复合函数零点小专题
高考函数-复合函数的零点-含答案
结合图象可知
a
a
f f
3 3 4 8
，可得 3 a
8
（2）若 a 0 ，则关于的不等式 0 f x a 恰有一个整数解．
结合图象可知{
a a f
f 1 1 1 3
，可得 3 a 1
综上， 3 a 1或3 a 8 ．
例
5.已知函数
f
(x) (x2
3)ex
，当 m
，恰好有 4 个不相等实数根
∴关于 的方程
在和
上各有一解
∴
，解得
，
综上：答案为
；
例 2.（13 安徽）若函数 f x x3 ax2 bx c 有极值点 x1, x2 ，且 f x1 x1 ，
则关于 x 的方程 3 f x2 2af x b 0 的不同实根的个数是（
）
A．3
的 4 个公共点，由图象可知 7 b 2 ． 4
8 6 4 2
15
10
5 2
5
10
15
4
6
8
例
7.（13
江西改编） 设函数
f
(x)
1 a
x
,
1
1 a
0 xa,
1 x , a
x
（ 1
a
为常数且
a
0,1
）．
若 x0 是 f f x x 的零点但不是 f x x 的零点，则称 x0 为 f (x) 的二阶周期点，
二 题型攻略·深度挖掘 1.【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出 现，一般综合性强，难度大．
2.【技能方法】求解复合函数 y g f x 零点问题的技巧： （1）借助数形结合思想，处理问题作出 u f x, y g u 的图像
复合函数零点问题
复合函数零点问题例1：设定义域为R 的函数()1,111,1x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程()()20f x b f x c ++=由3个不同的解123,,x x x ，则222123x x x ++=______ 思路：先作出()f x 的图像如图：观察可发现对于任意的0y ，满足()0y f x =的x 的个数分别为2个（000,1y y >≠）和3个（01y =），已知有3个解，从而可得()1f x =必为()()20f x bf x c ++=的根，而另一根为1或者是负数。
所以()1i f x =，可解得：1230,1,2x x x ===，所以2221235x x x ++=答案：5例2：关于x 的方程()22213120x x ---+=的不相同实根的个数是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 8思路：可将21x -视为一个整体，即()21t x x =-，则方程变为2320t t -+=可解得：1t =或2t =，则只需作出()21t x x =-的图像，然后统计与1t =与2t =的交点总数即可，共有5个 答案：C 例3：已知函数11()||||f x x x x x=+--，关于x 的方程2()()0f x a f x b ++=（,a b R ∈）恰有6个不同实数解，则a 的取值范围是 ． 思路：所解方程2()()0f x a f x b ++=可视为()()20f x a f x b ++=，故考虑作出()f x 的图像：()2,12,012,102,1x x x x f x x x x x⎧>⎪⎪<≤⎪=⎨--≤<⎪⎪-<-⎪⎩， 则()f x 的图像如图，由图像可知，若有6个不同实数解，则必有()()122,02f x f x =<<，所以()()()122,4a f x f x -=+∈，解得42a -<<-答案：42a -<<-例4：已知定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()121,0212,22x x f x f x x -⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，则关于x 的方程()()2610f x f x --=⎡⎤⎣⎦的实数根个数为（ ）A. 6B. 7C. 8D. 9思路：已知方程()()2610f x f x --=⎡⎤⎣⎦可解，得()()1211,23f x f x ==-，只需统计11,23y y ==-与()y f x =的交点个数即可。
复合函数零点问题解题思路
复合函数零点问题解题思路例1：已知)(x f 为R 上的偶函数，当0≥x 时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤≤-=1,1)21(10),1(2cos 23)(x x x x f x π，若函数 )(6)()65()]([5)(2R a a x f a x f x g ∈++-=有且仅有6个不同的零点，则实数a 的取值范围为______ 破题思路：函数)(6)()65()]([5)(2R a a x f a x f x g ∈++-=有且仅有6个不同的零点，即方程06)()65()]([52=++-a x f a x f 的x 的不同取值有6个。
从方程得65)(=x f 或a x f =)(，问题转化为使65)(=x f 或a x f =)(成立的x 的不同取值有6个；因此，作出函数)(x f 的图象，问题即可得解。
