傅里叶变换(周期和非周期信号)
4种傅里叶变换
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4种傅里叶变换
DFT的变换 的变换
x(nT)=x(n)
Tp = 1 F
Tp = NT
x(e jkΩ0T ) x(k)
0 T 2T 1 2
Ωs = 2 π T 1 fs = T
NT
N
Ω0 =
2 π =2 F π Tp
t n
Ωs = N 0 Ω
( )
--Ω
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4种傅里叶变换
4.离散傅里叶变换 离散傅里叶变换(DFT) 离散傅里叶变换
周期性离散时间信号从上可以推断： 周期性离散时间信号从上可以推断： 从上可以推断 周期性时间信号可以产生频谱是离散的 离散时间信号可以产生频谱是周期性的。 离散时间信号可以产生频谱是周期性的。 得出其频谱为周期性离散的 得出其频谱为周期性离散的。 周期性离散
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4种傅里叶变换
四种傅里叶变换形式的归纳
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Ω
正: X(e jω ) =
1 反 : x(n) = 2π
n=−∞
x(n)e − jnω ∑
∞
∫π
−
π
X(e jπ )e jnω dω
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4种傅里叶变换
对称性
时域信号 离散的 非周期的 频域信号 周期的 连续的
时域：非周期、离散（取样间隔为T 时域：非周期、离散（取样间隔为T） 频域：连续、周期（ 频域：连续、周期（周期为 Ω = 2π ） s
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2.5信号的频域分析(非周期信号)2.6傅立叶变换的性质
能 量 谱
由此最后得
E = ∫ x2 (t )dt =
−∞ ∞
1 ∞ 2 X(ω) dω 2π ∫−∞
(16)
式（15）亦称巴塞伐尔方程或 能量等式。它表示，一个非周 期信号x(t)在时域中的能量可由 它在频域中连续频谱的能量来 表示。 式（15）亦可写成
E= 1 ∞ 2 X(ω) dω 2π ∫−∞ 1 ∞ 2 = ∫ X(ω) dω = ∫ S(ω)dω
证明： 由欧拉公式
X (ω) = ∫ x(t)e
−∞
∞ −∞
∞
− jωt
dt
∞ −∞
X (ω) = ∫ x(t) cosωtdt − j∫ x(t) sin ωtdt
= Re X (ω) + j Im X (ω)
若x(t)为实函数
Re X (ω) = Re X (−ω) Im X (ω) = − Im X (−ω)
x(t) = Arect
(t − t0 )
T
图2.30 具有时移t0的矩形脉冲
X( f ) = AT sin c(πfT) sin c(πfT) > 0 − 2πt0 f , ϕ( f ) = − 2πt0 f ±π , sin c(πfT) < 0
测试技术
2.6傅里叶变换的性质 2.6傅里叶变换的性质
∫
∞
−∞
x(t) dt < ∞
但上述条件并非必要条件 必要条件。因为当引入广义函数概 必要条件 念之后，许多原本不满足绝对可积条件的函数也能进行傅 里叶变换。 若将上述变换公式中的角频率ω用频率f来替代，则由 于ω=2πf，式（5）和（6）分别变为
X( f ) = ∫ x(t)e− j 2πft dt
第3章 连续信号的频谱——傅里叶变换
• 直到19世纪末，制造出电容器。20世纪初，谐振电路、滤波
器、正弦振荡器等一系列问题的解决为正弦函数与傅里叶分 析的在通信系统中的应用开辟了广阔的前景。 • 从此，在通信与控制系统的理论研究和实际应用之中，采用 频率域（频域）的分析方法比经典的时间域（时域）方法有 许多突出的优点。 • 当今，傅里叶分析方法已成为信号分析与系统设计不可缺少 的重要工具。 • 20世纪70年代，出现的各种二值正交函数（沃尔什函数）， 它对通信、数字信号处理等技术领域的研究提供了多种途径 和手段。使人们认识到傅里叶分析不是信息科学与技术领域 中唯一的变换域方法。
nw1 nw1
0
w
nw1
w1 0 w1
nw1
w
正、负频率相应项成对合并，才是实际频谱函数。
4.周期信号的功率特性
—时域和频域能量守恒定理
周期信号的平均功率P：在一个周期内求平方再求积分。
1 t0 T1 2 f (t )dt P f (t ) t T1 0 1 1 2 2 2 2 2 a0 ( an bn ) c0 cn 2 n 1 2 n 1
其傅里叶级数三角展开式中 仅含基波和奇次谐波
例子
例如：奇谐函数
f (t )
E 2
T1 2
f (t )
E 2
T 1 2
0
E 2
T1 2
t
0
E 2
T1 2
t
sin( w1t )
E 2
f (t )
E 2
T1 2 T 1 2 T1 2
f (t )
0
E 2
t
0
E 2
T1 2
第七3章 非周期信号的傅里叶变换
则
G( ) g (t )e jt dt 2 Ee jt dt
2
13
7-5典型信号的傅立叶变换
E sin 2 E Sa ( ) 2 2
表明单个门函数的傅立叶变换是一个抽样函数。 n ( n 1, 2, ) Sa ( )0 。 当 时， 2 2 2 n 1 G ( ) 取 ， 的第一个零点的频率为 c ， 定义 0 ~ c （或者 0 ~ fc ）之间的频率范围称为信号宽度。
这是傅立叶变换存在的充分条件，而不是必要条件， 因为有些不满足绝对可积条件的信号，但当引入了冲激函 数 ( ) 之后，就可以大大地扩展傅立叶变换的范围。
12
7-5典型信号的傅立叶变换
1 单个门函数 g (t )
g(t)
E
2
0
2
t
单个门函数
其幅度为E，宽度为
， F[ g (t )] G( )，
• 原来的离散量 n1 演变成连续量 。
• 离散求和 运算 变成连续积分
运算
，即
（ 1）
（2 ）
F ( )
1 f (t ) 2
f (t )e jt dt
F ( )e jt d
式（1）（2）是一对傅立叶变换对，式（2）称为非周 期信号 f (t ) 的傅立叶正变换或称为频谱密度函数.
