二元一次不定方程及其解

［文献标识码］Ａ
［文章编号］１６７３－００４６（２０１３）１－０１６２－０２
一、平整场地工程量计算
（２０１１）第一章土石方工程计算规则知：平整场地工程
的一切整数解为
（其中 ｔ 为任意整数）
观察可以知道，ｘ＝１，ｙ＝８ 是这方程的整数解，因此这个方 程有整数解。
对 于 方 程 ４ｘ＋２ｙ＝２０， 方 程 两 边 同 时 除 以 ２，得 ２ｘ＋ｙ＝１０，因此这个方程也有整数解。
对于方程 ４ｘ＋２ｙ＝２５，由于 ４ｘ＋２ｙ＝２（２ｘ＋ｙ）为偶数，而 ２５ 是奇数，因此这个方程没有整数解。
第 ２０１３ １
年 ·期
太原城市职业技术学院学报 Journal of TaiYuan Urban Vocational college
期 总第 １３８ 期
Ｊａｎ ２０１３
浅析二元一次不定方程及其解
韩孝明
（吕梁学院汾阳师范分校，山西 吕梁 ０３２２００）
［摘要］不定方程是数论中最古老的一个分支，也是数论中的一个十分重要的研究课题，我国古代对不
（ｔ 是整数）
证明：先证明
是方程 ａｘ＋ｂｙ＝ｃ 的整数解。
因为 ｘ＝ｘ０，ｙ＝ｙ０ 是方程 ａｘ＋ｂｙ＝ｃ 的整数解，所以 ａｘ０ ＋ｂｙ０ ＝ｃ，又因为 ａ（ｘ０－ｂｔ）＋ｂ（ｙ０＋ａｔ）＝ ａｘ０＋ｂｙ０＝ｃ。
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年 ·期
太原城市职业技术学院学报 Journal of TaiYuan Urban Vocational college
对于方程 ２ｘ＋ｙ＝１０ 来说，ｘ、ｙ 的系数互质，上面已经 指出这个方程是有解的；对方程 ４ｘ＋２ｙ＝２０ 来说，虽然 ｘ、 ｙ 的系数不互质，但它们的最大公约数 ２ 能整除 ２０，这 是方程也有解；对方程 ４ｘ＋２ｙ＝２５ 来说，ｘ、ｙ 的系数不互 质，且它们的最大公约数 ２ 不能整除常数项 ２０，这时方 程无解。这些特点虽然是从一些具体的不定方程归纳出 来的，但是它对一般不定方程也是适用的。我们有下面 定理：
当 ｃ≠０ 时，实际上也只需要讨论 ｃ＞０ 的情况。因 为当 ｃ＜０ 时，我们可以在方程两边同时乘以 －１，这样 方程 ａｘ＋ｂｙ＝ｃ 的右边就成为正整数了。因此对于二元一 次不定方程，可以只讨论 ａ＞０、ｂ＞０、ｃ＞０ 的情况。
现在我们研究二元一次不定方程在什么条件下才 有整数解。先考察下面几个方程有没有整数解： ２ｘ＋ｙ＝１０，４ｘ＋２ｙ＝２０，４ｘ＋２ｙ＝２５。对于方程 ２ｘ＋ｙ＝１０，通过
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Ｊａｎ ２０１３
发散思维（ ２） ：平整场地工程量计算பைடு நூலகம்式适用范围
金威利
（ 山西建筑职业技术学院工程管理系造价教研室，山西 太原 ０３０００６）
［摘要］根据平整场地计算规则，推导出通式，并论证通式的适用范围。
[关键词]平整场地 Ｓ 底 Ｌ 外 工程量；适用范围
［中图分类号］ TU
定方程的研究很早，且研究的内容也极为丰富，在世界数学史上有不可忽视的地位。论文重点探
