+（b+1）x2+ax+b∴a＝0，b+1＝1 b＝1由b+1＝1得b＝0≠1②（x2+x+1）（x2+ax+1）＝x4+（a+1）x3+（a+2）x2+（a+1）x+1∴a+1＝0，a+2＝1，解得a＝﹣1．即x4+x2+1＝（x2+x+1）（x2﹣x+1）；方法二：多项式x4+x2+1能分解成两个整系数二次多项式的乘积，（x2+ax+b）（x2+cx+d），解得a＝1，c＝﹣1，b＝d＝1，即x4+x2+1＝（x2+x+1）（x2﹣x+1）∴x4+x2+1能分解成两个整系数二次三项式的乘积．答：多项式x4+x2+1能分解成两个整系数二次三项式的乘积．。
人教版八年级数学上册14.整式的乘除与因式分解--复习课件
例2 把下列各式分解因式. (1)(a+b)2-4a2 ； (2)1-10x+25x2； (3)(m+n)2-6(m+n)+9
解:(1)(a+b)2-4a2=(a+b)2-(2a)2 =(a+b+2a)(a+b-2a) =(3a+b)(b-a)
(2)1-10x+25x2 =1-10x+(5x)2 =(1-5x)2 (3)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3)2.
5, 求(a
1 )2的值. a
(2)若x y2 2, x2 y2 1, 求xy的值.
(3)如果(m n)2 z m2 2mn n2 ,
则z应为多少?
(4)(x 3y 2z)(x 3y 2z)
(5)19992, (6)20012 19992
练习：计算下列各题。
(1)( 1 a6b4c) ((2a3c) 4
1、 205×195 2、 (3x+2) (3x-2) 3、(-x+2y) (-x-2y) 4 、 (x+y+z)(x+y-z)
（2）、完全平方公式
一般的，我们有：
(a b)2 a2 2ab b2;
(a b)2 a2 2ab b2 其中a, b既可以是数, 也可以是代数式.
即: (a b)2 a2 2ab b2
探索与创新题 例4 若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k= —
分析:完全平方式是形如：a2±2ab+b2即两数 的平方和与这两个数乘积的2倍的和(或差).
∵9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2 ∴±kxy=2·3x·6y=36xy ∴k=±36
2021-2022学年人教版八年级数学上册《因式分解》期末综合复习训练2(附答案)
2021-2022学年人教版八年级数学上册《因式分解》期末综合复习训练2（附答案）1．因式分解a2b﹣2ab+b正确的是（）A．b（a2﹣2a）B．ab（a﹣2）C．b（a2﹣2a+1）D．b（a﹣1）22．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（）A．﹣a2﹣b2B．x2+（﹣y）2C．（﹣x）2+（﹣y）2D．﹣m2+13．若4x4﹣（y﹣z）2分解因式时有一个因式是2x2+y﹣z，则另一个因式是（）A．2x2﹣y+z B．2x2﹣y﹣z C．2x2+y﹣z D．2x2+y+z4．下列多项式不能用公式法进行因式分解的是（）A．a2﹣10a+25B．a2+a C．﹣a2﹣16D．a2﹣645．已知x﹣y＝2，xy＝，那么x3y+3x2y2+xy3的值为（）A．3B．6C．D．6．n为正整数，若2a n﹣1﹣4a n+1的公因式是M，则M等于（）A．a n﹣1B．2a n C．2a n﹣1D．2a n+17．已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形8．把多项式x2﹣y2﹣2x﹣4y﹣3因式分解之后，正确的结果是（）A．（x+y+3）（x﹣y﹣1）B．（x+y﹣1）（x﹣y+3）C．（x+y﹣3）（x﹣y+1）D．（x+y+1）（x﹣y﹣3）9．甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则多项式x2+ax+b分解因式的正确结果为．10．已知a2+a+1＝0，则代数式a3+2a2+2a+3＝．11．若实数x满足x2﹣2x﹣1＝0，则2x3﹣2x2﹣6x+2020＝．12．已知a﹣2b＝2，那么a2﹣4b2﹣8b+1的值为．13．分解因式：（1﹣x2）（1﹣y2）﹣4xy＝．14．