12位移法解超静定结构-位移法原理
浅析超静定结构计算中力法与位移法的异同
浅析超静定结构计算中力法与位移法的异同作者：赵浩楠来源：《科学与财富》2019年第17期摘要：力法和位移法是结构力学中计算超静定结构的两种基本方法，这两种计算方法既有相同之处，又有不同之处，本文从二者的基本原理、基本未知量、基本体系及典型方程等方面对比分析力法与位移法在结构计算中的异同。
关键词：超静定结构；力法；位移法；异同在实际工程计算中，大多数结构都是超静定的，结构力学计算通常包括两个部分：内力计算和位移计算，力法和位移法在结构力学中是计算超静定结构的两种基本方法，二者既有相同的地方也有许多不同之处。
相同之处在于二者的分析依据相同，并且最终目的都是为了求解出结构的内力和支座反力；不同之处主要是在于两者的基本原理、基本未知量、基本体系和典型方程不同。
1 力法与位移法对比分析之同1.1 分析依据超静定结构计算中，力法和位移法是常用的两种计算方法。
所谓的超静定结构即指具有多余约束的几何不变体系、基于静力平衡条件不能唯一确定内力和反力的结构。
力法和位移法不仅考虑静力平衡条件，还考虑了变形协调条件及物理条件，从而对超静定结构进行求解。
1.2 目的力法和位移法都是综合利用静力平衡条件、变形协调的几何条件、应力与应变间本构关系的物理条件，根据各自的简单基本结构和关于基本未知量的基本方程，先求解出基本未知量，再求出剩余未知量，最终求解出实际工程中常见的超静定结构各截面的内力和支座反力。
力法和位移法都是综合利用静力平衡条件、变形协调及物理关系三个方面的条件，使各自基本体系与原结构的受力、变形情况一致，从而应用基本体系建立相应的典型方程以达到分析原结构的目的。
2 力法与位移法对比分析之异2.1 基本原理结构在一定的荷载作用下，其内力与位移有一定的关系，简单来说，在分析超静定结构时，力法是先求出结构内力，然后计算其相应的位移；而位移法是先确定位移，再根据位移求出结构内力。
力法的基本原理是：通过撤除多余约束把多余未知力作为基本未知量，将分析超静定结构转化为分析相应的基本结构，然后根据多余约束处的变形协调条件（位移条件）建立力法基本方程，求出基本未知量后即可通过静力平衡条件求出结构的全部内力。
结构力学 位移法计算超静定结构
情景一 位移法的基本原理和典型方程 知识链接
（2）等截面直杆的转角位移方程 常见的单跨超静定梁根据支座情况的不同，可分为如图 3 – 45 所示三种。
情景一 位移法的基本原理和典型方程
知识链接
下面介绍常见的单跨超静定梁在杆端的位移和荷载作用下杆端弯矩的计 算公式，即等截面直杆的转角位移方程。为方便计算，可参照表 3 – 2 和表 3 – 3 查出杆端位移所引起的杆端弯矩及荷载作用下引起的杆端弯 矩进行叠加计算。 ① 两端固定。超静定结构中，凡两端与刚结点或固定支座（固定端） 连接的杆件，均可看作是两端固定梁。
2．位移法的基本未知量和基本结构的确定 位移法的基本未知量为结点角位移和独立结点线位移。结点角位移未知量
的数目等于刚结点的数目。确定独立结点线位移未知量的数目时，假定受弯 直杆两端之间的距离在变形后仍保持不变，具体方法是“铰化结点，增设链 杆”，即将结构各刚性结点改为铰结点，并将固定支座改为固定铰支座，使 原结构变成铰结体系，使该铰结体系成为几何不变体系，所需增加的最少链 杆数就等于原结构独立结点线位移数目。位移法的基本未知量确定后，在每 个结点角位移处加入附加刚臂，沿每个独立结点线位移方向加入附加链杆， 所形成的单跨超静定梁的组合体即为位移法的基本结构。
计算：
① 单位位移 Δ1=1 单独作用于基本结构引起相应的约束反力为 k11 和 k21， 其相应弯矩图为M1 图（图 3 – 43a）。
