2014-2015学年北京市东城区(南片)高二(下)期末数学试卷(理科)

合集下载

北京市东城区2014-2015学年高二上学期期末考试数学(文)试题含答案

北京市东城区 2014－ 2015 学年上学期高二年级期末考试数学试卷（文科）（考120 分分100 分）一、（每小 4 分，共32 分，在每小出的四个中，出切合目要求的一）1. 以下出的句①4＝M；②M M21；③M＝N＝3；④M＋N＝0中，正确的选项是A.①B. ②C. ③D. ④2.已知向量 AB ＝（2，0），那么｜ AB ｜等于A.1B.2C.3D.43.命“ 随意 x∈ R，｜ x｜≥ 0”的否认是A. 随意x R ，都有 | x |0B. 不存在x0R，使得 |x0 | 0C. 存在x0R ，使得 | x0 |0D. 存在x0R ，使得 | x0| 04.下的程序框表示的算法的功能是A.算小于 100 的奇数的乘B.算从 1 开始的奇数的乘D.算 1× 3×5×⋯× n≥ 100 的最小的 n 的。

5. 在度8 的段 AB 上任取一点C，那么段AC 的度不超 2 的概率是A.11C.41 2B.5D.346.若向量a b足| a | | b | 1，且a与b的角60a b 等于、°， a aA.13C.13 2B.2D.227.某位共有老年、中年、青年工430 人，此中有青年工 160人，中年工人数是老年工人数的2 倍，认识工身体状况，采纳分抽方法行，在抽取的本中有青年工32人，则该样本中的老年员工人数为A. 72B. 36C. 18D. 278. 以双曲线x2y2 1 的极点为极点，离心率为1的椭圆方程是1692A.x2y 21 B.3x2y2 161232116C.x2y 21或 x 23y21D.x 2y 21或 x 2y 21161216642794816二、填空题：此题共 6 小题，每题 4 分，共 24 分。

9.曲线 y x3 1在点（1，2）处的切线斜率等于___________。

10.在平面直角坐标系xoy中，向量 a (1,2), b ( x,1) ，若⊥，则x等于_______。

北京市东城区(南片)2013-2014学年高二下期末考试语文试题及答案

北京市东城区（南片）2013-2014学年下学期高二年级期末考试语文试卷（总分：100分；时间：120分钟）一、本大题共4小题，每小题2分，共8分。

诗，推而广之还有一切文学艺术作品，在其所具有的诸般品格中，十分重要的一条，便是对生活的___________（独具匠心/别具一格）的打量。

【甲】诗人的目光仿佛具有点石成．．．金．的本领，生活中许多琐碎、平淡甚至枯燥的事物，经过它的抚摸，便产生了丰富的意味，放射出难以言传的美感。

美无所不在，__________（除非/并非）只有到风景名胜外域异乡或者遭遇某个惊人的事件，才能够拨动审美的心弦。

【乙】凭窗远眺，秋日蔚蓝的天空，悠然飘落的几片黄叶，对面阳台上一只雪白慵懒的猫，窈窕淑女探身晾衣的姿态，都让人感到可亲可恋。

【丙】这些美，如同空气和阳光一样，是一种取之不尽的资源，但汲取、享用的程度，却因人的审美__________（禀赋/秉性）的不同而差异极大。

当然，诗歌不能当饭吃，但如果每天享用珍馐美味，却不曾被诗歌打动过，这样的生活也仍然是欠缺的。

对于精神生活来说，真实和虚幻并非泾渭分明。

一个人对于一次历史事件的追想，对某个古代人物的湎怀，不见得比身边的各种琐事，或某件轰动一时的社会新闻更缺乏真实性。

当我们在日渐富足的今天抱怨生活无聊沉闷时，是不是应该检讨一番自己的内心，察看一下感受的管道是否已经淤塞了呢?1. 文中黑体的词语中，字形和加点字的读音全都正确的一组是A. 心弦．（xuán）风景名胜B. 慵懒窈窕．淑女（tiáo）C. 汲．取（jí）珍馐美味D. 湎怀泾．渭分明（jīng）2. 填入文中横线处的词语，恰当的一项是A. 独具匠心除非禀赋B. 独具匠心并非秉性C. 别具一格并非禀赋D. 别具一格除非秉性3. 对文中加点词语“点石成金”的理解，最恰当的一项是A. 指的是使生活中的平凡琐事产生丰富的意味和美感B. 指的是能够从特殊的角度再现或真实或虚幻的生活C. 指的是文学艺术作品创作中的一条十分重要的品格D. 指的是作为诗人和文学家的一种特殊的敏锐和细腻4. “一个目光敏锐、感受细腻的人，会时时处处发现美的闪光，会觉得诗情俯拾皆是。

高考数学东城区2014-2015二模理答案3.0

北京市东城区2014-2015学年度第二学期综合练习（二）高三数学参考答案及评分标准（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）D （3）B （4）B （5）D （6）D （7）A （8）C 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）6 15 （10）4 （11（12（13）(0,3（14）（1）（2）（3）注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．三、解答题（本大题共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）由sin 0x ≠，得x k k ≠π(∈)Z ．所以()f x 的定义域为{|}x x k k ∈≠π,∈R Z ． …………………2分因为2sin 22sin ()sin x xf x x-=，2cos 2sin x x =-)4x π=+， …………………6分所以()f x的最大值为． …………………7分（Ⅱ）函数cos y x =的单调递增区间为[22k k π+π,π+2π]（k ∈Z ）由224k x k ππ+π≤+≤π+2π，x k k ≠π(∈)Z ，且(0,x ∈π)，所以()f x 在(0,π)上的单调递增区间为3[,4ππ)． ……13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）设事件A 为“甲同学选中C 课程”，事件B 为“乙同学选中C 课程”．则1223C 2()C 3P A ==，2435C 3()C 5P B ==．因为事件A 与B 相互独立，所以甲同学选中C 课程且乙同学未选中C 课程的概率为224()()()()[1()]3515P AB P A P B P A P B ==-=⨯=． …………………4分（Ⅱ）设事件C 为“丙同学选中C 课程”．则2435C 3()C 5P C ==．X 的可能取值为：0,1,2,3．1224(0)()35575P X P ABC ===⨯⨯=． (1)()()()P X P ABC P ABC P ABC ==++2221321232035535535575=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=． (2)()()()P X P ABC P ABC P ABC ==++2322231333335535535575=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=． 23318(3)()35575P X P ABC ===⨯⨯=． X 为分布列为：420331814028()0123757575757515E X =⨯+⨯+⨯+⨯==．………13分（17）（共14分）（Ⅰ）证明：连接CD 与AF 相交于H ，则H 为CD 的中点，连接HG ．因为G 为DE 的中点，所以HG ∥CE ．因为CE ⊄平面AGF ，HG ⊂平面AGF ，所以CE ∥平面AGF ． ………4分（Ⅱ）证明：1BE =，2GE =，在△GEB 中，60GEB ∠=o，BG =因为222BG BE GE +=，所以GB BE ⊥．因为侧面BEFC ⊥侧面ADEB ，侧面BEFC I 侧面ADEB BE =，AGB ⊂平面ADEB ，所以GB ⊥平面BEFC ． ………8分（Ⅲ）解：,,BG BE BC 两两互相垂直，建立空间直角坐标系B xyz -．假设在线段BC 上存在一点P ，使二面角P GE B --为45o．平面BGE 的法向量(0,0,1)=m ，设(0,0,),[0,1]P λλ∈．G (0,1,0)E ．所以()GP λ=u u u r ，(GE =u u u r．设平面PGE 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0.GP GE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u uu r u u u rn n 所以0,0.z y λ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩令1z =，得y λ=，x =，所以PGE 的法向量为,1)λ=n ．因为1⋅=m n ，所以112=，解得[]0,1λ=，故BP = 因此在线段BC 上存在一点P ，使二面角P GE B --为45o，且BP =………14分（18）（共13分）解：（Ⅰ）当2e a =时，2()exf x x -=+，]3,1[∈x .因为2'()1e x f x -=-，由0)(='x f ，2=x .则x ，)(x f '，)(x f 关系如下：所以当2=x 时，)(x f 有最小值为3. ………5分（Ⅱ）“存在实数0[3,3]x ∈-，有a x f >)(”等价于()f x 的最大值大于a . 因为'()1e x f x a -=-，所以当0≤a 时，]3,3[-∈x ，0)('>x f ，)(x f 在)3,3(-上单调递增，所以()f x 的最大值为(3)(0)f f a >=. 所以当0≤a 时命题成立.当0>a 时，由0)(='x f 得a x ln =. 则x ∈R 时，x ，)(x f '，)(x f 关系如下：（1）当3e a ≥时，3ln ≥a ，)(x f 在)3,3(-上单调递减，所以()f x 的最大值(3)(0)f f a ->=.所以当3e a ≥时命题成立.（2）当33e e a -<<时，3ln 3<<-a ，所以)(x f 在)ln ,3(a -上单调递减，在)3,(ln a 上单调递增. 所以()f x 的最大值为(3)f -或(3)f .且a f f =>-)0()3(与a f f =>)0()3(必有一成立，所以当33ee a -<<时命题成立.（3）当30e a -<≤时，3ln -≤a ，所以)(x f 在)3,3(-上单调递增，所以()f x 的最大值为(3)(0)f f a >=.所以当30e a -<≤时命题成立.综上：对任意实数a 都存在]3,3[-∈x 使a x f >)(成立. ……13分（19）（共13分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由题意知222,24,a b c ca a ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩解得2a =，1b =．所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=．……………………………5分（Ⅱ）设直线AM 的方程为：(2)y k x =+，则(0,2)N k ．由 22(2)44,y k x x y =+⎧⎨+=⎩，得2222(1+4)161640k x k x k ++-=（*）．设(2,0)A -，11(,)M x y ，则2-，1x 是方程（*）的两个根，所以2122814k x k -=+．所以222284(,)1414k kM k k -++．||AM =214k ==+．||AN ==228(1)||||14k AM AN k +==+．设直线OP 的方程为：y kx =．由 2244,y kx x y =⎧⎨+=⎩，得22(14)40k x +-=．设00(,)P x y ，则202414x k=+，2202414k y k =+．所以22244||14k OP k +=+，222882||14k OP k +=+．所以2||||2||AM AN OP ⋅=． ……………13分（20）（共14分）解：(Ⅰ) 因为111132332n n n n n n n b S S b ++++=-=+-=，n *∈N ，且3≠a ，所以{}n b 是首项为3a -，公比为2等比数列．所以12)3(-⨯-=n n a b ． ………4分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)可得12)3(3-⨯-=-n n n a S ，1,2,n n n a S S n n *-=-≥∈N ．12,123(3)2,2n n n a n a a n --=⎧=⎨⨯+-⨯≥⎩ 因为n n a a ≥+1，所以9-≥a ，且3≠a ．所以a 的最小值为9-． ………9分（Ⅲ）由(Ⅰ)当4=a时，12-=n n b当2≥n 时，13242n n C -=++++L 12+=n ，31=C ，所以对正整数n 都有12+=nn C ．由12+=n pt，n p t 21=-，(,t p *∈N 且1,1>>p t )，t 只能是不小于3的奇数． ① 当p 为偶数时，n p p pt t t 2)1)(1(122=-+=-，因为12+p t 和12-p t 都是大于1的正整数，所以存在正整数h g ,，使得gp t 212=+，h p t 212=-，222=-h g ,2)12(2=--h g h ，所以22=h 且112=--h g 2,1==⇒g h ，相应的3=n，即有233=C ，3C 为“指数型和”；② 当p 为奇数时，)1)(1(112-++++-=-p p t t t t t Λ，由于121-++++p t t t Λ是p 个奇数之和，仍为奇数，又1-t 为正偶数，所以np t t t t 2)1)(1(12=++++--Λ 不成立，此时没有“指数型和”． ………14分。

