小学四年级奥数讲义之精讲精练第13讲 和倍问题
第13讲和倍问题
一、知识要点
已知两个数的和与它们之间的倍数关系，求这两个数是多少的应用题，叫做和倍问题。
解答和倍应用题的基本数量关系是：
和÷（倍数＋1）=小数
小数×倍数=大数
（和－小数=大数）
二、精讲精练
【例题1】学校有科技书和故事书共480本，科技书的本数是故事书的3倍。
两种书各有多少本？
练习1：
1.用锡和铝制成的合金是720千克，其中铝的重量是锡的5倍。
铝和锡各
用了多少千克？
2.甲、乙两数的和是112.甲数除以乙数的商是6，甲、乙两数各是多少？
【例题2】果园里有梨树、桃树和苹果树共1200棵，其中梨树的棵数是苹果树的3倍，桃树的棵数是苹果树的4倍。
求梨树、桃树和苹果树各有多少棵？
练习2：
1.李大伯养鸡、鸭、鹅共960只，养鸡的只数是鹅的3倍，养鸭的只数是鹅的4
倍。
鸡、鸭、鹅各养了多少只？
2.甲、乙、丙三数之和是360，已知甲是乙的3倍，丙是乙的2倍。
求甲、乙、
丙各是多少。
【例题3】有三个书橱共放了330本书，第二个书橱里的书是第一个的2倍，第三个书橱里的书是第二个的4倍。
每个书橱里各放了多少本书？
练习3：
1．甲、乙、丙三个数之和是400，已知甲是乙的3倍，丙是甲的4倍。
求甲、乙、丙各是多少。
2．三块钢板共重621千克，第一块的重量是第二块的3倍，第二块的重量是第三块的2倍。
三块钢板各重多少千克？
【例题4】少先队员种柳树和杨树共216棵，杨树的棵数比柳树的3倍多20棵，两种树各种了多少棵？
练习4：
1.粮站有大米和面粉共6300千克，大米的重量比面粉的4倍还多300千克，大
米和面粉各有多少千克？
2.小华和小明两人参加数学竞赛，两人共得168分，小华的得分比小明的2倍
少42分。
两人各得多少分？
【例题5】三个筑路队共筑路1360米，甲队筑的米数是乙队的2倍，乙队比丙队多240米。
三个队各筑多少米？
练习5：
1.三个植树队共植树1900棵，甲队植树的棵数是乙队的2倍，乙队比丙队少植
300棵。
三个队各植树多少棵？
2.三个数的和是1540，甲数是丙数的7倍，乙数比甲数多40。
三个数各是多少？
三、课后作业
1.一块长方形黑板的周长是96分米，长是宽的3倍。
这块长方形黑板的长和宽各是多少分米？
2.商店有铅笔、钢笔、圆珠笔共560支，圆珠笔的支数是钢笔的3倍，铅笔的支数与圆珠笔的支数同样多。
铅笔、钢笔和圆珠笔各有多少支？
3．甲、乙、丙三个修路队共修路1200米，甲队修的米数是乙队的2倍，乙队修的米数是丙队的3倍。
三个队各修了多少米？
4.学校购买了720本图书分给高、中、低三个年级，高年级分得的比低年级的3倍多8本，中年级分得的比低年级的2倍多4本。
高、中、低年级各分得图书多少本？
5.城东小学共有篮球、足球和排球共95个，其中足球比排球少5个，排球的个数是篮球个数的2倍。
篮球、足球、排球各有多少个？
第13讲和倍问题
一、知识要点
已知两个数的和与它们之间的倍数关系，求这两个数是多少的应用题，叫做和倍问题。
解答和倍应用题的基本数量关系是：
和÷（倍数＋1）=小数
小数×倍数=大数
（和－小数=大数）
二、精讲精练
【例题1】学校有科技书和故事书共480本，科技书的本数是故事书的3倍。
两种书各有多少本？
【思路导航】为了便于理解题意，我们画图来分析：
由图可知，如果把故事书的本数看作一份，那么科技书
的本数就是这样的3份，两种书的总本数就是这样的1＋3=4
份。
把480本书平均分成4份，1份是故事书的本数，3份是科技书的本数。
480÷（1＋3）=120（本） 120×3=360（本）.
练习1：
1.用锡和铝制成的合金是720千克，其中铝的重量是锡的5倍。
铝和锡各用了多少千克？
2.甲、乙两数的和是112.甲数除以乙数的商是6，甲、乙两数各是多少？
3.一块长方形黑板的周长是96分米，长是宽的3倍。
这块长方形黑板的长和宽各是多少分米？
【答案】1.铝的质量是600千克，锡的质量是120千克
2.甲是96，乙是16
3.长是36分米，宽是12分米
【例题2】果园里有梨树、桃树和苹果树共1200棵，其中梨树的棵数是苹果树的3倍，桃树的棵数是苹果树的4倍。
求梨树、桃树和苹果树各有多少棵？
【思路导航】如果把苹果树的棵数看作1份，三种树的总棵数是这样的1+3+4=8份。
所以，苹果树有1200÷8=150（棵），梨树有150×3=450（棵），桃树有150×4=600（棵）.
练习2：
1.李大伯养鸡、鸭、鹅共960只，养鸡的只数是鹅的3倍，养鸭的只数是鹅的4倍。
鸡、鸭、鹅各养了多少只？
2.甲、乙、丙三数之和是360，已知甲是乙的3倍，丙是乙的2倍。
求甲、乙、丙各是多少。
3.商店有铅笔、钢笔、圆珠笔共560支，圆珠笔的支数是钢笔的3倍，铅笔的支数与圆珠笔的支数同样多。
铅笔、钢笔和圆珠笔各有多少支？
【答案】1.鸡360只，鸭480只，鹅120只
2.甲是180，乙是60，丙是120
3.铅笔240支，钢笔80支，圆珠笔240支
【例题3】有三个书橱共放了330本书，第二个书橱里的书是第一个的2倍，第三个书橱里的书是第二个的4倍。
每个书橱里各放了多少本书？
【思路导航】把第一个书橱里的本数看作1份，那么第二个书橱里的本数是这样的2份，第三个就是这样的2×4=8份，三个书橱里的总本数就是这样的1+2+8=11份。
所以，第一个书橱里放了
330÷11=30（本），第二个书橱里放了30×2=60（本），第三个书橱里放了60×4=240（本）。
练习3：
1．甲、乙、丙三个数之和是400，已知甲是乙的3倍，丙是甲的4倍。
求甲、乙、丙各是多少。
2．三块钢板共重621千克，第一块的重量是第二块的3倍，第二块的重量是第三块的2倍。
三块钢板各重多少千克？
3．甲、乙、丙三个修路队共修路1200米，甲队修的米数是乙队的2倍，乙队修的数数是丙队的3倍。
三个队各修了多少米？
【答案】1.甲是75，乙是25，丙是300
2.第一块414千克，第二块138千克，第三块69千克
3.甲队修了720米，乙队修了360米，丙队修了120米
【例题4】少先队员种柳树和杨树共216棵，杨树的棵数比柳树的3倍多20棵，两种树各种了多少棵？
【思路导航】如果杨树少种20棵，那么柳树和杨树的总棵数是216－20=196（棵），这里杨树的棵数恰好是柳树的3倍。
所以，柳树的棵数是196÷（1＋3）=49（棵），杨树的棵数是216－49=167（棵）。
练习4：1.粮站有大米和面粉共6300千克，大米的重量比面粉的4倍还多300千克，大米和面粉各有多少千克？
2.小华和小明两人参加数学竞赛，两人共得168分，小华的得分比小明的2倍少42分。
两人各得多少分？
3.学校购买了720本图书分给高、中、低三个年级，高年级分得的比低年级的3倍多8本，中年级分得的比低年级的2倍多4本。
高、中、低年级各分得图书多少本？
【例题5】三个筑路队共筑路1360米，甲队筑的米数是乙队的2倍，乙队比丙队多240米。
三个队各筑多少米？
【思路导航】把乙队的米数看作1份，甲队筑的米数是这样的2份。
假设丙队多筑240米，那么三个队共筑了1360＋240=1600米，正好是乙队的2＋1＋1=4倍。
所以，乙队筑了1600÷4=400米，甲队筑了400×2=800米，丙队筑了400－240=160米。
练习5：1.三个植树队共植树1900棵，甲队植树的棵数是乙队的2倍，乙队比丙队少植300棵。
三个队各植树多少棵？
2.三个数的和是1540，甲数是丙数的7倍，乙数比甲数多40。
三个数各是多少？
3.城东小学共有篮球、足球和排球共95个，其中足球比排球少5个，排球的个数是篮球个数的2倍。
篮球、足球、排球各有多少个？
【答案】1.甲队植树800棵，乙队植树400棵，丙队植树700棵。
2.甲是700，乙是740，丙是100
3.篮球20个，排球40个，足球35个。
小学四年级奥数(和倍与差倍问题)
300+180=480(元)
答:甲、乙两人原来各存款480元。
【例5】三根绳子长度之和是146米，第一根比第二根的2倍少3米，第三根比第二根的3倍少1米。三根绳子长度各是多少米?
