高中数学限时训练20(必修2)
第20练班级
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1、一个直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）的底面是菱形，棱柱的对角线长分别是9cm和15c m，高是5cm，则这个直棱柱的侧面积是
2、如图，已知圆柱体底面圆的半径为
2
π
，高为2，AB CD
，分别是两底面的直径，AD BC
，是母线．若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是（结果保留根式）．
3、已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为
1
V和
2
V，则
12
:
V V=
4、设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是
5、给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④每两条都相交并且交点全部不同的四条直线共面. 其中说法正确的序号依次是 .
6、正方体''''
ABCD A B C D
-中，AB的中点为M，'
DD的中点为N，
异面直线'B M与CN所成的角是
7、两条直线a,b分别和异面直线c, d都相交，则直线a，b的位置关
系是
8、已知直线0
2
4=
-
+y
mx与0
5
2=
+
-n
y
x互相垂直，垂足为(1，)p则=
+
-p
n
m________
9、圆锥底面半径为１cm，高为2cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长
10、过点()
--
54
，作一直线l，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5．
11、已知空间四边形ABCD各边长与对角线都相等，求AB和CD所成的角的大小。
人教版2020-2021学年高二第一学期数学必修2限时训练
2020-2021学年度高二第一学期数学限时训练6完成时间：60分钟 使用时间：2020.10.14一、选择题（单选每题5分，多选题每题5分，少选得三分，错选不得分，共60分）1．已知圆锥的高和底面半径都为1，则其侧面积为（ ）A ．B ．πC ．D ．（）π2.已知圆锥的高和底面半径都为1，则其侧面积为（ ）A ．B ．πC ．D ．（）π 3．直线l 与平面α内的两条直线都垂直，则直线l 与平面α的位置关系是 （ ）A 、平行B 、垂直C 、在平面α内D 、无法确定4．不同直线,m n 和不同平面,αβ，给出下列命题① 若////m m αββα⎫⇒⎬⊂⎭ ② 若//////m n n m ββ⎫⇒⎬⎭③ 若,m m n n αβ⊂⎫⇒⎬⊂⎭异面 ④ 若//m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⎭其中假命题有（ ） A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个5．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1,则点A 到△A 1BD 所在平面的距离为（ ）A 、1B 、33C 、23D 、216．在三棱锥A ﹣BCD 中，AD ⊥CD ，AB ＝BC ＝2，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（） A ．8π B ．9π C ．10π D ．12π7．如图所示，在四面体中，若直线EF 和GH 相交，则它们的交点一定（ ）A ．在直线DB 上 B ．在直线AB 上C ．在直线CB 上D ．都不对8．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为（ ）A ．B ．C ．8πD ．9．设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，下列命题中正确的为（ ） A ．若，，，则 B ．若，，，则C ．若，，，则D ．若，，，则 m n αβαβ⊥m α⊂n β⊂m n ⊥αβ∥m α⊂n β⊂m n ∥αβ⊥m αβ=m n ⊥n β⊥αβ∥m α⊥n β∥m n ⊥10．矩形中，，，，分别是边，的中点，将正方形沿位置，使得二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ．11.（多选题）如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ，BD ⊥CD ．将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A ′﹣BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，则下列结论错误的是（ ）A ．A ′C ⊥BDB ．∠BA ′C ＝90°C ．CA ′与平面A ′BD 所成的角为30° D ．四面体A ′﹣BCD 的体积为12．（多选题）如图,ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体,下面结论正确．．的是（ ）（A ）BD ∥平面CB 1D 1;(B)AC 1⊥BD ;(C)AC 1⊥平面CB 1D 1;(D)异面直线AD 与CB 1所成的角为60°二、填空题（每题5分，共20分）13．如图，△A 'O 'B '为水平放置的△AOB 斜二测画法的直观图，且O 'A '＝2，O 'B '＝3，则△AOB 的周长为 ．14．在一个长方体形的铁盒内有一个小球，铁盒共一顶点的三个面的面积分别是、、，则小球体积的最大值为 ．15．已知一条与平面α相交的线段，长度为10cm ，两端点到平面α的距离分别是2cm ，3cm ，这条线段与平面α所成角是 .16．若将一个圆锥的侧面沿一条母线展开，其展开图是半径为5，面积为15π的扇形，则与该圆锥等体积的球的半径为 ．二、解答题（每题12分，共24分）17、如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ⊥平面ABCD ，ABCD 2AB =1AD =E F AB CD ADFE 11A D FE 1A EF B --120︒1A F CE 51034121010（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；（Ⅱ）若，AE⊥EC三棱锥E﹣ACD的体积为，求BE的长．18．如图，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，，过A作AE⊥CD，垂足为E，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC．（1）求证：BC⊥面CDE；（2）在线段AE上是否存在一点R，使得面BDR⊥面DCB，若存在，求出点R的位置；若不存在，请说明理由．高二晚测6（A卷）参考答案1-5 AADDB 6-10 AACDB 11. ACD 12.ABC13. 12 14.615.030 16.39 17.【解析】解：（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，又BE ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴BE ⊥AC ，由BD ∩BE ＝B ，BD ，BE 都在平面BDE 内，∴AC ⊥平面BDE ，又AC ⊂平面AEC ，∴平面AEC ⊥平面BED ；（Ⅱ）不妨设菱形的边长为x ，AC 与BD 的交点为O ，则，∵AE ⊥EC ， ∴，∴，∴，解得x ＝2， ∴．18.【解析】解：（1）∵AE ⊥CD ，∴AE ⊥CE ，AE ⊥DE ，又CE ∩DE ＝E ，∴AE ⊥平面CDE ．由已知易得AE ∥BC ，∴BC ⊥平面CDE ；（2）存在，当R 点满足时，面BDR ⊥面BDC ．证明：如图，过点E作EF⊥CD交CD于F，易得，由（1）可知BC⊥平面CDE，则BC⊥EF，∴EF⊥平面BCD，过点F作FG∥BC交BD于G，连结GR，则，又，且BC∥AE，∴四边形EFGR是平行四边形，∴EF∥GR，∴GR⊥平面BCD，又GR⊂平面BDR，∴面BDR⊥面BDC．。
高中数学必修2课后限时训练28 圆的一般方程
高中数学必修2课后限时训练28 圆的一般方程一、选择题1．两圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和x 2＋y 2－6x ＝0的圆心连线方程为( )A ．x ＋y ＋3＝0B ．2x －y －5＝0C ．3x －y －9＝0D ．4x －3y ＋7＝0答案：C解析：两圆的圆心分别为(2，－3)、(3,0)，直线方程为y ＝0＋33－2(x －3)即3x －y －9＝0，故选C. 2．圆C ：x 2＋y 2＋x －6y ＋3＝0上有两个点P 和Q 关于直线kx －y ＋4＝0对称，则k ＝( )A ．2B ．－32C ．±32D ．不存在 答案：A解析：由题意得直线kx －y ＝4＝0经过圆心C (－12，3)，所以－k 2－3＋4＝0，解得k ＝2.故选A. 3．当a 取不同的实数时，由方程x 2＋y 2＋2ax ＋2ay －1＝0可以得到不同的圆，则( )A ．这些圆的圆心都在直线y ＝x 上B ．这些圆的圆心都在直线y ＝－x 上C ．这些圆的圆心都在直线y ＝x 或y ＝－x 上D ．这些圆的圆心不在同一条直线上答案：A解析：圆的方程可化为(x ＋a )2＋(y ＋a )2＝2a 2＋1，圆心为(－a ，－a )，在直线y ＝x 上．4．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：D解析：圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心为(a ，－32b )， 则a <0，b >0.直线y ＝－1a x －b a ，其斜率k ＝－1a >0，在y 轴上的截距为－b a>0，所以直线不经过第四象限，故选D.5．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面只为( )A ．5 2B ．102C ．15 2D ．202答案：B解析：圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0化成标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，则圆心坐标为M (1,3)，半径长为10.由圆的几何性质可知：过点E 的最长弦AC 为点E 所在的直径，则|AC |＝210.BD 是过点E 的最短弦，则点E 为线段BD 的中点，且AC ⊥BD ，E 为AC 与BD 的交点，则由垂径定理可是|BD |＝2|BM |2－|ME |2＝210－[(1－0)2＋(3－1)2]＝2 5.从而四边形ABCD 的面积为12|AC ||BD |＝12×210×25＝10 2. 6．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π答案：B解析：设点P 的坐标为(x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，即(x －2)2＋y 2＝4，所以点P 的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径长的圆，故面积为π×22＝4π.二、填空题7．圆心是(－3,4)，经过点M (5,1)的圆的一般方程为________．答案：x 2＋y 2＋6x －8y －48＝0解析：只要求出圆的半径即得圆的标准方程，再展开化为一般式方程．8．设圆x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0的圆心为A ，点P 在圆上，则P A 的中点M 的轨迹方程是________． 