第14章用力法计算超静定结构
用力法求解超静定结构
用力法求解超静定结构概述超静定结构是指结构中的支座和约束条件多于结构自由度的情况。
用力法是一种经典的结构分析方法，常用于求解超静定结构。
本文将介绍用力法求解超静定结构的基本原理和步骤，并通过实例加以说明。
一、基本原理用力法的基本原理是根据平衡条件和变形约束，通过假设未知力的大小和方向，建立力的平衡方程和变形方程，解出未知力和结构的变形。
用力法适用于各种类型的结构，包括梁、柱、桁架等。
二、步骤用力法求解超静定结构的步骤如下：1. 选择合适的剖面根据结构的几何形状和约束条件，选择合适的剖面，将结构分割为若干个部分。
2. 假设未知力的方向和大小根据结构的特点和约束条件，假设未知力的方向和大小。
通常，未知力的方向可以根据结构的几何形状和外力的作用方向来确定，而未知力的大小则需要通过力的平衡方程来求解。
3. 建立力的平衡方程根据假设的未知力和结构的几何形状，建立力的平衡方程。
平衡方程包括力的平衡条件和力的矩平衡条件。
4. 建立变形方程根据结构的变形情况和约束条件，建立变形方程。
变形方程可以根据结构的刚度和约束条件来确定。
5. 解方程将力的平衡方程和变形方程联立，解方程组得到未知力和结构的变形。
6. 检验结果将求解得到的未知力和结构的变形代入原平衡方程和变形方程中，检验结果的准确性。
如果结果符合平衡和变形的要求，则求解成功；如果结果不符合要求，则需要重新假设未知力并重新求解。
三、实例分析为了更好地理解用力法求解超静定结构的步骤和原理，下面以一个简单的梁结构为例进行分析。
假设有一根悬臂梁，在梁的自重和外力作用下，需要求解支座反力和梁的变形。
1. 选择合适的剖面选择悬臂梁的剖面，将梁分割为两个部分：悬臂部分和支座部分。
2. 假设未知力的方向和大小假设支座反力的方向向上，大小为R。
3. 建立力的平衡方程根据力的平衡条件，可以得到悬臂部分的平衡方程：R - F = 0，其中F为梁的自重。
4. 建立变形方程根据梁的几何形状和约束条件，可以建立悬臂部分的变形方程，得到悬臂部分的弯矩和挠度。
第十四章材料力学超静定结构
RMB B
第32次作业：习题14— 4 a,b 第33次作业：习题14—5a,14—8 第34次作业：习题14—3a,14—15 第35次作业：习题14—3b,14—11
P
x1
x1
1
1P
2 EI
a
(
0
Px2
)a2dx2
Pa 3 2EI
11
2 EI
[
a
2 0
x12dx1
a
(
0
a 2
)
2dx2
] 7 Pa 3 12 EI
则
7Pa3 Pa3 12 EI X12EI 0
6
X17P
P
P
由平衡方程求得：
RA
RB
6 7
P
H AH B P
M
A
M
B
4 7
P
a
A
B
HA
HB
RA MA
P
PP
X2 P
例3 试求图示刚架的全部约束反力。刚架EI为常数。 C
解：图示刚架有三个多余未知力。但
P
P
由于结构是对称的，而载荷反对称，
a
a
故对称轴横截面上轴力、弯矩为零，
只有一个多余未知力（剪力），只需
A
B
列出一个正则方程求解。
11X11P 0
用莫尔定理求1P和11。
P
P X1 X1
x2 x2
将上述结果代入变形协调方程得 11P
16
X1l3 5Pl 3 0 3EI 48EI
X
1
5 16
P
(f) A
3Pl
⑤求其它约束反力
16
由平衡方程可求得A端反
《土木工程力学(本)》作业2参考答案
《土木工程力学（本）》作业2参考答案说明：本次作业对应于静定结构的位移计算和力法，应按相应教学进度完成。