北京市东城区(南片)2014-2015学年下学期高二年级期末考试数学试卷(文科) 后有答案

北京市东城区（南片）2014-2015学年下学期高二年级期末考试数学试卷（文科）后有答案(考试时间120分钟满分100分)一、选择题(每小题3分，共60分。

在每小题给出的四个选项中。

选出符合题目要求的一项) 1. 若集合{}0≥=x x M ，且M N M = ，则集合N 可能是 A. {}1>x x B. {}1≤x x C. {}1,0,1- D. {}1->x x2. 命题p ：“R ∈∀x ，012>+x ”则p ⌝是A. R ∈∀x ，012>+x ，B. R ∈∃0x ，0120≤+x ，C. R ∈∀x ，012≤+x ，D. R ∈∃0x ，0120>+x ，3. i 是虚数单位，复数ii+1等于 A. i --1 B. i -1 C. i +1 D. i +-14. “1=x ”是“0122=+-x x ”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 下列函数中，是奇函数且在),0(+∞上单调递增的函数是A. 3x y = B. 1+=x y C. xy 1=D. x y 3= 6. 下列三句话按“三段论”推理模式，排列顺序正确的是①x y cos =(x ∈R )是三角函数；②三角函数是周期函数；③x y cos =(x ∈R )是周期函数。

A. ①②③B. ③②①C. ②③①D. ②①③7. 设⎩⎨⎧<>=)0(2)0(log )(2x x x x f x ，则)]2([-f f 等于A. 1B. －2C.21D. －1 8. 函数x x x x f -+=23)(的单调递减区间是A. ]31,1[-B. ]1,31[-C. ]1,(--∞，),31[+∞D. ]31,(--∞，),1[+∞9. 已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3=x ，5.3=y ，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是A. 3.24.0ˆ+=x yB. 4.22ˆ-=x yC. 5.92ˆ+-=x yD. 4.43.0ˆ+-=x y 10. 反证法证明的关键是在正确的假设下得出矛盾，这个矛盾可以是①与已知矛盾；②与假设矛盾；③与定义、定理、公理、法则等矛盾；④与事实矛盾 A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①②③④11. 某工厂加工某种零件的工序流程图如下所示，其中可导致废品的环节有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 12. 设2log 31=a ，3log 2=b ，3.0)21(=c ，则a 、b 、c 大小关系正确的是A. a >b >cB. c >a >bC. b >c >aD. c >b >a13. 曲线3x y =在点P 处的切线斜率为k ，当3=k 时P 点坐标为A. )2,8(--B. )1,1(--或)1,1(C. )8,2(D. (81,21--) 14. 在复平面内复数1z 对应的点如图所示，1z 与2z 在复平面内对应点关于虚轴对称，1z ·2z 对应的点的坐标为A. )0,1(-B. )0,1(C. )0,10(D. )0,10(-15. 函数)1lg(22133)(x x x x f -++=的定义域是A. ),31(+∞B. )1,31(-C. )31,31(-D. )31,(--∞16. 定义在R 上的函数)(x f ，满足)()(x f x f =-，且)(x f 在),0[+∞上单调递增，若0)3(=f ，则0)(>x f 成立的x 的取值范围是A. )3,3(-B. ),3()3,(+∞--∞C. ),3(+∞D. )3,(--∞17. 若函数2)3(2)(2+-+=x a x x f 在区间]4,(-∞上是减函数，那么实数a 的取值范围是A. 3≥aB. 3-≥aC. 1-≤aD. 1≤a18. 已知命题p ：R ∈∃0x ，021020≤++ax ax 。

北京市东城区2014—2015学年度第二学期期末教学统一检测初一数学试题(含详细答案)

1 东城区2014—2015学年度第二学期期末教学统一检测
初一数学
2015.7 题号
一
二三四五六总分
1～10
11～18 19～21 22，23 24 25，26 分数第一部分（选择题共30分）
一、选择题共10小题，每小题3分，共30分. 在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项并填在表格中
. 题号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得分答案
1．在平面直角坐标系中，点
P （2，－3）位于A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限2. 为了描述北京市某一天气温变化情况，应选择
A ．扇形统计图
B ．折线统计图
C ．条形统计图
D ．直方图3. 利用数轴确定不等式组32x x
的解集，正确的是4. 若a b >，则下列不等式变形错误．．的是
A ．a 1b 1>
B ．a
b
22>C ．3a 43b 4>D ．43a 43b
>5．已知正方形的面积是
17，则它的边长在A ．5与6之间B ．4与5之间C ．3与4之间D ．2与3之间
6.将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置．已知
∠1=30°，则∠2的度数为
A ．30°
B ．45°
C ．50°
D ．60°
D
0123
3210C B 0123A 3210。

2014东城区(南片)高二(下)期末数学(理科)

