《相似三角形的判定(角角)》的案例
九年级数学相似三角形典型例题
九年级数学相似三角形典型例题一、利用相似三角形的判定定理证明相似例1：已知：在△ABC和△DEF中，∠A = ∠D = 60°，AB = 4，AC = 8，DE = 2，DF = 4。
求证：△ABC∽△DEF。
解析：1. 我们看相似三角形的判定定理。
对于两个三角形，如果它们的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
2. 在本题中：计算公式，公式。
并且已知∠A = ∠D = 60°。
因为公式且∠A = ∠D，所以根据相似三角形判定定理中的“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可以得出△ABC∽△DEF。
二、相似三角形性质的应用（求边长）例2：已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为公式，若AB = 6，则A'B'的长为多少？解析：1. 因为相似三角形对应边成比例。
设A'B' = 公式。
已知相似比公式。
2. 又已知公式，AB = 6，所以公式。
通过交叉相乘可得：公式。
即公式，解得公式，所以A'B'的长为9。
三、利用相似三角形解决实际问题（测量高度）例3：在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，求这棵大树的高度。
解析：1. 因为在同一时刻，太阳光下不同物体的高度和影长成正比。
设大树的高度为公式米。
可以得到两个相似三角形，一个是由小强及其影子构成，另一个是由大树及其影子构成。
2. 根据相似三角形的性质，对应边成比例。
则公式。
交叉相乘可得：公式。
计算得公式，解得公式米。
所以这棵大树的高度是9.6米。
相似三角形的判定PPT课件
3.4.1 类似三角形判定的基本定理
复习导入
定义
全等三
角形
三角、三边对应相等
的两个三角形全等
类似三 三角对应相等, 三边对应
角形
成比例的两个三角形类似
判定方法
边
角
边
角
边
角
角
角
边
边
边
边
斜边与直角边
(直角三角形）
探究新知
如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E.
∴
=
=
∠EAO=∠BAC，
∠AEO=∠B，
∠AOE=∠ACB，
当堂练习
2. 如图，已知点O在四边形ABCD的对角线AC上，OE∥CB，OF∥CD.试判
断四边形AEOF与四边形ABCD是否类似，并说明理由.
∵OF∥CD，∴△AFO∽△ADC，
∴
=
=
∠FAO=∠DAC，
DE至点F，使DE=EF. 求证：△CFE∽△ABC.
证明 ∵DE∥BC，点D为△ABC的边AB的中点，
∴AE=CE.
又∵DE=FE，∠AED=∠CEF，
∴△ADE≌△CEF.
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
∴△CFE∽△ABC.
知识要点
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原
三角形类似．
求证：只要DE//BC，△ADE与△ABC始终类似.
证明：在△ADE与△ABC中，∠A=∠A.
∵DE∥BC，
分析：根据类似三角形的定
义去证明，三角对应相等，
三边对应成比例。
27.2.1相似三角形的判定(2)课件2024-2025学年人教版数学九年级下册
二、要熟悉该定理的几种基本图形
A
D
DA
B
E
BE
C
F
C
F
三、注意该定理在三角形中的应用
四、平行于三角形一边的直线和其他两边(或延 长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．
1、 如图 请尽可能多地找出下列图中的
相似三角形，并说明理由。
A
A
A
B
D
E
D
E
O
F
G
E
F
B
F
C
图1
DE∥BC ，DF∥AC
B 图2
DE∥FG//BC
CC
D
图3
AB∥EF∥CD,
如图，△ABC 中，DE∥BC，GF∥AB，
DE、ＧＦ交于点Ｏ，则图中与△ABC相 似的三角形共有多少个?请你写出来.
解： 与△ABC相似的三角形有3个: A
A
D E F
B
G H I
C
新知应用
如图所示，如果D，E，F分别在OA，OB，
OC上，且DF∥AC，EF∥BC．
求证：OD∶OA＝OE∶OB
证明： ∵ DF∥AC，
OD OA
OF OC
.