解：因为06)()65()]([52=++-a x f a x f ，解得65)(=x f 或a x f =)( 令)(x f t =，作出函数)(x f 的图象如图所示由图象可得0=t 时，方程)(x f t =只有1个解，当10≤<t 或23=t 时，方程)(x f t =有2个解， 当231<<t 时，方程)(x f t =有4个解， 因此可得65)(=x f 有4个解，则a x f =)(应有2个解，所以10≤<a 或23=a 时例2：已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且当0≥x 时，2)(-=x x x f ，若关于x 的方程 ),(0)()(2R b a b x af x f ∈=++恰有10个不同实数解，则实数a 的取值范围为______破题思路：关于x 的方程),(0)()(2R b a b x af x f ∈=++恰有10个不同实数解，即使方程成立的x 有10个不同取值。
令)(x f t =，则使),(02R b a b at t ∈=++的t 的取值，应使方程)(x f t =成立的x 有10个不同取值，作出函数)(x f 的图象，问题即可得解。
专题：复合函数的零点
1复合函数的零点问题1、直线1y =与曲线2y x x a =-+有4个交点，则a 的取值范围是2、已知函数)(x f 在定义域),0(+∞上是单调函数,若对任意),0(+∞∈x ，都有2]1)([=-xx f f ,则)51(f 的值是 .3、已知函数12)(22+-++=m m mx x x f ,若方程0))((=x f f 无实根，则m 的取值范围为 . 4、已知函数）（R x x x x f ∈=3-)(3.设c x f f x h -=))(()(，其中∈c [-2,2],求函数)(x h y =零点个数.5、已知函数(0)()lg()(0)x e x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，则实数2t ≤-是关于x 的方程2()()0f x f x t ++=.有三个不同实数根的 条件。
6、设定义域为R 的函数1251,0()44,0x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩，若关 于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有5个不同的实数解，则m =__________ 7、设定义域为R 的函数2lg (>0)()-2(0)x x f x x x x ⎧=⎨-≤⎩ 则关于x 的函数 1)(3-)(2y 2+=x f x f 的零点的个数为______________.8、已知函数()⎩⎨⎧>≤+=0,log 0,12x x x x x f ，则函数()()1-=x f f y 的零点个数为_________.9、已知函数31+,>0()3,0x x f x xx x ⎧⎪=⎨⎪+≤⎩， 则函数)2(-)2()(F 2>+=a a x x f x 的零点个数可能为_________. 10、已知函数),0()0,()(+∞-∞ 是定义在x f 上的偶函数，当0>x 时，1)(4)(2),2(21,20,12)(|1|-=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-=-x f x g x x f x x f x 则函数的零点个数为11、函数0.5(x)2log 1xf x =-的零点个数为（ ）12、函数(x)2ln f x =的图像与函数2(x)x 45g x =-+的图像的交点个数为（ ）213、已知函数32, 2(x)(x 1),x 2x f x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程(x)f k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是14、已知函数12,0(x)21,x 0x e x f x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，若关于x 的方程2(x)3(x)0(a R)f f a -+=∈有8个不等的实数根，则a 的取值范围是( )A. 1(0,)4 B. 1(,3)3 C. (1,2) D. 9(2,)415、（2014江苏）已知(x)f 是定义在R 上且周期为3的函数，当[)0,3x ∈时，21(x)x 22f x =-+.若函数(x)a y f =-在区间[]3,4-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 16、已知函数3221(x 0)(x)x 31,(x),4x 68(x 0)x f x g xx ⎧+>⎪=-+=⎨⎪---≤⎩则方程[]g (x)0(a R )f a +-=∈的解的个数不可能为（ ）17、已知函数12,0(x)21,x 0x e x f x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，若关于x 的方程2(x)3(x)0(a R)f f a -+=∈有8个不等的实数根，则a 的取值范围是( )B. 1(0,)4 B. 1(,3)3 C. (1,2) D. 9(2,)418、关于x 的方程222x 1)x 10k ---+=（，给出下列4个命题： ①存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k,使得方程恰有8个不同的实根。
