7.5 用力法计算超静定结构在支座移动和温度变化时的内力
结构力学章节习题及参考答案
习题3.1是非判断题
(1) 在使用内力图特征绘制某受弯杆段的弯矩图时，必须先求出该杆段两端的端弯矩。（ ）
(2) 区段叠加法仅适用于弯矩图的绘制，不适用于剪力图的绘制。（ ）
(3) 多跨静定梁在附属部分受竖向荷载作用时，必会引起基本部分的内力。（ ）
(4)习题3.1(4)图所示多跨静定梁中，CDE和EF部分均为附属部分。（ ）
(7) 习题2.1(6)(a)图所示体系去掉二元体EDF后，成为习题2.1(6) (c)图，故原体系是几何可变体系。( )
习题 2.1(6)图
习题2.2填空
(1) 习题2.2(1)图所示体系为_________体系。
习题2.2(1)图
(2) 习题2.2(2)图所示体系为__________体系。
习题 2-2(2)图
（4）习题5.1(3)图(a)和(b)所示两结构的变形相同。（ ）
习题7.2填空题
（1）习题5.2(1)图(a)所示超静定梁的支座A发生转角，若选图(b)所示力法基本结构，则力法方程为_____________，代表的位移条件是______________，其中1c=_________；若选图(c)所示力法基本结构时，力法方程为____________，代表的位移条件是______________，其中1c=_________。
(3) 习题7.2(3)图所示刚架各杆的线刚度为i，欲使结点B产生顺时针的单位转角，应在结点B施加的力矩MB=______。
习题 7.2(1)图习题 7.2(2)图 习题 7.2(3)图
(4) 用力矩分配法计算习题7.2(4)图所示结构（EI=常数）时，传递系数CBA=________，CBC=________。
1. 超静定结构在支座移动作用下产生的内力与刚度
1. 超静定结构在支座移动作用下产生的内力与刚度A. 无关B. 相对值有关C. 绝对值有关D. 相对值绝对值都有关2. 用力法计算超静定结构时，其基本未知量为A. 杆端弯矩B. 结点角位移C. 结点线位移D. 多余未知力3. 力法典型方程是根据以下哪个条件得到的A. 结构的平衡条件B.多余约束处的位移协调条件C. 结构的变形条件D. 同时满足A、B两个条件4.用力法计算图示结构时，不能作为基本结构的是图A.B.C.D.5. 在力法方程的系数和自由项中A. 恒大于零B. 恒大于零C. 恒大于零D. 恒大于零图示结构的超静定次数是A. 12B. 10C. 9D. 67.图示结构的超静定次数是A. 2B. 4C. 5D. 6下图所示对称结构的等代结构为A.B.C.D.9.关于下图所示对称结构，下列论述正确的是A. A点线位移为零B. AB杆无弯矩C. AB杆无剪力D. AB杆无轴力10.下图所示对称结构的等代结构为A.B.C.D.1. 用力法计算超静定结构，选取的基本结构不同，所得到的最后弯矩图也不同。
A. 错误B. 正确2.图示超静定结构去掉杆件①、②、③后为一静定梁，故它是三次超静定结构。
A. 错误B. 正确3. 超静定结构的内力与材料的性质无关。
A. 错误B. 正确4. 同一结构的力法基本体系不是唯一的。
A. 错误B. 正确5. 求超静定结构的位移时，可将虚拟单位荷载加在任意静定的基本体系上。
A. 错误B. 正确6. 超静定次数一般不等于多余约束的个数。
A. 错误B. 正确7.图示两个单跨梁，同跨度同荷载。
但横截面形状不同，故其内力也不相同。
A. 错误B. 正确8.在下图所示结构中若增大柱子的EI值，则梁跨中点截面弯矩值减少。
A. 错误B. 正确9. 超静定结构的内力状态与刚度有关。
A. 错误B. 正确10. 力法典型方程是根据平衡条件得到的。
A. 错误B. 正确1.下载计算题，完成后将正确答案（A、B、C或D）写在答题框中。
用力法计算超静定结构.