一、选择题（每小题2分，共10分）1．用力法计算超静定结构时，其基本未知量为（D ）A 杆端弯矩B 结点角位移C 结点线位移D 多余未知力 2．力法方程中的系数ij δ代表基本体系在1=j X 作用下产生的（C ）A i XB j XC i X 方向的位移D j X 方向的位移 3．在力法方程的系数和自由项中（ B ）A ij δ恒大于零B ii δ恒大于零C ji δ恒大于零D iP ∆恒大于零4．下列哪一条不是图乘法求位移的适用条件？（ D ） A 直杆 B EI 为常数C P M 、M 至少有一个为直线形D P M 、M 都必须是直线形 5．下图所示同一结构在两种不同荷载作用下，它们之间的关系是（A ） A A 点的水平位移相同 B C 点的水平位移相同 C C 点的水平位移相同 D BC 杆变形相同二．判断题（每小题2分，共10分）1．静定结构由于支座移动引起的位移与刚度无关。
（× ） 2．反力互等定理仅对超静定结构才有使用价值。
（× ）3．用力法求解超静定刚架在荷载和支座移动作用下的内力，只需知道各杆刚度的相对值。
（0 ）4．同一结构的力法基本体系不是唯一的。
（ 0 ）5．用力法计算超静定结构，选取的基本结构不同，则典型方程中的系数和自由项数值也不同。
（0 ）三、求图示简支粱C 点的竖向位移，EI =常数。
（9分）解：1）绘M P 图、M 1图2）把M P 图分为三段，面积为ω1、ω2、ω3求出相应折点的弯矩值3）按图乘公式求出c 点的竖向位移四、 计算图示刚架结点C 的水平位移和转角，EI =常数。
（9分）五、试求图所示刚架点D 的竖向位移。
EI 为常数。
（9分）qq 89M P 图 69M 1图六、求图示桁架结点B的竖向位移，已知桁架各杆的EA=21×104kN。
用力法解超静定结构
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n1 X1 n2 X 2 nn X n np 0
（三）力法典型方程中系数和自由项的计算
1、主系数δii — 表示基本结构由于 Xi 1的单独作用，在Xi 的作用点并沿Xi的方向产生的位移； 图A
ii
M
2 i
dx
EI
2、副系数δij —iiijijip表的示作基MMM用EM本EEIiii2E点MMiIIMd结Ix并jjpd构dx沿dxx由Xi于的X方j 向 1产的生单的独位作移用；，图在B Xi
例2：试用力法计算图示超静定刚架，并绘内力图。
解： 1.选择基本体系
2.建立力法方程
d11X1+D1P=0
3.计算系数和自由项，绘 M1和MP图
11
1 EI
1 2
l
l
2 3
l
2
2l 3 3EI
1P
1 EI
1
2
l ql 2
2 3
l2
2 3
l
ql 2 8
l
2
17ql 4
24EI
4.计算X1 5.绘内力图
=1
结构称为力法基本结构
基本结构
力法基本方程 — 利用基本体系的变形状态与原结构
一致的条件所建立的确定多余未知
力的方程
BACK
11X1 1P 0
11
M1M1 dx 1 (1 l l 2 l) l3
EI
EI 2
3
3EI
1P
M1M p dx 1 (1 l 1 ql 2 3 l) ql 4
ql3
24EI l
1 ql2 8
3EI
5、绘内力图 M M1X1 M p V V1 X1 Vp
超静定结构
l
A
B
l
q
D
2 ）建立正则方程 1 (δ 11 + ) X 1 + ∆1P = 0 C
3 ）求解 2 1 2 2l 3 δ11 = ( × l × l × × l) = EI 2 3 3EI 1 1 ql 2 2l 1 ql 2 3l ∆ 1P = − ( ×l × × + ×l × × ) EI 2 2 3 3 2 4 ∆ 1P 7 ql 4 7 ql =− X1 = − = (↑ ) 1 24 EI 24 δ11 + C 2 ）据平衡条件，求得
ql 2 M C = M × X1 = 7