答案：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0解析：设M (x ，y )，A (2，－1)，则P (2x －2,2y ＋1)，将P 代入圆方程得：(2x －2)2＋(2y ＋1)2－4(2x －2)＋2(2y ＋1)－11＝0，即为：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0.9．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________.答案：－2解析：由题意可知直线l ：x －y ＋2＝0过圆心，∴－1＋a 2＋2＝0，∴a ＝－2. 三、解答题10．判断方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径．解析：解法一：由方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0，可知D ＝－4m ，E ＝2m ，F ＝20m －20，∴D 2＋E 2－4F ＝16m 2＋4m 2－80m ＋80＝20(m －2)2，因此，当m ＝2时，D 2＋E 2－4F ＝0，它表示一个点，当m ≠2时，D 2＋E 2－4F >0，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径为r ＝12D 2＋E 2－4F ＝5|m －2|.解法二：原方程可化为(x －2m )2＋(y ＋m )2＝5(m －2)2，因此，当m ＝2时，它表示一个点，当m ≠2时，原方程表示圆的方程．此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径为r ＝5|m －2|.[点评] (1)形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时有如下两种方法：①由圆的一般方程的定义判断D 2＋E 2－4F 是否为正．若D 2＋E 2－F >0，则方程表示圆，否则不表示圆．②将方程配方变形成“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆．(2)在书写本题结果时，易出现r ＝5(m －2)的错误结果，导致这种错误的原因是没有理解对一个数开偶次方根的结果为非负数．11．自A (4,0)引圆x 2＋y 2＝4的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程．解析：方法1：(直接法)设P (x ，y )，连接OP ，则OP ⊥BC ，当x ≠0时，k OP ·k AP ＝－1，即y x ·y x －4＝－1， 即x 2＋y 2－4x ＝0. ①当x ＝0时，P 点坐标(0,0)是方程①的解，∴BC 中点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(在已知圆内的部分)．方法2：(定义法)由方法1知OP ⊥AP ，取OA 中点M ，则M (2,0)，|PM |＝12|OA |＝2， 由圆的定义知，P 的轨迹方程是(x －2)2＋y 2＝4(在已知圆内的部分)．12．已知圆经过点(4,2)和(－2，－6)，该圆与两坐标轴的四个截距之和为－2，求圆的方程．解析：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.∵圆经过点(4,2)和(－2，－6)，代入圆的一般方程，得⎩⎪⎨⎪⎧4D ＋2E ＋F ＋20＝0， ①2D ＋6E －F －40＝0. ②设圆在x 轴上的截距为x 1、x 2，它们是方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两个根，得x 1＋x 2＝－D .设圆在y 轴上的截距为y 1、y 2，它们是方程y 2＋Ey ＋F ＝0的两个根，得y 1＋y 2＝－E .由已知，得－D ＋(－E )＝－2，即D ＋E －2＝0. ③由①②③联立解得D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0.。
高中数学必修2同步训练试卷20 必修2 章节测试题
20期 必修2 章节测试题一、选择题(本大题共12题,每小题5分,共60分)1. 斜率为2的直线经过(3，5)、(a ,7)、(－1,b )三点，则a 、b 的值是( ) A.a =4,b =0 B.a =－4,b =－3 C.a =4,b =－3 D.a =－4,b =32. 若直线Ax+By+C=0与直线x+y=0平行，则（ ） A.A=1，B=1且C ≠0 B.A=B 且C ≠0 C.B=C 且A ≠0 D.A=C 且B ≠03. 过点（2，1）作直线l ，使A （1，1）、B （3，5）两点到l 的距离相等，则直线l 的方程是（ ）A.2x-y-3=0B.x=2C.2x-y-3=0或x=2D.以上都不对 4. 若直线过(－23，9)和(63，－15)两点，则直线l 的倾斜角为（ ）A.60︒B.120︒C.45︒D.135︒ 5. 直线2x －y +k =0和4x －2y +1=0的位置关系是( ) A.平行 B.不平行 C.平行或重合 D.既不平行又不重合6. 如图，已知M (1，0)、N (－1，0)，直线2x +y =b 与线段MN 相交， 则b 的取值范围是( ) A ．［－2,2］ B ．［－1，1］ C ．［－21,21］ D ．［0，2］7. 直线l 的方程为Ax +By +C =0,若l 过原点和二、四象限，则( )A.⎩⎨⎧>=00B CB.⎪⎩⎪⎨⎧>>=000A B C C.⎩⎨⎧<=00AB C D.⎩⎨⎧>=00AB C 8. 点(3，9)关于直线x +3y －10=0对称的点的坐标是( ) A ．(－1,－3) B ．(17,－9) C ．(－1,3) D ．(－17,9) 9. 方程(a －1)x －y +2a +1=0(a ∈R )所表示的直线( ) A ．恒过定点(－2,3) B ．恒过定点(2，3) C ．恒过点(－2,3)和点(2，3) D ．都是平行直线 10. 与已知直线y =－34x +1平行，且不过第一象限的直线的方程是( ) A.3x +4y +7=0B.4x +3y +7=0C.4x +3y －42=0D.3x +4y －42=011. 点P (x ,y )到直线5x －12y +13=0和直线3x －4y +5=0的距离相等，则点P 的坐标应满足的是( )A ．32x －56y +65=0或7x +4y =0B ．x －4y +4=0或4x －8y +9=0C ．7x +4y =0D ．x －4y +4=0 12. 到直线2x +y +1=0的距离为55的点的集合是( ) A.直线2x +y －2=0 B.直线2x +y =0C.直线2x +y =0或直线2x +y －2=0D.直线2x +y =0或直线2x +y +2=0 二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)13. 直线2x +11y +16=0关于点P (0，1)对称的直线方程是_____. 14. 直线mx+y-m=0，无论m 取什么实数，它都过点 .15. 已知三点A (1，3)、B (－1，－1)、C (2，1)，直线l 平行于BC ，分别交AB 、AC 于点P 、Q ，若△APQ 的面积是△ABC 面积的91，则直线l 的方程是_____. 16. 点P 到直线y=3x-2的距离等于11，则点P 的坐标（x ，y ）应满足的关系式为 . 三、解答题(本大题共6小题, 共74分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.（本小题满分12分）求过直线4x －2y －1=0与直线x －2y +5=0的交点且与两点P 1(0，4)、P 2(2,0)距离相等的直线方程．18.（本小题满分12分）求直线x －2y －1=0关于直线x +y －1=0对称的直线的方程． 19.（本小题满分12分）一根弹簧挂6公斤的物体时，长11 cm ，挂9公斤的物体时,长17cm.已知弹簧长度l ( cm)和所挂物体的重量ω(公斤)的关系可以用直线方程来表示.用两点式表示这个方程，并且根据这个方程，求弹簧长为13cm 时所挂物体的重量．20.（本小题满分12分）已知两条直线l 1:ax －by +4=0,l 2:(a －1)x +y +b =0,求分别满足下列条件的a 、b 的值．(1)直线l 1过点(－3,－1)，并且直线l 1与直线l 2垂直；(2)直线l 1与直线l 2平行，并且坐标原点到l 1、l 2的距离相等．21.（本小题满分12分）已知函数f (x )=842222--++-x x x x ，求f (x )的最小值．并求取得最小值时x 值.22.（本小题满分14分）直线y =2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若A ，B 坐标分别为A (－4，2)，B (3，1)，求点C 的坐标，并判断△ABC 的形状．数学参考答案与解析1. A 解析:由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=--.2315.2357b a解得⎩⎨⎧-==34b a .2. B 解析:直线x+y=0斜率为-1且截距为0, 则A=B 且C ≠03.C 解析: 直线l 过AB 的中点或与直线AB 平行.4. B 解析:设直线的倾斜角为α，则tan α=338243632159-=-=--+.∴α=120︒. 5. C 解析:当k ≠21时，两直线平行，当k =21时，两直线重合. 6. A 解析:当直线过点M 时，b 的值最大为2．当直线过N 点时，b 的值最小为－2. 7. D 解析:∵l 过原点，∴C =0,又l 过二、四象限，∴l 的斜率－BA<0,即AB >0. 8. A 解析:设所求点的坐标为(x 0，y 0)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⨯--=-+⨯++1)31(39010293230000x y y x 解之得⎩⎨⎧-=-=.3100y x 9. A 解析:把点(－2,3)和点(2，3)的坐标代入方程(a －1)x －y +2a +1=0.验证知：(－2，3)适合方程，而(2，3)不一定适合方程. 10. B 解析:排除法.直线y =－34x +1化为一般式为4x +3y －3=0,所以与直线y =－34x +1平行的直线应为B 项和C 项中的直线，但C 项中直线的截距为正，直线过第一象限，不符合条件. 11. A 解析:∵5|543|13|13125|+-=+-y x y x ,∴32x －56y +65=0或7x +4y =0.12. D 解析:设点P (x ,y )到直线2x +y +1=0的距离为55，则5512|12|22=+++y x ，即2x +y +1=±1， ∴2x +y =0或2x +y +2=0为所求．13. 2x +11y －38=0 解析: ∵直线2x +11y +16=0关于点P (0，1)的对称直线，与直线2x +11y +16=0平行，∴可设对称直线的方程为2x +11y +c =0,由点到直线的距离公式得2222112|11|112|1611|++=++c ,即|c +11|=27,∴c =16(2x +11y +16=0为已知直线应舍)或c =－38, 故对称直线的方程为2x +11y －38=0.14. （1，0） 解析: mx+y-m=0可写成m(x-1)+y=0. 由⎩⎨⎧==-.0,01y x 得⎩⎨⎧==.0,1y x15. 6x －9y +13=0解析:k BC =321211=++,∵l ∥BC ,∴k 2=32且△APQ ∽△ABC , 又S △APQ =91S △ABC ， ∴91)(2==∆∆ABC APQ S S AB AP ，∴31=AB AP ，∴12AP PB = , ∴)35,31(P ,由点斜式得：直线l 的方程为y －)31(3235-=x ,即6x －9y +13=0.16.3x-y-24=0或3x-y+20=0.解析: 把直线的方程写成3x-y-2=0，由点到直线的距离公式，得13|23|+--y x =11.∴3x-y-2=±22.∴3x-y-24=0或3x-y+20=0.17. 解析: 由方程组⎩⎨⎧=+-=--0520124y x y x 得⎪⎩⎪⎨⎧==272y x ,∴两已知直线的交点为A (2，27)．