第十三章 静定结构位移计算
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静定结构的位移计算—图乘法计算静定结构的位移(建筑力学)
ql 2 8
) (5 8
l) 4
5ql 4 384 EI
()
温度变化时位移计算公式
设结构上侧温度变化t1，下侧温度变化t2，则杆轴线处温度变化为t0 =（h2t1+h1t2）/h。
此时任一微元体变形如图所示，包括两种形式：
①轴线伸长量du； ②截面转角dθ。
使用公式 L t L 和图中的几何关系，不难得到：
l
l
]
[t0
0
l
t h
1 2
l
l
]
-6l 18l 2 6l(1 3)()
h
h
N图
M图
支座位移时结构位移计算公式
支座位移直接引起结构位移，并不引起结构变形。因此，仅有支座位移时， 结构微元体变形为0。所以，虚拟状态内力虚功为0。将这一结论代入结构位移计 算的一般公式，即可得到支座位移时结构的位移计算公式：
N Nds EA
荷载作用下位移计算步骤
（1）计算位移状态（实际状态）结构内力：M、Q、N； （2）假设虚拟状态（受力状态）； （3）并求其内力 M、 、Q ；N （4）代入位移计算公式并求解。
计算示例
例：计算图（a）所示简支梁中点C处得竖向线位移（EI为常数）。
（a）实际状态
（b)虚拟状态
解：（1）计算实际状态弯矩
位置如图a所示。
（3）当图形的面积和形心位置不易
图b
确定时,可将其分解为几个简单的图形,分
别与另一图形相乘,最后把结果相加,图b。
图a
（4）当y0所在图形是由若干直线段
组成的折线时,应分段进行图乘，再进行叠
加，图c。
（5）当直杆各杆段截面性质不同,即
EI不同时,应分段图乘,再进行叠加，图d。
建筑力学静定结构位移计算
4l/5
l/5
三次抛物线ω=hl/4
顶点
(n+1)l/(n+2) l/(n+2)
n次抛物线ω=hl/(n+1)
例：求梁B点转角位移。 例：求梁B点竖向线位移
P
ql2/2
A
EI
B
MP
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
l/2
Pl/4 l/2 MP
A
l
B
P=1 m=1 l 3l/4 1/2
⑥当图乘法的适用条件不满：足时的处理
一、各类静定结构的位移计算公式 １）梁、刚架：只考虑弯曲变形的影响
D = ∑∫(M1 MP /EI) ds ２）桁架：只考虑轴向变形的影响
D = ∑∫(N FNP/EA) ds D = ∑NFNPl/EA ３）组合结构： D = ∑∫(M1 MP /EI) ds ＋∑∫(N FNP/EA) ds (6-4-3) ４）拱 D= ∑∫(M1 MP /EI) ds ＋∑∫(NFNP/EA) ds (6-4-4)
建筑力学静定结构位移计算
§14-1 计算结构位移的目的
一、结构的位移概念 在外因作用下，结构会发生变形，其上各点或
截面位置发生改变，叫作结构的位移。
平面杆件结构的位移： １、线位移：水平位移 竖向位移 ２、转角位移（角位移）
广义位移概念： １、绝对位移：一个截面相对自身初始位置的位移； ２、相对位移：一个截面相对另一个截面的位移。 二、计算结构位移的目的 １、验算结构的刚度，使结构的位移或变形不超出规定的范 围，满足结构的功能和使用要求。 ２、在结构的制作或施工时，按使用时结构位移的反方向予 先采取措施。 ３、引入变形（位移）条件，为计算超静定结构提供基础。
13、静定结构位移计算
§13-3 结构位移计算的一般公式
___
P2 K
P 1
R1
P1
K
实际位移状态
c2
c1
K
M , N , Q , Rk
R2
虚设单位力状态
结构位移计算的一般步骤： (1) 建立虚力状态：在待求位移方向上加虚设单位力； (2) 求虚设单位力状态下的内力及反力 M , N , Q , Rk 的表达式；
A
B
§13-4 荷载作用下的位移计算
例13.2 求ΔCV ，EA=const。 解：1、虚设单位力状态。 P D
2P
P
P
0 0
(NP ) E
P
a
2、求 N 和 N P 。(标示于图中) 3、代入桁架的位移计算公式：A