专题七复合函数的零点问题
专题七 复合函数的零点问题一、确定复合函数零点的个数或方程解的个数 【例题选讲】A ．3B ．7C ．10 D．14(2)关于x 的方程(x 2－1)2－3|x 2－1|＋ ) A ．3 B ．4 D ．8答案 C 解析 可将|x 2－1|t 2－3t ＋2＝0可解得，t ＝1或t ＝2，则只需作出t (x )＝|x 2－1|5个．(3)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2[f (x )]2－3f (x )＋1的零点个数是________．答案 5 解析 由2[f (x )]2－3f (x )＋1＝0得f (x )＝12或f (x )＝1，作出函数y ＝f (x )的图象．由图象知y ＝12与y ＝f (x )的图象有2个交点，y ＝1与y ＝f (x )的图象有3个交点．因此函数y ＝2[f (x )]2－3f (x )＋1的零点有5个．(4)已知定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2|x －1|－1，0<x ≤2，12f (x －2)，x >2，则关于x 的方程6f 2(x )－f (x )－1＝0的实数根个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 B 解析 已知方程6f 2(x )－f (x )－1＝0可解，得f 1(x )＝12，f 2(x )＝－13，只需统计y ＝12，y ＝－13与y ＝f (x )的交点个数即可．由奇函数可先做出x >0的图像，x >2时，f (x )＝12f (x －2)，则x ∈(2，4]的图像只需将x ∈(0，2]的图像纵坐标缩为一半即可．正半轴图像完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像．通过数形结合可得共有7个交点．(5)若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，且f (x 1)＝x 1，则关于的方程3f 2(x )＋2af (x )＋b ＝0的不同实根的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 A 解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b 由极值点可得，x 1，x 2为3x 2＋2ax ＋b ＝0①的两根，观察到方程①与3f 2(x )＋2af (x )＋b ＝0结构完全相同，所以可得3f 2(x )＋2af (x )＋b ＝0的两根为f 1(x )＝x 1，f 2(x )＝x 2，其中f 1(x )＝x 1，若x 1<x 2，可判断出x 1是极大值点，x 2是极小值点．且f 2(x )＝x 2> x 1＝f 1(x )，所以y ＝f 1(x )与f (x )有两个交点，而f 2(x )与f (x )有一个交点，共计3个；若x 1>x 2，可判断出x 1是极小值点，x 2是极大值点．且f 2(x )＝x 2<x 1＝f 1(x )，所以y ＝f 1(x )与f (x )有两个交点，而f 2(x )与f (x )有一个交点，共计3个．综上所述，共有3个交点．[题后悟通] 确定复合函数零点的个数或方程解的个数问题：关于复合函数y ＝f (g (x ))的零点的个数或方程解的个数问题，先换元解套，令t ＝g (x )，则y ＝f (t )，再作出y ＝f (t )与t ＝g (x )的图像．由y ＝f (t )的图象观察有几个t 的值满足条件，结合t 的值观察t ＝g (x )的图象，求出每一个t 被几个x 对应，将x 的个数汇总后即为y ＝f (g (x ))的根的个数，即“从外到内”．此法称为双图象法(换元法＋数形结合)．图1图2【对点训练】1．已知函数y ＝f (x )和y ＝g (x )在[－2，2]的图像如下，给出下列四个命题： (1)方程f [g (x )]＝0有且只有6个根；(2)方程g [f (x )]＝0有且只有3个根； (3)方程f [f (x )]＝0有且只有5个根；(4)方程g [g (x )]＝0有且只有4个根．则正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．41．答案 C 解析 每个方程都可通过图像先拆掉第一层，找到内层函数能取得的值，从而统计出x 的总 数．(1)中可得g 1(x )∈(－2，－1)，g 2(x )＝0，g 3(x )∈(1，2)，进而g 1(x )有2个对应的x ，g 2(x )有2个，g 3(x )有2个，总计6个，(1)正确；(2)中可得f 1(x )∈(－2，－1)，f 2(x )∈(0，1)，进而f 1(x )有1个对应的x ，f 2(x )有3个，总计4个，(2)错误；(3)中可得f 1(x )∈(－2，－1)，f 2(x )＝0，f 3(x )∈(1，2)，进而f 1(x )有1个对应的x ，f 2(x )有3个，f 3(x )有1个，总计5个，(3)正确；(4)中可得g 1(x )∈(－2，－1)，g 2(x )∈(0，1)，进而g 1(x )有2个对应的x ，g 2(x )有2个，共计4个，(4)正确．