小学四年级奥数讲义
小学四年级奥数教程30讲(经典讲解)
小学奥数基础教程（四年级）第1讲速算与巧算（一）第2讲速算与巧算（二）第3讲高斯求和第4讲 4，8，9整除的数的特征第5讲弃九法第6讲数的整除性（二）第7讲找规律（一）第8讲找规律（二）第9讲数字谜（一）第10讲数字谜（二）第11讲归一问题与归总问题第12讲年龄问题第13讲鸡兔同笼问题与假设法第14讲盈亏问题与比较法（一）第15讲盈亏问题与比较法（二）第16讲数阵图（一）第17讲数阵图（二）第18讲数阵图（三）第19将乘法原理第20讲加法原理（一）第21讲加法原理（二）第22讲还原问题（一）第23讲还原问题（二）第24讲页码问题第25讲智取火柴第26讲逻辑问题（一）第27讲逻辑问题（二）第28讲最不利原则第29讲抽屉原理（一）第30讲抽屉原理（二）第1讲速算与巧算（一）计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。
准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。
我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法，本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补速算法。
例1 四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验的成绩（分数）如下：86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。
求这10名同学的总分。
分析与解：通常的做法是将这10个数直接相加，但这些数杂乱无章，直接相加既繁且易错。
观察这些数不难发现，这些数虽然大小不等，但相差不大。
我们可以选择一个适当的数作“基准”，比如以“80”作基准，这10个数与80的差如下：6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”号表示这个数比80小。
于是得到总和=80×10＋（6-2-3＋3＋11-＝800＋9＝809。
实际计算时只需口算，将这些数与80的差逐一累加。
为了清楚起见，将这一过程表示如下：通过口算，得到差数累加为9，再加上80×10，就可口算出结果为809。
四年级奥数讲义
四年级奥数讲义本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March第一讲和倍问题知识点：已知两个量的和与这两个量的倍数关系，要我们求这两个量分别是几。
和÷（倍数+1）= 较小数；较小数 × 倍数= 较大数；和－较小数= 较大数例1：甲、乙两个仓库共存货物960吨，已知甲仓库所存货物是乙仓库的2倍，问甲、乙两个仓库各存货物多少吨？例2：果园里有梨树，苹果树和桃树共1800棵，其中梨树的棵数是苹果树的2倍，桃树的棵数是苹果树的2倍，问三种树各多少棵例3：学校里的足球只数是排球的3倍，篮球的只数是排球的5倍，足球和篮球共72只，问三种球各多少只？例4：三块钢板共重207千克，第一块的重量是第二块的3倍，第二块的重量是第三块的2倍，第三块钢板重多少千克？例5：某小学购进红粉笔和白粉笔共244盒，购进的白粉笔比红粉笔的7倍少12盒，问购进红粉笔、白粉笔各多少盒？例6：两箱茶叶共重88千克，如果从甲箱取15千克放入乙箱，那么乙箱的重量是甲箱的3倍，问两箱原有茶叶各多少千克？例7：甲水池有水1500升，乙水池有水1200升，每分钟从甲水池流入乙水池25升水，问多少分钟后乙水池的水是甲水池的2倍？自我检测：填空。
小红和妈妈的年龄加在一起是40岁，妈妈的年龄是小红年龄的4倍。
妈妈岁，小红岁。
生产队养公鸡、母鸡共404只，其中公鸡是母鸡的3倍。
公鸡有只，母鸡有只。
小明买语文本和数学本共25本，其中语文本比数学本的2倍多4本，语文练习本买了本，数学练习本买了本。
师傅和徒弟一共生产零件190个，师傅生产的个数比徒弟的3倍少10个。
徒弟生产零件个，师傅生产零件个。
A、B两人同时从学校出发相背而行，2小时共行48千米，A的速度是B的2倍，求A的速度是，B的速度是。
一块长方形木板，长是宽的2倍，周长是54厘米。
这块长方形木板的长是厘米，宽是厘米，面积是平方厘米。
四年级全册奥数精品讲义1-20讲(全册奥数)