EF∥BC，
OF OC
OE ， OB
OD OE . OA OB
课堂小结
一、平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. （关键要能熟练地找出对应线段）
符号语言：
∵DE//BC,
∴△ABC∽△A’B’C’
思考
如图 DE//BC，△ADE与△ABC有什么关系？
方法一：过点E作EF//DB交BC 的延长线于F
九年级数学下册《相似三角形》优秀教学案例
3.教师在小组合作过程中，要关注学生的参与情况，适时给予指导和鼓励，确保每个学生都能在合作学习中得到提升。
（四）反思与评价
1.鼓励学生在学习过程中进行自我反思，总结自己的学习方法和经验，提高他们的自主学习能力。
结合学科特点，本案例将引导学生通过观察、猜想、验证、应用等环节，深入理解相似三角形的本质。在课程设计上，充分考虑学生的认知水平和兴趣，注重知识点的层次性，由浅入深，逐步引导学生掌握相似三角形的判定方法及其在实际问题中的应用。
此外，本案例还注重情感目标的实现，通过鼓励学生积极参与、勇于探索，培养他们面对困难时坚持不懈的精神，使学生在掌握知识的同时，也能获得成功的体验和自信心的提升。在教学过程中，教师将以亲切、鼓励的语言，营造轻松、愉快的学习氛围，让学生在愉悦的情感状态下主动探索、积极思考，实现知识与能力的全面发展。
4.教学过程中，注重启发式教学，引导学生主动思考，培养他们独立解决问题的习惯。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生积极参与、勇于探索的精神，使他们面对数学问题充满好奇心和求知欲。
2.通过解决实际问题，让学生体会数学与生活的紧密联系，提高他们对数学学科的兴趣和认识。
3.培养学生合作学习的意识，让他们在团队中相互帮助、共同进步，增强集体荣誉感。
（五）作业小结
1.设计具有针对性的作业，涵盖本节课所学知识点，让学生通过练习巩固知识。
2.布置一些拓展性的作业，如研究相似三角形在其他领域的应用，激发学生的探究欲望。
3.要求学生完成作业后进行自我检查，对自己的学习情况进行评价，培养他们的自主学习能力。
九年级数学上册《相似三角形的性质》优秀教学案例
（四）反思与评价
在教学过程中，我将重视学生的反思与评价。在每个环节结束后，引导学生对自己的学习过程进行反思，总结自己在知识掌握、方法运用、合作交流等方面的优点和不足。同时，鼓励学生积极参与课堂评价，对同伴的表现给予肯定和建议，培养他们客观、公正、真诚的评价态度。
此外，我还将结合学生的反思与评价，对课堂教学进行总结，针对学生的共性问题进行讲解和指导，以提高教学效果。通过反思与评价，使学生认识到自己的进步与不足，激发他们的学习动力，培养他们自主、持续发展的能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在导入新课环节，我将首先展示一些生活中的图片，如建筑物的立面图、摄影作品中的构图等，让学生观察并发现其中的相似三角形。通过这一环节，让学生感受到相似三角形在现实生活中的广泛应用，激发他们的学习兴趣。接着，提出问题：“这些图形之间有什么共同特征？它们之间有什么关系？”引导学生思考，为新课的学习做好铺垫。
（二）讲授新知
1.相似三角形的定义：通过引导学生回顾已学的全等三角形概念，自然而然地引出相似三角形的定义。强调相似三角形的对应角相等、对应边成比例的特点，并用实例进行解释。
2.相似三角形的判定：介绍AA、SSS、SAS三种判定方法，结合具体图形进行讲解。通过讲解和举例，让学生掌握这些判定方法，并能够运用到实际问题中。
3.设计丰富的教学活动，如实物演示、动手操作、数学游戏等，让学生在实际操作中体验数学知识的形成过程，培养学生的实践操作能力。
相似三角形的判定(三)
已知： 如图， 已知 ： 如图 ， 在 △ ABC中 ， ∠ ACB=90° ， 中 ° CD⊥AB于D. ⊥ 于 求证： 求证：△ABC∽△CBD∽△ACD. C
A
D
B
结论： 结论：
直角三角形被斜边上的高分成的两个直 角三角形和原三角形相似. 角三角形和原三角形相似.
C
A
D
B
C
A
D
B
∵在△ABC中，∠ACB=90°， 中 ° CD⊥AB于D, ⊥ 于 ∴△ABC∽△CBD∽△ACD. ∽ ∽
0
B
C
3.如图， △ABC中，∠ACB=90°， CD⊥AB于 如图， 如图 中 ° ⊥ 于
于点E, 点D, DE⊥AC于点 ⊥ 于点
C
AD CE 求证： 求证： = AC BD
A
E
D
B
4.在Rt△ABC中，CD是斜边 上的高，点F是 △ 是斜边AB上的高 中 是斜边 上的高， 是 CD上一点，BE⊥AF交AF的延长线于点 ， 上一点， ⊥ 交 的延长线于点 的延长线于点E， 上一点 C 2 E 求证： 求证： AD = CDi AC
相似三角形的判定（ 相似三角形的判定（三）
猜想：两个角对应相等的两个三角形相似. 猜想：两个角对应相等的两个三角形相似.