分解因式：（p+1）（p﹣4）+3p＝．15．若x+y＝2，x﹣y＝1，则代数式（x+1）2﹣y2的值为．16．因式分解：（1）2x2﹣12xy2+8x；（2）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m）；（3）（a2+4）2﹣16a2；（4）（m+n）2﹣6（m+n）+9．17．分解因式（1）（x2﹣3）2﹣2（x2﹣3）+1；（2）m2（a﹣2）+（2﹣a）．18．因式分解（1）6x2﹣3x；（2）16m3﹣mn2；（3）25m2﹣10mn+n2；（4）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．19．分解下列因式（1）m2n﹣mn2+mn；（2）4x2﹣（y2﹣2y+1）．20．阅读下面的问题，然后回答，分解因式：x2+2x﹣3，解：原式＝x2+2x+1﹣1﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）上述因式分解的方法称为配方法．请体会配方法的特点，用配方法分解因式：（1）x2﹣4x+3（2）4x2+12x﹣7．参考答案1．解：a2b﹣2ab+b＝b（a2﹣2a+1）＝b（a﹣1）2．故选：D．2．解：A．根据平方差公式的结构特征，﹣a2﹣b2不能用平方差公式进行因式分解，那么A 不符合题意．B．根据平方差公式的结构特征，x2+（﹣y）2＝x2+y2不能用平方差公式进行因式分解，那么B不符合题意．C．根据平方差公式的结构特征，（﹣x）2+（﹣y）2＝x2+y2不能用平方差公式进行因式分解，那么C不符合题意．D．根据平方差公式的结构特征，﹣m2+1＝﹣（m2﹣1）＝﹣（m+1）（m﹣1），﹣m2+1能用平方差公式进行因式分解，那么D符合题意．故选：D．3．解：4x4﹣（y﹣z）2＝（2x2）2﹣（y﹣z）2＝（2x2+y﹣z）（2x2﹣y+z），故选：A．4．解：A．a2﹣10a+25＝（a﹣5）2，故此选项不合题意；B．a2+a+＝（a+）2，故此选项不合题意；C．﹣a2﹣16无法分解因式，故此选项符合题意；D．a2﹣64＝（a﹣8）（a+8），故此选项不合题意；故选：C．5．解：∵x﹣y＝2，xy＝，∴原式＝xy（x2+3xy+y2）＝xy（x2﹣2xy+y2+5xy）＝xy[（x﹣y）2+5xy]＝×（4+）＝3．故选：D．6．解：因为2a n﹣1﹣4a n+1＝2a n﹣1（1﹣a2），所以2a n﹣1﹣4a n+1的公因式是2a n﹣1，即M＝2a n﹣1，故选：C．7．解：移项得，a2c2﹣b2c2﹣a4+b4＝0，c2（a2﹣b2）﹣（a2+b2）（a2﹣b2）＝0，（a2﹣b2）（c2﹣a2﹣b2）＝0，所以，a2﹣b2＝0或c2﹣a2﹣b2＝0，即a＝b或a2+b2＝c2，因此，△ABC等腰三角形或直角三角形．故选：C．8．解：x2﹣y2﹣2x﹣4y﹣3＝（x2﹣2x+1）﹣（y2+4y+4）＝（x﹣1）2﹣（y+2）2＝[（x﹣1）+（y+2）][（x﹣1）﹣（y+2）]＝（x+y+1）（x﹣y﹣3）．故选：D．9．解：∵甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），但a是正确的，（x+2）（x+4）＝x2+6x+8，∴a＝6，∵（x+1）（x+9）＝x2+10x+9，乙看错了a，但b是正确的，∴b＝9，∴x2+ax+b＝x2+6x+9＝（x+3）2，故答案为：（x+3）2．10．解：∵a3+2a2+2a+3＝a3+a2+a+a2+a+1+2＝a（a2+a+1）+（a2+a+1）+2＝2，故答案为：2．11．解：∵x2﹣2x﹣1＝0，∴x2＝2x+1，x2﹣2x＝1，∴原式＝2x•x2﹣2x2﹣6x+2020＝2x（2x+1）﹣2x2﹣6x+2020＝4x2+2x﹣2x2﹣6x+2020＝2x2﹣4x+2020＝2（x2﹣2x）+2020＝2×1+2020＝2022．12．解：∵a﹣2b＝2，∴原式＝（a+2b）（a﹣2b）﹣8b+1＝2（a+2b）﹣8b+1＝2a+4b﹣8b+1＝2a﹣4b+1＝2（a﹣2b）+1＝2×2+1＝4+1＝5．故答案为：5．13．解：（1﹣x2）（1﹣y2）﹣4xy＝1﹣x2﹣y2+x2y2﹣4xy＝1﹣2xy+x2y2﹣x2﹣y2﹣2xy＝（xy﹣1）2﹣（x+y）2＝（xy﹣1+x+y）（xy﹣1﹣x﹣y）．故答案为：（xy﹣1+x+y）（xy﹣1﹣x﹣y）．