解：力法方程
x1 11 x1 1 p 0 k
例题3
p
A
B k 8m 8m 原结构
C
D k 8m 2m p
A
B k
C x2
D x1
x1 x x 11 1 12 2 1P k 21 x1 22 x2 1 P 0
1P M 1M P N 1NPl ds E1 I 1 EA 4 5ql 384E1 I1
ql 2 8
2 2 1 2 l 5 l ( ql ) E1 I1 3 8 2 8 4
0
0
0
x1
1 p
11
5ql 4 384E1 I 1 3 l h s3 48E1 I 1 E 2 A2 2h 2 E 3 A3
x1
11
3 ql 8
试选取另一基本结构求解： x1
q 2 EI l x1=1 原结构 2 ql/8 基本结构 2 ql/8 5ql/8 3ql/8 M l图 1 2 ql/8 MP图 q
1 M图
Q图
解：力法方程
11 x1 1 p 0
1 1 l 21 l ( )( ) EI 2 3 3 EI
基本结构(3)
二、超静定刚架的计算
力法方程:
11 x1 12 x2 1 P 0 21 x1 22 x2 2 P 0
式中:
11
1 1 2 64 ( 4 4) ( 4) EI 2 3 3 EI
22
1 1 2 l 81 ( 3 3) ( 3) [(3 4) 3] 2 EI 2 3 EI 2 EI
超静定结构内力计算.pptx
μ
MBC= 0.429×(－24) = －10.3kNm
传递弯矩：
c MCB= 0
c
MAB= 0.5×(－13.7) = －6.85kNm
最后杆端弯矩：
MCB= 0
MAB= MFAB＋ MCAB = －66.85kNm
MBA= MFBA＋ MμBA = 46.3kNm
MBC= MFBC＋ MμBC = －46.3kNm
M
f AB
3 16
Pl
1 ql2 8
A
B
P A
3 Pl 16
B
M
f BA
3 16
Pl
1 ql2 8
A
B
M
f AB
1 8
ql 2
M
f BA
1 8
ql 2
第17页/共24页
1、计算各杆的固端 弯矩Mf
MfAB=0
M
f BA
1 8
ql 2=1/8×4×62=18
MfBC=-1/8PL=-1/8×30×6=-22.5 MfCB=1/8PL=1/8×30×6=22.5
所以，结点角位移的数目 等于该结构的刚结点数！
由于A、B、C为固定端支座，所以 其位移均已知为零，不需作为未知量； 而同一刚结点处各杆的杆端转角相等， 所以每个刚结点处只有一个独立的结 点转角未知量。故上图刚架只有一个 结点转角未知量。
第5页/共24页
2、独立结点线位移
在微弯状态下，假定受弯直杆两端之间距离在变形 前后保持不变，即杆长保持不变。
A
SAB = 3 i
B
A
SAB = i
θ =1
= B
A
B
当θ ≠ 1时: MAB = SAB θ
哈工大结构力学题库四章
第四章 力 法一 判 断 题1. 图示结构，据平衡条件求出B 点约束力，进而得图示弯矩图，即最后弯矩图。
（ ）（X ）题1图 题2图2. 图示结构用力法求解时，可选切断杆件2，4后的体系作为基本结构。
（ ）（X ）3. 图a 结构，支座B 下沉a 。
取图b 中力法基本结构，典型方程中1C a ∆=-。
（ ） （X ）题3图 题4图4. 图a 所示桁架结构可选用图b 所示的体系作为力法基本体系。
（ ）（√）5. 图a 结构，取图为力法基本结构，1C l θ∆=。
（ ） （X ）题5图 题6图6. 图a 结构的力法基本体系如图b ，主系数3311/(3)/()l EI l EA δ=+。
（ ）（X ）7. 图示结构用力法解时，可选切断1，2，3，4杆中任一杆件后的体系作为基本结构.（ ）（X ）题7图 题9图 8. 图示结构受温度变化作用，已知α，h ，选解除支杆B 为力法基本体系(设B X 向上为正)，典型方程中自由项2121()/(4)t a t t l h ∆=--。
（ ）（X ）9. 图a 结构，力法基本体系如图b ，自由项412/(8)P ql EI ∆=-。
（ ）（X ）题10图 题11图10.图示超静定梁在支座转动1A ϕ=时的杆端弯矩26.310AB M KN m =⨯⋅，22( 6.310)EI KN m =⨯⋅。
（ ）（√） 11. 图a 结构，取图b 为力法基本结构，h 为截面高度，α为线胀系数，典型方程中2121()/(2)t a t t l h ∆=--。