0 C
q
A
ql 2 7
X1
MP
ql 2 2
M
5ql 2 14
M A = M × X 1 − M PA
0 A
5 ql 2 =− 14
例14 − 2 − 4 画图示刚架的内力图。
q
D
q
C
X2
解：利用对称性，从CD中间
X1
EI
D K
剖开，由于结构对称，载荷 对称，故只有对称内力， 所以，X 3 = 0。
δ11
求得 X 1 后，则可解出相当系统所有内力、位移，此相当系统的解 即为原系统的解。
三、n次静不定的正则方程
可将上述思想推广到n次静不定系统，如解除n个多余约束后的未知多余 约束力为 X j ( j = 1,2,..., n ) 它们将引起 X i 作用点的相应的位移为 ∑ ∆ ij ,而原系统由 x j ( j = 1, K n) j =1 与外载荷共同作用对此位移限制为零（或已知），故有
P A C D n O B P (b) P A
土木工程力学(本)形考 (3)
.1.超静定结构产生内力的原因（）• A.荷载作用与温度变化• B.支座位移• C.制造误差• D.以上四种原因•正确答案: D.1.超静定结构的超静定次数等于结构中（）. A.约束的数目.. B.多余约束的数目.. C.结点数.. D.杆件数.正确答案: B.1.超静定结构在荷载作用下产生的内力与刚度（）.. A.相对值有关.. B.绝对值有关.. C.无关.. D.相对值绝对值都有关.正确答案: A.1.超静定结构在支座移动作用下产生的内力与刚度（）. A无关.. B.相对值有关.. C.绝对值有关.. D.相对值绝对值都有关.正确答案: C.2力法方程中的系数代表基本体系在作用下产生的（）.• A.• B.• C.方向的位移• D.方向的位移正确答案: C.3.在力法方程的系数和自由项中（）• A.恒大于零• B.恒大于零•• C.恒大于零•• D.恒大于零•正确答案: B.4.用力法计算超静定结构时，其基本未知量为（）.. A.杆端弯矩.. B.结点角位移.. C.结点线位移.. D.多余未知力.正确答案: D.4.在超静定结构计算中，一部分杆考虑弯曲变形，另一部分杆考虑轴向变形，则此结构为（）• A.梁•• B.桁架•• C.横梁刚度为无限大的排架•• D.组合结构•正确答案: D.5.力法的基本体系是（）. A.一组单跨度超静定梁.. B.瞬变体系.. C.可变体系.. D.几何不变体系.正确答案: D.5.力法典型方程中的自由项是基本体系在荷载作用下产生的（）.• A.•• B.•• C.方向的位移•• D.方向的位移•正确答案: C.3.力法方程中的系数代表基本体系在作用下产生的（）.. A... B... C.方向的位移.. D.方向的位移.正确答案: C.4.力法典型方程是根据以下哪个条件得到的（）.. A.结构的平衡条件.. B.多余约束处的位移协调条件.. C.结构的变形条件.. D.同时满足A、B两个条件.正确答案: B.5.用力法计算图示结构时，不能作为基本结构的是图（）... A. .. B. .. C. .. D. .正确答案: A.6.图4所示结构的超静定次数为（）.... A.1.. B.2.. C.3.. D.4.正确答案: D.6.图示超静定结构的次数是（）..• A.5•• B.7•• C.8•• D.6•正确答案: B.7.图示结构的超静定次数是（）.. A.2.. B.4.. C.5.. D.6.正确答案: D.7.图示结构的超静定次数是（）.• A.2•• B.4•• C.5•• D.6•正确答案: A.7.图示刚架的超静定次数为（）.. A.1次.. B.2次.. C.3次.. D.4次.正确答案: C.7.图示结构的超静定次数是（）... A.12.. B.10.. C.9.. D.6.