第7 章 位移法计算超静定结构

基本方程为力矩平衡方程。
P
C
A
B
2.对于附加链杆：
基本方程为链杆方向上力的平衡方程。 等截面直杆转角位移方程的重要性： 1.它是把基本未知量与杆端内力联系起来，是建立位 移法基本方程、求解基本未知量的基础。
2.求出基本未知量后，它又是求解杆端内力的依据。
三、位移法解题的一般步骤
（一） 确定基本结构 （二）求基本未知量
2. 变形过程中杆件两端之间的距离保持不变； 3. 仅研究等截面直杆的简单情况。
7.1 概述
五、位移法基本原理
P
q
把结构中的某些结点位移作为基本未知量， 根据平衡条件首先求出它们，然后再据以确定 结构的内力和变形的方法。
7.2 等截面直杆的转角位移方程 ——单跨超静定梁的力法计算结果
转角位移方程： 单跨等截面超静定梁在外荷载作用
g M AB
g M AB
——又称为载常数
1 Pl l 1 4 2 1 l 1
g M AB
q
EI
g M BA
A
B
P
l 2
EI
g M BA
A
l 2
B
l
三、荷载作用下单跨超静定梁的杆端内力：
（二）几种常见情况
M
g AB
——又称为载常数
g M AB
g M AB

q
B
EI
说明： 1.位移： q、Δ 均设为正； 2.q、Δ 所引起的杆端M与
i EI （线刚度）成正比。 l
3.当单跨梁同时受到多种作用时，利用叠加法求。
五、转角位移方程（刚度方程)
θA
A
l 2
Pq
EI
θB
B
叠加法：
AB
M AB 4 i θ A 2 i θ B 6
g M BA 2 i θ A 4 i θ B 6 i AB M BA l
Δ AB l
转角位移方程：
βAB称为弦转角。
AB g M AB M AB 3i A 3i l
五、转角位移方程（刚度方程)
熟记载常数 和形常数了吗 ?
P
q
M AB i A iB M
g AB g BA
M BA i A iB M
7.3 位移法解题的基本思路及基本概念
下以及杆端发生转动和移动时的杆端内力（弯矩、
剪力）的表达式。
一、单跨超静定梁的形式：
(a)
(b)
(c)
二、杆端内力、杆端位移：
（一）杆端内力 1.表示方法：仍采用双脚标。 2.正负号规定： 轴力N，剪力Q： 同前； 弯矩M：杆端弯矩：顺时针为正； 支座或结点的弯矩：逆时针为正。
支座 支座
A
B
M AB
4 M图（kN.m） 22 3
8 20
Q图（kN）
+
18
（2）利用平衡条件求Q
二、连续梁和无侧移刚架的计算示例（基本未知量 只有结点角位移） 例、用位移法求解图示结构：
q
B EI
Z1
C
B
q
C
P ql
A
EI
l 2 l 2
P ql
A
l
R1 Z1
B
M BC
解： 1.确定基本结构： 2.列基本方程 由 M B 0 ,
M AB A
Q AB
M BA B B
QBA
P M BC C B QBC
QCB
P A
9P 56
C
B
22 P 56
Q AB Q BA
QBC 34 P 56
9P 56
QCB 22 P 56
Q图 ( kN )
二、位移法基本概念：
（一）基本结构： 在原结构上增加一些附加约束（刚臂、支座
P1
A
A
B
MBA

