第14章用力法计算超静定结构
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第14章 静不定问题
+
FS l 2
)
⋅(
l 2)dx2 ]
=
0
∫ ∫ Δ1/1' =
2 l/2 M [(
EI 0 2
+ Fs x1 )(x1) ⋅dx1 +
lM 0 (s 2
+
FS l 2
)
⋅(
l 2
)dx2
]
=
0
FS
=
− 15M 14l
求C截面转角
M/2
M/2
x2
xF1 S F
M (x1) =
M 2
+ Fs x1
=
q
1
2
3
A
B
αα
A
F
二、静不定结构分类
q
q
q
FAx A
FAy
B FBx
A
FBy
B
FAx A
FAy
FBx
B
FBy
外力静不定结构
内力静不定结构
混合型静不定结构
仅在结构外部存在多 仅在结构内部存在多 在结构外部和内部均
余约束
余约束
存在多余约束
¾ 外力静不定
F
q
F
q
外1度
外3度（平面）
外6度（空间）
约束力分量个数：
例1（教材例14-2）图示刚架，承受载荷F，
求刚架的最大弯矩。EI为常数。
B
C
解:沿CC’将刚架切开，由载
F
F
荷的对称性，截面C和C’上
A
A’
的剪力等于零，只有轴力FN 和弯矩M
利用平衡条件求出FN=F/2， 只有 M 为多余约束力
用力法求解超静定结构
用力法求解超静定结构概述超静定结构是指结构中的支座和约束条件多于结构自由度的情况。
用力法是一种经典的结构分析方法，常用于求解超静定结构。
本文将介绍用力法求解超静定结构的基本原理和步骤，并通过实例加以说明。
一、基本原理用力法的基本原理是根据平衡条件和变形约束，通过假设未知力的大小和方向，建立力的平衡方程和变形方程，解出未知力和结构的变形。
用力法适用于各种类型的结构，包括梁、柱、桁架等。
二、步骤用力法求解超静定结构的步骤如下：1. 选择合适的剖面根据结构的几何形状和约束条件，选择合适的剖面，将结构分割为若干个部分。
2. 假设未知力的方向和大小根据结构的特点和约束条件，假设未知力的方向和大小。
通常，未知力的方向可以根据结构的几何形状和外力的作用方向来确定，而未知力的大小则需要通过力的平衡方程来求解。
3. 建立力的平衡方程根据假设的未知力和结构的几何形状，建立力的平衡方程。
平衡方程包括力的平衡条件和力的矩平衡条件。
4. 建立变形方程根据结构的变形情况和约束条件，建立变形方程。
变形方程可以根据结构的刚度和约束条件来确定。
5. 解方程将力的平衡方程和变形方程联立，解方程组得到未知力和结构的变形。
6. 检验结果将求解得到的未知力和结构的变形代入原平衡方程和变形方程中，检验结果的准确性。
如果结果符合平衡和变形的要求，则求解成功；如果结果不符合要求，则需要重新假设未知力并重新求解。
三、实例分析为了更好地理解用力法求解超静定结构的步骤和原理，下面以一个简单的梁结构为例进行分析。
假设有一根悬臂梁，在梁的自重和外力作用下，需要求解支座反力和梁的变形。
1. 选择合适的剖面选择悬臂梁的剖面，将梁分割为两个部分：悬臂部分和支座部分。
2. 假设未知力的方向和大小假设支座反力的方向向上，大小为R。
3. 建立力的平衡方程根据力的平衡条件，可以得到悬臂部分的平衡方程：R - F = 0，其中F为梁的自重。
4. 建立变形方程根据梁的几何形状和约束条件，可以建立悬臂部分的变形方程，得到悬臂部分的弯矩和挠度。
第十四章材料力学超静定结构
RMB B
第32次作业：习题14— 4 a,b 第33次作业：习题14—5a,14—8 第34次作业：习题14—3a,14—15 第35次作业：习题14—3b,14—11
P
x1
x1
1
1P
2 EI
a
(
0
Px2
)a2dx2
Pa 3 2EI
11
2 EI
[
a
2 0
x12dx1
a
(
0
a 2
)
2dx2
] 7 Pa 3 12 EI
则
7Pa3 Pa3 12 EI X12EI 0
6
X17P
P
P
由平衡方程求得：
RA
RB
6 7
P
H AH B P
M
A
M
B
4 7
P
a
A
B
HA
HB
RA MA
P
PP
X2 P
例3 试求图示刚架的全部约束反力。刚架EI为常数。 C
解：图示刚架有三个多余未知力。但
P
P
由于结构是对称的，而载荷反对称，
a