目录◆第一讲找规律（一） (2)◆第二讲找规律（二） (5)◆第三讲长方形和正方形（一） (8)◆第四讲长方形和正方形（二） (11)◆第五讲算式谜（一） (14)◆第六讲算式谜（二） (17)◆第七讲植树问题（一） (19)◆第八讲植树问题（二） (22)◆能力测试（一） (25)◆第九讲和差问题（一） (28)◆第十讲和倍问题（一） (31)◆第十一讲和倍问题（二） (33)◆第十二讲差倍问题 (35)◆第十三讲年龄问题（一） (38)◆第十四讲年龄问题（二） (41)◆第十五讲还原问题（一） (43)◆第十六讲还原问题（二） (45)◆能力测试（二） (48)◆第17讲周期问题（一） (2)◆第18讲周期问题（二） (7)◆第19讲假设问题（一） (12)◆第20讲假设问题（二） (16)◆第21讲计数问题（一） (17)◆第22讲计数问题（二） (19)◆第23讲容斥问题（一） (23)◆第24讲容斥问题（二） (26)◆能力测试（一） (26)◆第25讲行程问题（一） (28)◆第26讲行程问题（二） (31)◆第27讲平均数问题 (35)◆第28讲推理问题（一） (37)◆第29讲推理问题（二） (39)◆第30讲巧算（一） (40)◆第31讲巧算（二） (45)◆第32讲巧算（二） (45)◆第33讲巧算（三） (45)◆第34讲等量代换 (45)◆第35讲拼拼算算 (45)◆能力测试（二） (63)第一讲 找规律（一）事物的发展中有规律的，只有认为观察事物，找到事物发展变化的规律，才能深入地了解和掌握它，从而找到解决问题的方法和途径。
在数学竞赛中，常常出现按规律填数的题目，找规律的方法是根据已知数的前后（可上下）之间的联系，找出其中的规律。
例题与方法例1． 请找出下列各组数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。
（1）1，5，9，13，（ ），21，25。
（2）3，6，12，24，（ ），96，192。
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四年级奥数讲义 (2)一、新定义运算 (2)二、数列 (3)三、数字谜 (4)四、数阵图 (4)五、归一问题 (4)六、平均数问题 (5)七、鸡兔同笼问题 (6)八、钉子板上的计数 (7)九、格点与面积 (8)十、数、线段与长方形 (11)十一、组合图形的计数 (13)十二、流水行程问题 (13)十三、火车过桥问题 (15)十四、追及问题 (17)十五、相遇问题 (18)十六、猜对错问题 (20)十七、说谎问题 (22)十八、整数中的推理问题 (24)十九、盈不足问题 (25)四年级奥数讲义一、新定义运算1. 设b a ,表示两个不同的数,规定b a b a 43+=∆，求6)78(∆∆。
2. 定义运算⊖为a ⊖b =5×)(b a b a +-⨯，求11⊖12。
3. b a ,表示两个数,记为:a ※b =2×b b a 41-⨯，求8※(4※16)。
4. 设y x ,为两个不同的数,规定x □y 4)(÷+=y x ，求a □16=10中a 的值。
5. 规定a ba b a b +⨯=，求2 10 10的值。
6. 定义新运算x ⊕y x y 1+=，求3⊕(2⊕4)的值。
7. 有一个数学运算符号“⊗”,使下列算式成立:4⊗8=16，10⊗6=26，6⊗10=22，18⊗14=50，求7⊗3=?8. “▽”表示一种新运算,它表示:)8)(1(11+++=∇y x xy y x ，求3▽5的值。
9. b a b a b a ÷+=∆,在6)15(=∆∆x 中，求x 的值。
10. 规定xyy x xA y x ++=∆,而且1∆2=2∆3，求3∆4的值。
二、数列1. 把一堆苹果分给8个朋友,要使每个人都能拿到苹果,而且每个人拿到苹果个数都不同的话,这堆苹果至少应该有 个。
2. 图中是一个堆放铅笔的V 形架,如果最上面一层放60支铅笔。
问一共有 支铅笔。
3. 全部两位数的和是 。
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7.把一条长 15cm 的线段截为三段，使每条线段的长度是整数，用这三条线 段可以组成多少个不同的三角形？（当且仅当两三角形的三条边可以对应相等 时，我们称这两个三角形是相同的.）
如果 M 位上放置标有数码“3”的纸片，一共有_____种不同的放置方法.
