2020届北京市丰台区高三上学期期末练习数学试题 PDF版
π 2
，
AA1 AB AC 1 ， CC1 的中点为 H .
（Ⅰ）求证： AB A1C ；
（Ⅱ）求二面角 A1 BC A 的余弦值；
（Ⅲ）在棱 A1B1 上是否存在点 N ，使得 HN‖平面 A1BC ？若存在，求
出 A1N 的值；若不存在，请说明理由． A1B1
19.（本小题共 13 分）
现调查了北京市 5 个小区 12 月份的生活垃圾投放情况，其中可回收物中废纸和塑料品的投放量如下表：
A 小区
B 小区
C 小区
D 小区
E 小区
废纸投放量（吨）
5
5.1
5.2
4.8
4.9
塑料品投放量（吨）
3.5
3.6
3.7
3.4
3.3
（Ⅰ）从 A，B，C，D，E 这 5 个小区中任取 1 个小区，求该小区 12 月份的可回收物中，废纸投放量超过 5 吨且塑料品投放量超过 3.5 吨的概率；
解：（Ⅰ）
f
π ()
sin
π
cos
π
3 cos2 π
3
33
3
31
3 (1)2
22
2
3 .
2 （Ⅱ） f (x) sin x cos x 3 cos2 x
……………….4 分
1
cos 2x 1
sin 2x 3
2
2
π3 sin(2x ) .
32
因为 x [0,π] ，所以 2x π [ π ,4π ] .
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
丰台区 2019~2020 学年度第一学期期末练习
高三数学 参考答案及评分参考
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
C
B
B
A
A
B
C
2020．01
9
10
D
D
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 AB ， AC ， AA1 两两互相垂直， 如图，建立空间直角坐标系 A xyz ．
因为 AA1 AB AC 1 ，
所以 A(0，0，0) ， B(1，0，0) ， C(0，1，0) ， A1(0，0，1) .
因为 AA1 平面 ABC ， uuur
所以 AA1 (0,0,1) 即为平面 ABC 的一个法向量.
．
2
14. 我们称一个数列是“有趣数列”，当且仅当该数列满足以下两个条件：
①所有的奇数项满足 a2n1 a2n1 ，所有的偶数项满足 a2n a2n2 ；
②任意相邻的两项 a2n1 ， a2n 满足 a2n1 a2n .
根据上面的信息完成下面的问题：
（i）数列1，2，3，4，5，6
①存在 x0 R ,使得 f (x0 )(x 1) 2 f (x) .
根据以下条件，分别写出满足上述性质的一个函数.
（i）若 f (x) 是增函数，则 f (x)
；
（ⅱ）若 f (x) 不是单调函数，则 f (x)
.
三、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
已知函数 f (x) 1 x3 (a 1) x2 ax .
3
2
（Ⅰ）当 a 1时，求曲线 y f (x) 在点 (0,f (0)) 处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数 f (x) 的单调性；
（Ⅲ）对于任意 x1 ， x2 [0,2] ，都有
f (x1)
f (x2 )
2 ，求实数 a 的取值范围.
线 x y 6 0 相切.
（Ⅰ）求椭圆方程； （Ⅱ）设 S 为椭圆右顶点，过椭圆 C 的右焦点的直线 l 与椭圆 C 交于 P ，Q 两点（异于 S ），直线 PS ， QS 分别交直线 x 4 于 A ， B 两点. 求证： A ， B 两点的纵坐标之积为定值.
21.（本小题共 14 分）
2
3 33
当 2x π π ，即 x π 时，
32
12
f (x) 取得最大值1
3 .
2
……………….13 分
6
18.（本小题共 14 分）
证明：（Ⅰ）因为 AA1 平面 ABC ， AB 平面 ABC ，所以 AA1 AB . 因为 BAC π ，所以 AC AB . 2 又因为 AC I AA1 A ， 所以 AB 平面 A1AC . 因为 A1C 平面 A1AC ，所以 AB A1C .
11.
复数 1 的实部为 1+i
．
12. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的 6
个爻组成，爻分为阳爻“
”和阴爻“
”，右图就是一重卦．如果某
重卦中有 2 个阳爻，则它可以组成
种重卦．（用数字作答）
13. 已知 a,b,c 分别为△ ABC 内角 A,B,C 的对边， c2 2ab 且 sin A 1 sin C ，则 cos A
AD ( (0,1)) ，将△ ADE 沿直线 DE 折到△ ADE 的位置. 在翻折过程中，下列结论成立的是 AC
（A）在边 AE 上存在点 F ，使得在翻折过程中，满足 BF‖平面 ACD （B）存在 (0,1) ，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面 ABC 平面 BCDE
（A） 2
（B） 6
（C） 5或6
（D）12
8.
在
1 (
x2
)6
的展开式中，常数项是
x
（A） 20
（B） 15
（C）15
（D） 30
9. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵. 记鲑鱼的游速为 v （单位： m / s ），
鲑鱼的耗氧量的单位数为 Q .
科学研究发现
v
与
log3
2
（C）若 1 ，当二面角 A DE B 为直二面角时， AB 10
2
4
（D）在翻折过程中，四棱锥 A BCDE 体积的最大值记为 f () ， f () 的最大值为 2 3 9
第二部分 （非选择题 共 110 分）
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．
2
（i）证明：存在互不相同的四个整点(x1, y1),(x1, y1),(x2, y2),(x2, y2 )，满足 y1 y1 ,
y2 y2 ,y1 y2 ；
（ii）证明：存在互不相同的四个整点(x1, y1),(x1, y1),(x2, y2),(x2, y2)，满足 x1 x1 x2 x2 , y1 y2.
3
22.（本小题共 13 分）
已知 nN*，n 2 ，给定 n n 个整点 (x,y) ,其中1 x,y n,x,y N* . （Ⅰ）当 n 2 时,从上面的 2 2 个整点中任取两个不同的整点 (x1,y1),(x2,y2 ) ，求 x1 x2 的所有可能
值；
（Ⅱ）从上面 n n 个整点中任取 m 个不同的整点， m 5n 1 .
2． 命题“ x0 (0,+)，lnx0 x0 1 ”的否定是
（A） x0 (0,+)，lnx0 x0 1
（B） x0 (0,+)，lnx0 x0 1
（C） x(0,+)，lnx x 1
（D） x(0,+)，lnx x 1
3． 下列函数中，既是偶函数又在区间 (0,) 上单调递增的是
（B） 1 2
（C） 3 4
uuur uuur 5．已知菱形 ABCD 边长为 1， BAD=60 ，则 BDgCD=
（D）1
（A） 1 2
（B） 1
2
6．双曲线 4x2 y2 1的离心率为
（C） 3 2
（D） 3 2
（A） 5
（B） 5
2
（C） 3
（D） 3
2
7．已知公差不为 0 的等差数列an ，前 n 项和为 Sn ，满足 S3 S1 10 ，且 a1,a2,a4 成等比数列，则 a3
Q 100
成正比.
当 v 1m / s 时，鲑鱼的耗氧量的单
位数为 900 . 当 v = 2m / s 时，其耗氧量的单位数为
（A）1800
（B） 2700
（C） 7290
（D） 8100
10. 在 边 长 为 2 的 等 边 三 角 形 ABC 中 ， 点 D，E 分 别 是 边 A C， A B上 的 点 ， 满 足 DE ‖ BC 且
7
uuur uuuur
uuuur
uuur
由 A1N A1B1(0 1) ，又 A1B1 (1,0,0) ，故 A1N ( ,0,0) .
（Ⅱ）从 A，B，C，D，E 这 5 个小区中任取 2 个小区，记 X 为 12 月份投放的废纸可再造好纸超过 4 吨的 小区个数，求 X 的分布列及期望．
20.（本小题共 13 分）
已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1 (a
b
0) 的离心率为
1 2
，以原点为圆心，椭圆 C
的短半轴长为半径的圆与直
于是 n (1,1,1) .
uuur
所以 cos
uuur
AA1,n
uAuuAr1 n
AA1 n
3 .
