建筑工程力学教程：11 力法计算超静定结构
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超静定结构内力计算.pptx
μ
MBC= 0.429×(－24) = －10.3kNm
传递弯矩：
c MCB= 0
c
MAB= 0.5×(－13.7) = －6.85kNm
最后杆端弯矩：
MCB= 0
MAB= MFAB＋ MCAB = －66.85kNm
MBA= MFBA＋ MμBA = 46.3kNm
MBC= MFBC＋ MμBC = －46.3kNm
M
f AB
3 16
Pl
1 ql2 8
A
B
P A
3 Pl 16
B
M
f BA
3 16
Pl
1 ql2 8
A
B
M
f AB
1 8
ql 2
M
f BA
1 8
ql 2
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1、计算各杆的固端 弯矩Mf
MfAB=0
M
f BA
1 8
ql 2=1/8×4×62=18
MfBC=-1/8PL=-1/8×30×6=-22.5 MfCB=1/8PL=1/8×30×6=22.5
所以，结点角位移的数目 等于该结构的刚结点数！
由于A、B、C为固定端支座，所以 其位移均已知为零，不需作为未知量； 而同一刚结点处各杆的杆端转角相等， 所以每个刚结点处只有一个独立的结 点转角未知量。故上图刚架只有一个 结点转角未知量。
第5页/共24页
2、独立结点线位移
在微弯状态下，假定受弯直杆两端之间距离在变形 前后保持不变，即杆长保持不变。
A
SAB = 3 i
B
A
SAB = i
θ =1
= B
A
B
当θ ≠ 1时: MAB = SAB θ
建筑力学第六章超静定结构内力计算资料
n1Χ1 n2 Χ 2 ni X i nn Χ n ΔnF 0从左上方
至右下方的一条主对角线上的系数δii称为主系数， 它表示Xi=1时，引起的基本结构上沿Xi方向上的位 移，它可利用 图M自1 乘求得,其值恒为正值；主对 角线两侧的系数δij(i≠j)称为副系数，它表示Xj =1时， 引起的基本结构上沿Xi方向上的位移，它可利用 图与 图M互i 乘求M得j。
Δ1=0
上式称为基本结构应满足 的原结构的位移条件，设 Δ1F[图(c)]和Δ11[图(d)]分别表示 荷载q与多余末知力X1单独作 用于基本结构上时，引起的B 点沿X1方向上的位移。由叠加 原理，有
Δ1 =Δ11 +Δ1F =0
(b)基本结构
X1
=
(c)
+
(d)
X1
由于X1是末知力，若以δ11表示X1＝1单独作用 于基本结构时引起的B点沿X1方向上的位移，即 Δ11 = δ11·X1 ，则
6.3.1 位移法的基本概念
位移法是以结构的结点位移作为基本未知量， 由平衡条件建立位移法方程求解结点位移，利用 杆端位移和杆端内力之间的关系计算杆件和结构 的内力，从而把超静定结构的计算问题转化为单 跨超静定梁的计算问题。
为了说明位移法的基本概念，我们来研究图 （a）所示的等截面连续梁。
此梁在均布荷载作用下的变形情况如图虚线所 示。。 由于B点为刚性结点，所以，汇交于此点的各 杆在该端将发生相同的转角B 。
多余未知力X1求出后，将已求得的多余力X1与 荷载q共同作用在基本结构上, 就可以按求解静定结
构的方法，求出原结构的其余反力和内力，最后绘
出原结构的弯矩图，如图（c）所示。
超静定结构的最后弯矩图
力法、位移法求解超静定结构讲解
力法、位移法求解超静定结构讲解
超静定结构是指在结构中存在多余的支座或者杆件，使得结构的自由度小于零，即结构无法通过静力学方法求解。
在这种情况下，我们需要采用力法或者位移法来求解结构的内力和位移。
力法是指通过假设结构内力的大小和方向，来求解结构的内力和位移的方法。
在力法中，我们需要假设结构内力的大小和方向，然后通过平衡方程和变形方程来求解结构的内力和位移。
力法的优点是计算简单，适用于简单的结构，但是对于复杂的结构，力法的假设可能会导致误差较大。
位移法是指通过假设结构的位移，来求解结构的内力和位移的方法。
在位移法中，我们需要假设结构的位移，然后通过平衡方程和变形方程来求解结构的内力和位移。
位移法的优点是适用于复杂的结构，可以准确地求解结构的内力和位移，但是计算较为繁琐。
在实际工程中，我们通常采用力法和位移法相结合的方法来求解超静定结构。
首先，我们可以通过力法来确定结构的内力大小和方向，然后再通过位移法来求解结构的位移。
这种方法可以充分利用力法和位移法的优点，减小误差，提高计算精度。
超静定结构的求解需要采用力法和位移法相结合的方法，通过假设结构的内力和位移，来求解结构的内力和位移。