分析我们可以假设第一根绳子的长多3米，第三根绳子的长多1米，这时候三根绳子的总长度为146+1+3=150(米)。再把第二根绳子的长度看作1倍数，则第一根的长度为2倍数，第三根绳子的长度为3倍数，三根绳子的总倍数为1+2+3=6倍数，它们所対应的具体数量是150米，这样我们就可以求出1倍数。
解答120÷(3+2+1)=20
20×2=40
20×3=60
答:甲是60、乙是40、丙是20。
【例2】有两堆棋子，第一堆有67个，第二堆有53个，问:从第二堆中拿出多少个棋子放入第一堆，就能使第一堆的棋子是第二堆的5倍?
分析不管两堆棋子怎样移动，棋子的总数是不变的。我们可以从问题入手，移动棋子以后，我们可以把第二堆棋子数看作1倍数，第一堆棋子数是5倍数，一共是5+1=6倍数。6倍数所对应的具体数量是67+53=120(个)，这样我们可以求出1倍数是120÷6=20(个)，也就是移动后的第二堆棋子的数量。再用原来第二堆棋子的数量减去现在第二堆棋子的数量就得到移动的棋子数量。
解答56÷(4×2-1)=8
8×(1+2+8)=88
答:“车十马十炮”等于88。
【例4】甲、乙两人原来的存款数相等。后来甲取出180元后，乙又存入420元，这时乙的存款是甲的3倍。甲、乙两人原来各存款多少元?
分析原来甲、乙的钱数是相等的，后来甲取出180元后，乙又存入420元，说明現在甲、乙的钱数相差180+420=600(元)，而现在他们的倍数相差3-1=2倍。由此我们可以求出现在的1倍是600÷2=300(元)，也就是现在甲的存款数。再用现在的钱数加上取出的钱数就是原来甲的存款数。
四年级奥数系列知识——和倍问题
四年级奥数系列知识（二）和倍问题什么是和倍问题呢？和倍问题是指，如果已知几个数之和是多少，也知道这几个数之间的倍数关系，求这几个数各是多少的问题。
例题一：东村把9800千克粮食分别存放在甲乙两个仓库，存放在甲仓库的粮食是乙仓库的3倍，问甲乙两仓各存粮多少千克？分析：解法:例题二：一个长方形的周长是120厘米，它的长是宽的3倍，这个长方形的面积是多少？分析：解法：例题三：三筐桃子共117个，第一筐是第二筐的2倍，第三筐是第一筐的3倍，这三筐桃子各有多少个？分析：解法：例题四：被除数、除数、商三个数之和是212，已知商是2，其他两个数各是多少？分析：解法：例题五：有两个数之和是682，其中一个加数的个位是0，把这个0去掉的话，就和另一个加数相等了，这两个数原本各是多少？分析：解法：例题六：有两堆棋子，第一堆有67个，第二堆有53个，要从第二堆里取出多少个棋子放入第一堆，才能使第一堆的数量是第二堆的3倍呢？分析：解法：总结：解决和倍问题，一般采用在已知条件中，确定一个量作为标准数，将标准数看做是1倍或者是1份那么多（标准数一般是几个量中最小的那个），然后再观察其他数与标准数之间的倍数关系，从而确定总和相当于几个1份，然后用除法求出1份（标准数）是多少，再算出其他数是多少。
和倍问题的关系式是：和÷（倍数＋1）＝小数小数×倍数＝大数或者是和－小数＝大数思考与练习：（1）长方形周长36分米，已知宽是长的一半，问这个长方形的面积是多少？（2）姐妹两人共有人民币264元，姐姐的钱数的末尾是0，如果去掉这个0，那么姐姐和妹妹的钱数相等，她们各有多少钱?（3）甲乙两人共存款1790元，如果甲取出570元，乙又存入30元，这时乙的钱数比甲的3倍还多50元，甲乙两人原本各有多少存款？（4）两数相除，商3余4，如果被除数、除数、商三个数相加，总和是43，求被除数和除数是多少？。
四年级下册数学试题-奥数专题讲练：第13讲 火车过桥 提高篇(解析版)全国通用
第十三讲火车过桥内容概述过桥问题也是行程问题的一种。
首先要弄清列车通过一座桥是指从车头上桥到车尾离桥。
列车过桥的总路程是桥长加车长，这是解决过桥问题的关键。
过桥问题也要用到一般行程问题的基本数量关系：过桥的路程= 桥长+ 车长车速= （桥长+ 车长）÷过桥时间通过桥的时间=（桥长+ 车长）÷车速桥长= 车速×过桥时间—车长车长= 车速×过桥时间—桥长后三个都是根据第二个关系式逆推出的。
火车过桥又可以细分如下4种情况：⑴火车过桥时间是指从车头上桥起到车尾离桥所用的时间，因此过桥的路程= 桥长+ 车长。
⑵火车与人错身时，忽略人本身的长度，两者路程和=火车本身长度。
⑶火车与火车上的人错身时，只要认为人具备所在火车的速度，而忽略本身的长度，那么他所看到的错车的相应路程仍只是对面火车的长度。
⑷火车与火车错身时，两者路程和=两车车身长度之和。
对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行。
.例题精讲【例1】一列火车长160米，全车通过一座桥需要30秒钟，这列火车每秒行20米,求这座桥的长度.分析：这列车30秒钟走过:20×30=600米，600-160=440米.【前铺】一列客车经过南京长江大桥，大桥长6700米，这列客车长100米，火车每分钟行400米，这列客车经过长江大桥需要多少分钟？分析：教师可帮助学生画图分析.从火车头上桥，到火车尾离桥，这是火车通过这座大桥的全过程，也就是过桥的路程＝桥长+ 车长.通过“过桥的路程”和“车速”就可以求出火车过桥的时间.所以过桥路程：6700 + 100 = 6800（米），过桥时间：6800÷400 = 17（分钟）.【巩固】一列以相同速度行驶的火车，经过一根有信号灯的电线杆用了9秒，通过一座468米长的铁桥用了35秒，这列火车长多少米？分析：火车行驶一个车身长的路程用时9秒，行驶468米长的路程用时35-9=26(秒)，所以火车长468÷26×9=162(米)．【例2】一个车队以５米/秒的速度缓缓通过一座长200米的大桥，共用145秒.已知每辆车长5米，两车间隔８米.问：这个车队共有多少辆车？分析：由“路程=时间×速度”可求出车队145秒行的路程为5×145=725（米），故车队长度为725-200=525（米）.再由植树问题可得车队共有车（525-5）÷（5+8）+1=41（辆）.