2P
P
B
C
NNP 4a P P ΔCV l EA 1 1 2 ) ( 2 P ) 2a ( 1) ( P ) 2a 2 P 2a ( EA 2 2 (N ) 1 42 2 Pa 2 2 2 EA 2 2 2 2 6.83 2 Pa ___ EA 1/2 1/2
h
*
l
1 xc l 2
27
§13-5 图乘法
标准三次抛物线
三. 不同结构形式Δ公式的具体应用 梁、刚架： Δ
桁架：Δ
MM P ds EI
NNP l EA
一般情况： Δ 拱
MM P ds EI
Δ 扁平拱：
组合结构： Δ
MMP ds EI
NNP ds EA
静定结构的位移计算—结构位移计算的一般公式(建筑力学)
2.计算公式
W外 P Ri ci
根据虚功原理得：
W内 Md Qds Ndu
Md Qds Ndu Ri ci
①求线位移 其虚拟状态的外荷载为与所求线位移同位 置、同方向的一个单位集中力。 ②求角位移 其虚拟状态的外荷载为与所求角位移同位 置的一个单位力偶。
求线位移
求角位移
ห้องสมุดไป่ตู้
位移计算的两种状态
③求相对线位移
其虚拟状态的外荷载为与所求相对线位移
的两点连线共线、方向相反的一对单位集中力。
④求相对角位移
其虚拟状态的外荷载为作用在所求相对角 位移的两个截面位置处的一对转向相反的单位 力偶。
②结构任一微元体变形
轴向变形 du、切向变形 、ds角位移 。d
位移计算的两种状态
2.虚拟状态（受力状态）
指结构在某种因素（荷载、温度变化、支座位移等）作用下产生位移的之前所处的受力平衡 状态。该平衡状态一般是未知的，它并不影响实际的结构位移，通常可以随意假设，因此也称为 虚拟状态。通常假设虚拟状态的外荷载为与所求位移对应的单位荷载。具体对应关系如下：
虚功原理
1.实功与虚功
（1）实功：力×位移（位移由做功的力引起） （2）虚功：力×位移（位移由其它因素引起）
2.虚功原理 W外 W内
位移计算的两种状态
1.实际状态（位移状态）
指结构在某种因素（荷载、温度变化、支座位移等）作用下产生位移的时刻所处的状态。此 时，结构位移和变形表示为：
①支座的位移
水平位移 c1、竖向位移 、c2转角 。 c3
M
求相对线位移
虚拟状态中，由外荷载引起的支座反力和内力分别记为：
支座反力：水平反力 R、1 竖向反力 、R 2支座转角 。R3 内力：弯矩 M、剪力 、Q轴力 。N
W外 P Ri ci
根据虚功原理得：
W内 Md Qds Ndu
Md Qds Ndu Ri ci
①求线位移 其虚拟状态的外荷载为与所求线位移同位 置、同方向的一个单位集中力。 ②求角位移 其虚拟状态的外荷载为与所求角位移同位 置的一个单位力偶。
求线位移
求角位移
ห้องสมุดไป่ตู้
位移计算的两种状态
③求相对线位移
其虚拟状态的外荷载为与所求相对线位移
的两点连线共线、方向相反的一对单位集中力。
④求相对角位移
其虚拟状态的外荷载为作用在所求相对角 位移的两个截面位置处的一对转向相反的单位 力偶。
②结构任一微元体变形
轴向变形 du、切向变形 、ds角位移 。d
位移计算的两种状态
2.虚拟状态（受力状态）
指结构在某种因素（荷载、温度变化、支座位移等）作用下产生位移的之前所处的受力平衡 状态。该平衡状态一般是未知的，它并不影响实际的结构位移，通常可以随意假设，因此也称为 虚拟状态。通常假设虚拟状态的外荷载为与所求位移对应的单位荷载。具体对应关系如下：
虚功原理
1.实功与虚功
（1）实功：力×位移（位移由做功的力引起） （2）虚功：力×位移（位移由其它因素引起）
2.虚功原理 W外 W内
位移计算的两种状态
1.实际状态（位移状态）
指结构在某种因素（荷载、温度变化、支座位移等）作用下产生位移的时刻所处的状态。此 时，结构位移和变形表示为：
①支座的位移
水平位移 c1、竖向位移 、c2转角 。 c3
M
求相对线位移
虚拟状态中，由外荷载引起的支座反力和内力分别记为：
支座反力：水平反力 R、1 竖向反力 、R 2支座转角 。R3 内力：弯矩 M、剪力 、Q轴力 。N
结构力学 静定结构的位移计算
情景一 引起结构位移的原因及位移计算的目的