② 单位位移 Δ2=1 单独作用于基本结构引起相应的约束反力为 k12 和 k22， 其相应弯矩图为M2 图（图 3 – 43b）。 ③ 荷载单独作用于基本结构引起相应的约束反力为 F1P 和 F2P，其相应弯 矩图为 MP 图（图3 – 43c）。
情景一 位移法的基本原理和典型方程
位移法求超静定结构支座反力
位移法求超静定结构支座反力首先，让我们先来了解一下超静定结构和位移法的基本概念。
超静定结构是指具有多余支撑或节点的结构，这些结构在外力作用下可以保持稳定，但是支座反力并不唯一确定。
在超静定结构中，我们需要通过一定的方法来求解支座反力以及结构的内力分布。
位移法是一种结构分析方法，其基本思想是假设结构在受力作用下产生微小位移，通过计算位移的变化来求解结构的受力状态。
位移法的优点是简单易用，适用于各种结构形式，并且可以较为准确地求解结构的支座反力和内力分布。
接下来，我们将以一个简单的超静定结构为例，通过位移法来求解支座反力。
假设我们有一个悬臂梁结构，如下图所示：（图）该悬臂梁结构为超静定结构，假设其长度为L，横截面积为A，杨氏模量为E。
现在我们需要求解支座A处的水平和竖直支座反力。
首先，我们需要对结构进行简化，假设结构在受力作用下产生微小位移ε，如下图所示：（图）根据悬臂梁结构的几何关系和位移法的基本原理，我们可以列出以下方程：$\frac{d}{dx}(EA\frac{d^2u}{dx^2}) = 0$其中，u为结构在x方向的位移。
根据以上方程可以得到结构的位移方程为：$EA\frac{d^2u}{dx^2} = C_1$其中，C1为积分常数。
根据结构的边界条件，我们可以得到u(0) = 0，u'(0) = 0。
即支座A处的位移为0，支座处的应变为0。
根据以上条件，我们可以得到结构的位移方程为：$EA\frac{d^2u}{dx^2} = -\frac{F}{L^2}x$解上述方程可以得到结构的位移表达式为：$u(x) = \frac{F}{2EA}(x^2 - Lx)$根据结构的边界条件，我们可以得到支座A处的水平反力为0，即$R_A = 0$。
而支座A 处的竖直支座反力为支持力，即$R_V = F$。
通过以上分析，我们成功求解了超静定悬臂梁结构的支座反力。
通过位移法这一经典的结构分析方法，我们可以对各种结构进行分析，并且可以比较准确地求解结构的支座反力和内力分布。
第十三章位移法
回顾力法思路：
（1）解除多余约束代以基本未知力，确定基本结构； （2）分析基本结构在未知力和“荷载”共同作用下的 变形，消除与原结构的差别，建立力法典型方程；
（3）求解未知力，将超静定结构化为静定结构。
核心是化未知为已知
杆端内力、位移的符号规定：
● 杆端弯矩: MAB表示AB杆A端的弯矩。绕杆端顺时针为正 （绕结点逆时针为正）
则上式可写成:
r11Z1+ r12Z2+R1P=0 r21Z1+ r22Z2+R2P=0
这就是位移法的基本方程。 物理意义：基本结构在结点位移和荷载共同作用下， 每一个附加约束中的附加反力矩或反力都应等于零。
为计算系数和自由项，绘出基本结构在 Z1 1、Z 2 1
以及载荷作用下的弯矩图 M 1、M 2和MP图
二、支座移动引起的杆端弯矩和剪力
原结构
基本结构
2EI
X1
l
A
6EI
X2
l2 A
用力法求解单跨超静定梁
11X1 12 X 2 1C A 21X1 22 X 2 2C B
11
1 EI
l 2
2 3
l 3EI
22
12
1 EI
l 2
1 3
l 6EI
21
1C
l
2C
l 3EI
X1
1
0
12i
l2
r22=15i/l2
↽ ⇁ 2 r22 1
132ii
P
l2
2
R2P=-P/2
⇁2 R2P
：
r11 r11=7i
r12 r12=-6i/l2
R1P R1P=Pl/8
力法、位移法求解超静定结构讲解
力法、位移法求解超静定结构讲解
超静定结构是指在结构中存在多余的支座或者杆件，使得结构的自由度小于零，即结构无法通过静力学方法求解。