【例3】一列火车驶过长900米的铁路桥，从车头上桥到车尾离桥共用1分25秒钟，紧接着列车又穿过一条长1800米的隧道，从车头进隧道到车尾离开隧道用了2分40秒钟，求火车的速度及车身的长度？分析：车长+900米=85×车速，车长+1800米=160×车速，列车多行使1800-900=900（米），需要160-85=75秒，说明列车速度为12米/秒，车身长12×85-900=120（米）.【巩固】某列火车通过360米的第一个隧道用了24秒钟，接着通过第二个长216米的隧道用了16秒钟，求这列火车的长度？分析：火车通过第一个隧道比通过第二个隧道多用了8秒，为什么多用8秒呢？原因是第一个隧道比第二个隧道长360—216 = 144（米），这144米正好和8秒相对应，这样可以求出车速为：144÷8 = 18（米）.则火车24秒行进的路程为：18×24 = 432（米）其包括隧道长和火车长，火车长：432—360 = 72（米）.【例4】一列火车的长度是800米，行驶速度为每小时60千米，铁路上有两座隧洞.火车通过第一个隧洞用2分钟；通过第二个隧洞用3分钟；通过这两座隧洞共用6分钟，求两座隧洞之间相距多少米？分析：注意单位换算.火车速度60×1000÷60＝1000（米/分钟）.第一个隧洞长1000×2－800＝1200（米），第二个隧洞长1000×3－800＝2200（米），两个隧洞相距1000×6－1200－2200－800＝1800（米）.【例5】已知一列长200米火车，穿过一个隧道，测得火车从开始进入隧道到完全出来共用60秒，整列火车完全在隧道里面的时间为40秒，求火车的速度？分析：从火车上桥到下桥用60秒走的路程＝桥长＋火车长，完全在桥上的时间40秒走的路程＝桥长－火车长，可知60秒比40秒多20秒，走的路程多两个火车长，即一个车长用时间为20÷2＝10（秒）.车长为200米，所以车速：200÷10＝20（米/秒）.【例6】已知某铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用120秒，整列火车完全在桥上的时间为80秒，求火车的速度和长度？分析：教师可画图帮助学生分析解决.从火车上桥到下桥用120秒走的路程＝桥长＋火车长，完全在桥上80秒走的路程＝桥长－火车长，可知120秒比80秒多40秒，走的路程多两个火车长，即一个车长用时间为40÷2＝20（秒）.则走一个桥长1000米所用时间为：120－20＝100（秒），所以车速：1000÷100＝10（米/秒），火车长：10×20＝200（米）.【例7】一名铁道工人以每秒钟10米的速度沿道边小路行走，（1）身后一辆火车以每秒钟100米的速度超过他，从车头追上铁道工人到车尾离开共用时4秒，那么车长多少米？（2）过了一会，另一辆火车迎面开来，从与铁道工人相遇到离开，共用时3秒.那么车长是多少？分析：（1）画图分析，这是一个追击过程，路程差=速度差×时间，车长即为路程差，360米；（2）路程和=速度和×时间，车长即为路程和，330米.【例8】一列快车全长250米，每秒行15米；一列慢车全长263米，每秒行12米.（1）两列火车相向而行，从车头相遇到车尾离开，要几秒钟？（2）两列火车同向而行，从快车车头追上慢车车尾到快车车尾追上慢车车头，需要几秒钟？分析：（1）这是一个错车的过程，两列车共走的路程是两车车长之和=（250＋263）,两列车的速度和=(15＋12）＝27（米/秒），（250＋263）÷(15＋12）＝19（秒），从车头相遇到车尾离开要19秒.（2）这是一个超车过程，路程差为两车车长和.所以超车时间=（250＋263）÷(15-12）＝171（秒），【例9】某列火车通过342米的隧道用了23秒，接着通过234米的隧道用了17秒，这列火车与另一列长88米，速度为每秒22米的列车错车而过，问需要几秒钟？分析：通过前两个已知条件，我们可以求出火车的车速和火车的车身长。
四年级奥数和倍问题课件
例1：甲、乙两个车间一共生产了机床664 台，而甲车间的产量是乙车间的3倍，问： 两个车间各生产机床多少台？
练习：
1、红旗小学买回来足球和篮球共240个，而买 来的足球是篮球的3倍，问：学校买来足球排球 各多少个？
2、学校师生一共有500人，学生人数是老师人 数的7倍，问：老师和学生各有多少人？
已知大小两个数的和及它们 的倍数关系，求大小两个数的问题 叫和倍问题。
解这类应用题关键是要找准 标准数（即1倍数），一般说来，题 中说是“谁”的几倍，把谁就确定 为标准数。求出倍数和之后，再求 出标准数的数量是多少。根据另一 个数（也可能是几个数）与标准数 的倍数关系，再去求另一个数（或 几个数）的数量。
2、老师买了一批篮球和足球，一共花 了800元，买篮球花的钱是足球的钱的 2倍还多40元钱，问：老师买篮球花了 多少钱？买足球花了多少钱？
3、张伯伯家有苹果和梨一共3000斤， 张伯伯告诉你，苹果的重量是梨的6倍 还多200斤，问张伯伯家有多少斤的苹 果？
4、已知被除数÷除数=7…5，被除数+ 除数=61，求除数是多少？
有甲、乙两个粮仓，甲仓库存粮108吨，乙 仓库存粮140吨，要使甲仓库存粮是乙仓库 的3倍。必须从乙仓库运出多少吨放入甲仓 库？
1、航天电视厂有职工1850人，如果男 职工再增加150人就相当于女职工数的3 倍，求：该厂有男、女职工各多少人？
2、两个数相除，商为8，被除数、除数 与商的和是170，求被除数是多少？
3、三（1）班原有学生42人，开学时又转来了3 名男生，这时男生人数是女生人数的2倍，三 （1）班原有男生多少人？
四年级奥数课后分层作业-第13讲 和倍问题 通用版
四年级奥数重点常考第十三讲和倍问题分层作
业
基础卷
1、白金是由黄金和其他金属制成的.一块白金重168克.其中黄金的重量是其他金属的3倍.黄金和其他金属各有多少克
相当于把全部金属分成四份.黄金占3份.其他金属占1份
结果为：
黄金=168×3÷4=126克
其他金属=168÷4=42克
2、一块长方形菜地的周长是100米.长是宽的4倍.求这块长方形菜地的面积？
100÷2=50（米）.