14．解：（p+1）（p﹣4）+3p＝p2﹣3p﹣4+3p＝p2﹣4＝（p+2）（p﹣2）．15．解：∵x+y＝2，x﹣y＝1，∴（x+1）2﹣y2＝2×3＝6．故答案为：6．16．解：（1）2x2﹣12xy2+8x＝2x（x﹣6y2+4）；（2）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m）＝n2（m﹣2）+n（m﹣2）＝n（m﹣2）（n+1）；（3）（a2+4）2﹣16a2＝[（a2+4）+4a][（a2+4）﹣4a]＝（a2+4a+4）（a2﹣4a+4）＝（a+2）2（a﹣2）2；（4）（m+n）2﹣6（m+n）+9＝（m+n﹣3）2．17．解：（1）（x2﹣3）2﹣2（x2﹣3）+1＝（x2﹣3﹣1）2＝（x+2）2（x﹣2）2；（2）m2（a﹣2）+（2﹣a）＝m2（a﹣2）﹣（a﹣2）＝（a﹣2）（m2﹣1）＝（a﹣2）（m﹣1）（m+1）．18．解：（1）6x2﹣3x＝3x（2x﹣1）；（2）16m3﹣mn2＝m（16m2﹣n2）＝m（4m+n）（4m﹣n）；（3）25m2﹣10mn+n2＝（5m﹣n）2；（4）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）＝9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）．19．解：（1）原式＝mn（m﹣n+1）；（2）原式＝（2x）2﹣（y﹣1）2＝（2x+y﹣1）（2x﹣y+1）．20．解：（1）x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣4+3＝（x﹣2）2﹣1＝（x﹣2+1）（x﹣2﹣1）＝（x﹣1）（x﹣3）（2）4x2+12x﹣7＝4x2+12x+9﹣9﹣7＝（2x+3）2﹣16＝（2x+3+4）（2x+3﹣4）＝（2x+7）（2x﹣1）。
人教版八年级数学上册 14.3 因式分解大归类讲义
因式分解大归类知识点：因式分解：【定义】 把一个单项式或多项式化成几个整式的 乘积 的形式，这种式子变形叫做这个单项式或多项式因式分解，也叫做把个单项式或多项式分解因式。
整式乘法与因式分解的对比如：x x x x +=+2)1(， 称这种式子变形为整式的 乘法 。
反过来，)1(2+=+x x x x ，像这种式子的变形过程，称为多项式的因式分解。
一、提公因式法例1：把c ab b a 323128+分解因式 （温馨提示：方法是先“找”，再“提”）“找”238b a 与c ab 312的公因式：（1）先看系数：8和12的最大公约数是 ；（2）再找字母部分：3a 和a 的公因式是 （指数最小的就是它们的公因式），2b 和3b 的公因式是 ，所以，238b a 与c ab 312的公因式就是 。
解，原式=bc ab a ab 3424222⋅+⋅例2：把()()c b a c b a +-+236分解因式 （分析：“找”公因式，是 ）针对性练习：1、找下列各式的公因式（1）n m 2与3mn 公因式是 （2）102x 与x 15的公因式是（3） 23x 与212xy 的公因式是 （4）bc a ab c ab 223201612+-的公因式是2、把下列各式分解因式（1）abc a -2 （2）a a +2 （3）a a 2552+-（4）mn n m 282+ （5）10+2x x 15 （6）2293xy x -（7）22912y x xyz - （8）bc a ab c ab 223201612+-（9）()()c b c b a +-+32 （10）()()2222b a q b a p +-+（11）()()712742+-+x x a（12）()()q p q q p p +-+46 (13)(x －2)2－x ＋2二、利用“平方差公式”进行因式分解整式乘法的平方差公式：=-+))((b a b a ， ，这个变形过程是 因式分解 。
人教版八年级数学上册课件：14章 整式的乘法与因式分解--知识点复习 (共53张PPT)
A.(6a3+3a2)÷
1 2
a=12a2+6a
B.(6a3-4a2+2a)÷2a=3a2-2a
C.(9a7-3a3)÷(﹣
1 3
a3)=﹣27a4+9
C.( 14a2+a)÷(﹣12a)=﹣12 a-2
5.一个多项式与﹣2x2的积为﹣2x5+4x3﹣x2，则这个多项式
为
.