正确答案: A.8.图示对称结构EI = 常数，对称轴穿过的截面C内力应满足（）... A... B... C... D..正确答案: B.8.对称结构作用正对称荷载时，对称轴穿过的截面（）. A.只有轴力.. B.只有剪力.. C.只有弯矩.. D.只有剪力和只有弯矩同时满足.正确答案: D.8.下图所示对称结构A截面不为零的是（）.A.水平位移•• B.轴力•• C.剪力•• D.弯矩•正确答案: B.9.下图所示对称结构的等代结构为（）.• A.•• B.•• C.•• D.•正确答案: A.9.下图所示对称结构A截面不为零的是（）.. A.竖向位移.. B.弯矩.. C.转角.. D.轴力.正确答案: C.8.关于下图所示对称结构，下列论述正确的是（）.. A.A点线位移为零.. B.AB杆无弯矩.. C.AB杆无剪力.. D.AB杆无轴力.正确答案: D.10.下图所示对称结构的等代结构为（）.• A.•• B.•• C.•• D.•正确答案: D.11.在荷载作用下，超静定结构的内力分布与各杆刚度的绝对值有关。
电大《土木工程力学》本历届试题及答案
1.用位移法计算图示各结构，基本未知量是两个的结构为（A ）。
2. 用力法计算超静定结构时，基本未知量是（D 多余未知力 ）。
3. 图示结构杆件BA 的B 端转动刚度BA S 为（ B 3 ）。
4. 用力矩分配法计算结构得到一个收敛的结果， 是因为（ D ）。
A. 分配系数小于1B. 分配结点之间传递系数小于1C. 结点上有外力矩作用D. A 和B 同时满足5. 反映结构动力特性的重要物理参数是（ B 自振频率）。
6. 用力矩分配法计算超静定结构时， 刚结点的不平衡力矩等于（ B 附加刚臂中的约束反力矩 ）。
7. 影响线的纵坐标是（ D 指定截面的某一量值）。
8. 受弯杆件截面内力有（ D 弯矩 剪力 轴力）。
9. 不考虑杆件的轴向变形， 竖向杆件的 E I = 常数。
下图所示体系的振动自由度为（ A 1 ）。
10. 力法典型方程是（ B 多余约束处的位移协调条件）。
三、（10分）21.作图示静定结构的弯矩图。
四、（16分）22.用力法计算图示结构并作弯矩图，EI=常数。
解：典型方程011111=∆+=∆P x δ五、（14分）23.用位移法计算图示刚架，列出典型方程，求出系数项及自由项。
解：典型方程01111=+∆P F k1.图示对称结构作用反对荷载，EI=常数，对称轴穿过的AB 杆件内力满足（D 0,0,0===N Q F F M ）2.机动法作静定梁弯矩影响线应用的原理是( C 刚体虚功原理 )。
3．结构不考虑阻尼时的自振频率为ω，考虑阻尼时的自振频率为D ω，则( C D ωω )4．图示结构中，除横梁外，各杆件EI=常数。
不考虑杆件的轴向变形，则体系振动的自由度数为(A 1)。
5．位移法典型方程是根据( D 附加约束的平衡条件 )列出的。
6．图示a 、b 两体系的自振频率a ω与b ω的关系为( B b a ωω )。
7．图示对称结构作用反对称荷载，杆件EI 为常量，利用对称性简化后的一半结构为（ A ）。
第十四章 超静定结构
Mi Mi ii dx EI l
ij
l
Mi M j EI
dx
i F
Mi M F dx EI l
[例5] 试求图示刚架的全部约束反力，刚架EI为常数。 解：①刚架有两个多余约束。 ②选取静定基，去除多余约束， 代以多余约束反力。 ③建立力法正则方程 q B q B
2 3
a
C
a
D
X1
B
a
A
q a
D
Δ1F
1 qa3 qa 4 a EI 2 2 EI
1
a
C
a A
由δ11 X 1 Δ1F
FBX
FAX 0, FAY
3qa 0 得 X1 8
a
2
