《直线与平面平行》教学设计

16 直线与平面平行

教材分析

直线与平面平行是在研究了空间直线与直线平行的基础上进行的，它是直线与直线平行的拓广，也是为今后学习平面与平面平行作准备．在直线与平面的三种位置关系中，平行关系占有重要地位，是今后学习的必备知识．所以直线与平面平行的判定定理和性质定理是这节的重点，难点是如何解决好直线与直线平行、直线与平面平行相互联系的问题．突破难点的关键是直线与直线平行和直线与平面平行的相互转化．

教学目标

1. 了解空间直线和平面的位置关系，理解和掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，进一步熟悉反证法的实质及其证题步骤．

2. 通过探究线面平行的定义、判定、性质及其应用，进一步培养学生观察、发现问题的能力和空间想象能力．

3. 培养学生的逻辑思维和合情推理能力，进而使其养成实事求是的学习态度．

任务分析

这节的主要任务是直线与平面平行的判定定理、性质定理的发现与归纳，证明与应用．学习时，要引导学生观察实物模型，分析生活中的实例，进而发现、归纳出数学事实，并在此基础上分析和探索定理的论证过程，区分判定定理和性质定理的条件和结论，理解定理的实质和直线与平面平行的判定．在运用性质时，要引导学生完成对“过直线———作平面———得交线———直线与直线平行”这一过程的理解和掌握．

教学设计

一、问题情境

教室内吊在半空的日光灯管、斜靠在墙边的拖把把柄，都可以看作直线的一部分，这些直线与地平面有何位置关系？

二、建立模型

［问题一］

1. 空间中的直线与平面有几种位置关系？

学生讨论，得出结论：

直线与平面平行、直线与平面相交（学生可能说出直线与平面垂直的情况，教师可作解释）及直线在平面内．

2. 在上述三种位置中，直线与平面的公共点的个数各是多少？

学生讨论，得出相关定义：

若直线a与平面α没有公共点，则称直线与平面α平行，记作a∥α．若直线a与平面α有且只有一个公共点，则称直线a与平面α相交．当直线a与平面α平行或相交时均称直线a不在平面α内（或称直线a在平面α外）．若直线a与平面α有两个公共点，依据公理1，知直线a上所有点都在平面α内，此时称直线a在平面α内．

3. 如何对直线与平面的位置关系的进行分类？

学生讨论，得出结论：

方法1：按直线与平面公共点的个数分：

［探索］

直线与平面平行、相交的画法．

教师用直尺、纸板演示，引导学生说明画法．

1. 画直线在平面内时，要把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形内部，如图

16-1．

2. 画直线与平面相交时要画出交点，如图16-2．

3. 画直线与平面平行时，一般要把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形外，并使它与平行四边形的一组对边或平面内的一条直平行，如图16-3．

［问题二］

1. 如何判定直线与平面平行？教师演示：（1）教师先将直尺放在黑板内，然后慢慢平移到平面外．

（2）观察教室的门，然后教师转动的门的一条门边给人平行于墙面的感觉．

学生讨论，归纳和总结，形成判定定理．

定理如果不在平面内的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．

已知：ａα，ｂα，ａ∥ｂ．

求证：ａ∥α．

分析：要证明直线与平面平行，根据定义，只要证明直线与平面没有公共点，这时可考虑使用反证法．

证明：假设ａ不平行于α，由ａα，得ａ∩α＝A．若A∈ｂ，则与已知ａ∥ｂ矛盾；若A b，则a与b是异面直线，与a∥b矛盾．所以假设不成立，故ａ∥α．

总结：此定理有三个条件，（1）ａα，（2）ｂα，（3）ａ∥ｂ．三个条件缺少一个就不能推出ａ∥α这一结论．此定理可归纳为“若线线平行，则线面平行”．

2. 当直线与平面平行时，直线与平面内的直线有什么位置关系？是否平行？

教师演示：教师先让直尺平行于讲桌面，再将纸板经过直尺，慢慢绕直尺旋转使纸板与桌面相交．

学生讨论得出：直尺平行于纸板与桌面的交线．

师生共同归纳和总结，形成性质定理．

定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行．

已知：l∥a，lβ，α∩β＝ｍ．

求证：l∥m．

证明：因为l∥α，所以l∩α＝，又因为ｍα，所以l∩ｍ＝，由于l，ｍ都在β内，且没有公共点，所以l∥m．

总结：此定理的条件有三个：

（1）l∥α，即线面平行．

（2）lβ，即过线作面．

（3）β∩α＝ｍ，即面面相交．

三个条件缺一不可，此定理可简记为“若线面平行，则线与交线平行”．

三、解释应用

［例题］

1. 已知：如图16-5，空间四边形ABCD，E，F分别是AB，AD的中点．求证：EF∥平面BCD．

证明：连接BD，在△ABD中，

因为E，F分别是AB，AD的中点，

所以EF∥BD．

又因为BD是平面ABD与平面BCD的交线，EF∥平面BCD，所以EF∥平面BCD．

2. 求证：如果过一个平面内一点的直线平行于与该平面平行的一条直线，则这条直线在这个平面内．

已知：l∥α，点P∈α，Ｐ∈ｍ，ｍ∥l（如图16-6）．

求证；mα．

证明：设l与P确定的平面为β，且α∩β＝ｍ′，则ｌ∥ｍ′．又知ｌ∥ｍ，ｍ∩ｍ′＝Ｐ，由平行公理可知，ｍ与ｍ′重合．所以mα．

［练习］

1. 已知：如图16-7，长方体AC′．求证：B′D′∥平面ABCD．

2. 如图16-8，一个长方体木块ABCD－A1B1C1D1，如果要经过平面A1C1内一点P和棱BC将木块锯开，那么应该怎样画线？

四、拓展延伸

1. 教室内吊在半空中的日光灯管平行于地面，也平行于教室的一墙面，试探讨它和这个墙面与地面的交线之间有什么样的位置关系？

2. 已知：如图16-9，正方形ABCD和正方形ABEF不在同一平面内，点M，N分别是对角线AC，BF上的点．问：当M，N 满足什么条件时，MN∥平面BCE．

3. 如果三个平面两两相交于三条直线，那么这三条直线有怎样的位置关系．

点评

这篇案例从学生身边的实例出发，引导学生抽象出直线与平面平行、相交的定义，又通过演示，总结和归纳出直线与平面平行的判定及性质定理，整个过程都把学科理论和学生面临的实际生活结合起来，使学生能较好地理解和把握学科知识．同时，培养了学生的探索创新能力和实践能力，激发了学生的学习兴趣．