a
故对称轴横截面上轴力、弯矩为零，
只有一个多余未知力（剪力），只需
A
B
列出一个正则方程求解。
11X11P 0
用莫尔定理求1P和11。
P
P X1 X1
x2 x2
将上述结果代入变形协调方程得 11P
16
X1l3 5Pl 3 0 3EI 48EI
X
1
5 16
P
(f) A
3Pl
⑤求其它约束反力
16
由平衡方程可求得A端反
14-15.用力法计算超静定梁和刚架
1P
2P
1 a 2 Pa Pa3 2 EI 2 4 EI
1 1 Pa a 5a 1 Pa 2 53Pa3 2 a 96EI 2 EI 2 2 2 6 EI
将自由项和系数代入力法方程计算多余未知力X1
1 p 11 X1 0
3.求系数和自由项 分别作出基本结构在荷载P 单位未知力X1作用下的弯矩图MP M 1
1 1 2 256 11 4 4 4 4 4 4 EI 2 3 3EI
1P 1 1 1280 80 4 4 EI 3 3EI
将自由项和系数代入力法方程计算多余未知力X1 用叠加法画内力图
X1
5P 16
该梁轴力为零
例题3
用力法计算超静定刚架，并画内力图
11 X 1 12 X 2 1P 0
建立力法典型方程
21 X 1 22 X 2 2 P 0
绘出各单位弯矩和荷载弯矩图如图 (a) (b) (c)所示。
力法的计算步骤和举例
一、用力法计算的步骤 1、去掉多余约束，选择基本结构。 2、建立力法典型方程。 3、分别作出基本结构在荷载Phe 单位未知力Xi作用下 的弯矩图MP M i 4、利用图乘法求方程中的自由项Δip和系数项δij。 5、解力法方程，求出多余未知力XI 6、用叠加法画出弯矩图，进而画出剪力图和轴力图。
43.2
9.35
M 1 m
9.35
11 X 1 12 X 2 1P 0 21 X 1 22 X 2 2 P 0
11 73.4
22 50.9
用力法解超静定结构
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n1 X1 n2 X 2 nn X n np 0
（三）力法典型方程中系数和自由项的计算
1、主系数δii — 表示基本结构由于 Xi 1的单独作用，在Xi 的作用点并沿Xi的方向产生的位移； 图A
ii
M
2 i
dx
EI
2、副系数δij —iiijijip表的示作基MMM用EM本EEIiii2E点MMiIIMd结Ix并jjpd构dx沿dxx由Xi于的X方j 向 1产的生单的独位作移用；，图在B Xi
例2：试用力法计算图示超静定刚架，并绘内力图。
解： 1.选择基本体系
2.建立力法方程
d11X1+D1P=0
3.计算系数和自由项，绘 M1和MP图
11
1 EI
1 2
l
l
2 3
l
2
2l 3 3EI
1P
1 EI
1
2
l ql 2
2 3
l2
2 3
l
ql 2 8
l
2
17ql 4
24EI
4.计算X1 5.绘内力图
=1
结构称为力法基本结构
基本结构
力法基本方程 — 利用基本体系的变形状态与原结构
一致的条件所建立的确定多余未知
力的方程
BACK
11X1 1P 0
11
M1M1 dx 1 (1 l l 2 l) l3
EI
EI 2
3
3EI
1P
M1M p dx 1 (1 l 1 ql 2 3 l) ql 4
ql3
24EI l
1 ql2 8
3EI
5、绘内力图 M M1X1 M p V V1 X1 Vp
超静定结构
l
A
B
l
q
D
2 ）建立正则方程 1 (δ 11 + ) X 1 + ∆1P = 0 C
3 ）求解 2 1 2 2l 3 δ11 = ( × l × l × × l) = EI 2 3 3EI 1 1 ql 2 2l 1 ql 2 3l ∆ 1P = − ( ×l × × + ×l × × ) EI 2 2 3 3 2 4 ∆ 1P 7 ql 4 7 ql =− X1 = − = (↑ ) 1 24 EI 24 δ11 + C 2 ）据平衡条件，求得
ql 2 M C = M × X1 = 7
0 C
q
A
ql 2 7
X1
MP
ql 2 2
M
5ql 2 14
M A = M × X 1 − M PA
0 A
5 ql 2 =− 14
例14 − 2 − 4 画图示刚架的内力图。
q
D
q
C
X2