在这种情况下，我们需要采用力法或者位移法来求解结构的内力和位移。
力法是指通过假设结构内力的大小和方向，来求解结构的内力和位移的方法。
在力法中，我们需要假设结构内力的大小和方向，然后通过平衡方程和变形方程来求解结构的内力和位移。
力法的优点是计算简单，适用于简单的结构，但是对于复杂的结构，力法的假设可能会导致误差较大。
位移法是指通过假设结构的位移，来求解结构的内力和位移的方法。
在位移法中，我们需要假设结构的位移，然后通过平衡方程和变形方程来求解结构的内力和位移。
位移法的优点是适用于复杂的结构，可以准确地求解结构的内力和位移，但是计算较为繁琐。
在实际工程中，我们通常采用力法和位移法相结合的方法来求解超静定结构。
首先，我们可以通过力法来确定结构的内力大小和方向，然后再通过位移法来求解结构的位移。
这种方法可以充分利用力法和位移法的优点，减小误差，提高计算精度。
超静定结构的求解需要采用力法和位移法相结合的方法，通过假设结构的内力和位移，来求解结构的内力和位移。
在实际工程中，我们需要根据具体情况选择合适的方法，以保证计算精度和效率。
结构力学位移法
结构力学位移法结构力学是研究结构物的力学性能和变形规律的科学，位移法是结构力学中常用的一种分析方法。
它通过计算结构物各个节点的位移，进而求解出结构物的应力、应变等力学参数。
下面将详细介绍位移法的原理和应用。
一、位移法的原理位移法是一种基于力的平衡方程和位移的相关性质来计算结构物响应的方法。
它的基本原理是通过建立结构物的整体刚度方程，解这个方程得到各节点的位移，再根据位移计算出相应节点上的应力和应变。
在应用位移法时，首先需要确定结构物的受力状态，即施加在结构物上的外力和边界条件。
然后，根据结构物的几何约束条件和材料特性，建立结构物的整体刚度方程。
这个方程是一个描述结构物节点位移与受力关系的方程，通常表示为[K]{D}={F}，其中[K]是结构物的刚度矩阵，{D}是节点位移矩阵，{F}是节点受力矩阵。
解刚度方程可以得到节点位移矩阵{D}，再通过位移与应力或应变的关系，计算出各个节点上的应力和应变。
常用的位移与应力或应变的关系包括伯努利梁理论、平面假设等。
最后，根据应力或应变条件，判断结构物的安全性和稳定性。
二、位移法的应用位移法广泛应用于各种结构物的力学分析和设计中，特别是对于复杂结构和非线性问题的分析更具优势。
1.梁和框架的分析对于梁和框架结构，可以根据位移法计算出节点上的位移、弯矩、剪力和轴力等力学参数。
通过对结构物的力学性能的准确分析，可以进行合理的结构设计和优化。
2.刚架和刚构的计算在刚架和刚构的计算中，位移法可以用来求解节点刚度，从而得到结构物的受力分布和变形情况。
这对于评估结构物的稳定性和刚度有重要意义。
3.非线性问题的分析位移法还可以应用于非线性结构的分析，如软土地基的承载力计算、非线性材料的应力分析等。
在这些情况下，结构物的刚度和应力等参数会随着受力状态的变化而发生变化，需要通过迭代的方法来求解。
4.动力分析位移法也可以用于结构物的动力分析。
动力分析主要研究结构物在动态载荷下的响应和振动特性。
位移法求解超静定结构
位移法求解超静定结构一、引言超静定结构是指在静力学条件下，其内力和位移无法通过平衡方程和变形方程求解的结构。
由于超静定结构的内力和位移无法直接求解，因此需要采用特殊的方法进行计算。
其中，位移法是一种经典的求解超静定结构的方法。
二、位移法基本原理位移法是一种基于能量原理的方法，其基本思想是将结构中各个部分的变形看作独立自由度，然后通过能量平衡原理得到各个自由度之间的关系，最终求解出整个结构的内力和位移。