北京市丰台区2023-2024学年高三上学期期末练习数学试卷含答案
丰台区2023～2024学年度第一学期期末练习高三数学（答案在最后）2024.01本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分选择题（共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{3,2,1,0,1,2}U =---，{1,0,1}A =-，{1,2}B =，则()U A B ⋃=ð（）A.{3,2}-- B.{3,2,1,2}--C.{3,2,1,0,1}--- D.{3,2,1,0,2}---【答案】A【解析】【分析】由补集和并集的定义求解即可.【详解】因为{3,2,1,0,1,2}U =---，{1,0,1}A =-，{1,2}B =，所以{}1,0,1,2A B ⋃=-，U ð(){}3,2A B ⋃=--.故选：A .2.若(1i)1i z -=+，则||z =（）A.iB.1C. D.2【答案】B【解析】【分析】根据复数的运算法则进行运算，继而直接求模即可.【详解】因为(1i)1i z -=+，所以()()()()1i 1i 1i 2i i 1i 1i 1i 2z +++====-+-，所以i 1z z =-=，，故选：B ．3.在6(2)x y -的展开式中，42x y 的系数为（）A.120- B.120C.60- D.60【答案】D【解析】【分析】求出6(2)x y -的通项，令2r =即可得出答案.【详解】6(2)x y -的通项为：()()66166C 2C 2r rr r r r r r T x y x y --+=-=-，令2r =可得：42x y 的系数为()226C 215460-=⨯=.故选：D .4.在中国文化中，竹子被用来象征高洁、坚韧、不屈的品质．竹子在中国的历史可以追溯到远古时代，早在新石器时代晚期，人类就已经开始使用竹子了．竹子可以用来加工成日用品，比如竹简、竹签、竹扇、竹筐、竹筒等．现有某饮料厂共研发了九种容积不同的竹筒用来罐装饮料，这九种竹筒的容积129,,,a a a L （单位：L ）依次成等差数列，若1233a a a ++=，80.4a =，则129a a a +++= （）A.5.4B.6.3C.7.2D.13.5【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的性质及求和公式求解.【详解】∵129,,,a a a L 依次成等差数列，1233a a a ++=，∴233a =，即21a =，又80.4a =，则()()()81912299910.49 6.3222a a a a a a a +⨯+⨯+⨯+++==== .故选：B.5.已知直线y kx =与圆221x y +=相切，则k =（）A.1± B.C. D.2±【答案】B【解析】【分析】根据题意可得圆心(0,0)O 到0-=kx y 的距离等于半径1，即可解得k 的值．【详解】直线y kx =+即0-=kx y ，由已知直线y kx =+与圆221x y +=相切可得，圆221x y +=的圆心(0,0)O 到0kx y -=的距离等于半径1，1=，解得k =，故选：B ．6.如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式π()tan 4f x x >的解集是（）A.{|20}x x -<< B.{|01}x x <<C.{|21}x x -<< D.{|12}x x -<<【答案】C【解析】【分析】利用正切型函数的图象与性质结合分段函数性质即可得到解集.【详解】设()πtan4h x x =，令π242k x k ππππ-<<+，且k ∈Z ，解得4242k x k -<<+，k ∈Z ，令0k =，则22x -<<，则()h x 在()2,2-上单调递增，()00h =1,1BC AC k k =-=，则2,02()2,20x x f x x x -+≤<⎧=⎨+-<<⎩，则当20x -<≤时，()0h x ≤，()0f x >，则满足()()f x h x >，即π()tan 4f x x >，当02x <<时，()11f =，且()f x 单调递减，()11h =，且()h x 单调递增，则()0,1x ∈时，()()f x h x >，即π()tan4f x x >；()1,2x ∈时，()()f x h x <，即()πtan 4f x x <；综上所述：π()tan4f x x >的解集为()2,1-，故选；C.7.在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板ABC 折起，使得二面角A BC D --为直二面角，得图2所示四面体ABCD ．小明对四面体ABCD 中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断：①CD ⊥平面ABC ；②AB ⊥平面ACD ；③平面ABD ⊥平面ACD ；④平面ABD ⊥平面BCD ．其中判断正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.【详解】对于①中，因为二面角A BC D --为直二面角，可得平面ABC ⊥平面BCD ，又因为平面ABC ⋂平面BCD BC =，DC BC ⊥，且DC ⊂平面BCD ，所以DC ⊥平面ABC ，所以①正确；对于②中，由DC ⊥平面ABC ，且AB ⊂平面ABC ，可得AB CD ⊥，又因为AB AC ⊥，且AC CD C = ，,AC CD ⊂平面ACD ，所以AB ⊥平面ACD ，所以②正确；对于③中，由AB ⊥平面ACD ，且AB ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面ACD ，所以③正确；对于④，中，因为DC ⊥平面ABC ，且DC ⊂平面BCD ，可得平面ABC ⊥平面BCD ，若平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ⋂平面ABC AB =，可得AB ⊥平面BCD ，又因为BC ⊂平面BCD ，所以AB BC ⊥，因为AB 与BC 不垂直，所以矛盾，所以平面ABD 和平面BCD 不垂直，所以D 错误.8.已知,a b 是两个不共线的单位向量，向量c a b λμ=+r r r （,λμ∈R ）．“0λ>，且0μ>”是“()0c a b ⋅+> ”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】举例验证必要性，通过向量的运算来判断充分性.【详解】当0λ>，且0μ>时，()()()()()22cos ,c a b a b a b a a b b a b λμλλμμλμλμ⋅+=+⋅+=++⋅+=+++ ()0λμλμ>+-+=，充分性满足；当()0c a b ⋅+> 时，()()cos ,c a b a b λμλμ⋅+=+++ ，当0λ>，0μ=时，()cos ,c a b a b λλ⋅+=+ 是可以大于零的，即当()0c a b ⋅+> 时，可能有0λ>，0μ=，必要性不满足，故“0λ>，且0μ>”是“()0c a b ⋅+>”的充分而不必要条件.故选：A .9.在八张亚运会纪念卡中，四张印有吉祥物宸宸，另外四张印有莲莲．现将这八张纪念卡平均分配给4个人，则不同的分配方案种数为（）A.18B.19C.31D.37【答案】B【分析】设吉祥物宸宸记为a ，莲莲记为b ，将这八张纪念卡分为四组，共有3种分法，再分给四个人，分别求解即可.【详解】设吉祥物宸宸记为a ，莲莲记为b①每人得到一张a ，一张b ，共有1种分法；②将这八张纪念卡分为()()()(),,,,,,,a a a a b b b b 四组，再分给四个人，则有2242C C 6=种分法③将这八张纪念卡分为()()()(),,,,,,,a b a a a b b b 四组，再分给四个人，则有2142C C 12=种分法共有：161219++=种.故选：B .10.已知函数2()||2||f x x a x =++，当[2,2]x ∈-时，记函数()f x 的最大值为()M a ，则()M a 的最小值为（）A.3.5B.4C.4.5D.5【答案】C【解析】【分析】先利用函数的奇偶性，转化为求()f x 在[]0,2上的最大值；再根据a 的取值范围的不同，讨论函数()f x 在[]0,2上的单调性，求函数()f x 的最大值.【详解】易判断函数()f x 为偶函数，根据偶函数的性质，问题转化为求函数()22f x x a x =++，[]0,2x ∈上的最大值()M a .当0a ≥时，()22f x x x a =++，二次函数的对称轴为1x =-，函数在[]0,2上单调递增，所以()()288M a f a ==+≥；当10a -≤<时，()222,022x x a x f x x x ax ⎧-+-≤≤⎪=⎨++≤⎪⎩，1≤，所以()f x在⎡⎣上递增，在2⎤⎦上也是递增，所以()()287M a f a ==+≥；当41a -<<-时，()222,022x x a x f x x x ax ⎧-+-≤≤⎪=⎨++≤⎪⎩，因为12<<，所以()f x 在[]0,1上递增，在(上递减，在2⎤⎦上递增，所以()()11M a f a ==-或()()28M a f a ==+，若18a a -≥+⇒742a -≤≤-，则()()9112M a f a ==-≥；若18a a -<+⇒712a -<<-，则()()9282M a f a ==+>;当4a ≤-时，()22f x x x a =-+-，[]0,2x ∈2≥），所以函数()f x 在[]0,1上递增，在(]1,2上递减，所以()()115M a f a ==-≥.综上可知：()M a 的最小值为92.故选：C【点睛】关键点点睛：问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题，然后讨论函数在给定区间上的单调性，从而求最大值.认真分析函数的单调性是关键.第二部分非选择题（共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.双曲线2214x y -=的渐近线方程________．【答案】12y x =±【解析】【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【详解】∵双曲线2214x y -=的a=2，b=1，焦点在x 轴上而双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为y=±b x a ∴双曲线2214x y -=的渐近线方程为y=±12x故答案为y=±12x 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想12.已知()44x x f x -=-，则11(()22f f -+=___．【答案】0【解析】【分析】由解析式直接代入求解即可.【详解】因为1122113()442222f -=-=-=，1122113()442222f --=-=-=-，所以11((022f f -+=.故答案为：0.13.矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，且,E F 分为,BC CD 的中点，则AE EF ⋅= ___．【答案】74-##-1.75【解析】【分析】以A 为坐标原点，建立如下图所示的平面直角坐标系，求出,AE EF ，由数量积的坐标表示求解即可.【详解】以A 为坐标原点，建立如下图所示的平面直角坐标系，()()()()()10,0,2,0,2,1,0,1,2,,1,12A B C D E F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以112,,1,22AE EF ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，()11172122244AE EF ⋅=⨯-+⨯=-+=- .故答案为：74-.14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角(0π)αα<<的始边为x 轴的非负半轴，终边与单位圆O 交于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ．若记点M 到直线OP 的距离为()f α，则()f α的极大值点为___，最大值为___．【答案】①.π4或3π4②.12##0.5【解析】【分析】根据三角函数的概念得(cos ,sin )P αα及,,OP OM MP ，利用面积法求得()f α，根据α的范围及三角函数的性质讨论()f α的单调性，进而求得答案.【详解】由题意(cos ,sin )P αα，1,cos ,sin OP OM MP αα===，由()1122OP f OM MP α⋅=⋅，得()1πsin 2,0122cos sin sin cos sin 21π2sin 2,π22f αααααααααα⎧<<⎪⎪=⋅===⎨⎪-<<⎪⎩，∴当π04α<<时，()f α单调递增；当ππ42α<<时，()f α单调递减；当π3π24α<<时，()f α单调递增；当3ππ4α<<时，()f α单调递减，则()f α的极大值点为π4或3π4，∵0πα<<，022πα<<，∴当sin 21α=±，即π4α=或3π4α=时，()f α取最大值为12．故答案为：π4或3π4；12.15.在平面直角坐标系内，动点M 与定点(0,1)F 的距离和M 到定直线:3l y =的距离的和为4．记动点M 的轨迹为曲线W ，给出下列四个结论：①曲线W 过原点；②曲线W 是轴对称图形，也是中心对称图形；③曲线W 恰好经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）；④曲线W 围成区域的面积大于则所有正确结论的序号是___．【答案】①③④【解析】【分析】根据题目整理方程，分段整理函数，画出图象，可得答案.