6.计算：⑴
(9x2y-6xy2)÷3xy;
2.已知M＝ a-1，N＝a2- a(a为任意实数)，则M，N的
大小关系为( A ) A. M＜N B. M=N C. M＞N D.不能确定
3.若x2+y2+ =2x+y，则y-x= .
3、am﹣n=am ÷ an(a≠0,m,n都
是正整数，并且m＞n).
10
知识点一：幂的运算性质
巩固练习
1.(易错题)若(1-x)1-3x＝1，则x的取值有（ C ）个.
A.0 B.1 C.2 D.3 4
2.若3x＝4，9y＝7，则3x-2y的值为 7 . 3.已知am＝3，an＝2，则a2m-n的值为 4.5 .
为( B ) A M<N
B M＞N
C M=N D.不能确定
10.计算：(1)(x+1)(x+4)； (2)(y-5)(y-6)； (3)(m-3)(m+4)
(x+p)(x+q)
18
知识点二：整式的运算
知识回顾
单项式的除法法则： 系数、同底数幂分别相除 只在被除式里含有的字母
19Βιβλιοθήκη 知识点二：整式的运算2
重点难点
重点:运用整式的乘法法则和除法法则进行运算;因式分 解. 难点:应用整式的乘法和因式分解决问题.
人教版初二数学上册知识点归纳总结
三一文库（）/初中二年级〔人教版初二数学上册知识点归纳总结[1]〕因式分解1. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；注意：因式分解与乘法是相反的两个转化.2．因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法”.3．公因式的确定：系数的最大公约数·相同因式的最低次幂.注意公式：a+b=b+a； a-b=-(b-a)； (a-b)2=(b-a)2；(a-b)3=-(b-a)3.4．因式分解的公式：(1)平方差公式： a2-b2=（a+ b）（a- b）；(2)完全平方公式： a2+2ab+b2=(a+b)2, a2-2ab+b2=(a-b)2. 5．因式分解的注意事项：（1）选择因式分解方法的一般次序是：一提取、二公式、三分组、四十字；（2）使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性；（3）因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止；（4）因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正；（5）因式分解的最后结果要求加以整理；（6）因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式. 6．因式分解的解题技巧：（1）换位整理，加括号或去括号整理；（2）提负号；（3）全变号；（4）换元；（5）配方；（6）把相同的式子看作整体；（7）灵活分组；（8）提取分数系数；（9）展开部分括号或全部括号；（10）拆项或补项.7．完全平方式：能化为（m+n）2的多项式叫完全平方式；对于二次三项式x2+px+q，有“ x2+px+q是完全平方式 # 分式A#p####q#2#2”.1．分式：一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示为B的形式，如果BA中含有字母，式子B 叫做分式.#整式有理式##分式2．有理式：整式与分式统称有理式；即 . 3．对于分式的两个重要判断：（1）若分式的分母为零，则分式无意义，反之有意义；（2）若分式的分子为零，而分母不为零，则分式的值为零；注意：若分式的分子为零，而分母也为零，则分式无意义. 4．分式的基本性质与应用：（1）若分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；（2）注意：在分式中，分子、分母、分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；即##分子#分母##分子分母#分子#分母##分子分母（3）繁分式化简时，采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法，比较简单. 5．分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分；注意：分式约分前经常需要先因式分解.6．最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式，这个分式叫做最简分式；注意：分式计算的最后结果要求化为最简分式.acac##,bdbd7．分式的乘除法法则：nnab#cd#adad##bcbc.a#a####n.（n为正整数）b8．分式的乘方：#b#.9．负整指数计算法则：1（1）公式： a0=1(a≠0), a-n=a (a≠0)；（2）正整指数的运算法则都可用于负整指数计算；。
2022年 初二数学上册 期末专题复习 因式分解(人教版)-全国