由中点公式得线段P 1P 2的中点坐标为B (1，2)，k 21P P =－2，直线AB 的方程满足题中条件，过交点A 与直线P 1P 2平行的直线也满足题中的条件，所以21227227--=--x y 和y －27=－2(x －2)为所求，即3x －2y +1=0和4x +2y －15=0. 18. 解析:设P (x ，y )是所求直线上的任一点，P 关于直线x +y －1=0对称的点为P 0(x 0，y 0)，则P 0在直线x －2y －1=0上，∴x 0－2y 0－1=0x x y y k PP--=，线段PP 0的中点是)2,2(00y y x x M ++. ∵点P 与点P 0关于直线x +y －1=0对称，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++-=-⨯--01221)1(000y y x x x x y y ∴⎩⎨⎧-=-=x y y x 1100，代入x 0－2y 0－1=0，得1－y －2(1－x )－1=0,即2x －y －2=0为所求．19. 解析:以O ω为横坐标轴，以O l 为纵坐标轴建立直角坐标系（如图）.由题意知直线过(6，11)和点(9，17).由直线的两点式方程得所求直线方程为696111711--=--ωl .把l =13代入，得69611171113--=--ω，∴ω=7．即弹簧长为13 cm 时所挂物体的重量为7公斤．20. 解析:(1)∵l 1⊥l 2,∴a (a +1)+(－b )·1=0． a 2－a －b =0. ①又点(－3,－1)在l 1上 ∴－3a +b +4=0. ② 由①②解得a =2,b =2.(2)∵l 1∥l 2且l 2的斜率为1－a . ∴l 1的斜率也存在,aa b a b a -=-=1,1. 故l 1和l 2的方程可分别表示为l 1:(a －1)x +y +a a )1(4-=0, l 2：(a －1)x +y +aa -1=0. ∵原点到l 1和l 2的距离相等． ∴322|,1||1|4==-=-a a a a a a 或因此⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧-==23222b a b a 或21. 解析:∵f (x )=842222--++-x x x x2222)20()2()10()1(-+-+-+-=x x它表示点P (x ,0)与点A (1，1)的距离加上点P (x ,0)与点B (2，2)的距离之和,即在x 轴上求一点P (x ,0)与点A (1，1)、B (2，2)的距离之和的最小值．由图7—17可知，转化为求两点A ′(1，－1)和B (2，2)间的距离，其距离为函数f (x )的最小值． ∴f (x )的最小值为10)21()21(22=--+-．再由直线方程的两点式得A ′B 方程为3x －y －4=0. 令y =0得x =34，当x =34时，f (x )的最小值为10． 22. 解析:点A (－4，2)关于直线l :y =2x 对称的点为A ′(4，－2),由等腰三角形性质知A ′在直线BC 上，故直线BC 的方程是3x +y －10=0.由⎩⎨⎧=-+=,0103,2y x x y 得C (2，4)，∴k BC =－3，k AC =31．∵k BC ·k AC =－1， ∴△ABC 是∠ACB 为直角的直角三角形．。
高一数学必修第二册 解答题专项训练(解析版).docx
2020—2021学年度第二学期高一数学必修第二册解答题专项训练题组A2 _ _人1.已知复数z =——————+ (m2 -2m-15)z (i是虚数单位)m + 3 ' '(1)复数z是实数,求实数加的值；(2)复数z是虚数,求实数加的取值范围；(3)复数z是纯虚数，求实数加的值.【答案】(1) m = 5 ； (2) m^5且加工—3； (3)加=3或2.—— 1 S — 0【解析】⑴ 复数z是实数，贝I] ",解得m = 5；m + 3^0加彳—2加—[5 H 0(2)复数z是虚数，贝寸，解得m丰、且加工-3；m^-3m2 -m-6 = 0(3)复数是纯虚数，贝卜加北―3 ,解得m = 3或2・m2—2m —15 H 02.设观，〃是两个单位向量夹角为60。
，若Q = 2m + n,b = -3m + 2n ,(1)求° •方;r(2)求 a ；(3)求方与方夹角；(4)求5在方的投影向量.I~I r\-I【答案】(1) (2)护;(3) y ; (4)【分析】由已知得制=”| = 1, m-n = |m|'l^lcos60° = + .(1)a-b = {2m+nj^-3m+2nj展开可得答案；(2)間=〔2也+ H =』(2肌+ “)再展开可得答案；.(4) 由(3)得，方在方的投影为円cos@Z )可得答案.【解析】m|-|n| cos 60° =* . 2加+ 〃）（-3加+ 2”） = -6（耐 +2（〃） +m-n,,,__— 丄，因为两个向量的夹角的范围在［0,刃,V7xV7 20 JT所以方与5夹角为辛._ _冈 cos@.»||T (4)由(3)得，“在a 的投影向量为「'I 3. 在厶佔©中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知a = 2血,b = 5,c =辰.(1) 求角C 的大小；(2) 求sinA 的值;(3) 求sin (2A +咼的值.【答案】(1) C = -. (2)空叵.(3) W 4 13 26【解析】(1)解：在"BC 中，由余弦定理及a = 2忑,b = 5,c =屈，有 cosC=°2+b 2 一疋二⑫•又因为 Ce(0,n),所以 C = Z2ab 2 4,c …1 7 = -6 + 2 + lxlx — =——. （3） |S| = |—3m+2n| «| = q (—3m + 2n)展开可得答案; 由已知得（1） a-b = cos 〈诃=a 'b 1 - ——a 2(2) 解：在△ABC 中，由正弦定理及C = -,O = 2A /2,C = 713 ,可得 4.A asinC 2 屁 sin A = ------ = ----- . c 13(3) 解：由 ° < c 及sin A = 2^^ ,可得 cos A = J1 一 sir? A = ,进而 13 13]2 5sin 2A = 2sin Acos A =—,cos2A = 2cos 1 2 A-l =—.所 以， 13 1312 5 72 17^2 y I y — 13 2 13 2 ~ 264. 为了解某市家庭用电量的情况，该市统计局调查了 100户居民去年一年的 月均用电量，发现他们的用电量都在50kW • h 至350kW ・h 之间，进行适当分 组后，画出频率分布直方图如图所示.1 求a 的值；(II) 求被调查用户中，用电量大于250kW ・h 的户数；(III) 为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计 划采用阶梯定价，希望使80%的居民缴费在第一档(费用最低)，请给出第一档 用电标准(单位：kW ・h)的建议，并简要说明理由.【答案】(I) 0.006； (II) 18； (III) 245.5 kW - h.【解析】(1)因为(0.0024 +0.0036 + a+0.0044+0.0024+0.0012)x50 = 1,所以 a = 0.006 ；2 根据频率分布直方图可知：“用电量大于250kW • h"的频率为(0.0024+0.0012)x50 = 0.18 ,=sin 2A cos — + cos 2A sin —= 频率所以用电量大于250kW « h的户数为：100x0.18 = 18,故用电量大于250kW • h有18户；(3)因为前三组的频率和为：(0.0024 + 0.0036 + 0.006)x50 = 0.6<0.8,前四组的频率之和为(0.0024 + 0.0036 + 0.006 + 0.0044)x50 = 0.82>0.8 ,所以频率为0.8时对应的数据在第四组，所以第一档用电标准为：200+。
2020年高二第二学期限时训练(文科)
紫荆中学2019-2020学年度第二学期限时训练高二文科 数学 【必修1 函数】(提示：时间120分钟，满分150分，答案全部写在答题卡上)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.集合{}|03P x Z x =∈≤≤,{}2|9M x Z x =∈<,则P M ⋂= ( ) A. {}1,2 B. {}0,1,2 C. {}|03x x ≤< D. {}|03x x ≤≤2.已知函数21232xy x x -=--，则其定义域为( )A.(],1-∞B.(],2-∞C.11,,122⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U D.11,,122⎛⎫⎛⎤-∞-- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦U 3.设奇函数()f x 的定义域为[]5,5-,若当[]0,5x ∈时，函数()f x 图象如图所示，则不等式()0f x ≤的解集为( ) A.[][]5,22,5--U B.[][]2,02,5-U C.[]2,2- D.[][]5,20,2--U4.设 1a >，函数 ()log a f x x = 在区间 [,2]a a 上的最大值与最小值之差为 12，则 a 等于（ ） A.2 B.2 C. 22 D.45.已知函数()1y f x =+的定义域是[]2,3-，则()21y f x =-的定义域是( ) A.50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.[]1,4-C.[]5,5-D.[]3,7-6.集合{}230,A x ax bx x =-+=∈R ,(){}2120,B x x b x a x =--+=∈R ,若{}1A B =I ，则A B =U ( )A.{}1,2,3B.{}1,3C.{}1,2D.{}1 7、设 ,,给出下方四个图形,其中能表示集合到集合的函数关系的有( )A.0个B.1个C.2个D.3个8.设定义在R 上的奇函数()f x 满足对任意t ∈R 都有()()1f t f t =-，且当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2f x x =-，则()332f f ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭( )A.12-B.13-C.14-D.15- 9.已知函数()7532f x ax bx cx =-++，且()5f m -=，则()()55f f -+=( ) A.4 B.0 C.2m D.4m -+ 10.函数()f x 对于任意实数x ,满足()()12f x f x +=,若()15f =-,则()()5f f 等于( ) A. 2 B. 5 C. 5- D. 15-11.若函数()()221f x ax a b x a =+-+-是定义在()(),00,22a a ⋃--上的偶函数,则225a b f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭( ) A. 1 B. 3 C.52 D. 7212.下列函数中,值域是()0,+∞的是( ) A. 221y x x =-+ B. ()()20,1x y x x +=∈+∞+ C. ()21N 21y x x x =∈++D. 1|1|y x =+ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡题中的横线上)13.函数()223f x x x =+-的单调递减区间是 .14.设函数()221,1{22,1x x f x x x x +≥=--<,若()01f x >,则0x 的取值范围为__________.15.已知集合{}1,|24,2|x A x y x B x ⎧⎫===<<⎨⎬⎩⎭则()R C A B ⋂=__________16.已知奇函数()f x 是定义在()2,2-上的减函数,且()f x 为奇函数, ()()1210f m f m -+->,则实数m 的取值范围是______.