解：利用对称性，从CD中间
X1
EI
D K
剖开，由于结构对称，载荷 对称，故只有对称内力， 所以，X 3 = 0。
δ11
求得 X 1 后，则可解出相当系统所有内力、位移，此相当系统的解 即为原系统的解。
三、n次静不定的正则方程
可将上述思想推广到n次静不定系统，如解除n个多余约束后的未知多余 约束力为 X j ( j = 1,2,..., n ) 它们将引起 X i 作用点的相应的位移为 ∑ ∆ ij ,而原系统由 x j ( j = 1, K n) j =1 与外载荷共同作用对此位移限制为零（或已知），故有
P A C D n O B P (b) P A
第14章用力法计算超静定结构
11 M1(m)
M A 360 6 (22) 228 90 MC 6 (22) 132
228
132
29
➢ 桁架
P
a
a
（1）基本体系 —基本未知量
（2）位移协调条件 —写力法基本方程
（3）求系数和自由项 —单位荷载法
（4）解力法方程 —求基本未知量
30
X1 X1
P
a
a
（1）基本体系 —基本未知量
A
—确定基本未知量
q
B
a
X1
（2）根据位移协调条件 —写出力法基本方程
1P 11X1 0
16
（3）作出基本结构的 荷载弯矩图，单位弯矩图
1P 11 X1 0
0.5qa2
（4）求出系数和自由项
A
B
—单位荷载法
MP
1P
qa4 8EI
11
a3 3EI
A
B
X1
1P
11
3 qa 8
（5）解力法方程
MP
l l
1 B KC
A l/2 l/2
M1 基本结构上加单位力
55
BKC
A l/2 l/2
MP
l l
1 C
BK
A l/2 l/2
M1 基本结构上加单位力
56
14.8 支座移动和温度改变时的计算
对静定结构不产生内力
（1）支座移动
对超静定结构产生内力、反力
57
➢ 位移协调条件
ij X j iP iC i
—求解基本未知量
a
M1
1
X1为正值，说明基本未知量的方向
与假设方向相同；如为负值，则方
M A 360 6 (22) 228 90 MC 6 (22) 132
228
132
29
➢ 桁架
P
a
a
（1）基本体系 —基本未知量
（2）位移协调条件 —写力法基本方程
（3）求系数和自由项 —单位荷载法
（4）解力法方程 —求基本未知量
30
X1 X1
P
a
a
（1）基本体系 —基本未知量
A
—确定基本未知量
q
B
a
X1
（2）根据位移协调条件 —写出力法基本方程
1P 11X1 0
16
（3）作出基本结构的 荷载弯矩图，单位弯矩图
1P 11 X1 0
0.5qa2
（4）求出系数和自由项
A
B
—单位荷载法
MP
1P
qa4 8EI
11
a3 3EI
A
B
X1
1P
11
3 qa 8
（5）解力法方程
MP
l l
1 B KC
A l/2 l/2
M1 基本结构上加单位力
55
BKC
A l/2 l/2
MP
l l
1 C
BK
A l/2 l/2
M1 基本结构上加单位力
56
14.8 支座移动和温度改变时的计算
对静定结构不产生内力
（1）支座移动
对超静定结构产生内力、反力
57
➢ 位移协调条件
ij X j iP iC i
—求解基本未知量
a
M1
1
X1为正值，说明基本未知量的方向
与假设方向相同；如为负值，则方
第14章 用力法计算超静定结构简化版PPT课件
↓ ↑X1
拆开一个单铰，相当于去掉两个联系。
X1←↓↑→X1
X2
7
第7页/共20页
（3） 在刚结处作一切口，或去掉一个。
← ↓ X1 X3 X2
（4）将刚结改为单铰联结，相当于去掉一个联系。
X1
X1
8
第8页/共20页
例1: 确定图示结构的超静定次数。 2 1 3
n=6
原结构
基本结构
A
B X1 A X2
→↑ X3
B
△1=11X1+12X2+13X3+△1P=0
△1=0 △2=0 △3=0
△2=21X1+22X2+23X3+△2P=0
△3=31X1+32X2+33X3+△3P=0
11
第11页/共20页
14.3 对称性的利用
➢ 结构的对称性 指结构的几何形状、约束、刚度和荷载具有对称
9
第9页/共20页
例2: 确定图示结构的超静定次数。
n=3×7=21
对于具有较多框格的结构， 可按 框格的数目确定，因为 一个封闭框格，其 超 静定次 数等于三。