设宽为x.则长为4x.
4x+x=50.
5x=50.
x=10.
4×10=40（米）.
40×10=400（平方米）；
答：这块长方形菜地的面积是400平方米．
故答案为：400．
3、三块钢板共重1026千克.第一块的重量是第二块的4倍.第三块和第一块一样重.这三块钢板各重多少千克？。
四年级数学奥数第13讲：和倍问题
第13周和倍问题专题简析：已知两个数的和与它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的应用题。
叫和倍问题。
解答和倍问题的基本数量关系：和÷（倍数+1）=小数小数×倍数=大数（和-小数=大数）例题1 学校有科技书和故事书共480种，科技书的本数是故事书的3倍，两种书各有多少本？疯狂操练：1．用锡和铝制成的合金是720千克。
其中铝的重量是锡的5倍，铝和锡各用了多少千克？2．甲、乙两数的和是112，甲数除以乙数的商是6，甲、乙两数各是多少？3．一块长方形黑板的周长是96分米，长是宽的3倍，这块长方形黑板的长和宽各是多少分米？例题2 果园里有梨树、桃树和苹果树共1200棵，其中梨树的棵数是苹果树3倍，桃树的棵数是苹果树的4倍，求梨树、桃树和苹果树各有多少棵？疯狂操练：1．某专业户李大伯养鸡、鸭、鹅共960只，养鸡的只数是鹅的3倍，养鸭的只数是鹅的4倍，鸡、鸭、鹅各养了多少只？2．甲、乙、丙三数之和是360，又知甲为乙的3倍，丙为乙的2倍，求甲、乙、丙各是多少？3．商店有有铅笔、钢笔、圆珠笔共560支，圆珠笔的支数是钢笔的3倍，铅笔的支数和圆珠笔的支数同样多。
铅笔、钢笔、和圆珠笔各有多少支？例题3 有三个书橱共放了330本书，第二个书橱里的书是第一个的2倍，第三个书橱里的书是第二个的4倍，每个书橱里各放了多少本书？疯狂操练：1．甲、乙、丙三个数之和是400，又知甲为乙的3倍，丙为甲的4倍，求甲、乙、丙各是多少？2．三块钢板共重６２１千克，第一块的重量是第二块的３倍，第二块的重量是第三块的２倍。
三块钢板各重多少千克？3．甲、乙、丙三个修路队共修路１２００米，甲队修的米数是乙的２倍，乙队修的米数是丙队的３倍。
三个队各修了多少米？例题 4 少先队员种柳树和杨树共２１６棵，杨树的棵数比柳树的３倍多２０棵，两种树各种了多少棵？疯狂操练：1．粮店有大米和面粉共６３００千克，大米的重量比面粉的４倍还多３００千克，大米和面粉各有多少千克？2．小华和小明两人参加数学竞赛，两人共得１６８分，小华的得分比小明的２倍少４２分，两人各得了多少分？3．学校购买７２０本图书分给高、中、低三个年级，高年级分得的比低年级的３倍多８本，中年级分得的比低年级的２倍多４本。
高斯小学奥数四年级下册含答案第13讲_多次往返相遇与追及
第十三讲多次往返相遇与追及在这一讲中，我们重点学习直线上不断往返的行程问题．在学习新的内容之前，我们先来复习一下原来学过的简单相遇问题与追及问题．简单相遇与追及相遇问题是指两人同时从两个地点出发，向对方所在位置前进，经过一段时间后两人相遇．追及问题是指两人从两个地点出发，朝着同一个方向前进，经过一段时间后一个人追上了另一个人．简单的相遇问题与追及问题的线段图如下所示：相遇时，两人的路程和是A 、B 两地的距离；追及时，两人的路程差是A 、B 两地的距离．其实，一般来说，只要两个人运动方向相反，就是相遇问题（包括相向而行和相背而行）；只要两个人运动方向相同，就是追及问题（同向而行包括追上和超过）．解决行程问题，最基本的方法就是画线段图，寻找相同时间内的路程关系（包括路程和、路程差以及路程的倍数关系）．不同出发点的往返相遇甲、乙两人从A 、B 两地同时出发相向而行，在相遇后两人继续前进，分别到达B 地、A 地后立即折回，这时两人第二次迎面相遇，我们画出线段图如下所示．从线段图中可以发现：当两人第一次迎面相遇时，经过的路程和是A 、B 两地距离（1个全长）；当两人第二次迎面相遇时，经过的路程和是3个全长；当两人第三次迎面相遇时，经过的路程和是5个全长；……即相邻两次相遇之间，两人的路程和恰好等于．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2．个全长．．．．地 甲乙甲乙第二次相遇 第一次相遇例题1小高和墨莫分别从相距60千米的A 、B 两地同时出发，在A 、B 之间不断往返骑车．已知小高骑车的速度是每小时21千米，墨莫骑车的速度是每小时9千米．请问：（1）出发后多长时间，两人第一次迎面相遇？再过多长时间两人第二次迎面相遇？（2）出发后多长时间，两人第四次迎面相遇？第四次迎面相遇的地点距离A 地多少千米？ 「分析」应用我们上面总结的结论，两人从两地出发，第一次相遇时，两人路程和是多少？在第一次迎面相遇和第二次迎面相遇之间，两人路程和又是多少？练习1阿瓜和阿呆分别从相距90千米的A 、B 两地同时出发，在A 、B 之间不断往返骑车．已知阿呆骑车的速度是每小时21千米，阿瓜骑车的速度是每小时24千米．请问：（1）出发后过多长时间两人第二次迎面相遇？再过多长时间两人第五次迎面相遇？不同出发点的往返追及甲、乙两人从A 、B 两地同时出发相向而行，甲到达B 地后立即折回，直至第一次追上乙，我们画出线段图如右下所示：从线段图中可以发现：甲第一次追上乙时，甲和乙的路程差是1个全长；甲第二次追上乙时，甲和乙的路程差是3个全长；甲第三次追上乙时，甲和乙的路程差是5个全长；……即相邻两次追及之间，两人的路程差恰好等于．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2．个全长．．．．．A 地甲乙 第一次追及 第二次追及例题2小高和墨莫分别从相距60千米的A 、B 两地同时出发，在A 、B 之间不断往返骑车．已知小高骑车的速度是每小时21千米，墨莫骑车的速度是每小时9千米．请问：（1）出发后多长时间，小高第一次追上墨莫？再过多长时间小高第三次追上墨莫？（2）出发后多长时间，小高第五次追上墨莫？第五次追上墨莫的地点距离A 地多少千米？ 「分析」应用我们上面总结的结论，两人从两地出发，第一次追上时，两人路程差是多少？在第一次追上和第三次追上之间，两人路程差又是多少？练习2阿瓜和阿呆分别从相距80千米的A 、B 两地同时出发，在A 、B 之间不断往返骑车．已知阿呆骑车的速度是每小时32千米，阿瓜骑车的速度是每小时12千米．请问：（1）出发后多长时间阿呆第一次追上阿瓜？（2）再过多少小时阿呆第三次追上阿瓜？相同出发点的往返相遇甲、乙两人从A 地同时出发同向而行，在A 、B 两地之间不断往返，我们画出两人迎面相遇的线段图．