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.已知集合 ,{}210B x x =<<,{}C x x a =<. (1)求A B U ，(A )B I ;(2)若A C =∅I ，求a 的取值范围.18.利用函数的单调性定义证明函数()[],2,41xf x x x =∈-是单调递减函数,并求该函数的值域.19.已知一次函数()f x 满足()()21253f x f x x +-+=+，试求该函数的解析式，并求()3f 的值.20.已知函数()mf x x x=+,且(1)3f =, (1)求m ;(2)判断函数()f x 的奇偶性.21.已知函数()f x 的定义域是R ，对任意实数,x y ，均有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x >.(1)证明()f x 在R 上是增函数； (2)判断()f x 的奇偶性，并证明；(3)若()12f -=-，求不等式()244f a a +-<的解集.22.已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数,且()11f =,若a ,[]1,1?b ∈-,0a b +≠时,有()()0f a f b a b+>+成立.(1)判断()f x 在[]1,1-上的单调性,并证明;(2)若()221f x m am ≤-+对所有的[]1,1a ∈-恒成立,求实数m 的取值范围.参考答案1.答案：B解析：∵集合{}|03P x Z x =∈≤≤, ∴{0,1,2,3}P =, ∵{}2|9M x Z x =∈<, ∴{}2,2,0,1,2M =-- ∴{}0,1,2P M ⋂=, 故选B. 2.答案：D解析：要使式子2232x x --有意义，则2102320x x x -≥⎧⎨--≠⎩，即1122x x x ≤⎧⎪⎨≠≠-⎪⎩且，所以1x ≤且12x ≠-.即该函数的定义域为11,,122⎛⎫⎛⎤-∞-- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦U .3.答案：B解析：因为函数()f x 在[]5,5-上为奇函数，所以()()f x f x -=-. 由图可知，当[]0,2x ∈时，()0f x ≥， 当[]2,5x ∈时，()0f x ≤， 所以当[]5,2x ∈--时，[]2,5x -∈，()()0f x f x =--≥，当[]2,0x ∈-时，[]0,2x -∈，()()0f x f x =--≤.所以不等式()0f x ≤的解集为[][]2,02,5-U .故选B.4.答案：D解析：∵1a >，∴()log a f x x = 在 [,2]a a 上递增，∴1log (2)log 2a a a a -=，即 121log 2,2,42a a a =∴==。
2020年高中数学(人教版必修2)配套练习 3.1.2
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定一、基础过关1．下列说法中正确的有( )①若两条直线斜率相等，则两直线平行；②若l 1∥l 2，则k 1＝k 2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；④若两条直线的斜率都不存在，则两直线平行 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m 的值为 ( ) A ．－8 B ．0 C ．2D ．10 3．已知l 1⊥l 2，直线l 1的倾斜角为45°，则直线l 2的倾斜角为( )A ．45°B ．135°C ．－45°D ．120° 4．已知A (m,3)，B (2m ，m ＋4)，C (m ＋1,2)，D (1,0)，且直线AB 与直线CD 平行，则m 的值为( )A ．1B ．0C ．0或2D ．0或15．经过点A (1,1)和点B (－3,2)的直线l 1与过点C (4,5)和点D (a ，－7)的直线l 2平行，则a ＝________.6． 直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2是关于k 的方程2k 2－3k －b ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则b ＝________；若l 1∥l 2，则b ＝________.7．(1)已知四点A (5,3)，B (10,6)，C (3，－4)，D (－6,11)，求证：AB ⊥CD .(2)已知直线l 1的斜率k 1＝34，直线l 2经过点A (3a ，－2)，B (0，a 2＋1)且l 1⊥l 2，求实数a的值．8. 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依次为O (0,0)、P (1，t )、Q (1－2t,2＋t )、R (－2t,2)，其中t >0.试判断四边形OPQR 的形状．二、能力提升9．顺次连接A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)所构成的图形是( )A ．平行四边形B ．直角梯形C ．等腰梯形D ．以上都不对10．已知直线l 1的倾斜角为60°，直线l 2经过点A (1，3)，B (－2，－23)，则直线l 1，l 2的位置关系是____________．11．已知△ABC 的顶点B (2,1)，C (－6,3)，其垂心为H (－3,2)，则其顶点A 的坐标为________． 12．已知△ABC 三个顶点坐标分别为A (－2，－4)，B (6，6)，C (0，6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率．三、探究与拓展13．已知四边形ABCD的顶点A(m，n)，B(5，－1)，C(4，2)，D(2,2)，求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形．答案1．A 2．A 3.B 4.D 5．52 6．2 －987．(1)证明 由斜率公式得：k AB ＝6－310－5＝35，k CD ＝11－(－4)－6－3＝－53，则k AB ·k CD ＝－1，∴AB ⊥CD .(2)解 ∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1，即34×a 2＋1－(－2)0－3a＝－1，解得a ＝1或a ＝3. 8．解 由斜率公式得k OP ＝t －01－0＝t ，k QR ＝2－(2＋t )－2t －(1－2t )＝－t －1＝t ，k OR ＝2－0－2t －0＝－1t ，k PQ ＝2＋t －t 1－2t －1＝2－2t ＝－1t .∴k OP ＝k QR ，k OR ＝k PQ ，从而OP ∥QR ，OR ∥PQ . ∴四边形OPQR 为平行四边形． 又k OP ·k OR ＝－1，∴OP ⊥OR ， 故四边形OPQR 为矩形． 9．B 10．平行或重合 11．(－19，－62) 12．解 由斜率公式可得k AB ＝6－(－4)6－(－2)＝54，k BC ＝6－66－0＝0，k AC ＝6－(－4)0－(－2)＝5.由k BC ＝0知直线BC ∥x 轴，∴BC 边上的高线与x 轴垂直，其斜率不存在．设AB 、AC 边上高线的斜率分别为k 1、k 2，由k 1·k AB ＝－1，k 2·k AC ＝－1，即k 1·54＝－1，k 2·5＝－1，解得k 1＝－45，k 2＝－15.∴BC 边上的高所在直线的斜率不存在；AB 边上的高所在直线的斜率为－45；AC 边上的高所在直线的斜率为－15.13．解 ∵四边形ABCD 是直角梯形，∴有2种情形： (1)AB ∥CD ，AB ⊥AD ， 由图可知：A (2，－1)． (2)AD ∥BC ，AD ⊥AB ， ⎩⎪⎨⎪⎧k AD ＝k BC k AD ·k AB ＝－1 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧n －2m －2＝3－1n －2m －2·n ＋1m －5＝－1∴⎩⎨⎧m ＝165n ＝－85.综上⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2n ＝－1或⎩⎨⎧m ＝165n ＝－85......................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。
人教版高中数学(必修2)全套训练习题含答案
高中数学必修二训练集锦目录：数学2（必修）数学2（必修）第一章：空间几何体[ 基础训练A组] 数学2（必修）第一章：空间几何体[ 综合训练B 组] 数学2（必修）第一章：空间几何体[ 提高训练C 组] 数学2（必修）第二章：点直线平面[ 基础训练A组] 数学2（必修）第二章：点直线平面[ 综合训练B 组] 数学2（必修）第二章：点直线平面[ 提高训练C 组] 数学2（必修）第三章：直线和方程[ 基础训练A组] 数学2（必修）第三章：直线和方程[ 综合训练B 组] 数学2（必修）第三章：直线和方程[ 提高训练C 组] 数学2（必修）第四章：圆和方程[ 基础训练A组] 数学2（必修）第四章：圆和方程[ 综合训练 B 组] 数学 2（必修）第四章：圆和方程 [ 提高训练 C 组]33 3 （ 数 学 2 必 修 ） 第 一 章 空 间 几 何 体[ 基础训练 A 组] 一、选择题1 ． 有 一 个 几 何 体 的 三 视 图 如 下 图 所 示 ， 这 个 几 何 体 应 是 一 个 ()A . 棱 台B . 棱 锥C . 棱 柱 D. 都 不 对主 视 图左 视 图俯 视 图2 ． 棱 长 都 是 1 的 三 棱 锥 的 表 面 积 为 （）A .B .2 C .3 D.43 ． 长 方 体 的 一 个 顶 点 上 三 条 棱 长 分 别 是 3,4 ,5 ， 且 它 的 8 个 顶 点 都 在同 一 球 面 上 ， 则 这 个 球 的 表 面 积 是 （ ）A ． 2 5B ． 5 0C ． 1 2 5D ． 都 不 对4 ． 正 方 体 的 内 切 球 和 外 接 球 的 半 径 之 比 为 （）A ．: 1 B ． : 2C ． 2 :D ． 35 ． 在 △ A B C 中 ， AB 2 , B C 1 . 5 , AB C1 2 0 ,若 使 绕 直 线 B C 旋 转 一 周 ，则 所 形 成 的 几 何 体 的 体 积 是 （ ）9 7 5 3 A .B .C .D.22226 ． 底 面 是 菱 形 的 棱 柱 其 侧 棱 垂 直 于 底 面 ， 且 侧 棱 长 为 5 ， 它 的 对 角 线 的 长分 别 是 9 和 1 5 ， 则 这 个 棱 柱 的 侧 面 积 是 （ ） A ． 1 3 0B ． 1 4 0C ． 1 5 0D ． 1 6 0二、填空题1 ． 一 个 棱 柱 至 少 有 _____ 个 面 ， 面 数 最 少 的 一 个 棱 锥 有 ________个 顶 点 ，顶 点 最 少 的 一 个 棱 台 有________条 侧 棱 。
苏教版必修2高一数学限时训练20
第20练 班级 姓名
1、一个直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）的底面是菱形，棱柱的对角线长分别是9cm 和15c m ，高是5cm ，则这个直棱柱的侧面积是
2、如图，已知圆柱体底面圆的半径为2π
，高为2，AB CD ，分别是两底面的直径，AD BC ，是母线．若一只小虫从A 点出发，从侧面爬行到C 点，则小虫爬行的最短路线的长度是 （结果保留根式）．
3、已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为1V 和2V ，则12:V V =
4、设A 、B 、C 、D 是球面上的四个点，且在同一平面内，AB =BC =CD =DA =3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是
5、给出下列说法：① 梯形的四个顶点共面；② 三条平行直线共面；③ 有三个公共点的两个平面重合；④ 每两条都相交并且交点全部不同的四条直线共面. 其中说法正确的序号依次是 .