具体来说，位移法包括以下几个步骤：1. 将超静定结构中每一个部分看作一个独立自由度，并为每个自由度引入一个未知位移；2. 根据平衡条件列出各部分之间相互制约的方程组；3. 根据能量平衡原理列出总势能和总应变能之间的关系式，并将其转化为未知位移之间的关系式；4. 将各个方程组联立起来，得到未知位移之间的关系式；5. 利用已知边界条件解出未知位移，并进而求解出整个结构的内力和位移。
三、位移法的应用范围位移法适用于各种类型的超静定结构，包括梁、柱、框架等。
此外，位移法还可以用于求解复杂的结构体系，如悬索桥、拱桥等。
四、位移法的优点和缺点1. 优点：（1）能够求解各种类型的超静定结构；（2）计算精度高，适用于复杂结构；（3）计算过程简单明了，易于理解和掌握。
2. 缺点：（1）只能求解超静定结构，不能求解不静定和半静定结构；（2）需要将每个部分看作独立自由度，因此对于复杂结构需要引入大量自由度，计算量较大；（3）需要具备一定的数学基础和结构力学知识。
五、位移法的实例以一根简支梁为例进行说明。
假设梁长为L，截面为矩形截面，宽度为b，高度为h。
在中间加一集中荷载F，则该梁为超静定结构。
采用位移法进行求解：1. 将梁分成两段，并引入两个未知位移u1和u2；2. 根据平衡条件，得到以下方程组：（1）在x=0处：F = R1 + R2（2）在x=L处：R1u1 + R2u2 = FL/43. 根据能量平衡原理，得到以下关系式：（1）总势能：V = (R1u1 + R2u2)hL/2（2）总应变能：T = F^2L^3/48EI4. 将以上方程组和关系式联立起来，得到：（1）F = (3EI/h^3L^3)(u1 - u2)（2）R1 = F/2 - EI/h^3L^3(u1 + u2)（3）R2 = F/2 + EI/h^3L^3(u1 + u2)5. 利用已知边界条件，即梁两端的位移为0，解出未知位移：（1）u1 = FL^3/(48EIh)；（2）u2 = -FL^3/(48EIh)；6. 最终求解出内力和位移：（1）R1 = F/4；（2）R2 = F/4；（3）Mmax = FL/8；（4）umax = FL^3/(48EIh)。
建筑工程力学教程：12 位移法计算超静定结构
力法计算,9个基本未知量
位移法计算, 1个基本未知量
一.单跨超静定梁的形常数与载常数
1.等截面梁的形常数
杆端位移引起的杆端内力称为形常数.
线刚 i EI
度
l
2.等截面梁的载常数 荷载引起的杆端内力称为载常数.
二.位移法基本概念
Z1
q
EI
EI
Z1
=
Z1 q
Z1
=
Z1=1
Z1
q
+
Z1
q
EI
r22
---位移法典型方程
r11
r12
rij (i=j) 主系数>0
Z1
Z2
rij (i=j) 副系数
q
F2P
ql
ql
F1P 刚度系数,
体系常数
rij = rji 反力互等 FiP 荷载系数
ql
q
ql
q
F2 Z1
F1=0
l/2 l/2
EI=常数
ql
65 184
9
23
l
139
r21
184
Z1=1
同作用下
x
符号规定:
杆端弯矩---绕杆端顺时针为正
杆端剪力---顺时针为正
杆端转角---顺时针为正
杆端相对线位移---使杆轴顺时针
转为正
y
转角位移方程
x
y 由线性小变形，由叠加原理可得
M
AB
4i A
2i B
6i l
AB
MF AB
M
BA
4i B
2i A
6i l
AB
MF BA
A
4i A
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R1P 0 R2P P
8Pl 2 Z1 207i
17Pl 2 Z2 414i
EA
Z1
EI
EI l
EI
P
EI1
EI EI l
P
Z2
l
l
3i / l 3i / l
例7:用位移法计算图示刚架,并作弯 矩图. E=常数.
na 1 nl 1
单位弯矩图和荷载弯矩图示意图如下:
由形、载常数可得单位和荷载弯矩图如下:
矩图. E=常数.
