6.5 超静定结构在支座移动时的内力计算

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建筑力学教材课件第八章超静定结构的内力分析

⑶求系数和自由项
11
1 1 2 256 4 4 4 4 4 4 EI 2 3 3EI 1 1 1280 80 4 4 EI 3 3EI
1P
⑷求解多余力
⑸绘制内力图各杆端弯矩可按 M X 1 M 1 M P 计算，最后弯矩图如图8-7c所示。
图（a）所示刚架有两个刚结点，现在两个刚结点
都发生了角位移和线位移，但在忽略杆件的轴向变形
时，这两个线位移相等，即独立的结点线位移只有一个，因此用位移法求解时，该结构的基本未知量是两个角位移C和 D 以及一个线位移Δ。
(b)
同理，图（ b）所示排架有三个铰结点，其水平线位移相同，故该结构的基本未知量是一个线位移Δ。
M 1M P 1 1 ql 2 3l ql 4 dx l EI EI 3 2 4 8 EI
同理可用 M 1 图与 M P 图相图乘计算 1P ,得
1P
将11 和1P 之值代入力法基本方程由此求出：
X1 1P
11
ql 4 l 3 3ql / 8 EI 3EI 8
• 即：n次超静定结构力法的基本方程，通常称为力法典型方程。这一方程组的物理意义为：基本结构在全部多余未知力和荷载共同作用下，在去掉多余联系处沿各多余未知力方向的位移，应与原结构相等。 • 典型方程中，多余未知力系数主对角线上称为主系数，其物理意义为：当单位力单独作用时，在其自身方向上所引起的位移，恒为正且不为零。其它系数称为副系数，其物理意义为：当单位力单独作用时，所引起方向的位移。各式最后一项称为自由项，它是荷载单独作用时所引起的方向的位移。副系数和自由项的值可能为正、负或零。

高等工程力学1 超静定结构内力计算

M i 、Qi、N i ——任取的基本体系在单位力作用下的内力图，而单位力是加在要求位移的截面上的；
—RK—基本体系支座k在单位力作用下的反力；
cK——k支座的实际位移。公式（1-7）的前三项表示基本体系在荷载和多余未知力的作用下的位移，后
三项表示基本体系在温度变化和支座移动情况下引起的位移。
1 超静定结构内力计算
⑵ 有结点线位移的情况计算这类结构时；原利用公式（1-11）考虑各结点的弯矩平衡外，还需考虑相应杆端剪力的平衡。取适当的截面截出结构的一部分，通常是截断各柱的柱顶端。取出横梁。考虑剪力平衡，建立剪力平衡方程，即
Qx 0
(1-12)
补充了剪力平衡方程后，方程式的数目仍然与未知数的数目相等，方程式总是可以求解的。
1 超静定结构内力计算
§1.1.1力法的基本原理（续4）
由力法方程解出未知力X1、X2、…Xn后，超静定结构的内力可根据叠加原理用下式计算：
M M1X1 M2X2 MnXn MP Q Q1 X 1 Q2 X 2 Qn X n QP N N1X1 N2 X 2 Nn X n NP
§1.2.4利用典型方程求解结构的位移和内力(续1)
同理附加链杆处的反力也为零，即
R2 R21 R22 R2P 0
或写成
r11Z1 r12Z2 R1P 0 r21Z1 r22Z2 R2P 0
对于有n个基本未知数的结构，位移法典型方程式为：
r11Z1 r12 Z2 r1n Zn R1P 0 r21Z1 r22 Z2 r2n Zn R2P 0
§1.2.1等截面直杆的转角位移方程式（续1）
AB杆产生位移后，杆端的总弯矩为
M AB
M
/ AB
M

结构力学二5-超静定结构的内力与位移计算

X1=1
X2=1
M2
P
X3=1
M3
MP
另一解法
P X1 X2 X3
M1
13 31 0
2 P 3 P 0
11 X 1 12 X 2 1P 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 0 X X 0 32 2 33 3
i 1X1+ i 2X2+
… …
+ 1iXi+
+ i iXi+
… …
+ 1nXn+△1P=0
+ i nXn+△iP=0
…………………………………………………………… n1X1+ n2X2+ … + niXi+ … + nnXn+△nP=0
这便是n次超静定结构的力法典型(正则)方程。式中 Xi为多余未知力， i i为主系数，i j(i≠j)为副系数, △iP 为常数项（又称自由项）。
4. 力法典型(正则)方程系数和自由项的计算
典型方程中的各项系数和自由项，均是基本结构在已知力作用下的位移，可以用计算位移的方法计算。对于平面结构，这些位移的计算公式为
对不同结构选取不同项计算。系数和自由项求得后，代入典型方程即可解出各多余未知力。
力法的计算步骤和示例 1. 示例 n=2(二次超静定) 选择基本结构如图示 C
3. 力法方程及系数的物理意义（1）力法方程的物理意义为：基本结构在全部多余未知力和荷载共同作用下，基本结构沿多余未知力方向上的位移，应与原结构相应的位移相等。（2）系数及其物理意义：下标相同的系数 i i 称为主系数( 主位移)，它是单位多余未知力单独作用时所引起的沿其自身方向上的位移，其值恒为正。系数 i j(i≠j)称为副系数(副位移)，它是单位多余未知力单独作用时所引起的沿 Xi方向上的位移，其值可能为正、为负或为零。据位移互等定理，有 i j= j i △i P称为常数项(自由项)它是荷载单独作用时所引起的沿Xi 方向的位移。其值可能为正、为负或为零。上述方程的组成具有规律性，故称为力法典型方程。