6、正方体''''ABCD A B C D -中，AB 的中点为M ，'DD 的中点为N ，
异面直线'B M 与CN 所成的角是
7、两条直线a ,b 分别和异面直线c , d 都相交，则直线a ，b 的位置关
系是
8、已知直线 024=-+y mx 与 052=+-n y x 互相垂直，垂足为 (1，)p 则 =+-p n m ________
9、圆锥底面半径为１cm
cm ，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长
10、过点()
--54，作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5．
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11、已知空间四边形ABCD各边长与对角线都相等，求AB和CD所成的角的大小。
人教版高中数学必修第二册 专题强化训练二 解三角形综合问题 同步精练(含解析)
人教版高中数学必修第二册专题强化训练二解三角形综合问题同步精练一、单选题1．（2021·河南·）在ABC 中，22223sin a b c ab C ++=，则ABC 的形状是（）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形2．（2021·新疆昌吉·（理））在ABC 中，75,45,3BAC ABC AC ∠=︒∠=︒=，则AB =（）A ．362B ．463C ．564D ．6653．（2022·全国·）《易经》中记载着一种几何图形一一八封图，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.某中学开展劳动实习，去测量当地八卦田的面积如图，现测得正八边形的边长为8m ，代表阴阳太极图的圆的半径为2m ，则每块八卦田的面积为（）2m .A ．162162π+-B ．1622π-C ．16282π+-D ．16216π+-4．（2021·河南信阳·（理））在ABC 中，已知1AC =，3BC =，6B π=，则角C 为（）A ．34πB ．4πC ．2π或6πD ．6π或56π5．（2021·江西·贵溪市实验中学）在ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有二个解的是（）A ．10,45,70b A C ===B ．60,48,60a c B ===C ．5,7,8a b c ===D ．14,16,45a b A ===6．（2021·全国·）如图所示，有四座城市A ，B ，C ，D ，其中B 在A 的正东方向，且与A 相距120km ，D 在A 的北偏东30°方向，且与A 相距60km ，C 在B 的北偏东30°方向，且与B 相距6013km ，一架飞机从城市D 出发，以360km/h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有（）A ．120kmB ．606kmC ．605kmD ．603km7．（2021·全国·）满足条件4a =，32b =，45A =︒的三角形的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．不存在8．（2021·贵州·黔西南州赛文高级中学（理））在ABC 中，若60A ∠=︒，2BC =，且ABC 的面积为2，则ABC 的解数为（）A ．0B ．1C ．2D ．49．（2021·江苏江苏·）在ABC 中，最大角A ∠是最小角C ∠两倍，且7,8AB AC ==，则BC =（）A ．72B ．10C ．105D ．7310．（2021·云南红河·（文））ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若1cos 3A =，3b =，2c =，则ABC的面积为（）A ．1B ．2C ．22D ．22311．（2021·四川达州·（理））ABC 中，1cos 4A =，2AB =，4BC =，则BC 边上的高为（）A ．153B ．154C ．152D ．15512．（2021·全国全国·）在ABC 中，D 为边BC 上的一点，H 为ABC 的垂心，2021AB AC ⋅=，则AD AH ⋅=（）A ．2019B ．2020C ．2021D ．2022二、多选题13．（2021·全国·）人民英雄纪念碑位于北京天安门广场中心，是中华人民共和国政府为纪念中国近现代史上的革命烈士而修建的纪念碑．正面镌刻着毛泽东同志所题写的“人民英雄永垂不朽”八个金箔大字．在中国共产党百年华诞到来之际，某学校计划组织学生去瞻仰人民英雄纪念碑，并用学到的数学知识测量其高度．现准备了三种工具：测角仪（可测量仰角与俯角）、米尺（可测量长度）、量角器（可测量平面角度）（工具不一定都要使用），不同小组设计了如下不同的测量方案，其中一定能测量出纪念碑高度的方案有（）A ．在水平地面上任意寻找两点A ，B 分别测量纪念碑顶端的仰角α，β，再测量A ，B 两点间距离B ．在水平地面上寻找两点A ，B 分别测量纪念碑顶端的仰角α，β，再测量A ，B 两点间距离和两点相对于纪念碑底部的张角θC ．在纪念碑正东方向找到一座建筑物AB （低于纪念碑），测得建筑物AB 的高度为h ，在该建筑物顶部和底部分别测得纪念碑顶端的仰角α和βD ．在纪念碑的正前方A 处测得纪念碑顶端的仰角α，正对纪念碑前行5米到达B 处再次测量纪念碑顶端的仰角β14．（2021·河北·石家庄市第一中学东校区）在ABC 中，a b c 、、分别为A B C ∠∠∠、、的对边，下列叙述正确的是（）A ．若sin cos AB =，则ABC 为直角三角形B ．若cos cos a bB A=则ABC 为等腰三角形C ．若cos sin cos A B Ca b c==，则ABC 为等腰直角三角形D ．若sin cos a b C c B =+，则4C π=15．（2020·江苏·南通市海门实验学校）设0a >，0b >，称2ab a b +为,a b 的调和平均数，称222a b+为,a b 的加权平均数如图，C 为线段AB 上的点，且AC a =，CB b =，O 为AB 中点，以AB 为直径作半圆，过点C 作AB 的垂线交半圆于D ，连接OD ，AD ，BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为E ，取弧AB 的中点F ，连接FC ，则（）A ．OD 的长度是a ，b 的几何平均数B ．DE 的长度是a ，b 的调和平均数C ．CD 的长度是a ，b 的算术平均数D ．FC 的长度是a ，b 的加权平均数16．（2021·吉林·汪清县汪清第四中学）ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则下列说法正确的是（）A ．若A B >，则sin sin A B>B ．若30A =，4b =，3a =，则ABC 有两解C ．若ABC 为钝角三角形，则222a b c +>D ．若60A =，2a =，则ABC 面积的最大值为317．（2021·黑龙江·哈尔滨市教育局）如图，设ABC 的内角A ，B ，C ，所对的边分别为a ，b ，c ，若3sin cos sin cos 2a B C c B Ab +=，且3CAB π∠=．点D 是ABC 外一点，1,3DC DA ==，下列说法中，正确的命题是（）A ．ABC 的内角3B π=B ．ABC 的内角3C π=C ．四边形ABCD 的面积最大值为5332+D ．四边形ABCD 的面积无最大值．18．（2021·江苏·南京二十七中）在ABC 中，给出下列4个命题，其中正确的命题是（）A ．若AB >，则sin sin A B >B ．A B <，则cos cos A B >C ．若A B >，则tan tan A B>D ．A B <，则22cos cos A B>三、填空题19．（2021·宁夏·石嘴山市第三中学（文））ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD △面积是ADC 面积的2倍，1AD =，22DC =，则AC =___________.20．（2021·山东泰安·）在相距1000米的A ，B 两点处测量目标点C ，若60CAB ∠=︒，75CBA ∠=︒，则B ，C 两点之间的距离为___________米.21．（2021·江苏江苏·）已知四边形ABCD 的面积为2022，E 为AD 边上一点，ABE △，BCE ，CDE △的重心分别为1G ，2G ，3G ，那么123G G G 的面积为___________．22．（2021·四川成都·（理））在ABC 中，已知角2π3A =，角A 的平分线AD 与边BC 相交于点D ，AD =2.则AB +2AC 的最小值为___________.23．（2021·河南信阳·（理））在三角形ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，3A π=，1b c -=，2213b c +=，D 在BC 上，且ABDACDbScS=，则BD 的长为________．24．（2021·河南·永城高中（文））在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22223sin a b c ab C ++=，则C =______．四、解答题25．（2021·全国全国·）如图，在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边且是三个连续的正整数，其中a b c <<，2C A =．（1）求b ；（2）将线段AB 绕点A 顺时针旋转02πθθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭到AD ，且7cos 3θ=，求CAD 的面积．26．（2021·上海·高一课时练习）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求角B 的大小；（2）设a =2，c =3，求b 和()sin 2A B -的值.27．（2020·黑龙江·双鸭山一中高一期末（理））已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且3cos 2sin a A c C+=.（1）求角A 的大小；（2）若5b c +=，且ABC 的面积为3，求a 的值.28．（2021·江西省铜鼓中学高一阶段练习（文））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A 为锐角，22sin cos 2c a B C ab--=.（1）求A ；（2）若34b c =，且BC 边上的高为23，求ABC 的面积.29．（2019·浙江省宁波市鄞州中学高一期中）在ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知2222sin sin sin b c a B Abc C+--=．（1）求角C 的值；（2）若4a b +=，当边c 取最小值时，求ABC 的面积．30．（2021·广东·东莞四中高一阶段练习）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1sin cos sin cos 2a B C c B Ab +=，且c b >.（1）求角B 的值；（2）若6A π=，且ABC 的面积为43，求BC 边上的中线AM 的长.31．（2021·广东·深圳市龙岗区布吉中学高一期中）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()2cos cos b a C c A -=．（1）求角C 的大小；（2）若2a =，()2cos cos c a B b A b -=，求ABC 的面积．32．（2018·上海大学市北附属中学高一期中）已知函数()()221cos sin ,0,2f x x x x π=-+∈．