从一道题目的解法试谈网络流的构造与算法Word版
网络流算法
网络流算法在实际生活中有许多流量问题，例如在交通运输网络中的人流、车流、货物流，供水网络中的水流，金融系统中的现金流，通讯系统中的信息流，等等。
50年代以福特(Ford)、富克逊(Fulkerson)为代表建立的“网络流理论”，是网络应用的重要组成部分。
在最近的奥林匹克信息学竞赛中，利用网络流算法高效地解决问题已不是什么稀罕的事了。
本节着重介绍最大流(包括最小费用)算法，并通过实际例子，讨论如何在问题的原型上建立—个网络流模型，然后用最大流算法高效地解决问题。
［问题描述］如图4-1所示是联结某产品地v1和销售地v4的交通网，每一弧(vi,vj)代表从vi到vj的运输线，产品经这条弧由vi输送到vj，弧旁的数表示这条运输线的最大通过能力。
产品经过交通网从v1到v4。
现在要求制定一个运输方案使从v1到v4的产品数量最多。
一、基本概念及相关定理1)网络与网络流定义1 给一个有向图N=(V，E)，在V中指定一点，称为源点(记为vs，和另一点，称为汇点(记为vt)，其余的点叫中间点，对于E中每条弧(vi，vj)都对应一个正整数c(vi，vj)≥O(或简写成cij)，称为f的容量，则赋权有向图N=(V，E，c，vs，vt)称为一个网络。
如图4-1所给出的一个赋权有向图N就是一个网络，指定v1是源点，v4为汇点，弧旁的数字为cij。
所谓网络上的流，是指定义在弧集合E上一个函数f={f(vi，vj)}，并称f(vi，vj)为弧(vi，vj)上的流量(下面简记为fij)。
如图4-2所示的网络N，弧上两个数，第一个数表示容量cij，第二个数表示流量fij。
2)可行流与最大流在运输网络的实际问题中，我们可以看出，对于流有两个显然的要求：一是每个弧上的流量不能超过该弧的最大通过能力(即弧的容量)；二是中间点的流量为0，源点的净流出量和汇点的净流入量必相等且为这个方案的总输送量。
因此有：定义2 满足下列条件(1)容量约束：0≤fij≤cij，(vi,vj)∈E，(2)守恒条件对于中间点：流入量=流出量；对于源点与汇点：源点的净流出量vs(f)=汇点的净流入量（-vt(f)）的流f，称为网络N上的可行流，并将源点s的净流量称为流f的流值v(f)。
数学建模中的网络流问题与算法
数学建模中的网络流问题与算法数学建模是一种将实际问题转化为数学模型，并通过数学方法求解的过程。
在实际问题中，常常需要解决网络流问题，即在网络中如何最大化或最小化流量的分配问题。
网络流算法是解决网络流问题的重要工具。
本文将分析网络流问题的基本概念和应用，并介绍常用的网络流算法。
一、网络流问题的基本概念1.网络流模型网络流模型是指将实际问题转化为图中节点和边的组合，并进行流量分配的问题。
其中，节点表示供给和需求单位，边表示可以流动的路径。
网络流模型常用于物流、运输、通信等领域的问题求解。
2.流量网络流问题中的流量表示在网络中通过路径的物理量。
流量可以是货物的数量、电信系统中数据的传输速率等。
流量可以是有向的或无向的，有时还会带有容量的限制。
3.割在网络中，将节点集划分为两个互不相交的子集，这个划分称为割。
割可以用来描述流量限制或流量约束。
在最小割问题中，割的容量描述了限制在网络中流量的最小边数。
二、网络流问题的应用1.最大流问题最大流问题是网络流问题中的一种，目标是在网络中从源节点到汇节点找到可行的最大流量。
最大流算法可以用于求解交通流优化问题、工作调度等。
2.最小割问题最小割问题是网络流问题中的另一种形式，目标是在网络中找到一个割，使得割的边数最小。
最小割算法可以用于求解电力系统分析、路网规划等问题。
3.多组源汇问题多组源汇问题是一种特殊的网络流问题，可以有多个源节点和汇节点，并且在每个节点之间还有容量限制。