M
4.如下图,在 2×2 方格中,画一条直线最多可穿过 3 个方格,在 3×3 方格中, 画一条直线最多可穿过 5 个方格.那么 10×10 方格中,画一条直线最多可穿过 _____个方格.
5. 有一批长度分别为 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 和 11 厘米的细木条,它们的 数量都足够多,从中适当选取 3 根木条作为三条边.可围成一个三角形,如果规定 底边是 11 厘米长,你能围成多少个不同的三角形?
第一讲 加乘原理
加法原理：完成一件工作共有 N 类方法。在第一类方法中有 m1种不同的方法，在第二 类方法中有 m2种不同的方法，……，在第 N 类方法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件工 作共有 N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn 种不同方法。
运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏。要求每一类中的每一种方法都可以 独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任 何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)。合理分类也是运用加法原理解决问题的难点，不 同的问题，分类的标准往往不同，需要积累一定的解题经验。
这两个基本原理是排列和组合的基础，教学时要先通过生活中浅显的实例，如购物问题、 行程问题、搭配问题等，帮助孩子理解两个原理，再让孩子学习运用原理解决问题。
四年级奥数培优讲义上下册
目录第一章趣题与智巧（一）····························································第一讲找规律（一）··························································第二讲找规律（二）··························································第二章数与计算（一）······························································第一讲巧妙求和（一）························································第二讲变化规律（一）························································第三讲变化规律（二）························································第三章空间与图形·································································第一讲图形问题·····························································第二讲数数图形（一）························································第三讲数数图形（二）························································第四章实践与应用·································································第一讲应用题（一）··························································第二讲和倍问题·····························································第三讲植树问题·····························································第五章数与计算（二）······························································第一讲错中求解·····························································第二讲巧妙求和·····························································第六章趣题与智巧（二）····························································第一讲算式迷（一）··························································第二讲算式迷（二）··························