2014东城区（南片）高二（下）期末数学（理科）一、单项选择题（每小题4分，共32分）1．（4分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（4分）已知f（x）=ax3+2x2+1，若f′（﹣1）=4，则a=（）A．B．C．D．3．（4分）二项式（2x﹣）6展开式中的常数项为（）A．﹣160 B．﹣180 C．160 D．1804．（4分）用反证法证明命题：“a1，a2，a3，a4至少有一个数大于25”时，假设正确的是（）A．假设a1，a2，a3，a4都大于25B．假设a1，a2，a3，a4都小于或等于25C．假设a1，a2，a3，a4至多有一个数大于25D．假设a1，a2，a3，a4至少有两个数大于255．（4分）6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本，不同的分法种数为（）A．6 B．12 C．60 D．906．（4分）如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，E是MN的三等分点，且=，用向量，，表示为（）A．=++B．=++C．=++D．=++7．（4分）利用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n×1×3×…×（2n﹣1）（n∈N*）”时，从“n=k”变到“n=k+1”时，左边应增乘的是（）A．2 B．2k+2 C．（2k+1）（2k+2） D．4k+28．（4分）若函数f（x）=x3﹣6bx+3b在（0，1）内只有极小值，则实数b的取值范围是（）A．（0，1） B．（﹣∞，1）C．（0，+∞）D．（0，）二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）9．（4分）=．10．（4分）已知函数f（x）=e x﹣2x（e为自然对数的底数），那么曲线f（x）在点（0，1）处的切线方程为．11．（4分）从1，2，…，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是．12．（4分）已知，则的最小值是．13．（4分）在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则所投点在E中的概率是．14．（4分）已知正整数对按如下规律排成一列：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），…，则第60个数对是．三、解答题（共5小题，其中第15、16题各8分，第17、18题各9分，第19题10分，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（8分）一次考试中，要求考生从试卷上的10个题目中任选3道题解答，其中6道甲类题，4道乙类题．（Ⅰ）求考生所选题目都是甲类题的概率；（Ⅱ）已知一考生所选的三道题目中有2道甲类题，1道乙类题，设该考生答对每道甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立，用X表示该考生答对题的个数，求X的分布列与数学期望．16．（8分）在对人们的休闲方式的一次调查中，其调查了120人，其中女性66人，男性55人，女性中有40人主要的休闲方式是看电视，另25人主要的休闲方式是运动；男性中有20人主要的休闲方式是看电视，另外35人主要的休闲方式是运动．（Ⅰ）根据以上数据建立一个2×2的列联表；（Ⅱ）能够以多大的把握认为性别与休闲方式有关系，为什么？参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d为样本容量．217．（9分）3个人坐在一排6个座位上，问：（Ⅰ）3个人都相邻的坐法有多少种？（Ⅱ）空位都不相邻的坐法有多少种？（Ⅲ）空位至少有2个相邻的坐法有多少种？18．（9分）如图，矩形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=DE=1，CD=2，M为CE上的点．（Ⅰ）求证：BC⊥平面BDE；（Ⅱ）当M为CE中点时，求直线BM与平面BEF所成角的正弦值．19．（10分）已知函数f（x）=+alnx﹣2（a＞0）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=﹣x+2平行，求函数y=f（x）的极值；（Ⅱ）若对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞﹣2成立，试求a的取值范围．参考答案与试题解析一、单项选择题（每小题4分，共32分）1．【解答】==，复数对应的点为（，），在第一象限，故选A．2．【解答】∵f（x）=ax3+2x2+1，∴f′（x）=3ax2+4x，若f′（﹣1）=4，则f′（﹣1）=3a﹣4=4，解得a=，故选：C3．【解答】二项式（2x﹣）6展开式的通项公式为T r+1=•26﹣r•（﹣1）r•x6﹣2r，令6﹣2r=0，求得r=3，可得二项式（2x﹣）6展开式中的常数项为•23•（﹣1）=﹣160，故选：A．4．【解答】用反证法证明“a1，a2，a3，a4至少有一个数大于25”，应先假设要证命题的否定成立．而要证命题的否定为：“假设a1，a2，a3，a4都小于或等于25”，故选：B．5．【解答】把6本书平均分给甲、乙、丙3个人，每人2本，分3步进行，先从6本书中取出2本给甲，有C62种取法，再从剩下的4本书中取出2本给乙，有C42种取法，最后把剩下的2本书给丙，有1种情况，则把6本书平均分给甲、乙、丙3个人，每人2本，有C62×C42×1=90种分法；故选：D．6．【解答】由题意可得======故选：D7．【解答】假设n=k时等式成立，即（k+1）（k+2）（k+3）…（k+k）=2k×1×3×…×（2k﹣1）（k∈N*），则当n=k+1时，应有[（k+1）+1][（k+1）+2][（k+1）+3）]•…[（k+1）+（k+1）]=2k+1×1×3×…×[2（k+1）﹣1]（k∈N*），即（k+2）（k+3）…（k+k）（2k+1）（2k+2）=（k+1）（k+2）（k+3）…（k+k）•=2k+1×1×3×…×（2k+1）（k∈N*），∴从“n=k”变到“n=k+1”时，左边应增乘的是=2（2k+1）=4k+2．故选D．8．【解答】∵f′（x）=3x2﹣6b，由题意，函数f′（x）图象如右．∴即得0＜b＜．故选：D二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）9．【解答】由微积分定理可得=．故答案为：10．【解答】解：∵f（x）=e x﹣2x，∴f′（x）=e x﹣2，则f′（0）=e0﹣2=1﹣2=﹣1，即f（x）在点（0，1）处的切线斜率k=﹣1，则对应的切线方程为y﹣1=﹣1（x﹣0），即x+y﹣1=0，故答案为：x+y﹣1=011．【解答】基本事件总数为C93，设抽取3个数，和为偶数为事件A，则A事件数包括两类：抽取3个数全为偶数，或抽取3数中2个奇数1个偶数，前者C43，后者C41C52．∴A中基本事件数为C43+C41C52．∴符合要求的概率为=；故答案为．12．【解答】∵，∴向量=（1+t，2t﹣1，0）可得向量的模==∵5t2﹣2t+2=5（t﹣）2+∴当且仅当t=时，5t2﹣2t+2的最小值为所以当t=时，的最小值是=故答案为：13．【解答】本小题是一个几何概型，∵试验包含的所有事件是区域D表示边长为4的正方形的内部（含边界），面积是42=16，满足条件的事件表示单位圆及其内部，面积是π×12根据几何概型概率公式得到∴故答案为：．14．【解答】按规律分组：第一组（1，1）；第二组（1，2），（2，1）；第三组（1，3），（2，2），（3，1）；…则前10组共有1+2+3+…+10=55个有序实数对．第60项应在第11组中，即（1，11），（2，10），（3，9），（4，8），（5，7），…，（11，1）中的第5个，因此第60项为（5，7）．故答案为：（5，7）．三、解答题（共5小题，其中第15、16题各8分，第17、18题各9分，第19题10分，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．【解答】（1）设事件A=“考生所选题目都是甲类题”，则P（A）==．（2）X所有的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）=，P（X=1）=+=，P（X=2）==，P（X=3）=，∴X的分布列为：∴EX==2．16．【解答】（1）根据所给的数据得到列联表（2）K2==7.552＞6.635，故有99%的把握认为性别与休闲方式有关系．17．【解答】（Ⅰ）先排好3个空位，包含两端共有4个间隔，把3人都相邻捆绑在一起，插入到这4个间隔中的一个即可，故3个人都相邻的坐法有=24种，（Ⅱ）3个人排有=6种，3人排好后包含两端共有4个间隔，可以插入空位，空位都不相邻将3个空位安插在这4个间隔中，故有=24种，（Ⅲ）3个空位至少有2个相邻的情况有两类，第一类，3个空位恰有2个相邻，另一个不相邻有=72种，第二类，3个空位都相邻，有=24种，根据分类计数原理的得72+24=96种．18．【解答】（Ⅰ）证明：在矩形ADEF中，ED⊥AD，又因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，所以ED⊥平面ABCD，所以ED⊥BC．在直角梯形ABCD中，AB=AD=1，CD=2，可得BC=在△BCD中，BD=BC=，CD=2，因为BD2+BC2=CD2，所以BC⊥BD．因为BD∩DE=D，所以BC⊥平面BDE；（Ⅱ）解：建立如图所示的坐标系，则B（1，1，0），E（0，0，1），F（1，0，1），M（0，1，），∴=（0，﹣1，1），（1，0，0），=（﹣1，0，），设=（x，y，z）为平面BEF的一个法向量，则，令y=1得=（0，1，1）．设直线BM与平面BEF所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=，∴直线BM与平面BEF所成角的正弦值为．19．【解答】（Ⅰ）∵f（x）=+alnx﹣2（a＞0），∴f（x）的定义域为（0，+∞），，∵曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=﹣x+2平行，∴=﹣1，∴a=1，∴f（x）=，，令f′（x）=0，x=2，由f′（x）＞0，解得x＞2，由f′（x）＜0，解得0＜x＜2，∴f（x）的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2），∴f（x）的极小值为f（2）=ln2﹣1．（Ⅱ）=，由f′（x）＞0解得x＞，由f′（x）＜0，解得0＜x＜，∴f（x）在区间（）上单调递增，在区间（0，）上单调减，∴当x=时，函数f（x）取得最小值，，∵对于∀x∈（0，+∞），都有f（x）＞﹣2成立，∴f（）＞﹣2即可，则，则a+aln，解得0＜a＜2e，∴a的取值范围是（0，2e）．。

2015东城区(南片)高二(下)期末数学(理科)