能力拓展 如图 2 – 61a 所示屋架，通过对比左右两图，运用结构位移的相关知识 ，可以解释制作时为何通常将各下弦杆的实际下料长度做得比设计长度
要短些，这样可以使屋架拼装后，结点 C 位于 C′的位置（图 2 – 61b）
， 工程上将这种做法称为建筑起拱。那么预先应知道哪些位移量？
情景二 虚功原理及单位荷载法
项目表述
静定结构位移计算是演算结构刚度和计算超静定结构所必需的。变形 体虚功原理是结构力学中的重要理论。通过本项目学习，同学们重点理 解变形体的虚功原理、单位荷载法及位移计算一般公式。对变形体的虚 功原理的推导过程的理解是本项目的难点内容。
情景二 虚功原理及单位荷载法 学习进程
情景一 引起结构位移的原因及位移计算的目的 知识链接
情景一 引起结构位移的原因及位移计算的目的
知识链接
2．引起位移的原因 众所周知，引起位移的原因主要是荷载作用。除此之外，温度改变使材料膨胀 或收缩、结构构件的尺寸在制造过程中产生误差、基础的沉陷或结构支座产生 移动等因素，均会引起结构的位移。如图 2 – 56a、图 2 – 57a 所示，由荷载作 用产生的位移。如图 2 – 57b 所示，因温度改变或材料胀缩产生的位移。如图 2 – 57c 所示，因制造误差或支座移动产生的位移。
情景一 引起结构位移的原因及位移计算的目的
知识链接
1．结构位移的概念 建筑结构在施工和使用过程中常会发生变形，由于结构变形，其上各点或截面 位置会发生改变，这称为结构的位移。如图 2 – 56a 所示的刚架，在荷载作用 下，结构产生变形如图中虚线所示，使截面的形心 A 点沿某一方向移到 A′点， 线段 AA′称为 A 点的线位移，一般用符号 ΔA 表示。 它也可用竖向线位移 ΔAy 和水平线位移 ΔAx 两个位移分量来表示，如图 2 – 56b 所示。
静定结构的位移计算概述
图10-1
不同的截面具有不同的线位移和 角位移。结构除了在荷载作用下会产 生位移外，温度改变、支座移动、材 料胀缩和制造误差等非荷载因素也会 使结构产生位移。本章主要研究结构 在荷载作用下的位移计算问题。
1. 2 计算结构位移的目的
计算结构位移的目的主要有以下几方面：
1. 校核结构或构件的刚度 刚度是指结构或构件在荷载作用下抵抗变形的能力。为确保结构或构件在使 用过程中不致发生过大变形而影响结构的正常使用，需要校核结构或构件的刚度。
建筑力学
静定结构的位移计算概述
1. 1 结构位移的概念和影响因素
结构在外界因素 ( 荷载、温度变化、支座沉降等 ) 作用下将产生内力和变形。 由于变形，必然导致结构上各点的位置发生移动，同时截面也将发生转动，这些位 置改变量称为结构的位移。
结构的位移一般分为线位移和角位移两 种。图10-1a 所示的刚架在荷载作用下，结构 产生图中虚线表示的弯曲变形，引起刚架的 A 点位置发生了改变，即 A 点移动到 A' 点， 产生线位移为 ΔA ，而线位移 ΔA 通常分解为 水平方向的分位移 ΔH和铅垂方向的分位移 ΔV ， 如图10-1b 所示。与此同时，截面 A 还产生角 位移，如图10-1a 所示。
2. 为超静定结构的内力分析奠定基础 超静定结构的内力计算只通过平衡条件是不能完全确定的，还必须同时考虑 变形条件，即超静定结构要同时满足平衡条件和变形连续条件，而建立变形连续条 件时需要计算结构的位移。
3. 便于结构或构件的制作和施工 结构或构件在制作、施工等过程中需要预先知道该结构或构件可能发生的位 移，以便采取必要的措施 (建筑起拱)，确保结构或构件的正常使用。
建筑力学
由此可见，结构的位移计算在结构分析和实际工程中具有重要的意义。
结构力学——静定结构位移计算
结构力学——静定结构位移计算在工程和建筑领域中，结构力学作为一门重要的学科，主要研究了结构的受力、变形、破坏机理等问题。
其中，静定结构位移计算是结构力学中的一个重要内容。
静定结构所谓静定结构，是指能够通过静力学方程求解出所有节点的受力、反力和变形的结构。
这种结构是不需要知道材料的物理性质和荷载的实际情况的。
在静定结构中，结构的支座固定方式和荷载情况是已知的，因此能够通过解决一组静力学方程，求解出结构中节点的受力和变形。
