菱形的判定(含答案)
初二数学下册知识点《菱形的判定》150例题及解析
初二数学下册知识点《菱形的判定》150例题及解析副标题一、选择题（本大题共65小题，共195.0分）1.如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法：①若AC=BD，则四边形EFGH为矩形；②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】解：因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，故④选项正确，故选：A．因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形．2.如图，在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（）A. 若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形B. 若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形C. 若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形D. 若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形【答案】D【解析】解：若AD⊥BC，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是矩形；选项A错误；若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是菱形，不一定是矩形；选项B错误；若BD=CD，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形；选项C错误；若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；正确；故选：D．由矩形的判定和菱形的判定即可得出结论．本题考查了矩形的判定、菱形的判定；熟记菱形和矩形的判定方法是解决问题的关键．3.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有（）A. AC⊥BDB. AB=BCC. AC=BDD. ∠1=∠2【答案】C【解析】解：A.正确．对角线垂直的平行四边形的菱形．B.正确．邻边相等的平行四边形是菱形．C.错误．对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形．D.正确．可以证明平行四边形ABCD的邻边相等，即可判定是菱形．故选：C．根据平行四边形的性质．菱形的判定方法即可一一判断．本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法．4.下列判断错误的是（）A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形B. 四个内角都相等的四边形是矩形C. 四条边都相等的四边形是菱形D. 两条对角线垂直且平分的四边形是正方形【答案】D【解析】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，故本选项错误；B、四个内角都相等的四边形是矩形，正确，故本选项错误；C、四条边都相等的四边形是菱形，正确，故本选项错误；D、两条对角线垂直且平分的四边形是正方形，错误，应该是菱形，故本选项正确．故选：D．根据平行四边形的判定、矩形的判定，菱形的判定以及正方形的判定对各选项分析判断即可得解．本题考查了正方形的判定，平行四边形、矩形和菱形的判定，熟练掌握各四边形的判定方法是解题的关键．5.下列说法正确的是（）A. 对角线互相垂直的四边形是菱形B. 矩形的对角线互相垂直C. 一组对边平行的四边形是平行四边形D. 四边相等的四边形是菱形【答案】D【解析】解：A、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；故本选项错误；B、矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直；故本选项错误；C、两组对边分别平行的四边形是平行四边形；故本选项错误；D、四边相等的四边形是菱形；故本选项正确．故选：D．直接利用菱形的判定定理、矩形的性质与平行四边形的判定定理求解即可求得答案．此题考查了矩形的性质、菱形的判定以及平行四边形的判定．注意掌握各特殊平行四边形对角线的性质是解此题的关键．6.如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是A. 当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，四边形EFGH为菱形B. 当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形C. 当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形D. 当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形【答案】D【解析】解：A．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC=BD时，存在EF=FG=GH=HE，故四边形EFGH为菱形，故A正确；B．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC⊥BD时，存在∠EFG=∠FGH=∠GHE=90°，故四边形EFGH为矩形，故B正确；C．如图所示，若EF∥HG，EF=HG，则四边形EFGH为平行四边形，此时E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点，故C正确；D．如图所示，若EF=FG=GH=HE，则四边形EFGH为菱形，此时E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点，故D错误；故选：D．连接四边形各边中点所得的四边形必为平行四边形，根据中点四边形的性质进行判断即可．本题主要考查了中点四边形的运用，解题时注意：中点四边形的形状与原四边形的对角线有关．7.下列命题中，真命题是( )A. 对角线相等的四边形是矩形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形【答案】C【解析】【分析】本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定．解答此题时，必须理清矩形、正方形、菱形与平行四边形间的关系．A、根据矩形的定义作出判断；B、根据菱形的性质作出判断；C、根据平行四边形的判定定理作出判断；D、根据正方形的判定定理作出判断．【解答】解：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形，故本选项错误；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项正确；D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故本选项错误，故选：C．8.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO=CO，BO=DO．添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是（）A. AB=ADB. AC=BDC. AC⊥BDD. ∠ABO=∠CBO 【答案】B【解析】解：∵AO=CO，BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形，当AB=AD或AC⊥BD时，均可判定四边形ABCD是菱形；当∠ABO=∠CBO时，由AD∥BC知∠CBO=∠ADO，∴∠ABO=∠ADO，∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形；当AC=BD时，可判定四边形ABCD是矩形；故选：B．根据菱形的定义及其判定、矩形的判定对各选项逐一判断即可得．本题主要考查菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的定义和各判定及矩形的判定．9.下列命题中正确的是（）A. 对角线相等的四边形是菱形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 对角线相等的平行四边形是菱形D. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形【答案】D【解析】解：对角线互相垂直平分的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故选：D．根据菱形对角线互相垂直平分的判定方法进行解答．此题主要考查的是菱形的判定方法：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形．10.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（）A. AB=ADB. AC⊥BDC. AC=BDD. ∠BAC=∠DAC 【答案】C【解析】解：A、根据菱形的定义可得，当AB=AD时▱ABCD是菱形；B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判断，▱ABCD是菱形；C、对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，命题错误；D、∠BAC=∠DAC时，∵▱ABCD中，AD∥BC，∴∠ACB=∠DAC，∴∠BAC=∠ACB，∴AB=BC，∴▱ABCD是菱形．∴∠BAC=∠DAC．故命题正确．故选：C．根据菱形的定义和判定定理即可作出判断．本题考查了菱形的判定定理，正确记忆定义和判定定理是关键．11.如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD，则下列结论：①AD=BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形．其中正确的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】解：△ABC、△DCE是等边三角形，∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=CD，∴∠ACD=180°-∠ACB-∠DCE=60°，∴△ACD是等边三角形，∴AD=AC=BC，故①正确；由①可得AD=BC，∵AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴BD、AC互相平分，故②正确；由①可得AD=AC=CE=DE，故四边形ACED是菱形，即③正确．综上可得①②③正确，共3个．故选：D．先求出∠ACD=60°，继而可判断△ACD是等边三角形，从而可判断①是正确的；根据①的结论，可判断四边形ABCD是平行四边形，从而可判断②是正确的；根据①的结论，可判断④正确．本题考查了平移的性质、等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质及菱形的判定，解答本题的关键是先判断出△ACD是等边三角形，难度一般．12.如图，在▱ABCD中，AM，CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AMCN为菱形的是（）A. AM=ANB. MN⊥ACC. MN是∠AMC的平分线D. ∠BAD=120°【答案】D【解析】解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，∠DAB=∠DCB，AB=CD，AD=BC，∵AM，CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线，∴∠DCN=∠DCB，∠BAM=∠BAD，∴∠BAM=∠DCN，在△ABM和△CDN中，∴△ABM≌△CDN（ASA），∴AM=CN，BM=DN，∵AD=BC，∴AN=CM，∴四边形AMCN是平行四边形，A、∵四边形AMCN是平行四边形，AM=AN，∴平行四边形AMCN是菱形，故本选项错误；B、∵MN⊥AC，四边形AMCN是平行四边形，∴平行四边形AMCN是菱形，故本选项错误；C、∵四边形AMCN是平行四边形，∴AN∥BC，∴∠MNA=∠CMN，∵MN是∠AMC的平分线，∴∠NMA=∠NMC，∴∠MNA=∠MAC，∴∠MAC=∠NMA，∴AM=AN，∵四边形AMCN是平行四边形，∴四边形AMCN是菱形，故本选项错误；D、根据∠BAD=120°和平行四边形AMCN不能推出四边形是菱形，故本选项正确；故选：D．根据平行四边形性质推出∠B=∠D，∠DAB=∠DCB，AB=CD，AD=BC，求出∠BAM=∠DCN，证△ABM≌△CDN，推出AM=CN，BE=DN，求出AN=CM，得出四边形AMCN是平行四边形，再根据菱形的判定判断即可．本题考查了平行四边形的性质和判定、菱形的判定、全等三角形的性质和判定、平行线的性质等知识点；证明三角形全等是解决问题的关键．13.如图，要判定▱ABCD是菱形，需要添加的条件是（）A. AB＝ACB. BC＝BDC. AC＝BDD. AB＝BC【答案】D【解析】【分析】本题考查菱形的判定，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.根据菱形的判定方法即可解决问题.【解答】解：根据邻边相等的平行四边形是菱形，可知选项D正确，故选：D．14.如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法.其中正确的个数是( )①若AC＝BD，则四边形EFGH为矩形；②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形．因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，【解答】解：因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，故④选项正确.故选A．15.已知四边形ABCD是等对角线四边形，图①中四边形EFGH的四个顶点分别是四边形ABCD四条边的中点，图②中四边形KLMN满足KL//MN//AC，ML//NK//BD，则（）①②A. 四边形EFGH、KLMN都是等对角线四边形B. 四边形EFGH、KLMN都不是等对角线四边形C. 四边形EFGH是等对角线四边形，四边形KLMN不是等对角线四边形D. 四边形EFGH不是等对角线四边形，四边形KLMN是等对角线四边形【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定以及新定义问题等知识，熟练掌握这些知识是解决本题的关键.【解答】解：∵四边形ABCD是等对角线四边形，∴AC=BD，∵题图①中四边形EFGH的四个顶点分别是是四边形ABCD四条边的中点，∴EH//BD，EH=BD，GF//BD，GF=BD，HG//AC，HG=AC，EF//AC，EF=AC，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AC=BD，∴EH=HG，∴EFGH是菱形，∴四边形EFGH不是等对角线四边形.