2022年初二数学上册期末专题复习因式分解（人教版）-全国解答题3x(a-b)-6y(b-a）.【答案】3(a-b)(x+2y)【解析】首先提取公因式3x（a-b），进而分解因式得出答案.解:3x(a-b)-6y(b-a）=3x (a-b)+6y(a-b）=3(a-b)(x+2y)解答题2x(a﹣b)﹣(b﹣a)【答案】(a﹣b)(2x+1）【解析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。
本题直接找出公因式，进而提取公因式得出答案.原式= 2x(a﹣b)＋(a﹣b)＝(a﹣b)(2x+1）解答题分解因式：6a2b﹣4a3b3﹣2ab【答案】2ab(3a﹣2a2b2﹣1)【解析】运用提取公因式法因式分解.6a2b﹣4a3b3﹣2ab=2ab(3a﹣2a2b2﹣1).解答题利用因式分解计算：482-472【答案】95【解析】直接利用平方差公式因式分解得出答案.482-472=（48+47）（48-47）=95解答题3x2﹣12xy+12y2；【答案】3（x﹣2y）2【解析】首先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解.原式=3x2﹣12xy+12y2=3 （x2﹣4xy+4y2）=3（x﹣2y）2 解答题(x﹣y)2+16(y﹣x)．【答案】（x﹣y）（x﹣y﹣16）【解析】把后面括号里的y-x提出-1，变为x-y，然后提取公因式.原式=(x﹣y)2-16(x﹣y)=（x﹣y）（x﹣y﹣16）解答题(x2+x)2﹣8(x2+x)+12．【答案】（x﹣1）（x+2）（x﹣2）（x+3）【解析】先把x2+x看做一个整体，然后根据十字相乘法的分解方法和特点分解因式，本题需要两次利用十字相乘法．原式=解：（x2+x）2-8（x2+x）+12，=（x2+x-2）（x2+x-6），=（x-1）（x+2）（x-2）（x+3）．解答题(x2+2x)2-(2x+4)2．【答案】(x+2)3(x﹣2)【解析】原式=[ (x2+2x)+(2x+4) ] [ (x2+2x)-(2x+4) ]=(x+2)3(x﹣2) 解答题(x-1)(x-3)+1【答案】(x-2)2【解析】原式先利用整式乘法整理后，利用完全平方公式分解即可.原式=原式=x2-3x-x+4=x2-4x+4= =(x-2)2解答题18a3－2a；【答案】2a(3a＋1)(3a－1)【解析】原式先提取公因式，再利用平方差公式分解即可.原式=2a（9a2－1）=2a(3a＋1)(3a－1)解答题ab2﹣2ab+a【答案】a(b﹣1)2【解析】原式先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可.原式= a（b2﹣2b+1）=a(b﹣1)2解答题分解因式：4x3y+4x2y2+xy3．【答案】xy（2x+y）2【解析】试题分析：先提取公因式，再用完全平方公式分解因式即可.试题解析：原式（略）（略）解答题－3x3+6x2y﹣3xy2．【答案】﹣3x(x﹣y)2【解析】先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解．原式）-3x3+6x2y-3xy2=-3x（x2-2xy+y2）=-3x（x-y）2．解答题m4﹣2m2+1．【答案】(m+1)2(m﹣1)2【解析】先利用完全平方公式，再利用平方差公式进行因式分解，是两个公式的综合运用．原式=（ｍ２－１）２＝[（ｍ－１）（ｍ＋１）]２＝(m+1)2(m﹣1)2解答题x2(a﹣2)+4(2﹣a)【答案】(a﹣2)(x+2)(x﹣2)【解析】根据先提取公因式、再平方差公式，可分解因式．原式= x2(a﹣2)-4(a﹣2)=(a﹣2)（x2-4）=(a﹣2)(x+2)(x﹣2)解答题ab(ab－6)＋9【答案】(ab－3)2【解析】先根据单项式乘以多项式计算，再用完全平方公式进行因式分解即可．原式=a2b2-6ab+9=(ab－3)2解答题12x3－3x【答案】3x(2x+1)(2x-1)【解析】先提公因式，再根据平方差公式因式分解即可.原式=3x（4x2－1）=3x(2x+1)(2x-1)解答题2a3-12a2＋18a【答案】2a(a-3)2【解析】先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解．原式=2a3-12a2＋18a=2a（a2-6a+9）=2a(a-3)2解答题2(a-1)2-12(a-1)+18【答案】2(a-4)2【解析】先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解．原式=2 [(a-1)2-6(a-1)+9]=2(a-1-3)2=2(a-4)2解答题9a2(x﹣y)+4b2(y﹣x)【答案】(x﹣y)(3a+2b)•(3a﹣2b)【解析】先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解.