在实际工程中，我们需要根据具体情况选择合适的方法，以保证计算精度和效率。
结构力学超静定结构的内力和位移计算PPT课件
5
第5页/共29页
力法方程中的柔度系数与自由项，都是力法基本结构在已知力作用下的位 移，相应的计算公式为
dii
M
2 i
ds
EI
FN2i ds EA
kFS2i ds GA
dij d ji
MiM j ds EI
FNi FNj ds EA
kFSi FSj ds GA
FNitl
Dt h
M i ds
13
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例题5-7. 图示刚架，外侧温度升高20oC，内侧温度升高30oC，试用力法求解并作出M图。已 知杆件横截面为矩形截面，高度h=l/10，EI=常数，材料线膨胀系数为。
原结构
力法基本结构
FN1
M1
M图
d11 X1 D1t 0
d11
1 EI
(1 l 2
d n1 X1 d n2 X 2 d nn X n DnP Dn 0
对于力法典型方程，应注意理解与掌握以下几点： (1) 力法典型方程的物理意义，是多余约束处的位移方程； (2) dij称为结构的柔度系数，其定义是j方向的单位力引起的i方向的位移，第1个下标表示 发生位移的位置，第2个下标表示产生位移的原因。位移互等定理，dij=dji。主柔度系数必 为正，即dii>0。副柔度系数dij可为正、负或0。柔度系数为结构的固有特性，与荷载等外 界因素无关； (3) 自由项DiP的物理意义是，荷载单独作用在力法基本结构上产生的沿Xi方向的位移，可 为正、负或0； (4) 力法方程也称为柔度方程，力法也称为柔度法；
D1P
X1 2d EA
FN
若将上弦杆DE去掉，其基本结构如示。此时，在X1与荷载共同作用下，D、E两点沿轴方向的相对线位移不
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力法方程中的柔度系数与自由项，都是力法基本结构在已知力作用下的位 移，相应的计算公式为
dii
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例题5-7. 图示刚架，外侧温度升高20oC，内侧温度升高30oC，试用力法求解并作出M图。已 知杆件横截面为矩形截面，高度h=l/10，EI=常数，材料线膨胀系数为。
原结构
力法基本结构
FN1
M1
M图
d11 X1 D1t 0
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1 EI
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d n1 X1 d n2 X 2 d nn X n DnP Dn 0
对于力法典型方程，应注意理解与掌握以下几点： (1) 力法典型方程的物理意义，是多余约束处的位移方程； (2) dij称为结构的柔度系数，其定义是j方向的单位力引起的i方向的位移，第1个下标表示 发生位移的位置，第2个下标表示产生位移的原因。位移互等定理，dij=dji。主柔度系数必 为正，即dii>0。副柔度系数dij可为正、负或0。柔度系数为结构的固有特性，与荷载等外 界因素无关； (3) 自由项DiP的物理意义是，荷载单独作用在力法基本结构上产生的沿Xi方向的位移，可 为正、负或0； (4) 力法方程也称为柔度方程，力法也称为柔度法；
D1P
X1 2d EA
FN
若将上弦杆DE去掉，其基本结构如示。此时，在X1与荷载共同作用下，D、E两点沿轴方向的相对线位移不
力法计算超静定结构PPT文档24页
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
力法计算超静定结构
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
结构力学 力法计算超静定结构
Δ1 = 0 称为位移协调条件。
（ 3 – 1）
情景二 力法的基本原理和典型方程
知识链接
Δ1 = 0 的物理意义：基本结构在荷载与 X1 的共同作用下，B 处所产 生的竖向位移应等于原结构 B 处的实际竖向位移（因原结构 B 处无
竖向位移，故 Δ = 1 0 ）。根据叠加原理，基本结构在 q 与 X1 的 共同作用下，产生的 B 处竖向位移 Δ1，应等于 q 与 X1 分别单独作 用在基本结构 B处的竖向位移的叠加，即
情景二 力法的基本原理和典型方程 知识链接
情景二 力法的基本原理和典型方程
知识链接 2．力法原理