qa 2 2
3qa 0, FBY 8
11qa 8 qa , M A 8 逆
三、超静定次数
结构的多余约束的数目。 判断超静定次数的另一方法：
一次超静定 三次超静定
解除几个约束后结构成为静定，就是称为几次超静定。 解除一个可动铰时相当于解除一个约束，解除一个固
定铰或中间铰相当于解除两个约束，解除一个刚性连接相 当于解除三个约束。
四、超静定分类
1、外力超静定； 2、内力超静定； 3、既有内力超静定，又有外力超静定。
4a 3 a3 qa4 X 1 X 2 0 3EI 2 EI 6 EI a3 a3 qa4 X 1 X 2 0 2 EI 3EI 8 EI
⑥求其它支反力 q 由平衡方程得其它支反力， 4 全部表示于图中。 qa 7
A
3 qa 7
B 3 qa 2 28 1 qa 28
1 qa 28
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力法的基本方程
16
3 力法解题的基本步骤 q
A
B
a
（1）确定基本体系
A
—确定基本未知量
q
B
a
X1
（2）根据位移协调条件 —写出力法基本方程
1P11X1 0
2020/4/10
17
（3）作出基本结构的 荷载弯矩图，单位弯矩图
1P 11X10
0.5qa2
（4）求出系数和自由项 —单位荷载法
A
B
MP
1P
P
P
C
B
X1
C
X2
A
11x112x21P0
21x122x22P0
21
n 次超静定结构力法基本方程：
11X1 12X2 ....1nXn 1P 0
21X1 22X2
..........
....2nXn
2P
0
n1X1 n2X2 ....nnXn nP 0
M M 1 X 1 M 2 X 2 .. .M .n X n M P
10
1 引例
q
q
A
BA
a
B
a
解超静定问题时，我们不是孤立地研究超静定问题， 而是利用静定结构与超静定结构之间的约束，从中找到由 静定问题过渡到超静定问题的途径。
2020/4/10
11
q
A
a
q
A
a
2020/4/10
X1 ?
B X1
B X1
思考
12
B点的位移条件Δ1=0
q
q
A
BA
B
a
Δ1P
Δ1P：荷载q单独作用下沿X1方向产生的位移；
n=3×7=21
对于具有较多框格的结构， 可按框格的数目确定，因为一 个封闭框格，其超静定次数等 于3。
当结构的框格数目为 f ,则 n=3f 。
2020/4/10
7
➢ 超静定结构的类型
（1）超静定梁; （2）超静定桁架；
（3）超静定拱；
（4）超静定刚架；
（5）超静定组合结构。
2020/4/10
8
➢ 超静定结构的解法 综合考虑二个方面的条件: （1）平衡条件； （2）几何条件；
具体求解时，有两种基本(经典)方法— 力法和位移法。
2020/4/10
9
14.2~4、7 力法的基本原理及其应用
教学要求：
➢ 理解力法的基本概念； ➢ 掌握力法的基本解题过程，能够利用力法求解
简单的超静定结构。
2020/4/10
第十四章 用力法计算超静定结构
学习要求： ➢ 了解超静定次数的判断； ➢ 掌握力法计算超静定结构在荷载下的内力， 对称性的应用； ➢ 理解力法的基本原理。
2020/4/10
1
第十四章 用力法计算超静定结构
主要内容： 14.1 超静定结构概述 14.2~4、7 力法的基本原理及其应用 14.5 对称性的利用 14.6 超静定结构的位移计算 14.8 支座移动和温度改变时的计算 14.9 超静定结构的特性
2020/4/10
2
14.1 超静定结构概述
➢ 超静定结构 几何不变且具有多余约束（外部或内部）
A
B
PC
有一个多余约束
Hale Waihona Puke P 有二个多余约束2020/4/10