2015东城区（南片）高二（下）期末数学（理科）一、选择题（每小题3分，共60分.在每小题给出的四个选项中．选出符合题目要求的一项）1．（3分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（3分）C+C+C+C+C的值为（）A．64 B．63 C．62 D．613．（3分）反证法证明的关键是在正确的假设下得出矛盾，这个矛盾可以是（）①与已知矛盾；②与假设矛盾；③与定义、定理、公理、法则矛盾；④与事实矛盾．A．①②B．②③C．①②③D．①②③④4．（3分）下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（）①y=cosx（x∈R）是三角函数；②三角函数是周期函数；③y=cosx（x∈R）是周期函数．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①5．（3分）袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（）A．B．C．D．6．（3分）某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是（）A．B．C．D．7．（3分）两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（）A．B．C．D．8．（3分）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）A．70种B．80种C．100种D．140种9．（3分）观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解（x，y）的个数为4，|x|+|y|=2的不同整数解（x，y）的个数为8，|x|+|y|=3的不同整数解（x，y）的个数为12 …．则|x|+|y|=20的不同整数解（x，y）的个数为（）A．76 B．80 C．86 D．9210．（3分）已知复数z1=a+i，z2=1+i，其中a∈R，是纯虚数，则实数a的取值为（）A．﹣l B．1 C．﹣2 D．211．（3分）已知函数f（x）的导数f′（x）=a（x+1）（x﹣a），若f（x）在x=a处取到极大值，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（0，+∞）12．（3分）已知随机变量X服从正态分布N（1，σ2），且P（﹣2≤X≤1）=0.4，则P（X＞4）=（）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.613．（3分）若二项式（2x+）7的展开式中项的系数是84，则实数a=（）A．2 B． C．D．114．（3分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表根据上表可得回归方程=x+的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A．63.6万元B．65.5万元C．67.7万元D．72.0万元15．（3分）在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记x m y n项的系数为f（m，n），则f（3，0）的值为（）A．4 B．10 C．20 D．4016．（3分）要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）A．48种B．36种C．18种D．12种17．（3分）由曲线y=，x=1，x=2，y=0所围成的封闭图形的面积为（）A．4 B．2 C．2ln2 D．ln218．（3分）用数学归纳法证明1++（n∈N且n＞1），第二步证明中从“k到k+1”时，左端增加的项数是（）A．2k+1 B．2k﹣1 C．2k D．2k﹣119．（3分）设函数f（x）=x3+x，若0＜θ≤时，f（mcosθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，+∞）D．（1，+∞）20．（3分）已知f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）﹣f（x）＞0，对任意正数a、b，若a＜b，则af（a），bf（b）的大小关系为（）A．af（a）＜bf（b）B．af（a）=bf（b）C．af（a）≤bf（b）D．af（a）≥bf（b）二、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分，解答题中的填空只需写出答案即可，其他应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21．（8分）已知复数z=1+i．（I）若复数ω=z2+3﹣4，则复数ω的模长|ω|=；（Ⅱ）如果=1﹣i，求实数a，b的值．22．（8分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了4次试验，得到数据如下：（Ⅰ）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（Ⅱ）求y关于x的线性回归方程=x+；（Ⅲ）试预测加工10个零件需要的时间．参考公式：．23．（8分）2014年12月28日开始，北京市地铁按照里程分段计价．具体如下表：已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过5元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选出120人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示．（Ⅰ）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选1人，试估计此人乘坐地铁的票价大于3元的概率为；（Ⅱ）从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选2人，记X 为这2人乘坐地铁的票价和，根据统计图，并以频率作为概率，求X 的分布列和数学期望．24．（8分）已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a +b +c=1．（Ⅰ）若a=b=c ，则（﹣1）（﹣1）（﹣1）的值为；（Ⅱ）求证：（﹣1）（﹣1）（﹣1）≥8．25．（8分）若存在实常数k 和b ，使得函数f （x ）和g （x ）对其定义域上的任意实数x 分别满足：f （x ）≥kx +b 和g （x ）≤kx +b ，则称直线l ：y=kx +b 为f （x ）和g （x ）的“隔离直线”．已知h （x ）=x 2，φ（x ）=2elnx （e 为自然对数的底数）．（1）求F （x ）=h （x ）﹣φ（x ）的极值；（2）函数h （x ）和φ（x ）是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共60分.在每小题给出的四个选项中．选出符合题目要求的一项）1．【解答】=故选D．2．【解答】∵C+C+C+C+C+C+C=26，∴C+C+C+C+C=26﹣C﹣C=64﹣1﹣1=62，故选：C3．【解答】利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法．①与已知条件矛盾；正确．②与假设矛盾；正确．③与定义、定理、公理、法则矛盾；正确．④与事实矛盾．正确．故选：D．4．【解答】根据“三段论”：“大前提”→“小前提”⇒“结论”可知：①y=cosx（（x∈R ）是三角函数是“小前提”；②三角函数是周期函数是“大前提”；③y=cosx（（x∈R ）是周期函数是“结论”；故“三段论”模式排列顺序为②①③故选B5．【解答】根据题意，袋中共有6个球，从中任取2个，有C62=15种不同的取法，6个球中，有2个白球和3个黑球，则取出的两球为一白一黑的情况有2×3=6种；则两球颜色为一白一黑的概率P==；故选B．6．【解答】∵每1粒发芽的概率为定值，播下3粒种子相当于做了3次试验，由题意知独立重复实验服从二项分布即X～B（3，）∴P（X=2）==故选B7．【解答】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A，即仅第一个实习生加工一等品（A1）与仅第二个实习生加工一等品（A2）两种情况，则P（A）=P（A1）+P（A2）=，故选B．8．【解答】直接法：一男两女，有C51C42=5×6=30种，两男一女，有C52C41=10×4=40种，共计70种间接法：任意选取C93=84种，其中都是男医生有C53=10种，都是女医生有C41=4种，于是符合条件的有84﹣10﹣4=70种．故选A9．【解答】观察可得不同整数解的个数4，8，12，…可以构成一个首项为4，公差为4的等差数列，通项公式为a n=4n，则所求为第20项，所以a20=80故选B．10．【解答】由复数z1=a+i，z2=1+i，得==，∵是纯虚数，∴，解得：a=﹣1．故选：A．11．【解答】当a＞0时，当﹣1＜x＜a时，f'（x）＜0，当x＞a时，f'（x）＞0，则f（x）在x=a处取到极小值，不符合题意；当a=0时，函数f（x）无极值，不符合题意；当﹣1＜a＜0时，当﹣1＜x＜a时，f'（x）＞0，当x＞a时，f'（x）＜0，则f（x）在x=a处取到极大值，符合题意；当a=﹣1时，f'（x）≤0，函数f（x）无极值，不符合题意；当a＜﹣1时，当x＜a时，f'（x）＜0，当a＜x＜﹣1时，f'（x）＞0，则f（x）在x=a处取到极小值，不符合题意；综上所述﹣1＜a＜0，故选B．12．【解答】随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），∴曲线关于x=1对称，∴P（X＞4）=P（X＜﹣2）=1﹣P（﹣2≤X≤1）=0.1故选：A．13．【解答】二项式（2x+）7的展开式的通项公式T r+1=•27﹣r•a r•x7﹣2r，令7﹣2r=﹣3，求得r=5，可得展开式中项的系数是×4×a5=84，求得a=1，故选：D．14．【解答】∵=3.5，=42，∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程中的为9.4，∴42=9.4×3.5+，∴=9.1，∴线性回归方程是y=9.4x+9.1，∴广告费用为6万元时销售额为9.4×6+9.1=65.5，故选：B．15．【解答】∵（1+x）6（1+y）4的展开式中，含x3y0的系数是：f（3，0）==20，故选：C．16．【解答】根据题意分2种情况讨论，①若小张或小赵入选，则有选法C21C21A33=24；②若小张、小赵都入选，则有选法A22A32=12，共有选法12+24=36种，故选：B．17．【解答】由曲线y=，x=1，x=2，y=0所围成的封闭图形的面积为：=lnx|=ln2；故选D．18．【解答】当n=k时，左端=1++，那么当n=k+1时左端=1++++…+=1++++…+，∴左端增加的项为++…+，所以项数为：2k．故选：C．19．【解答】∵函数f（x）=x3+x是奇函数又是（0，]上的增函数，∴f（mcosθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，等价于f（mcosθ）＞﹣f（1﹣m）即f（mcosθ）＞f（m﹣1）即mcosθ＞m﹣1⇒m＜，又0＜θ≤时，0≤cosθ＜1，即有≥1，∴m＜1．故选：A．20．【解答】令g（x）=，[x∈（0，+∞）]，∵xf′（x）﹣f（x）＞0，则g′（x）=＞0，∴函数g（x）在x∈（0，+∞）单调递增，∵a＜b，∴＜，∴bf（a）＜af（b），∴af（a）＜bf（a）＜af（b）＜bf（b）．故选：A．二、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分，解答题中的填空只需写出答案即可，其他应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21．【解答】（Ⅰ）∵复数z=1+i．∴，∴ω=z2+3﹣4=（1+i）2+3（1﹣i）﹣4=﹣1﹣i．则复数ω的模长|ω|=故答案为：；（Ⅱ）由复数z=1+i．得==a+2﹣（a+b）i，由题设条件知a+2﹣（a+b）i=1﹣i，根据复数相等的定义，得，解得：．22．【解答】（Ⅰ）散点图如图所示：（3分）（Ⅱ）由题中表格数据得=3.5，=3.5，=3.5，=5．∴=0.7，=1.05，∴线性回归方程为=0.7x+1.05（Ⅲ）当x=10时，=0.7x+1.05=8.05，所以预测加工10个零件需要8.05小时．（8分）23．【解答】（Ⅰ）由频率分布直方图可得，此人乘坐地铁的票价大于3元的概率为．故答案为：；（Ⅱ）X的所有可能取值为6，7，8，9，10．根据统计图，可知120人中地铁票价为3元、4元、5元的频率分别为，，，即，，，以频率作为概率，知乘客地铁票价为3元、4元、5元的概率分别为，，．∴P（X=6）=，P（X=7）=，P（X=8）=，P（X=9）=，P（X=10）=．∴随机变量X的分布列为：P∴=．24．【解答】（Ⅰ）由题意可得a=b=c=，代入计算可得（﹣1）（﹣1）（﹣1）=2×2×2=8；（Ⅱ）由题意和基本不等式可得a+b≥2＞0，a+c≥2＞0，b+c≥2＞0，∴（a+b）（a+c）（b+c）≥2•2•2=8abc，又a＞0，b＞0，c＞0，∴≥8又a+b+c=1，∴≥8∴••≥8，∴（﹣1）（﹣1）（﹣1）≥825．【解答】（1）∵F（x）=f（x）﹣φ（x）=x2﹣2elnx（x＞0），∴F′（x）=2x﹣==令F′（x）=0，得x=，当0＜x＜时，F′（x）＜0，x＞时，F′（x）＞0故当x=时，F（x）取到最小值，最小值是0（2）由（1）可知，函数f（x）和φ（x）的图象在（，e）处相交，因此存在f（x）和φ（x）的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k．则隔离直线方程为y﹣e=k（x﹣，即y=kx﹣k+e 由f（x）≥kx﹣k+e（x∈R），可得x2﹣kx+k﹣e≥0当x∈R恒成立，则△=k2﹣4k+4e=（k﹣2）2≤0，∴k=2，此时直线方程为：y=2x﹣e，下面证明φ（x）≤2x﹣e exx＞0时恒成立令G（x）=2 x﹣e﹣φ（x）=2x﹣e﹣2elnx，G′（x）=2﹣=（2x﹣2e）=2（x﹣），当x=时，G′（X）=0，当0＜x＜时G′（x）＞0，则当x=时，G（x）取到最小值，极小值是0，也是最小值．所以G（x）=2x﹣e﹣g（x）≥0，则φ（x）≤2x﹣e当x＞0时恒成立．∴函数f（x）和φ（x）存在唯一的隔离直线y=2x﹣e。