如图 3 – 17a 所示一次超静定梁，去掉支座 B，用多余未知力 X1 代 替，得如图 3 – 17b 所示的基本结构。由前述知，只要设法求出多 余未知力 X1，则其余支反力和内力的计算就与静定结构完全相同。 但仅靠平衡条件无法求出 X1，因为在基本结构中除 X1 外还有三个 支座反力未知，故平衡方程数目少于未知力数，其解值是不定的。 为求出未知力 X1，将图 3 – 17a 所示超静定梁与图 3 – 17b 所示静 定梁的受力条件和变形条件进行比较。
Δ11=δ11X11，于是上述位移条件（3–2）可写成
δ11X11 + Δ1P= 0
(3-3)
此方程为力法的基本方程。δ11 和 Δ1P 都是静定结构在已知力作用下 的位移，完全可以由项目二中所述方法求得，于是多余未知力 X 1 即可
由式（3–3）求得。这种以多余未知力为基本知量，通过基本结构，利
用计算静定结构的位移，达到求解超静定结构的方法称为力法。 为了计算 δ11 和 Δ1P ，分别作基本结构在荷载作用下的弯矩图 MP 和
由于原结构在b点的位移为零因此基本结构在荷载和多余未知力共同作用下b点沿x1x2x3方向的水平位移竖向位移和角位移也都应该为零即b处应满足位移条件102030项目实施情景二力法的基本原理和典型方程x11单独作用时沿x1x2x3方向位移分别为112131
力法求解超静定结构的步骤
第八章力法本章主要内容1）超静定结构的超静定次数2）力法的解题思路和力法典型方程（显然力法方程中所有的系数和自由项都是指静定基本结构的位移，可以由上一章的求位移方法求出（图乘或积分））3）力法的解题步骤以及用于求解超静定梁刚架桁架组合结构（排架）4）力法的对称性利用问题，对称结构的有关概念四点结论5）超静定结构的位移计算和最后内力图的校核6）§8-1超静定结构概述一、静力解答特征：静定结构：由平衡条件求出支反力及内力；超静定结构的静力特征是具有多余力，仅由静力平衡条件无法求出它的全部（有时部分可求）反力及内力，须借助位移条件（补充方程，解答的唯一性定理）。
二、几何组成特征：（结合例题说明）静定结构：无多余联系的几何不变体超静定结构：去掉其某一个或某几个联系（内或外），仍然可以是一个几何不变体系，如桁架。
即：超静定结构的组成特征是其具有多余联系，多余联系可以是外部的，也可能是内部的，去掉后不改变几何不变性。
多余联系（约束）：并不是没有用的，在结构作用或调整结构的内力、位移时需要的，减小弯矩及位移，便于应力分布均匀。
多余求知力：多余联系中产生的力称为三、超静定结构的类型（五种）超静定梁、超静定刚刚架、超静定桁架、超静定拱、超静定组合结构四、超静定结构的解法综合考虑三个方面的条件：1、平衡条件：即结构的整体及任何一部分的受力状态都应满足平衡方程；2、几何条件：也称变形条件、位移条件、协调条件、相容条件等。
即结构的变形必须符合支承约束条件（边界条件）和各部分之间的变形连续条件。
3、物理条件：即变形或位移与内力之间的物理关系。
精确方法：力法（柔度法）：以多余未知力为基本未知量位移法（刚度法）：以位移为基本未知量。
力法与位移法的联合应用：力法与位移法的混合使用：混合法近似方法：力矩分配法、矩阵位移法、分层总和法、D值法、反弯点法等本章主要讲力法。
五、力法的解题思路（结合例子）把不会算的超静定结构通过会算的基本结构来计算。
结构力学计算超静定梁结构力学PPT学习教案
条件可用公式表达如下：
Δ1 =0
(a)
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等式左端表示基本结构在作用点的竖向线位移(沿方向 等式左端表示基本结构在作用点的竖向线位移(沿方向的
位移)，等号右端表示原结构在B点的 竖向线 位移。 设、分 别表示基本结构在及荷载单独作用时 ，作用 点沿方 向的位
移，其符号都以沿假定的方向为正， 见图7-4(c)、(d)，根 据 叠加原理，变形协调条件式(a)可写为
图7-5
由于虚拟状态的 M 图与 M 1 图相同，故
11
M 1 M ds 1 (1 l l 2 l) l3
EI
EI 2
3
3EI
1P
M 1M P ds EI
1 [1 l (2 l Fl l Pl )]
EI 6 2
2 22
5Fl 3
48EI
(5) 解力法方程。
X1
q
C X1
"基本体系"
在力法中把原超静定结构称 (c) A
为原结构，去掉多余联系后
11
B
C
X1
的静定结构称为基本结构。
q
(d)
所去掉的多余联系，则以相 A
B
C
ip
应的多余未知力X1来代替。
图7-
第5页/共61页
4