B
二、杆端内力、杆端位移：
（二）杆端位移：
假设： 在变形过程中，直杆两端之间距离保持不变。 杆端转角： 以顺时针方向转动为正
杆端线位移： 以使杆件作顺时针方向转动为正
AB
Δ AB l
βAB称为弦转角。
三、荷载作用下单跨超静定梁的杆端内力：
（一）命名 位移法中将单跨超静定梁仅由荷载作用产生的 的杆端内力叫固端内力（固端弯矩和固端剪力）。 用Mg表示。 （二）几种常见情况
一、基本思路
等截面直杆转角位移方程：
M AB 2 i AB Z1
3 M BC 3 i BC Z1 Pl 16
A
Z1
P
C
B
(e )
M BA 4 i AB Z1
M CB 0
3 Pl 2 Z1 112 EI
（四）将Z1回代到转角位移方程，得出杆端弯矩：
M AB
M BC 3 Pl 2i AB Z1 56 3 Pl 3 Pl 3i BC Z1 16 28 3 Pl M BA 4i AB Z1 28
M AB 3 i θ A
B
θA
EI
M AB i θ A M BA i θ A
l
—形常数 四、杆端位移所引起的杆端内力（续）：
A
EI
B
l
AB
i M AB 3 AB l i M AB 6 AB l i M BA 6 AB l
A
EI
B
l
AB
不动点原理：由两个不动点引出的两根不共线直 杆的交点是一个新的不动点。 方法一：使所有结点成为不动点所需增加的最少支 座链杆数目就是n2。
n2=2
（二）n2：独立的结点线位移数目： 方法二： 将所有刚结点、固端改为铰结点，然后将铰
结体系变为几何不变体系所需要增加的最少链杆数目。
例：
n2 0
EI EI
A
B
(e )
RB
Z1
B
M BA
M BC
3 Z1 4 i AB Z1 3 i BC Z1 Pl 0 16 A B
i AB i BC
Z1
3 Pl 112 EI
2
EI l
Z1
P
C
B
(d )
一、基本思路
位移法通过引入附加约束，把原 超静定结构转化为若干单跨梁的组合 体，从而把复杂结构的计算问题转化 为简单杆件的分析和综合问题。
(c )
P A
C
B
EI EI
C
l 2 l 2
B
l
(a )
Z1
A B
(d )
B
Z1
P
C
在（C图）上加上荷载，并使它 发生实际位移Z1 （即恢复原状） 变形一致 为了区别弯矩转向和力的方 向，在Z1方向上带两道竖杠， 以表示它是转角位移。
Z1
P
C
A
B
(e )
一、基本思路
（一）加上限制转动的约束（附加刚臂 ）； （图b） （二）加上荷载，并使基本结构发生实际位移（恢复 原状）。即图e。 （三）如何求Z1：
一、基本思路： 例：用位移法求解图示结构，并作M、Q图：
P A B
EI EI
C
l 2 l 2
B点
竖向和水平不能移动；
l
(a )
能转动 AB、BC在B端产生相同转角Z1 限制转动的约束称为刚臂， 用符号 表示。 原结构变为2个相对独立的 单跨超静定梁
A
B
( b)
C
A B
(c )
B
C
一、基本思路：
A B
1.列位移法方程（1） RB M BA M BC 0 2.写出各杆端弯矩表达式（转角位移方程）（2） 3.（2）代入（1）解方程，得实际位移（3）
（三）内力计算 1.求各杆端弯矩：（3）代入（2） 2.求Q
3.求N（有的结构N求不出）
7.4 位移法基本未知量的确定 一、位移法基本未知量类型
系数。 4. 固定端可以在左，也可以在右。 5. 同一杆端系数是3/2倍的关系。
三、荷载作用下单跨超静定梁的杆端内力：
——又称为载常数
（二）几种常见情况
1 g M AB ql2 3
A
q
EI
1 g M BA ql 2 6
B
l
3 g M AB Pl 8
A
l 2
EI
P
l 2
1 g M BA Pl 8
n n1 n2
（一）n1：表示刚结点数目：
注意： 1.包含组合结点； 2.不包含与EI=∞杆刚结的结点。 例、
EA EA
EI EI
n1=4
n1=2
n1=1
二、位移法基本未知量数目 （二）n2：独立的结点线位移数目：
认为变形前后杆件两端距离保持不变
n2：由不动点原理来确定； 不动点：无线位移的点。
（六）回代，并作弯矩图。
二、连续梁和无侧移刚架的计算示例（基本未知量 只有结点角位移） 解：BC=0
Z1
3、写出各杆端弯矩表达式 令EI/4=i，则iAB=i，iBC=2i
MAB=2iZ1
MBA
RB MBC
MBA=4iZ1 MBC=3 . 2iZ1 – 1/8 .10 .42=6iZ1 - 20
n2 2
n2 1
n2 3
二、位移法基本未知量确定示例：
n1=1 n2=1
n1=1 n2=0
n1=2 n2=1
n1=5
n2=3
n1=9
n2=3
7.5 应用平衡条件建立位移法方程的步骤和示例 一、应用平衡条件建立位移法方程的步骤