∵题图②中四边形KLMN满足KL//MN//AC，ML//NK//BD，∴四边形ACLK、四边形KBDN、四边形KLMN是平行四边形，∴AC=KL，KN=BD，∵AC=BD，∴KL=KN，∴KLMN是菱形，∴四边形KLMN不是等对角线四边形.故选B.16.如图，四边形ABCD中，AB∥CD．则下列说法中，不正确的是( )A. 当AB＝CD，AO＝DO时，四边形ABCD为矩形B. 当AB＝AD，AO＝CO时，四边形ABCD为菱形C. 当AD∥BC，AC＝BD时，四边形ABCD为正方形D. 当AB＝CD时，四边形ABCD为平行四边形【答案】C【解析】【分析】本题考查了矩形，菱形，正方形和平行四边形的判定，注意：对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形.根据对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断即可.【解答】A.∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AO=DO，∴AC=BD，∴四边形ABCD为矩形，故A正确；B.∵AB∥CD，∴∠BAO=∠DCO，又∵AO=CO，∠AOB=∠COD，∴△AOB≌△COD，∴AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB=AD，∴四边形ABCD为菱形，故B正确；C.∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AC=BD，∴四边形ABCD为矩形，故C错误；D.∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，故D正确.故选C.17.若顺次连接四边形各边中点所构成的四边形是菱形，则原四边形一定是（）A. 矩形B. 菱形C. 平行四边形D. 对角线相等的四边形【答案】D【解析】【分析】此题考查了菱形的性质与三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．首先根据题意画出图形，由四边形EFGH是菱形，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，利用三角形中位线的性质与菱形的性质，即可判定原四边形一定是对角线相等的四边形．【解答】解：如图，根据题意得：四边形EFGH是菱形，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，∴EF=FG=GH=EH，BD=2EF，AC=2FG，∴BD=AC．∴原四边形一定是对角线相等的四边形．故选D．18.若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是（）A. 矩形B. 等腰梯形C. 对角线相等的四边形D. 对角线互相垂直的四边形【答案】C【解析】解：如图，根据题意得：四边形EFGH是菱形，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，∴EF=FG=GH=EH，BD=2EF，AC=2FG，∴BD=AC．∴原四边形一定是对角线相等的四边形．故选：C．首先根据题意画出图形，由四边形EFGH是菱形，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，利用三角形中位线的性质与菱形的性质，即可判定原四边形一定是对角线相等的四边形．此题考查了菱形的性质与三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．19.顺次连接矩形四边中点所形成的四边形是（）A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 梯形【答案】B【解析】解：连接AC、BD，在△ABD中，∵AH=HD，AE=EB，∴EH=BD，同理FG=BD，HG=AC，EF=AC，又∵在矩形ABCD中，AC=BD，∴EH=HG=GF=FE，∴四边形EFGH为菱形．故选：B．因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形．本题考查了菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分．20.如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，连接AF，BE，CE，DF分别交于点M，N，四边形EMFN是( )A. 正方形B. 菱形C. 矩形D. 无法确定【答案】B【解析】【分析】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的判定，平行四边形的性质和判定的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目比较好，综合性比较强．求出四边形ABFE为平行四边形，四边形BFDE为平行四边形，根据平行四边形的性质得出BE∥FD，即ME∥FN，同理可证EN∥MF，得出四边形EMFN为平行四边形，求出ME=MF，根据菱形的判定得出即可．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，AD=BC，又∵E，F分别为AD，BC中点，∴AE∥BF，AE=BF，ED∥CF，DE=CF，∴四边形ABFE为平行四边形，四边形BFDE为平行四边形，∴BE∥FD，即ME∥FN，同理可证EN∥MF，∴四边形EMFN为平行四边形，∵四边形ABFE为平行四边形，∠ABC为直角，∴ABFE为矩形，∴AF，BE互相平分于M点，∴ME=MF，∴四边形EMFN为菱形．故选B．21.对角线互相平分且相等的四边形是（）A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形【答案】B【解析】解：对角线互相平分且相等的四边形是矩形．故选：B．根据对角线相等的平行四边形是矩形，以及平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得出结论．此题主要考查矩形的判定：对角线相等的平行四边形是矩形．以及平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形，较为简单．22.下列说法正确的是（）A. 对角线相等的平行四边形是菱形B. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形C. 对角线相互垂直的四边形是菱形D. 有一个角是直角的平行四边形是菱形【答案】B【解析】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故A选项错误；B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故B选项正确；C、对角线相互垂直的平行四边形是菱形，故C选项错误；D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故D选项错误，故选：B．利用菱形的判定定理对各个选项逐一判断后即可确定正确的选项．本题考查了菱形的判定，牢记菱形的判定定理是解答本题的关键，难度不大．23.已知下列命题：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②等腰梯形的对角线相等；③对角线互相垂直的四边形是菱形；④内错角相等．其中假命题有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，故①是真命题．②等腰梯形的对角线相等．故②是真命题．③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．故③是假命题．④两直线平行，内错角相等．故④是假命题．故选B．命题是判断事情的语句，若是判断的事情是正确的就是真命题，如果是错误的就是假命题，平行四边形的对角线互相平分，等腰梯形的对角线相等，对角线互相垂直的不一定是菱形，两直线平行，内错角才相等．本题考查真假命题的概念，以及平行四边形的判定．菱形的判定，等腰梯形的判定定理，以及内错角等知识点．24.下列说法：①四边相等的四边形一定是菱形②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形③对角线相等的四边形一定是矩形④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分.其中正确的有（）个．A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】C【解析】解：∵四边相等的四边形一定是菱形，∴①正确；∵顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是菱形，∴②错误；∵对角线相等的平行四边形才是矩形，∴③错误；∵经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分，∴④正确；其中正确的有2个．故选：C．根据三角形的中位线性质、平行四边形的性质、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定逐个判断即可．本题考查了三角形的中位线性质、平行四边形的性质、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定等知识点，能熟记定理的内容是解此题的关键．25.如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（）A. AB=ACB. AD=BDC. BE⊥ACD. BE平分∠ABC 【答案】D【解析】【分析】当BE平分∠ABC时，四边形DBFE是菱形，可知先证明四边形BDEF是平行四边形，再证明BD=DE即可解决问题．本题考查菱形的判定、平行四边形的判定和性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【解答】解：当BE平分∠ABC时，四边形DBFE是菱形，理由：∵DE∥BC，∴∠DEB=∠EBC，∵∠EBC=∠EBD，∴∠EBD=∠DEB，∴BD=DE，∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形DBFE是平行四边形，∵BD=DE，∴四边形DBFE是菱形．其余选项均无法判断四边形DBFE是菱形，故选：D．26.如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，不正确的是（）A. 四边形AEDF是平行四边形B. 如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形C. 如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形D. 如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是正方形【答案】D【解析】【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理，和正方形的判定定理等知识点．两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一个角是90°的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，四个角都是直角，且四个边都相等的是正方形．【解答】解：A、因为DE∥CA，DF∥BA所以四边形AEDF是平行四边形．故A选项正确．B、∠BAC=90°，四边形AEDF是平行四边形，所以四边形AEDF是矩形．故B选项正确．C、因为AD平分∠BAC，所以AE=DE，又因为四边形AEDF是平行四边形，所以是菱形．故C选项正确．D、如果AD⊥BC且AB=BC不能判定四边形AEDF是正方形，故D选项错误．故选：D．27.下列说法正确的是（）A. 对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形C. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形D. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形【答案】D【解析】解：对角线相等且互相垂直的四边形不一定是平行四边形，更不一定是菱形，故A不正确；对角线互相垂直平分的四边形为菱形，但不一定是正方形，故B不正确；对角线互相垂直的四边形，其对角线不一定会平分，故不一定是平行四边形，故C不正确；对角线互相平分说明四边形为平行四边形，又对角线相等，可知其为矩形，故D正确；故选：D．分别根据菱形、正方形、平行四边形和矩形的判定逐项判断即可．本题主要考查平行四边形及特殊平行四边形的判定，掌握平行四边形及特殊平行四边形的对角线所满足的条件是解题的关键．28.如图，在▱ABCD中，对角线，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E，交BC于F，连结AF、CE，现在添加一个适当的条件，使四边形AFCE是菱形，下列条件：；；平分；为AD中点。
5、菱形的判定和性质 - 答案