2 ，用指数形式傅立 T 为周期，脉宽为 ，基频为 1 T 叶级数展开可得
1 T Fn 2T fT (t )e jn1t dt T 2
1 2 E jn1t Ee dt T 2 T
傅里叶变换公式
连续时间周期信号傅里叶级数：⎰=T dt t x Ta )(1⎰⎰--==T tTjkT tjk k dt et x Tdt et x Ta πω2)(1)(1离散时间周期信号傅里叶级数：[][]()∑∑=-=-==Nn nN jk Nn njkwk e n x Ne n x Na /2110π连续时间非周期信号的傅里叶变换：()⎰∞∞--=dt e t x jw Xjwt )(连续时间非周期信号的傅里叶反变换：()dw e jw X t x jwt ⎰∞∞-=π21)(连续时间周期信号傅里叶变换：∑+∞-∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=k k kw a jw X T 22)(πδπ连续时间周期信号傅里叶反变换：()dw e w w t x jwt ⎰∞∞--=0221)(πδπ离散时间非周期信号傅里叶变换：∑∞-∞=-=nnj e n x eX ωωj ][)(离散时间非周期信号傅里叶反变换：⎰=π2d e )(e π21][ωωωn j j X n x离散时间周期信号傅里叶变换：∑+∞-∞=-=kk k a X )(π2)e (0j ωωδω离散时间周期信号傅里叶反变换：[]ωωωδωd e n n j ⎰--=π20πl)2(π2π21][x拉普拉斯变换：()dt e t s Xst -∞∞-⎰=)(x拉普拉斯反变换：()()s j21t x j j d e s X st ⎰∞+∞-=σσπZ 变换：∑∞-∞=-=nnz n x X ][)z (Z 反变换： ⎰⎰-==z z z X r z X n x n nd )(πj21d )e ()(π21][1j π2ωω。
信号与系统第3章傅里叶变换
sin( k n) x k n
0(k , n 1,2,3,..., k n)
2．级数形式
周期f信 t,周 号期 T1,基 为波
在满足狄氏条件时，可展成
角 1频 2 T 1 率
为
f(t)a 0 a nco n s 1 tb nsin n 1 t 1 n 1
称为三角形式的傅里叶级数，其系数
3.1 引言
频域分析
从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里叶变换。 傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生 的，这方面的问题也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进 行正交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。
频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的 频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从 而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等重要 概念。
以上等式都可以通过计 算定积分来验证。
证明：
利用三角学中积化和差 的公式
cos kx cos nx＝1 cos(k n) x cos(k n) x
2 当k n时，有
cos kx cos nxdx 1 cos(k n) x cos(k n) xdx
2
1 2
sin( k n) x k n
cos nxdx 0(n 1,2,3,...)
sin nxdx 0(n 1,2,3,...)
sin kx cos nxdx 0(k , n 1,2,3,...)