已知：如图， 已知：如图，在△ABC和△A´B´C ´ 和 中，∠A=∠A´ ，∠B=∠B´ . ∠ ∠ 求证：△ABC∽△A´B´C´. 求证： ∽
A A'
B
C B'
C'
相似三角形判定定理3 相似三角形判定定理3： 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个 两个角与另一个三角形的 对应相等，那么这两个三角形相似 相似. 角对应相等，那么这两个三角形相似. 简单说成：两角对应相等 两三角形相似 相似. 简单说成：两角对应相等，两三角形相似. 对应相等，
相似三角形的判定(含答案)
一、基础知识相似三角形的判定（三）：如果两个三角形两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
如图在△ABC与△DEF中，∠B=∠E,AB BCDE EF，可判定△ABC∽△DEF。
二、重难点分析本节课的重难点是三角形相似的判定判定方法：如果两个三角形两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
注意：在利用该方法时，相等的角必须是已知两对应边的夹角，才能使这两个三角形相似，不要错误地认为是任意一角对应相等，两个三角形就相似。
例：如图所示，已知在正方形ABCD中，P是BC上的一点，且BP=3PC,Q是CD的中点。
求证：△ADQ∽△QCP.∴DQ=QC=1 2 a三、中考感悟1、（2014•宿迁）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△P AD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个∴满足条件的点P的个数是3个，【答案】C【点评】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，难度适中，进行分类讨论是解题的关键．2、（2014•武汉）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值；（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．∴t=，∴PQ的中点在△ABC的一条中位线上．【点评】此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、中位线的性质等，关键是画出图形作出辅助线构造相似三角形，注意分两种情况讨论．四、专项训练（一）基础练习1、如图四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O,且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形，若OA∶OC=OB∶OD,则下列结论中一定正确的是（）.A．①与②相似B．①与③相似C．①与④相似D．②与④相似2、能判定△ABC相似与△A|B|C|的条件是（）A.AB ACA B A C=''''B.AB A BAC A C''='', 且A C'∠=∠C.AB BCA B B C='''',且B B'∠=∠D.AB ACA B A C='''',且B B'∠=∠3、如图，若AC2= ,则△ADC∽△ACB。
相似三角形应用举例
相似三角形的判定
(1) 定义法
（2）通过平行线.（A型 X型）
（3）三边对应成比例.
（4）两边对应成比例且夹角相等 .
（5）两角相等.
（6）直角三角形
相似三角形的性质 （1）对应边的比相等，对应角相等. （2）对应高的比，对应中线的比、对应角平分 线的比都等于相似比. （3）周长的比等于相似比. （4）面积的比等于相似比的平方.
一题多解
还可以有其他方法测量吗？
B E
┐ F
△ABO∽△AEF
平面镜
A
OB
OA
=
EF
AF
┐ O
OA ·EF OB =
AF
利用三角形相似可以解决一些不能直接测 量的物体的长度的问题
例5. 如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选 定一个目标点P,在近岸取点Q和S,使点P、Q、S共线且直 线PS与河垂直,接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适 当的点T,确定PT与点Q且垂直PS的直线b的交点R.如果测 得QS=45m,ST=90m,QR=60m,求河的宽度PQ.
分析:如图,设观察者眼睛的位置(视点)为点F(EF近似为人 的身高),画出观察者的水平视线FG ,它交AB、 CD于点H 、 K.视线FA、 FG的夹角∠ AFH是观察点A的仰角.能看到C 点．类似地, ∠ CFK是观察点C时的仰角,由于树的遮挡,区 域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域(盲区)之内.再往前走就 根本看不到C点了.
乐山大佛
世界上最高的树 —— 红杉
怎样测量这些非常高 大物体的高度？
台湾最高的楼 ——台北101大楼
怎样测量河宽？
世界上最宽的河 ——亚马孙河
利用三角形的相似,可以解决一些不能直接测量 的物体的长度问题,下面请看几个例子.