菱形的判定和性质情景导入1.（复习）什么叫做平行四边形？什么叫矩形？平行四边形和矩形之间的关系是什么？2.（引入）我们已经学习了一种特殊的平行四边形——矩形，其实还有另外的特殊平行四边形，请看演示：（可将事先按如图做成的一组对边可以活动的教具进行演示）如图，改变平行四边形的边，使之一组邻边相等，从而引出菱形概念菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形【强调】菱形（1）是平行四边形（2）一组邻边相等请同学们列举一些日常生活中所见到过的菱形的例子折纸探究把一张矩形纸片对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下、打开，你能发现它是一个什么样的图形吗？菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质．即对称性：菱形是中心对称图形,对角线的交点是对称中心边：菱形的对边平行且相等角：菱形的对角相等对角线：菱形的对角线互相平分那么菱形作为作为特殊的平行四边形具有哪些特殊的性质呢？（1）菱形的都相等（2）菱形的对角线.例1.如图，菱形ABCD 中，AE 和AF 分别是BC 和DC 边上的高，请问AE 与AF 有什么样的关系？为什么？E C B A FD例2.在菱形ABCD中，对角线AC、BD的长分别为a、b，AC、BD相交于点O.（1）用含a、b的代数式表示菱形ABCD的面积S；（2）若a=3cm，b=4cm，求菱形ABCD的面积和周长.知识点：菱形的面积==.菱形的判定提出问题1.根据菱形的定义，需要具备什么条件可以判定一个四边形是菱形？2.还可以用什么方法判定一个四边形是菱形？成果展示1.问题1：拿出十根小木条（其中只有四根一样长），让学生从中选取四根，能否搭成一个菱形？为什么？2.问题2：拿出事先准备好的平行四边形（对角线是木条，四边是橡皮筋），转动木条成直角，观察得到的四边形的形状是菱形吗？为什么？3.问题3：你认为，的四边形是菱形的平行四边形是菱形（注意：一个的基础条件是四边形，一个的基础条件是平行四边形）归纳：四边形、平行四边形、菱形之间的关系：Array例1、证明：四条边都相等的四边形是菱形例2、证明：对角线互相垂直的平行四边形是菱形题型一：菱形的性质-求角度1．如图，在菱形ABCD 中，40ABC ∠=︒，点E 为对角线BD 上一点，F 为AD 边上一点，连接AE 、CE 、FE ，若AE FE =，56BEC ∠=︒，则DEF ∠的度数为（）A．16︒B．15︒C．14︒D．13︒【答案】A 【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC=40°，∴AB=CB=AD，∠ABE=∠CBE=20°，AD BC ∥，∴∠BAD=140°，∠ADB=∠ABD=20°，又∵BE=BE，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴∠BEA=∠BEC=56°，∴∠BAE=104°，∴∠DAE=36°，∵AE=FE，∴∠EFA=∠EAF=36°，∴∠DEF=∠EFA-∠EDF=16°，故选A．2．如图，在菱形ABCD 中，M，N 分别在AB CD ，上，且AM CN =，MN 与AC 交于点O，连接BO ．若28DAC ∠=︒，则OBC ∠的度数为度．【答案】62【详解】解：∵四边形ABCD 为菱形，∴AB CD ∥，AB BC =，∴MAO NCO AMO CNO ∠=∠∠=∠，，在AMO 和CNO 中，∵MAO NCO AM CN AMO CNO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA AMO CNO ≌△△，∴AO CO =，∵AB BC =，∴BO AC ⊥，∴90BOC ∠=︒，∵28DAC ∠=︒，∴28BCA DAC ∠=∠=︒，∴902862OBC ∠=︒-︒=︒．故答案为：62．3．如图，在菱形ABCD 中，∠ADC＝72°，AD 的垂直平分线交对角线BD 于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB 的度数是（）A．108°B．72°C．90°D．100°【答案】B 【详解】解：连接PA，如图所示：∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ADP＝∠CDP＝12∠ADC＝36°，BD 所在直线是菱形的对称轴，∴PA＝PC，∵AD 的垂直平分线交对角线BD 于点P，∴PA＝PD，∴PD＝PC，∴∠PCD＝∠CDP＝36°，∴∠CPB＝∠PCD+∠CDP＝72°；故选：B．4．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，DH AB ⊥于点H ，连接OH ，若AH DH =，则DHO ∠=．【答案】22.5︒【详解】解：∵DH AB ⊥，AH =，∴ADH 是等腰直角三角形，∴45BAD ADH ==︒∠∠，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD AB =，点O 为BD 的中点，∴18067.52BAD ABD ADB ︒-===︒∠∠∠，∴22.5BDH ADB ADH =-=︒∠∠，∵90DHB ∠=︒，点O 为BD 的中点，∴OH OD =，∴22.5DHO ODH ∠==︒∠，故答案为：22.5︒．5．如图，在菱形ABCD 中，AC 交BD 于点O，DE BC ⊥于点E，连接OE ，若140ABC ∠=︒，则OEB ∠=．【答案】70︒【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，140ABC ∠=︒，∴1270ABD CBD ABC BO DO ∠=∠=∠=︒=，，∵DE BC ⊥，∴OE OD OB ==，∴70CBD OEB ∠=∠=︒，故答案为：70︒．题型二：菱形的性质-求长度1．菱形相邻两角的比为1:2，那么菱形的对角线长与边长的比为（）A．1:2:3B．1:2:1C．1:2:D．【答案】D【详解】因为菱形相邻的两角互补，所以得到较小的角的度数是60︒，较大的角是120︒．设菱形的边长为1，则60︒角所对的对角线长为1，120︒所以它们所对的对角线长与边长的比为:1．故选：D．2．如图，在菱形ABCD 中，BE AB ⊥交对角线AC 于点E，若120D ∠=︒，1BE =，则AC =．【答案】3【详解】解： 四边形ABCD 是菱形，120D ∠=︒，∴CD AB ∥，120ABC D ∠=∠=︒，∴18012060DAB ∠=︒-︒=︒，∴1302BAE DAB ∠=∠=︒，∴30ECB BAE ∠=∠=︒，BE AB ⊥，∴90ABE ∠=︒，∴30EBC ECB ∠=∠=︒，∴1EB EC ==，在Rt ABE △中，30EAB ∠=︒ ，∴22AE BE ==，∴213AC AE EC =+=+=，故答案为：3．3．菱形ABCD 的边长为8，有一个内角为120°，则较长的对角线的长为（）B．8D．4【答案】A 【详解】根据题意作如图所示：在菱形ABCD 中，111206022BAO BAD ∠=∠=⨯︒=︒，又在△ABC 中，AB=BC，∴∠BCA=∠BAC=60°，∴∠ABC=180°-∠BCA-∠BAC=60°，∴三角形ABC 为等边三角形，∴AC=AB=8，∴AO=4，BO ∴==2BD BO ∴==故选：A．4．如图，菱形ABCD 对角线AC ，BD 交于点O ，15ACB ∠=︒，过点C 作CE AD ⊥交AD 的延长线于点E ．若菱形ABCD 的面积为4，则菱形的边长为（）A．B．2C．D．4【答案】A 【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD＝CD，AD∥BC，∴∠EDC＝∠BCD＝2∠ACB＝30°，∵CE⊥AD，∴∠CED＝90°，∴CE＝12DC＝12AD，∴菱形ABCD 的面积＝AD•CE＝AD•12AD＝12AD 2＝4，∴AD＝（负值舍去），即菱形的边长为，故选：A．5．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，BG ，DH 分别平分ABC ∠，ADC ∠，交AD ，BC 于点G ，H ．要使四边形BHDG 为菱形，则AD 的长为．【答案】1【详解】解：∵在矩形ABCD 中，BG 平分ABC ∠，90ABC ∠=︒，90A ∠=︒ ，45AGB ABG ∴∠=∠=︒，AB AG ∴=．又1AB = ，BG ∴==要使四边形BHDG 为菱形，则GD BG ==，1AD AG GD ∴=+=故答案为：1题型三：菱形的性质-求周长和面积1．如图，在菱形ABCD 中，AC 、BD 交于点O，若6AC =，8BD =，则ABC 的周长为（）A．16B．18C．20D．26【答案】A 【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴132CO AC ==，142BO BD ==，AO BO ⊥，AB BC =，∴5BC =，∴ABC 的周长55616AB BC AC =++=++=，故选：A．2．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为AB 的中点，且2OE =，则菱形ABCD 的周长为（）A．12B．16C．8D．4【答案】B 【详解】解： 四边形ABCD 是菱形，AC BD AB BC CD AD ∴⊥===，，90AOB ∠=︒∴，E 为AB 的中点且2OE =，24AB OE ∴==，∴菱形ABCD 的周长44416AB ==⨯=，故选：B．3．如图，菱形ABCD 中，若10DB =，13AB =，则菱形ABCD 的面积为．【答案】120【详解】解：如图，连接AC ，交DB 于点O ，四边形ABCD 是菱形，10DB =，12,5,2AC OA OB DB AC BD ∴===⊥，13AB = ，12OA ∴==，24AC ∴=，则菱形ABCD 的面积为11241012022AC DB ⋅=⨯⨯=，故答案为：120．4．如图，在菱形ABCD 中，6cm AC =，8cm BD =，则菱形AB 边上的高CE 的长是（）A．4.8cmB．9.6cm C．5cm D．10cm【答案】A 【详解】解：对角线AC ，BD O ，则ABO 为直角三角形则3AO OC cm ==．4BO DO cm ==，5cm AB ∴=，∴菱形的面积根据边长和高可以计算，根据对角线长也可以计算，即16852S CE =⨯⨯=⨯，∴24cm 5CE =，故选：A．5．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O，BE AC ∥，AE BD ∥，OE 与AB 交于点F．若5OE =，8AC =，则菱形ABCD 的面积为．【答案】24【详解】解：菱形ABCD 中，142OA AC ==，AC BD ⊥∵BE AC ∥，AE BD∥∴四边形AOBE 是矩形∴5AB OE ==Rt OAB 中，3OB ===∴26BD OB ==∴菱形ABCD 的面积为11862422AC BD ==⨯⨯= 故答案为：24．题型四：菱形的性质运用1．菱形具有而矩形不一定有的性质是（）A．对角相等B．邻角互补C．对角线互相平分D．四条边都相等【答案】D【详解】解：A、因为矩形和菱形都是平行四边形，对角相等，所以本选项不符合题意；B、因为矩形和菱形都是平行四边形，邻角互补，所以本选项不符合题意；C、因为矩形和菱形都是平行四边形，对角线互相平分，所以本选项不符合题意；D、因为菱形的四条边相等，而矩形的四条边不相等，所以本选项符合题意．故选：D．2．如图，在菱形ABCD 中，点E、F 分别在边BC CD ，上，且BE DF =，连接EF ，求证：AEF AFE ∠=∠．【答案】见解析【详解】证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB AD B D =∠=∠，，∵BE DF =，∴()SAS ABE ADF △≌△，∴AE AF =，∴AEF AFE ∠=∠．3．如图，四边形ABCD 为菱形，E 为对角线AC 上的一个动点（不与点A，C 重合），连接DE 并延长交射线AB 于点F，连接BE．(1)求证：DCE BCE △≌△；(2)求证：AFD EBC ∠=∠．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 为菱形，∴CD BC =，ACD ACB ∠=∠，在DCE △和BCE 中，CD BC ACD ACB CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()DCE BCE SAS △≌△；（2）证明∶∵DCE BCE △≌△，∴CDE EBC ∠=∠，∵四边形ABCD 为菱形，∴AB∥CD，∴CDF AFD ∠=∠，∴AFD EBC ∠=∠．4．如图，四边形ABCD 是菱形，AE⊥BC 于点E，AF⊥CD 于点F．(1)求证：△ABE≌△ADF；(2)若AE=4，CF=2，求菱形的边长．【答案】(1)见解析(2)5【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=BC=CD=AD（菱形的四条边相等），∠B=∠D（菱形的对角相等），∵AE⊥BC AF⊥CD，∴∠AEB=∠AFD=90°（垂直的定义），在△ABE 和△ADF 中，AEB AFD B D AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△ADF(AAS)；（2）解：设菱形的边长为x，∴AB=CD=x，CF=2，∴DF=x −2，∵△ABE≌△ADF，∴BE=DF=x −2（全等三角形的对应边相等），在Rt△ABE 中，∠AEB=90°，∴AE 2+BE 2=AB 2（勾股定理），∴42+(x −2)2=x 2，解得x=5，∴菱形的边长是5．题型五：菱形的判定1.判断下列命题是否正确，并说明理由（1）对角线互相平分且邻边相等的四边形是菱形（2）两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形（3）邻角相等的四边形是菱形（4）有一组邻边相等的四边形是菱形（5）两组对角分别相等且对角线互相垂直的四边形是菱形（6）对角线互相垂直的四边形是菱形（7）对角线互相垂直平分的四边形是菱形（8）一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形【答案】✔✔✖✖✔✖✔✔2.下列说法正确的是（）A．对角线互相平分的四边形是菱形B．对角线互相平分且相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形【答案】D3.用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．不能确定【答案】C4.下列说法不正确的是（）A．对角线相互垂直的四边形是菱形B．有三个角是直角的四边形是矩形C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形【答案】A5.下列条件中不能用来判定四边形是菱形的是（）A．AB=CD，AB=AD，BC=CD B．∠A=∠C，∠B=∠D，AC⊥BDC．AB=CD，AD=BC，AC⊥BD D．OA=OB=OC=OD（O是对角线交点）【答案】D6．如图，在矩形ABCD 中．点E，F，G，H 分别是四条边的中点．求证：四边形EFGH 是菱形．【答案】连接AC BD 、，∵点E，F，G，H 分别是四条边的中点，∴12EF GH AC ==，12EH FG BD ==∵矩形ABCD ，∴AC BD =，∴EF GH EH FG ===，∴平行四边形EFGH 为菱形．7．如图，在四边形ABCD 中，BC CD =，C BAD ∠=∠，O 是四边形ABCD 内一点，且OA OB OD ==．求证：(1)BOD C ∠=∠；(2)四边形OBCD 是菱形．【答案】（1）∵OA OB OD ==，∴点A 、B 、D 在以点O 为圆心，OA 为半径的圆上，∴2BOD BAD ∠=∠，∵2C BAD ∠=∠，∴BOD C ∠=∠，（2）证明：如图，连接OC ，∵OB OD =，CB CD =，OC OC =，∴(SSS)OBC ODC ≌，∴BOC DOC ∠=∠，BCO DCO ∠=，∵BOD BOC DOC ∠=∠+∠，BCD BCO DCO ∠=∠+∠，∴12BOC BOD ∠=∠，12BCO BCD ∠=∠，∵BOD BCD ∠=∠，∴BOC BCO ∠=∠，∴BO BC =，∵OB OD =，BC CD =，∴OB BC CD DO ===，∴四边形OBCD 是菱形.8．如图，△ABC 中，AB=AC，AD 是A ∠的平分线，E 为AD 延长线上一点，CF//BE 且交AD 于F，连接BF、CE．求证：四边形BECF 是菱形．【答案】∵AB=AC，AD 是角平分线，∴BD=CD，∵CF∥BE，∴∠DBE=∠DCF，在△BDE 和△CDF 中，DBE DCF DB CD BDE CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BDE≌△CDF（ASA），∴CF=BE，又∵CF∥BE，∴四边形BFCE 是平行四边形；∵AB=AC，AD 是角平分线，∴AD⊥BC，又∵四边形BFCE 是平行四边形，∴四边形BFCE 是菱形．9．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，AE 平分CAB ∠交CB 于点E ，CD AB ⊥于点D ，交AE 于点G ，过点G 作GF BC ∥交AB 于F ，连接EF．(1)求证：CG CE =；(2)判断四边形CGFE 的形状，并证明；(3)若3cm 4cm AC BC ==，，求线段DG 的长度．