cos kx cos nxdx 0(k , n 1,2,3,..., k n )
sin kx sin nxdx 0(k , n 1,2,3,..., k n )
条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。
sa函数的傅里叶变换推导过程
sa函数的傅里叶变换推导过程傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具，它在信号处理、图像处理等领域有广泛的应用。
傅里叶变换将一个连续信号分解成一系列的正弦和余弦函数的和，可以描述信号的频率和幅度信息。
其中，傅里叶变换的核心是计算信号的频谱，而信号的频谱可以由信号的自相关函数或互相关函数得到。
在推导傅里叶变换的过程中，我们首先需要熟悉复指数函数以及它的性质。
复指数函数的定义如下：e^(jωt) = cos(ωt) + jsin(ωt)其中，j是虚数单位，ω表示频率，t表示时间。
傅里叶变换的推导包括两个部分：傅里叶级数和傅里叶变换。
傅里叶级数适用于周期信号，而傅里叶变换适用于非周期信号。
在这里，我们以非周期信号的情况来推导傅里叶变换。
假设我们有一个连续时间域信号x(t)，它的傅里叶变换为X(ω)。
那么，傅里叶变换的定义可以表示为：X(ω) = ∫[x(t) * e^(-jωt)] dt其中，∫表示积分运算，x(t)*e^(-jωt)表示信号x(t)与复指数函数的乘积。
根据欧拉公式，复指数函数可以表示为：e^(-jωt) = cos(-ωt) + jsin(-ωt) = cos(ωt) - jsin(ωt)将其代入傅里叶变换的定义中，得到：X(ω) = ∫[x(t) * (cos(ωt) - jsin(ωt))] dt进一步展开，可以得到：X(ω) = ∫[x(t)cos(ωt)] dt –j∫[x(t)sin(ωt)] dt这样，我们可以将信号x(t)表示为正弦和余弦函数的和的形式：x(t) = (1/2π) ∫[X(ω)cos(ωt)] dω + (1/2π)∫[X(ω)sin(ωt)] dω这就是傅里叶级数的表达式，它将信号x(t)表示为一系列的正弦和余弦函数的和，其中X(ω)是信号的频谱。
接下来，我们将推导傅里叶变换的表达式。
首先，我们考虑连续时间的傅里叶级数表达式。
我们可以将频率ω看作连续变量，将级数变为积分，得到如下表达式：X(ω) = ∫[x(t)cos(ωt)] dt –j∫[x(t)sin(ωt)] dt然后，我们将上式中的正弦和余弦函数用正弦函数的复指数形式来替代，得到：X(ω) = ∫[x(t) * e^(-jωt)] dt这就是傅里叶变换的表达式。
信号与系统-3章_傅里叶变换
t2 t1
f(t)cos(n1t)dt,
t2 f(t)dt, n0
t1
n0
数
bnt1 t2t1 tf2s(tin )s2i(n n(n1t)1td)tdtt22 t1
t2 t1
f(t)sin(n1t)dt
或 f(t)a 2 0n 1(a nc o sn1 t b nsinn1 t)
-T0 O T0 2T0 t
f( t) n f1 ( t n T 0 ) n [A T A 0 ( t n T 0 ) ] [ u ( t n T 0 ) u ( t ( n 1 ) T 0 ) ]
将 f ( t ) 去除直流分量，则仅剩交流分量 f A C ( t )
t2
t1
cos(n1t)cos(m1t)dt 0
sin(n1t)sin(m1t)dt
0
,
mn
（2）“单位”常数性，即当 n 0 时，有
t1 t2 c o s 2 (n1 t)d tt1 t2 s in 2 (n1 t)d t T 2 t2 2 t1
f (t)
1
T
2
o
2
谱线间隔不变 2 π
TLeabharlann 1 Fn16示意图
T
t
幅值再减小一倍
o
2π
第一个过零点再增加一倍
结论
• 由大变小，Fn 第一过零点频率增大，即 2π/
所以 f 1/ 称为信号的带宽， 确定了带宽。 • 由大变小，频谱的幅度变小。 • 由于 T 不变，谱线间隔不变，即 2π/T不变。
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t0T f(t)dt
t0
a
3
可以展开为三角形20 ts b 1si0 n t b 2si2n 0 t
a 0 (a nco n0 ts b nsinn 0 t)
n 1
式中,
1
a0 T
T
2 -T
2
f (t) dt
an
2 T
T
2 T
2
f(t)cons0td
t
bn
2 T
T
2 T
2
f(t)sinn0td
t
式中，ω0=2π/T
a
4
利用三角函数的边角关系， 还可以将一般
三角形式化为标准的三角形式
c0 a0
n1
cn an2 bn2
a
a0
1 T
T
2 -T
f (t) dt
2
an
2 T
T
2 T
2
f(t)cons0td
t
bn
2 T
T
2 T
f(t)sinn0tdt
2
2
周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数
1、 三角函数式傅里叶级数
若周期函数 f (t) 满足狄里赫利（ Dirichlet）条件:
2、指数形式的傅里叶级数
f (t) Fnejn0t n
式中，
F nT 1 T 2 T 2f(t)ej n 0td t