2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)试题_Word版含答案

2016级高二期末考试试卷理科数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．i 为虚数单位，则2013i = （）A ．i -B ．1-C ．iD ．1 2．若()e x f x x =，则(1)f '＝( )A ．0B ．eC ．2eD ．2e3．已知双曲线2219x y m-=的一个焦点坐标是()5,0,则双曲线的渐近线方程是（）A ．34y x =±B ．43y x =±C．y x = D．y x = 4．下列叙述：①若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反；②若两个向量均为同一个平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行； ③若一条直线的方向向量与某一个平面的法向量垂直，则该直线与这个平面平行. 其中正确的个数是（） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个5．学校体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，西侧有2个大门，某学生到该体育场训练，但必须是从南或北门进入，从西门或北门出去，则他进出门的方案有( )A ．7个B ．12个C ．24个D ．35个 6．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A ．设数列{}n a 的前n 项和为n S .由21n a n =-，求出2221231,2,3,S S S ===，…，推断：2n S n =B ．由()cos f x x x =满足()()f x f x -=-对∀x ∈R 都成立，推断：()cos f x x x =为奇函数C ．由圆222x y r +=的面积2S r π=，推断：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的面积S ab π=D ．由()()()222123112,212,312,+>+>+>…，推断：对一切n ∈N *，()212n n +>7．已知函数32()393f x x x x =--+，若函数()()g x f x m =-在[]2,5x ∈-上有3个零点，则m 的取值范围为( ) A ．(－24,8)B ．(－24,1]C ．[1,8]D ．[1,8)8．抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，已知点,A B 为抛物线上的两个动点，且满足90AFB ∠=.过弦AB的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为ABC ．1D二、 75分，共35分．9．204sin xdx π=⎰10．已知01a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1,则复数z 对应的点Z 到原点距离的取值范围是 11．曲线C ：ln xy x=在点(1，0)处的切线方程是 . 12．棱长均为3的三棱锥S ABC -，若空间一点P 满足(1)SP xSA ySB zSC x y z =++++=，则SP 的最小值为 .13．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼－15”飞机准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法数是 .14．椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12A A 、，点P 在椭圆C 上，记直线2PA 的斜率为2k ，直线1PA 的斜率为1k ，则 1k ·2k = . 15．函数2()ln(1)f x x a x =++有两个不同的极值点12,x x ，且12x x <，则实数a 的范围是三、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）设p :实数x 满足22430x ax a -+<, :q 实数x 满足31x -<. (1)若1,a =且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；(2)若其中0a >且p ⌝是⌝q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围. 17．（本小题满分12分）如图,在三棱柱111ABC A B C －中,侧棱垂直底面,90ACB ∠=︒，12AC BC CC ===. （1）求证:11AB BC ⊥；（2）求二面角111C AB A －－的大小.18．（本小题满分12分）时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y （单位：千套）与销售价格x （单位：元/套）满足的关系式()2462m y x x =+--，其中26x <<，m 为常数.已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套.（1）求m 的值；（2）假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大.（保留1位小数）. 19．（本小题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S (即123n n S a a a a =++++)，且方程20n n x a x a --=有一根为n S －1，n ＝1,2,3…….（1）求12,a a ；（2）猜想数列{}n S 的通项公式，并用数学归纳法给出严格的证明．20．（本小题满分13分）已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>2.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点M (0，13-)的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以A B 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由． 21．（本小题满分13分）已知),1ln()(+=x x f bx ax x g +=221)( （1）若0=a ，1=b 时，求证：0)()(≤-x g x f 对于),1(+∞-∈x 恒成立；（2）若2=b ，且)()1()(x g x f x h --=存在单调递减区间，求a 的取值范围；（3）利用（1）的结论证明：若y x <<0，则2ln )(ln ln yx y x y y x x ++>+．CCBBDADA 9．4 10．()1,2 11．1y x =- 12．6 13．24 14．－34 15．10,2⎛⎫⎪⎝⎭16．解:（1）. 由22430x ax a -+<得(3)()0x a x a --<当1a =时，13x <<,即p 为真时实数x 的取值范围是13x <<.……………2分由31x -<, 得131x -<-<, 得24x <<即q 为真时实数x 的取值范围是24x <<,……4分若p q ∧为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是23x <<.……6分(2) 由22430x ax a -+<得(3)()0x a x a --< p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即p ⌝⇒q ⌝,且q ⌝⇒/p ⌝, ……………8分设A ={|}x p ⌝,B ={|}x q ⌝,则AB ,又A ={|}x p ⌝={|3}x x a x a ≤≥或, B ={|}x q ⌝={x|x≥4或x≤2}，……………10分则02a <≤,且34a ≥所以实数a 的取值范围是423a ≤≤12分 17．解：：方法一：（1）∵11,AC BC AC CC BCCC C ⊥⊥=且∴11AC C CBB ⊥平面，又111BC C CBB ⊂平面∴1111,,AC BC B C BC AC B C C ⊥⊥=且 ∴1111BC AB C AB AB C ⊥⊂平面，又平面 ∴11AB BC ⊥（2）取11A B 的中点为H ，在平面11A ABB 内过H 作1HQ AB ⊥于点Q ，连接1C Q 则111C H A ABB ⊥平面，∴11C H AB ⊥，而1C H HQ H =∴1111AB C HQ AB C Q ⊥∴⊥平面，∴1C QH ∠是二面角111C AB A －－的平面角，又1162C H A AB HQ ==，在内，解得∴111tan 3,60C HC QH C QH HQ∠==∠=︒∴二面角111C AB A －－为60°.18．解：（1）因为4x =时，21y =，代入关系式()2462m y x x =+--，得16212m +=，解得10m =.……………………4分（2）由（1）可知，套题每日的销售量()210462y x x =+--，……………5分所以每日销售套题所获得的利润()()()()()223210()24610462456240278262f x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+-=+--=-+-<<⎢⎥-⎣⎦……………………8分从而()()()()2'121122404310626f x x x x x x =-+=--<<.令()'0f x =，得103x =,且在102,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上,0)('>x f ，函数)(x f 单调递增；在10,63⎛⎫⎪⎝⎭上，0)('<x f ，函数)(x f 单调递减， ……………………10分所以103x =是函数)(x f 在()2,6内的极大值点，也是最大值点，所以当103.33x =≈时，函数)(x f 取得最大值. 故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大. …………………12分19．解：(1)当n ＝1时，x 2－a 1x －a 1＝0有一根为S 1－1＝a 1－1，于是(a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1＝0，解得a 1＝12.……………3分当n ＝2时，x 2－a 2x －a 2＝0有一根为S 2－1＝a 2－12，于是⎝⎛⎭⎫a 2－122－a 2⎝⎛⎭⎫a 2－12－a 2＝0，解得a 2＝16.……5分 (2)由题设(S n －1)2－a n (S n －1)－a n ＝0，即S 2n －2S n ＋1－a n S n ＝0. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入上式得S n －1S n －2S n ＋1＝0.① 由(1)得S 1＝a 1＝12，S 2＝a 1＋a 2＝12＋16＝23.由①可得S 3＝34.由此猜想S n ＝nn ＋1，n ＝1,2,3…. ……………7分下面用数学归纳法证明这个结论． (ⅰ)n ＝1时已知结论成立．……………8分(ⅱ)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立，即S k ＝kk ＋1，当n ＝k ＋1时，由①得S k ＋1＝12－S k，……………10分即S k ＋1＝k ＋1k ＋2，故n ＝k ＋1时结论也成立．……………12分综上，由(ⅰ)(ⅱ)可知S n ＝nn ＋1对所有正整数n 都成立．……………13分1CA BC1A1B20．解：（1）设椭圆的焦距为2c，则由题设可知2221a c ca a cb ⎧-=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解此方程组得a =1b =. 所以椭圆C 的方程是2212x y +=. ……………………5分（2）解法一：假设存在点T （u, v ）. 若直线l 的斜率存在，设其方程为13y kx =-，将它代入椭圆方程，并整理，得22(189)12160k x kx +--=．设点A 、B 的坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ，则 12212212,18916.189k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为1122(,),(,)TA x u y v TB x u y v =--=--及112211,,33y kx y kx =-=-所以1212()()()()TA TB x u x u y v y v =--+--2221212121(1)()()339v k x x u k kv x x u v =+-+++++++222222(666)4(3325)62u v k ku u v v k +--+++-=+ …………………9分当且仅当0TA TB =恒成立时，以AB 为直径的圆恒过定点T ，所以2222618180,0,33250.u v u u v v ⎧+-=⎪=⎨⎪++-=⎩解得0, 1.u v ==此时以AB 为直径的圆恒过定点T （0，1）. …………………11分当直线l 的斜率不存在，l 与y 轴重合，以AB 为直径的圆为221x y +=也过点T （0，1）. 综上可知，在坐标平面上存在一个定点T （0，1），满足条件. …………………13分解法二：若直线l 与y 轴重合，则以AB 为直径的圆是22 1.x y +=若直线l 垂直于y 轴，则以AB 为直径的圆是22116().39x y ++=……………7分由22221,116().39x y x y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩解得01x y =⎧⎨=⎩.由此可知所求点T 如果存在，只能是（0，1）. ………………8分事实上点T （0，1）就是所求的点. 证明如下：当直线l 的斜率不存在，即直线l 与y 轴重合时，以AB 为直径的圆为221x y +=，过点T （0，1）；当直线l 的斜率存在，设直线方程为13y kx =-，代入椭圆方程，并整理，得22(189)12160.k x kx +--= 设点A 、B 的坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则12212212,18916.189k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩…………………10分因为1122(,1),(,1)TA x y TB x y =-=-，21212121212416()1(1)()39TA TA x x y y y y k x x k x x =+-++=+-++222216161632160.189k k k k ---++==+所以TA TB ⊥，即以AB 为直径的圆恒过定点T （0，1）.综上可知，在坐标平面上存在一个定点T （0，1）满足条件. …………………13分 21．解：（1）设x x x g x f x -+=-=)1ln()()()(ϕ，则.1111)('+-=-+=x x x x ϕ………………….2分当时，)(x 有最大值0 ∴0)(≤x 恒成立。