【答案】(1)见解析(2)菱形，理由见解析(3)910（1）证明：AE 平分CAB ∠，CAE BAE ∴∠=∠，90ACB CD AB ∠=︒⊥ ，，90CAE CEA BAE AGD ∴∠+∠=∠+∠=︒，CEA AGD ∴∠=∠，又CGE AGD ∠=∠ ，CEA CGE ∴∠=∠，CG CE ∴=；（2）解：四边形CGFE 是菱形，理由如下：GF BC ∥，CEG EGF ∴∠=∠，由（1）知CEA CGE ∠=∠，CGE EGF ∴∠=∠，AGC AGF ∴∠=∠，又AG AG CAE BAE =∠=∠ ，，()ASA AGC AGF ∴ ≌，CG FG ∴=，由（1）知CG CE =，CE FG ∴=，又GF BC ∥，CE FG ∴∥，∴四边形CGFE 是平行四边形，又CG CE = ，∴四边形CGFE 是菱形；（3）解：Rt ABC △中，903cm 4cm ACB AC BC ∠=︒==，，，5cm AB ∴===，由（2）知AGC AGF ≌，3cm AF AC ∴==，2cm BF AB AF ∴=-=，四边形CGFE 是菱形，EF CG ∴∥，CD AB ⊥ ，EF AB ∴⊥，设CE EF CG GF x ====，则4BE BC CE x =-=-，在Rt EFB △中，222EF BF BE +=，即()222x 24x +=-，解得：32x =，32CG ∴=，1122ABC S AC BC AB CD =⋅=⋅ ，341255AC BC CD AB ⋅⨯∴===，12395210GD CD CG ∴=-=-=．课后练习1．如图，在菱形ABCD 中，∠BAD＝80°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F，E 为垂足，连接DF，则∠CDF 的度数为．【答案】60°【详解】解：连接BD，BF，∵四边形ABCD 是菱形，∴∠DAC=12∠BAD=12×80°=40°，AC 垂直平分BD，AB//CD，∴∠ADC=180°-∠BAD=180°-80°=100°，又∵EF 垂直平分AB，AC 垂直平分BD，∴AF=BF，BF=DF，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA=40°，∴∠CDF=100°-40°=60°，故答案为：60°．2．如图，在菱形ABCD 中，AB 的垂直平分线交对角线BD 于点F，垂足为点E，连接AF、AC，若∠DCB＝70°，则∠FAC＝．【答案】20°【详解】解：∵EF 是线段AB 的垂直平分线，∴AF＝BF，∴∠FAB＝∠FBA，∵四边形ABCD 是菱形，∠DCB＝70°，∴BC＝AB，∠BCA＝12∠DCB＝35°，AC⊥BD，∴∠BAC＝∠BCA＝35°，∴∠FBA＝90°﹣∠BAC＝55°，∴∠FAB＝55°，∴∠FAC＝∠FAB﹣∠BAC＝55°﹣35°＝20°，故答案为：20°．3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE AB⊥，垂足为E点，若130ADC∠=︒，则AOE∠=．【答案】65°【详解】解：在菱形ABCD中，∠ADC=130°，∴∠BAD=180°-130°=50°，∴∠BAO=12∠BAD=12×50°=25°，∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°-∠BAO=90°-25°=65°．故答案为：65°．4．如图，菱形ABCD的边AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，连接DF．当100BAD∠=︒时，CDF∠=（）A．15°B．30°C．40°D．50°【答案】B【详解】如图，连接BF，∵四边形ABCD是菱形，∴CD BC =，DCF BCF ∠=∠，在BCF △和DCF 中，∵CD BC DCF BCF CF CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()BCF DCF SAS △≌△∴CBF CDF∠=∠∵FE 垂直平分AB ，1100502BAF ∠=⨯︒=︒，∴50ABF BAF ∠=∠=︒∵18010080ABC ∠=︒-︒=︒，805030CBF ∠=︒-︒=︒∴30CDF ∠=︒．故选：B．5．菱形的周长是24，两邻角比为1∶2，较长的对角线长为．【答案】【详解】解：如图， 菱形的周长是24，∴菱形的边长6AB =，菱形的两邻角之比为1:2，∴较小的内角11806012ABC ∠=︒⨯=︒+，ABC ∴ 是等边三角形，6AC AB ∴==， 在菱形ABCD 中，12OA OC AC ==，12OB BD =，AC BD ⊥，116322AO AC ∴==⨯=，在Rt ABO 中，OB ===∴较长的对角线22BD OB ==⨯．故答案为：6．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 分别为16和12，DE AB ⊥于点E ，则DE =．【答案】485【详解】解：如图，设AC 与BD 的交点为O ，∵四边形ABCD 是菱形，8AO CO ∴==，6DO BO ==，AC BD ⊥，∴10AB ===，ABCD S =菱形AC BD AB DE ⋅=⋅，∴11612102DE ⨯⨯=⨯，∴485DE =，故答案为：485．7．如图，菱形ABCD 的对角线AC BD 、相交于点O，过点D 作DH AB ⊥于点H，连接OH ，若64OA OH ==，，则菱形ABCD 的面积为．【答案】48【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴6OA OC ==，OB OD =，AC BD ⊥，∴12AC =，∵DH AB ⊥，∴90BHD ∠=︒，∴2248BD OH ==⨯=，∴菱形ABCD 的面积111284822AC BD =⋅=⨯⨯=，故答案为：48．8．如图，在菱形ABCD 中，58AB BD ==，，过点D 作DE BA ⊥，交BA 的延长线于点E，则线段DE 的长为（）A．4B．3C．485D．245【答案】D 【详解】解：如图，设AC 与BD 的交点为O，∵四边形ABCD 是菱形，∴142AO OC OB OD BD AC BD ====⊥，，，∴3OA ===，∴26AC OA ==，∵12菱形ABCD S AB DE AC BD =⋅=⋅，∴1168242255AC BD DE AB ⋅⨯⨯===，故选：D．9．如图，在菱形ABCD 中，100A ∠=︒，M、N 分别是边AB BC 、的中点，MP CD ⊥于点P．则NPC ∠的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°【答案】A 如图所示，延长PN 交AB 的延长线于点G，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB BC AB CD AD BC =，∥，∥，∴BMP DPM G NPC ∠=∠∠=∠，，18080ABC A ∠=︒-∠=︒，∵MP CD ⊥，即90DPM ∠=︒，∴90BMP ∠=︒，∵M、N 分别是边AB BC 、的中点，∴1122BM BN CN AB BC ====，∴180502MBN BMN BNM ︒-===︒∠∠∠，在BGN △与CPN △中，GNB PNC BN CN G NPC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()AAS BGN CPN ≌，∴GN PN =，∴N 为PG 中点．∴12MN PN PG ==，∴NMP NPM =∠∠，∴BMP NMP MPC MPN ∠-∠=∠-∠，即50BMN NPC ∠=∠=︒，故选A．10．如图，菱形ABCD ，E 、F 分别是BC ，CD 上的点，60B EAF ︒∠=∠=，18BAE ︒∠=，求CEF ∠的度数．【答案】18︒【详解】连接AC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴ABC 为等边三角形，∴60BAC ACB ︒∠=∠=，AB AC =，∴60ACF B ︒∠=∠=，∵60EAF BAC ︒∠=∠=，∴BAE CAF ∠=∠，∴ABE ACF V V ≌，∴AE AF =，∴AEF △为等边三角形，∴60AEF ︒∠=，∵AEF CEF B BAE ∠+∠=∠+∠，且18BAE ︒∠=，∴18CEF ︒∠=11．如图，ABCD Y 中，对角线AC 、BD 交于点O ，在BD 上截取OE OF OA ==．(1)求证：四边形AECF 是矩形；(2)若AE AF =，求证：AC 平分BAD ∠．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA OC =，∵OE OF OA ==，∴OE OF OA OC ===，∴四边形AECF 是平行四边形，AC EF =；∴四边形AECF 是矩形；（2）证明：∵四边形AECF 是矩形，AE AF =，∴四边形AECF 是正方形，∴AC BD ⊥，又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是菱形，∴AC 平分BAD ∠．12．如图，在三角形纸片ABC 中，AD 平分∠BAC，将△ABC 折叠，使点A 与点D 重合，展开后折痕分别交AB、AC 于点E、F，连接DE、DF．求证：四边形AEDF是菱形．【答案】∵AD 平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD又∵EF⊥AD，∴∠AOE=∠AOF=90°∵在△AEO 和△AFO 中EAO FAO AO AO AOE AOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AEO≌△AFO（ASA），∴EO=FO又∵A 点与D 点重合，∴AO=DO，∴EF、AD 相互平分，∴四边形AEDF 是平行四边形∵点A 与点D 关于直线EF 对称，∵EF⊥AD，∴平行四边形AEDF 为菱形．13．如图，O 是矩形ABCD 的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，DE 和CE 相交于E.（1）求证：四边形OCED 是菱形；（2）若矩形ABCD 中，AD=6，点F 为BC 边中点，且OF=2，求四边形OCED 的面积.【答案】（1）见解析；（2）12()1证明：∵四边形ABCD 是矩形,2,2,,AC OC BD OD AC BD ∴===,OD OC ∴=,.DE AC CE BD ∴四边形OCED 是菱形．（2）如图，连接,OE ∵四边形OCED 是菱形,,OE CD ∴⊥.OE AD ∴ /,.DE AC OE AD ∴四边形AOED 是平行四边形,6,OE AD ∴==2,4,OF CD =∴=114612.22S CD OE ∴=⋅=⨯⨯=14．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与对角线AC 交于点O，与边AD、BC 分别交于点E、F，那么四边形AFCE 是不是菱形？为什么？【答案】四边形AFCE 是菱形，理由详见解析.【详解】解：四边形AFCE 是菱形，理由：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，即AE∥FC．∴∠OAE＝∠OCF．∵∠AOE＝∠COF＝90°，AO＝CO，∴△AOE≌△COF，∴AE＝CF，∴四边形AFCE 是平行四边形．∵EF⊥AC 于O，∴平行四边形AFCE 是菱形．15．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，DE 垂直平分BC ，垂足为D ，交AB 于点E ．又点F 在DE 的延长线上，且AF CE =．(1)求证：点E 是AB 的中点：(2)求证：四边形ACEF 是平行四边形．【答案】(1)证明：90ACB DE ∠=︒，是BC 的中垂线，DE BC ∴⊥，又AC BC ⊥Q ，//DE AC ∴，又D 为BC 中点，//DE AC∴DE ∴是ABC ∆的中位线，E ∴为AB 边的中点：(2)证明：E 为AB 边的中点，CE AE BE ∴==，AF CE = ，CE AE AF ∴==，ECA EAC AEF F ∴∠=∠∠=∠，，//DE AC ，180EAC AEF FEC ECA ∴∠=∠∠+∠=︒，，ECA F ∴∠=∠，180FEC F ∴∠+∠=︒，.//AF CE ∴，∴四边形ACEF 是平行四边形．16．尺规作图如下：如图，在ABC 中，①作AD 平分BAC ∠交BC 于D ；②作线段AD 的垂直平分线分别交AB 于点E 、交AC 于点F ；③连接DE 、DF ；（1）在所作图的步骤中①得到角平分线AD 的依据是______．A．ASA B．AAS C．SAS D．SSS（2）试判断四边形AEDF 的形状，并说明理由．【答案】（1）D；（2）菱形，见解析【详解】解：（1）如图：连接ON、OM。
北师大版九年级数学上名校课堂练习1.1.2菱形的判定(含答案)
第2课时菱形的判定基础题知识点菱形的判定1．(钦州中考)如图，要使□ABCD成为菱形，下列添加的条件正确的是( )A．AC＝ADB．BA＝BCC．∠ABC＝90°D．AC＝BD2．小明和小亮在做一道习题，若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件，使得四边形ABCD是菱形．小明补充的条件是AB＝BC；小亮补充的条件是AC＝BD，你认为下列说法正确的是( )A．小明、小亮都正确B．小明正确，小亮错误C．小明错误，小亮正确D．小明、小亮都错误3．(海南中考)如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是( )A．AB＝BC B．AC＝BCC．∠B＝60°D．∠ACB＝60°4．用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD 是菱形的依据是( )A．一组邻边相等的四边形是菱形B．四边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形5．如图，在□ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点O 作EF ⊥AC 交BC 于点E ，交AD 于点F ，连接AE ，CF.则四边形AECF 是( ) A ．梯形 B ．长方形 C ．菱形 D ．正方形6．如图，小聪在作线段AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A 和B 为圆心，大于12AB 的长为半径画 弧，两弧相交于C ，D ，则直线CD 即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC 一定是________．7．已知□ABCD 两对角线AC 、BD 相交于点O ，AC ＝12 cm ，BD ＝16 cm ，AD ＝10 cm ，则□ABCD 为________．8．(潍坊中考)如图，ABCD 是对角线互相垂直的四边形，且OB ＝OD ，请你添加一个适当的条件________________________________________，使ABCD 成为菱形．(只需添加一个即可)9．(长春中考)如图，CE 是△ABC 外角∠ACD 的平分线，AF ∥CD 交CE 于点F ，FG ∥AC 交CD 于点G.求证：四边形ACGF 是菱形．中档题10．如图是一张平行四边形纸片ABCD，要求利用所学知识将它变成一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：甲：连接AC，作AC的中垂线交AD、BC于E、F，则四边形AFCE是菱形．