································第七章组合与推理·································································第一讲简单推理·····························································第二讲最优化问题···························································第三讲简单列举·····························································第一章趣题与智巧（一）第一讲找规律（一）【一】找规律填数：2，4，6，8，，12练习1、1，3，5，7，，112、0，5，10，，20，25【二】找规律填数：18，15，，9，6，练习1、100，98，，，92，902、120，110，，，80，70【三】先找出下列数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。
（四年级）小学数学奥数基础教程-30讲全
（四年级）小学数学奥数基础教程-30讲全小学奥数基础教程（四年级）第1讲速算与巧算（一）第2讲速算与巧算（二）第3讲高斯求和第4讲 4，8，9整除的数的特征第5讲弃九法第6讲数的整除性（二）第7讲找规律（一）第8讲找规律（二）第9讲数字谜（一）第10讲数字谜（二）第11讲归一问题与归总问题第12讲年龄问题第13讲鸡兔同笼问题与假设法第14讲盈亏问题与比较法（一）第15讲盈亏问题与比较法（二）第16讲数阵图（一）第17讲数阵图（二）第18讲数阵图（三）第19将乘法原理第20讲加法原理（一）第21讲加法原理（二）第22讲还原问题（一）第23讲还原问题（二）第24讲页码问题第25讲智取火柴第26讲逻辑问题（一）第27讲逻辑问题（二）第28讲最不利原则第29讲抽屉原理（一）第30讲抽屉原理（二）第1讲速算与巧算（一）计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。
准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。
我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法，本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补速算法。
例1 四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验的成绩（分数）如下：86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。
求这10名同学的总分。
分析与解：通常的做法是将这10个数直接相加，但这些数杂乱无章，直接相加既繁且易错。
观察这些数不难发现，这些数虽然大小不等，但相差不大。
我们可以选择一个适当的数作“基准”，比如以“80”作基准，这10个数与80的差如下：6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”号表示这个数比80小。
于是得到总和=80×10＋（6-2-3＋3＋11-＝800＋9＝809。
实际计算时只需口算，将这些数与80的差逐一累加。
小学四年级奥数讲义
小学四年级奥数讲义需要牢背的基本概念1、加法中的巧算：加法交换律: a+b =b+a 加法结合律：a+b+c=a+（b+c)减法和加、减混合运算中的巧算：（1）一个数连续减去几个数，等于减去这几个数的和.相反,一个数减去几个数的和，等于连续减去这几个数.即a-b—c=a-(b+c) a—(b+c) =a-b-c（2）在加、减混合运算中,如果算式中没有括号，那么计算时可以带着运算符号“搬家”。
如：a—b+c=a+c—b（3)加、减混合运算中去括号(或添括号）时，如果括号前面是“-”号,那么括号里“—”变“+”，“+”变“-”；如果括号前面是“+"号，那么括号里的符号不变。
如a-(b-c）=a-b+c，a+（b—c)=a+b-c如果两个数的和恰好可以凑成整十、整百、整千……的数，那么其中一个数叫做另一个数的“互补数”。
2、乘法中的巧算：乘法交换律：a×b=b×a乘法结合律：(a×b）×c=a×(b×c）乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c、（a-b）×c=a×c—b×c3、除法中的巧算：（1）除法交换律：a÷b÷c=a÷c÷b（2）根据“被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数,商不变”的规律，进行巧算。