（ ）（X ）题12图 题13图 12. 图a 结构，取力法基本体系如图b 所示，则1/C l ∆=∆（ ）。
（X ）13. 超静定结构在荷载作用下的反力和内力，只与各杆件刚度的相对数值有关。
（ ）（√）14. 图示结构的超静定次数为4。
（ ）（X ）题15图 题16图15. 图示结构，选切断水平杆为力法基本体系时，其3112/(3)h EI δ=。
7.5 用力法计算超静定结构在支座移动和温度变化时的内力
l
(6)上述计算结果表明：在支 座位移时，超静定结构将产生 内力和反力，其内力和反力与 各杆件刚度的绝对值成正比。
3iD AB 3i l
B
A
3iD AB l2
M图
3iD AB l2
二、温度变化时的内力计算
在温度变化时，n次超静定结构的力法方程中，第i个 方程的一般形式为
代之以杆件制作误差（或材料收缩与徐变）时的自由 项计算公式
ΔiZ FN Dl
可看出，周边的约束刚度对上述非荷载因素所引起 的结构的自内力有很大的影响。
X1=1
Dt Δ1t AM t 0 AFN h
M 1图
A
1
C
D
B
2 1 l l
AB段 BC段 CD段 AB段 BC段 CD段
t0=0℃ t0=2.5℃ t0=10℃ Dt=30℃ Dt=25℃ Dt=10℃
Δ1t
FN 1图
C
2 l
D
10 1 1 30 ( 1 l ) 10 ( 1 l ) l 2 2
1第一种解法此梁为一次超静定以下分别采用三种基本体系求解allrightsreserved重庆大学土木工程学院allrightsreserved重庆大学土木工程学院2第二种解法取支座a的反力偶作为多余未知力xallrightsreserved重庆大学土木工程学院3第三种解法将梁ab中点截面c改为铰结取该截面上的弯矩作为多余未知力x其中力法方程为allrightsreserved重庆大学土木工程学院以上选取三种不同基本结构得出三个不同的力法方程
l3 X 1 q l a 3EI
l a X1 q 3EI l
§7-5 用力法计算超静定结构在
二、温度变化时超静定结构的计算
温度变化时若体系中无支座移动或弹性支 座的存在， 座的存在，则对应于第i多余约束处的位移 条件可以描述为： 条件可以描述为：
基本结 构在温 度变化 时的I处 时的 处 位移
∆ i = x1δ i 1 + x 2δ 2 i + ⋅ ⋅ ⋅ + x iδ ii + ⋅ ⋅ ⋅ + x nδ ni + ∆ it = 0
X2 = − 6EI ∆ AB 2 l
解得 5）最后内力图为
X1 = −
6EI ∆ AB , 2 l
在支座位移影响下，超静定结构可能将产生内力和反力， 可能将产生内力和反力 在支座位移影响下 ， 超静定结构 可能 将产生内力和反力 ， 其内 力和反力与各杆的弯曲刚度EI的实际值有关 且成正比。 有关， 力和反力与各杆的弯曲刚度 的实际值有关，且成正比。
X1 = − ∆ 1c
δ 11
=−
M = M1X1
2c 3 EIc =− 3 2l 3 l 3 EI
例
图示两端固定梁AB之间产生了竖向相对位移△ 图示两端固定梁 之间产生了竖向相对位移△AB，试用力 之间产生了竖向相对位移 法分析其内力并作弯矩图和剪力图。 为常数 为常数。 法分析其内力并作弯矩图和剪力图。EI为常数。
解：1)选择基本体系，如图所示。 1)选择基本体系，如图所示。 选择基本体系 2）力法典型方程为 δ 11 X 1 + δ12 X 2 + ∆1c = 0 ） δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + ∆ 2c = 0 3）作单位弯矩图，由图乘法求得各系数为 作单位弯矩图，
l , δ 11 = 3EI
l l , δ 12 = δ 22 = − δ 22 = 3EI 6EI
电大土木工程力学形成性考核答案
土木工程力学（本）形成性考核册作业一一、选择题（每小题2分，共20分）1．三刚片组成几何不变体系的规则是（）A 三链杆相联，不平行也不相交于一点B 三铰两两相联，三铰不在一直线上C 三铰三链杆相联，杆不通过铰D 一铰一链杆相联，杆不过铰2．在无多余约束的几何不变体系上增加二元体后构成（）A 可变体系B 瞬变体系C 无多余约束的几何不变体系D 有多余约束的几何不变体系3．瞬变体系在一般荷载作用下，（）A产生很小的内力 B不产生内力C产生很大的内力 D不存在静力解答4．已知某体系的计算自由度W=-3，则体系的（）A自由度为3 B自由度等于0C 多余约束数等于3D 多余约束数大于等于35．不能作为建筑结构使用的是（）A无多余约束的几何不变体系B有多余约束的几何不变体系C 几何不变体系 D几何可变体系6．图示桁架有几根零杆（）7．下图所示结构的弯矩图形状应为（）A 折线B 圆弧C 双曲线D 抛物线二、判断题（每小题2分，共20分）1．多余约束是体系中不需要的约束。