乙：分别作∠A与∠B的平分线，AE、BF，分别交BC于点E，交AD于点F，则四边形ABEF是菱形．对于甲、乙两人的作法，可判断( )A．甲正确，乙错误B．甲错误，乙正确C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误11．(十堰中考)如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF.给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB＝AC.从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是________(只填写序号)．12．(荆门中考)已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE＝CF，DF∥BE，AC平分∠BAD.求证：四边形ABCD是菱形．13．(黔南中考改编)如图，已知△ABC，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于E，连接CE，过点C作CF平行于BA交PQ于点F，连接AF.求证：(1)△AED≌△CFD；(2)四边形AECF是菱形．综合题14．(泰安中考改编)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE 交AC于F，连接DF.(1)证明：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；(2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形．参考答案基础题1.B2.B3.B4.B5.C6.菱形7.菱形8.OA ＝OC 或AD ＝BC 或AD ∥BC 或AB ＝BC9.证明：∵AF ∥CD ，FG ∥AC ，∴四边形ACGF 是平行四边形，∠FCG ＝∠AFC. ∵CE 平分∠ACD ， ∴∠ACF ＝∠FCG .∴∠ACF ＝∠AFC.∴AC ＝AF. ∴四边形ACGF 是菱形． 中档题 10.C 11.③12.证明：∵AB ∥CD ，∴∠BAE ＝∠DCF. ∵DF ∥BE ，∴∠BEC ＝∠DFA.∴∠AEB ＝∠CFD. 在△AEB 和△CFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠DCF ，AE ＝CF ，∠AEB ＝∠CFD ，∴△AEB ≌△CFD.∴AB ＝CD.∵AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形． ∵AC 平分∠BAD ，∴∠BAE ＝∠DAF.∵∠BAE ＝∠DCF ，∴∠DAF ＝∠DCF.∴DA ＝DC. ∴四边形ABCD 是菱形．13.证明：(1)∵PQ 为线段AC 的垂直平分线， ∴AD ＝CD ，∠ADE ＝∠CDF ＝90°.∵CF ∥AB ，∴∠EAD ＝∠FCD ，∠CFD ＝∠AED. 在△AED 和△CFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EAD ＝∠FCD ，∠AED ＝∠CFD ，AD ＝CD ，∴△AED ≌△CFD(AAS)．（2）∵△AED ≌△CFD ，∴DE ＝DF ，AD ＝CD.∴四边形AECF是平行四边形．又∵EF为线段AC的垂直平分线，∴EF⊥AC. ∴四边形AECF是菱形．综合题14.证明：(1)∵AB＝AD，CB＝CD，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC.∴∠BAC＝∠DAC.∵AB＝AD，∠BAF＝∠DAF，AF＝AF，∴△ABF≌△ADF.∴∠AFB＝∠AFD.又∵∠CFE＝∠AFB，∴∠AFD＝∠CFE.（2）∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD.又∵∠BAC＝∠DAC，∴∠DAC＝∠ACD.∴AD＝CD.又∵AB＝AD，CB＝CD，∴AB＝CB＝CD＝AD.∴四边形ABCD是菱形．。
菱形的判定(含答案)
１一、证明题1. 如图AD FE ∥，点B 、C 在AD 上，12∠=∠，.BF BG =（1） 求证：四边形BCEF 是菱形； [证]（2）若.AB BC CD ACF BDE ==，求证：△≌△ [解]2. 如图，在平行四边形ABCD 中，BE 平分ABC ∠交AD 于点E ，DF 平分∠ADC 交BC 于点F . 求证：（1）ABE CDF △≌；（2）若BD EF ⊥，则判断四边形EBFD 是什么特殊四边形，请证明你的结论.3. 如图，A 、B 、C 三点在同一条直线上，2AB BC =.分别以AB 、BC 为边作正方形ABEF 和正方形BCMN ，连接FN EC ，. 求证：.FN EC =4. 如图，在正方形ABCD 中，E 是CD 上一点，点F 在CB 的延长线上，且.DE BF = （1）求证：ADE ABF △≌△；（2）问：将ADE △顺时针旋转多少度后与ABF △重合，旋转中心是什么？FEB ACD12FDEC AB ADB CE BBF２5. 如图，在正方形ABCD 中，G 是BC 上的任意一点（G 与B C 、两点不重合），E F 、是AG 上的两点（E F 、与A G 、两点都不重合），若AF BF EF =+，12∠=∠，请判断线段DE 与BF 有怎样的位置关系，并证明你的结论.6. 如图，四边形ABCD 是平行四边形，AC 、BD 交于点O ，∠1 =∠2．（1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）若∠BOC =120°，AB = 4cm ，求四边形ABCD 的面积．2 ABCDEF G 1D３7. 如图，在ABC △中，AB AC ，D 为BC 中点.四边形ABDE 是平行四边形. 求证：四边形ADCE 是矩形.8. 如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 、F 分别为边AB 、AD 的中点，连接EF 、OE 、OF .求证：四边形AEOF 是菱形.9. 在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AC 上一点，连接EB 、ED ． （1）求证：△BEC ≌△DEC ；（2）延长BE 交AD 于F ，当∠BED =120°时，求∠A F DB E O４CD10. 已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 和CD 上，AE = AF ．（1）求证：BE = DF ；（2）连接AC 交EF 于点O ，延长OC 至点M ，使OM = OA ，连接EM 、FM ．判断四边形AEMF 是什么特殊四边形？并证明你的结论．证明：（1）（2）11. 如图，四边形ABCD 是边长为a 的正方形，点G ，E 分别是边AB ，BC 的中点，∠AEF =90o ，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ． （1）证明：∠BAE =∠FEC ； （2）证明：△AGE ≌△ECF ； （3）求△AEF 的面积．12. 如图， 已知四边形ABCD 是菱形， DE ⊥AB ，DF ⊥BC . 求证:△ADE ≌△CDF .A DB E FO C５13. 已知梯形ABCD 中，BC AD //，AD AB = (如图所示)．BAD ∠的平分线AE 交BC 于点E ，联结DE ． (1) 在图中，用尺规作BAD ∠的平分线AE (保留作图痕迹，不写作法)，并证明四边形ABED 是菱形；(2) 若︒=∠60ABC ，BE EC 2=，求证：DC ED ⊥．14. 如图，正方形ABCD 中，E F 、分别是AB BC 、边上的点，且.AE BF =求证.AF DE ⊥15. 如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点A 与点C 重合，点D 落在点G 处，EF 为折痕． （1）求证：FGC EBC △≌△；（2）若84AB AD ==，，求四边形ECGF （阴影部分）的面积．A BC D D C F B E A６16. 如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E 、F 分别在AD 及其延长线上，CE ∥BF ，连接BE 、CF ． （1）求证：△BDF ≌△CDE ；（2）若AB ＝AC ，求证：四边形BFCE 是菱形．一、证明题1. （1）证：2.AD FE FEB ∴∠=∠∥，12 1.FEB ∠=∠∴∠=∠，..BF BC BC EF BF EF =∴=∴=，∴四边形BCEF 是平行四边形.BF BC =，∴四边形BCEF 是菱形. （5分） （2）证：EF BC AB BC CD AD FE ===，，∥，∴四边形ABEF 、四边形CDEF 均为平行四边形，AF BE FC ED ∴==，.（8分） 又2AC BC BD ==，.ACF BDE ∴△≌△ （10分）2. 证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴A C AB CD ABC ADC ∠=∠=∠=∠，，∵BE 平分ABC ∠，DF 平分ADC ∠，∴ABE CDF ∠=∠ 2′ ∴()ABE CDF ASA △≌△4′ （2）由ABE CDF △≌△，得AE CF =5′在平行四边形ABCD 中，AD BC AD BC =∥，７∴DE BF DE BF =∥，∴四边形EBFD 是平行四边形 6′ 若BD EF ⊥，则四边形EBFD 是菱形 8′3. 证明：在正方形ABEF 和正方形BCMN 中，90AB BE EF BC BN FEN EBC ===∠=∠=，，°. （2分） 2AB BC =， .EN BC ∴=（4分） FEN EBC ∴△≌△. （5分）.FN EC ∴= （6分）4. （1）证明：在正方形ABCD 中， 90D ABC AD AB ∠=∠==°，， （1分） 90ABF D ABF ∴∠=∴∠=∠°，， （3分） 又DE BF =，4分）ADE ABF ∴△≌△；5分）（2）将ADE △顺时针旋转90度后与ABF △重合， （7分） 旋转中心是A 点．（9分）5. 根据题目条件可判断.DE BF ∥证明如下：∵四边形ABCD 为正方形，∴ 290AB AD BAF ∠+∠==，°． ∵,AF AE EF =+又,AF BF EF =+ ∴AE BF =，∵12,∠=∠∴().ABF DAE SAS △≌△5分∴AFB DEA ∠=∠，BAF ADE ∠=∠. ∴290ADE ∠+∠=°.∴90AED BFA ∠=∠=°. ∴.DE BF ∥ 9分6. （1）∵∠1 =∠2，∴BO=CO 即2 BO=2CO （1分） ∵四边形ABCD 是平行四边形∴ AO=CO ，BO=OD （2分） 即AC=2CO ，BD= 2 BO ∴AC= BD （3分）∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴四边形ABCD 是矩形 （4分）（2）在△BOC 中，∠BOC =120°， ∴ ∠1 =∠2 =（180°—120°）÷2 = 30° （5分） ∴在Rt △ABC 中，AC=2AB=2⨯4=8(cm )，D８∴BC=344822=-(cm ) （6分） ∴四边形ABCD 的面积=24)= （7分）7. 证明：四边形ABDE 是平行四边形， AE BC ∴∥，AB DE =，.AE BD = 2分 D 为BC 中点， ∴.CD BD =3分.CD AE CD AE ∴=∥∴四边形ADCE 是平行四边形.5分AB AC =， ∴.AC DE =∴平行四边形ADCE 是矩形.7分8. 证明：点E F 、分别为AB AD 、的中点，1122AE AB AF AD ∴=，=． 2分又四边形ABCD 是菱形， AB AD ∴=． AE AF ∴=．４分又菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ， O ∴为BD 的中点.OE OF ∴、是ABD △的中位线. 6分 OE AD OF AB ∴∥，∥．∴四边形AEOF 是菱形. 10分9. （1）证明：∵四边形ABCD 是正方形∴BC ＝CD ，∠ECB ＝∠ECD ＝45°又EC ＝EC …………………………2分 ∴△ABE ≌△ADE ……………………3分 （2）∵△ABE ≌△ADE∴∠BEC ＝∠DEC ＝12∠BED …………4分 ∵∠BED ＝120°∴∠BEC ＝60°＝∠AEF ……………5分 ∴∠EFD ＝60°+45°＝105° …………………………6分10. 证明：（1）∵四边形ABCD 是正方形，AF DBEO９∴AB ＝AD ,∠B = ∠D = 90°． ∵AE = AF ，∴Rt Rt ABE ADF △≌△． ∴BE ＝DF ．4分（2）四边形AEMF 是菱形．∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BCA = ∠DCA = 45°，BC = DC ．∵BE ＝DF ，∴BC －BE = DC －DF . 即CE CF =． ∴OE OF =． ∵OM = OA ，∴四边形AEMF 是平行四边形． ∵AE = AF ，∴平行四边形AEMF 是菱形．8分11. （1）证明：∵∠AEF =90°，∴∠FEC +∠AEB =90°．………………………………………1分 在Rt △ABE 中，∠AEB +∠BAE =90°，∴∠BAE =∠FEC ；……………………………………………3分 （2）证明：∵G ，E 分别是正方形ABCD 的边AB ，BC 的中点，∴AG=GB=BE=EC ，且∠AGE =180°－45°=135°． 又∵CF 是∠DCH 的平分线，∴∠ECF =90°+45°=135°．………………………………………4分在△AGE 和△ECF 中，135AG EC AGE ECF GAE FEC =⎧⎪∠=∠=⎨⎪∠=∠⎩，，AD BEF O C１０∴△AGE ≌△ECF ； …………………………………………6分 （3）解：由△AGE ≌△ECF ，得AE=EF ．又∵∠AEF =90°，∴△AEF 是等腰直角三角形．………………………………7分由AB=a ，BE =21a ，知AE =25a ， ∴S △AEF =85a 2．…………………………9分12. 证明：在△ADE 和△CDF 中,∵四边形ABCD 是菱形,∴∠A =∠C ，AD =CD .……………………2分又DE ⊥AB ，DF ⊥BC ,∴∠AED =∠CFD =900.……………………4分∴△ADE ≌△CDF . ……………………6分13. (1) 图略（有作图痕迹，且正确）．证明：∵AE 为BAD ∠的平分线，∴DAE BAE ∠=∠． 又∵BC AD //，∴AEB DAE ∠=∠．∴AEB BAE ∠=∠．∴BE AB =． ∵AB AD =，∴BE AD =．∵BE AD //，∴四边形ABED 是平行四边形． ∵AB AD =，∴四边形ABED 是菱形．(2)证明：由(1) 知，四边形ABED 是菱形，∴AB DE //，BE DE =． ∴︒=∠=∠60ABC DEC ．(方法一)设线段EC 中点为F ，联结DF ，则FC EF =． ∵BE EC 2=，BE DE =．∴FC EF DE ==． ∵︒=∠60DEF ，∴△DEF 为等边三角形．∴︒=∠=∠60EFD EDF ，FC EF DF ==．∴FCD FDC ∠=∠．∴FDC FCD FDC DFE ∠=∠+∠=∠2．∴︒=∠30FDC ．∴︒=∠+∠=∠90FDC EDF EDC ，即DC DE ⊥．