熟记了“形、载 常数”吗？
rij、RiP
如何求？
na 2 nl 0
单位弯矩图和荷载弯矩图示意图如下:
Z1 1
单位弯矩图为
Z2 1
4i
8i
4i
4i 8i 2i
rij的方向与 4i 4i 8i 位移方向一
致为正。
2i
M1 图
r11
8i 4i
r11 12i
取结点考虑平衡 M2 图
2i Z2
6i / l
3i / l 2
r11
12i / l 2
3i
6i / l ql / 2
r12 R1P
ql2 / 8
ql2 / 8
r21
r22
4i
R2P
3 ql3 Z1 23 i
7 ql2 Z2 92 i
M M1Z1 M2Z2 MP
例2.作M图，EI=常数
P l
R1=0 r11Z1 R1P 0
r11Z1 R1P 0 r11 11i
R1P Pl / 2
l/2 l
l l l/2
P/2
Z1 Pl / 22i Z1
M M1Z1 MP
Z1=1 6i 4i i
M1
2i
P/2
P/2 P/2
Pl / 2
MP
练习1:
作M图 R1=0 r11Z1 R1P 0
r11 18i / l 2 R1P 3ql / 8 Z1 ql 3 / 48i
6i / l
Z1=1
Z2=1
M2
3i / l 3i / l 3i / 4l
3i / 8l 2 3i / l 2
M1
r11
3i / l 2
P
MP
3i / l 2 3i / l 2
r21
3i / l 2 3i / l 2
r22
12i / l 2 12i / l 2
例4:
作M图，EI=常数 R1=0
P l l
M M1Z1 MP
EI
q
2EI
l
6i/l
12i / l 2
EI
EI1 l
M1
Z1=1
lq ql2 / 8 q
Z1
MP
6i / l 2 r11
3ql / 8 R1 P
练习2:
1)建立位移法基本 体系,列出典型方程
q
EI=常数
2) 求出典型方程中
系数r14, r32,R4P。
l
l
Z1
q
l l
Z2
Z3
Z4
2) 求出典型方程中
Z2
系数r14, r32,R4P。
Z1
q
r14=-3i/l
r14 3i/l 3i/l
6i/l
Z4=1 6i/l
M4
Z2=1 r32 r32= 2i q
3i 3i 4i
2i 6i/l
ql2 / 12
M2
ห้องสมุดไป่ตู้
Z3 Z4
R4P
MP
R4P= -ql/2
例5:用位移法计算图示刚架,并作弯
r11 8i R1P Pl Z1 Pl / 8i
M M1Z1 MP
l
l
l
i
4i M1
Z1=1 r11
3i
2i
r11 R1P
Pl
3i
i
4i
P Z1 R1
Pl
P
R1P
MP
pl P
pl / 8 pl / 2 M
3 pl / 8 pl / 4
例3.作M图
解:
r11Z1 r12Z2 R1P 0 r21Z1 r22Z2 R2P 0
r11Z1 r12 Z2 r13 Z3 r14 Z4 R1P 0 r21Z1 r22 Z2 r23 Z3 r24 Z4 R2P 0 r31Z1 r32 Z2 r33 Z3 r34 Z4 R3P 0 r41Z1 r42 Z2 r43 Z3 r44 Z4 R4P 0
r21
r12
r22
4i
4i 8i
8i
4i
r21 4i r12 4i r22 20i
ql 2
12
荷载弯矩
图
R1P
取结点考虑平衡
M
图
P
R2P
ql 2
12
R1P 0
R2P
ql 2 12
位移法典型方程：
r111 r122 R1P 0 r211 r222 R2P 0
R2 r21Z1 r22Z2 R2P 0
r11 15i / l 2 r12 6i / l
R1P 3ql / 2 r21 6i / l
r22 7i
R2P ql 2 / 4
3i / l
ql
Z1
M1
q ql2 / 8
R2P
ql
R1P
ql2 / 8
MP
ql
M2
Z2
q
R2P
rij (i=j) 主系数
ql
q
R2 Z1
ql刚度系数R, 1P rij (i=j) 副系数
ql
R1
体系常数
rij = rji 反力互等
R1 r11Z1 r12Z2 R1P 0
R2 r21Z1 r22Z2 R2P 0
RiP 荷载系数
位移法（典型方程法）步骤:
1.确定基本未知量
2.确定基本结构、基本体系
3.建立位移法方程
4.作单位弯矩图,荷载弯矩图
5.求出系数
6.解位移法方程; 7.叠加法作弯矩图
ql
q
ql
q
R2 Z1
R1=0
l/2 l/2
EI=常数
ql
65 184
9
23
l
139
r21
184
Z1=1
6i / l
r11
ql
r32i2
4i
Z2=1
r12
R1 R2=0 R1 r11Z1 r12Z2 R1P 0
超静定结构的解法—位移法
第六章
➢§6-1 基本概念 ➢§6-2 位移法举例 ➢§6-3 计算无侧移结构的弯矩分配法 ➢§6-4 计算有侧移结构的反弯点法
例 1. 用位移法求解图示结构
ql
q
Z2
Z1
R1=0
r21
Z1=1
R2=0 r22
Z2=1
l/2
ql
r11
r12
l/2
EI=常数
l Z2 ql
Z1
12i1 4i2 0 0
4i1
20i2
ql 2 12
0
请自行作出 最终M图
1
ql 2 672i
2
ql 2 224i
最终内力： M M11 M 22 M P
例6. 试求图(a)结构的弯矩图。 请大家自行做出结构的最终弯矩图