多组源汇问题在物流调度、通信网络优化等领域有广泛应用。
三、常用的网络流算法1.最大流算法常用的最大流算法有Ford-Fulkerson算法、Edmonds-Karp算法和Dinic算法等。
这些算法利用增广路径或增广路进行迭代，直到无法找到增广路径为止。
2.最小割算法最小割算法有Ford-Fulkerson算法和推进-重贴算法等。
这些算法通过不断削减割的容量来求解最小割问题。
3.二部图匹配算法二部图匹配算法可以看做是一种特殊的网络流算法。
算法设计与分析中的算法与网络流
算法设计与分析中的算法与网络流算法在计算机科学中扮演着重要的角色。
它们是解决问题的步骤和规则的有序集合，可以在计算机上自动执行。
在算法设计与分析的学习中，算法与网络流成为了一个重要的领域。
本文将探讨算法与网络流的关系以及在算法设计与分析中的应用。
一、算法与网络流的关系算法是解决问题的有序步骤，而网络流是一种用来描述物体、信息或能量在网络中传输的模型。
算法可以通过网络流来解决一系列相关问题，例如最短路径、最大流、最小割等。
网络流算法通过建立图模型，将问题转化为图中物体、信息或能量的流动问题，并使用各种技术和策略来解决。
二、网络流算法的应用1. 最短路径问题在网络中，最短路径算法可以用来找到两个节点之间最短路径的长度。
其中一个经典的算法是Dijkstra算法，它通过不断更新起始节点到其他节点的最短路径长度来求解。
另一个常用的算法是Floyd-Warshall算法，它通过动态规划的方式计算任意两个节点之间的最短路径长度。
2. 最大流问题最大流算法可以用来计算网络中从源节点到汇节点的最大流量。
其中最著名的算法是Ford-Fulkerson算法，它通过反复寻找增广路径来不断增加流量，直到达到最优解。
另一个常用的算法是Edmonds-Karp算法，它使用广度优先搜索来寻找增广路径。
3. 最小割问题最小割算法可以用来找到将图划分成两个部分的最小代价。
其中一个著名的算法是stoer-wagner算法，它通过不断合并最小割集合中的节点来计算最小割的大小。
4. 匹配问题匹配算法可以用来找到图中的最大匹配或完美匹配。
其中著名的算法是匈牙利算法，它通过构建交错树来寻找增广路径，从而不断增加匹配的大小。
三、算法设计与分析中的挑战在算法设计与分析中，我们需要考虑如何设计出高效的算法来解决问题。
然而，算法设计中的挑战在于如何权衡时间复杂度和空间复杂度。
某些算法可能会在时间上更高效，但却需要占用大量的空间。
相反，有些算法可能在空间上更高效，但却需要牺牲一些时间。
网络流算法介绍与分析
残量网络
为了更方便算法的实现，一般根据原网 络定义一个残量网络。其中r(u,v)为残量 网络的容量。 r(u,v) = c(u,v) – f(u,v) 通俗地讲：就是对于某一条边（也称 弧），还能再有多少流量经过。 Gf残量网络,Ef表示残量网络的边集.
-----精品文档------
网络流
杭州学军中学 魏越闽
-----精品文档---的集合. E表示整个图中所有边的集合. G = (V,E) ,表示整个图. s表示网络的源点,t表示网络的汇点. 对于每条边(u,v),有一个容量c(u,v) (c(u,v)>=0) 如果c(u,v)=0，则表示(u,v)不存在在网络中。 如果原网络中不存在边(u,v)，则令c(u,v)=0 对于每条边(u,v),有一个流量f(u,v).
v1
2
2 2
绿色的即为一条增
广路。
t
-----精品文档------
3 v2
2
增广路算法
增广路算法：每次用BFS找一条最 短的增广路径，然后沿着这条路径 修改流量值（实际修改的是残量网 络的边权）。当没有增广路时，算 法停止，此时的流就是最大流。
下面证明增广路算法的正确性.