从线段图中可以发现：当两人第一次迎面相遇时，甲和乙的路程和是2个全长；当两人第二次迎面相遇时，甲和乙的路程和是4个全长；当两人第三次迎面相遇时，甲和乙的路程和是6个全长；……即相邻两次相遇之间，两人的路程和恰好等于．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2．个全长．．．．地例题3小高和墨莫同时从A 地出发，在相距60千米的A 、B 两地之间不断往返骑车．已知小高骑车的速度是每小时21千米，墨莫骑车的速度是每小时9千米．请问：（1）出发后多长时间，两人第一次迎面相遇？第一次迎面相遇的地点距离A 地多少千米？（2）出发后多长时间，两人第五次迎面相遇？第五次迎面相遇的地点距离A 地多少千米？ 「分析」应用我们上面总结的结论，两人从同地出发，第一次相遇时，两人路程和是多少？第五次相遇时，两人路程和又是多少？练习3阿呆和阿瓜同时从A 地出发，在相距90千米的A 、B 两地之间不断往返骑车．已知阿呆骑车的速度是每小时24千米，阿瓜骑车的速度是每小时21千米．请问：（1）出发后经过多长时间两人第二次迎面相遇？（2）出发后经过多长时间两人第五次迎面相遇？相同出发点的往返追及甲、乙两人从A 地同时出发同向而行，在A 、B 两地之间不断往返，我们画出两人追及的线段图．从线段图中可以发现，甲第一次追上乙时，甲和乙的路程差是2个全长；而从第一次追及到第二次追及，就跟前面所讨论的“不同出发点的往返追及”一样，路程差依然是2个全长．即相邻两次相遇之间，两人的路程和恰好等于．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2．个全长．．．．例题4小高和墨莫同时从A 地出发，在相距60千米的A 、B 两地之间不断往返骑车．已知小高骑车的速度是每小时21千米，墨莫骑车的速度是每小时9千米．请问：（1）出发后多长时间，小高第一次追上墨莫？第一次追上墨莫的地点距离A 地多少千米？（2）出发后多长时间，小高第五次追上墨莫？第五次追上墨莫的地点距离A 地多少千米？「分析」应用我们上面总结的结论，两人从同地出发，第一次追上时，两人路程差是多少？第五次追上时，两人路程差又是多少？地追及练习4阿呆和阿瓜同时从A地出发，在相距90千米的A、B两地之间不断往返骑车．已知阿呆骑车的速度是每小时30千米，阿瓜骑车的速度是每小时25千米．请问：（1）出发后多长时间阿呆第一次追上阿瓜？（2）出发后多长时间阿呆第三次追上阿瓜？例题5机器猫和机器狗从长为150米的跑道一端同时出发，在跑道上不断往返运动．已知机器猫的速度是每分钟20米，机器狗的速度是每分钟30米．那么在机器猫和机器狗出发后100分钟内，（1）它们共有多少次迎面相遇？（2）机器狗有多少次追上机器猫？「分析」想要算出100分钟内相遇多少次，就要知道它们相遇一次所用的时间．要算出追上多少次，就要知道追上一次所用的时间．例题6A、B两辆汽车从甲、乙两站同时出发，相向而行，在距甲站50千米处两车第一次迎面相遇，相遇后两车继续前进（保持原速）各自到达乙、甲两站后，立即沿原路返回，在距乙站30千米处两车第二次迎面相遇．问：甲、乙两站相距多远？若两车继续前进，则在何处第三次迎面相遇？「分析」出发到第一次相遇、第一次相遇到第二次相遇，这两段时间有什么关系呢？好好思考一下，然后再画线段图分析．课堂内外文人的“反复”宋神宗熙宁二年（1069），王安石当宰相后，决心改革，推行新法，遭到大地主、大官僚的坚决反对，没几年就被罢了官．他在京城闭居无聊，决意回南京去看看妻儿．第二年春天，王安石由汴京南下扬州，又乘船西上回金陵（今苏省南京市），路过于京口（今江苏省镇江市）到了隔江相望的瓜洲时，船靠码头，不再走了．他站在船头上，极目西望，但见青山隐隐，江水滔滔，春风绿野，皓月当空，触景生情，更加怀念起金陵钟山（又名紫金山）的亲人来了．他走进船舶，拿出纸笔，略一思索，就写了一首题名《泊船瓜洲》的诗：京口瓜洲一水间，钟山只隔数重山．春风又到江南岸，明月何时照我还？写完后，王安石觉得“春风又到江南岸”的“到”字太死，看不出春风一到江南是什么景象，缺乏诗意，想了一会，就提笔把“到”字圈去，改为“过”字．后来细想一下，又觉得“过”字不妥．“过”字虽比“到”字生动一些，写出了春风的一掠而过的动态，但要用来表达自己想回金陵的急切之情，仍嫌不足．于是又圈去“过”字，改为“入”字、“满”字．这样改了十多次，王安石仍未找到自己最满意的字．他觉得有些头疼，就走出船舱，观赏风景，让脑子休息一下．王安石走到船头上，眺望江南，春风拂过，青草摇舞，麦浪起伏，更显得生机勃勃，景色如画．他觉得精神一爽，忽见春草碧绿，这个“绿”字，不正是我要找的那个字吗？一个“绿”字把整个江南生机勃勃、春意盎然的动人景象表达出来了．想到这里，王安石好不高兴，连忙奔进船舱，另外取出一张纸，把原诗中“春风又到江南岸”一句，改为“春风又绿江南岸”.为了突出他反复推敲来之不易的那个“绿”字，王安石特地把“绿”写得稍大一些，显得十分醒目．一个“绿”字使全诗大为生色，全诗都活了.这个“绿”字就成了后人所说的“诗眼”．后来许多谈炼字的文章，都以他为例．作业1.甲、乙两人分别从相距70千米的A、B两地同时出发，在A、B之间不断往返骑车．已知甲骑车的速度是每小时15千米，乙骑车的速度是每小时20千米．请问：（1）经过多少小时两人第二次迎面相遇？（2）再过多少小时两人第四次迎面相遇？2.甲、乙两人分别从相距9千米的A、B两地同时出发，在A、B之间不断往返骑车．已知甲骑车的速度是每小时25千米，乙骑车的速度是每小时10千米．出发后多少小时，甲第三次追上乙，追及的地点距离A多少千米？3.甲、乙两人同时从A地出发，在相距6千米的A、B两地之间不断往返骑车．已知甲骑车的速度是每小时30千米，乙骑车的速度是每小时24千米．请问：（1）经过多少小时甲第三次追上乙？（2）再过多少小时甲第四次追上乙？4.甲、乙两人同时从A地出发，在相距70千米的A、B两地之间不断往返骑车．已知甲骑车的速度是每小时15千米，乙骑车的速度是每小时20千米．请问：（1）经过多少小时两人第五次迎面相遇？（2）第五次迎面相遇地点距离A地多少千米？5.兔子和乌龟同时从A地出发，在相距500米的A、B两地之间不断往返骑车．已知兔子的速度是每分钟40米，乌龟的速度是每分钟60米．在出发的半小时内，他们一共迎面相遇多少次？第十三讲多次往返相遇与追及1.例题1答案：（1）2小时，4小时；（2）14小时，54千米详解：（1）第一次迎面相遇两人的路程和是1个全长，时间是()÷+=小602192时．