北京市西城区(南片)普通中学2014 — 2015学年度第二学期高二数学(文科)期末综合测试题含答案

北京市西城区（南片）普通中学2014 — 2015学年度第二学期高二数学（文科）期末综合测试题满分：150分时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{,}A a b =，则满足{,,}A B a b c = 的不同集合B 共有（）（A ）1 个（B ）2个（C ）3个（D ）4个2．“0a b >>”是“11a b<”的（）（A ）充分但不必要条件（B ）必要但不充分条件（C ）充要条件（D ）既不是充分条件也不是必要条件3．已知函数10xy =的反函数为()y f x =，那么1()100f =（）（A ）2 （B ）2-（C ）1（D ）1-4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且50S >，那么下列结论中一定正确的是（）（A ）30a < （B ）30S < （C ）30a > （D ）30S >5．设c ∈R ，函数2()2f x x x c =-+．关于函数()f x 的下述四个命题中，真命题为（）（A ）(0)(2)f f > （B ）(0)(2)f f < （C ）()1f x c ≥- （D ）()1f x c ≤-6．已知数列{}n a 的前n 项和3(2)2n n S a =-，1,2,3,n = ，那么n a =（）（A ）33n- （B ）23n⋅ （C ）123n -⋅（D ）133n +-7．函数21()log f x x x =-+的零点所在的区间是（）（A ）1(0,)2 （B ）1(,1)2 （C ）3(1,)2（D ）3(,2)28．设集合A ⊆R ，如果实数0x 满足：对0r ∀>，总x A ∃∈，使得00||x x r <-<，则称0x 为集合A 的聚点．给定下列四个集合： ① Z ； ② {|0}x x ∈≠R ； ③ {|1n n n ∈+Z ，0}n ≥； ④ 1{|n n∈Z ，0}n ≠．上述四个集合中，以0为聚点的集合是（）（A ）①、③（B ）②、③（C ）①、④（D ）②、④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上. 9．已知函数21,0,()2,0,x x f x x x -<⎧=⎨->⎩ 那么(1)(1)f f -+=_________.10．若幂函数y x α=的图象经过点1(2,)4，则α=_________.11．已知等差数列{}n a 的公差是2，其前4项和是20-，则2a =_________.12．已知()f x 是周期为2的偶函数．当01x ≤≤时，()f x 的图象是右图中的线段AB ，那么4()3f =_________.13．当[1,1]x ∈-时，函数2()ex x f x =的值域是_________.14．在数列{}n a 中，121a a ==，11(1)(1)n n n a n a n a +-+-=+，2,3,4,n = . 关于数列{}n a 给出下列四个结论：① 数列1{}n n a na +-是常数列； ② 对于任意正整数n ，有1n n a a +≤成立； ③ 数列{}n a 中的任意连续3项都不会成等比数列； ④ 121nk k k a na n =+=+∑．其中全部正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 15．（本小题满分13分）已知全集U =R ，集合{|(2)0}P x x x =-≥，{|26}Q x a x a =<<+.（Ⅰ）求集合U P ð；（Ⅱ）若U P Q ⊆ð，求实数a 的取值范围.16．（本小题满分13分）已知函数32()6f x x ax =-，其中0a ≥.（Ⅰ）当1a =时，求曲线)(x f y =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性．17．（本小题满分13分）已知等比数列}{n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ．12a =，314S =．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n b n a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分13分）如图，设计建造一个面积为24840m 的矩形蔬菜温室，其长与宽的比为(1)λλ>．沿温室的左、右两侧各留8m 宽的空道，上、下两侧各留5m 宽的空道．试确定温室的长和宽，使其占地（包括蔬菜温室及空道）面积最小．19．（本小题满分14分）已知函数2()2ln f x x x a x =-+不是单调函数，且无最小值．（Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）设0x 是函数()f x 的极值点，证明：0()0f x <.20．（本小题满分14分）已知n 次多项式()(12)(14)(18)(12)n n S x x x x x =++++ ，其中n 是正整数.记()n S x 的展开式中x 的系数是n a ，2x 的系数是n b .（Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）证明：12142n n n n b b +++-=-；（Ⅲ）是否存在等比数列{}n c 和正数c ，使得1()()n n n b c c c c +=--对任意正整数n 成立？若存在，求出通项n c 和正数c ；若不存在，说明理由.参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. D ；2. A ；3. B ；4. C ；5. C ；6. B ；7. D ；8. D .二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 4-； 10. 2-； 11. 6-； 12.53； 13. [0,e]； 14. ①、②、③、④. 注：14题少解不给分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.（如有其他方法，仿此给分） 15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为全集U =R ，集合{|(2)0}P x x x =-≥，所以 {|(2)0}U P x x x =-<ð， …………………………4分即集合{|02}U P x x =<<ð. …………………………6分（Ⅱ）因为 U P Q ⊆ð，所以 0,262,a a ≤⎧⎨+≥⎩ (10)分解得 0,2.a a ≤⎧⎨≥-⎩所以 [2,0]a ∈-. …………………………13分注：第（Ⅱ）小问没有等号扣2分. 16.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当1a =时，32()6f x x x =-，2()312f x x x '=-． (2)分所以曲线)(x f y =在点(1,(1))f 处的切线斜率是(1)9f '=-． …………………………3分因为 (1)5f =-，所以曲线)(x f y =在点(1,(1))f 处的切线方程是59(1)y x +=--，即940x y +-=. …………5分（Ⅱ）令2()3123(4)0f x x ax x x a '=-=-=，得10x =，24x a =. …………………………7分① 当0a =时，2()30f x x '=≥，故()f x 在R 上为增函数. …………………………9分② 当40a >，即0a >时，列表分析如下：所以函数()f x 在(,0)-∞和(4,)a +∞内单调递增，在(0,4)a 内单调递减．…………………… 13分综上，当0a =时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，()f x 在(,0)-∞和(4,)a +∞内单调递增，在(0,4)a 内单调递减.17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等比数列}{n a 的公比是q ，依题意 0q >． ………………………… 1分由314S =，得 21(1)14a q q ++=，整理得 260q q +-=． ………………………… 3分解得 2q =，舍去3q =-． ……………………… 5分所以数列}{n a 的通项公式为112n n n a a q -=⋅=． ………………………… 6分（Ⅱ）由2n n n b n a n =⋅=⋅， ………………………… 7分得 231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅ ，所以 234121222322n n T n +=⨯+⨯+⨯++⋅ ． ………………………… 10分两式相减，得 231(2222)2n n n T n +=-+++++⋅ ， ………………………… 12分所以 1(1)22n n T n +=-+． ………………………… 13分18.（本小题满分13分）解：设矩形温室宽为m x ，则长为m x λ，依题意有24840x λ=． ……………………… 2分记矩形温室的占地面积为S ，则2(16)(10)(1016)160S x x x x λλλ=++=+++． ………………………… 5分将24840xλ=代入上式，整理得3025500016()S x x =++． ………………………… 8分根据均值定理，当3025x x =时，即55x =（此时815λ=>）时，S 取得最小值． ………… 11分此时，温室的长为85588m 5x λ=⨯=． (12)分答：矩形温室的长为88m ，宽为55m 时，温室的占地面积最小． ……………………… 13分19.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是{|0}x x >. ………………………… 1分对()f x 求导数，得222()22a x x a f x x x x-+'=-+=. ………………………… 3分显然，方程2()0220f x x x a '=⇔-+= (0)x >.若()f x 不是单调函数，且无最小值，则方程2220x x a -+=必有2个不相等的正根. ……… 5分所以 480,0,2a a ∆=->⎧⎪⎨>⎪⎩ 解得102a <<. ………………………… 7分（Ⅱ）设方程2220x x a -+=的2个不相等的正根是1x ，2x ，其中12x x <.所以2122()()22()x x x x x x a f x x x---+'==. ………………………… 9分列表分析如下：所以，1x 是极大值点，2x 是极小值点，12()()f x f x >.故只需证明1()0f x <. ………………………… 11分由 120x x <<，且121x x +=，得1102x <<. ………………………… 12分因为 102a <<，1102x <<，所以 1111()(2)ln 0f x x x a x =-+<.从而0()0f x <. ………………………… 14分 20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由 242n n a =+++ ， ………………………… 2分得 12(12)2212n n n a +-==--. ………………………… 3分（Ⅱ）由()(12)(14)(12)n n S x x x x =+++ ，得 11()(12)()n n n S x x S x ++=+⋅. ………………………… 6分所以 12122(21)n n n n n n n b b a b +++=+⋅=+-，即 21212(21)42n n n n n n b b ++++-=-=-. .............................. 8分（Ⅲ）由1()12S x x =+，得10b =. (9)分当2n ≥时，由 2211122222222()2(21)4[]4(22)(1)14123n n n nnk k nn kk k k b bb +--==--+=-=-=-=----∑∑，得 18(21)(21)3n n n b -=--. 当1n =时，10b =也适合上式，故18(21)(21)3n n n b -=--，*n ∈N . ……………………… 12分因此，存在正数3c ==1223n n n c c -=⋅=，使得1()()n n n b c c c c +=--对于任意正整数n 成立. ………………………… 14分。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2014-2015学年北京市东城区（南片）高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题3分，共60分.在每小题给出的四个选项中．选出符合题目要求的一项）1．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．C+C+C+C+C的值为（）A．64 B．63 C．62 D．613．反证法证明的关键是在正确的假设下得出矛盾，这个矛盾可以是（）①与已知矛盾；②与假设矛盾；③与定义、定理、公理、法则矛盾；④与事实矛盾．A．①②B．②③C．①②③D．①②③④4．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（）①y=cosx（x∈R）是三角函数；②三角函数是周期函数；③y=cosx（x∈R）是周期函数．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①5．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（）A．B．C．D．6．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是（）A．B．C．D．7．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（）A．B．C．D．8．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）A．70种B．80种C．100种D．140种9．观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解（x，y）的个数为4，|x|+|y|=2的不同整数解（x，y）的个数为8，|x|+|y|=3的不同整数解（x，y）的个数为12 …．