则综上所述，正确的命题共有3个．2．已知f (x )＝3 0|lg()| 0x x x x ⎧≥⎨-<⎩则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )的零点个数为________．2．答案 5 解析 令y ＝2f 2(x )－3f (x )＝0，则f (x )＝0或f (x )＝32．函数f (x )＝3 0|lg()| 0x x x x ⎧≥⎨-<⎩的图象如图所示：由图可得，f (x )＝0有2个根，f (x )＝32有3个根，故函数y ＝2f 2(x )－3f (x )的零点个数为5．3．设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1|x －1|，x ≠1，1，x ＝1，若关于x 的方程f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0有3个不同的解x 1，x 2，x 3，则x 12＋x 22＋x 32＝________．3．答案 5 解析 先作出f (x )的图像如图，观察可发现对于任意的t ，满足t ＝f (x )的x 的个数分别为2个 (t ＞0，t ≠1)和3个(t ＝1)，已知有3个解，从而可得f (x )＝1必为f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0的根，而另一根为1或者是负数．所以f (x i )＝1，可解得，x 1＝0，x 2＝1，x 3＝2．所以x 12＋x 22＋x 32＝5．4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x ＞0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．14．答案 A 解析 由f (f (x ))＋1＝0，得f (f (x ))＝－1，由f (－2)＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－1，得f (x )＝－2或f (x )＝12．若f (x ) ＝－2，则x ＝－3或x ＝14；若f (x )＝12，则x ＝－12或x ＝2．综上可得函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数是4．故选A ．5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，x ≤0，log 2x ，x ＞0，，则下列关于函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数判断正确的是( )A ．当a >0时，有4个零点；当a <0时，有1个零点B ．当a >0时，有3个零点；当a <0时，有2个零点C ．无论a 为何值，均有2个零点D ．无论a 为何值，均有4个零点5．答案 A 解析 所求函数的零点，即方程f (f (x ))＝－1的解的个数，令t ＝f (x )，先作出y ＝f (t )的图像， 直线y ＝ax ＋1为过定点(0，1)的一条直线，但需要对a 的符号进行分类讨论．当a >0时，如图1所示，先拆外层可得t 1＝－2a ＜0，t 2＝12，如图2所示，而t 1有两个对应的x ，t 2也有两个对应的x ，共计4个；当a <0时，如图3所示，先拆外层可得t ＝12，如图4所示，t ＝12只有一个满足的x ，所以共1个零点．结合选项，可判断出A 正确．图1(a >0)图2(a >0)t6．已知[x ]表示不超过x 的最大整数，当x ∈R 时，称y ＝[x ]为取整函数，例如[1.6]＝1，[－3.3]＝－4，若f (x )＝[x ]，g (x )的图象关于y 轴对称，且当x ≤0时，g (x )＝－x 2－2x ，则方程f (f (x ))＝g (x )解的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．答案 D 解析 根据已知条件可知，当x >0时，－x <0，又函数g (x )的图象关于y 轴对称，故g (x )为 偶函数，所以g (x )＝g (－x )＝－(－x ＋1)2＋1＝－(x －1)2＋1.由f (x )＝[x ]，得f (f (x ))＝[x ]．在同一平面直角坐标系中画出y ＝f (f (x ))与y ＝g (x )的图象如图所示，由图象知，两个图象有4个交点，交点的纵坐标分别为1，0，－3，－4，当x ≥0时，方程f (f (x ))＝g (x )的解是0和1；当x <0时，g (x )＝－(x ＋1)2＋1＝－3得x ＝－3，由g (x )＝－(x ＋1)2＋1＝－4得x ＝－1－5．综上，f (f (x ))＝g (x )的解的个数为4．7．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，且f (x 1)＝x 1，则关于x 的方程3f 2(x )＋2af (x )＋b ＝0的不 同实根的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．