这样，基本结构就同时承受着荷载和多余未知力X1的作用， 基本结构在原有荷载和多余未知力X1共同作用下的体系称为 力法的基本体系。现在分析一下如何计算X1 。对原结构讲它 代表B支座反力，是一个被动力，而对基本结构来讲它是一
链杆不是多余约束。
(a)
(b)
(c)
(d)
A
B
A
B X1
Δ1 =0
(a)
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等式左端表示基本结构在作用点的竖向线位移(沿方向 等式左端表示基本结构在作用点的竖向线位移(沿方向的
位移)，等号右端表示原结构在B点的 竖向线 位移。 设、分 别表示基本结构在及荷载单独作用时 ，作用 点沿方 向的位
移，其符号都以沿假定的方向为正， 见图7-4(c)、(d)，根 据 叠加原理，变形协调条件式(a)可写为
图7-5
由于虚拟状态的 M 图与 M 1 图相同，故
11
M 1 M ds 1 (1 l l 2 l) l3
EI
EI 2
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1P
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(5) 解力法方程。
X1
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"基本体系"
在力法中把原超静定结构称 (c) A
为原结构，去掉多余联系后
11
B
C
X1
的静定结构称为基本结构。
q
(d)
所去掉的多余联系，则以相 A
B
C
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应的多余未知力X1来代替。
图7-
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4
这样，基本结构就同时承受着荷载和多余未知力X1的作用， 基本结构在原有荷载和多余未知力X1共同作用下的体系称为 力法的基本体系。现在分析一下如何计算X1 。对原结构讲它 代表B支座反力，是一个被动力，而对基本结构来讲它是一
链杆不是多余约束。
(a)
(b)
(c)
(d)
A
B
A
B X1
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四.力法的基本体系与基本未知量 超静定次数：多余约束个数.
若一个结构有N个多余约束,则称其为N次超静定结构.
比较法: 与相近的静
定结构相比, 比静定
X2
X1
X2
结构多几个约束即为 几次超静定结构.
X1 力法基本体系不是惟一的. 基本未知量数=多余约束个数=超静定次数
五.超静定次数的确定及去掉多余约束的方法
《建筑工程力学》
单元12 力法计算超静定结构
单元12 力法计算超静定结构
11.1 超静定次数的确定 11.2 力法的基本原理和力法典型方程 11.3 力法超静定结构 11.4 利用对称性简化计算 11.5 力法计算支座移动时的超静定结构
11.1 超静定次数的确定
一.超静定结构的静力特征和几何特征
X2 当于去掉一个约束.
X3 几何可变体系不能
X1
作为基本结构
X2
X2 X1
X3
X2 X1
X3
X5 X4
X6
一个无铰封闭框有 三个多余约束.
九次
六次
五次
超静定次数的确定
框格法
一个封闭无铰框格
n3
m个封闭
无铰框格
n 35 15
确定超静定次数小结：
▪一个超静结构可能有多种形式的基本结构， 不同基本结构带来不同的计算工作量。
ql2 / 2
l
MP
M1
11.2 力法的基本原理和力法典型方程
二、力法解题步骤:
1.确定基本体系； 2.写出位移条件,建立力法方程； 3.作单位弯矩图,荷载弯矩图; 4.求出系数和自由项； 5.解力法方程，求出多余约束力； 6.用叠加法作弯矩图。
11.2 力法的基本原理和力法典型方程
q 2EI EI l
从力法方程解得基本未知力，由叠加原理 获得结构内力。将超静定结构转化为静定结 构进行求解。
11.3 力法计算超静结构
EI l/2
3Pl/16
P l/2
P 1）
M 5Pl/32 X1
l
M1
X1=1
Pl/2
P
MP
例1：作超静定梁的弯矩图
Δ1=δ11X1+Δ1p= 0
l3 δ11= 3EI
X
1
1P 11
1.内力与材料的物理性质、截面的几何形状和
尺寸有关。 2.温度变化、支座移动一般会产生内力。
与静定结构相比, 超静定结构的优点为: 1.内力分布均匀 2.抵抗破坏的能力强
11.1 超静定次数的确定 三.超静定结构的计算方法
1.力法----以多余约束力作为基本未知量。
2.位移法----以结点位移作为基本未知量. 3.力矩分配法----近似计算方法.