3
➢ 超静定次数 多余约束的个数。
去掉或切断一根链杆，相当于去掉一个约束。
↓ ↑X 1
拆开一个单铰，相当于去掉两个约束。
X 1←↓↑→X 1
A
2020/4/10
B MP
B
M1 MX1
1
X1
3 8
qa
1 qa2 8
0
B
M
19
小结
1P 11X10
（1）确定基本体系——确定基本未知量 （2）根据位移协调条件——写出力法基本方程 （3）求出系数和自由项——单位荷载法 （4）解力法方程 ——求解基本未知量
2020/4/10
20
B A
2020/4/10
1
21
2 28
1 12 E I 6 8E I2 6 6 3 6EI
6
（4）解力法方程
—求基本未知量
M1
1
2020/4/10
X1
1P
11
8.89kN
26
20kN/m
6m
C I1 160 I2
A MP
8m
D
I2 B
53.33
2020/4/10
M1
8.89
qa4 8EI
11
a3 3EI
A
B
X1
1P
11
3qa 8
（5）解力法方程
a
M1
1
X1为正值，说明基本未知量的方向
与假设方向相同；如为负值，则方
—求解基本未知量 向相反。
2020/4/10
18
q
0.5qa2
A
B
A
a
3 X1 8 qa
（6）叠加法作弯矩图
MM1X1MP
A
a
3 qa2 8
1 qa2 8
Δ11：荷载X1单独作用下沿X1方向产生的位移； Δ11
q
A
BA
B
a
X1
X1
2020/4/10
13
2 力法的基本概念
力法的基本体系
q
q
A
BA
B
a
a
X1
2020/4/10
力法的基本未知量
B点的位移条件Δ1=0
变形协调条件
14
q
A
a q
A
A
2020/4/10
BA
变形协调条件 Δ1=Δ1P+Δ11=0
X2
2020/4/10
4
（3） 在刚结处作一切口，或去掉一个固定端，相当于去掉
←↓
三个约束。
← ↓ X1 X3 X2
（4）将刚结改为单铰联结，相当于去掉一个约束。
X1
X1
2020/4/10
5
例1: 确定图示结构的超静定次数。 2 1 3
n=6
2020/4/10
6
例2: 确定图示结构的超静定次数。
24
20kN/m
C I1 D
I2
I2
A
B
X1
8m
6m
（1）基本体系 —基本未知量
（2）位移协调条件 —写力法基本方程
1P11X1 0
2020/4/10
25
20kN/m
C I1 160 I2
A MP
8m
6
D
I2 B
6m
（3）求系数和自由项 —单位荷载法
1P2 E 1 I2 38166 02 E5I6
B Δ1P
Δ11 B X1
Δ1P：基本体系在荷载q单独 作用下沿X1方向产生的位移；
Δ11：基本体系在荷载X1单 独作用下沿X1方向产生的 位移；
15
1 1P 11 0
δ11 : 在X1＝1单独作用下，基本
结构沿X1方向产生的位移
A
根据叠加原理
δ11 B
X1=1
11 11X1
1P11X1 0
2020/4/10
N N 1 X 1 N 2 X 2 .. .N n .X n N P
R R 1 X 1 R 2 X 2 .. . R n .X n R P
2020/4/10
22
系数和自由项 ➢ 梁、刚架：
ii
Mi2 ds
EI
Ai yi EI
ij
Mi Mj ds EI
Aj yi EI
iP
MiMPds EI
➢ 桁架：
2
ii
Ni l EA
ij
Ni Njl EA
iP
Ni NPl EA
2020/4/10
23
➢ 刚架
20kN/m
C I1 D
I2
I2
A
B
8m
2020/4/10
6m
（1）基本体系 —基本未知量
（2）位移协调条件 —写力法基本方程
（3）求系数和自由项 —单位荷载法
（4）解力法方程 —求基本未知量