从第一次相遇到第二次迎面相遇，两人的路程和是2个全长，时间应该是224⨯=小时．（2）从出发到第四次迎面相遇，两人的路程和是12227+++=个全长，时间是7214⨯=千米，⨯=小时．其中墨莫从B地出发走了149126-=千米．1266026÷=，所以相遇地点离A地606542.例题2答案：（1）5小时，20小时；（2）45小时，15千米详解：（1）第一次追上，两人的路程差是1个全长，时间是()÷-=小602195时，从第一次追上到第三次追上，两人的路程差是224+=个全长，时间是4520⨯=小时．（2）从出发到第五次追上，两人的路程差是2519⨯-=个全长，时间是⨯=千米，9545⨯=小时．其中墨莫从B地出发走的路程是459205-=千米．÷=，所以追及地点距离A点60451540560653.例题3答案：（1）4小时，36千米；（2）50小时，60千米详解：（1）第一次迎面相遇，两人的路程和是2个全长，相遇时间是()⨯=千米，相遇地点⨯÷+=小时，其中墨莫从A出发走了49366022194距A地36千米．（2）相邻两次相遇的路程和都是2个全长，从出发到第五次相遇两人相遇时间是4520÷=，⨯=千米，180603⨯=小时．墨莫从A出发走了209180所以相遇地点距A地60千米．4.例题4答案：（1）10小时，30千米；（2）50小时，30千米详解：（1）第一次追上，两人的路程差是2个全长，时间是()60221910⨯÷-=小时．此时墨莫从A出发走了91090÷=，追上地点⨯=千米，9060130距离A地603030-=千米．（2）相邻两次追及的路程差是2个全长，追上1次需要10小时，追上5次需要51050⨯=小时，此时墨莫走了509450⨯=千米，45060730÷=，追上地点距离A 地603030-=千米．5. 例题5答案：（1）16次；（2）3次详解：（1）从同一地点出发，相邻两次相遇的路程和为2个全长，需要()150220306⨯÷+=分钟；1006164÷=，所以一共有16次迎面相遇． （2）从同一地点出发，相邻两次追及的路程差为2个全长，需要()1502302030⨯÷-=分钟，10030310÷=，所以一共追上3次． 6. 例题6答案：120千米；距甲地10千米处详解：如图所示，第一次迎面相遇，A 、B 两车合走了1个全长，其中A 走了50千米．从第一次相遇到第二次迎面相遇，两车合走了2个全长，按倍数关系，A 车应该走100千米，图中粗线表示的距离是1003070-=千米．所以甲、乙两站相距5070120+=千米．从第二次到第三次相遇，A 要走100米，所以在距甲10米处第三次相遇．（或者是从出发到第三次相遇，两车合走5个全长，A 车共走550250⨯=千米，250120210÷=，距甲地10千米第三次相遇．）7. 练习1答案：6小时；12小时详解：（1）从出发到第二次迎面相遇，路程和是3个全长，即390270⨯=千米，所以时间为()27021246÷+=小时；（2）从第二次相遇到第五次迎面相遇，路程和是6个全长，即690540⨯=千米，所以时间为()540212412÷+=小时．8. 练习2答案：4小时；16小时甲乙B详解：（1）从出发到第一次追上，路程差是1个全长，即80千米，所以时间为()8032124÷-=小时；（2）从第一次追上到第三次追上，路程差是4个全长，即320千米，所以时间为()320321216÷-=小时．9. 练习3答案：8小时；20小时简答：（1）从出发到第二次迎面相遇，路程和是4个全长，即490360⨯=千米，所以时间为()36021248÷+=小时；（2）从出发到第五次迎面相遇，路程和是10个全长，即1090900⨯=千米，所以时间为()900212420÷+=小时．10. 练习4答案：36小时；108小时简答：（1）从出发到第一次追上，路程差是2个全长，所以时间为()290302536⨯÷-=小时；（2）从出发到第三次追上，路程差是6个全长，所以时间为()6903025108⨯÷-=小时．11. 作业1答案：6；8简答：（1）从出发到两人第二次相遇，两人的路程和是3个全长，所以一共用时()70315206⨯÷+=小时；（2）从第二次相遇到第四次相遇之间，两人的路程和是4个全长，所以用时8小时．12. 作业2答案：3小时；3千米简答：第三次追及时，两人的路程差为9545⨯=千米；追及时间为()4525103÷-=小时；甲一共骑了32575⨯=千米；7598÷=⋅⋅⋅3，距离A 地3千米．13. 作业3答案：6；2简答：从出发到第三次追及，两人的路程差等于6个全长，用时()6630246⨯÷-=小时．从第三次追及到第四次追及期间，两人的路程差等于2个全长，用时2小时．14.作业4答案：20；20简答：从出发到第五次相遇，两人的路程和为10个全长，一共用时()÷=，⨯÷+=小时；此时甲一共骑行了300千米，30070420 7010152020距离A地20千米．15.作业5答案：3简答：从同一地点出发，第一次迎面相遇两人的路程和是2个全长，时间是()5002406010⨯÷+=分钟．相邻两次之间迎面相遇的时间都是10分钟，半小时内会有3次迎面相遇．。
高斯小学奥数四年级上册含答案第13讲_变倍问题
第十三讲变倍问题大家在前面的学习中已经掌握了基本和倍、差倍、和差等问题的解法．对于基本和差倍问题，可以根据已知条件直接画出线段图．而对于有些较复杂的和差倍问题，我们往往需要先分析题目中的隐藏条件，找到各个数量之间的和差倍关系，然后再通过画线段图等方法求解．之前学过的题目一般只涉及两个量的一种倍数关系，这时“1”份的量较容易确定．如果已知条件涉及多个量的倍数关系，或是两个量之间的倍数关系发生了变化，这时选择哪个量作为“1”份量就是解题的关键了．如果设为“1”份不好算，还可以选择一个合适的数设为多份．例题1学校门口放有红、黄、蓝三种颜色的花，其中黄花的盆数最多，是红花的4倍，是蓝花的3倍，已知蓝花比红花多20盆．请问：学校门口一共有多少盆花？「分析」黄花盆数是红花的4倍，是蓝花的3倍．红花、蓝花都与黄花有倍数关系，我们应该把黄花设为几份呢？练习1暑假里，心灵手巧的萱萱折了很多纸鹤，做了一面漂亮的纸鹤帘隔开客厅跟门厅．纸鹤帘以粉色和黄色的纸鹤做背景，绿色的纸鹤排列成一个“家”字．其中粉色的纸鹤比较多，既是黄色纸鹤的3倍，又是绿色纸鹤的5倍，如果绿色和黄色的纸鹤一共240个，那么萱萱的这面纸鹤帘一共有多少个纸鹤？