(方法二)作EC DH ⊥，垂足为H ，则︒=∠30EDH ．∴在Rt △DEH 中，ED EH 21=，ED DH 23=． ∵BE DE =，BE EC 2=，∴ED HC 23=．在Rt △DCH 中，3tan ==∠DHHCCDH ．∴︒=∠60CDH ．∴︒=∠+∠=∠90EDH CDH EDC ，即DC DE ⊥．14. 证明：四边形ABCD 为正方形90DA ABDAE ABF ∴=∠=∠=° 又AE BF =DAE ABF ∴△≌△ADE BAF ∴∠=∠（4分）90ADE AED ∠+∠=°90BAF AED ∴∠+∠=°AF DE ∴⊥ （3分）15. （1）证明：四边形ABCD 是矩形， 90A B BCD D AD BC ∴∠=∠=∠=∠==°，． ······························································ 1分 将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，点A 与点C 重合，点D 落在点G 处，90G D ∴∠=∠=°，90ECG A CG AD ∠=∠==°，， ·················································· 2分 9090G B CG BC ECG BCD ∴∠=∠==∠=∠=°，，°，90GCF BCE FCE ∴∠=∠=∠°-， ·················································································· 3分 FGC EBC ∴△≌△． ·········································································································· 4分（2）解：由（1）得FGC EBC △≌△，EBCF ECGF AEFD S S S ∴==四边形四边形四边形，2ABCD ECGF AEFD EBCF S S S S ∴=+=矩形四边形四边形四边形，11841222ABCD ECGF S S ∴==⨯⨯=矩形四边形． ······································································· 6分16. （1）证明：∵ D 是BC 的中点，∴BD =CD ．………………………………1分 ∵CE ∥BF ∴∠DBF=∠DCE ． ………………………………………………2分又∵∠BDF=∠CDE ， …………………………………………………………3分 ∴△BDF ≌△CDE ． ……………………………………………………………4分（2）证明：∵△CDE ≌△BDF ，∴DE ＝DF ．………………………………5分 ∵BD ＝CD ，∴四边形BFCE 是平行四边形．…………………………………6分 在△ABC 中，∵AB ＝AC ，BD =CD ． ∴AD ⊥BC ，即EF ⊥BC ．……………7分 ∴平行四边形BFCE 是菱形． …………………………………………………8分 （另解）∵△CDE ≌△BDF ，∴CE ＝BF ． ……………………………………5分 ∵CE ∥BF ，∴四边形BFCE 是平行四边形．……………………………………6分 ∴BE =CF ．在△ABC 中，∵AB ＝AC ，BD =CD ．∴AD ⊥BC ，即AD 垂直平分BC ，∴BE =CE ．…………………………………7分 ∴平行四边形BFCE 是菱形． ……………………………………………………8分。
1菱形的形式与判定
类型一、菱形的性质1、如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点,∠B＝∠EAF＝60°,∠BAE＝18°．求∠CEF的度数答案与解析【思路点拨】由已知∠B＝60°，∠BAE＝18°，则∠AEC＝78°．欲求∠CEF的度数，只要求出∠AEF的度数即可，由∠EAF＝60°，结合已知条件易证△AEF为等边三角形，从而∠AEF＝60°．【答案与解析】解：连接AC．∵四边形ABCD是菱形，∴ AB＝BC，∠ACB＝∠ACF．又∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．∴∠ACF＝∠B＝60°．又∵∠EAF＝∠BAC＝60°∴∠BAE＝∠CAF．∴△ABE≌△ACF．∴ AE＝AF．∴△AEF为等边三角形．∴∠AEF＝60°．又∵∠AEF＋∠CEF＝∠B＋∠BAE，∠BAE＝18°，∴∠CEF＝18°．【总结升华】当菱形有一个内角为60°时，连接菱形较短的对角线得到两个等边三角形，有助于求相关角的度数．在求角的度数时，一定要注意已知角与所求角之间的联系．2、已知：如图所示，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M,交CD的延长线于点F．（1）求证：AM＝DM；（2）若DF＝2，求菱形ABCD的周长．答案与解析举一反三【答案与解析】证明：（1）连接DB，则由菱形性质得BD⊥AC．又因为EF⊥AC，所以EF∥BD，即ME∥BD．又因为点E是AB的中点，所以点M是AD的中点．所以AM＝DM．（2）由（1）得DB∥EF．又BE∥DF，所以四边形EFDB是平行四边形．所以BE＝DF＝2．又因为，即AB＝2BE＝2×2＝4．所以菱形ABCD的周长为4×4＝16．【总结升华】菱形四边相等，对角线互相垂直平分.【变式】菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝，如图所示．求：（1）∠ABC的度数．（2）对角线AC的长．（3）菱形ABCD的面积．答案与解析【答案】解：（1）连接BD，交AC于点O．∵四边形ABCD是菱形∴ AD＝AB∵ E是AB的中点，且DE⊥AB．∴ AD＝DB，∴△ABD是等边三角形．∴△DBC也是等边三角形．∴∠ABC＝60°×2＝120°．（2）∵四边形ABCD是菱形．∴ AC与BD互相垂直平分．∴，∴．∴．（3）．类型二、菱形的判定3、矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB、CD的延长线分别交于E、F两点．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是菱形，并证明你的结论．答案与解析举一反三【答案与解析】（1）证明：在矩形ABCD中，AB∥CD，BO＝OD，∴∠BEO＝∠DFO，∠EBO＝∠FDO（两直线平行，内错角相等），∴△BOE≌△DOF(AAS)．（2）当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形．证明：由（1）知，△BOE≌△DOF，∴ OE＝OF．又∵矩形ABCD中，OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．又∵ EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．【总结升华】要证明四边形是菱形，先证明这个四边形是平行四边形，再利用对角线互相垂直的特征证明该平行四边形是菱形.【变式】已知，在△ABC中，AB＝AC＝，M为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB 于Q.（1）求四边形AQMP的周长；（2）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？说明你的理由.答案与解析【答案】解：（1）∵MQ∥AP，MP∥AQ，∴四边形AQMP是平行四边形∴QM＝AP又∵AB＝AC，MP∥AQ，∴∠2＝∠C，△PMC是等腰三角形，PM＝PC∴QM＋PM＝AP＋PC＝AC＝∴四边形AQMP的周长为2（2）M位于BC的中点时，四边形AQMP为菱形.∵M位于BC的中点时,易证△QBM与△PCM全等,∴QM＝PM,∴四边形AQMP为菱形类型三、菱形的综合应用4、如图所示，菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，∠EAF的两边分别交BC、CD于E、F．（1）当点E、F分别在边BC、CD上时，求CE＋CF的值．（2）当点E、F分别在CB、DC的延长线时，CE、CF又存在怎样的关系，并证明你的结论．答案与解析【思路点拨】（1）由菱形的性质可知AB＝BC，而∠ABC＝60°，即联想到△ABC为等边三角形,∠BAC＝60°,又∠EAF＝60°所以∠BAE＝∠CAF，可证△BAE≌△CAF，得到BE＝CF，所以CE+CF＝BC．（2）思路基本与（1）相同但结果有些变化．【答案与解析】解：（1）连接AC．在菱形ABCD中，BC＝AB＝4，AB∥CD．∵∠ABC＝60°，∴ AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°．∴∠ACF＝60°，即∠ACF＝∠B．∵∠EAF＝60°，∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF．∴△ABE≌△ACF(ASA)，∴ BE＝CF．∴ CE＋CF＝CE＋BE＝BC＝4．（2）CE－CF＝4．连接AC如图所示．∵∠BAC＝∠EAF＝60°，∴∠EAB＝∠FAC．∵∠ABC＝∠ACD＝60°，∴∠ABE＝∠ACF＝120°．∵ AB＝AC，∴△ABE≌△ACF(ASA)，∴ BE＝CF．∴ CE－CF＝CE－BE＝BC＝4．【总结升华】（1）菱形的性质的主要应用是证明角相等、线段相等、两直线平行、两线段互相垂直、互相平分等．（2）注意菱形中的60°角的特殊性，它让菱形这个特殊的平行四边形变得更加特殊，常与等边三角形发生联系巩固练习一.选择题1. 下列命题中，正确的是( )A. 两邻边相等的四边形是菱形B. 一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形C. 对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形D. 对角线垂直的四边形是菱形2. 菱形的周长为高的8倍，则它的一组邻角是（）A. 30°和150°B. 45°和135°C. 60°和120°D. 80°和100°3．已知菱形的周长为40，两条对角线的长度比为3：4，那么两条对角线的长分别为（）A．6，8 B. 3，4 C. 12，16 D. 24，324.（2012•陕西）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC＝130°，则∠AOE 的大小为（）A．75° B．65° C．55° D．50°5. 如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14，四边形ABCD面积是11，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（）A. 48B. 36C. 24D. 186. 如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是（）A. B. 2 C. 3 D.二.填空题7. 已知菱形的一条对角线长为12，面积为30，则这个菱形的另一条对角线长为__________.8．如图，已知菱形ABCD，其顶点A、B在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC＝_____.9．如图，菱形ABCD的边长是2，E是AB中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为______.10．已知菱形ABCD的周长为20，且相邻两内角之比是1∶2，则菱形的两条对角线的长和面积分别是______11. 如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝______．12.（2012•西宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝12，BD＝16，E为AD中点，点P在轴上移动，小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标（－5，0）和（5，0）．请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标__________________.三.解答题13. 如图，在菱形ABCD中，点E是AB的中点，且DE⊥AB．（1）求∠ABD的度数；（2）若菱形的边长为2，求菱形的面积．14. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形.15．如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点（不与端点重合），且满足AE＋CF ＝2．（1）求证：△BDE≌△BCF；（2）判断△BEF的形状，并说明理由；（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围．答案与解析【答案与解析】一.选择题1.【答案】B；2.【答案】A；【解析】由题意可知边长是高的2倍，所以一个内角为30°，另一个内角为150°.3.【答案】C；【解析】设两条对角线的长为.所以有,∴,所以两条对角线的长为12 ，16.4.【答案】B；【解析】在菱形ABCD中，∠ADC＝130°，∴∠BAD＝180°－130°＝50°，∴∠BAO＝∠BAD＝×50°＝25°，∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°－∠BAO＝90°－25°＝65°．5.【答案】A ；【解析】菱形的面积等于11＋＝18，设菱形边长为,则，①②③④四个平行四边形周长的总和为菱形周长的2倍.6.【答案】A；【解析】菱形的高分别是和，阴影部分面积＝两个菱形面积－△ABD面积－△DEF面积－△BGF面积＝.二.填空题7.【答案】5；【解析】设这个菱形的另一条对角线长为,所以，解得.8.【答案】5；【解析】菱形四条边相等.9.【答案】；【解析】由题意∠A＝60°，DE＝.10.【答案】5；；；【解析】菱形一个内角为60°，边长为5，所以两条对角线长为5和，面积为.11.【答案】；【解析】.12.【答案】；【解析】由在菱形ABCD中，AC＝12，BD＝16，E为AD中点，根据菱形的性质与直角三角形的性质，易求得OE 的长，然后分别从①当OP＝OE时，②当OE＝PE时，③当OP＝EP时去分析求解即可求得答案．三.解答题13.【解析】解：（1）∵DE⊥AB，AE＝BE∴△ABD是等腰三角形，∴AD＝BD∵四边形ABCD是菱形∴AD＝AB∴AD＝AB＝BD，∴△ABD是等边三角形∴∠ABD＝60°（2）∵AD＝AB＝2，∴AE＝1，在Rt△AED中，DE＝∴S菱形ABCD＝AB•DE＝.14.【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，OB＝OD∵∠EDO＝∠FBO, ∠OED＝∠OFB∴△OED≌△OFB∴DE＝BF又∵ED∥BF∴四边形BEDF是平行四边形∵EF⊥BD∴平行四边形BEDF是菱形.15.【解析】解：（1）∵AE＋CF＝2＝CD＝DF＋CF∴AE＝DF，DE＝CF，∵AB＝BD∴∠A＝∠ADB＝60°在△BDE与△BCF中∴△BDE≌△BCF（2）由（1）得BE＝BF，∠EBD＝∠CBF∴∠EBF＝∠EBD＋∠DBF＝∠DBF＋∠CBF＝∠CBD＝60°∴△BEF是等边三角形（3）∵≤△BEF的边长＜2∴∴。