静定结构位移计算静定结构位移计算是静定结构的重要计算方法之一。
在结构分析中，位移是一种常见的形变量，它反映了物体在载荷作用下发生的形变情况。
在静定结构中，位移是结构的重要参数之一。
它可以通过求解一组线性方程组得到。
具体来说，就是通过应变—位移—节点力关系，将结构各节点位移用系数矩阵和加载节点力表示出来，再通过求解一个线性方程组，就可以得到各节点的位移值。
静定结构位移计算的步骤静定结构位移计算中的步骤包括：1.列出节点位移方程节点位移与内力之间有一定的关系，可以通过位移方程和内力方程来表示。
这些方程可以根据物理实际条件进行建立。
2.确定支座反力支座反力是从位移计算中得到的结果之一。
支座反力是指结构上所有支点所承受的力，在位移计算时是必须考虑的。
3.形成节点位移方程组形成节点位移方程组时，需要考虑杆件的个数、受力条件、材料特性、支座情况等因素。
4.解出节点位移通过解一个线性方程组，我们可以根据已知的节点力和位移方程，求出每个节点的位移值。
静定结构位移计算的应用静定结构位移计算在现代工程设计中具有广泛的应用。
它能够在保证结构稳定的前提下，可以对结构进行优化设计，提高结构的安全性、稳定性、经济性等方面的性能。
除此之外，静定结构位移计算还可以应用于建筑设计、桥梁设计、机械设计、工业生产等领域中。
它可以提供结构设计的数据支持，为结构工程的实施提供参考。
静定结构位移计算是结构力学中的一个重要方向，其计算方法基于静力学方程进行，其特点是简单、可靠和实用。
静定结构的位移计算
1）欲求一点的线位移，加一个单位集中力
2）欲求一处的角位移，加一个单位集中力偶
3）欲求两点的相对线位移，在两点的连线上加 一对指向相反的单位集中力
4）欲求两处的相对角位移，加一对指向相反 的单位集中力偶
5）欲求桁架某杆的角位移在杆的两端加一对 平行、反向的集中力，两力形成单位力偶。力 偶臂为d ，每一力的大小为1/d
在小变形条件下， 12由图示的原始形状、尺
寸计算，并称此状态为虚功计算的位移状态。与 之相应， FP1单独作用的状态 为虚功计算的力状 态。
当力状态的外力在位移状态的位移上作外力虚功 时，力状态的内力也在位移状态各微段的变形上 作内力虚功。
根据功和能的原理可得变形体的虚功原理： 任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任 意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移 上所作虚功的总和，等于变形体的内力在虚 位移的相应变形上所作虚功的总和。
定的施工措施，因而也需要进行位移计算。
1.2 结构位移计算的一般公式
一、变形体的虚功原理 功：力对物体在一段路程上累积效应的量度，
也是传递和转换能量的量度 实功 ：力在自身引起的位移上所作的功
当静力加载时，即： FP1由0增加至FP1
11 由0增加至 11
力Fp1在位移
11
上作的实功
W11=
1 2
虚功原理也可以简述为： “外力的虚功等于内力的虚变形功”。
二、 单位荷载法
1、定义：应用虚功原理，通过加单位荷 载求实际位移的方法。
2、计算结构位移的一般公式
F
K+
FRiCi= M
d +
F
N
du
+
F
Q
dv
式中， F =1 则
2）欲求一处的角位移，加一个单位集中力偶
3）欲求两点的相对线位移，在两点的连线上加 一对指向相反的单位集中力
4）欲求两处的相对角位移，加一对指向相反 的单位集中力偶
5）欲求桁架某杆的角位移在杆的两端加一对 平行、反向的集中力，两力形成单位力偶。力 偶臂为d ，每一力的大小为1/d
在小变形条件下， 12由图示的原始形状、尺
寸计算，并称此状态为虚功计算的位移状态。与 之相应， FP1单独作用的状态 为虚功计算的力状 态。
当力状态的外力在位移状态的位移上作外力虚功 时，力状态的内力也在位移状态各微段的变形上 作内力虚功。