67．答案 A 解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由极值点定义可得，x 1，x 2为3x 2＋2ax ＋b ＝0 ①的两根，观察 到方程①与3f 2(x )＋2af (x )＋b ＝0结构完全相同，可得3f 2(x )＋2af (x )＋b ＝0的两根为f 1(x )＝x 1，f 2(x )＝x 2，其中f (x 1)＝x 1．若x 1<x 2，可判断出x 1是极大值点，x 2是极小值点，且f 2(x )＝x 2>x 1＝f (x 1)，所以y ＝f 1(x )的图象与y ＝f (x )的图象有两个交点，而y ＝f 2(x )的图象与y ＝f (x )的图象有一个交点，共计3个交点(如图(1)所示)；若x 1>x 2，可判断出x 1是极小值点，x 2是极大值点，且f 2(x )＝x 2<x 1＝f (x 1)，所以y ＝f 1(x )的图象与y ＝f (x )的图象有两个交点，而y ＝f 2(x )的图象与y ＝f (x )的图象有一个交点，共计3个交点(如图(2)所示)．综上所述，共有3个交点．故选A ．二、已知函数零点的个数，求参数的取值范围 【例题选讲】图3(a <0)图4(a <0)t[例2](1)已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －12)2＋1，x ＞0，－(x ＋3)2＋1，x ≤0，，则方程g [f (x )]－a ＝0（a 为正实数）的实数根最多有______个．答案 6 解析 先通过分析t ＝f (x )，y ＝g (t )的性质以便于作图，f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，从而f (x )在(－∞，0)，(2，＋∞)单增，在(0，2)单减，且f (0)＝1，f (2)＝－3，y ＝g (t )为分段函数，作出每段图像即可，如图所示，若要实数根最多，则要优先选取t ＝f (x )能对应x 较多的情况，由t ＝f (x )图像可得，当t ∈(－3，1)时，每个t 可对应3个x ．只需判断g (t )＝a 中，t 能在(－3，1)取得的值的个数即可，观察y ＝g (t )图像可得，当a ∈(1，54)时，可以有2个t ∈(－3，1)，从而能够找到6个根，即最多的根的个数．(2)已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|，若方程[f (x )]2＋bf (x )＋c ＝0恰有七个不相同的实根，则实数b 的取值范围是( )A ．(－2，0)B ．(－2，－1)C ．(0，1)D ．(0，2)答案 B 解析 考虑通过图像变换作出t ＝f (x )的图像（如图），因为[f (x )]2＋bf (x )＋c ＝0最多只能解出2个f (x )，若要出七个根，则t 1＝1，t 2∈(0，1)，所以－b ＝t 1＋t 2∈(1，2)，解得b ∈(－2，－1)．(3)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg (－x )|，x <0，x 3－6x ＋4，x ≥0，若关于x 的函数y ＝f 2(x )－bf (x )＋1有8个不同的零点，则实数b 的取值范围为( )A ．(2，8)B ．[2，174)C ．(2，174] D ．(2，8]分析 本题应先求方程t 2－bt ＋1＝0的根，设为t 1，t 2，再根据t 1＝f (x )，t 2＝f (x )的解的个数确定函数y ＝f 2(x )－bf (x )＋1的零点个数．已知函数y ＝f 2(x )－bf (x )＋1有8个不同的零点，先确定两个实数t 的范围，再转化为一元二次方程t 2－bt ＋1＝0根的分布问题来解决．答案 C 解析 因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg (－x )|，x <0，x 3－6x ＋4＝(x －2)(x 2＋2x －2)，x ≥0，作出f (x )的简图，如图所示．由图象可得，f (x )在(0，4]上任意取一个值，都有四个不同的x 值与之对应．再结合题中函数y ＝f 2(x )－bf (x )＋1有8个不同的零点，可得关于t 的方程t 2－bt ＋1＝0有两个不同的实数根t 1，t 2，且0<t 1≤4，0<t 2≤4，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4>0，0<b 2<4，0－b ×0＋1>0，42－4b ＋1≥0，解得2<b ≤174．归纳总结 本题结合图象可知，一元二次方程t 2－bt ＋1＝0的两个根0<t 1≤4，0<t 2≤4，结合二次函数图象的特点可知，对称轴0<b2<4，且Δ>0，另外t ＝0时的函数值为正，t ＝4时的函数值非负．当涉及二次方程根的分布问题时，一般结合图象从判别式、对称轴位置以及特殊点函数值的符号来讨论．(4)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x，x ≤0，log 12x ，x >0.