-----精品文档------
-----精品文档------
为什么要建立后向弧
显然，例1中的画出来的不是一个最大流。 但是，如果我们把s -> v2 -> v1 -> t这条路径 经过的弧的流量都增加2,就得到了该网络的最 大流。 注意到这条路径经过了一条后向弧:(v2,v1)。 如果不设立后向弧，算法就不能发现这条路径。 从本质上说，后向弧为算法纠正自己所犯的错 误提供了可能性，它允许算法取消先前的错误 的行为（让2单位的流从v1流到v2)
网络流问题及其求解方法
网络流问题及其求解方法网络流问题是指在一个有向图中，给定网络的容量限制，找到从源点到汇点的最大流量。
这个问题在实际生活中有着广泛的应用，比如在运输、通信、电力等领域。
本文将介绍网络流问题以及几种常见的求解方法。
1. 网络流问题的定义网络流问题可以用有向图来表示。
图中的每条边具有一个容量，表示该边能够通过的最大流量。
同时，图中有一个源点，表示流量的起点，以及一个汇点，表示流量的终点。
问题的目标是找到从源点到汇点的最大流量。
2. 求解方法一：最短增广路径算法最短增广路径算法是一种基于广度优先搜索的方法。
算法的思想是在图中不断寻找增广路径，即从源点到汇点且每条边的流量都满足容量限制的路径。
然后通过增加路径上的流量来更新网络的流量，并继续寻找下一个增广路径。
直到找不到增广路径为止，即可得到最大流量。
3. 求解方法二：最大流-最小割定理最大流-最小割定理是网络流问题的一个重要性质。
该定理指出，网络的最大流量等于它的最小割。
最小割是指将网络分成两个部分，一部分包含源点，另一部分包含汇点，并且割边的总容量最小。
根据该定理，可以通过寻找最小割来求解网络流问题。
4. 求解方法三：Ford-Fulkerson算法Ford-Fulkerson算法是一种经典的求解网络流问题的方法。
该算法通过不断寻找增广路径来更新网络的流量，直到无法再找到增广路径为止。
算法的关键在于如何选择增广路径，一种常见的选择策略是使用深度优先搜索。
Ford-Fulkerson算法的时间复杂度与最大流的大小有关，一般情况下为O(fE)，其中f为最大流量，E为图中边的数量。
总结：网络流问题是一个重要的优化问题，在实际应用中具有广泛的应用。
本文介绍了网络流问题的定义以及几种常见的求解方法，包括最短增广路径算法、最大流-最小割定理和Ford-Fulkerson算法。
这些算法都可以有效地求解网络流问题，并在实践中得到广泛应用。
通过研究网络流问题及其求解方法，可以为实际问题的建模和解决提供有力的工具。
网络流算法的实现与应用
网络流算法的实现与应用网络流算法是图论中的一类重要算法，通过对网络中流的分配与调度来解决相关问题。
本文将探讨网络流算法的实现原理与应用场景。
一、网络流算法概述网络流算法主要处理的是“网络流”问题，即在一个图论模型中，寻找一种边的流动方式，使得源点到汇点的流量最大化或者达到某种要求。
常见的网络流算法包括最大流算法、最小割算法和最大权闭合子图算法等。
二、网络流算法的实现1. 最大流算法最大流算法旨在寻找网络中从源点到汇点的最大流量。
其中，最常用的算法是Edmonds-Karp算法，它是基于BFS（广度优先搜索）的增广路径寻找。
在实现过程中，可以使用图的邻接矩阵或邻接表来表示网络，利用算法的迭代思想不断寻找增广路径，并同时更新网络中的流量与残余容量，直到无法找到增广路径为止。
2. 最小割算法最小割算法用于求解网络中的最小割问题，即将网络分割为两个部分，使得切开的边的权值之和最小。
其中，Ford-Fulkerson算法是经典的最小割算法之一。
在实现过程中，可以通过DFS（深度优先搜索）或BFS寻找增广路径，并不断更新割与割集，直到最小割的权值无法再减小。
3. 最大权闭合子图算法最大权闭合子图算法用于求解有向图中的最大权闭合子图问题，其中闭合子图是指若干个节点的集合，对于任意一对节点u和v，如果存在一条从u到v的有向边，则u必定属于闭合子图中。
在实现过程中，可以使用Bellman-Ford算法来寻找最短路径，并通过路径上的正权重进行子图的扩展，最终得到最大权闭合子图。
三、网络流算法的应用网络流算法具有广泛的应用场景，以下介绍几个常见的应用领域：1. 传输网络规划网络流算法可以用于解决最大流问题，从而优化传输网络的规划。
例如，在通信网络中，可以通过最大流算法来确定最大传输容量，从而提高网络的传输效率。
2. 作业调度网络流算法可以用于解决作业调度问题，例如在工业生产中，通过最大流算法来确定最大的作业处理能力，从而提高生产效率。
网络流算法介绍
Leapin' Lizards
题意:有一间房子,有n*m个pillars,第一个矩阵表 示相应的pillars能跳几个Lizards,第二个矩阵表 示哪个pillars上有Lizard. d表示能跳的最大范 围.Lizard跳出边界就能逃跑,问最少还有几个 Lizards跑不了. 思路:拆点,最大流.将每个>0的pillars拆开,有L 的点由源点向其引一条边,边容量为1,能跳出边 界的点向汇点引边,边容量为无穷. 其他题目: pku 3498
二分图匹配例题BOJ1155
流网络示例
流速/流量f 流速限制 容量c
水源
蓄水池 汇点T 水管/边
源点S
网络流三个性质
容量限制：f(u,v) <= c(u,v) 对称性：f(u,v) == -f(v,u) 收支平衡: 对于不是源点也不是汇点的任意结 点,流入该结点的流量和等于流出该结点的流 量和。
只要满足这三个性质,就是一个合法的网络流.