根据功和能的原理可得变形体的虚功原理： 任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任 意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移 上所作虚功的总和，等于变形体的内力在虚 位移的相应变形上所作虚功的总和。
定的施工措施，因而也需要进行位移计算。
1.2 结构位移计算的一般公式
一、变形体的虚功原理 功：力对物体在一段路程上累积效应的量度，
也是传递和转换能量的量度 实功 ：力在自身引起的位移上所作的功
当静力加载时，即： FP1由0增加至FP1
11 由0增加至 11
力Fp1在位移
11
上作的实功
W11=
1 2
虚功原理也可以简述为： “外力的虚功等于内力的虚变形功”。
二、 单位荷载法
1、定义：应用虚功原理，通过加单位荷 载求实际位移的方法。
2、计算结构位移的一般公式
F
K+
FRiCi= M
d +
F
N
du
+
F
Q
dv
式中， F =1 则
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y0
B
PL3 12EI
A
C
L
B
M图
规则： 1、同侧相乘为正，异侧相乘为负 2、取y0的图必须是直线图，不能是曲线或折线图，是折线图时，应分 段进行图乘。
P
【解题方法1】 （对） 1.绘制 M P图、M图 2.图乘法计算位移
1 L L L2 ； y 5PL 2 2 2 8 6 y Cy EI 1 L 5PL EI 8 6
整个截面对x轴惯性矩Ix=
A
y dA
2
o
x
任意截面dA对y轴惯性矩Iy=x2dA 整个截面对y轴惯性矩Iy= x 2dA
A
【例】计算矩形截面对图示X轴的惯性矩IX 【解】
IX
A
2 y y dA dA
2
h 2 h 2
y 2bdy b y 2dy
h by 2 3 h 2
2 L PL PL2；
1 2
A L M p图
P B
PL
y1 0
y2
L 2
（同侧）
y1 0
B
1
By
1 (1y 1 2 y 2 ) EI
y2
L
3 PL 1 PL2 L ( 0 PL2 ) 2EI EI 2 2
A L M图
规则： 1、同侧相乘为正，异侧相乘为负 2、取y0的图必须是直线图，不能是曲线或折线图，是折线图时，应分 段进行图乘。
常见图形的面积和水平形心位置
【例题：补1】用图乘法计算图示悬臂梁上B点的垂直位移，EI＝ 常数。
P
A L
解题步骤(2步): 1. 绘制 Mp图、M图
B
荷载作用下 M p图、单位荷载作用下 M图
2. 图乘法计算位移
P
【解】
A B L
PL
2
1.绘制 M P图、M图 2.图乘法计算位移
1 PL 1 L PL 2 2 PL2 2L 1 y 1 3 By 2 EI EI
3
h 2 h 2
h 2 h 2
h 2 h 2 b
dy y
bh 3 12
可查表：P271页表附1-1
形心（P268）
XC
YC
y xA xc C yc o x dA yA
xdA
A
A
A
ydA A
xdA — 截面对面对y轴的
A
ydA — 截面对x轴的静矩
A
均质等厚薄板，其形心位置与重心重合（查表附录二）
当截面有几个简单图形（矩形、圆心）组成时，组合截
面的形心位置按以下公式计算：
y
i ci
i ci
0.12m
XC
A x
i 1
n
y2
A A Ai — 第i个截面面积
； YC
A y
i 1
n
Ⅰ
C1 C
0.4m
Ⅱ
C2
yc
y1
Xc i — 第i个截面形心位置的 x坐标
Yc i — 第i个截面形心位置的 y坐标
C q A 4a 3 B D
qa2 2 qa2 2
a
qa2 qa2
C
I2=∞
D
Rbx=qa
I1
A M p图
I1
B
3qa 3qa Ray=- 8 Rby= 8 在外力作用下支座反力
1
C
D
a
a 1 C D a
A 4a 3
B
Rbx=1
3a 3a Rby= Ray=- 4 4 在C点单位力作用受力图
A M图
第十三章 静定结构位移计算
内容： 图乘法计算位移
B P
Δ By
P B A L
Δ Bx
Δ By
L
A L
1/· 100
图乘法公式：
.y 0 EI
- 是弯矩图 M（或 M）的面积； P