证明
- n
傅里叶复系数
Ne xt
a
11
Fn还可以表示成模和幅角的形式
式中，
Fn Fnejn Fn ejn
a b Fn
1 2
2 2
n
n
n
arctan
bn an
n
Fn 12（an - jbn）
cn 2
1
11
2
π n
4
0
0
0
0
－π4
0 0 0 0
－π
2
(a) 振幅频谱图
(b) 相位频谱图
例1的频谱图
a
9
周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数
2、指数形式的傅里叶级数
f (t) Fnejn0t n
式中，
F nT 1 T 2 T 2f(t)ej n 0td t
证明
- n
傅里叶复系数
a
10
周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数
f(t)12co0 st (4)co2 s0t(54 )1 2co3 s0t(2) 12co0 st (4)co2 s0t(4)1 2co3 s0t(2)
振幅谱与相位谱如下图所示。
1
f( t) 1 2 co 0 t 4 s ) c ( 2 o 0 t s 4 ) (2 c3 o 0 t s 2 )(
式中，
c0
a0
1 T
T
2 -T
2
f (t)dt
cn an2bn2,narctaban nn
a
6
周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数
1、 三角函数式傅里叶级数
任何满足狄里赫利条件的周期为T的函数f(t),
可以展开成如下两种形式的三角级数：
f(t)a0 (anco0tsbnsin 0t)正、余弦级数形式 n 1
F0 Fnej n0t
*
Fnej
n0t
n1
n1
*
F0 a0 是实数 Fn与 ， Fn是一对共轭复数
Fn1 2（ an-jn b ）F *， n1 2（ anjn b ）
a
18
F n1 2 （ an-jn b ）F *， n1 2 （ anjn b ）
由三角形式的傅里叶系数定义式
an
2 T
傅里叶（Fourier）变换
周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数 非周期信号的傅里叶变换 傅里叶变换性质
a
1
周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数
1、 三角函数式傅里叶级数
或2f、(t)指a 数0 形n 式 1的(a 傅nc里o 叶0t级s 数b nsi n 0t)
f(t)c0 cncon s0t(n)
a
12
三角形式与指数形式系数之间的关系
f(t)a0 (anco 0tsbnsi n 0t)
或
n 1
f(t)c0 cncon s0t(n)
n1
f (t) Fnejn0t n
Fn
1 T
T
2 T
2
f(t)ejn0tdt
F0
a0
c0
1 T
T
2 -T
2
f(t)dt
F nF nejn1 2a njn b1 2cnejn
三角函数 形式的频 谱图
cn 2
1
11
2
0 0 0 0
(a) 振幅频谱
a
π n
4
0
0
0
0
－π4
－π2
(b) 相位频谱
Next
14
a
15
傅里叶级数指数形式 推导
a
16
利用欧拉公式 ej n0co n0 sjsinn0
cos
n0
1 2
(e
jn 0
e jn 0
)
sin n0
1 2j
(e jn0
T
2 T
2
f(t)cons0tdt
bn
2 T
T
2 T
2
f(t)sinn0td
t
可知：
an是 n 0 的偶函数，bn是 n 0 的奇函数
当n换为-n时，有a-n= an, b-n=- bn，从而
12（a-n-jb-n） 12（anjbn）
e jn 0 )
可以将正、余弦形式的傅里叶级数进一步写成
a
17
f(t)a0 (anco 0tsbnsi n 0t)
f (t) Fnejn0t n
a a 00 n n n 1 1 1 ((a a n n-2 ejj n n b 0te 2 je n 0tj n0ta n b 2 njen jb e n0 t2 j n je 0t )j n0t)
a b Fn 1 2
2
n
n 21 2cn
1 例 的指数形式频谱图如下图所示。
1 12 4
Fn
c1
1
2 c2
2 c3
2
π
n
2
π
π
4
4
－0
0
0
－0 －0 0
0
－0 －0 －0 0 0 0 0
－π4
－π4
－π2
双边频(谱a) （幅度D频o谱uble Side Band)
(b) 相位频谱
单边频谱（Single Side Band)
f (t) a0 (an cos0t bn sin0t)
n1
a0
n1
an2 bn2
an an2 bn2
cos0t
bn an2 bn2
sin0t
a0 cn(cosn cosn0t sinn sinn0t)
n1
c0 cn cos(n0t n)
n1
a
5
f(t) c0 cncon s0t(n) n1
或
f(t) c0 cncon s0t(n) n1
谐波形式
ω0是基谐波角频率,简称基波频率。
a
7
1 例 已知周期信号f(t)如下， 画出其频谱图。
5
1
f( t) 1 2 c0 o t c s2 o 0 t s 4 ) (2 si 0 t n 2 s3 i0 tn
解 ： 将f(t)整理为标准形式