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）设ABC 为锐角三角形，角A 所对边19a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求ABC 的面积．33．（2021·浙江浙江·高一期末）在锐角ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos 3sin 2B B +=，cos cos 2sin 3sin B C Ab c C+=．（1）求角B 的大小和边长b 的值；（2）求ABC 面积的最大值．参考答案1．D 【分析】在ABC 中，22223sin a b c bc C ++=，由余弦定理知，2222cos b a c ab C +-=，两式相加，利用基本不等式及正弦函数的有界性即可判断出该ABC 的形状．【详解】在ABC 中，22223sin a b c ab C ++=，又由余弦定理知，2222cos b a c ab C +-=，两式相加得：222()2(3sin cos )4sin()6a b ab C C ab C π+=+=+，222sin()1622b a C a bab abπ+∴+== （当且仅当c b =时取“=”)，又sin()16C π+ ，sin()16C π∴+=（当且仅当a b =时成立），C 为ABC ∆的内角，62C ππ∴+=，3C π=，又a b =，ABC ∴的形状为等边△．故选：D ．2．A 【分析】由条件结合内角和定理可求ACB ∠，再由正弦定理求AB .【详解】∵75,45BAC ABC ∠=︒∠=︒，++180BAC ABC ACB ∠∠∠=∴60ACB ∠=︒，由正弦定理得，sin 6036sin 452AC AB ︒=︒=．故选：A .3．A 【分析】根据正八边形分割成8个全等的等腰三角形，顶角为360458=，设等腰三角形的腰长为a ，由正弦定理求得a 的值，求得三角形的面积S ，进而求得每块八卦田的面积.【详解】由图可知，正八边形分割成8个全等的等腰三角形，顶角为360458=，设等腰三角形的腰长为a ，由正弦定理可得8135sin 45sin 2a =，解得13582sin2a =，所以三角形的面积为211351cos135(82sin )sin 4532216(21)222S -=⋅=⨯=+，则每块八卦田的面积为22116(21)216216()82m ππ+-⨯=+-.故选：A.4．C 【分析】由正弦定理可得3sin 2A =，根据三角形的性质确定角A 的大小，进而求角C .【详解】由正弦定理知：sin sin AC BCB A =，可得：3sin 2A =，∴3A π=或23A π=，又AC BC <，∴6B A π=<，则有3A π=或23A π=，∴2C π=或6π．故选：C ．5．D 【分析】已知两角和一边，三角形确定，可判断A ；已知两边及夹角用余弦定理，可判断B ；已知三边三角形确定可判断C ；正弦定理与大边对大角可判断D 【详解】A ：10,45,70b A C ===，已知两角和一边，三角形确定，只有一解；B ：60,48,60a c B ===，已知两边及夹角用余弦定理，只有一解；C ：5,7,8a b c ===已知三边三角形确定，只有一解；D ：因为216sin 422sin 1147b AB a⨯===<，且b a >，故B A >，故有两解．故选：D.6．D 【分析】设15min 后飞机到了E 处，求出DE ，ABD △中由余弦定理求得BD ，由勾股定理逆定理知90ADB ∠=︒，这样易得,ABD DBC ∠∠，从而得出cos BDC ∠，然后在BDE 中由余弦定理得出BE ．【详解】设15min 后飞机到了E 处，则136090km 4DE =⨯=，由题意60DAB ∠=︒，//DA BC ，60AD =，120AB =，221601202601206032BD =+-⨯⨯⨯=，所以222AD BD AB +=，所以90DB ∠=︒，从而30ABD ∠=︒，于是90DBC ∠=︒2222(603)(6013)240DC BD BC =+=+=，6033cos 2404BD BDC CD ∠===，DBE 中，2222232cos (603)90260390360034BE BD DE BD DE BDE =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=⨯，603BE =．故选：D ．7．B 【分析】由正弦定理求得sin 3sin 4b A B a ==，得到B 有两解，即可得到答案.B 【详解】在ABC 中，因为4a =，32b =，45A =︒，由正弦定理sin sin a b A B =，可得sin 32sin 453sin 44b A B a ===，因为432<，即a b <，则0135B ︒︒<<有两解，所以三角形的个数是2个.故选：B .8．C 【分析】结合圆的几何性质判断A 点的轨迹，结合三角形ABC 的面积确定三角形ABC 的解的个数.【详解】同弧所对的圆周角相等，如图，满足条件的A 点在一段优弧CDB 上运动（不包括B ，C ），三角形ABC 的高的最大时，A 在D 点位置，此时三角形ABC 为等边三角形，边长为2，高为3，此时三角形ABC 面积为12332⨯⨯=.若ABC 的面积为2，则此时的高为2，所以此时A 点可以在如图的1A ，2A 处．故选：C9．C 【分析】根据正弦定理，结合余弦定理、二倍角的正弦公式进行求解即可.【详解】设7,8,c AB b AC a BC =====,由正弦定理可知：77cos sin sin sin 2sin 2sin cos sin 14a c a a aC A C C C C C C =⇒=⇒=⇒=，由余弦定理可知：222222cos 49641610510514ac b a ab C a a a a =+-⇒=+-⋅⇒=⇒=，或105a =-（舍去），故选：C 10．C 【分析】利用平方关系求得sin A ，再利用三角形的面积公式即可得解.【详解】解：因为1cos 3A =，所以22sin 3A =，所以1sin 222ABC S bc A ==△.故选：C .11．C 【分析】先根据余弦定理求出4b =，然后利用等面积法即可求出BC 边上的高.【详解】在ABC 中，设AB c =，BC a =，AC b =，则2c =，4a =，1cos 4A =，且222cos 2b c a A bc +-=，21416422b b +-∴=⨯，2120b b ∴--=，()()430b b ∴-+=，4b ∴=，1cos 4A =,2115sin 144BAC ⎛⎫∴∠=-= ⎪⎝⎭,设BC 边上的高为h ，在ABC 中利用等面积法，则11sin 22ABCSBC h AB AC BAC =⨯=⨯∠,1115424224h ∴⨯⨯=⨯⨯⨯,152h ∴=.故选:C 12．C 【分析】令BC ，AB 边上的高分别为AE ，CF ，利用向量共线及向量数量积可得||||AD AH AE AH ⋅=，再借助面积法及正弦定理计算可得||||AE AH AB AC =⋅即可得解.【详解】设BC ，AB 边上的高分别为AE ，CF ，则AE 与CF 交点为H ，如图，由B ，C ，D 三点共线可得：(01)CD tCB t =≤≤，于是有(1)AD t AC t AB =-+，则(1)(1)||||cos ||||cos AH t AC AH t AB AD AH t AC AH CAE t AB AH BAE =-⋅+⋅=-∠∠⋅+(1)||||||||||||t AE AH t AE AH AE AH =-+=，在ABC 中，1|||||si 1|2n 2||ABCSAE AB AC BC BAC =∠=，则||||sin ||||AB AC BAC AE BC ∠=，在ACH 中，由正弦定理得||||sin sin AH AC ACH AHC=∠∠，则||||||sin()sin sin()2AH AC AC ABC ABC BAC ππ==-∠∠-∠，在ABC 中，由正弦定理有||||sin sin AC BC ABC BAC =∠∠，于是得||cos ||sin BC BACAH BAC∠=∠，因此，||||sin ||cos ||||||||cos sin ||AB AC BAC BC BACAD AH AE AH AB AC BACBAC BC ∠∠⋅==⋅=∠∠2021AB AC =⋅=，所以AD AH ⋅=2021.故选：C 13．BCD 【分析】根据各选项的描述，结合正余定理的边角关系判断所测数据是否可以确定纪念碑高度即可.【详解】A ：如果A ，B 两点与纪念碑底部不在一条直线上时，就不能测量出纪念碑高度，故不正确．B ：在直角三角形△ADC 和△BDC 中用CD 来表示AC ，BC ，在△ABC 中用余弦定理就可以计算出纪念碑高度，故正确．C ：如下图，△ABD 中由正弦定理求AD ，则纪念碑高sin CD h AD α=+，正确；D ：如下图，△ABD 中由正弦定理求AD ，则纪念碑高sin CD AD α=，正确；故选：BCD.14．CD 【分析】利用诱导公式和正弦函数的性质判断A ，利用正弦定理结合正弦函数的性质两角和的正弦公式，判断B ，C ，D.【详解】∵sin cos A B=∴sin sin()2A B π=-∴22A B k ππ-+=或22A B k πππ+-=+，∴2+2A B k ππ+=或22A B k ππ-=+，又0A B π<+<，A B ππ-<-<，∴2A B π+=或2A B π-=，A 错，∵cos cos a b B A=∴sin sin cos cos A BB A=∴sin 2sin 2A B =,∴222+A B k ππ+=或222A B k π-=，又0A B π<+<，A B ππ-<-<，∴2A B π+=或0A B -=，∴ABC 为等腰三角形或直角三角形，B 错，∵cos sin cos A B Ca b c ==∴s c i os sin n sin cos sin A B CA B C ==∴tan tan 1A C ==，又0A π<<，0C π<<∴4A C π==,∴ABC 为等腰直角三角形，C 对，∵sin cos a b C c B =+，∴sin sin sin sin cos A B C C B=+∴sin()sin sin sin cos B C B C C B+=+∴sin cos sin sin B C B C =，又sin 0B ≠，∴tan 1C =，又0C π<<，∴4C π=，D 对，故选：CD.15．BD 【分析】由题意可得：2a b OC -=，CD ab =，2a b OD +=，在Rt OCD △中，2CD DE OD =，在Rt OCF中，22CF OF OC =+，再根据几何平均数，调和平均数，算术平均数，加权平均数即可得出答案．【详解】解：由题意可得：2a bOC -=，CD ab =，2a b OD +=，故A 错误，C 错误；在Rt OCD △中，由射影定理可得：222CD ab abDE a b OD a b ===++，故B 正确；在Rt OCF 中，由勾股定理可得：222222()()222a b a b a b CF OF OC +-+=+=+=，故D 正确.故选：BD ．16．ABD 【分析】对于A 选项，由A B >，得到a b >，再利用正弦定理判断；对于B 选项，由sin b A a b <<判断；对于C 选项，由ABC 为钝角三角形且C 为钝角，利用余弦定理判断；对于D 选项，利用余弦定理与基本不等式集合三角形面积公式求解判断.【详解】对于A 选项，若A B >，则a b >，由正弦定理可得sin sin a bA B=，所以，sin sin A B >，A 选项正确；对于B 选项，sin 4sin 302b A ==，则sin b A a b <<，如图：所以ABC 有两解，B 选项正确；对于C 选项，若ABC 为钝角三角形且C 为钝角，则222cos 02a b c C ab+-=<，可得222a b c +<，C 选项错误；对于D 选项，由余弦定理与基本不等式可得2222242cos 2a b c bc A b c bc bc bc bc ==+-=+-≥-=，即4bc ≤，当且仅当2b c ==时，等号成立，所以13sin 324ABC S bc A bc ==≤△，D 选项正确．故选：ABD 17．