则|x|+|y|=20的不同整数解（x，y）的个数为（）A．76 B．80 C．86 D．9210．已知复数z1=a+i，z2=1+i，其中a∈R，是纯虚数，则实数a的取值为（）A．﹣l B．1 C．﹣2 D．211．已知函数f（x）的导数f′（x）=a（x+1）（x﹣a），若f（x）在x=a处取到极大值，则a 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（0，+∞）12．已知随机变量X服从正态分布N（1，σ2），且P（﹣2≤X≤1）=0.4，则P（X＞4）=（）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.613．若二项式（2x+）7的展开式中项的系数是84，则实数a=（）A．2 B．C．D．114．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表广告费用x（万元）4 2 3 5销售额y（万元）49 263954根据上表可得回归方程=x+的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A．63.6万元B．65.5万元C．67.7万元D．72.0万元15．在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记x m y n项的系数为f（m，n），则f（3，0）的值为（）A．4 B．10 C．20 D．4016．要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）A．48种B．36种C．18种D．12种17．由曲线y=，x=1，x=2，y=0所围成的封闭图形的面积为（）A．4 B．2 C．2ln2 D．ln218．用数学归纳法证明1++（n∈N且n＞1），第二步证明中从“k到k+1”时，左端增加的项数是（）A．2k+1 B．2k﹣1 C．2k D．2k﹣1 19．设函数f（x）=x3+x，若0＜θ≤时，f（mcosθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，+∞）D．（1，+∞）20．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）﹣f（x）＞0，对任意正数a、b，若a＜b，则af（a），bf（b）的大小关系为（）A．af（a）＜bf（b）B．af（a）=bf（b）C．af（a）≤bf（b）D．af（a）≥bf（b）二、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分，解答题中的填空只需写出答案即可，其他应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21．已知复数z=1+i．（I）若复数ω=z2+3﹣4，则复数ω的模长|ω|=；（Ⅱ）如果=1﹣i，求实数a，b的值．22．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了4次试验，得到数据如下：零件的个数x（个） 2 3 45加工的时间y（小时）2.5 344.5（Ⅰ）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（Ⅱ）求y关于x的线性回归方程=x+；（Ⅲ）试预测加工10个零件需要的时间．参考公式：．23．2014年12月28日开始，北京市地铁按照里程分段计价．具体如下表：乘坐地铁方案（不含机场线）6公里（含）内3元；6公里至12公里（含）内4元；12公里至22公里（含）内5元；22公里至32公里（含）内6元；32公里以上部分，每增加l元可乘坐20公里（含）．已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过5元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选出120人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示．（Ⅰ）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选1人，试估计此人乘坐地铁的票价大于3元的概率为；（Ⅱ）从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选2人，记X为这2人乘坐地铁的票价和，根据统计图，并以频率作为概率，求X的分布列和数学期望．24．已知a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=1．（Ⅰ）若a=b=c，则（﹣1）（﹣1）（﹣1）的值为；（Ⅱ）求证：（﹣1）（﹣1）（﹣1）≥8．25．若存在实常数k和b，使得函数f（x）和g（x）对其定义域上的任意实数x分别满足：f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，则称直线l：y=kx+b为f（x）和g（x）的“隔离直线”．已知h（x）=x2，φ（x）=2elnx（e为自然对数的底数）．（1）求F（x）=h（x）﹣φ（x）的极值；（2）函数h（x）和φ（x）是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．2014-2015学年北京市东城区（南片）高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共60分.在每小题给出的四个选项中．选出符合题目要求的一项）1．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的混合运算．分析：复数分母实数化，再化简即可．解答：解：=故选D．点评：本题考查复数代数形式的运算，复数和复平面内的点的对应关系，是基础题．2．C+C+C+C+C的值为（）A．64 B．63 C．62 D．61考点：组合及组合数公式．专题：排列组合．分析：利用组合数公式进行求解即可．解答：解：∵C+C+C+C+C+C+C=26，∴C+C+C+C+C=26﹣C﹣C=64﹣1﹣1=62，故选：C点评：本题主要考查组合数公式的应用，比较基础．3．反证法证明的关键是在正确的假设下得出矛盾，这个矛盾可以是（）①与已知矛盾；②与假设矛盾；③与定义、定理、公理、法则矛盾；④与事实矛盾．A．①②B．②③C．①②③D．①②③④考点：反证法与放缩法．专题：证明题；推理和证明．分析：直接利用反证法的定义判断正误即可．解答：解：利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法．①与已知条件矛盾；正确．②与假设矛盾；正确．③与定义、定理、公理、法则矛盾；正确．④与事实矛盾．正确．故选：D．点评：本题考查反证法定义的连结与应用，基础题．4．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（）①y=cosx（x∈R）是三角函数；②三角函数是周期函数；③y=cosx（x∈R）是周期函数．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①考点：演绎推理的基本方法．专题：规律型；推理和证明．分析：根据三段论”的排列模式：“大前提”→“小前提”⇒“结论”，分析即可得到正确的次序．解答：解：根据“三段论”：“大前提”→“小前提”⇒“结论”可知：①y=cosx（（x∈R ）是三角函数是“小前提”；②三角函数是周期函数是“大前提”；③y=cosx（（x∈R ）是周期函数是“结论”；故“三段论”模式排列顺序为②①③故选B点评：本题考查的知识点是演绎推理的基本方法：大前提一定是一个一般性的结论，小前提表示从属关系，结论是特殊性结论．5．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（）A．B．C．D．考点：等可能事件的概率；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：首先由组合数公式，计算从袋中的6个球中任取2个的情况数目，再由分步计数原理计算取出的两球为一白一黑的情况数目，进而由等可能事件的概率公式，计算可得答案．解答：解：根据题意，袋中共有6个球，从中任取2个，有C62=15种不同的取法，6个球中，有2个白球和3个黑球，则取出的两球为一白一黑的情况有2×3=6种；则两球颜色为一白一黑的概率P==；故选B．点评：本题考查等可能事件的概率计算，是基础题，注意正确使用排列、组合公式．6．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是（）A．B．C．D．考点：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．专题：计算题．分析：每1粒发芽的概率为，播下3粒种子相当于做了3次试验，由题意知独立重复实验服从二项分布，即X～B（3，），根据二项分布的概率求法，做出结果．解答：解：∵每1粒发芽的概率为定值，播下3粒种子相当于做了3次试验，由题意知独立重复实验服从二项分布即X～B（3，）∴P（X=2）==故选B点评：二项分布要满足的条件是每次试验中，事件发生的概率是相同的，各次试验中的事件是相互独立的，每次试验只要两种结果，要么发生要么不发生，随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数．7．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（）A．B．C．D．考点：相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．专题：计算题．分析：根据题意，分析可得，这两个零件中恰有一个一等品包含仅第一个实习生加工一等品与仅第二个实习生加工一等品两种互斥的事件，而两个零件是否加工为一等品相互独立，进而由互斥事件与独立事件的概率计算可得答案．解答：解：记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A，即仅第一个实习生加工一等品（A1）与仅第二个实习生加工一等品（A2）两种情况，则P（A）=P（A1）+P（A2）=，故选B．点评：本题考查了相互独立事件同时发生的概率与互斥事件的概率加法公式，解题前，注意区分事件之间的相互关系（对立，互斥，相互独立）．8．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）A．70种B．80种C．100种D．140种考点：分步乘法计数原理．分析：不同的组队方案：选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，方法共有两类，一是：一男二女，另一类是：两男一女；在每一类中都用分步计数原理解答．解答：解：直接法：一男两女，有C51C42=5×6=30种，两男一女，有C52C41=10×4=40种，共计70种间接法：任意选取C93=84种，其中都是男医生有C53=10种，都是女医生有C41=4种，于是符合条件的有84﹣10﹣4=70种．故选A点评：直接法：先分类后分步；间接法：总数中剔除不合要求的方法．9．观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解（x，y）的个数为4，|x|+|y|=2的不同整数解（x，y）的个数为8，|x|+|y|=3的不同整数解（x，y）的个数为12 …．则|x|+|y|=20的不同整数解（x，y）的个数为（）A．76 B．80 C．86 D．92考点：归纳推理．专题：阅读型．分析：观察可得不同整数解的个数可以构成一个首项为4，公差为4的等差数列，则所求为第20项，可计算得结果．解答：解：观察可得不同整数解的个数4，8，12，…可以构成一个首项为4，公差为4的等差数列，通项公式为a n=4n，则所求为第20项，所以a20=80故选B．点评：本题考查归纳推理，分寻找关系式内部，关系式与关系式之间数字的变化特征，从特殊到一般，进行归纳推理．10．已知复数z1=a+i，z2=1+i，其中a∈R，是纯虚数，则实数a的取值为（）A．﹣l B．1 C．﹣2 D．2考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：把复数z1=a+i，z2=1+i代入，然后由复数代数形式的乘除运算化简求值，再由纯虚数的条件列出方程组，解方程组则答案可求．解答：解：由复数z1=a+i，z2=1+i，得==，∵是纯虚数，∴，解得：a=﹣1．故选：A．点评：本题考查了，考查了复数的基本概念，是基础题．11．已知函数f（x）的导数f′（x）=a（x+1）（x﹣a），若f（x）在x=a处取到极大值，则a 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（0，+∞）考点：函数在某点取得极值的条件．专题：计算题．分析：讨论a的正负，以及a与﹣1的大小，分别判定在x=a处的导数符号，从而确定是否在x=a处取到极大值，从而求出所求．解答：解：当a＞0时，当﹣1＜x＜a时，f'（x）＜0，当x＞a时，f'（x）＞0，则f（x）在x=a处取到极小值，不符合题意；当a=0时，函数f（x）无极值，不符合题意；当﹣1＜a＜0时，当﹣1＜x＜a时，f'（x）＞0，当x＞a时，f'（x）＜0，则f（x）在x=a处取到极大值，符合题意；当a=﹣1时，f'（x）≤0，函数f（x）无极值，不符合题意；当a＜﹣1时，当x＜a时，f'（x）＜0，当a＜x＜﹣1时，f'（x）＞0，则f（x）在x=a处取到极小值，不符合题意；综上所述﹣1＜a＜0，故选B．点评：本题主要考查了函数在某点取得极值的条件，解题的关键是分类讨论的数学思想，属于中档题．12．已知随机变量X服从正态分布N（1，σ2），且P（﹣2≤X≤1）=0.4，则P（X＞4）=（）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.6考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题；概率与统计．分析：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），得到曲线关于x=1对称，根据曲线的对称性得到结果．解答：解：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），∴曲线关于x=1对称，∴P（X＞4）=P（X＜﹣2）=1﹣P（﹣2≤X≤1）=0.1故选：A．