【详解】设(),M x y ，则MF =，M 到直线l 的距离3d y =-，34y +-=，222(1)(43)x y y +-=--，22221168369x y y y y y +-+=--+-+，224483x y y =---，当3y ≥时，2214812412x y y x =-=-+，，则2214312,12x x x -+≥≤-≤≤，当3y <时，22144x y y x ==，，则2134x <，212x <，x -<<可作图如下：由图可知：曲线W 过原点，且是轴对称图形，但不是中心对称图形，故①正确，②错误；曲线W 经过()()()()0,02,10,42,1O A C E -，，，4个点，没有其它整点，故③正确；由()B ，()D -，()0,3F ，四边形AFEO 的面积113462S =⨯⨯=，122ABF EFD S S ==⨯= ，112BCD S =⨯⨯= ，多边形ABCDEO 的面积626S =+⨯=+曲线W 围成区域的面积大于，故④正确.故答案为：①③④.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.在△ABC 中，a =，2π3A =．（1）求C 的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，并求出AC 边上的中线的长度．条件①：2a b =；条件②：△ABC 的周长为4+ABC 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）π6（2【解析】【分析】（1）由正弦定理可解得；（2）条件②由余弦定理可得；条件③由三角形的面积公式和余弦定理可得.【小问1详解】在ABC 中，因为sin sin a cA C=，又a =，所以sin A C =．因为2π3A =，所以1sin 2C =．因为π03C <<，所以π6C =．【小问2详解】选择条件②：因为ABC 中，2π3A =，π6C =，πA B C ++=，所以π6B =，即ABC 为等腰三角形，其中b c =．因为a =，所以24a b c b ++=+=+．所以2b =．设点D 为线段AC 的中点，在ABD △中，1AD =．因为ABD △中，2222cos BD AB AD AB AD BAD=+-⋅∠22221221cos73π=+-⨯⨯⨯=，所以7BD =AC 7．选择条件③：因为ABC 中，2π3A =，π6C =，πA B C ++=，所以π6B =，即ABC 为等腰三角形，其中b c =．因为ABC 的面积为312πsin 323ABC S bc ∆==，所以2b c ==．设点D 为线段AC 的中点，在ABD △中，1AD =．因为ABD △中，2222cos BD AB AD AB AD BAD=+-⋅∠22221221cos73π=+-⨯⨯⨯=，所以7BD =AC 7．由题可知3a b =，故①不合题意.17.如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PA ⊥底面ABCD ，AD PA =，点E 为PA 中点．（1）求证：AD //平面BCE ；（2）点Q 为棱BC 上一点，直线PQ 与平面BCE 所成角的正弦值为515，求BQ BC 的值．【答案】（1）证明见解析（2）12BQ BC =【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可得Q 的坐标，即可得解.【小问1详解】因为正方形ABCD 中，//BC AD ．因为BC ⊂平面BCE ，AD ⊄平面BCE ，所以//AD 平面BCE ．【小问2详解】因为PA ⊥底面ABCD ，正方形ABCD 中AB AD ⊥，分别以,,AB AD AP的方向为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，如图不妨设2PA =，因为AD PA =，点E 为PA 的中点，点Q 为棱BC 上一点，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,0,1)E ，(0,0,2)P ，(2,,0)Q m (02)m ≤≤．所以(0,2,0)BC = ，(2,0,1)BE =- ，(2,,2)PQ m =-．设(,,)n x y z =为平面BCE 的法向量，则BCn ⊥ ，BE n ⊥．所以2020BC n y BE n x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，得102x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以(1,0,2)n = ．设直线PQ 与平面BCE 所成角为θ，则sin cos ,15PQ n PQ n PQ n θ⋅==== ，解得21m =，因为02m ≤≤，所以1m =，所以12BQ BC =．18.2023年冬，甲型流感病毒来势汹汹．某科研小组经过研究发现，患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异．在某地的两类人群中各随机抽取20人的该项医学指标作为样本，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值a ，将该指标小于a 的人判定为阳性，大于或等于a 的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为()p a ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为()q a ．假设数据在组内均匀分布，用频率估计概率．（1）当临界值20a =时，求漏诊率()p a 和误诊率()q a ；（2）从指标在区间[20,25]样本中随机抽取2人，记随机变量X 为未患病者的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）在该地患病者占全部人口的5%的情况下，记()f a 为该地诊断结果不符合真实情况的概率．当[20,25]a ∈时，直接写出使得()f a 取最小值时的a 的值．【答案】（1）(20)0.1p =，(20)0.05q =（2）分布列见解析；期望为65（3）20a =【解析】【分析】（1）由频率分布直方图计算可得；（2）利用超几何分布求解；（3）写出()f a 的表达式判单调性求解.【小问1详解】由频率分布直方图可知(20)0.0250.1p =⨯=，(20)0.0150.05q =⨯=．【小问2详解】样本中患病者在指标为区间[20,25]的人数是200.0252⨯⨯=，未患病者在指标为区间[20,25]的人数是200.0353⨯⨯=，总人数为5人．X 可能的取值为0，1，2．202325C C 1(0)10C P X ===，112325C C 3(1)C 5P X ===，022325C C 3(2)10C P X ===．随机变量X 的分布列为X012P11035310随机变量X 的期望为1336()012105105E X =⨯+⨯+⨯=．【小问3详解】由题，()()()95%5%f a q a p a =⨯+⨯，[20,25]a ∈时，令()20,0,1,2,3,4,5a t t =+=()()50.010.03,50.020.0255t t q a p a ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯=⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()()50.010.0395%50.020.025%55t t f a g t ⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯⨯+⨯-⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，关于t 的一次函数系数为()50.0319%0.021%0⨯-⨯>，故()g t 单调递增，则0=t 即20a =时()f a 取最小值19.已知函数2()e ()x f x x ax a =--．（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，求实数a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间．【答案】（1）1（2）答案见解析【解析】【分析】（1）先求函数()f x 的导函数，若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，只需保证()01f '=，求实数a 的值即可；（2）求得()0f x '=有两个根“2x =-和x a =”，再分2a <-、2a =-和2a >-三种情况分析函数()f x 的单调性即可.【小问1详解】由题可得2()e [(2)2]x f x x a x a '=+--，因为()f x 在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，所以()01f '=，即e(33)0a -=，解得1a =，经检验1a =符合题意．【小问2详解】因为2()e [(2)2]x f x x a x a '=+--，令()0f x '=，得2x =-或x a =．当2a <-时，随x 的变化，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：x(,)a -∞a(,2)a -2-(2,)-+∞()f 'x +-+()f x 单调递增()f a 单调递减(2)f -单调递增所以()f x 在区间(,)a -∞上单调递增，在区间(,2)a -上单调递减，在区间(2,)-+∞上单调递增．当2a =-时，因为2()e (2)0x f x x '=+≥，当且仅当2x =-时，()0f x '=，所以()f x 在区间(,)-∞+∞上单调递增．当2a >-时，随x 的变化，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：x(,2)-∞-2-(2,)a -a(,)a +∞()f 'x +-+()f x 单调递增(2)f -单调递减()f a 单调递增所以()f x 在区间(,2)-∞-上单调递增，在区间(2,)a -上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增．综上所述，当2a <-时，()f x 的单调递增区间为(,)a -∞和(2,)-+∞，单调递减区间为(,2)a -；当2a =-时，()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞，无单调递减区间；当2a >-时，()f x 的单调递增区间为(,2)-∞-和(,)a +∞，单调递减区间为(2,)a -．20.已知椭圆22:143x y E +=．（1）求椭圆E 的离心率和焦点坐标；（2）设直线1:l y kx m =+与椭圆E 相切于第一象限内的点P ，不过原点O 且平行于1l 的直线2l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，点A 关于原点O 的对称点为C ．记直线OP 的斜率为1k ，直线BC 的斜率为2k ，求12k k 的值．【答案】（1）离心率为12，焦点坐标分别为(1,0)-，(1,0)（2）121k k =【解析】【分析】（1）根据椭圆方程直接求出离心率与焦点坐标；（2）根据直线1l 与椭圆E 相切求出P 坐标并得到134k k=-，法一：设直线2l 的方程为y kx n =+，由韦达定理求出234k k=-证得结论．法二：记1122(,),(,)A x y B x y ，由点差法求2k k ⋅可证得结论．【小问1详解】由题意得2222243a b c a b ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩．所以椭圆E 的离心率为12c e a ==，焦点坐标分别为(1,0)-，(1,0)．【小问2详解】由22,143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得：222()4384120k x kmx m +++-=①其判别式Δ0=得222(8)4(43)(412)0km k m -+-=，化简为2243m k =+．此时方程①可化为2228160m x kmx k ++=，解得4kx m=-，(由条件知,k m 异号)．记00(,)P x y ，则04k x m=-，所以220443()k m k y k m m m m -=-+==，即点43(,)k P m m -．所以OP 的斜率13344m k k k m==--．法一：因为12//l l ，所以可设直线2l 的方程为(0,)y kx n n n m =+≠≠．由22,143y kx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得：222(43)84120k x knx n +++-=．当其判别式大于零时，有两个不相等的实根，设1122(,),(,)A x y B x y ，则21212228412,4343kn n x x x x k k -+=-=++．因为C 是A 关于原点O 的对称点，所以点C 的坐标为11(,)C x y --．所以直线BC 的斜率22121221212122243384443y y kx n kx n n n k k k k k kn x x x x x x k k k +++++===+=+=-=-+++-+．所以121k k =．法二：记1122(,),(,)A x y B x y ，因为点C 与点A 关于原点对称，所以11(,)C x y --．因为12//l l ，所以直线AB 的斜率为k ，所以22212121222212121y y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-．