y 0 - 是弯矩图 M （或 M）的形心对应的 M（或M P）的纵坐标； P
E - 弹性模量（比例系数） （MP a）；
P
图乘法公式：
A L
PL C ω A L Mp 图
B
ω.y 0 ΔΣ EI
- 是弯矩图 M（或 M）的面积； P
P B
y 0 - 是弯矩图 M （或 M）的形心对应的 M（或M P）的纵坐标； P
E - 弹性模量（比例系数） （MP a）；
I - 截面惯性距（ mm ）；
4
L y0 A L M图
A
Mq 图 1
y0
C L 4
y0
B
5qL 384EI
4
M图
1、同侧相乘为正，异侧相乘为负 规则： 2、取y0的图必须是直线图，不能是曲线或折线图，是折线 图时，应分段进行图乘。
【例题3】用图乘法计算图示悬臂梁中点C的位移，EI＝常数。
P A C L B
课本给了两种解题方法，其中一种方法是错的。
P C ω1 B
2 2L y1 L 3 3
A
L Mp 图
L 1 y1 A L M图 B
PL3 3EI
1、同侧相乘为正，异侧相乘为负 注意：
2、Mp图、M图均为直线图时， 、y计算图形可互换。
【例题1】用图乘法计算图示悬臂梁上B点的垂直位移，EI＝常数。
q A B
L
解题步骤(2步): 1. 绘制 Mp图、M图 2. 图乘法计算位移
B
【解】 qa2 2ω C 1.绘制 M P图、M图 （先支座反力，再弯矩图） 4 2.图乘法计算位移
Cx y y y y 1 1 2 2 3 3 4 4 EI 1 EI 2 EI 2 EI 1 1y 1 2 y 2 3 y 3 4 0 EI 1 EI 1 1y 1 EI 1
L
L
【习题13-1】求图示刚架自由端E点的竖向位移。EI＝常数。
B
C
L
A L
P D L E
2PL
【解】 1.绘制 M P图、M图 2.图乘法计算位移
ω3 B ω4
PL C
2PL
ω5
A PL D
ω 2 PL 1
P E
2L 1 PL2 （同侧） 1 L PL ； y1 2 2 3 y 2 L （同侧） ω 2 PL L PL2；
M p图
5L L PL2 （同侧） 2L y 3 ω 3 L PL ； y3 3 2 2 L y 4C B 3L ２ ω4 L PL PL ； y4 （同侧） 2 y5 2L y L2 ２ ω 5 L 2PL 2PL ； y 5 2L （同侧）
By 1 (1y 1 2 y 2 3 y 3 4 y 4 5 y 5 ) EI
单位力 1
B
图乘法公式：
ω.y 0 ΔΣ EI
- 是弯矩图 M（或 M）的面积； P
y 0 - 是弯矩图 M （或 M）的形心对应的 M（或M P）的纵坐标； P
E - 弹性模量（比例系数） （MP a）；
I - 截面惯性距（ mm 4 ）；
截面惯性矩（P269）
y x y dA
任意截面dA对X轴惯性矩Ix=y2dA
【例题2】用图乘法计算图示简支梁在均布荷载作用下中点C的挠 度，EI＝常数。
q A C L B
q
【解】
1.绘制 Mq图、M图
A
C L
B
A
ω
C
ω
B
2.图乘法计算位移
2 L qL qL y 5 L 5L ； 0 8 4 32 3 2 8 24
2 3
qL2 8
By
y0 2 qL3 5L 2 EI EI 24 32
2 L PL PL2；
1 2
A L M p图
P B
PL
2L y1 3
y2 L
（同侧）
（同侧）
y2
L
L
y1
1
B
L
By
1 (1y 1 2 y 2 ) EI
3 1 PL2 2L 4 PL ( PL2 L) EI 2 3 3EI
A L M图
ω3
规则： 1、同侧相乘为正，异侧相乘为负 2、取y0的图必须是直线图，不能是曲线或折线图，是折线图时，应分 段进行图乘。
【例题：补2】求图示静定刚架B点的竖向位移。EI＝常数
P B
L
A L
PL
【解】 1.绘制 M P图、M图 2.图乘法计算位移
1 PL2 1 L PL ； 2 2
P
【解题方法1】 （错） 1.绘制 M P图、M图 2.图乘法计算位移
A
PL
C L
B
1 PL2 1 L L ω L PL ；y 0 （同侧） A C 2 2 3 2 6 L L y 0 3 Cy EI Mp 图 2 L 1 PL L 2 1 EI 2 6