ABC 【分析】由正弦定理化边为角后求得B ，从而得三角形的内角，判断AB ，用D 角表示出四边形的面积（先由余弦定理求得2AC ），然后由三角函数知识得最值判断CD ．【详解】因为3sin cos sin cos 2a B C c B Ab +=，由正弦定理得3sin sin cos sin sin cos sin 2A B C C B A B +=，B 为三角形内角，sin 0B ≠，所以3sin cos cos sin 2A C A C +=，3sin()2A C +=，所以3sin sin()2B AC =+=，3B π=或23B π=，又3CAB π∠=，所以23B π=不合题意，所以3B π=，从而3ACB π∠=，AB 正确；ACD △中，2222cos 91231cos 106cos AC AD CD AD CD D D D =+-⋅=+-⨯⨯⨯=-，所以21333353sin sin cos 24222ABCD S AD CD D AC D D =⋅+=-+533sin()32D π=-+，(0,)D π∈，2,333D πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以32D -=ππ，即56D π=时，5332ABCD S =+为最大值，无最小值．C 正确，D 错．故选：ABC ．18．ABD 【分析】利用正弦定理判断A，D，利用余弦函数，正切函数的单调性判断B,C，由此确定正确选项.【详解】∵A >B ，∴a >b ，∴sin A >sin B ，A 对，∵A >B ，且(0)A B π∈，，，又函数cos y x =在(0)π，上为减函数，∴cos cos A B >，B 对，取236A B C ππ===，，则A >B ，但tan tan A B <，C 错，∵A <B ，(0)A B π∈，，∴22sin sin A B <，∴22cos cos A B >，D 对，故选：ABD.19．1【分析】设ABC 中BC 边上的高为h ，进而根据题意得2AB AC =，22BD DC ==，再结合cos cos 0BDA CDA ∠+∠=求解即可.【详解】解：因为AD 平分BAC ∠，ABD △面积是ADC 面积的2倍，所以CAD BAD ∠=∠，1sin 2ABDS AB AD BAD =⋅⋅⋅∠，1sin 2ADCAC A S AD C D ⋅⋅⋅∠=，所以2AB AC =，设ABC 中BC 边上的高为h ，因为12ABDSBD h =⋅⋅，12ADCDC h S ⋅=⋅，所以22BD DC ==，因为1AD =，所以在ABD △中，222234cos 222AD BD AB AC BDA AD BD +--∠==⋅，在ADC 中，222232cos 22AC AD DC AC CDA AD DC -+-∠==⋅.因为()cos cos cos BDA CDA CDA π∠=-∠=-∠，所以cos cos 0BDA CDA ∠+∠=，即2233420222AC AC --+=，解得1AC =故答案为：120．5006【分析】由题可得45ACB ∠=︒，利用正弦定理即可求出.【详解】由题可得180607545ACB ∠=︒-︒-︒=︒，由正弦定理可得sin sin AB BCACB CAB=∠∠，即31000sin 25006sin 22AB CABBC ACB⨯⋅∠===∠米.故答案为：5006.21．6743##【分析】以点A 为原点，射线AD 为x 轴非负半轴建立坐标系，设出点B ，C ，D ，E 的坐标，由此表示出点1G ，2G ，3G ，再借助向量探求123G G G 的面积与四边形ABCD 的面积的关系即可计算作答.【详解】以点A 为原点，射线AD 为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系，如图，设00(,),(,),(,0),(,0)(0)B a b C c d D e E x x e ≤≤，因ABE △，BCE ，CDE △的重心分别为1G ，2G ，3G ，则01(,)33G a x b +，02(,)33G a c x b d+++，03(,)33c e x G d ++，1232(,),(,)3333c d a e b G G G G -==，123G G G 面积1232212321231232123211||||sin (||||)()22G G G S G G G G G G G G G G G G G G G =∠=-⋅22222211[()()][()()]()()23333333323333c d a e b c a e d b c b d a e ---=++-⋅+⋅=⋅-⋅11||2333318c bd ae bc de ad -=⋅-⋅=+-(,),(,)AC c d DB a e b ==-，同理可得四边形ABCD 的面积：111||||sin ,|()|||222ABCD S AC BD AC BD bc d a e bc de ad =〈〉=--=+-，于是得123116742022993ABC G G D G S S ==⨯=，所以123G G G 的面积为6743.故答案为：674322．642+【分析】根据三角形的面积公式列方程，结合基本不等式来求得正确答案.【详解】,,,2AB c AC b BC a AD ====，依题意AD 是角A 的角平分线，由三角形的面积公式得1π1π12π2sin 2sin sin 232323c b bc ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯，化简得22c b bc +=，1112b c +=，()112222223c b AB AC c b c b b c b c ⎛⎫⎛⎫+=+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2232642c b b c ⎛⎫≥+⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭.当且仅当2,2c bc b b c==，2222,22,222b b b b b c ⋅+=⋅=+=+时等号成立.故答案为：642+23．275##【分析】由已知可得3b =，2c =，根据余弦定理求a ，再由题设三角形面积间的等量关系可得23BD CD =，即可求BD 的长.【详解】∵1b c -=，2213b c +=，∴()222()62bc b c bc +--==，易得：3b =，2c =，在三角形ABC 中，由余弦定理得：222cos 1312cos73a b c bc A π=+-=-=，∵ABDACD bScS=，即ABD ACDS c Sb=，∴23BD CD =，又7BD CD +=，∴275BD =．故答案为：275.24．3π【分析】应用余弦定理，结合已知等量关系、辅助角公式可得222sin 6ab C a b π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，由基本不等式可得sin 16C π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，最后根据正弦函数的性质即可求C 的大小.【详解】在△ABC 中，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，代入22223sin a b c ab C ++=．得22222cos 23sin a b ab C ab C +-=，∴222sin cos 3sin 26ab C ab C ab C a b ab π⎛⎫+=+=+ ≥⎪⎝⎭，即2sin 26ab C ab π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭．∴sin 16C π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，即sin 16C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又0C π<<．∴3C π=．故答案为：3π.25．（1）5b =（2）351524+【分析】(1)根据题意可得1a b =-，1c b =+，由正弦定理可得()1cos 21b A b +=-，利用余弦定理可得()4cos 21b A b +=+，列出方程，解方程即可；(2)根据题意和三角函数的同角关系可得2sin 3θ=，利用两角和的正弦公式求出sin CAD ∠，结合三角形的面积公式计算即可.（1）由题意知a ，c 可以分别表示为1b -，1b +，由正弦定理，得1111sin sin sin 22sin cos b b b b A C A A A-+++===，得()1cos 21b A b +=-．由余弦定理得()()()()222114cos 2121b b b b A b b b ++--+==++，所以()()412121b b b b ++=+-，解得5b =．（2）由（1）知5b =，6c =，3cos 4BAC ∠=，则7sin 4BAC ∠=．因为7cos 3θ=，且02πθ<<，所以2sin 3θ=，所以()7732732sin sin sin cos cos sin 434312CAD BAC BAC BAC θθθ+∠=∠+=∠+∠=⨯+⨯=则CAD 的面积1173235152sin 5622124S bc CAD ++=∠=⨯⨯⨯=．26．(Ⅰ)3π；(Ⅱ)7b =，3314.【详解】分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得3tanB =，则B =π3．（Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理可得b =7．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得()33214sin A B -=．详解：（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理a b sinA sinB=，可得bsinA asinB =，又由π6bsinA acos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得π6asinB acos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即π6sinB cos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得3tanB =．又因为()0πB ∈，，可得B =π3．（Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理及a =2，c =3，B =π3，有22227b a c accosB =+-=，故b =7．由π6bsinA acos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得37sinA =．因为a <c ，故27cosA =．因此43227sin A sinAcosA ==，212217cos A cos A =-=．所以，()222sin A B sin AcosB cos AsinB -=-=4311333727214⨯-⨯=．点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．27．(Ⅰ)23π；(Ⅱ)21.【分析】（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角，整理计算可得sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则23A π=.（Ⅱ）由三角形面积公式可得：4bc =，结合余弦定理计算可得221a =，则21a =.【详解】（Ⅰ）由正弦定理得，，∵，∴，即．∵∴，∴∴．（Ⅱ）由：可得．∴，∵，∴由余弦定理得：，∴.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．28．（1）6π；（2）73．