因为点,A B 在椭圆上，所以2211143x y +=，2222143x y+=．两式相减得：22222121043x x y y --+=．所以2221222134y yx x-=--，即234k k⋅=-，所以234kk=-．所以121kk=．【点睛】方法点睛：将P视为1l与椭圆相交弦中点，由中点弦定理得212bk ka⋅=-，设AB中点为M，由中点弦定理得22OMbk ka⋅=-，由2OMk k=得222bk ka⋅=-，故12k k=.21.对于数列{}n a，如果存在正整数T，使得对任意*()n n∈N，都有n T na a+=，那么数列{}na就叫做周期数列，T叫做这个数列的周期．若周期数列{}n b，{}n c满足：存在正整数k，对每一个*(,)i i k i∈N≤，都有i ib c=，我们称数列{}n b和{}n c为“同根数列”．（1）判断下列数列是否为周期数列．如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由；①sinπna n=；②121,1,3,2,, 3.nn nnb nb b n--=⎧⎪==⎨⎪-≥⎩（2）若{}n a和{}n b是“同根数列”，且周期的最小值分别是3和5，求证：6k≤；（3）若{}n a和{}n b是“同根数列”，且周期的最小值分别是2m+和4m+*()m∈N，求k的最大值．【答案】（1）{}n a、{}n b均是周期数列，数列{}n a周期为1（或任意正整数），数列{}n b周期为6（2）证明见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）由周期数列的定义求解即可；（2）由“同根数列”的定义求解即可；（3）m是奇数时，首先证明25k m+≥不存在数列满足条件，其次证明24k m=+存在数列满足条件.当m 是偶数时，首先证明24k m+≥时不存在数列满足条件,其次证明23k m=+时存在数列满足条件．【小问1详解】{}n a 、{}n b 均是周期数列，理由如下：因为1sin (1)π0sin πn n a n n a +=+===，所以数列{}n a 是周期数列，其周期为1（或任意正整数）．因为32111n n n n n n n b b b b b b b +++++=-=--=-，所以63n n n b b b ++=-=．所以数列{}n b 是周期数列，其周期为6（或6的正整数倍）．【小问2详解】假设6k ≤不成立，则有7k ≥，即对于17i ≤≤，都有i i a b =．因为71a a =，722b b a ==，所以12a a =．又因为63a a =，611b b a ==，所以13a a =．所以123a a a ==，所以1=n n a a +，与1T 的最小值是3矛盾．所以6k ≤．【小问3详解】当m 是奇数时，首先证明25k m +≥不存在数列满足条件．假设25k m +≥，即对于125i m +≤≤，都有i i a b =．因为()54m t m t a b t m ++=≤≤+，所以()24454t t t a b a t m ---==≤≤+，即1352m a a a a +==== ，及2461m a a a a +==== ．又5t m =+时，12(2)12511m m m m a a b b a +++++====，所以1=n n a a +，与1T 的最小值是2m +矛盾．其次证明24k m =+存在数列满足条件．取(2)31,=21(1)212,2(1)2m l im i k k a m i k k +++⎧-≤≤⎪⎪=⎨+⎪=≤≤⎪⎩()l ∈N及()431,=21(1)212,2(1)21,32,4m l i m i k k m i k k b i m i m +++⎧-≤≤⎪⎪+⎪=≤≤=⎨⎪=+⎪⎪=+⎩()l ∈N ，对于124i m +≤≤，都有i i a b =．当m 是偶数时，首先证明24k m +≥时不存在数列满足条件．假设24k m +≥，即对于124i m +≤≤，都有i i a b =．因为()53m t m t a b t m ++=≤≤+，所以()24453t t t a b a t m ---==≤≤+，即1351m a a a a +==== ，及246m a a a a ==== ．又4t m =+时，2m m m a b a +==，所以2=n n a a +，与1T 的最小值是2m +矛盾．其次证明23k m =+时存在数列满足条件．取()221,=21(1)22,2(1)23,2m l i m i k k a m i k k i m +++⎧-≤≤⎪⎪=⎨=≤≤⎪⎪=+⎩()l ∈N 及()421,=21(1)22,2(1)23,21,32,4m l im i k k m i k k b i m i m i m +++⎧-≤≤⎪⎪⎪=≤≤⎪=⎨⎪=+⎪=+⎪⎪=+⎩()l ∈N ，对于123i m +≤≤，都有i i a b =．综上，当m 是奇数时，k 的最大值为24m +；当m 是偶数时，k 的最大值为23m +．【点睛】关键点睛：本题(3)的突破口是利用“同根数列”的定义分类讨论，当m 是奇数时，首先证明25k m +≥不存在数列满足条件，其次证明24k m =+存在数列满足条件.当m 是偶数时，首先证明24k m +≥时不存在数列满足条件，其次证明23k m =+时存在数列满足条件．。
2020.1北京市丰台区高三年级第一学期期末-数学试题
丰台区2019—2020学年度第一学期期末练习高三数学 2020.01 第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．若集合{|13}A x x =<<，{|12}B x x =-<<，则AB =（A ）{|13}x x -<<（B ）{|11}x x -<<（C ）{|12}x x <<（D ）{|23}x x <<2． 命题“000(0+)ln 1x x x ∃∈∞=-,，”的否定是（A ）000(0+)ln 1x x x ∃∈∞≠-,， （B ）000(0+)ln 1x x x ∃∉∞=-,， （C ）(0+)ln 1x x x ∀∈∞≠-,，（D ）(0+)ln 1x x x ∀∉∞=-,，3． 下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（A ）y x =- （B ）21y x =- （C ）cos y x =（D ）12y x =4．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(000),,，(001),,，(110),,，(101),,， 则此四面体在xOy 坐标平面上的正投影图形的面积为 （A ）14（B ）12（C ）34（D ）15．已知菱形ABCD 边长为1，=60BAD ∠︒，则=BD CD（A ）12（B ）12-（C （D ）-6．双曲线2241x y -=的离心率为（A （B （C （D7．已知公差不为0的等差数列{}n a ，前n 项和为n S ，满足3110S S -=，且124a a a ,,成等比数列，则3a = （A ）2 （B ）6（C ）56或（D ）128. 在261()x x-的展开式中，常数项是（A ）20-（B ） 15-（C ）15（D ）309. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵. 记鲑鱼的游速为v （单位：m /s ），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q . 科学研究发现v 与3log 100Q成正比. 当1m /s v =时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900. 当2m /s v=时，其耗氧量的单位数为 （A ）1800（B ） 2700（C ）7290（D ）810010. 在边长为2的等边三角形ABC 中，点D E ，分别是边AC AB ，上的点，满足DE ‖BC 且AD ACλ=((01))λ∈,，将△ADE 沿直线DE 折到△A DE '的位置. 在翻折过程中，下列结论成立的是（A ）在边A E '上存在点F ，使得在翻折过程中，满足BF ‖平面A CD '（B ）存在1(0)2λ∈,，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面A BC '⊥平面BCDE（C ）若12λ=，当二面角A DE B '--为直二面角时，4A B '=（D ）在翻折过程中，四棱锥A BCDE '-体积的最大值记为()f λ，()f λ的最大值为9第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 11. 复数11i+的实部为 ．12. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，右图就是一重卦．如果某重卦中有2个阳爻，则它可以组成 种重卦．（用数字作答） 13. 已知a b c ,,分别为△ABC 内角A B C ,,的对边，22c ab =且1sin sin 2A C =，则cos A = ．14. 我们称一个数列是“有趣数列”，当且仅当该数列满足以下两个条件：①所有的奇数项满足2121n n a a -+<，所有的偶数项满足222n n a a +<； ②任意相邻的两项21n a -，2n a 满足21n a -<2n a . 根据上面的信息完成下面的问题：（i ）数列123456，，，，， “有趣数列”（填“是”或者“不是”）； （ⅱ）若2(1)nn a n n=+-，则数列{}n a “有趣数列”（填“是”或者“不是”）.15．已知抛物线24C y x =：的焦点为F ，则F 的坐标为 ；过点F 的直线交抛物线C 于A B ,两点，若4AF =，则△AOB 的面积为 ． 16．定义域为R 的函数()f x 同时满足以下两条性质：①存在0x ∈R ,使得0()0f x ≠； ②对于任意x ∈R ，有(1)2()f x f x +=.根据以下条件，分别写出满足上述性质的一个函数. （i ）若()f x 是增函数，则()f x = ； （ⅱ）若()f x 不是单调函数，则()f x = .三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17.（本小题共13分）已知函数2()sin cos f x x x x =.（Ⅰ）求π()3f 的值；（Ⅱ）求()f x 在区间π[0]2,上的最大值.18.（本小题共14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，π2BAC ∠=，11AA AB AC ===，1CC 的中点为H .（Ⅰ）求证：1AB A C ⊥； （Ⅱ）求二面角1A BC A --的余弦值；（Ⅲ）在棱11A B 上是否存在点N ，使得HN ‖平面1A BC ？若存在，求出111A N AB 的值；若不存在，请说明理由．19.（本小题共13分）目前，中国有三分之二的城市面临“垃圾围城”的窘境. 我国的垃圾处理多采用填埋的方式，占用上万亩土地，并且严重污染环境. 垃圾分类把不易降解的物质分出来，减轻了土地的严重侵蚀，减少了土地流失. 2020年5月1日起，北京市将实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾四类 .生活垃圾中有30%~40%可以回收利用，分出可回收垃圾既环保，又节约资源. 如：回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸，可以挽救17棵大树，少用纯碱240千克，降低造纸的污染排放75％，节省造纸能源消耗40％～50％.现调查了北京市5个小区12月份的生活垃圾投放情况，其中可回收物中废纸和塑料品的投放量如下表：（Ⅰ）从A ，B ，C ，D ，E 这5个小区中任取1个小区，求该小区12月份的可回收物中，废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨的概率；（Ⅱ）从A ，B ，C ，D ，E 这5个小区中任取2个小区，记X 为12月份投放的废纸可再造好纸超过4吨的小区个数，求X 的分布列及期望．20.（本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+=相切.（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设S 为椭圆右顶点，过椭圆C 的右焦点的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（异于S ），直线PS ，QS 分别交直线4x =于A ，B 两点. 求证：A ，B 两点的纵坐标之积为定值.21.（本小题共14分）已知函数321(1)()32a f x x x ax +=-+.（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0(0))f ,处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅲ）对于任意1x ，2[02]x ∈,，都有122()()3f x f x -≤，求实数a 的取值范围.22.（本小题共13分）已知*2n n ∈≥N ，，给定n n ⨯个整点()x y ,,其中1x y n x y ≤≤∈*N ,,,.（Ⅰ）当2n =时,从上面的22⨯个整点中任取两个不同的整点1122()()x y x y ,,,，求12x x +的所有可能值；（Ⅱ）从上面n n ⨯个整点中任取m 个不同的整点，512n m ≥-.（i ）证明：存在互不相同的四个整点),(),,(),,(),,(22221111y x y x y x y x ''''，满足11y y '=, 2212y y y y '=≠,； （ii ）证明：存在互不相同的四个整点),(),,(),,(),,(22221111y x y x y x y x ''，满足 2211x x x x '+='+,.21y y ≠（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）。