公式：如果a÷b=c 则 (a×n）÷（b×n）=c （a÷n）÷（b÷n)=cn≠0(3）根据“一个数除以两个因数的积等于一个数连续除以这两个因数”的规律,进行巧算.公式:a÷（b×c)= a÷b÷c(4）根据“一个数除以两个因数的商等于一个数除以第一个因数乘以第二个因数"公式：a÷（b÷c）= a÷b×c（5）除法分配律：(a + b)÷c = a÷c + b÷c a÷c + b÷c=(a + b)÷c4、你知道巧算中有几对好朋友吗？请写出来: 2×5=10 4×25=100 8×125=100016×625=10000 3×37=111 7×11×13=1001 37037×3=10101 5、“头同尾合十”：头×（头+1）×100+尾×尾“尾同头合十":（头×头+尾）×100+尾×尾6、平方差公式： a2-b2=（a+b)×(a—b）7、配对求和，也就是等差数列求和。
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小学四年级奥数讲义需要牢背的基本概念1、加法中的巧算：加法交换律：a+b =b+a 加法结合律：a+b+c=a+(b+c)减法和加、减混合运算中的巧算：（1）一个数连续减去几个数，等于减去这几个数的和。
相反，一个数减去几个数的和，等于连续减去这几个数。
即a-b-c=a-(b+c) a-(b+c) =a-b-c（2）在加、减混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时可以带着运算符号“搬家”。
如：a-b+c=a+c-b（3）加、减混合运算中去括号（或添括号）时，如果括号前面是“—”号，那么括号里“—”变“+”，“+”变“-”；如果括号前面是“+”号，那么括号里的符号不变。
如a-(b-c)=a-b+c,a+(b-c)=a+b-c如果两个数的和恰好可以凑成整十、整百、整千……的数，那么其中一个数叫做另一个数的“互补数”。
2、乘法中的巧算：乘法交换律：a×b=b×a乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c、(a-b)×c=a×c-b×c3、除法中的巧算：（1）除法交换律：a÷b÷c=a÷c÷b（2）根据“被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变”的规律，进行巧算。
公式：如果a÷b=c 则 (a×n)÷(b×n)=c (a÷n)÷(b÷n)=c n≠0（3）根据“一个数除以两个因数的积等于一个数连续除以这两个因数”的规律，进行巧算。
公式：a÷(b×c)= a÷b÷c（4）根据“一个数除以两个因数的商等于一个数除以第一个因数乘以第二个因数”公式：a÷(b÷c)= a÷b×c（5）除法分配律：(a + b)÷c = a÷c + b÷c a÷c + b÷c=(a + b)÷c4、你知道巧算中有几对好朋友吗？请写出来： 2×5=10 4×25=100 8×125=100016×625=10000 3×37=111 7×11×13=1001 37037×3=10101 5、“头同尾合十”：头×（头+1）×100+尾×尾“尾同头合十”：（头×头+尾）×100+尾×尾6、平方差公式： a2-b2=(a+b)×(a-b)7、配对求和，也就是等差数列求和。
实质是变加法（连加）为乘法，这可以从乘法的意义来理解。
公式：和= （首项+末项）×项数÷2 项数= （末项-首项）÷公差+1 首项=末项-公差×（项数-1）末项（或者某一项）= 首项+公差×（项数-1）公差= （末项-首项）÷（项数-1）奇数项的等差数列的和= 中间项×项数奇数项的等差数列的中间项= 和÷项数 = （首项+末项）÷28、1+2+3+…+（n-1）+n+(n-1)+…+3+2+1= n×n9、数字找规律的基本方法：1、首先观察数列是从小往大排还是从大往小排。
2、后一项比前一项多几或者少几。
3、后一项是前一项的倍数或者前一项是后一项的倍数。
4、相邻两项的差依次是个等差数列。
5、每一项都是项数乘以项数。
6、前两项的和等于后一项或者前三项的和等于后一项。
（裴波拉契数列）7、前两项的积或商等于后一项。
8、把数列分组看。
9、跳着看。
（奇数项与奇数项，偶数项与偶数项成规律）10、图形找规律的基本方法：1、从图形的数量变化上来考虑。
2、从图形的对称来考虑。
3、从图形的种类和位置变化上来考虑。
4、把大、小图形分开考虑。
11、图形计数的基本方法：1、数线段、数角、数三角形的总个数，往往就用基本图形的个数，依次加上比前一项少1的自然数，直到1。
或者用基本图形的个数×（个数+1）=n×(n+1) 2、遇到稍微复杂的图形，可先把图分类成几个部分，数出各部分包含图形的个数后，再求出图形的总和。
3、数“金字塔”式的三角形不仅要考虑单个的小三角形，还要考虑由单个三角形组成的新三角形。
从边长1，2，3……去分类比较数，计数时先分层再平移计算就不会少数。
4、长方形的个数可以这样算：长边的线段数×宽边的线段数=长方形的个数5、正方形的个数可以这样算：1×1+2×2+3×3+…+(n-1)×(n-1)+n×n(n为正方形各边的基本线段数)6、正方体的个数可以这样算：1×1×1+2×2×2+3×3×3+…+n×n×n(n为正方体各边的基本线段数)7、由正方体组成的立体图形，可以从上往下一层一层的算，最后把每层的个数加起来。