当结构的框格数目为 f ,则 n=3f 。
10
第10页/共20页
➢ 力法的典型方程
（1）以三次超静定结构为例
↓P
↓P （1）基本结构
（2）位移条件
14.1 超静定结构概述
➢ 超静定结构 几何不变且具有“多余”联系（外部或内部）
A
B
PC
有一个多余联系
P 有二个多余联系
1
第1页/共20页
➢ 超静定结构的类型
（1）超静定梁; （2）超静定桁架；
拆开一个单铰，相当于去掉两个联系。
X1←↓↑→X1
X2
7
第7页/共20页
（3） 在刚结处作一切口，或去掉一个。
← ↓ X1 X3 X2
（4）将刚结改为单铰联结，相当于去掉一个联系。
X1
X1
8
第8页/共20页
例1: 确定图示结构的超静定次数。 2 1 3
n=6
原结构
基本结构
A
B X1 A X2
→↑ X3
B
△1=11X1+12X2+13X3+△1P=0
△1=0 △2=0 △3=0
△2=21X1+22X2+23X3+△2P=0
△3=31X1+32X2+33X3+△3P=0
11
第11页/共20页
14.3 对称性的利用
➢ 结构的对称性 指结构的几何形状、约束、刚度和荷载具有对称
9
第9页/共20页
例2: 确定图示结构的超静定次数。
n=3×7=21
对于具有较多框格的结构， 可按 框格的数目确定，因为 一个封闭框格，其 超 静定次 数等于三。
当结构的框格数目为 f ,则 n=3f 。
10
第10页/共20页
➢ 力法的典型方程
（1）以三次超静定结构为例
↓P
↓P （1）基本结构
（2）位移条件
14.1 超静定结构概述
➢ 超静定结构 几何不变且具有“多余”联系（外部或内部）
A
B
PC
有一个多余联系
P 有二个多余联系
1
第1页/共20页
➢ 超静定结构的类型
（1）超静定梁; （2）超静定桁架；
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（5）超静定组合结构。
第14章用力法计算超静定结构
8
➢ 超静定结构的解法 综合考虑二个方面的条件: （1）平衡条件； （2）几何条件；
具体求解时，有两种基本(经典)方法— 力法和位移法。
第14章用力法计算超静定结构
9
14.2~4、7 力法的基本原理及其应用
教学要求：
➢ 理解力法的基本概念； ➢ 掌握力法的基本解题过程，能够利用力法求解
第14章用力法计算超静定结构
2
14.1 超静定结构概述
➢ 超静定结构 几何不变且具有多余约束（外部或内部）
A
B
PC
有一个多余约束
P 有二个多余约束
第14章用力法计算超静定结构
3
➢ 超静定次数 多余约束的个数。
去掉或切断一根链杆，相当于去掉一个约束。
↓ ↑X1
拆开一个单铰，相当于去掉两个约束。
8m
6m
（1）基本体系 —基本未知量
（2）位移协调条件 —写力法基本方程
（3）求系数和自由项 —单位荷载法
（4）解力法方程 —求基本未知量
第14章用力法计算超静定结构
24
20kN/m
C I1 D
I2
I2
A
B
X1
8m
6m
（1）基本体系 —基本未知量
（2）位移协调条件 —写力法基本方程
1P 11X1 0
6
例2: 确定图示结构的超静定次数。
n=3×7=21
对于具有较多框格的结构， 可按框格的数目确定，因为一 个封闭框格，其超静定次数等 于3。
当结构的框格数目为 f ,则 n=3f 。
第14章用力法计算超静定结构
7
➢ 超静定结构的类型
（1）超静定梁; （2）超静定桁架；
（3）超静定拱；
（4）超静定刚架；
X1←↓↑→X1
X2
第14章用力法计算超静定结构
4
（3） 在刚结处作一切口，或去掉一个固定端，相当于去掉
←↓
三个约束。
← ↓ X1 X3 X2
（4）将刚结改为单铰联结，相当于去掉一个约束。
X1
X1
第14章用力法计算超静定结构
5
例1: 确定图示结构的超静定次数。 2 1 3
n=6
第14章用力法计算超静定结构
简单的超静定结构。
第14章用力法计算超静定结构
10
1 引例
q
q
A
BA
a
B
a
解超静定问题时，我们不是孤立地研究超静定问题， 而是利用静定结构与超静定结构之间的约束，从中找到由 静定问题过渡到超静定问题的途径。
第14章用力法计算超静定结构
11qA来自BaX1
q
A
B
a
X1
X1 ?