北京市丰台区2020-2021上学期期末练习高三数学试题及参考答案
北京市丰台区2020~2021学年度第一学期期末练习高三数学考生 须 知 1.答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚.并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形 码.2.本次考试所有答题均在答题卡上完成.选择题必须使用28铅笔以正确填涂方式将各小题对应 选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项.非选择题必须使用标准黑色字迹签字 笔书写要求字体工整、字迹清楚.3.请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿 纸上答题无效.4.本试卷满分共150分，作答时长120分钟.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项.1 .己知合集 A = {xl 工20}, B = {xeZ\-2<x<2] 9 那么 4口8=(2 .在等数列｛4〃｝中，若q=19+。
4 =1°，则。
20=（ ）3 .某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（A. {0J)B. {x\0<x<2}C. {-10}D. {0.1,2}A. 35B. 37C. 39D. 41B. B. ll + 2x/2C. 11 + 2/D.D ・ 14 + 2点A. [0,1)一二’一则函数/（X ）的值域为（B.（一刃⑼21 1侧视图俯视图6.下列函数中，同时满足①对于定义域内的任意x,都有/（一工）=一/（］），②存在区间。
，/（可在区间 。
上单调递减的函数是（）A. y = sin xB. y = x 3C. y = —r —D. y = In xx- +17 .已知｛4｝是等比数列,S”为其前〃项和,那么“％ >0”是“数列⑸｝为递增数列”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8 .某校实行选科走班制度（语文、数学、英语为必选科目，此外学生需在物理、化学、生物、历史、地理、政治六科中任选三科）.根据学生选科情况，该校计划利用三天请专家对九个学科分别进行学法指导，每天 依次安排三节课，每节课一个学科.语文、数学、英语只排在第二节.物理、政治排在同-天.化学、地理 排在同一天，生物、历史排在同一天，则不同的排课方案的种数为（）A. 36B. 48C. 144D. 2889 .在平面直角坐标系中，A ，3是直线/+> =加上的两点，且|4即= 10.若对于任意点 P （cos<9,sin<9）（0<<9<2^）,存在4，5使乙408 = 90°成立，则〃?的最大值为（）A. 2x/2B. 4C. 4"D. 810 .为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全而消毒，出于对顾客身体健康的考虑,相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25亳克/立方米时，顾客方可 y ， 进入商场.已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度）’（亳克/立方米）1 --人o.k,o<^<io与时间分钟）之间的函数关系为门 喘-“（。
北京丰台区2020学年度第一学期高三期末练习数学文科
北京丰台区2020 学年度第一学期高三期末练习数学文科2020.01本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150 分。
考试时间120 分钟。
第Ⅰ卷（选择题共40 分）一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，共40 分。
在每个小题列出的四个先期中，选出切合题目要求的一项。
1．双曲线2 y2x4 51的焦点坐标为（）A ．（–1，0），（1，0）B．（–3，0），（3，0）C．（0，–1），（0，1）D．（0，–3），（0，3）x 22．函数y = log2 x3的定域为（）A ．{x| –3＜x＜2} B．{x| –2＜x＜3}C．{x | x ＞3 或x＜–2} D．{x | x ＜–3 或x＞2}1lg 33．设 a = ，b = lg4 , c = ，则（）A ．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．b＜a＜c 4．函数y = log2 ( x2 –5x –6 )单一递减区间是（）5,A ． 2 B．52,C．, 1 D．( 6, )5．4．设m、n 是两条不一样的直线，、是两相没的平面，则以下命题中的真命题是（）A ．若m∥, n∥, ∥,则m∥n B．若m ,n,m∥n 则∥C．若m⊥,m∥,则⊥D．若m , ⊥,则m⊥6．若圆x2 + y2 –2x + 4y = 0 与直线x –2y + a = 0 相离，则实数 a 的取值范围是（）A ．–2＜a＜8a＞8 或a＜–2 B．a＞0 或a＜–10C．–10＜a＜0 D．a＞8 或a＜–27．已知向量 a = ( 1 , 3 ) ，b = ( 3 , n ) 若2 a –b 与b 共线，则实数n 的值是（）A ．3 2 3 B．3 2 3 C．6 D．98．编号为1，2，3，4，5 的5 人入坐编号也为1，2，3，4，5 的5 个座位，至多有两人对号入坐的不一样坐法有（）A ．109 种B．110 种C．108 种D．111 种第Ⅱ卷（非选择题共110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共30 分。
2020丰台区高三数学期末试题及答案_202001082023496
丰台区2019—2020学年度第一学期期末练习高三数学2020.01本试卷共8页，分为第一部分和第二部分,调分150分.考试时长120分钟.2.答卷前.考生务必在试卷和答旳卡（纸）上准确壊写学校、姓名和考号.3-甘箱答案一律书写在答题卡（纸）上，在试卷上作答无SL4、在答题卡（纸）上.选择题用2B铅笔作答，其他试題用黑色字迹签字笔作答.5 .考试结束，将本试卷、答籠卡（纸）和草稿纸一并交回.第一部分（选择题共40分）—、透择■共10小JK,每小题4分.共40分.在鸳小题列出的四个选项中，选出符合U目寒求的一项.L_ 若集合其={H|1OV3},S={X|-1<X<2> .则AAB (A> UH l<x<3) (B) {xi-l<x<l} XC) {x|l<jr<2} <D) (x|2<j-<3)2.命题-3工,€(0,+8),】心。
=珏一1"的否定是G(A) 3x€ (0. 4- oo)»lnxo^：x(l—】*.(B> 3x p $ (Or -F OD)»1HT O—(C)丫工 £〈0,十oj.lnx Rm —1tD) Vh & (0. + a>) .Inr =jr — 13.下列函数中•既是偽函数又在区间(0,(A) y=—JT y =x'4.一个四面体的頂点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是（0,0,0）,（0,0.1）,（1.1,0； . （1.0.1）.则此四面体在zQy坐标平面上的正投彫图形的面积为5（M 7 ⑻—<c, T <D）15.巳知菱形ABCD边长为歸0°.则万3 •布=方（A）y J <C）y （D）-亨6.双曲銭4x s一,' =1的离心率为A（A槌（B）亨（C）占（D淳贏三數学第丨页（共6页）XT, I巳物公Jfe不为°m 心.effMS..・ML5iO，W,・E・等比數列，疝卜（A）2 己,（B）6 8.ft 的展开式中，客故項欢C ,（A）<B）-15 «C） 15 <O> W9•大西洋蛙氧每年郵妥M百上.“ft鶴己出•虻■■零d・ H — 5- ■，正比，豊（单位：m/fit鱼的耗tut的尊taut力Q-HN E。
2019-2020年丰台区高三上学期期末考试数学(理)试题(有答案)
丰台区第一学期期末练习高三数学（理科） 第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{(2)(1)0}A x x x =∈+-<Z ，{2,B =-1}-，那么A B U 等于（A ）{2101}，，，-- （B ）{210}，，-- （C ）{21}，-- （D ）{1}-2．已知0a b >>，则下列不等式一定成立的是（A ）a b <（B ）11a b> （C ）11()()22ab>（D ）ln ln a b >3．如果平面向量(20)，=a ，(11)，=b ，那么下列结论中正确的是（A ）=a b （B ）⋅=a b （C ）()-⊥a b b（D ）//a b4．已知直线m ，n 和平面α，如果n α⊂，那么“m n ⊥”是“m α⊥”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件5．在等比数列}{n a 中，31=a ，123+=a a a +9，则456+a a a +等于（A ）9（B ）72（C ）9或72（D ） 9或726． 如果函数()s i n 3c o s f x x ωω=的两个相邻零点间的距离为2，那么(1)(2)(3)(9)f f f f ++++L 的值为（A ）1 （B ）1（C （D ）7.中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(guǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中4115.16寸表示115寸416分（1寸=10分）．已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为（A ）72.4寸（B ）81.4寸（C ）82.0寸（D ）91.6寸8.对于任何集合S ，用|S|表示集合S 中的元素个数，用()n S 表示集合S 的子集个数. 若集合A ，B 满足条件：|A|=2017，且()()()n A n B n A B +=U ，则|A B |I 等于（A ）2017（B ）2016（C ）2015（D ）2014第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9. i 是虚数单位，复数2i1i-= ． 10. 设椭圆C ：222+1(0)16x y a a =>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，如果12||+||10PF PF =，那么椭圆C 的离心率为 ．11．在261()x x-的展开式中，常数项是 （用数字作答）．12．若，x y 满足202200，，，x y x y y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩+则=2z x y -的最大值为 ．13．如图，边长为2的正三角形ABC 放置在平面直角坐标系Oy 中，AC 在轴上，顶点B 与y 轴上的定点P 重合．将正三角形ABC 沿轴正方向滚动，即先以顶点C 为旋转中心顺时针旋转，当顶点B 落在x轴上时，再以顶点B 为旋转中心顺时针旋DCBA转，如此继续．当△ABC 滚动到△111A B C 时，顶点B 运动轨迹的长度为 ；在滚动过程中，OB OP ⋅uu u r uu u r的最大值为 ．14．已知()f x 为偶函数，且0≥x 时，][)(x x x f -=（][x 表示不超过的最大整数）．设()()()g x f x kx k k =--∈R ，若1k =，则函数()g x 有____个零点；若函数()g x 三个不同的零点，则k 的取值范围是____．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，3AC =，2CD =，AD =sin B =（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求边AB 的长.16.（本小题共14分）如图所示的多面体中，面ABCD 是边长为2的正方形，平面PDCQ ⊥平面ABCD ，PD DC ^，E F G ，，分别为棱，，B C A DP A的中点. CBPGF DE QA（Ⅰ）求证：EG ‖平面PDCQ ； （Ⅱ）已知二面角P BF C --， 求四棱锥P ABCD -的体积．17.（本小题共14分）数独游戏越越受人们喜爱，今年某地区科技馆组织数独比赛，该区甲、乙、丙、丁四所学校的学生积极参赛，参赛学生的人数如下表所示：为了解参赛学生的数独水平，该科技馆采用分层抽样的方法从这四所中学的参赛学生中抽取30名参加问卷调查．（Ⅰ）问甲、乙、丙、丁四所中学各抽取多少名学生？（Ⅱ）从参加问卷调查的30名学生中随机抽取2名，求这2名学生自同一所中学的概率； （Ⅲ）在参加问卷调查的30名学生中，从自甲、丙两所中学的学生中随机抽取2名，用表示抽得甲中学的学生人数，求的分布列．18.（本小题共13分）已知函数()e x f x x =与函数21()2g x x ax =+的图象在点(00)，处有相同的切线. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设()()()()h x f x bg x b =-∈R ，求函数()h x 在[12]，上的最小值.19.（本小题共13分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，且经过点(12)，A ，过点F 的直线与抛物线C 交于P ，Q 两点.