《高观点下中学数学——分析学》练习题答案

《高观点下中学数学——分析学》练习题一参考答案一、填空题1.⊂，2.}},{},{},{}{,{b a b a a ，∅，3. 满射，4.代数数，5.)1ln()(x x f +=，6.下凸7.传递的；8.双射；9.)()(lim a f x f ax =→；10.1）)()(),(),,0(,y x y x y x ϕϕϕ+=+∞∈∀;11.1）)()()()()(τττs t s c t c t c +=-， 12. xFy 。

13.⊂；14、{,{∅甲}，{乙}，{甲，乙}}；15、单射；16、未知函数；17、1)2(=πf ；18、上凸; 19.传递性； 20. 0x <-εβ；21.可导； 22. )()()(y f x f y x f =+；23. )()(2)()(τττc t c t c t c =-++；24.b ax +（其中b a ,为常数）.25．C A -； 26.⊂； 27.,E x ∈∀有β≤x ； 28.收敛的子列}{k n x ； 29.)()(y L x L -；30.1-.二、单项选择题1.B ;2.A ;3.C ;4.D ;5.D ;6.C ;7.C ；8.C ；9.D ；10.B ；11. D ；12. A13.D; 14.B; 15.C; 16.C; 17.D; 18. A; 19.C; 20.B; 21.A; 22.B; 23.D ;24.A; 25D ； 27B ； 27. A ；28.C ； 29.D ；30.A三、计算题 1解 iyx iy x z +-=， 2分22y x iy x +=-，22y x iy x +=+ 7分故1=z 8分 2设xt 2=，则t x 2log =， 3分 代入得t t t f 222log sin )(log )(+=x x x f 222log sin )(log )(+= 8分3．解]cos )sin 1(cos )sin 2[()sin 2(1)(2x x x x x x f ++--=' 3分 令0)(='x f ，得0cos =x ，22ππ±=k x易验证22ππ+=k x 是极大值点，22ππ-=k x 是极小值点， 6分极大值21211)22(=-+=+ππk f ，极小值0)22(=-ππk f 8分 4.解 显然1+<n n a a ，且40<<n a ，即数列}{n a ，单调增加且有上界，故n n a ∞→lim 存在， 设a a n n =∞→lim ，由18-+=n n a a 可得a a +=8， 5分即082=--a a ， 解得)331(212)3211(+=++=a5.解 首先计算过点M 的切线的斜率16822=='===x x x y k 4分 所求的切线方程为)2(1619-=-x y即 1316-=x y 8分 6.解 已知x xf x f 3)1()(2=+ （1） 将x1代替x ，得 xx f xf 3)()1(2=+ （2） 4分 )2(2)1(-⨯得x x x f x f x f x f 36)()1(2)1(2)(4-=--+xx x f 12)(-= 8分7.解 已知在),0(π内，x sin 是上凸函数，由上凸函数的定义有224sin 2sin )sin (sin 21==+≥+πy x y x 5分 即 2sin sin ≥+y x而且当4π==y x 时，24sin4sin=+ππ，故2是y x sin sin +的最小值。

8分8.解 设ib a z +=，则222z b a =+ 3分 因1=+÷-=iy x iy x z ，故122=+b a9.解 因为},,max{3},,max{321321321a a a a a a a a a n n nn n ≤++<,故有 },,m ax {3lim lim },,m ax {321321321a a a a a a a a a n n nnn n n ∞→∞→≤++≤ 5分所以有},,max {lim321321a a a a a a n nn n n =++∞→ 8分10.解⎩⎨⎧=='3)2(2)(y xx y由方程可得，c x y +=2，由3)2(=y 得1-=c ，即12-=x y 8分11.解 已知242=+-+y y x x ，对两端关于x 求导，得 04)(11='+'--+x x y y x yx 4分由yx y x yx y x y x --+-=---+='4114111 8分12. 解 已知63)()2(2+=+-x x f x f （1） 令t x =-2，即t x -=2，得x x f x f 312)2()(2-=-+ （2） （2）)1(2-⨯得63624)()2(2)2(2)(4---=----+x x x f x f x f x f 6分即x x f 918)(3-=，x x f 36)(-= 13. 解 方程两边对x 求导，求出y '，即049='+y yx 3分y x y 94-=' 3294)2,3()2,3(-=-='yx y 5分于是，切线方程为 )3(322--=-x y 或432+-=x y 8分 14. 解 由已知xx f -=11)( xxxx f f --=--=11111))(( 4分 x xx x f f x f f f =-+=-=111))((11)))((( 8分 15. 解 由12111==⋅z z z 有11)(121211211212121=--=--=--z z z z z z z z z z z z z z 8分16. 解 因为x cos 在)2,0(π内是上凸函数，所以由上凸函数的定义有224cos 2cos ]cos [cos 21==+≤+πy x y x 即有2cos cos ≤+y x . 6分当取4π==y x 时，2cos cos =+y x ，故2是函数y x cos cos +的最小值.17．解222111,ib a z ib a z +=+=则)()(212121b b i a a z z +++=+，)()(212121b b i a a z z -+-=-221221221221221221)()()()(b b a a b b a a z z z z -+-++++=-++=)(2)(2222122222121z z b a b a +=+++所以 )(22221221221z z z z z z +--++=0该结果的几何意义是平行四边形的对角线的平方之和等于四条边长的平方之和。