若关于x 的方程f (f (x ))＝0有且仅有一个实数解，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，0)∪(0，1) 解析 若a ＝0，当x ≤0时，f (x )＝0，故f (f (x ))＝f (0)＝0有无数解，不符合题意，故a ≠0.显然当x ≤0时，a ·2x ≠0，故f (x )＝0的根为1，从而f (f (x ))＝0有唯一根，即为f (x )＝1有唯一根，而x >0时，f (x )＝1有唯一根12，故a ·2x ＝1在(－∞，0]上无根．当a ·2x ＝1在(－∞，0]上有根时，可得a ＝12x ≥1，故由a ·2x ＝1在(－∞，0]上无根可知a <0或0<a <1． (5)已知函数f (x )＝－x 2－2x ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋14x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0.若方程g (f (x ))－a ＝0有4个不同的实数根，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫1，54 解析 令f (x )＝t ，则原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在(－∞，1)上有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t ＜1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t ＜1)的图象如图，由图象可知，当1≤a ＜54时，函数y ＝g (t )(t ＜1)与y ＝a 有2个不同的交点，即所求a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫1，54．(6)已知函数f (x )＝|x |e x ，若关于x 的方程f 2(x )－mf (x )＋m －1＝0恰有4个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( )A ．(1e ，2)∪(2，e)B ．(1e ，1)C ．(1，1＋1e )D ．(1e，e)答案 C 解析 f (x )＝⎩⎨⎧xe x，x ≥0，－xe x，x ＜0，分析t ＝f (x )的图像以便于作图，x ≥0时，f ′(x )＝(1－x )e －x ，从而f (x )在(0，1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减，f (1)＝1e ，且当x →＋∞，y →0，所以x 正半轴为水平渐近线；当x <0时，f ′(x )＝(x －1)e －x ，所以f (x )在(－∞，0)单调递减．由此作图，从图像可得，若恰有4个不等实根，则关于f (x )的方程f 2(x )－mf (x )＋m －1＝0中，t 1∈(0，1e )，t 2∈(1e ，＋∞)，从而将问题转化为根分布问题，则t 2－mt ＋m －1＝0的两根t 1∈(0，1e )，t 2∈(1e，＋∞)，设g (t )＝t 2－mt ＋m －1，则有⎩⎪⎨⎪⎧g (0)> 0，g (1e )<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －1> 0，1e 2－m e ＋m －1<0，，解得m ∈(1，1＋1e)．本题是作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。
复合函数的零点问题
3.已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求 x 的解,则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出
x 的值.例如：已知 f x 2x ， g x x2 2x ，若 g f x 0 ，求 x .
时，显然只有一个交点，所以 ，只需要对数从点 B,点Ｃ下
面穿过就有 4 个零点，所以
解得 ，选 D．
【点睛】对于求不同类的两个函数构成的方程,我们常把方程变形为ｆ（ｘ)=g(x),然后根据 y＝f(ｘ）与 y
＝g(ｘ)的两个图像交点个数来判断原方程根的个数．如本题把方程
变形为
,再画出两个函数的图像,根据两个图像有 4 个交点，求出参数 a 的范围．
c (a,b) ，使 f (c) 0 ．
②如果函数 f x 在区间a,b 上的图象是连续不断的曲线,并且有 f (a) · f (b) 0 ,那么，函数 f x 在
--
--
区间 (a, b) 内不一定没有零点.
③如果函数 f x 在区间a,b 上的图象是连续不断的曲线,那么当函数 f x 在区间 (a, b) 内有零点时不
1．复合函数定义:设 y f t ，t g x ,且函数 g x 的值域为 f t 定义域的子集,那么 y 通过 t 的联系
而得到自变量 x 的函数，称 y 是 x 的复合函数,记为 y f g x .
2.复合函数函数值计算的步骤：求 y g f x 函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值.