2 —> 3
此时的残量网络中不存在s-t通路 定义S为s可达的点集 定义T为可达t的点集 显然S＋T = V (S,T)中所有弧都满载，否则残量网络将不为0， 使s-t有通路 所以|f| = c(S,T)
3 —> 1
由|f| <= c(S,T)（任意割） 当|f| == c(S,T) |f|为最大值 从上面的证明，我们可以得到求最大流从增广 路径算法。 从2->3的证明给出了从最大流构造最小割的过 程，即求出s的可达点集S， 再令T = V - S
网络流问题
类比：求最短路径 把实际问题的道路地图抽象为有向图，然后 用一定算法求解最短路径。 我们也可以将一个有向图看作一个流网络来 解决另一类型的问题 。 匹配问题、运输问题、任务分配问题。。。
论中的网络流问题
论中的网络流问题网络流问题（Network Flow Problems）引言：网络流问题是运筹学中的一个重要领域，它研究的是在网络中物体、信息或资源的流动问题。
网络流问题具有广泛的应用，涵盖了交通运输规划、电力系统调度、通信网络优化等领域。
本文将对网络流问题展开讨论，介绍相关概念、问题形式以及解决方法，旨在帮助读者深入了解和解决这一问题。
一、概念介绍：1.1 网络流：在网络流问题中，网络被建模为一个有向图，图中的每条边代表一条连接，而节点代表资源的来源或流向。
网络中的流动以单位时间内物体、信息或资源通过边的数量来表示，称为流。
网络流可以是有限的或无限的，取决于网络中的流动条件和约束。
1.2 容量：图中的每条边都有一个容量限制，表示在单位时间内通过该边的最大流量。
容量可以是固定的，也可以是随时间变化的。
1.3 源点和汇点：在网络流问题中，源点表示物体、信息或资源的起始位置，而汇点表示目标位置或终点。
流只能从源点流向汇点。
1.4 流量约束：流量约束指的是不同节点之间流动的限制条件。
例如，在某个节点上，流入该节点的流量必须等于流出该节点的流量，以保持流量的守恒。
二、常见的网络流问题形式：2.1 最大流问题：最大流问题是网络流问题中最基本且最常见的形式之一。
该问题的目标是寻找网络中从源点到汇点的最大流量。
解决最大流问题的算法有很多，其中最著名的是Ford-Fulkerson算法和Edmonds-Karp算法。
2.2 最小割问题：最小割问题是网络流问题的对偶问题，它与最大流问题密切相关。
最小割问题的目标是将网络划分为两个部分，使得源点和汇点分属于不同的部分，并且两个部分之间的割边权重之和最小。
最小割问题的解与最大流问题的解存在着紧密的联系。
2.3 多源多汇最大流问题：多源多汇最大流问题是最大流问题的扩展形式，其中网络中存在多个源点和多个汇点。
在解决这一问题时，需要考虑多个源点和多个汇点之间的流量分配和约束。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
从一道题目的解法试谈网络流的构造与算法
福建师大附中江鹏
1. 引论
A. 对网络流算法的认识
网络流算法是一种高效实用的算法，相对于其它图论算法来说，模型更加复杂，编程复杂度也更高，但是它综合了图论中的其它一些算法（如最短路径），因而适用范围也更广，经常能够很好地解决一些搜索与动态规划无法解决的，看似NP的问题。
B. 具体问题的应用
网络流在具体问题中的应用，最具挑战性的部分是模型的构造。
这没用现成的模式可以套用，需要对各种网络流的性质了如指掌（比如点有容量、容量有上下限、多重边等等），并且归纳总结一些经验，发挥我们的创造性。
2. 例题分析
【问题1】项目发展规划（Develop）
Macrosoft®公司准备制定一份未来的发展规划。
公司各部门提出的发展项目汇总成了一张规划表，该表包含了许多项目。
对于每个项目，规划表中都给出了它所需的投资或预计的盈利。
由于某些项目的实施必须依赖于其它项目的开发成果，所以如果要实施这个项目的话，它所依赖的项目也是必不可少的。
现在请你担任Macrosoft®公司的总裁，从这些项目中挑选出一部分，使你的公司获得最大的净利润。