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）O 为坐标原点，直线OP ，OQ 与直线2px =-分别交于S ，T 两点，试判断FS FT ⋅uu r uu u r 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.20.（本小题共13分）已知无穷数列{}n c 满足1112n n c c +=--. （Ⅰ）若117c =，写出数列{}n c 的前4项； （Ⅱ）对于任意101c ≤≤，是否存在实数M ，使数列{}n c 中的所有项均不大于M ？若存在，求M 的最小值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）当1c 为有理数，且10c ≥时，若数列{}n c 自某项后是周期数列，写出1c 的最大值.（直接写出结果，无需证明）丰台区第一学期期末练习高三数学（理科）参考答案及评分参考一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．1i -+ 10．53 11． 1512．4 13．83π； 14．2；1111,,3432⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）解：（Ⅰ）在△ADC 中，由余弦定理，得CDAC AD CD AC C ⋅-+=2cos 222 ……………….2分2123272322=⨯⨯-+=……………….4分 因为0C <<π，所以3C π=. ……………….6分 （Ⅱ）因为3C π=，所以23sin =C . ……………….8分 在△ABC 中，由正弦定理，得CABB AC sin sin =， ……………….10分即2213=AB ，所以边AB 的长为2213. ……………….13分 16.（本小题共14分）证明：（Ⅰ）取PD 中点H ，连接GH ，HC ，因为ABCD 是正方形，所以AD ‖BC ，AD BC =. 因为G,H 分别是PA ,PD 中点，所以GH ‖AD ,12GH AD =. 又因为EC ‖AD 且12EC AD =， 所以GH ‖EC ，GH EC =，所以四边形GHCE 是平行四边形, ………….3分所以EG ‖HC .又因为EG Ë平面PDCQ ，HC Ì平面PDCQ所以EG ‖平面PDCQ ． ……………….5分（Ⅱ）因为平面PDCQ ⊥平面ABCD ， 平面PDCQ I 平面ABCD CD =，PD DC ^，PD Ì平面PDCQ ，所以PD ^平面ABCD ． ……………….6分如图，以D 为原点，射线DA ，DC ，DP 分别为,y ,轴正方向，建立空间直角坐标系．设PD a =，则()()()00002201 P ,,a F ,,B ,,，，．………………7分 因为PD ⊥底面ABCD ，所以平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)=m . ……………….8分设平面PFB 的一个法向量为(,,)x y z =n ，()10 PF ,,a uu u r =- ()120 FB ,,uu r=,则0,=0.PF FB ⎧⋅=⎪⎨⋅⎪⎩uu u r uu r n n即0+2=0x az x y -=⎧⎨⎩令=1，得11,2z y a ==-，所以11(1,,)2a=-n ． ……………….10分由已知，二面角P BF C --， 所以得cos <,>||||⋅===m nm n m n……………….11分解得a =2,所以2PD =．……………….13分因为PD 是四棱锥P ABCD -的高，所以其体积为182433P ABCD V -=⨯⨯=．……………….14分17．（本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意知，四所中学报名参加数独比赛的学生总人数为100名， 抽取的样本容量与总体个数的比值为30310010=， 所以甲、乙、丙、丁四所中学各抽取的学生人数分别为9，12，6，3. (3)分（Ⅱ）设“从30名学生中随机抽取两名学生，这两名学生自同一所中学”为事件A ，从30名学生中随机抽取两名学生的取法共有230435C =种， ………………5分自同一所中学的取法共有222291263120C C C C +++=． ………………7分所以1208()43529P A ==． 答：从30名学生中随机抽取两名学生自同一所中学的概率为829． ………………8分（Ⅲ）由（Ⅰ）知，30名学生中，自甲、丙两所中学的学生人数分别为9，6．依题意得，X 的可能取值为0,1,2， ………………9分262151(0)7C P X C === ，119621518(1)35C C P X C === ，2921512(2)35C P X C ===． ……………12分所以X 的分布列为：……………….14分18．（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为()e e x xf x x '=+，所以(0)1f '=. ……………….2分因为()g x x a '=+，所以(0)g a '=. ...................4分 因为()f x 与()g x 的图象在（0,0）处有相同的切线，所以(0)(0)f g ''=，所以1a =. . (5)分（Ⅱ）由（Ⅰ）知, 21()2g x x x =+, 令21()()()e 2xh x f x bg x x bx bx =-=--，[1,2]x ∈， 则()e e (1)(1)(e )xxxh x x b x x b '=+-+=+-． ……………….6分 (1)当0b ≤时，[1,2]x ∀∈，()0h x '>，所以()h x 在[1,2]上是增函数，故()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -； ……………….7分 (2)当0b >时，由()=0h x '得，ln x b =， ……………….8分①若ln 1b ≤，即0e b <≤，则[1,2]x ∀∈，()0h x '>，所以()h x 在[1,2]上是增函数，故()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -. ……………….9分②若1ln 2b <<，即2e e b <<，则(1,l n )x b ∀∈，()0h x '<，(ln 2)x b ∀∈，，()0h x '>， 所以()h x 在(1,ln )b 上是减函数，在(ln 2)b ，上是增函数， 故()h x 的最小值为21(ln )=ln 2h b b b -； ……………….11分③若ln 2b ≥，即2e b ≥，则[1,2]x ∀∈，()0h x '<，所以()h x 在[1,2]上是减函数， 故()h x 的最小值为2(2)=2e 4h b -. ……………….12分综上所述，当e b ≤时，()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -， 当2e e b <<时，()h x 的最小值为21ln 2b b -， 当2e b ≥时，()h x 的最小值为22e 4b -. (13)分19.（本小题共13分）解：（Ⅰ）把点(1,2)A 代入抛物线C 的方程22y px =，得42p =，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =. ……………….4分（Ⅱ）因为2p =，所以直线2px =-为1x =-，焦点F 的坐标为(1,0) 设直线PQ 的方程为1x ty =+，211(,)4y P y ，222(,)4y Q y ，则直线OP 的方程为14y x y =,直线OQ 的方程为24y x y =. ……………….5分 由14,1,y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得14(1,)S y --，同理得24(1,)T y --． ……………….7分 所以14(2,)FS y =--uu r ，24(2,)FT y =--uu u r ，则12164FS FT y y ⋅=+uu r uu u r ．……………….9分 由21,4,x ty y x =+⎧⎨=⎩得2440y ty --=，所以124y y =-，……………….11分 则164(4)FS FT ⋅=+-uu r uu u r 440=-=．所以，FS FT ⋅uu r uu u r 的值是定值，且定值为0.……………….13分20．（本小题共13分）解：（Ⅰ）12462,,,,77777……………….4分 （Ⅱ）存在满足题意的实数M , 且M 的最小值为1.解法一：猜想10≤≤n c ，下面用数学归纳法进行证明.（1）当1n =时,101c ≤≤，结论成立.（2）假设当)(*N k k n ∈=时结论成立，即10≤≤k c ，当1+=k n 时,022k c ≤≤ ,所以1121k c -≤-≤,即0121k c ≤-≤,所以01121k c ≤--≤,故01121k c ≤--≤.又因为+1=112k k c c --,所以+101k c ≤≤,所以1+=k n 时结论也成立.综上,由（1）,（2）知,10≤≤n c 成立所以1M ≥,当112c =时,可得当2n ≥时, 1n c =,此时, M 的最小值为1 故M 的最小值为1.解法二：当2≥n 时，若存在2,3,4...,k =满足11k c -<,且1k c >.显然1,21,01≠-k c ，则 1211<<-k c 时，1221<-=-k k c c 与1>k c 矛盾； 2101<<-k c 时，121<=-k k c c 与1>k c 矛盾； 所以01(2)n c n ≤≤≥所以1M ≥,当112c =时,可得当2n ≥时, 1n c =,此时, M 的最小值为1 故M 的最小值为1. ……………………10分（Ⅲ）2 (13)分（若用其他方法解题，请酌情给分）。
北京市丰台区2020届高三数学上学期期末练习试题 文
北京市丰台区2020届高三数学上学期期末练习试题 文第一部分 （选择题 共40分）一、 选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合{1,0,1,2}A =-，{|22}B x x =-<<，那么A B =I （ ） （A ）{0,1} （B ）{1,0,1}- （C ）{1,0,1,2}-（D ）{|22}x x -<<2．复数(1i)(2+i)z =+在复平面内对应的点位于（ ） （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（ ） （A ）34 （B ）45 （C ）56（D ）674．若,x y 满足1,1,210,x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪-+⎩≤≤≥ 则2x y -的最大值是（（A ）2- （B ）12-（C ）1（D ）45．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的 棱中，最长的棱的长度为（ ） （A ）2（B （C ）（D ）俯视图侧（左）视图正（主）视图6．设,a b 是非零向量，则“=a b ”是“2=g a a b ”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．已知抛物线28y x =的焦点与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点重合，且椭圆截抛物线的准线所得线段长为6，那么该椭圆的离心率为（ ） （A ）2 （B ）23（C（D ）128．如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 是正六边形126A A A L的中心，若11)4A ，则点3A 的纵坐标为（ ）（A）8 （B）8（C（D第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9．已知函数3()log ()f x x a =+的图象过点(2,1)，那么a =____．10．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若a b >2sin b A =，则B =____． 11．能够说明“设,a b 是任意非零实数．若1>ba，则>b a ”是假命题的一组整数．．,a b 的值依次为____．12．已知双曲线222:1(0)3x y C a a -=>的一个焦点是(2,0)F ，那么双曲线C 的渐近线方程为____．13．已知两点(1,0)A -，(1,0)B ，动点Q 满足0AQ BQ =u u u r u u u rg .若P 为直线20x y -+=上一动点，则||PQ 的最小值为____．14．已知函数||2,,(),.x x x x a f x x x a -+⎧=⎨<⎩≥① 若0=a ，则函数()f x 的零点有____个；② 若()(1)f x f ≤对任意的实数x 都成立，则实数a 的取值范围是____．三、解答题共6小题，共80分。
2020北京丰台高三(上)期末数学答案