原式=9a2(x﹣y)-4b2(x﹣y)=(x﹣y)（9a2-4b2）=(x﹣y)(3a+2b)•(3a﹣2b)解答题9(a+b)2﹣25(a﹣b)2【答案】4(4b﹣a)(4a﹣b)【解析】先对所给多项式进行变形，然后套用公式a2-b2=（a+b）（a-b），再进一步分解因式．原式=）9（a+b）2-25（a-b）2，=[3（a+b）]2-[5（a-b）]2，=（8a-2b）（-2a+8b），=4 (4a﹣b) (4b﹣a)解答题﹣2a2x4+16a2x2﹣32a2【答案】﹣2a2(x+2)2(x﹣2)2【解析】先提公因式，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式.﹣2a2x4+16a2x2﹣32a2=﹣2 a2（x4-8x2+16）=﹣2 a2（x2-4）2=﹣2 a2[(x+2) (x﹣2)]２=﹣2a2(x+2)2(x﹣2)2解答题利用因式分解计算：2022+202×196+982【答案】90000【解析】利用完全平方公式因式分解后即可很容易的得到结论．原式=2022+2×202×98+982=（202+98）2=3002=90000 解答题(a+1)(a-1)-8.【答案】(a+3)(a-3)【解析】先做多项式乘以多项式，再利用公式进行因式分解，即先去括号、合并，再利用平方差公式分解即可．原式=a2-1-8=a2-9=（a+3）（a-3）．解答题4+12(x-y)+9(x-y)2.【答案】(3x-3y+2)2【解析】直接运用完全平方公式分解即可．4+12（x-y）+9（x-y）2，=[2+3（x-y）]2，=（3x-3y+2）2．解答题(a-3)(a-5)+1.【答案】(a-4)2【解析】解：①（a－3）（a-5）+１=a2-8a＋15+１=a2-8a+16=（a-4）2解答题m4﹣16n4；【答案】(m2+4n2)(m+2n)(m﹣2n)【解析】连续运用平方差公式进行因式分解.原式=（m2+4n2）（m2-4n2）=（m2+4n2（m+2n）（m-2n）. 解答题3m(2x-y)2-3mn2；【答案】3m(2x-y+n)(2x-y-n)【解析】先提公因式，再利用平方差公式分解因式.3m(2x-y)2-3mn2=3m [(2x-y)2-n2]=3m(2x-y+n)(2x-y-n)解答题分解因式：(a－b)m2＋(b－a)n2；【答案】原式=（a-b）(m2-n2)=( a-b）(m+n)(m-n)【解析】先提取公因式，然后再利用平方差公式分解因式。
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长郡雨花外国语学校教案
二、课前演练
1 •计算(x+2)2的结果为/+□ x+4，则“□”中的数为( )
A.—2
B. 2 C • - 4 D • 4
1
2 •分解因式：-a3+a 2b-•
2
3. 计算：2000 —1999 X 2001= .
4. 十字相乘法
(1)分解因式：X2-6X+8=
(2)分解因式：2a2-a-6= .
三、例题分析
例1分解因式：
2 2,/、 /~/、2 2 2、2, 22
(1) mn(m- n)-4mn(n-m); (2) (x+y)+64-16(x+y); (3) (x +y ) -4 x y ;
练习.长沙中考基础
（1）（2016年长沙）分解因式：x2y-4y=
（2）（2014长沙）分解因式：a2-4b2= .
（3）（2013 长沙）分解因式：x2+2x+1= .
长沙中考因式分解拓广
（2015年•长沙25题）
在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”。
（1）求函数y = 3x 2的图像上所有“中国结”的坐标
k
⑵求函数y =一（k工0, k为常数）的图像上有且只有两个“中国结”，试求出常数k的值与
X
相应“中国结”的坐标.
⑶若二次函数y =（k2-3k 2）x2（2k2-4k 1）x k2-k（k 为常数）
的图像与x轴相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图像与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？
因式分解：（k2-3k+2）x2+（2k2-4k+1）x+k2-k
四、巩固练习
1. 若实数x、y、z满足（X
—z)2—4( x
-
-V 6/h 日( 、y）（ y z） =0，则下列式子定成立的是（）
A. x+y+z=O
B.x+y-2 z=0
C. y+z-2 x=0
D. z+x-2 y=0
2. 因式分解：
“八 3 八2
⑴ a —6a b+ 9ab; ⑵2 3
介2 2 “c、，
“
x -8 x y+8xy ；(3)-4(
2 2
x-2 y) +9( x+y);
3. （2015大庆）已知a、b
、c是厶ABC的三边长，且满足a3+ab
2 2
3 2 2
+ bc =b +a b+ac ,
判断△ ABC的形状.
五、作业：
全效
教
学
后
记。