●输入
输入文件包括项目的数量N，每个项目的预算Ci和它所依赖的项目集合Pi。
格式如下：第1行是N；
接下来的第i行每行表示第i个项目的信息。
每行的第一个数是Ci，正数表示盈利，负数表示投资。
剩下的数是项目i所依赖的项目的编号。
每行相邻的两个数之间用一个或多个空格隔开。
●输出
第1行是公司的最大净利润。
接着是获得最大净利润的项目选择方案。
若有多个方案，则输出挑选项目最少的一个方案。
每行一个数，表示选择的项目的编号，所有项目按从小到大的顺序输出。
●数据限制
0≤Ｎ≤1000
-1000000≤Ci≤1000000
●输入输出范例
【分析解答】
1.抽象原题（图论模型）
给定包含N个顶点的有向图G =（V, E），每个顶点代表一个项目，顶点有一权值Ci表示项目的预算。
用有向边来表示项目间的依赖关系，从u指向v的有向边表示项目u依赖于项目v。
问题：求顶点集的一个子集V’，满足对任意有向边〈u,v〉∈E，若u∈V’，则v∈V’，使得V’中所有顶点的权值之和最大。
-4 2 -3
2.搜索
枚举V的所有符合条件的子集，时间复杂度O(2n)，指数级。
无论如何剪枝优化，也摆脱不了非多项式。
3.动态规划
本题的结构是有向无环图，而非树形结构，不适合动态规划。
如果一定要做，实质类似于搜索，由于状态数量众多，仍是指数级的时间复杂度。
4.网络流
流网络的构造方法：
建立N顶点代表N个项目，另外增加源s与汇t。
若项目i必须依赖于项目j，则从顶点i 向顶点j引一条容量为无穷大的弧。
对于每个项目i，若它的预算C为正（盈利），则从源s向顶点i引一条容量为C的边；若它的预算C为负（投资），则从顶点i向汇t引一条容量为-C的边。
求这个网络的最小割（S, T），设其容量C(S,T)＝F。
设R为所有盈利项目的预算之和（净利润上界），那么R-F就是最大净利润；S中的顶点就表示最优方案所选择的项目。
最小割：S＝{s,1,2,3,4,6}；T＝{5,t}
C(S,T)＝5 净利润R- C(S,T)＝8－5＝3
证明算法的正确性：
●建立项目选择方案与流网络的割（S,T）的一一对应关系：
任意一个项目选择方案都可以对应网络中的一个割（S,T），S={s}+{所有选择的项目}，T=V-S。
对于任意一个不满足依赖关系的项目选择方案，其对应的割有以下特点：
存在一条容量为+∞弧〈u,v〉，u属于S而v属于T。
这时割的容量是无穷大，显然不可能是网络的最小割。
●对于任意一个割（S,T），如果其对应一个符合条件的方案，它的净利润是R-C(S,T)。
导致实
际净利润小于上届R的原因有：
1．未选取盈利项目i，即顶点i包含在T中，那么存在一条从源s至顶点i的容量为Ci的弧
2．选取投资项目i，即顶点i包含在S中，那么存在一条从顶点i至汇的容量为－Ci的弧C(S,T)就是上述两种弧的容量之和。
综上所述，割的容量越小，方案的净利润就越大。
●最小割的求法：
根据最大流最小割定理，网络的最小割可以通过最大流的方法求得。
本题解题的关键在于流网络数学模型的建立。
本题建模的独到之处在于：以前的网络流问题通常使用流量表示解答方案，而本题使用割表示解答方案，并充分利用了割的性质，流只是求得最小割的手段。
这为我们开辟了一条构造网络流解决问题的新思路。
初看这个问题，要把它和网络流联系起来，有相当的难度。
必须熟练地掌握流网络的各种性质，经过反复的类比尝试，才能发现它们之间的共性。
【联想思考】
作为本题的一个衍生，给每个项目估计一个完成时间，并假设公司同时只能进行一个项目。
现在的问题是：如何选择一些能在给定时间内完成的项目，使得公司得到最大收益。
这个问题我至今还没有找到有效算法，希望有兴趣的同学来共同研究。
3. 编程技巧
◆数据结构：邻接表
◆直接表示原问题
优点：节省空间
缺点：编程复杂度大，不具有通用性
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。