（⨯）2．如果体系的计算自由度大于零，那么体系一定是几何可变体系。
（∨）3．两根链杆的约束作用相当于一个单铰。
（⨯）4．一个体系是有n个自由度的几何可变体系，那么加入n个约束后就成为无多余约束的几何不变体系。
（⨯）题2-7图2．解： 3．解：4．解：四、绘制下图所示各结构的弯矩图。
（每小题10分，共30分） 1．⨯ ⨯作弯矩图如下：2．作弯矩图如下：3．解：作弯矩图如下：土木工程力学（本）形成性考核册作业二一、选择题（每小题2分，共10分）1．用力法计算超静定结构时，其基本未知量为（ ）A 杆端弯矩B 结点角位移C 结点线位移D 多余未知力2．力法方程中的系数ij δ代表基本体系在1=j X 作用下产生的（ ） A i XB j XC i X 方向的位移D j X 方向的位移 3．在力法方程的系数和自由项中（ ） A ij δ恒大于零 B ii δ恒大于零 C ji δ恒大于零D iP ∆恒大于零4．下列哪一条不是图乘法求位移的适用条件？（ ） A 直杆 B EI 为常数 C P M 、M 至少有一个为直线形 D P M 、M 都必须是直线形5．下图所示同一结构在两种不同荷载作用下，它们之间的关系是（ ） A A 点的水平位移相同 B C 点的水平位移相同 C C 点的水平位移相同 D BC 杆变形相同二、判断题（每小题2分，共10分）1．静定结构由于支座移动引起的位移与刚度无关。
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l a X1 q 3EI l
第三种解法
4l a X 1 2(q ) 0 3EI l
一般来说，凡是与多余未知力相应的支座位移参数 都出现在力法典型方程的右边项中，而其它的支座 位移参数都出现在左边的自由项中。
(5)特例 1）若a = 0，则原体系如图示，相应的M图如图所示。 A 点的 M AB 3EI q ,若引入符号
一、支座移动时的内力计算
计算支座移动引起n次超静定结构的内力时，力法程中 第 i个方程的一般形式可写为
j 1
n
ij
X j Δic C i
ij为柔度系数
Ci，表示原结构在Xi方向的实际位移
Dic，表示基本结构在支座移动作用下在Xi方向的位移
【例7-9】图示单跨超静定梁AB，已知EI为常数，左端支座转动角度为q ， 右端支座下沉位移为a，试求在梁中引起的自内力。
l
q
A
EI i l
q
EI l
B
称为杆件的线刚度则
3iq/3
A B 3iq/3
M AB 3iq
3iq
M图
2）若q = 0，并令DAB = a，则原体系如图7-26a所示，相应的 M图如图7-26b所示。A点的 M AB 3EI ΔAB ，若再引入符 l l 号 EI B ΔAB A 弦转角 DAB l 称为杆AB的弦转角，则
j 1
n
ij
X j Δit Δi
式中， Dit表示基本结构在温度变化作用下沿Xi方向 的位移；Di表示原结构沿Xi方向的位移（在温度变 化问题中，一般D i=0）。
例7-10】试作图示刚架在温度改变时所产生的M图。各杆 截面为矩形，高度h=l/10，线膨胀系数为a。设EI=常数 解 :此结构为一次超静定刚架，取基本体系 如图所示。力法方程为
X1=1
Dt Δ1t AM t 0 AFN h
M 1图
A
1
C
D
B
2 1 l l
AB段 BC段 CD段 AB段 BC段 CD段
t0=0℃ t0=2.5℃ t0=10℃ Dt=30℃ Dt=25℃ Dt=10℃
Δ1t
FN 1图
C
2 l
D
10 1 1 30 ( 1 l ) 10 ( 1 l ) l 2 2
q
X1
q
基本体系之三
a
q
q
q
FRA 2
a
4l 11 3EI
D1c
X1=1
力法方程为
4l a X 1 2(q ) 0 3EI l
2
M1 图
X1
1
FRB
由此可得
X1
2 l
3EI a (q ) 2l l
3EI a (q ) l l
M图
以上选取三种不同基本结构，得出三个不同的力法方程： 第一种解法 第二种解法