例题2雷老师和刘老师运动归来，非常饿，于是各吃了几碗面，此时刘老师吃的面是雷老师的3倍，过了会儿，雷老师觉得不过瘾，又吃了3碗，于是刘老师吃的面只有雷老师的2倍了，请问刘老师吃了几碗面？「分析」雷老师又吃了3碗，雷老师吃的数量发生了变化，但是刘老师吃的数量没变，我们把不变的量设为多少呢？在例题2中刘老师吃的面一直没有变化，我们把它叫作不变量．．．．不变量往往是解决问题的关键．这道题用的是“不变量设多份”的方法，也就是说根据题目的特点，把题中的不变量统一成一个便于计算的份数．只要这个份数设得好，解题就会很轻松了．练习2小矮人和绿巨人比身高，绿巨人的身高是小矮人的3倍．后来小矮人从巫婆那里获得了生长剂，结果长了30厘米，而绿巨人却没有再长高，此时绿巨人的身高只有小矮人的2倍．请问小矮人和绿巨人原来分别有多高？给来给去和不变，同增同减差不变．把不变量设为多份是解决变倍问题时常用的突破口．例题3有两个箱子，红色箱子装的是红球，绿色箱子装的是绿球．红球的数量是绿球数量的3倍．从红色箱子中拿出10个球放入绿色箱子中，这时红色箱子球的数量是绿色箱子球的数量的2倍．那么现在红色、绿色两个箱子各有多少个球？「分析」从红色箱子中拿出10个放入绿色箱子里，两个箱子里的球数都发生了变化，那到底有没有不变量，什么不变呢？我们又该把这个不变量设为几份呢？练习3阿呆和阿瓜一起搬砖，原计划阿呆搬其中的一些，阿瓜搬剩余的砖．那么阿呆所搬的砖数是阿瓜的5倍；如果阿瓜帮阿呆搬10块，那么阿呆所搬的砖数是阿瓜的4倍．请问：原计划阿呆搬多少块砖？阿瓜搬多少块砖？例题4高思学校小学部与初中部老师们为希望小学的孩子们捐书，小学部的捐书量是初中部的6倍，若两个部门各增加30本，则小学部的捐书量是初中部的4倍，两个部门原来各捐书多少本？「分析」两个部门各增加30本，那么两个部门的捐书量都发生了变化，但什么没有变呢？我们把它设为几份容易计算呢？练习4熊大和熊二比赛吃蜂窝，一开始熊大吃的个数是熊二的4倍，熊大和熊二之后又分别吃了10个，此时熊大吃的个数只有熊二的2倍．请问最后熊大和熊二分别吃了多少个蜂窝？例题5王老师和麦兜比赛抢包子，一开始王老师包子的总个数是麦兜的3倍，麦兜趁王老师不注意，从王老师的手里抢走了100个包子，结果麦兜包子的总个数变成了王老师的2倍．请问王老师和麦兜原来分别有多少的包子？「分析」先找不变量，要仔细读题，注意倍数关系，千万别弄反哦！例题6阿呆和阿瓜一起搬砖，原计划阿呆搬其中的一些，阿瓜搬剩余的砖．如果阿呆帮阿瓜搬10块，那么阿呆所搬的砖数是阿瓜的5倍；如果阿瓜帮阿呆搬10块，那么阿呆所搬的砖数是阿瓜的2倍．请问：原计划阿呆搬多少块砖？阿瓜搬多少块砖？「分析」无论是阿呆帮阿瓜搬，还是阿瓜帮阿呆搬，砖的总数都是不变的．我们能不能用之前的方法把不变的总数设为多份呢？课堂内外最高级别的不变量一、光速不变理论真空中的光速对任何观察者来说都是相同的．光速不变原理，在狭义相对论中，指的是无论在何种惯性系（惯性参照系）中观察，光在真空中的传播速度都是一个常数，不随光源和观察者所在参考系的相对运动而改变．这个数值是299,792,458 米/秒．二、能量守恒定律能量守恒定律是在5个国家、由各种不同职业的10余位科学家从不同侧面各自独立发现的．其中迈尔（德国医生）、焦耳（英国物理学家）、亥姆霍兹（德国物理学家、生理学家）是主要贡献者．能量守恒定律：能量既不会消灭，也不会创生，它只会从一种形式转化为其他形式，或者从一个物体转移到另一个物体，而在转化和转移的过程中，能量的总量保持不变．作业1.风老师、雨老师、云老师比赛吃包子，风老师吃的包子个数是雨老师的5倍，还是云老师的3倍．其中云老师比雨老师多吃了100个包子．请问风老师吃了多少个包子？2.李师傅有大小两种型号的零件，其中大型号的零件个数是小型号的3倍，李师傅使用了10个小型号的零件，使得大型号的零件个数变成了小型号的4倍．请问李师傅原来有多少个小型号的零件？3.河马和犀牛是好朋友，他们经常派家里养的信鸽给对方送信．河马家信鸽的数量是犀牛家的3倍，但某次河马出远门不小心忘记了锁鸽笼，结果等它回来时，已经有10只信鸽飞到了犀牛家，这时河马家的信鸽数量就只有犀牛家的2倍了．请问犀牛家原本养了多少只信鸽？4.花园里开着一些红花和黄花．红花的朵数是黄花的3倍．秋天到了，花儿凋谢了．红花和黄花各自减少了60朵．这时剩余的红花朵数是黄花的6倍．请问还剩下多少朵红花？5.兄弟两人分压岁钱，一开始哥哥的钱是弟弟的3倍，后来哥哥给了弟弟20元，结果弟弟的钱是哥哥的2倍．请问两人一共有多少元压岁钱？第十三讲变倍问题1.例题1答案：380盆详解：设黄花的盆数是“12”，红花的盆数就是“3”，蓝花的盆数就是“4”，蓝花比红花多20盆，即“1”为20盆．学校一共有花“19”，即1920380⨯=盆．2.例题2答案：18碗详解：刘老师是不变量，设刘老师吃的面是“6”，则雷老师一开始吃了“2”，后来吃了“3”，即“1”为3碗，所以刘老师吃了“6”3618=⨯=碗．3.例题3答案：红箱子80个球，绿箱子40个球详解：给来给去和不变，设两个箱的球一共有“12”，则原来绿箱子有球“3”，红箱子有球“9”，后来绿箱子有球“4”，红箱子有球“8”，绿箱子的球增加了“1”即10个球，所以现在绿箱子有球“4”10440=⨯=个．=⨯=个，红箱子有球“8”108804.例题4答案：小学部270本，初中部45本详解：同增同减差不变，设小学部的捐书量与初中部捐书量之差为“15”，则原来初中部捐书“3”，小学部捐书“18”，后来初中部捐书“5”，小学部捐书“20”，初中部和小学部都是增加了“2”即30本书，所以“1”为15本．初中部原来捐书“3”31545=⨯=本，小学部原来捐书“18”=⨯=本．18152705.例题5答案：王老师180个，麦兜60个详解：给来给去和不变，设包子的总个数是“12”，则原来麦兜的包子个数是“3”，王老师的包子个数是“9”，后来王老师的包子个数是“4”，麦兜的包子个数是“8”，麦兜增加了“5”即抢来的100个包子，所以“1”为20个．那么王老师原来有包子“9”920180=⨯=个，麦兜原来有“3”32060=⨯=个．6.例题6答案：阿呆搬90块，阿瓜搬30块详解：给来给去和不变，设阿呆和阿瓜一共搬了“6”，如果阿呆帮阿瓜搬，则阿瓜搬了“1”，阿呆搬了“5”；如果阿瓜帮阿呆搬，则阿瓜搬了“2”，阿呆搬了“4”．阿呆帮阿瓜搬，相当于比阿呆自己实际应该搬的多10块，而阿瓜帮阿呆搬，相当于比阿呆自己实际应该搬的少10块，所以阿呆减少的“1”相当于20块．而当阿呆帮阿瓜搬时，阿瓜搬了“1”12020=⨯=块，阿呆搬了“5”520100=⨯=块．