在变形条件成立条件下,基本体 系的内力和位移与原结构相同.
11.2 力法的基本原理和力法典型方程
一.力法的基本原理
ql2 / 8
Δ1 0 Δ1 Δ11 Δ1P 0
Δ11 X1 11
力法 方程
M
11 X1 1P 0
1
11
l3 3EI
3ql X1 8 ()
Δ1P
ql4 8EI
M M1 X1 MP
X1
X2
X3
X1
X2
X3
X1 X2
X3
去掉几个约束后，能 成为静定结构, 则为 几次超静定。
去掉一个链杆或切断 一个链杆相当于去掉 一个约束。
X2 X1
X3
X3
X2 X1
去掉一个固定端支
座或切断一根刚性
X1 杆相当于去掉三个
X3 X2
约束.
将刚结点变成铰结
X3 点或将固定端支座
X1
变成固定铰支座相
q
Δ1 X2
变形条件:
2EI
l
EI
Δ2 X1
l
Δ1 Δ2
0 0
l
力法的典型方程
q
2EI
EI
l
l
11
21 X1=1
q X1
Δ1P
Δ2P
q
Δ1
X2
Δ2 X1
12
X2=1
22
X2
变形条件:
Δ1 Δ2
0 0
Δ1 11 X1 12 X 2 Δ1P 0 Δ2 21 Байду номын сангаасX1 22 X 2 Δ2P 0
▪可变体系不能作为基本结构
基本结构是指去掉多余约束后的静定结构
六次
X2 X1
X7
X3
X8
X5
X4
X9
X6
X 10
十次
超静定次数的确定
六次
拆除多余联系变成的静 定结构形式：
11.2 力法的基本原理和力法典型方程 一.力法的基本原理
待解的未知问题
1
基本体系
Δ1 0 变形条件 X1
力法基本 未知量
超静定结构：具有多余约束的结构。
静力特征：反力和内力不能仅由平衡条件全部解出。
几何特征：具有多余约束的几何不变体系。
A FxA
FyA
F B
FyB
FxA
C F yc
外部一次超静定结构
F
A
C
B
FyA
D
F yB
内部一次超静定结构
11.1 超静定次数的确定
一.超静定结构的静力特征和几何特征 二.超静定结构的性质
1 EI
l2 2
2l 3
1 3
l3 EI
Δ1P
9 16
ql 4 EI
Δ1P
ql 2
Δ2 P
1 4
ql 4 EI
ql 2 / 2 MP Δ2P
20
ql 2 / 40 M
X1 9ql / 20, X2 3ql / 40 M M1X1 M2 X2 M P
超静定刚架的计算 例题4 用力法计算图示超静定刚架，作内力图。各杆EI相同。
----力法的典型方程
ij (i j) 主系数>0 ij (i j) 副系数 ij ji 位移互等
ΔiP 自由项
柔度系数
力法基本思路小结
解除多余约束，转化为静定结构。多余约 束代以多余未知力——基本未知力。
分析基本结构在单位基本未知力和外界因 素（荷载）作用下的位移，建立位移协调条 件——力法方程。
5P 16
11.3 力法计算超静结构
力法步骤:
1.确定基本体系； 2.写出位移条件,力法方程； 3.作单位弯矩图,荷载弯矩图； 4.求出系数和自由项； 5.解力法方程，求基本未知量； 6.叠加法作弯矩图。
例2 作弯矩图
P
EI
EI
l
l
11.3 力法计算超静结构
P
EI
P
EI
l
l
l
P
X1=1
M1
Pl
3 Pl 8
X1
MP
例2 作弯矩图.
解: Δ1 0
11 X1 Δ1P 0 11 4l 3 / 3EI
Δ1P Pl 3 / 2EI
X1 3P / 8()
M M1 X1 M P
5 Pl 8
M
练习：
P
EI
EI
l/2 l/2 l
P
EI
EI
l
l
例3 力法解图示结构,作M图.
11 X1 12 X 2 Δ1P 0
q 2EI
q
21 X1 22 X 2 Δ2P 0
ΔX1 2
11
1 2EI
l2 2
2l 3
1 EI
l3
7 6
l3 EI
EI
l
l
11
21 X1=1
l M1
q
X1
Δ2 X1
12
X2=1
22
l M2 X 2
12
1 EI
l2 2
l
1 2
l3 EI
21
1 EI
l2 2
l
1 2
l3 EI
22