《菱形的判定与性质》培优训练(附答案)
八年级数学下册《6.1菱形的判定与性质》培优训练（附答案）1．如图，在菱形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，AB ＝4，BD ＝43，E 为AB 的中点，点P 为线段AC 上的动点，则EP+BP 的最小值为（ ）A ．4B ．25C ．27D ．82．如图，菱形ABCD 的边长为4,60,A E ∠=是边AD 的中点，F 是边AB 上的一个动点，将线段EF 绕着E 逆时针旋转60，得到EG ，连接EG CG 、，则BG CG +的最小值为（ ）A ．33 B ．27 C ．43 D ．223+3．如图，在菱形ABCD 中，AB=6，∠ABC=60°，点E 在AD 上，且AE=2，点P 是对角线BD 上的一个动点，则PE+PA 的最小值是 ．4．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BD 平分∠ABC ，过点D 作DE ⊥BC ，交BC 的延长线于点E ，连接OE ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若DC ＝25，AC ＝4，求OE 的长．5．如图，在Rt ABC ∆中，090BAC ∠=，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作//BC AF 交BE 的延长线于点F（1）求证：四边形ADCF 是菱形（2）若4,5AC AB ==，求菱形ADCF 的面积6．在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，P 是射线BD 上一动点，以AP 为边向右侧作等边△APE ，连接CE ．（1）如图1，当点P 在菱形ABCD 内部时，则BP 与CE 的数量关系是 ，CE 与AD 的位置关系是 ．（2）如图2，当点P 在菱形ABCD 外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图2，连接BE ，若AB ＝23，BE ＝219，求AP 的长．7．如图，菱形ABCD 中，4AB =，E 为BC 中点，AE BC ⊥，AF CD ⊥于点F ，CG ∥AE ，CG 交AF 于点H ，交AD 于点G ．（1）求菱形ABCD 的面积；（2）求CHA ∠的度数．8．四边形ABCD 为菱形，点E 在边AD 上，点F 在边CD 上(1) 若AE=CF ，求证：EB=BF(2) 若AD=4，DE=CF ，且△EFB 为等边三角形，求四边形DEBF 的面积(3) 若∠DAB=60°，点H 在边BC 上，且BH=HC=2．若∠DFA=2∠HAB ，直接写出CF 的长9．如图，在菱形ABCD 中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF 为正三角形，E 、F 在菱形的边BC ，CD 上．（1）证明：BE=CF ．（2）当点E ，F 分别在边BC ，CD 上移动时（△AEF 保持为正三角形），请探究四边形AECF 的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．（3）在（2）的情况下，请探究△CEF 的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．10．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，AE 平分BAC ∠，分别交BC ，CD 于E ，F ，EH AB ⊥于H .连接FH ，求证：四边形CFHE 是菱形.11．在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE∥DB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠DAB=60°，且AB=4，求OE的长．12．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，点E，F分别是边AB，AD上的点，且满足∠BCE=∠DCF，连结EF．（1）若AF=1，求EF的长；（2）取CE的中点M，连结BM，FM，BF．求证：BM⊥FM．13．在Rt△ABC中，∠BAC=,D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）证明四边形ADCF是菱形；（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCFD 的面积．14．在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF。
初二数学菱形的判定作业练习题(含答案)
初二数学菱形的判定作业练习题一．选择题（共5小题）1．下列说法不正确的是()A．四边都相等的四边形是菱形B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形D．对角线互相平分且相等的四边形是菱形2．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的有()①当AB BC⊥时，四边形ABCD是菱形；=时，四边形ABCD是菱形；②当AC BD③当90=时，四边形ABCD是菱形；∠=︒时，四边形ABCD是菱形；④当AC BDABCA．3个B．4个C．1个D．2个3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA OC=，=．若要使四边形ABCD为菱形，则可以添加的条件是()OB ODA．AC BD∠=︒D．AC BD⊥⊥C．60=B．AB BCAOB4．已知四边形ABCD中，AC BD⊥，再补充一个条件使四边形ABCD为菱形，这个条件可以是() A．AC BD==B．AB BCC．AC与BD互相平分D．90∠=︒ABC5．在平面直角坐标系内，点O是原点，点A的坐标是(3,4)，点B的坐标是(3,4)-，要使四边形AOBC 是菱形，则满足条件的点C的坐标是()A．(3,0)-B．(3,0)C．(6,0)D．(5,0)二．填空题（共5小题）6．如果一个四边形的两条对角线互相平分，互相垂直，那么这个四边形是．7．如图，两张等宽的长方形纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是．8．四边形ABCD中，已知//AD BC，添加一个条件，即可判定该四边AB CD，//形是菱形．9．如图，四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB OD=，请你添加一个适当的条件，使四边形ABCD是菱形．（只需添加一个即可）10．四边形ABCD为平行四边形，对角线AC，BD交于点O，请你添加一个合适的条件使其成为菱形．（只需添加一个即可）三．解答题（共4小题）11．如图，在ABCD=．⊥，垂足分别为点E、F，且BE DFY中，AE BC⊥，AF CD求证：ABCDY是菱形．12．已知如图ABCDY中，EF垂直平分对角线BD，交点为O，求证：四边形BFDE是菱形．13．如图，//∠交AE于点D，AC BD⊥于点O，交BF于点C，连接CD．求AE BF，BD平分ABC证：四边形ABCD是菱形．14．如图，在ABCAF BC交BE的延长∠=︒，AD是中线，E是AD的中点，过点A作//∆中，90BAC线于F，连接CF，求证：四边形ADCF是菱形．答案与解析一．选择题（共5小题）1．下列说法不正确的是()A．四边都相等的四边形是菱形B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形D．对角线互相平分且相等的四边形是菱形【分析】由菱形的判定定理和矩形的判定定理分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：Q四边都相等的四边形是菱形，∴选项A不符合题意；Q有一组邻边相等的平行四边形是菱形，∴选项B不符合题意；Q对角线互相垂直平分的四边形是菱形，∴选项C不符合题意；Q对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴选项D符合题意；故选：D．2．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的有()①当AB BC=时，四边形ABCD是菱形；②当AC BD⊥时，四边形ABCD是菱形；③当90∠=︒时，四边形ABCD是菱形：ABC④当AC BD=时，四边形ABCD是菱形；A．3个B．4个C．1个D．2个【分析】根据菱形的判定定理判断即可．【解答】解：Q四边形ABCD是平行四边形，=时，四边形ABCD是菱形；故符合题意；∴①当AB BC②当AC BD⊥时，四边形ABCD是菱形；故符合题意；③当90∠=︒时，四边形ABCD是长方形；故不符合题意；ABC④当AC BD=时，四边形ABCD是长方形；故不符合题意；故选：D．3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA OC=．若要使四边形ABCD=，OB OD为菱形，则可以添加的条件是()A．AC BD⊥=B．AB BC∠=︒D．AC BD⊥C．60AOB【分析】由条件OA OC=根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD为平=，OB OD行四边形，再由矩形和菱形的判定定理即可得出结论．【解答】解：OA OCQ，OB OD=，=∴四边形ABCD为平行四边形，A、AC BDQ，=∴四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；B、AB BCQ，⊥∴四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；Q，∠=︒AOBC、60不能得出四边形ABCD是菱形；选项C不符合题意；D、AC BDQ，⊥∴四边形ABCD是菱形，故选项D符合题意；故选：D．4．已知四边形ABCD中，AC BD⊥，再补充一个条件使四边形ABCD为菱形，这个条件可以是() A．AC BD=B．AB BC=C．AC与BD互相平分D．90∠=︒ABC【分析】由在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，可得四边形ABCD是平行四边形，又由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可求得答案．【解答】解：Q在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，⊥Q，AC BD∴四边形ABCD是菱形．故选：C．5．在平面直角坐标系内，点O是原点，点A的坐标是(3,4)，点B的坐标是(3,4)-，要使四边形AOBC 是菱形，则满足条件的点C的坐标是()A．(3,0)-B．(3,0)C．(6,0)D．(5,0)【分析】如图，连接AB交OC于D，根据菱形的性质即可得到结论．【解答】解：如图，连接AB交OC于D，Q四边形AOBC是菱形，=，AD OC∴⊥，OD CD-，Q点A的坐标是(3,4)，点B的坐标是(3,4)OD∴=，3∴=，OC6∴，(6,0)C故选：C．二．填空题（共5小题）6．如果一个四边形的两条对角线互相平分，互相垂直，那么这个四边形是菱形．【分析】由一个四边形的两条对角线互相平分，互相垂直，根据菱形的判定定理可得这个四边形是菱形．【解答】解：Q一个四边形的两条对角线互相平分，∴此四边形是平行四边形，Q两条对角线互相垂直，∴这个四边形是菱形．故答案为：菱形．7．如图，两张等宽的长方形纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形．【分析】首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．【解答】解：过点A 作AE BC ⊥于E ，AF CD ⊥于F ，如图，Q 两条纸条宽度相同，AE AF ∴=．//AB CD Q ，//AD BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．ABCD S BC AE CD AF =⋅=⋅Y Q ．又AE AF =Q ．BC CD ∴=，∴四边形ABCD 是菱形；故答案为：菱形．8．四边形ABCD 中，已知//AB CD ，//AD BC ，添加一个条件 AB BC =或AC BD ⊥ ，即可判定该四边形是菱形．【分析】根据平行四边形的判定证出四边形ABCD 是平行四边形，根据菱形的判定证出即可．【解答】解：添加的条件是AB BC =，或AC BD ⊥；理由如下：//AB CD Q ，//AD BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，若AB BC =，则平行四边形ABCD 是菱形；若AC BD ⊥，则平行四边形ABCD 是菱形；故答案为：AB BC =或AC BD ⊥．9．如图，四边形ABCD 是对角线互相垂直的四边形，且OB OD =，请你添加一个适当的条件OA OC = ，使四边形ABCD 是菱形．（只需添加一个即可） 【分析】可以添加条件OA OC =，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形可判定出结论．【解答】解：OA OC =，OB OD =Q ，OA OC =，∴四边形ABCD 是平行四边形，AC BD ⊥Q ，∴平行四边形ABCD 是菱形，故答案为：OA OC =．10．如图，四边形ABCD 为平行四边形，请你添加一个合适的条件 ()AB BC AC BD =⊥ 使其成为菱形．（只需添加一个即可）【分析】根据菱形的判定可得．【解答】解：AB BC =Q （一组邻边即可），且四边形ABCD 为平行四边形∴四边形ABCD 是菱形AC BD ⊥Q ，且四边形ABCD 为平行四边形∴四边形ABCD 是菱形．故答案为()AB BC AC BD =⊥三．解答题（共4小题）11．如图，在ABCD Y 中，AE BC ⊥，AF CD ⊥，垂足分别为点E 、F ，且BE DF =． 求证：ABCD Y 是菱形．【分析】由平行四边形的性质可得B D ∠=∠，由“ASA ”可证ABE ADF ∆≅∆，可得AB AD =，即可得结论．【解答】证明：Q 四边形ABCD 是平行四边形B D ∴∠=∠，且BE DF =，90AEB ADF ∠=∠=︒()ABE ADF ASA ∴∆≅∆AB AD ∴=，且四边形ABCD 是平行四边形∴四边形ABCD 是菱形12．已知如图ABCD Y 中，EF 垂直平分对角线BD ，交点为O ，求证：四边形BFDE 是菱形．【分析】根据平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法证明出DOE BOF ∆≅∆，得到OE OF =，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形EBFD 是平行四边形，进而利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出四边形BFDE 为菱形．【解答】证明：Q 在ABCD Y 中，O 为对角线BD 的中点，BO DO ∴=，EDB FBO ∠=∠，在DOE ∆和BOF ∆中，EDO FBO OD OBEOD FOB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()DOE BOF ASA ∴∆≅∆；OE OF ∴=，又OB OD =Q ，∴四边形EBFD 是平行四边形，EF BD ⊥Q ，∴四边形BFDE 为菱形．13．如图，//AE BF ，BD 平分ABC ∠交AE 于点D ，AC BD ⊥于点O ，交BF 于点C ，连接CD ．求证：四边形ABCD 是菱形．【分析】直接利用平行线的性质结合角平分线的定义得出对应角的关系，进而得出()ADO CBO ASA ∆≅∆，进而证明即可．【解答】证明：//AE BF Q ，ADB CBD ∴∠=∠，BD Q 平分ABC ∠交AE 于点D ，ABD DBC ∴∠=∠，ABD ADB ∴∠=∠，AB AD ∴=，AC BD ⊥Q ，BO DO ∴=，在ADO ∆和CBO ∆中ADO CBO DO BOAOD BOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ADO CBO ASA ∴∆≅∆，AD BC ∴=，又∵AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，AB AD =Q ，∴四边形ABCD 是菱形．14．如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD 是中线，E 是AD 的中点，过点A 作//AF BC 交BE 的延长线于F ，连接CF ，求证：四边形ADCF 是菱形．【分析】根据AAS 证AFE DBE ∆≅∆，推出AF BD =．结合已知条件，利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到ADCF 是菱形．【解答】证明：//AF BC Q ，AFE DBE ∴∠=∠，E Q 是AD 的中点，AD 是BC 边上的中线，AE DE ∴=，BD CD =，在AFE ∆和DBE ∆中，AFE DBE FEA BED AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AFE DBE AAS ∴∆≅∆；AF DB ∴=．DB DC =Q ，AF CD ∴=．//AF BC Q ，∴四边形ADCF 是平行四边形，90BAC ∠=︒Q ，D 是BC 的中点， 12AD DC BC ∴==， ∴四边形ADCF 是菱形．。