2020北京丰台高三（上）期末数 学 2020.01第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．若集合{|13}A x x =<<，{|12}B x x =-<<，则AB =（A ）{|13}x x -<<（B ）{|11}x x -<<（C ）{|12}x x <<（D ）{|23}x x <<2． 命题“000(0+)ln 1x x x ∃∈∞=-,，”的否定是（A ）000(0+)ln 1x x x ∃∈∞≠-,， （B ）000(0+)ln 1x x x ∃∉∞=-,， （C ）(0+)ln 1x x x ∀∈∞≠-,，（D ）(0+)ln 1x x x ∀∉∞=-,，3． 下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（A ）y x =- （B ）21y x =- （C ）cos y x =（D ）12y x =4．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(000),,，(001),,，(110),,，(101),,，则此四面体在xOy 坐标平面上的正投影图形的面积为（A ）14（B ）12（C ）34（D ）15．已知菱形ABCD 边长为1，=60BAD ∠︒，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ CD⃗⃗⃗⃗⃗ =（A ）12（B ）12-（C ）2（D ）2-6．双曲线2241x y -=的离心率为（A （B ）2（C （D ）27．已知公差不为0的等差数列{}n a ，前n 项和为n S ，满足3110S S -=，且124a a a ,,成等比数列，则3a =（A ）2（B ）6（C ）56或（D ）128. 在261()x x-的展开式中，常数项是（A ）20-（B ） 15-（C ）15（D ）309. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵. 记鲑鱼的游速为v （单位：m /s ），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q . 科学研究发现v 与3log 100Q成正比. 当1m /s v =时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900. 当2m /s v=时，其耗氧量的单位数为 （A ）1800（B ） 2700（C ）7290（D ）810010. 在边长为2的等边三角形ABC 中，点D E ，分别是边AC AB ，上的点，满足DE ‖BC 且AD ACλ=((01))λ∈,，将△ADE 沿直线DE 折到△A DE '的位置. 在翻折过程中，下列结论成立的是 （A ）在边A E '上存在点F ，使得在翻折过程中，满足BF ‖平面A CD '（B ）存在1(0)2λ∈,，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面A BC '⊥平面BCDE（C ）若12λ=，当二面角A DE B '--为直二面角时，104A B '=（D ）在翻折过程中，四棱锥A BCDE '-体积的最大值记为()f λ，()f λ的最大值为239第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 11. 复数11i+的实部为 ． 12. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，右图就是一重卦．如果某重卦中有2个阳爻，则它可以组成种重卦．（用数字作答）13. 已知a b c ,,分别为△ABC 内角A B C ,,的对边，22c ab =且1sin sin 2A C =，则cos A = ．14. 我们称一个数列是“有趣数列”，当且仅当该数列满足以下两个条件：①所有的奇数项满足2121n n a a -+<，所有的偶数项满足222n n a a +<； ②任意相邻的两项21n a -，2n a 满足21n a -<2n a . 根据上面的信息完成下面的问题：（i ）数列123456，，，，， “有趣数列”（填“是”或者“不是”）； （ⅱ）若2(1)nn a n n=+-，则数列{}n a “有趣数列”（填“是”或者“不是”）.15．已知抛物线24C y x =：的焦点为F ，则F 的坐标为 ；过点F 的直线交抛物线C 于A B ,两点，若4AF =，则△AOB 的面积为 ．16．定义域为R 的函数()f x 同时满足以下两条性质：①存在0x ∈R ,使得0()0f x ≠； ②对于任意x ∈R ，有(1)2()f x f x +=.根据以下条件，分别写出满足上述性质的一个函数. （i ）若()f x 是增函数，则()f x = ； （ⅱ）若()f x 不是单调函数，则()f x = .三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17.（本小题共13分）已知函数2()sin cos f x x x x =+.（Ⅰ）求π()3f 的值；（Ⅱ）求()f x 在区间π[0]2,上的最大值.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，π2BAC ∠=，11AA AB AC ===，1CC 的中点为H .（Ⅰ）求证：1AB A C ⊥； （Ⅱ）求二面角1A BC A --的余弦值；（Ⅲ）在棱11A B 上是否存在点N ，使得HN ‖平面1A BC ？若存在，求出111A N AB 的值；若不存在，请说明理由．19.（本小题共13分）目前，中国有三分之二的城市面临“垃圾围城”的窘境. 我国的垃圾处理多采用填埋的方式，占用上万亩土地，并且严重污染环境. 垃圾分类把不易降解的物质分出来，减轻了土地的严重侵蚀，减少了土地流失. 2020年5月1日起，北京市将实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾四类 .生活垃圾中有30%~40%可以回收利用，分出可回收垃圾既环保，又节约资源. 如：回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸，可以挽救17棵大树，少用纯碱240千克，降低造纸的污染排放75％，节省造纸能源消耗40％～50％.现调查了北京市5个小区12月份的生活垃圾投放情况，其中可回收物中废纸和塑料品的投放量如下表：A 小区B 小区C 小区D 小区E 小区 废纸投放量（吨） 5 5.1 5.2 4.8 4.9 塑料品投放量（吨）3.53.63.73.43.3（Ⅰ）从A 5吨且塑料品投放量超过3.5吨的概率；（Ⅱ）从A ，B ，C ，D ，E 这5个小区中任取2个小区，记X 为12月份投放的废纸可再造好纸超过4吨的小区个数，求X 的分布列及期望．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线0x y -相切.（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设S 为椭圆右顶点，过椭圆C 的右焦点的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（异于S ），直线PS ，QS 分别交直线4x =于A ，B 两点. 求证：A ，B 两点的纵坐标之积为定值.21.（本小题共14分）已知函数321(1)()32a f x x x ax +=-+.（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0(0))f ,处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅲ）对于任意1x ，2[02]x ∈,，都有122()()3f x f x -≤，求实数a 的取值范围.22.（本小题共13分）已知*2n n ∈≥N ，，给定n n ⨯个整点()x y ,,其中1x y n x y ≤≤∈*N ,,,.（Ⅰ）当2n =时,从上面的22⨯个整点中任取两个不同的整点1122()()x y x y ,,,，求12x x +的所有可能值； （Ⅱ）从上面n n ⨯个整点中任取m 个不同的整点，512n m ≥-.（i ）证明：存在互不相同的四个整点),(),,(),,(),,(22221111y x y x y x y x ''''，满足11y y '=, 2212y y y y '=≠,； （ii ）证明：存在互不相同的四个整点),(),,(),,(),,(22221111y x y x y x y x ''，满足 2211x x x x '+='+,.21y y ≠ （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）2020北京丰台高三（上）期末数学参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．11．12 12．15 13．7814．是；是 15．(10),；16．2x；2sin 2x x π(答案不唯一) 注：第14、15、16题第一空3分，第二空2分.三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17.（本小题共13分）解：（Ⅰ）2ππππ()sincos 3333f =⋅211()222=+2=. ……………….4分（Ⅱ）2()sin cos f x x x x =⋅+1cos 21sin 222x x +=πsin(2)32x =+.因为π[0]2x ∈,，所以ππ4π2[]333x +∈,. 当ππ232x +=，即π12x =时，()f x 取得最大值312+. ……………….13分18.（本小题共14分）证明：（Ⅰ）因为平面，AB ⊂平面，所以1AA AB ⊥.因为，所以AC AB ⊥. 又因为1ACAA A =，所以AB ⊥平面1A AC .因为1A C ⊂平面1A AC ，所以. ……………….4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知AB ，AC ，1AA 两两互相垂直，如图，建立空间直角坐标系A xyz -． 因为11AA AB AC ===，所以(000)A ，，，(100)B ，，，(010)C ，，，1(001)A ，，. 因为平面，所以1(001)AA =,,即为平面的一个法向量. 设平面1A BC 的一个法向量为()x y z =,,n ，1(101)A B =-,,，1(011)AC =-,,， 则1100.A B A C ⋅=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩,n n 即00.x z y z -=-=⎧⎨⎩,令1z =，则11x y ==,. 于是(111)=,,n .所以1113cos 3AA AA AA ⋅==⋅,n n n.由题知二面角1A BC A --为锐角，所以其余弦值为33. ……………….10分（Ⅲ）假设棱11A B 上存在点()N x y z ,,，使得‖平面.由111(01)A N A B λλ=≤≤，又11(100)A B =,,，故1(0)0A N λ=,,.1AA ⊥ABC ABC π2BAC ∠=1AB A C ⊥1AA ⊥ABC ABC HN 1A BC因为1(011)C ，，，H 为1CC 的中点，所以1(01)2H ，，.所以111(1)2HN HA A N λ=+=,-,.若‖平面1A BC ，则1102HN λ⋅==-+n ，解得1[01]2λ=∈,.又因为HN ⊄平面1A BC .所以在棱11A B 上存在点N ，使得HN ‖平面1A BC ，且11112A N AB =. ……………….14分19．（本小题共13分）解：（Ⅰ）记“该小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨”为事件A . 由题意，有B ，C 两个小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨，所以2()5P A =. ……………….4分（Ⅱ）因为回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸，所以12月份投放的废纸可再造好纸超过4吨的小区有B ，C ，共2个小区. X 的所有可能取值为0，1，2.23253(0)10C P X C ===；11322563(1)105C C P X C ⋅====；22251(2)10C P X C ===.所以X 的分布列为:()012105105E X =⨯+⨯+⨯=． ……………….13分 HN20.（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+=相切，所以半径b 等于原点到直线的距离d，b d ==，即3=b .由离心率12e =，可知12c a =，且222a b c =+，得2a =.故椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………….4分（Ⅱ）由椭圆C 的方程可知(20)S ,.若直线l 的斜率不存在，则直线l 方程为1x =，所以33(1)(1)22P Q -,, ,.则直线PS 的方程为3260x y +-=，直线QS 的方程为3260x y +-=.令4=x ，得(43)A ,-，(43)B ,. 所以A B ，两点的纵坐标之积为9-.若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ,由22(1)34120y k x x y =-⎧⎨+-=⎩得2222(34)84120k x k x k +-+-=，依题意0≥∆恒成立.设112212()()(0)P x y Q x y x x ≠,,,,， 则2212122284123434k k x x x x k k-+==++,. 设(4)A A y ,(4)B B y ,， 由题意P S A ，，三点共线可知11422A y yx =--， 所以点A 的纵坐标为1122A y y x =-. 同理得点B 的纵坐标为2222B y y x =-. 所以12122222A B y y y y x x =⋅--.212121212222222222()142()44128434412284(43)9449x x x x k x x x x k k k kk k k k k-++=-++--++=--⨯++-=⨯=-综上，A B ，两点的纵坐标之积为定值. ……………….13分21．（本小题共14分）解：（Ⅰ）当1a =时，因为321()3f x x x x =-+所以2()21f x x x '=-+，(0)1f '=.又因为(0)0f =，所以曲线()y f x =在点(0(0))f ,处的切线方程为y x =. ……………….4分（Ⅱ）因为321(1)()32a f x x x ax +=-+，所以2()(1)0f x x a x a '=-++=.