自考结构力学超静定结构的内力和位移

3、力法基本方程－
D11 d 11 X 1 d 11 X 1 D1P 0
D11 X 1 D1 p 0
一、力法基本思路有多余约束是超静定与静定的根本区别，因此，解决多余约束中的多余约束力是解超静定的关键。
力法的基本体系
D1=0 D11=1
D11 + D1P =0 d11x1+ D1P =0
作单位和荷载弯矩图
FP F Pa
求系数、建立力法方程并求解
X2 5 FP X1 4 FP 0 仅与刚 X1 6 4 96 11 度相对 X1 5X2 FP 3F 值有关 P 0 X2 4 6 16 88
4 FP X1 11 X 2 3 FP 88
基本方程的物理意义？
X1
X2
a

b
l
a

b
基本结构在支座位移和基本未知力共同作用下，在基本未知力作用方向上产生的位移与原结构的位移完全相等。
d11 X 1 d12 X 2 D1c 0 d 21 X 1 d 22 X 2 D 2 c
h
X1 1
1
1 l
X2 1
注意
q
1、基本体系有多种选择；
X1
q
q
X1
EI
1
q q
D1 p
q
X1 X1
D1 p
)d
d 11 X 1
11
X1
X1
（a） 2、系数和自由项的计算 3、采用叠加法绘制内力图
（b）
（c）
基本原理举例
例1. 求解图示单跨梁原结构
待解的未知问题

建筑力学第六章超静定结构内力计算资料

n1Χ1 n2 Χ 2 ni X i nn Χ n ΔnF 0从左上方
至右下方的一条主对角线上的系数δii称为主系数，它表示Xi=1时，引起的基本结构上沿Xi方向上的位移，它可利用图M自1 乘求得,其值恒为正值；主对角线两侧的系数δij(i≠j)称为副系数，它表示Xj =1时，引起的基本结构上沿Xi方向上的位移，它可利用图与图M互i 乘求M得j。
Δ1=0
上式称为基本结构应满足的原结构的位移条件，设 Δ1F[图(c)]和Δ11[图(d)]分别表示荷载q与多余末知力X1单独作用于基本结构上时，引起的B 点沿X1方向上的位移。由叠加原理，有
Δ1 =Δ11 +Δ1F =0
(b)基本结构
X1
=
(c)
+
(d)
X1
由于X1是末知力，若以δ11表示X1＝1单独作用于基本结构时引起的B点沿X1方向上的位移，即 Δ11 = δ11·X1 ，则
6.3.1 位移法的基本概念
位移法是以结构的结点位移作为基本未知量，由平衡条件建立位移法方程求解结点位移，利用杆端位移和杆端内力之间的关系计算杆件和结构的内力，从而把超静定结构的计算问题转化为单跨超静定梁的计算问题。
为了说明位移法的基本概念，我们来研究图（a）所示的等截面连续梁。
此梁在均布荷载作用下的变形情况如图虚线所示。。由于B点为刚性结点，所以，汇交于此点的各杆在该端将发生相同的转角B 。
多余未知力X1求出后，将已求得的多余力X1与荷载q共同作用在基本结构上, 就可以按求解静定结
构的方法，求出原结构的其余反力和内力，最后绘
出原结构的弯矩图，如图（c）所示。
超静定结构的最后弯矩图

超静定结构内力计算

超静定结构内力计算首先，需要明确的是，超静定结构与静定结构的计算方法基本相同，都是通过力平衡和力矩平衡方程来计算结构内力。

下面以一简支梁为例，介绍超静定结构内力计算的方法。

假设有一简支梁，梁长为L，受到均布载荷q，支座A、B处有横向支撑。

我们需要计算梁上任意一点x处的弯矩和剪力。

首先，对于简支梁，力平衡方程可得：∑Fx=0=>RA+RB=0(1)∑Fy=0=>VA+VB-qL=0(2)力矩平衡方程可得：∑Mz=0=>-qLx+VBx=0(3)(x为横坐标)由以上方程可以得到：RA=-RB=-qL/2，VA=-VB=qL/2接下来，我们可以使用能量方法计算结构内力。