思考
第14章用力法计算超静定结构
第14章用力法计算超静定结构
18
q
0.5qa2
A
B
A
a
X1
3 8
qa
A
a
3 qa2 8
（6）叠加法作弯矩图
M M1X1 MP
1 qa2 8
A
第14章用力法计算超静定结构
B MP
B
M1 MX1
1
X1
3 8
qa
1 qa2 8
M
0
B
19
小结
1P 11X1 0
（1）确定基本体系——确定基本未知量 （2）根据位移协调条件——写出力法基本方程 （3）求出系数和自由项——单位荷载法 （4）解力法方程 ——求解基本未知量
第14章用力法计算超静定结构
20
P
B
C
P
X1
B
C
X2
A
A
11x1 12x2 1P 0
21x1 22x2 2P 0
第14章用力法计算超静定结构
21
n 次超静定结构力法基本方程：
11X1 12X2 ....1nXn 1P 0
21X1 22X2
..........
....2nXn
2P
0
n1X1 n2X2 ....nnXn nP 0
M M 1 X 1 M 2 X 2 .. .M .n X n M P
N N 1 X 1 N 2 X 2 .. .N n .X n N P
R R 1 X 1 R 2 X 2 .. R .n .X n R P
第14章用力法计算超静定结构
22
系数和自由项 ➢ 梁、刚架：
第十四章 用力法计算超静定结构
学习要求： ➢ 了解超静定次数的判断； ➢ 掌握力法计算超静定结构在荷载下的内力， 对称性的应用； ➢ 理解力法的基本原理。
第14章用力法计算超静定结构
1
第十四章 用力法计算超静定结构
主要内容： 14.1 超静定结构概述 14.2~4、7 力法的基本原理及其应用 14.5 对称性的利用 14.6 超静定结构的位移计算 14.8 支座移动和温度改变时的计算 14.9 超静定结构的特性
第14章用力法计算超静定结构
14
q
A
B A 变形协调条件
a
Δ1=Δ1P+Δ11=0
q
Δ1P：基本体系在荷载q单独
A
B
作用下沿X1方向产生的位移；
Δ1P
Δ11
Δ11：基本体系在荷载X1单
A
B
独作用下沿X1方向产生的
X1
位移；
第14章用力法计算超静定结构
15
1 1P 11 0
δ11 : 在X1＝1单独作用下，基本
ii
M i 2 ds
EI
Ai yi EI
ij
M i M j ds EI
Aj yi EI
iP
M i M P ds EI
➢ 桁架：
2
ii
Ni l EA
ij
Ni N jl EA
iP
Ni N Pl EA
第14章用力法计算超静定结构
23
➢ 刚架
20kN/m
C I1 D
I2
I2
A
B
第14章用力法计算超静定结构
25
20kN/m
C I1 160 I2
A MP
8m 6
M1
D
I2 B
6m
（3）求系数和自由项 —单位荷载法
17
（3）作出基本结构的 荷载弯矩图，单位弯矩图
1P 11X1 0
0.5qa2
（4）求出系数和自由项
A
B
—单位荷载法
MP
1P
qa4 8EI
11
a3 3EI
A
B
X1
1P
11
3 qa 8
（5）解力法方程
a
M1
1
X1为正值，说明基本未知量的方向
与假设方向相同；如为负值，则方
—求解基本未知量 向相反。
12
B点的位移条件Δ1=0
q
q
A
BA
B
a
Δ1P
Δ1P：荷载q单独作用下沿X1方向产生的位移；
Δ11：荷载X1单独作用下沿X1方向产生的位移； Δ11
q
A
BA
B
a
X1
X1
第14章用力法计算超静定结构
13
2 力法的基本概念
力法的基本体系
q
q
A
BA
B
a
a
X1
力法的基本未知量
B点的位移条件Δ1=0
变形协调条件
结构沿X1方向产生的位移
A
根据叠加原理
δ11 B
X1=1
11 11X1
1P 11X1 0
力法的基本方程
第14章用力法计算超静定结构
16
3 力法解题的基本步骤 q
A
B
a
（1）确定基本体系
A
—确定基本未知量
q
B
a
X1
（2）根据位移协调条件
—写出力法基本方程
1P 11X1 0
第14章用力法计算超静定结构