XC
x 0.2m 0.2m 0.2m
A x
i 1 i
n
ci
A
A1x c1 A 2 x c 2 0.6 0.12 0 0.2 0.4 0 0.6 0.12 0.2 0.4 A
0
0.323(m)
YC
A y
i 1 i
n
ci
A
A1 y c1 A 2 y c 2 0.6 0.12 0.56 0.2 0.4 0.2 A 0.6 0.12 0.2 0.4
B
PL3 12EI
A
C
L
B
M图
规则： 1、同侧相乘为正，异侧相乘为负 2、取y0的图必须是直线图，不能是曲线或折线图，是折线图时，应分 段进行图乘。
P
【解题方法1】 （对） 1.绘制 M P图、M图 2.图乘法计算位移
1 L L L2 ； y 5PL 2 2 2 8 6 y Cy EI 1 L 5PL EI 8 6
整个截面对x轴惯性矩Ix=
A
y dA
2
o
x
任意截面dA对y轴惯性矩Iy=x2dA 整个截面对y轴惯性矩Iy= x 2dA
A
【例】计算矩形截面对图示X轴的惯性矩IX 【解】
IX
A
2 y y dA dA
2
h 2 h 2
y 2bdy b y 2dy
h by 2 3 h 2
2 L PL PL2；
1 2
A L M p图
P B
PL
y1 0
y2
L 2
（同侧）
y1 0
B
1
By
1 (1y 1 2 y 2 ) EI
y2
L
3 PL 1 PL2 L ( 0 PL2 ) 2EI EI 2 2
A L M图
规则： 1、同侧相乘为正，异侧相乘为负 2、取y0的图必须是直线图，不能是曲线或折线图，是折线图时，应分 段进行图乘。
常见图形的面积和水平形心位置
【例题：补1】用图乘法计算图示悬臂梁上B点的垂直位移，EI＝ 常数。
P
A L
解题步骤(2步): 1. 绘制 Mp图、M图
B
荷载作用下 M p图、单位荷载作用下 M图
2. 图乘法计算位移
P
【解】
A B L
PL
2
1.绘制 M P图、M图 2.图乘法计算位移
1 PL 1 L PL 2 2 PL2 2L 1 y 1 3 By 2 EI EI
3
h 2 h 2
h 2 h 2
h 2 h 2 b
dy y
bh 3 12
可查表：P271页表附1-1
形心（P268）
XC
YC
y xA xc C yc o x dA yA
xdA
A
A
A
ydA A
xdA — 截面对面对y轴的
A
ydA — 截面对x轴的静矩
A
均质等厚薄板，其形心位置与重心重合（查表附录二）
当截面有几个简单图形（矩形、圆心）组成时，组合截
面的形心位置按以下公式计算：
y
i ci
i ci
0.12m
XC
A x
i 1
n
y2
A A Ai — 第i个截面面积
； YC
A y
i 1
n
Ⅰ
C1 C
0.4m
Ⅱ
C2
yc
y1
Xc i — 第i个截面形心位置的 x坐标
Yc i — 第i个截面形心位置的 y坐标
C q A 4a 3 B D
qa2 2 qa2 2
a
qa2 qa2
C
I2=∞
D
Rbx=qa
I1
A M p图
I1
B
3qa 3qa Ray=- 8 Rby= 8 在外力作用下支座反力
1
C
D
a
a 1 C D a
A 4a 3
B
Rbx=1
3a 3a Rby= Ray=- 4 4 在C点单位力作用受力图
A M图
第十三章 静定结构位移计算
内容： 图乘法计算位移
B P
Δ By
P B A L
Δ Bx
Δ By
L
A L
1/· 100
图乘法公式：
.y 0 EI
- 是弯矩图 M（或 M）的面积； P
y 0 - 是弯矩图 M （或 M）的形心对应的 M（或M P）的纵坐标； P
E - 弹性模量（比例系数） （MP a）；
P
图乘法公式：
A L
PL C ω A L Mp 图
B
ω.y 0 ΔΣ EI
- 是弯矩图 M（或 M）的面积； P
P B
y 0 - 是弯矩图 M （或 M）的形心对应的 M（或M P）的纵坐标； P
E - 弹性模量（比例系数） （MP a）；
I - 截面惯性距（ mm ）；
4
L y0 A L M图
A
Mq 图 1