③由函数 y f (x) 在闭区间a,b 上有零点不一定能推出 f (a) · f (b) 0 ,如图所示．所以 f (a) · f (b) 0 是 y f (x) 在闭区间a,b 上有零点的充分不必要条件．
零点问题复合函数练习题
一、函数概念1. 设f(x) = x^2 + 1，g(x) = 2x 3，求f(g(x))。
2. 若f(x) = 3x + 4，g(x) = x^2 5，求f(g(2))。
3. 设h(x) = x 2，f(x) = h(x) + 1，求f(h(3))。
4. 若g(x) = 2x 1，f(x) = g(x^2)，求f(1)。
5. 设f(x) = 5x 2，g(x) = f(x^2)，求g(4)。
二、复合函数的求值6. 若f(x) = x^3，g(x) = f(x + 1)，求g(2)。
7. 设h(x) = 4x^2 1，f(x) = h(x 1)，求f(3)。
8. 若g(x) = 2x + 5，f(x) = g(x^2)，求f(1)。
9. 设h(x) = x^2 + 3x + 2，f(x) = h(x + 1)，求f(2)。
10. 若g(x) = 3x 2，f(x) = g(x^3)，求f(2)。
三、复合函数的求导11. 设f(x) = x^2 + 1，g(x) = 2x 3，求(f ∘ g)'(x)。
12. 若f(x) = 3x + 4，g(x) = x^2 5，求(g ∘ f)'(2)。
13. 设h(x) = x 2，f(x) = h(x) + 1，求(f ∘ h)'(3)。
14. 若g(x) = 2x 1，f(x) = g(x^2)，求(f ∘ g)'(1)。
15. 设h(x) = x^2 + 3x + 2，f(x) = h(x + 1)，求(f ∘h)'(x)。
四、复合函数的极值16. 设f(x) = x^3 3x^2 + 4x 1，求f(g(x))的极值点。
17. 若f(x) = 2x^2 4x + 3，g(x) = x 1，求f(g(x))的极值。
18. 设h(x) = x^2 + 2x + 1，f(x) = h(x 1)，求f(h(x))的极值点。
数学上册综合算式专项练习题求复合函数的零点
数学上册综合算式专项练习题求复合函数的零点复合函数的零点是指，对于给定的复合函数，在定义域内存在使得函数取零值的数值。
本文将通过综合算式专项练习题，探讨如何求解复合函数的零点。
在解决复合函数的零点问题之前，我们需要了解复合函数的基本概念。
复合函数是指由两个或多个函数构成的新函数，其中一个函数的输出值是另一个函数的输入值。
表示为：f(g(x))，先进行g(x)的运算，再将结果作为f(x)的输入。
为了求解复合函数的零点，我们可以采用以下步骤：步骤一：给定复合函数表达式。
例如，我们考虑一个复合函数表达式：f(g(x)) = x^2 + 2x，其中g(x) = 2x + 1。
步骤二：找到复合函数的定义域。
在这个例子中，我们需要确定x的取值范围，使得g(x)的结果在f(x)的定义域内。
步骤三：将g(x)代入f(x)的表达式中，得到复合函数的具体形式。
根据我们的例子，复合函数的表达式为：f(x) = (2x + 1)^2 + 2(2x + 1)。
步骤四：将复合函数化简为一般形式，即将其展开并进行合并运算。
根据我们的例子，将f(x) = (2x + 1)^2 + 2(2x + 1)展开并合并运算后，得到f(x) = 4x^2 + 8x + 4。
步骤五：找到复合函数的零点。
复合函数的零点即为满足f(x) = 0的x的取值。
对于我们的例子，我们需要求解4x^2 + 8x + 4 = 0的解。
步骤六：使用合适的方法求解二次方程。
对于本例，我们可以使用因式分解、配方法或求根公式等方法来解决4x^2 + 8x + 4 = 0。
以求解零点为例，我们可以使用求根公式，根据一元二次方程的求根公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)，其中a、b、c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
对于4x^2 + 8x + 4 = 0，我们有a = 4，b = 8，c = 4。
代入求根公式，我们可以得到两个解：x = (-8 ± √(8^2 - 4*4*4)) / (2*4)。
复合函数的零点问题
由图可得，当 k＞－3 时，f(t)＝k 有两个根 t1，t2，且 t1＜－2，t2＞12，即 t＝f(x)＜－2 或 t＝f(x)＞12，此时方程 f(f(x))＝k 最多有 5 个根； 当－4＜k≤－3 时，f(t)＝k 有三个根 t1，t2，t3，且－2≤t1＜－1，－1＜t2≤0，14＜t3≤12， 即－2≤f(x)＜－1 或－1＜f(x)≤0 或14＜f(x)≤12，此时方程 f(f(x))＝k 最多有 6 个根； 当 k＝－4 时，f(t)＝k 有两个根 t1，t2，且 t1＝－1，t2＝14，即 f(x)＝－1 或 f(x)＝14，此 时方程 f(f(x))＝k 有 4 个根； 当 k＜－4 时，f(t)＝k 有一个根 t，且 0＜t＜14，即 0＜f(x)＜14，此时方程 f(f(x))＝k 有 2 个根．