第1讲 菱形的性质与判定(解析版)
第1讲 菱形的性质与判定 1.理解掌握菱形的概念性质及判定定理2.会用菱形的有关知识进行证明，会计算菱形的面积 知识点01 菱形的性质（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（2）菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（3）菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积12ab ．（a 、b 是两条对角线的长度） 【知识拓展1】菱形的两条对角线长的比是32，面积是cm 12，则它的对角线的长分别是 cm ， cm ． (★)解答方法：∵ 设菱形的两条对角线的长分别为厘米厘米x x 3,2，∴ 122132=⋅⋅=x x S 菱形，∴ 解得舍去）(2,221-==x x ， ∴ 对角线的长分别为cm cm 6,4。
答案：cm cm 6,4。
【总结方法】菱形的面积等于对角线乘积的一半。
【即学即练】两对角线分别是6cm 和8cm 的菱形面积是 _________ cm 2，周长是 _________ cm ． (★) 解答方法：菱形面积是224286cm =÷⨯；∵菱形的对角线互相垂直平分，根据勾股定理可得，边长为5cm ，则周长是20cm ． 知识精讲目标导航故答案为24，20．解答：24,20【知识拓展2】菱形的周长是它的高的8倍，则菱形较小的一个角为（）(★★) A．60°B．45°C．30°D．15°解答方法：菱形的周长为边长的4倍，又∵菱形周长为高的8倍，∴AB=2AE，∵△ABE为直角三角形，∴∠ABC=30°．故选 C．答案：C【总结方法】本题考查了菱形各边长相等的性质，考查了直角三角形中的特殊角，本题中根据特殊角求得∠ABC=30°是解题的关键．【即学即练1】菱形的一条对角线与边长相等，则菱形中较小的内角是（）(★★) A．60°B．15°C．30°D．90°解答方法：因为菱形的一条对角线与边长相等，所以该对角线和菱形的两边组成的是等边三角形，可得该菱形较小内角的度数是60°．解答：A【即学即练2】如果菱形的周长等于一条对角线长的4倍，那么这个菱形较小的一个内角等于度．(★★)解答方法：∵菱形的周长等于一条对角线长的4倍，∴AB=BD=AD，∴△ABD是等边三角形，∴∠A=60°．即这个菱形较小的一个内角等于60°．解答：60【知识拓展3】已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．求证：∠AFD=∠CBE． (★★)答案：证明：∵ 四边形ABCD 是菱形，∴ BCD CA CD CB ∠=平分,．∴ CE CE DCE BCE =∠=∠又.,∴ △BCE ≌△COB （SAS ）．∴ ∠CBE=∠CDE ．∵ 在菱形ABCD 中，AB ∥CD ， ∴∠AFD=∠FDC∴ ∠AFD=∠CBE ．【总结方法】通过菱形的基本性质可以得到三角形全等，进而推出对应角相等，然后利用平行内错角相等进行转化即可得到要证明的结论。
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菱形的判定一、选择题1．下列四边形中不一定为菱形的是（）A．对角线相等的平行四边形 B．每条对角线平分一组对角的四边形C．对角线互相垂直的平行四边形 D．用两个全等的等边三角形拼成的四边形2．四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD= BC； ⑤AD∥BC．这5个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有（）．A．1种 B．2种 C．3种 D．4种3．菱形的周长为32cm，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（）A．8cm和43cm B．4cm和83cm C．8cm和83cm D．4cm和43cm二、填空题4．如图1所示，已知□ABCD，AC，BD相交于点O，•添加一个条件使平行四边形为菱形，添加的条件为________．（只写出符合要求的一个即可）图1 图25．如图2所示，D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且DE∥AB，DF∥CA，要使四边形AFDE 是菱形，则要增加的条件是________．（只写出符合要求的一个即可）6．菱形ABCD的周长为48cm，∠BAD： ∠ABC= 1：•2，•则BD=•_____，•菱形的面积是______．7．在菱形ABCD中，AB=4，AB边上的高DE垂直平分边AB，则BD=_____，AC=_____．四、思考题9．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，PD∥AC，PC∥BD，PD，PC相交于点P，四边形PCOD是菱形吗？试说明理由．]2、如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形．3如图所示，四边形ABCD、DEBF都是矩形，AB=BF，AD、BE相交于M，BC、DF交于N，求证：四边形BMDN是菱形．1、用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是___________2、有一组邻边相等的四边形是菱形（）3、对角线互相垂直的四边形是菱形（）4、对角线互相平分垂直的四边形是菱形（）5、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，与AB相交于点E，DF∥AB，与AC相交于点F，试说明四边形AEDF是菱形。
反思：参考答案一、1．A 点拨：本题用排除法作答．2．D 点拨：根据菱形的判定方法判断，注意不要漏解．3．C 点拨：如图所示，若∠ABC=60°，则△ABC 为等边三角形，• 所以AC=AB=14×32=8（cm ），AO=12AC=4cm ． 因为AC⊥BD，在Rt△AOB 中，由勾股定理，得OB=222284AB OA -=-=43（cm ），• 所以BD=2OB=83cm ．二、4．AB=BC 点拨：还可添加AC⊥BD 或∠ABD=∠CBD 等． 5．点D 在∠BAC 的平分线上（或AE=AF ）6．12cm ；723cm 2点拨：如图所示，过D 作DE⊥AB 于E ， 因为AD∥BC，•所以∠BAD+∠ABC=180°． 又因为∠BAD：∠ABC=1：2，所以∠BAD=60°，因为AB=AD ，所以△ABD 是等边三角形，所以BD=AD=12cm ．所以AE=6cm ． 在Rt △AED 中，由勾股定理，得AE 2+ED 2=AD 2，62+ED 2=122，所以ED 2=108， 所以ED=63cm ，所以S 菱形ABCD =12×63=723（cm 2）．7．4；43 点拨：如图所示，因为DE 垂直平分AB ，又因为DA=AB ，所以DA=DB=4．所以△ABD 是等边三角形，所以∠BAD=60°， 由已知可得AE=2．在Rt△AED 中，•AE 2+DE 2=AD 2，即22+DE 2=42，所以DE 2=12，DC所以DE=23，因为12AC ·BD=AB ·DE ，即12AC ·4=4×23，所以AC=43．三、8．解：四边形ABCD 是菱形，因为四边形ABCD 中，AB∥CD，且AB=CD ， 所以四边形ABCD 是平行四边形，又因为AB=BC，所以ABCD 是菱形．点拨：根据已知条件，不难得出四边形ABCD 为平行四边形，又AB=BC ，即一组邻边相等，由菱形的定义可以判别该四边形为菱形．四、9．解：四边形PCOD 是菱形．理由如下：因为PD∥OC，PC∥OD，•所以四边形PCOD 是平行四边形． 又因为四边形ABCD 是矩形，所以OC=OD ， 所以平行四边形PCOD 是菱形．20.3 菱形的判B 卷一、七彩题1．（一题多解题）如图所示，△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC 的平分线BD•交AC 于点D ，CH⊥AB 于H ，且交BD 于点F ，DE⊥AB 于E ，四边形CDEF 是菱形吗？请说明理由．KDACFHGE BD ACFH GEB二、知识交叉题2．（科内交叉题）如图所示，已知△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，过点D•作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E ，F ，再过E ，F 作EG⊥AC，FH⊥AB，垂足分别为G ，H ，且EG ，•FH 相交于点K ，试说明EF 和DK 之间的关系．三、实际应用题3．菱形以其特殊的对称美而备受人们喜爱，在生产生活中有极其广泛的应用．如图所示是一块长30cm ，宽20cm 的长方形的瓷砖，E ，F ，G ，H 分别是边BC ，CD ，DA ，•AB 的中点，涂黑部分为淡蓝色花纹，中间部分为白色．现有一面长4.2m ，宽2.8m•的墙壁准备贴这种瓷砖，试问： （1）这面墙壁最少要贴这种瓷砖多少块？（2）全部贴满瓷砖后，这面墙壁最多会出现多少 个面积相等的菱形？•其中有花纹的菱形有多少个？四、经典中考题4．（宜宾）已知：如图所示，菱形ABCD 中，E ，F 分别是CB ，CD 上的点，且BE=DF ． （1）试说明：AE=AF ；（2）若∠B=60°，点E ，F 分别为BC 和CD 的中点，试说明：△AEF 为等边三角形．五、探究学习篇1．（结论开放题）如图所示，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，且CE=CF．请你仔细观察图，除了菱形自身已经具备的性质和题目中的条件外，请你选取一个角度提出一个问题，并加以说明．2．阅读下列材料，完成后面的问题：如图，在ABCD中，∠BAD的平分线AE与BC相交于点E，∠ABC 的平分线BF与AD相交于点F，AE•与BF•相交于点O，•求证：•四边形ABEF是菱形．证明：①因为四边形ABCD是平行四边形；②所以AD∥BC；③所以∠ABE+∠BAF= 180°；④因为AE，BF分别平分∠BAF，∠ABE；⑤所以∠1=∠2=12∠BAF，∠3=∠4=12∠ABE； ⑥所以∠1+∠3=12（∠ABE+∠BAF）=90°；⑦所以∠AOB=90°；⑧所以AE⊥BF； ⑨所以四边形ABEF是菱形，问：（1）上述证明是否正确？答：___________；（2）如有错误，在第______步推理错误，应在第_____步后添加如下证明过程：参考答案一、1．解法一：四边形CDEF是菱形．理由：如图所示，因为∠1=∠2，∠ACB=90°，DE⊥AB，又BD=•BD，•所以△CBD≌△EBD，所以CD=DE，因为∠1+∠4=90°，∠2+∠5=90°，∠1=∠2，∠3=∠5，•所以∠3=∠4．所以CF=CD．所以CF=DE．因为CH⊥AB，DE⊥AB，所以CH∥DE．所以CF//DE．•所以四边形CDEF是平行四边形．又因为CF=CD，所以□CDEF是菱形．解法二：四边形CDEF是菱形．理由：如答图20-3-4所示，连结CE交DF于点O．因为∠1=∠2，∠BCD=∠BED=90°，BD=BD，所以△BCD≌△BED．所以BC=BE．又因为∠1=∠2，所以BD⊥CE，且OC=OE．因为∠1+∠4=90°，∠2+∠5=90°，∠1=∠2，∠3=∠5，所以∠3= ∠4．所以CF=CD．又因为CE⊥DF，所以OF=OD．所以四边形CDEF是平行四边形，•又因为DF⊥CE，所以CDEF是菱形．点拨：解法一利用了菱形的定义，•解法二利用了“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的方法，本题除以上两种解法外，还可利用“四条边都相等的四边形是菱形”的方法解决，请同学们再进行探讨．二、2．解：EF与DK互相垂直平分．理由：因为DE⊥AB，FH⊥AB，所以DE∥FH．•因为DF⊥AC，EG⊥AC，所以DF∥EG．所以四边形DEKF是平行四边形．因为AB=AC，所以∠B=∠C．又因为BD=CD，∠BED=∠CFD=90°，所以△BDE≌△CDF，所以DE=DF．所以DEKF是菱形，•所以EF与DK互相垂直平分．点拨：要说明EF与DK互相垂直平分，只要说明四边形DEKF是菱形，•要说明四边形DEKF是菱形，可先说明四边形DEKF是平行四边形，再说明一组邻边相等即可．三、3．解：（1）因为墙壁的总面积为4.2×2.8=11.76（m2），每块瓷砖的面积为0.3×0.2=0.06（m2），所以最少需要贴这种瓷砖11.76÷0.06=196（块）．（2）因为每相邻4块瓷砖构成一个有花纹的菱形（如图），在长4.2m，宽2.8m的墙壁上贴长30cm，宽20cm的长方形瓷砖，可贴4.2÷0.3=14（列），2.8÷0.2=14（•行）．因此构成的有花纹的菱形共13列13行，所以有花纹的菱形共13×13=169（个）．同时，白色菱形的个数与瓷砖的块数相同，故有白色菱形196个．从而面积相等的菱形最多有169+196=365（个）．四、4．解：（1）因为四边形ABCD是菱形，所以AB=AD，∠B=∠D，又因为BE=DF，•所以△ABE≌△ADF，所以AE=AF．（2）连结AC．因为AB=BC，∠B=60°，所以△ABC 是等边三角形，因为E是BC的中点，所以AE⊥BC，所以∠BAE=90°-60°=30°，同理∠DAF=30°．因为∠BAD=180°-∠B=120°，所以∠EAF=∠BAD-∠BAE-∠DAF=60°．又因为AE=AF，•所以△AEF是等边三角形．。