代之以杆件制作误差（或材料收缩与徐变）时的自由 项计算公式
ΔiZ FN Dl
可看出，周边的约束刚度对上述非荷载因素所引起 的结构的自内力有很大的影响。
11 X 1 Δ1t 0
A +15℃ -15℃ B A l +15℃ -15℃ B
-10℃ +15℃
+15℃ +5℃ l
-10℃ +15℃
X1 +15℃ +5℃
C l
D
C X1
D
基本体系
分别作 M 1图和 FN 1图，如图7-27c、d所示。
A B
1
11
2 EI
2 1 l 2 l 1 ( 1 l ) ( 1) ( 1 ) ( 1) 2 3 2 2 3 EI
1 2 2.5 ( l ) 10 ( l ) l l 100 22 .5 77 .5
代入典型方程，可得
X1 Δ1t
A
77.5EI/l B
77.5EI/l 77.5EI/l
11
77 .5 EI l
(
)
C
D
杆件的制作误差、材料的收缩和徐变所引起超静定结构 自内力的计算，其基本原理与上述温度变化时相同。
在计算自由项时，须注意将基本结构中因轴线平 均温度变化t0而引起的杆长变化量a t0l，代之以杆件制 作长度的误差或材料的收缩量Dl，亦即将温度变化时 的自由项计算公式
Δit t 0 AFN FNt 0 l
77.5EI/l
最后弯矩图 M M 1 X 1 ，如图所示。
M图
由计算结果可知，在温度变化时，超静定结构的内力与反力与各 杆件刚度的绝对值成正比。因此，加大截面尺寸并不是改善自内 力状态的有效途径。另外，对于钢筋混凝土梁，要特别注意因降 温可能出现裂缝的情况（对超静定梁而言，其低温一侧受拉而高 温一侧受压）。
1 X1
M 1图
FRB
1 l
与第一种解法所作M图完全相同。
3EI a (q ) l l
M图
(3)第三种解法
将梁AB中点截面C改为铰结，取该截面上的 弯矩作为多余未知力X1，其力法典型方程为 11 X 1 Δ1c 0
其中
2 a Δ1c FR c (2 q ) ( a) 2(q )（m） l l
M图
FRA 1
l
M1 图
X1=1பைடு நூலகம்
(2)第二种解法
X1
取支座A的反力偶作为多余未知力X1， 其力法方程为
q
基本体系之二
a
11 X 1 Δ1c q
其中
1 a Δ1c FR c ( a) l l l 11
3EI
X1=1
D1c
a
力法方程
l a X1 q 3EI l 3EI a X1 (q ) l l
1 l M 12 dx EI 3EI
3
FRA 1
l
M1 图
X1=1
q
得 由此求得
l X 1 q l a 3EI
3
A
q
l/2 l
C
B
a
l/2
X1
3EI a (q ) l l2
q
弯矩叠加公式为：
q
X1
a
M M1 X1
基本体系之一
q
q
X1
D1c
3EI a (q ) l l
第二，对支座移动问题，力法方程右端项不一定为零。 当取有移动的支座约束力为基本未知力时，Di≠0，而是 Di=Ci 第三，计算最后内力的叠加公式不完全相同。 由于基本结构（是静定结构）上支座移动、温度变化时 均不引起内力，因此内力全是由多余未知力引起的。最 后弯矩叠加公式为
M M i xi
7.5
用力法计算超静定结构在支座移动和温度变化时的内力
对于静定结构，在支座移动、温度变化等非荷载因素作用下，可 发生自由变形，但并不引起内力；而对于超静定结构，由于存在 多余约束，在非荷载因素作用下，一般会产生内力，这种内力称 为自内力。
用力法计算自内力时，其基本原理和分析步骤与荷载 作用时相同，只是具体计算时，有以下三个特点： 第一，力法方程中的自由项不同。 这里的自由项，不再是荷载引起的DiP，而是由支座移 动或温度变化等因素引起基本结构多余未知力方向上 的位移Dic或Dit等。
此梁为一次超静定，以下分别采用 三种基本体系求解 。
q
A C B
q
l/2 l
a
l/2
(1)第一种解法 :
取支座B的竖向反力为多余未知力X1，其 力法方程为
q
q
11 X 1 Δ1c a
q
X1
a
基本体系之一
其中
q
D1c
Δ1c FR c (l q ) q l
11
M AB ΔAB 3i 3i l
l
(6)上述计算结果表明：在支 座位移时，超静定结构将产生 内力和反力，其内力和反力与 各杆件刚度的绝对值成正比。
3iD AB 3i l
B
A
3iD AB l2
M图
3iD AB l2
二、温度变化时的内力计算
在温度变化时，n次超静定结构的力法方程中，第i个 方程的一般形式为