【分析】（1）先用余弦定理化余弦为边，再用正弦定理化边为角从而求得A ；（2）由余弦定理用c 表示a ，然后把三角形的面积用两种方法表示求得c ，从而可计算出面积．【详解】（1）由22sin cos 2c a B C ab--=得222sin 2cos ab B ab C c a -=-，由余弦定理得222222sin ab B c a b c a +--=-，所以2sin a B b =，由正弦定理得2sin sin sin A B B =，B 是三角形内角，sin 0B ≠，所以1sin 2A =，又A 为锐角，所以6A π=．（2）由（1）22222332cos 2cos 1646a b c bc A c c c c π=+-=+-⨯⋅⋅2716c =，74a c =，所以11sin 2322ABC S bc A a ==⨯△，即2131172324224c c ⨯⨯=⨯⨯，47c =，3214b c ==，111sin 214773222ABC S bc A ==⨯⨯⨯=△．【点睛】思路点睛：本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式．利用正弦定理和余弦定理进行边角互化是解题关键．三角形的面积采取了二次计算，通过不同的计算方法得出等式，从而求解．这是一种解题技巧．29．（1）π3C =；（2）3ABCS =．【分析】（1）根据正弦定理，将角化为边的表达形式；结合余弦定理即可求得角C 的值．（2）由余弦定理求得2c 与ab 的关系，结合不等式即可求得c 的最小值，即可得到ab 的值，进而求得三角形面积．【详解】（1）由条件和正弦定理可得2222b c a b a b+-=-，整理得222b a c ab +-=从而由余弦定理得1cos 2C =．又∵C 是三角形的内角，∴π3C =．（2）由余弦定理得222222cos c a b ab C a b ab =+-=+-，∵4a b +=，∴()22223163c a b ab a b ab ab =+-=+-=-，∴2216316342a b c ab +⎛⎫=-≥-= ⎪⎝⎭（当且仅当2a b ==时等号成立）．∴c 的最小值为2，故1sin 32ABCSab C ==．【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理的简单应用，边角关系的转化及不等式在求最值中的用法，属于基础题．30．（1）6π；（2）27.【分析】（1）先由正弦定理边角互化，计算求得sin B ；（2）由（1）可知ABC 是等腰三角形，根据面积公式求边长a ，AMC 中，再根据余弦定理求中线AM 的长.【详解】（1）∵1sin cos 2a B Ab =，由正弦定理边角互化得1sin sin cos sin sin cos sin 2A B C C B A B +=，由于(0,),sin 0B B π∈≠，∴1sin cos sin cos 2A C C A +=，即1sin()2A C +=，得1sin 2B =.又c b >，∴02B π<<，∴6B π=.（2）由（1）知6B π=，若6A π=，故a b =，则2112sin sin 43223ABC S ab C a π∆===，∴4a =，4a =-（舍）又在AMC 中，22222cos3AM AC MC AC MC π=+-⋅，∴222221121()2cos42242()282232AM AC AC AC AC π=+-⋅⋅⋅=+-⋅⋅⋅-=，∴27AM =.31．（1）4π；（2）12.【分析】（1）利用正弦定理化边为角，利用三角恒等变换公式化简，得到2cos 2C =，从而求得C 的大小；（2）利用余弦定理化简()2cos cos c a B b A b -=，得到222a b =，求出b ，再计算面积即可.【详解】解：（1）由已知及正弦定理，得2sin cos sin cos sin cos B C A C C A -=．∴()2sin cos sin cos cos sin sin B C A C A C A C =+=+．∵πA C B +=-，∴()sin sin A C B +=．∴2sin cos sin B C B =．又∵sin 0B ≠，∴2cos 2C =．∵()0,πC ∈，∴π4C =．（2）由已知及余弦定理，得222222222a c b b c a ac bc b ac bc +-+-⋅-⋅=．222222222a cb bc a b +-+--=化简，得222a b =．又∵2a =，∴1b =．∴ABC 的面积1121sin 212222ABC ab C S ==⨯⨯⨯=△．【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．32．（1）,2p p 轹÷ê÷÷êøë；（2）1534【分析】（1）利用降次公式化简()f x ，然后利用三角函数单调区间的求法，求得()f x 的单调递增区间.（2）由()0f A =求得A ，用余弦定理求得c ，由此求得三角形ABC 的面积.【详解】（1）依题意()()2211()cos sin cos 20,π22f x x x x x =-+=+Î，由2ππ22πk x k -≤≤得πππ2k x k -≤≤，令1k =得ππ2x ≤≤.所以()f x 的单调递增区间,2p p 轹÷ê÷÷êøë.（2）由于a b <，所以A 为锐角，即π0,02π2A A <<<<.由()0f A =，得11cos 20,cos 222A A +==-，所以2ππ2,33A A ==.由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅，2560c c -+=，解得2c =或3c =.当2c =时，22219cos 0238a cb B ac +-==-<，则B 为钝角，与已知三角形ABC 为锐角三角形矛盾.所以3c =.所以三角形ABC 的面积为113153sin 532224bc A =⨯⨯⨯=.【点睛】本小题主要考查二倍角公式，考查三角函数单调性的求法，考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.33．（1）3B π=，32b =；（2）3316.【分析】（1）根据cos 3sin 2B B +=得出sin 16B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，然后根据角B 是锐角得出3B π=，最后根据正弦定理与余弦定理对cos cos 2sin 3sin B C Ab c C+=进行转化，即可得出结果；（2）由正弦定理得出sin a A =、sin c C =，然后根据23A C π+=得出,62A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，再然后根据解三角形面积公式得出1sin 2ABC S ac B =△，并将其转化为33sin 28616ABC S A △π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最后根据正弦函数的性质即可求出最值.【详解】（1）因为cos 3sin 2B B +=，所以13cos sin 122B B +=，sin 16B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为角B 是锐角，所以3B π=，因为cos cos 2sin 3sin B C Ab c C+=，所以由正弦定理与余弦定理易知，2222222223a c b a b c aabc abc c +-+-+=，整理得222323a a abc c=，解得32b =.（2）因为1sin sin sin a b cA B C===，所以sin a A =，sin c C =，因为02A π<<，02C <<π，23A C π+=，所以,62A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则1133sin sin sin sin sin 222423ABC S ac B A C A A △π⎛⎫==⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭221cos cos sin cos sin 33333sin sin sin 4422A A A A A A ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-+()23333sin sin sin 21cos 288161cos 6A A A A A =+=+-33333sin 2cos 2sin 21616168616A A A π⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭，因为,62A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以52666A ，πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，则1sin 2,162A π骣纟琪ú-Î琪琪ú桫û，33333sin 2,8616816A π⎛⎤⎛⎫-+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，故333,816ABC S △⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦，ABC 面积的最大值为3316.。
高中必修二数学练习题及讲解答案
高中必修二数学练习题及讲解答案### 高中必修二数学练习题及讲解答案#### 练习题一：函数的性质题目：已知函数 \( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \) ，求该函数的单调区间。
解答：首先，我们需要找到函数的导数来确定其单调性。
对 \( f(x) \) 求导得到 \( f'(x) = 4x - 3 \)。
令 \( f'(x) = 0 \) 求得极值点：\[ 4x - 3 = 0 \]\[ x = \frac{3}{4} \]接下来，我们分析 \( f'(x) \) 的正负来确定单调性：- 当 \( x < \frac{3}{4} \) 时，\( f'(x) < 0 \)，所以 \( f(x) \) 在 \( (-\infty, \frac{3}{4}) \) 上单调递减。
- 当 \( x > \frac{3}{4} \) 时，\( f'(x) > 0 \)，所以 \( f(x) \) 在 \( (\frac{3}{4}, +\infty) \) 上单调递增。
因此，函数 \( f(x) \) 的单调递减区间为 \( (-\infty,\frac{3}{4}) \)，单调递增区间为 \( (\frac{3}{4}, +\infty) \)。
#### 练习题二：三角函数的图像与性质题目：已知 \( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \)，且 \( \alpha \) 位于第一象限，求 \( \cos(\alpha) \) 的值。
解答：根据正弦和余弦的关系，我们知道：\[ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \]已知 \( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \)，代入上式得：\[ \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2(\alpha) = 1 \]\[ \frac{9}{25} + \cos^2(\alpha) = 1 \]\[ \cos^2(\alpha) = 1 - \frac{9}{25} \]\[ \cos^2(\alpha) = \frac{16}{25} \]因为 \( \alpha \) 在第一象限，余弦值为正，所以：\[ \cos(\alpha) = \frac{4}{5} \]#### 练习题三：不等式的解法题目：解不等式 \( |x - 2| + |x + 3| > 8 \)。