相似三角形的判定数学教学教案(10篇)
相似三角形的判定数学教学教案（10篇）《相似三角形》数学教案篇一教学目标：1、了解相似三角形的概念，会表示两个三角形相似。
2、能运用相似三角形的概念判断两个三角形相似。
3、理解“相似三角形的对应角相等，对应边成比例”的性质。
重点和难点：1、本节教学的重点是相似三角形的概念2、在具体的图形中找出相似三角形的对应边，并写出比例式，需要学生具有一定的分辨能力，是本节教学的难点。
知识要点：1、对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
2、相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
3、相似三角形对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比（或相似系数）重要方法：1、全等三角形是相似三角形的特殊情况，它的相似比是1。
2、相似三角形中，利用对应角寻找对应边；反过来利用对应边寻找对应角。
3、书写相似三角形时，需要把对应顶点的字母写在对应的位置上。
教学过程一、创设情境，导入新课1、课件出示：①国旗上的☆，②同一底片不同尺寸的照片。
以上图形之间可以通过怎样的图形变换得到？2、经过相似变换后得到的像与原像称为相似图形。
那么将一个三角形作相似变换后所得的像与原像称为相似三角形二、合作学习，探索新知1、合作学习如图1,在方格纸内先任意画一个☆ABC,然后画出☆ABC经某一相似变换（如放大或缩小若干倍）后得到像☆A ′B ′C ′（点A ′、B ′、C ′分别对应点A 、B 、C）。
问题讨论1：☆A ′B ′C ′与☆ABC对应角之间有什么关系？问题讨论2：☆A ′B ′C ′与☆ABC对应边之间有什么关系？学生相互比较得到结论：对应角相等，对应边成比例。
2、由合作学习定义相似三角形的概念（1）相似三角形：一般地，对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形（2）表示：相似用符号“☆”来表示，读作“相似于”如☆A ′B ′C ′与☆ABC相似，记做“☆A ′B ′C ′☆☆ABC ” 。
注意：在表示三角形相似时，一般把对应顶点的字母写在对应的位置上（3）定义的几何语言表述：A B C A ′B ′C ′相似三角形的判定数学教学教案篇二一、教学目标1.使学生了解判定定理2、3的证明方法并会应用。
人教版九年级数学下27.2相似三角形的判定(两角法)优秀教学案例
（一）导入新课
在导入新课时，我会通过展示一些生活中的实际例子，如建筑物的构造、艺术作品的设计等，让学生感受到相似三角形的判定在实际生活中的应用。接着，我会提出一些与本节课相关的问题，如“为什么两角法能够判定两个三角形相似？”、“在实际问题中，如何运用两角法判定相似三角形？”等。通过问题的引导，激发学生的思考兴趣，引出本节课的主题。
2.培养学生运用相似三角形的性质解决实际问题的能力，如计算图形的面积、解决几何构造问题等。
3.引导学生理解相似三角形与全等三角形的区别，并能运用相应的判定方法解决相关问题。
（二）过程与方法
1.通过观察、分析、对比等方法，让学生深入理解两法，培养学生团队协作能力和沟通表达能力。
在教学过程中，我将以生动的语言、丰富的实例和实际问题，激发学生的学习兴趣，让他们在掌握知识的同时，提高自己的思维能力和解决问题的能力。同时，注重培养学生的团队协作和沟通能力，使他们能够在学习过程中，形成积极的情感态度和价值观。
三、教学策略
（一）情景创设
本章节的教学过程中，我将注重情境的创设，以激发学生的学习兴趣和思考能力。在引入两角法这一概念时，我会通过展示生活中的实际例子，如建筑物的构造、艺术作品的设计等，让学生感受到相似三角形的判定在实际生活中的应用。同时，我会设计一些有趣的数学题目，让学生在解决实际问题的过程中，自然地引入两角法的概念和判定条件。
人教版九年级数学下27.2相似三角形的判定（两角法）优秀教学案例
一、案例背景
“人教版九年级数学下27.2相似三角形的判定（两角法）”这一章节，是在学生已经掌握了相似三角形的概念和性质的基础上进行授课的。在此之前，学生已经学习了三角形的各种性质，如内角和定理、外角定理等，并能够运用这些性质解决一些简单的问题。然而，对于相似三角形的判定，尤其是两角法，他们可能存在一定的理解难度。
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本节课教学主要模式为问题式教学与探索性学习。
从简单的问题引入，以三角形全等判定条件为情形，过渡到三角形相似的判定条件的探索。
学生按教师所提出的问题进行思考，并在教师的启发下进行自主探索与合作交流。
最后总结得出:两角对应相等的两个三角形相似的判定条件。
通过练习，学会用此结论去解决简的实际问题。
教学实录:
师:同学们，我们在学习全等三角形的内容时知道，三角对应相等，三边对应相等的两个三角形全等。
你们还记得三角形全等的判定条件吗？
生1:知道。
有角边角、边角边、边边边、角角边等判定方法。
生2:(补充)如果是直角三角形还有“斜边、直角边”判定方法。
师:以上两位同学回答的很全面。
同学们上节课我们学习了相似三角形的定义，你们能把它口述出来吗？
生:三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。
[点评:情境导入的目的是设疑激趣。
这里从学生已有的体验开始，从直观的和容易引起想象的问题出发，让数学背景包含在学生熟悉的事物和相关联的情景之中。
]
师:根据这个定义，判定两个三角形相似，要求三个角对应相等，三边对应成比例，这个过程显然较复杂。
请同学们类比一下，我们能不能像判定两个三角形全等的条件那样，用较少的条件去判定两个三角形相似呢？若能，你认为判定两个三角形相似至少需要哪些条件呢？
生1:(用迟疑的口语)可能是有三角对应相等就满足了吧？
生2:至少需要有三边对应成比例吧?