18．解 已知xx f -=11)(,故)(11))((x f x f f -=x x xx xx f f 1111111))((-=--=--=x xx x f f x f f f =--=-=111))((11)))((( 19．解 a xx x f -+='21)(令21)(xx x +=ϕ，求)(x ϕ的最小值 3分2232212212)1()1())1(()(x x x x x x ---+-+='+='ϕ=0)1(232>+-x ，故)(x ϕ单调增加 5分11lim)(lim 2-=+=-∞→-∞→xx x x x ϕ 7分当1-≤a 时，01)(≥-->'a x f ，故)(x f 单调增加 8分20．解 设),0(),0,(y N x M ，则ax bxy -=2分 从而有面积ax bx x S -=221)( 3分令0])()(2[2)(22=---='a x x a x x b x S 5分得022=-ax x ，a x 2=，即a x 2=时，)2(a S 为最小值且ab aa b a S 2)2(2)2(2==四、证明题1. 证明：（1）若设cC 表示C 的补集，则有 C B A C B A C B A C B A CC-⋂=⋂⋂=⋂⋂=-⋂)()()()( 4分（2）)()()()()()(C B C A C B C A C B A C B A C C C -⋃-=⋂⋃⋂=⋂⋃=-⋃ 8分2. 证明：B y A x ∈∈∀,，有B y A x sup ,sup ≤≤，故B A y x sup sup +≤+，即B A sup sup +是B A +的一个上界.B y A x ∈∈∃>∀00,,0ε，使得2sup ,2sup 00εε->->B y A x ，即存在B A y x +∈+00，使得ε-+>+B A y x sup sup 00故 B A B A sup sup )sup(+=+ 8分3.证明：设nx x f =)(，则0)1()(2>-=''-n xn n x f ，即n x x f =)(是严格下凸，根据 )]()([21)2121(x f x f y x f +<+ 有 ][21)(21nn n n y x y x +<+ 8分4.证明：令5)()(x x f x -=ϕ，则()x ϕ是]1,0[上的连续函数.若0)0(=f ，则选取00=x 结论得证.若1)1(=f ，则选取10=x 结论得证. 4分 否则有1)1(,0)0(<>f f ，则()0)1(,00<>ϕϕ，由介值定理，存在)1,0(0∈x ，使得0)(0=x ϕ，即500)(x x f =. 8分5.证明（1）因f g 是满射，即C A f g =))(( ,进一步有))((A f g C =，故g 是满射。

4分 （2）采用反证法。

假设f 不是满射，即B A f ≠)(，则存在)(A f b ∉，但B b ∈。

设C c ∈，使)(b g c =，由于g 是单射，故))(())((A f g A f g c =∉，即C A f g ≠))(( ，这与f g 是满射矛盾。

说明假设矛盾，即f 是满射。

8分 6.证明 0>∀ε，因为)(x f 在点a 连续，故存在0>δ，当δ<-a x 时，有 ε<-)()(a f x f 由绝对值不等式的≤-)()(a f x f )()(a f x f - 4分 故对任意的0>ε，0>∍δ，当δ<-a x 时，有ε<-)()(a f x f即)(x f 在点a 连续。

8分 7.证明：设642)(25++-=x x x x f ，则)(x f 是]1,1[-上的连续函数，且 9)1(,1)1(=-=-f f由介值定理，至少存在一点)1,1(0-∈x ，使0)(0=x f 。