能量方法是利用结构所受外界实际工作等于内力做的虚功，通过对外界做功和结构内工作的平衡，求解得到内力。

我们将简支梁分解为多个力学小段，每一小段的长度为Δx。

考虑梁上一小段AB，以A点为起点，Δx位置为B点。

对这一小段，外界对结构所做的虚功为：δWext = -VAdy (4) (dy为小段长度)其中，结构内力V由能量方法得到。

结构内力杆件AB的内工作为：dU = VAdy (5)因为外界做的虚功等于内工作，可得：-δWext = dU将式(4)和式(5)代入上式，得：VAdy = -VAdy对上式进行积分，得：∫VAdy = -∫VAdy∫VAdy = -(∫VAdy)由于简支梁内力为常数，所以可以将其从积分符号中移出，得：V∫Ady = -V∫Ady即：VAΔy=-VAΔy可以看出，对于简支梁而言，外界虚功和结构内工作的积分是相等的。

通过上述分析，我们可以发现，能量方法实际上是在计算外界对结构做的虚功，而虚功就是外界力对结构的作用力乘以作用距离的积分。

所以能量方法的基本思想是通过积分计算外界对结构的虚功，然后根据虚功等于内工作的原理，推导出结构的内力。

总结起来，超静定结构的内力计算方法主要是使用力平衡和力矩平衡方程，利用能量方法计算结构内力。

用力法计算超静定结构在支座移动和温变化时的内力

l
M1 图
X1=1
得
l3 3EI
X 1 q l a
由此求得
X1
3EI l2
(q
a) l
弯矩叠加公式为：
M M1X1
3EI (q a )
l
l
M图
X1
q
A
C q
B a
l/2
l/2
l
q
q
X1 a
基本体系之一
q
q
D1c
FRA 1
l
M1 图
X1=1
(2)第二种解法
取支座A的反力偶作为多余未知力X1，其力法方程为
计算支座移动引起n次超静定结构的内力时，力法程中第 i个方程的一般形式可写为
n
ij X j Δic Ci
j 1
ij为柔度系数
Ci，表示原结构在Xi方向的实际位移
Dic，表示基本结构在支座移动作用下在Xi方向的位移
【例7-9】图示单跨超静定梁AB，已知EI为常数，左端支座转动角度为q ，
右端支座下沉位移为a，试求在梁中引起的自内力。
)
10
(
1 2
1
l
)
2.5
(1 l
l)
10
(
2 l
l)
100 22.5 77.5
代入典型方程，可得
77.5EI/l
A
B
X1
Δ1t
11
77.5EI
l
()
最后弯矩图M M1 X1 ，如图所示。
77.5EI/l 77.5EI/l
C
D
77.5EI/l
M图
由计算结果可知，在温度变化时，超静定结构的内力与反力与各杆件刚度的绝对值成正比。因此，加大截面尺寸并不是改善自内力状态的有效途径。另外，对于钢筋混凝土梁，要特别注意因降温可能出现裂缝的情况（对超静定梁而言，其低温一侧受拉而高温一侧受压）。

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M1
B
B
X1
B 1C
B 11
X1
B
X1 1
方法二：
4.求X1：
X1
1C δ11
l θ l3 3EI
3EIθ l2
δ11 X1 1C 0
δ11
l3 3EI
1C l θ
即：
X1
3iθ l
线刚度：i
EI l
5.按静定结构分析方法求作内力图：
θ
A
EI
B
l
X1 方法一
A
B
3iθ
M图(kN m)
B
3iθ M图 (kN m)
基本结构为悬臂梁时的解法…
θ
A
B
X1
方法二：解： 1.选基本结构：
2.列力法基本方程：
θ
A
EI
l
不够准确 θ A
δ1111XX11 11PC0 0
物理意义！
3.求11和Δ1C：
δ11
1 EI
(12ll32li l θ
θ
A
A
A
l
第六章用力法计算超静定结构
6.5 超静定结构在支座移动时的计算
建筑工程系
6.5 超静定结构在支座移动时的计算
已知结构A端发生转角q，作M图。
θ
A
EI
B
解：方法一:
l
1.选基本结构： X1
A
B
2.列力法基本方程： 11X1 1P 0
δ11 X1 θ
物理意义！
6.5 超静定结构在支座移动时的计算
X1 3iθ
方法二
θ
A
B
3iθ
X1
M图(kN m)
3iθ X1 l
重温点馨提小示结
1. 力法方程右端项可以不为零；
δ11 X1 θ
2.选择基本结构时，宜撤去有支座移动的约束。
已知结构A端发生转角q，求作M图：
3.求11：
X11
δ11
11 2
l
EI (21l31) 3EI
4.求X1：
3EIθ X1 l
令
i
EI l
X1 3iθ
A
B
1
M1
i——杆件的线刚度（单位杆长的抗弯刚度）
6.5 超静定结构在支座移动时的计算
X1 3iθ
5.按静定结构分析方法求作内力图：
A θ EI