点评：本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题．13．若二项式（2x+）7的展开式中项的系数是84，则实数a=（）A．2 B．C．D．1考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于﹣3，求得r的值，即可求得展开式中项的系数，再根据项的系数为84，求得a的值．解答：解：二项式（2x+）7的展开式的通项公式T r+1=•27﹣r•a r•x7﹣2r，令7﹣2r=﹣3，求得r=5，可得展开式中项的系数是×4×a5=84，求得a=1，故选：D．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．14．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表广告费用x（万元）4 2 3 5销售额y（万元）49 263954根据上表可得回归方程=x+的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A．63.6万元B．65.5万元C．67.7万元D．72.0万元考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：首先求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数，得到线性回归方程，把自变量为6代入，预报出结果．解答：解：∵=3.5，=42，∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程中的为9.4，∴42=9.4×3.5+a，∴=9.1，∴线性回归方程是y=9.4x+9.1，∴广告费用为6万元时销售额为9.4×6+9.1=65.5，故选：B．点评：本题考查线性回归方程．考查预报变量的值，考查样本中心点的应用，本题是一个基础题，这个原题在2011年山东卷第八题出现．15．在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记x m y n项的系数为f（m，n），则f（3，0）的值为（）A．4 B．10 C．20 D．40考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：由条件利用二项展开式的通项公式求得含x3y0的系数，即f（3，0）的值．解答：解：∵（1+x）6（1+y）4的展开式中，含x3y0的系数是：f（3，0）==20，故选：C．点评：本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，考查计算能力，属于基础题．16．要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）A．48种B．36种C．18种D．12种考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：根据题意，小张和小赵只能从事前两项工作，由此分2种情况讨论，①若小张或小赵入选，②若小张、小赵都入选，分别计算其情况数目，由加法原理，计算可得答案．解答：解：根据题意分2种情况讨论，①若小张或小赵入选，则有选法C21C21A33=24；②若小张、小赵都入选，则有选法A22A32=12，共有选法12+24=36种，故选：B．点评：本题考查组合、排列的综合运用，涉及分类讨论的思想，注意按一定顺序，做到不重不漏．17．由曲线y=，x=1，x=2，y=0所围成的封闭图形的面积为（）A．4 B．2 C．2ln2 D．ln2考点：定积分在求面积中的应用．专题：导数的综合应用．分析：首先利用定积分表示面积，然后计算即可．解答：解：由曲线y=，x=1，x=2，y=0所围成的封闭图形的面积为：=lnx|=ln2；故选D．点评：本题考查了运用定积分求瞿塘峡的面积；关键是正确利用定积分表示面积，然后正确计算．18．用数学归纳法证明1++（n∈N且n＞1），第二步证明中从“k到k+1”时，左端增加的项数是（）A．2k+1 B．2k﹣1 C．2k D．2k﹣1考点：数学归纳法．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：当n=k时，写出左端，并当n=k+1时，写出左端，两者比较，关键是最后一项和增加的第一项的关系．解答：解：当n=k时，左端=1++，那么当n=k+1时左端=1++++…+=1++++…+，∴左端增加的项为++…+，所以项数为：2k．故选：C．点评：本题考查数学归纳法证明，其中关键一步就是从k到k+1，是学习中的难点，也是学习中重点，解答过程中关键是注意最后一项与增添的第一项．19．设函数f（x）=x3+x，若0＜θ≤时，f（mcosθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，+∞）D．（1，+∞）考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：利用函数f（x）=x3+x是奇函数又是[0，]上的增函数，把不等式转化求解．解答：解：∵函数f（x）=x3+x是奇函数又是（0，]上的增函数，∴f（mcosθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，等价于f（mcosθ）＞﹣f（1﹣m）即f（mcosθ）＞f（m﹣1）即mcosθ＞m﹣1⇒m＜，又0＜θ≤时，0≤cosθ＜1，即有≥1，∴m＜1．故选：A．点评：考查函数的奇偶性单调性的综合运用以及三角函数的单调性的运用能力，属中档题．20．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）﹣f（x）＞0，对任意正数a、b，若a＜b，则af（a），bf（b）的大小关系为（）A．af（a）＜bf（b）B．af（a）=bf（b）C．af（a）≤bf（b）D．af（a）≥bf（b）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：令g（x）=，[x∈（0，+∞）]，利用导数研究其单调性，再利用不等式的性质即可得出．解答：解：令g（x）=，[x∈（0，+∞）]，∵xf′（x）﹣f（x）＞0，则g′（x）=＞0，∴函数g（x）在x∈（0，+∞）单调递增，∵a＜b，∴＜，∴bf（a）＜af（b），∴af（a）＜bf（a）＜af（b）＜bf（b）．故选：A．点评：本题考查了利用导数研究其单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分，解答题中的填空只需写出答案即可，其他应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21．已知复数z=1+i．（I）若复数ω=z2+3﹣4，则复数ω的模长|ω|=；（Ⅱ）如果=1﹣i，求实数a，b的值．考点：复数代数形式的乘除运算；复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：（I）由复数z求出，然后代入复数ω=z2+3﹣4化简求值则复数ω的模长可求；（Ⅱ）把复数z代入，然后由复数代数形式的乘除运算化简求值，再根据复数相等的定义列出方程组，从而解方程组可求得答案．解答：解：（Ⅰ）∵复数z=1+i．∴，∴ω=z2+3﹣4=（1+i）2+3（1﹣i）﹣4=﹣1﹣i．则复数ω的模长|ω|=故答案为：；（Ⅱ）由复数z=1+i．得==a+2﹣（a+b）i，由题设条件知a+2﹣（a+b）i=1﹣i，根据复数相等的定义，得，解得：．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，考查了复数相等的定义，是基础题．22．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了4次试验，得到数据如下：零件的个数x（个） 2 3 45加工的时间y（小时）2.5 344.5（Ⅰ）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（Ⅱ）求y关于x的线性回归方程=x+；（Ⅲ）试预测加工10个零件需要的时间．参考公式：．考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）利用描点法描出数据对应的四组点，进而作图，可得数据的散点图；（Ⅱ）利用公式计算，及系数a，b，可得回归方程；（Ⅲ）把x=10代入回归方程可得y值，即为预测加工10个零件需要的时间．解答：解：（Ⅰ）散点图如图所示：（3分）（Ⅱ）由题中表格数据得=3.5，=3.5，=3.5，=5．∴=0.7，=1.05，∴线性回归方程为=0.7x+1.05（Ⅲ）当x=10时，=0.7x+1.05=8.05，所以预测加工10个零件需要8.05小时．（8分）点评：本题主要考查了线性回归分析的方法，包括散点图，用最小二乘法求参数，以及用回归方程进行预测等知识，考查了考生数据处理和运算能力．23．2014年12月28日开始，北京市地铁按照里程分段计价．具体如下表：乘坐地铁方案（不含机场线）6公里（含）内3元；6公里至12公里（含）内4元；12公里至22公里（含）内5元；22公里至32公里（含）内6元；32公里以上部分，每增加l元可乘坐20公里（含）．已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过5元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选出120人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示．（Ⅰ）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选1人，试估计此人乘坐地铁的票价大于3元的概率为；（Ⅱ）从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选2人，记X为这2人乘坐地铁的票价和，根据统计图，并以频率作为概率，求X的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）直接由频率分布直方图得到此人乘坐地铁的票价大于3元的概率为；（Ⅱ）120人中地铁票价为3元、4元、5元，X的所有可能取值为6，7，8，9，10．由频率分布直方图得到地铁票价为3元、4元、5元的频率，以频率作为概率求得P（X=6），P （X=7），P（X=8），P（X=9），P（X=10），列出频率分布表，代入期望公式求得期望．解答：解：（Ⅰ）由频率分布直方图可得，此人乘坐地铁的票价大于3元的概率为．故答案为：；（Ⅱ）X的所有可能取值为6，7，8，9，10．根据统计图，可知120人中地铁票价为3元、4元、5元的频率分别为，，，即，，，以频率作为概率，知乘客地铁票价为3元、4元、5元的概率分别为，，．∴P（X=6）=，P（X=7）=，P（X=8）=，P（X=9）=，P（X=10）=．∴随机变量X的分布列为：X 6 7 8 9 10P∴=．点评：本题考查频率分布直方图，考查离散型随机变量的分布列及其数学期望的求法，关键是对题意的理解，是中档题．24．已知a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=1．（Ⅰ）若a=b=c，则（﹣1）（﹣1）（﹣1）的值为8；（Ⅱ）求证：（﹣1）（﹣1）（﹣1）≥8．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由题意可得a=b=c=，代入计算可得；（Ⅱ）由题意和基本不等式可得a+b≥2＞0，a+c≥2＞0，b+c≥2＞0，三式相乘结合题意变形可得．解答：解：（Ⅰ）由题意可得a=b=c=，代入计算可得（﹣1）（﹣1）（﹣1）=2×2×2=8；（Ⅱ）由题意和基本不等式可得a+b≥2＞0，a+c≥2＞0，b+c≥2＞0，∴（a+b）（a+c）（b+c）≥2•2•2=8abc，又a＞0，b＞0，c＞0，∴≥8又a+b+c=1，∴≥8∴••≥8，∴（﹣1）（﹣1）（﹣1）≥8点评：本题考查基本不等式，涉及不等式的证明，属中档题．25．若存在实常数k和b，使得函数f（x）和g（x）对其定义域上的任意实数x分别满足：f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，则称直线l：y=kx+b为f（x）和g（x）的“隔离直线”．已知h（x）=x2，φ（x）=2elnx（e为自然对数的底数）．（1）求F（x）=h（x）﹣φ（x）的极值；（2）函数h（x）和φ（x）是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：新定义；导数的综合应用．分析：（1）由已知中函数f（x）和φ（x）的解析式，求出函数F（x）的解析式，根据求导公式，求出函数的导数，根据导数判断函数的单调性并求极值（2）由（1）可知，函数f（x）和φ（x）的图象在（，e）处相交，即f（x）和φ（x）若存在隔离直线，那么该直线必过这个公共点，设隔离直线的斜率为k．则隔离直线方程为y﹣e=k（x﹣），即y=kx﹣k+e，根据隔离直线的定义，构造方程，可求出k值，进而得到隔离直线方程．解答：解：（1）∵F（x）=f（x）﹣φ（x）=x2﹣2elnx（x＞0），∴F′（x）=2x﹣==令F′（x）=0，得x=，当0＜x＜时，F′（x）＜0，x＞时，F′（x）＞0故当x=时，F（x）取到最小值，最小值是0（2）由（1）可知，函数f（x）和φ（x）的图象在（，e）处相交，因此存在f（x）和φ（x）的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k．则隔离直线方程为y﹣e=k（x﹣，即y=kx﹣k+e由f（x）≥kx﹣k+e（x∈R），可得x2﹣kx+k﹣e≥0当x∈R恒成立，则△=k2﹣4k+4e=（k﹣2）2≤0，∴k=2，此时直线方程为：y=2x﹣e，下面证明φ（x）≤2x﹣e exx＞0时恒成立令G（x）=2 x﹣e﹣φ（x）=2x﹣e﹣2elnx，G′（x）=2﹣=（2x﹣2e）=2（x﹣），当x=时，G′（X）=0，当0＜x＜时G′（x）＞0，则当x=时，G（x）取到最小值，极小值是0，也是最小值．所以G（x）=2x﹣e﹣g（x）≥0，则φ（x）≤2x﹣e当x＞0时恒成立．∴函数f（x）和φ（x）存在唯一的隔离直线y=2x﹣e点评：本题考查的知识点是函数的求导，利用导数求最值，属于中档题，主要做题要仔细．。