令()0f x '=，解得x a =或1x =.若1a >，当()0f x '>即1x <或x a >时，函数()f x 单调递增； 当()0f x '<即1x a <<时，函数()f x 单调递减.若1a =，则22()21(1)0f x x x x '=-+=-≥，当且仅当1x =时取等号，函数()f x 是增函数.若1a <，当()0f x '>即x a <或1x >时，函数()f x 单调递增.当()0f x '<即1a x <<时，函数()f x 单调递减.综上，1a >时，函数()f x 单调递增区间为(1)()a -∞∞,,,+，单调递减区间为(1)a ,；1a =时，函数()f x 单调递增区间为()-∞+∞,；1a <时，函数()f x 单调递增区间为()(1)a -∞∞,,,+，单调递减区间为(1)a ,.……………….9分（Ⅲ） 令2()(1)0f x x a x a '=-++=，解得x a =或1x =.当0a ≤时，随x 变化，()()f x f x ', 变化情况如下表：由表可知(0)(1)f f >，此时2(2)(1)3f f ->，不符合题意.当01a <<时，随x 变化，()()f x f x ', 变化情况如下表：由表可得3211112(0)0()(1)(2)62263f f a a a f a f ==-+=-=,,, ，且(0)()f f a <，(1)(2)f f <，所以只需()(2)(1)(0)f a f f f ≤≥⎧⎨⎩，， 即32112623110.26a a a -+≤-≥⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得113a ≤<.当1a =时，2()21(1)0f x x x x '=-+=->在(02),恒成立，符合题意.当12a <<时，只需(1)(2)()(0)f f f a f ≤≥⎧⎨⎩，， 即32112263110.62a a a -≤-+≥⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得513a <≤. 当2a ≥时，(1)(2)f f >，不符合题意.综上，实数a 的取值范围是15[]33,. ……………….14分22．（本小题共13分）解:（Ⅰ）当2n =时，4个整点分别为(11)(12)(21)(22),,,,,,,.所以12x x +的所有可能值234,,. ……………….3分（Ⅱ）（i ）假设不存在互不相同的四个整点11112222()()()()x y x y x y x y '''',,,,,,,， 满足112212y y y y y y ''==≠,,. 即在直线*(1,)N y i i n i =≤≤∈中至多有一条直线上取多于1个整点，其余每条直线上至多取一个整点， 此时符合条件的整点个数最多为121n n n -+=-.而52112n n -<-， 与已知512m n ≥-矛盾.故存在互不相同的四个整点11112222()()()()x y x y x y x y '''',,,,,,,，满足112212y y y y y y ''==≠,,. （ii ）设直线*(1,)N y i i n i =≤≤∈上有i a 个选定的点.若2i a ≥，设y i =上的这i a 个选定的点的横坐标为12i a x x x ⋅⋅⋅，，，，且满足12i a x x x <<⋅⋅⋅<. 由12132324341i i a a x x x x x x x x x x x x -+<+<+<+<+<⋅⋅⋅<+，知12i a x x x ⋅⋅⋅，，，中任意不同两项之和至少有23i a -个不同的值，这对于2i a <也成立. 由于1,2,3,,n ⋅⋅⋅中任意不同两项之和的不同的值恰有23n -个， 而()1232352323ni i a m n n n n =-=-≥--≥-∑,可知存在四个不同的点11112222()()()()x y x y x y x y '',,,,,,,， 满足112212x x x x y y ''+=+≠,,.21y y ≠ ……………….13分。
2020届北京市丰台区高三上学期期末练习数学试题 PDF版
（C）若 1 ，当二面角 A DE B 为直二面角时， AB 10
2
4
（D）在翻折过程中，四棱锥 A BCDE 体积的最大值记为 f () ， f () 的最大值为 2 3 9
第二部分 （非选择题 共 110 分）
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．
（B） 1 2
（C） 3 4
uuur uuur 5．已知菱形 ABCD 边长为 1， BAD=60 ，则 BDgCD=
（D）1
（A） 1 2
（B） 1
2
6．双曲线 4x2 y2 1的离心率为
（C） 3 2
（D） 3 2
（A） 5
（B） 5
2
（C） 3
（D） 3
2
7．已知公差不为 0 的等差数列an ，前 n 项和为 Sn ，满足 S3 S1 10 ，且 a1,a2,a4 成等比数列，则 a3
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 AB ， AC ， AA1 两两互相垂直， 如图，建立空间直角坐标系 A xyz ．
因为 AA1 AB AC 1 ，
所以 A(0，0，0) ， B(1，0，0) ， C(0，1，0) ， A1(0，0，1) .
因为 AA1 平面 ABC ， uuur
所以 AA1 (0,0,1) 即为平面 ABC 的一个法向量.
2． 命题“ x0 (0,+)，lnx0 x0 1 ”的否定是
（A） x0 (0,+)，lnx0 x0 1
（B） x0 (0,+)，lnx0 x0 1
（C） x(0,+)，lnx x 1
（D） x(0,+)，lnx x 1
2020届北京市丰台区高三上学期期末练习数学试题
2020届北京市房山区高三上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}12A x x =-≤≤，{}0,1,2,3B =，则A B =I （ ） A ．{}0,1 B ．{}1,0,1-C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1,2-【答案】C【解析】利用交集定义直接求解． 【详解】∵集合{}12A x x =-≤≤，B ＝{0，1，2，3}， ∴A ∩B ＝{0，1，2}． 故选：C ． 【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2．已知复数=z z 的虚部为（ ）A ．13B ．3C ．13-D ．3-【答案】B【解析】利用复数的代数形式的运算法则，先求出z ，由此利用复数的定义能求出z 的虚部． 【详解】i i133z ===+,故z 的虚部为3 故选：B 【点睛】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数的代数形式的合理运用． 3．等差数列{}n a 中，若1476a a a ++=，n S 为{}n a 的前n 项和，则7S =（ ） A ．28 B ．21C ．14D ．7【答案】C【解析】利用等差数列下角标性质求得4a ，再利用求和公式求解 【详解】等差数列{}n a 中，若1476a a a ++=，则4436,2a a =∴=则74714S a == 故选：C 【点睛】本题考查等数列的前n 项公式，考查化简、计算能力，熟练运用等差数列下角标性质是关键，属于基础题． 4．从2020年起，北京考生的高考成绩由语文、数学、外语3门统一高考成绩和考生选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．等级性考试成绩位次由高到低分为A 、B 、C 、D 、E ，各等级人数所占比例依次为：A 等级15%，B 等级40%，C 等级30%，D 等级14%，E 等级1%．现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取200人作为样本，则该样本中获得A 或B 等级的学生人数为（ ） A ．55 B ．80C ．90D ．110【答案】D【解析】利用抽样比求解 【详解】设该样本中获得A 或B 等级的学生人数为x ，则1540110200100x x +=∴= 故选：D 【点睛】本题考查分层抽样的定义与应用，考查计算能力，是基础题 5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A ．23B ．43C ．2D ．4【答案】A【解析】将三视图还原，利用三棱锥体积公式求解【详解】三视图还原为如图所示的三棱锥：侧面SBC⊥底面ABC，且SBC∆为等腰三角形，ABC∆为直角三角形，故体积112221323V=⨯⨯⨯⨯=故选：A【点睛】本题考查三视图及锥体体积，考查空间想象能力，是基础题6．若点5π5π(cos,sin)66M在角α的终边上，则tan2α=（）A3B．3C3D．3【答案】D【解析】先求出点M的坐标，再利用任意角的三角函数的定义求出tanα的值,再利用二倍角公式求解【详解】5π5π(cos,sin)66M即为31,22M⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，则2333tan tan23113αα-=∴==-故选：D【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，以及二倍角公式，属于容易题．7．已知双曲线C的方程为2214yx-=，点P，Q分别在双曲线的左支和右支上，则直线PQ的斜率的取值范围是（）A ．(2,2)-B ．11(,)22-C ．(,2)(2,)-∞-+∞UD ．11(,)(,)22-∞-+∞U【答案】A【解析】利用直线PQ 的斜率与渐近线比较求解 【详解】由题双曲线的渐近线斜率为2±，当直线PQ 的斜率为(2,2)-时，满足题意，当直线PQ 的斜率(,2)(2,)-∞-+∞U 为时，交双曲线为同一支，故选：A 【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查渐近线斜率，是基础题8．设a r ，b r 均为单位向量，则“a r 与b r 夹角为π3”是“||a b +=r r ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据向量数量积的应用，利用平方法求出向量夹角，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】由“|a b +rr|=|a r|2+|b r|2+2a r •b =r3，即1+1+2a r •b =r 3，得2a r •b =r 1，a r •12b =r ，则cosθ112112a b a b ⋅===⨯rr r r， 则a r与b r夹角θ3π=，即“a r 与b r 夹角为3π”是“|a b +r r|=的充分必要条件， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义结合向量数量积的应用进行化简是解决本题的关键．9．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱AB 的中点，动点P 在平面11BCC B 及其边界上运动，总有1AP D M ⊥，则动点P 的轨迹为（ ）A．两个点B．线段C．圆的一部分D．抛物线的一部分【答案】BD M垂直，取B1B的中点E，CB的中点F，连接AE，EF，在正方体【解析】先找到一个平面总是保持与1ABCD﹣A1B1C1D1中，可得AF⊥面DMD1，MD1⊥平面AEF即可得出．【详解】D M垂直，如图，先找到一个平面总是保持与1取B1B的中点E，CB的中点F，连接AE，EF，AF,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，D D⊥AF，则有AF⊥面DMD1，同理MD1⊥AE，则MD1⊥平面AEF易证DM⊥AF，1又点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，根据平面的基本性质得：点P的轨迹为面AEF与面BCC1B1的交线段EF．故选：B【点睛】本题考查线面垂直的判定与正方体的几何特征、轨迹的求法、平面的基本性质等基础知识，考查空间想象力．属于基础题．10．已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排名．具体积分规则如表1所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表2．表1 田径综合赛项目及积分规则表2 某队模拟成绩明细根据模拟成绩，该代表队应选派参赛的队员是：（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】B【解析】由得分规则计算甲乙丙丁四人各项得分进行判断即可【详解】由题，甲各项得分为：100米跑60-15=45分；跳高60+4=64；掷实心球60+15=75；则总分为45+64+75=184 乙各项得分为：100米跑60+20=80分；跳高60+10=70；掷实心球60-5=55，则总分为80+70+55=205丙各项得分为：100米跑60+5=65分；跳高60+6=66；掷实心球60+10=70，则总分为65+66+70=201丁各项得分为：100米跑60-5=55分；跳高60+2=62；掷实心球60+5=65，则总分为55+62+65=182,综上，乙得分最多故选：B【点睛】本题考查数据分析及决策问题，理解题意是关键，是基础题二、填空题11．已知两点()2,0A ，()0,2B ，则以线段AB 为直径的圆的方程为_____________． 【答案】()()22112x y -+-=【解析】根据中点坐标公式求圆心为（1，1），求两点间距离公式求AB ，写出圆的标准方程即可。