讨了二元一次不定方程及其解。
[关键词]通解；特解；观察法；辗转相除法；整数分离法；同余法
［中图分类号］ O15
［文献标识码］Ａ
［文章编号］１６７３－００４６（２０１３）１－０１６１－０２
不定方程是数论中最古老的一个分支，也是数论中 一个十分重要的研究课题，我国古代对不定方程的研究 很早，且研究的内容也极为丰富，在世界数学史上有不 可忽视的地位。如《张丘建算经》中的“百钱买百鸡”问 题、《九章算术》中的“五家共井”问题等等，中外驰名， 影响甚远。在公元 ３ 世纪初，古希腊数学家丢番图曾系 统研究了某些不定方程问题，因此不定方程也叫做丢番 图方程。
在 上 式 两 边 同 时 乘 以 ｑ， 得 ａx０ｑ＋ｂy０ｑ＝ ｄｑ 即 ａx０ｑ＋ｂy０ｑ＝ｃ。
因此方程 ａｘ＋ｂｙ＝ｃ 有整数解 ｘ＝x０ｑ，ｙ＝y０ｑ。 由上述定理可知，如果 ｃ 不能被 ａ、ｂ 的最大公约数 整除，那么方程 ａｘ＋ｂｙ＝ｃ 无解，且可在 ａｘ＋ｂｙ＝ｃ 两端都约 去 ｄ，使得（ａ，ｂ）＝１。所以通常二元一次不定方程的解是 在 ａ、ｂ 互质的情况下讨论的。 判断出一个二元一次方程有解以后，如何求出它的 一切整数解呢？我们有下面的结论： 定 理 ２ ： 如 果 二 元 一 次 不 定 方 程 ａｘ＋ｂｙ＝ｃ ［（ａ，ｂ） ＝１］有整数解 ｘ＝ｘ０，ｙ＝ｙ０，则此方程一切解可以表示为
一、不定方程定义 所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程的个数 且其解受到某种条件的限制的方程或方程组。 不定方程领域中的基本问题是：不定方程有无整数 解，有多少整数解，如何求出整数解。围绕这些问题，至 今存在着大量的未解决问题，因此不定方程仍是一个很 活跃的数学领域。中小学的数学竞赛也常常因为某些不 定方程的解法巧妙而引入不定方程问题。 二、二元一次不定方程及其解 形如 ａｘ＋ｂｙ＝ｃ（ａ，ｂ，ｃ∈ｚ，ａｂ≠０）的方程称为二元一 次不定方程。求其整数解的问题叫做解二元一次不定 方程。 由于方程的解 ｘ、ｙ 可以是正整数，也可以是负整 数，或者零，所以我们可以只讨论 ａ、ｂ 都是正整数的情 况。例如，３ｘ－２ｙ＝１ 与 ３ｘ＋２ｙ＝１ 的解相比较，ｙ 的值只差 一个负号。 当 ｃ＝０ 时，如果（ａ，ｂ）＝ｄ（ａ、ｂ 的最大公约数为 ｄ）， 那么在方程的两边同时除以 ｄ，使 ｘ、ｙ 的系数互质。因此 不妨假设（ａ，ｂ）＝１，解方程得 ｘ＝－ ，由于（ａ，ｂ）＝１，因此当 ｙ能被 ａ 整 除 时 ，方 程 ａｘ＋ｂｙ＝０ 才 有 整 数 解 。 所 以 可 令 ｙ＝ａｔ（ｔ 为任意整数），这时 ｘ＝－ｂｔ，即方程 ａｘ＋ｂｙ＝０
定理 １ ：二元一次不定方程 ａｘ＋ｂｙ＝ｃ（ａ，ｂ，ｃ∈Ｎ＊）有整 数解的充要条件是 ｄ│ｃ （其中 ｄ＝（ａ，ｂ）。
证明：一是必要性。如果方程 ａｘ＋ｂｙ＝ｃ 有整数解 ｘ＝ｘ０，ｙ＝ｙ０，则 ａｘ０＋ｂｙ０＝ｃ，因为 ｄ│ａ， ｄ│ｂ， 所以 ｄ│（ａ ｘ０＋ｂｙ０），即 ｄ│ｃ。二是充分性。因为 ｄ│ｃ，所以 ｃ＝ｄｑ，由裴 蜀恒等式可以知道，存在两个整数 x０，y０，使 ａx０＋ｂy０＝ ｄ。