……
[点评:在这里，教师依据学生的心理特点，培养学生的问题意识，不把结论过早的告诉学生，引起学生去发现问题、提出问题、解决问题，做到多问多思，主动参与。
]
师:刚才同学们不能作出肯定地回答是很正常的，因为这个内容我们还没学到。
这也就是我们这节课所要探究的问题(板书:探索三角形相似的条件)。
我们首先从角开始探索，请每位同学在准备好的一张纸上，画出一个△ABC，使得∠BAC=60°，并与同伴交流一下，你们所画的三角形相似吗？
生:(通过观察自己和同学画的)不一定相似，因为我们之间画出的一个角对应相等的两个三角形形状明显不相同。
师:那我们由此可得出一个什么样的结论？
生1:两个三角形中有一个角对应相等，不能作为判定这两个三角形相似的条件。
生2:我认为一个角对应相等的两个三角形不一定相似。
[点评:这里降低了探索问题的难度，尽量让有不同意见的学生发表见解，这样可以避免不动脑筋被动听课的现象。
]
师:通过刚才的操作和探索，我们发现:仅有一个角对应相等不能判定两个三角形相似。
请同桌的两位同学分工，一人画△ABC，使∠A=30°，∠B=70°，另一人画△A′B′C′，使∠A′=30°，∠B′=70°，然后比较你们画的两个三角形，∠C与∠ C′相等吗？
生:相等。
∵∠C=180°-30°-70°=80°，∠C′=180°-∠A′-∠B′=180°-30°-70°=80°。
师:请各小组成员合作一下，用刻度尺测量一下各线段的
长度，并计算对应边的比的值。
生:(在操作中发现)老师，我们度量的线段的长度的值是近似的，对应边的比值计算出来也是近似值。
师:用刻度尺测量线段长度存在误差是正常的，所以你们小组计算出来的比值也只是近似的其他小组情况如何？
生:我们的结果与前面小组的结果一样。
[点评:这里，学生在合作学习交流过程中，通过相互表达与倾听，不仅使自己的想法、思路更好的表现出来，而且还可以了解他人对问题的不同理解，使学生的理解逐步加深。
]
师:同学们，你们在计算对应边的值后
发现了什么？
生:经过测量和计算，发现它们这些线段的比是近似相等的。
师:通过刚才探究、合作交流的过程，你们能得出△ABC与△A′B′C′相似吗？
生:能得出△ABC∽△A′B′C′，这是因为它们满足三角对应相等，三边对应成比例的条件。
师:这个探索过程得到的结果说明了什么问题？
生:有两个角对应相等的两个三角形相似。
师:上面的结论是否成立呢？还是按前面的分组:请一位同学再画一个△ABC使∠A=15°，∠B=95°，另一位同学画△A′B′C′，使∠A′=15°，∠B′=95°，画完后再互相比较一下。
生:(学生操作后)同上面的结论一样。
[点评:这里通过动手操作来验证结论，比较直观和比较形象，既加深了学生对两角对应相等的两个三角相似的结论的理解和记忆，又培养了学生学习数学的兴趣，同时也使学生意识到数学规律的发现离不开验证这一过程。
]
师:今天因时间关系，我们不能再继续操作下去，请你们课后把∠A与∠A′、∠B与∠B′的度数再改变一下试一试。
通过上面的反复操作，发现判定△ABC∽△A′B′C′只需要有两个角对应相等即可。
从此以后我们可以把这个结论作为判定两个三角形相似的一个条件了。
结合图形可以写成如下的推理过程(板书):∵∠A=∠A′，∠B=∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′。
下面我们看一组题目，(出示投影，呈现课本P119例题)(略)
(作者单位:重庆四十二中)
《相似三角形的判定(角角)》的案例
◇ 王 勇
数学教研
2011.NO8 1。