12、长方形的周长=（长+宽）×2 =（a+b）×2长=周长÷2-宽宽=周长÷2-长正方形的周长=边长×4=a×4 正方形的边长=周长÷413、自然数的个位数字是有规律的，a n 末位数字规律是：当a的末位是0、1、5、6时，a n的末位数字与a相同，不随n 的变化而变化。
当a的末位是2、3、7、8时，a n的末位数字都分别以4个不同的数循环出现，周期是4。
当a的末位是2时，周期是4，以2、4、8、6循环出现；当a的末位是8时，周期是4，以8、4、2、6循环出现；当a的末位是3时，周期是4，以3、9、7、1循环出现；当a的末位是7时，周期是4，以7、9、3、1循环出现。
当a的末位是4和9时，a n的末位数字都分别以2个不同的数循环出现，周期是2。
当a的末位是4时，周期是2，以4、6循环出现；当a的末位是9时，周期是2，以9、1循环出现。
第一讲速算与巧算1、接近整十、整百、整千的数看成所接近的数进行简算。
例题：2548+503 574+798根据“和”的变化规律，即一个加数增加多少，另一个加数反而减少同样的数，和不变。
根据“被减数和减数同时增加或减少同一个数，差不变”的规律。
例题：956-597 3475-3082、两个数相加，如果恰好凑成整十、整百、整千、整万等，就把其中的一个数叫做另一个数的补数，为计算简便，可以先把两个互为补数的数先凑成整十或整百的数，然后再与别的加数相加求和。
例题：783+25+175 2803+（2178+5497）+47223、连续几个数相加，它们都接近同一个基准数，利用基准数计算。
例题：93+95+98+96+88+89+87+91+93+91=90×10+（3+5+8+6-2-1-3+1+3+1）995+996+997+998+999第一种：=1000×5-（5+4+3+2+1）第二种：=997×5 （此种方法利用“移多补少”变成5个997）4、几个数相加，每个数都接近不同的整十、整百、整千例：9999+999+99+9=10000+1000+100+10-45、几个数相加减，算式中含有括号，利用去括号。
如算式中有两项互补，可加括号。
例： 1654-（54+78） 2937-493-2076、当数字特别巨大，而被减数和减数的前几位相同时，可去掉相同的这几位数。
例题：657897-657323+297=897-323+2977、用“移位凑整”来速算例：1000-91-1-92-2-93-3-94-4-95-5-96-6-97-7-98-8-99-9=1000-[(91+9)+(92+8)+(93+7)+……+(99+1)]=1000-100×98、“取中间数相乘”，当连续相加的个数为单数个时，我们可以取中间数乘以加数的个数来进行巧算，这个连续数必须是等差数列。
例题：1+3+5+7+9=5×52+6+10+14+18=10×590+93+96+99+102+105+108=9、配对求和，也就是等差数列求和。
实质是变加法（连加）为乘法，这可以从乘法的意义来理解。
公式：和=（首项+末项）×项数÷2 项数=（末项-首项）÷公差+1公差=（末项-首项）÷（项数-1）首项=末项-公差×（项数-1）末项=首项+公差×（项数-1）例题：2+4+6+……+100 1+3+5+……+5710、利用乘法公式凑整2×5=10 4×5=20 4×25=100 8×125=1000 16×625=1000025×64×625 25×8×125×411、“头同尾合十”：头×（头+1）×100+尾×尾对于一个两位数乘以两位数，如果十位数相同，个位数加起来等于十，就是“头同尾合十”。
则结果为尾数相乘的积作后两位数，如果积不满十，十位上要补写0，把十位数乘以本身加1的积作为前两位数。
例：63×67=（6×7）（3×7）=4221 85×85=（8×9）（5×5）=7225计算：43×47 28×22 34×36 71×7912、“尾同头合十”：（头×头+尾）×100+尾×尾对于两位数乘以两位数，如果个位相同，十位上的数加起来等于10，就是“尾同头合十”，则结果为：将十位上的数字相乘加上个位上的数后扩大100倍，再加上个位数乘以个位数的积。
例：63×43=（6×4+3）×100+3×3=2709计算：27×87 13×93 46×66 89×2913、添0折半法428×5=428÷2×10=2140 848×25=848÷4×100=21200计算：324×5 832×5 564×25 344×2514、两位数、三位数乘以11的方法：头做积的头，尾做积的尾，头尾相加（或三位数的前两位数与后两位数之和）做积的中间数，如果满10或满100要向前一位进“1”例：38×11=3（3+8）8=418339×11=3（33+39）9=37294726×11=4（4+7）(7+2)(2+6)6=51986计算：13×11 23×11 67×11 567×1115、某数乘以99或999有规律可循。