y0
C L 4
y0
B
5qL 384EI
4
M图
1、同侧相乘为正，异侧相乘为负 规则： 2、取y0的图必须是直线图，不能是曲线或折线图，是折线 图时，应分段进行图乘。
【例题3】用图乘法计算图示悬臂梁中点C的位移，EI＝常数。
P A C L B
课本给了两种解题方法，其中一种方法是错的。
P C ω1 B
2 2L y1 L 3 3
A
L Mp 图
L 1 y1 A L M图 B
PL3 3EI
1、同侧相乘为正，异侧相乘为负 注意：
2、Mp图、M图均为直线图时， 、y计算图形可互换。
【例题1】用图乘法计算图示悬臂梁上B点的垂直位移，EI＝常数。
q A B
L
解题步骤(2步): 1. 绘制 Mp图、M图 2. 图乘法计算位移
B
【解】 qa2 2ω C 1.绘制 M P图、M图 （先支座反力，再弯矩图） 4 2.图乘法计算位移
Cx y y y y 1 1 2 2 3 3 4 4 EI 1 EI 2 EI 2 EI 1 1y 1 2 y 2 3 y 3 4 0 EI 1 EI 1 1y 1 EI 1
L
L
【习题13-1】求图示刚架自由端E点的竖向位移。EI＝常数。
B
C
L
A L
P D L E
2PL
【解】 1.绘制 M P图、M图 2.图乘法计算位移
ω3 B ω4
PL C
2PL
ω5
A PL D
ω 2 PL 1
P E
2L 1 PL2 （同侧） 1 L PL ； y1 2 2 3 y 2 L （同侧） ω 2 PL L PL2；
M p图
5L L PL2 （同侧） 2L y 3 ω 3 L PL ； y3 3 2 2 L y 4C B 3L ２ ω4 L PL PL ； y4 （同侧） 2 y5 2L y L2 ２ ω 5 L 2PL 2PL ； y 5 2L （同侧）
By 1 (1y 1 2 y 2 3 y 3 4 y 4 5 y 5 ) EI
单位力 1
B
图乘法公式：
ω.y 0 ΔΣ EI
- 是弯矩图 M（或 M）的面积； P
y 0 - 是弯矩图 M （或 M）的形心对应的 M（或M P）的纵坐标； P
E - 弹性模量（比例系数） （MP a）；
I - 截面惯性距（ mm 4 ）；
截面惯性矩（P269）
y x y dA
任意截面dA对X轴惯性矩Ix=y2dA
【例题2】用图乘法计算图示简支梁在均布荷载作用下中点C的挠 度，EI＝常数。
q A C L B
q
【解】
1.绘制 Mq图、M图
A
C L
B
A
ω
C
ω
B
2.图乘法计算位移
2 L qL qL y 5 L 5L ； 0 8 4 32 3 2 8 24
2 3
qL2 8
By
y0 2 qL3 5L 2 EI EI 24 32
2 L PL PL2；
1 2
A L M p图
P B
PL
2L y1 3
y2 L
（同侧）
（同侧）
y2
L
L
y1
1
B
L
By
1 (1y 1 2 y 2 ) EI
3 1 PL2 2L 4 PL ( PL2 L) EI 2 3 3EI
A L M图
ω3
规则： 1、同侧相乘为正，异侧相乘为负 2、取y0的图必须是直线图，不能是曲线或折线图，是折线图时，应分 段进行图乘。
【例题：补2】求图示静定刚架B点的竖向位移。EI＝常数
P B
L
A L
PL
【解】 1.绘制 M P图、M图 2.图乘法计算位移
1 PL2 1 L PL ； 2 2
P
【解题方法1】 （错） 1.绘制 M P图、M图 2.图乘法计算位移
A
PL
C L
B
1 PL2 1 L L ω L PL ；y 0 （同侧） A C 2 2 3 2 6 L L y 0 3 Cy EI Mp 图 2 L 1 PL L 2 1 EI 2 6
XC
x 0.2m 0.2m 0.2m
A x
i 1 i
n
ci
A
A1x c1 A 2 x c 2 0.6 0.12 0 0.2 0.4 0 0.6 0.12 0.2 0.4 A
0
0.323(m)
YC
A y
i 1 i
n
ci
A
A1 y c1 A 2 y c 2 0.6 0.12 0.56 0.2 0.4 0.2 A 0.6 0.12 0.2 0.4