原计划阿瓜搬201030-=块．+=块，阿呆搬10010907.练习1答案：690个详解：设粉色纸鹤数量是“15”，则黄色纸鹤是“5”，绿色纸鹤是“3”，绿色和黄色纸鹤一共240个，即“8”为240个，所以“1”为30个．三种颜色的纸鹤一共有“23”，即2330690⨯=个．8.练习2答案：小矮人60厘米，绿巨人180厘米详解：绿巨人是不变量，设绿巨人身高是“6”，则小矮人一开始身高“2”，后来身高“3”，即“1”为30厘米，所以原来小矮人身高“2”23060=⨯==⨯=厘米，绿巨人身高“6”630180厘米．9.练习3答案：阿呆250块，阿瓜50块简答：给来给去和不变，设两个人所搬的砖一共有“30”，则原计划阿瓜搬砖“5”，阿呆搬砖“25”，后来阿瓜搬砖“6”，阿呆搬砖“24”，阿瓜的砖增加了“1”即10块，所以原计划阿瓜搬砖“5”=⨯=块，阿呆搬砖“25”1025250=⨯=块．1055010.练习4答案：熊大30个，熊二15个简答：同增同减差不变，设熊大熊二所吃蜂窝数量之差为“3”，则原来熊二吃蜂窝数量为“1”，熊大吃蜂窝数量为“4”，后来熊二吃蜂窝数量为“3”，熊大吃蜂窝数量为“6”，熊大和熊二都是增加了“2”即10个蜂窝，所以“1”为5个．后来熊二吃蜂窝数量为“3”3515=⨯=个，熊大吃蜂窝数量为“6”6530=⨯=个．11.作业1答案：750个简答：设风老师吃的包子是“15”，则雨老师吃的是“3”，云老师吃的是“5”，云老师比雨老师多吃“2”，即100个包子，所以“1”100250=⨯=个包子．=÷=个．风老师吃了“15”155075012.作业2答案：40个简答：设大型号零件的个数是“12”，所以小型号零件原来的个数是“4”，后来是“3”，减少的“1”，即10个．李师傅原来有“4”41040=⨯=个小型号的零件．13.作业3答案：30只简答：由于信鸽的总数量不变，所以设信鸽的总数量是“12”，一开始犀牛家的信鸽数量是“3”，河马家的信鸽数量是“9”，后来犀牛家的信鸽数量是“4”，河马家的信鸽数量是“8”．犀牛家的信鸽数量增加“1”，即10只，所以“1”=10只．犀牛家原来有“3”31030=⨯=只信鸽．14.作业4答案：240朵简答：由于红花和黄花相差的数量是不变的，所以设红花的朵数与黄花的朵数之差是“10”，一开始黄花有“5”，红花有“15”，剩下的黄花有“2”，剩下的红花有“12”．红花和黄花分别减少了“3”，即60朵，所以“1”即20朵．剩下的红花有“12”2012240=⨯=朵．15.作业5答案：48元简答：由于哥哥和弟弟压岁钱的总数不变，所以设压岁钱的总数是“12”份，一开始弟弟有“3”，哥哥有“9”，后来哥哥有“4”，弟弟有“8”．弟弟增加的“5”，即20元，所以“1”2054=÷=元．两人一共有“12”41248=⨯=元压岁钱．。
小学四年级奥数教学ppt课件：和倍问题
35岁的时候，他还没有娶到媳妇。即使是离异的有孩子的
女人也看不上他。因为他只有一间土屋，随时有可能在一场大
雨后倒塌。娶不上老婆的男人，在农村是没有人看得起的。
但他还想搏一搏，就四处借钱买一辆手扶拖拉机。不料，
上路不到半个月，这辆拖拉机就载着他冲入一条河里。他断了
一条腿，成了瘸子。而那拖拉机，被人捞起来，已经支离破碎，
他只能拆开它，当作废铁卖。
几乎所有的人都说他这辈子完了。
但是后来他却成了我所在的这个城市里的一家公司的老总，
手中有两亿元的资产。现在，许多人都知道他苦难的过去和富
有传奇色彩的创业经历。许多-
记者问他："在苦难的日子里，你凭什么一次又一次毫不退缩？ "
他坐在宽大豪华的老板台后面，喝完了手里的一杯水。然
后，他把玻璃杯子握在手里，反问记者："如果我松手，这只杯
子会怎样？"
记者说："摔在地上，碎了。"
"那我们试试看。"他说。
他手一松，杯子掉到地上发出清脆的声音，但并没有破碎，
而是完好无损。他说："即使有10个人在场，他们都会认为这
只杯子必碎无疑。但是，这只杯子不是普通的玻璃杯，而是用
例1：甲、乙两个车间一共生产了机床664 台，而甲车间的产量是乙车间的3倍，问： 两个车间各生产机床多少台？
练习： 1、红旗小学买回来足球和篮球共240个，
而买来的足球是篮球的3倍，问：学校买来 足球排球各多少个？ 2、学校师生一共有500人，学生人数是老 师人数的7倍，问：老师和学生各有多少人？ 3、三（1）班原有学生42人，开学时又转 来了3名男生，这时男生人数是女生人数的 2倍，三（1）班原有男生多少人？
四年级竞赛培优举一反三课件第13讲 和倍问题
【例题2】少先队员种柳树和杨树共216棵，杨 树的棵数比柳树的3倍多20棵，两种树各种 了多少棵？
【思路导航】如果杨树少种20棵，那么柳树和杨树的 总棵数是216－20=196（棵），这里杨树的棵数恰 好是柳树的3倍。所以，柳树的棵数是196÷（1＋3 ）=49（棵），杨树的棵数是216－49=167（棵） 。
【例题4】 果园里有梨树、桃树和苹果树共 1200棵，其中梨树的棵数是苹果树的3倍， 桃树的棵数是苹果树的4倍。求梨树、桃树和 苹果树各有多少棵？
【思路导航】如果把苹果树的棵数看作1份，三种树 的总棵数是这样的1+3+4=8份。所以，苹果树有 1200÷8=150（棵），梨树有150×3=450（棵） ，桃树有150×4=600（棵）.
【例题3】有三个书橱共放了330本书，第二个 书橱里的书是第一个的2倍，第三个书橱里的 书是第二个的4倍。每个书橱里各放了多少本 书？
【思路导航】把第一个书橱里的本数看作1份，那么 第二个书橱里的本数是这样的2份，第三个就是这 样的2×4=8份，三个书橱里的总本数就是这样的 1+2+8=11份。所以，第一个书橱里放了 330÷11=30（本），第二个书橱里放了30×2=60（ 本），第源自个书橱里放了60×4=240（本）。
第13讲 和倍问 题
已知两个数的和与它们之间的倍数关系，求 这两个数是多少的应用题，叫做和倍问题。 解答和倍应用题的基本数量关系是： 和÷（倍数＋1）=小数 小数×倍数=大数 （和－小数=大数）
【例题1】 学校有科技书和故事书共480本， 科技书的本数是故事书的3倍。两种书各有多 少本？
【思路导航】为了便于理解题意，我们画图来分析： 由图可知，如果把故事书的本数看作一份，那么科技 书的本数就是这样的3份，两种书的总本数就是这 样的1＋3=4份。把480本书平均分成4份，1份是故 事书的本数，3份是科技书的本数。 480÷（1＋3）=120（本） 120×3=360（本）.