设 f(x)＝t，由图可知，当 t＜0 或 t＞2 时，t＝f(x)有且仅有 1 个实根．当 t＝0 或 1≤t≤2 时，t＝f(x)有 2 个实根；当 0＜t＜1 时，t＝f(x)有 3 个实根，则 g(x)恰有 4 个不同的零 点等价于a0－ ＜1a＜ ＋01， ＜1或a1－ ≤1a＝ ＋01， ≤2或0a＜ ＋a1－ ＞12＜1，或11≤ ≤aa－ ＋11≤ ≤22， ，解得－1＜a＜ 0 或 1≤a＜2．
图(2)
由图可知 y＝f(t)与 y＝3t＋12的图象有两个交点，横坐标
分别在(0，1)和(1，2)之间，不妨设交点横坐标为 t1∈(0，
1)，t2∈(1，2)．如图(3)，当 t1＝f(x)时，由 f(x)图象和直
线 y＝t1，t1∈(0，1)可知，二者有两个交点，此时 F(x) ＝f(f(x))－3f(x)－12有两个零点；当 t2＝f(x)时，由 f(x)图
一道与三角函数有关的复合函数的零点个数问题
一道与三角函数有关的复合函数的零点个数问题湖北天门 薛德斌 2022年2月函数()cos 2sin f x x m x =+在区间(0,)k π()k N *∈上恰有n 个零点． （1）若9k =，讨论m ，n 的取值； （2）若101n =，讨论m ，k 的取值； （3）若301n =，讨论m ，k 的取值； （4）若2021n =，讨论m ，k 的取值； （5）若2023n =，讨论m ，k 的取值．【要点】换元＋变量分离＋数形结合＋分类讨论＋三角函数的值域和周期 【答案】（1）18m n >⎧⎨=⎩或113m n =⎧⎨=⎩或1118m n -<<⎧⎨=⎩或114m n =-⎧⎨=⎩或110m n <-⎧⎨=⎩．（2）1m =-，67k =． （3）1m =，201k =．（4）1m =-，1347k =． （5）1m =，1349k =．22(0,1])及2当1m >时，关于的t 方程有一个解1(,0)2t ∈-；当1m =时，方程有两个解112t =-，21t =； 当11m -<<时，方程有两个解1(1,)2t ∈--，1(,1)2t ∈；当1m =-时，方程有两个解11t =-，212t =；当1m <-时，方程有一个解1(0,)2t ∈．（1）当1m >时，关于的t 方程有一个解1(,0)2t ∈-，248n =⨯=；当1m =时，方程有两个解112t =-，21t =，34113n =⨯+=；当11m -<<时，方程有两个解1(1,)2t ∈--，1(,1)2t ∈，44218n =⨯+=；当1m =-时，方程有两个解11t =-，212t = 34214n =⨯+=，；当1m <-时，方程有一个解1(0,)2t ∈，24210n =⨯+=．【注：一般地，对于任意k N *∈，当1m ≠±时，n 为偶数．】（2）101是奇数，且101≡2（mod3），∴1m =-，101221673k -=⨯+=． 【注：一般地，若n 是奇数，且n ≡2（mod3），则1m =-，2212133n n k --=⨯+=．】 （3）301是奇数，且101≡1（mod3），∴1m =，3011212013k -=⨯+=．【注：一般地，若n 是奇数，且n ≡1（mod3），则1m =，1212133n n k -+=⨯+=．】 （4）1m =-，1347k =． （5）1m =，1349k =．。
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复合函数的零点问题
1.已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围
m ＝－2 2.21)(-+
=x x x f ，方程0)3|12|2(|)12(|=--+-x x k f 有三个不同的实数解，求实数k 的范围． 【解法】方程0)3|
12|2(|)12(|=--+-x x k f 化为0)32(|12|21|12|=+--++-k k x x 0)21(|12|)32(|12|2=++-+--k k x x ，0|12|x ≠-
令t x =-|12|，则方程化为0)21()32(2=+++-k t k t （0t ≠） ∵方程0)32(|12|21|12|=+--++
-k k x x 有三个不同的实数解， ∴由|12|-=x t 的图像知，
0)21()32(2=+++-k t k t 有两个根1t 、2t ，且21t 1t 0<<<或101<<t ，1t 2=
记)21()32()(2
k t k t t +++-=ϕ 则⎩⎨⎧<-=>+=0k )1(0k 21)0(ϕϕ或⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧<+<=-=>+=12k 3200k )1(0k 21)0(ϕϕ∴0k >
3.已知函数f (x )＝－x 2－2x ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋14x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0，
若方程g [f (x )]－a ＝0的实数根的个数有4个，求a 的取值范围
⎣⎢⎡⎭
⎪⎫1，54 4.设函数()x f x e x a =+-a R ∈，e 为自然对数的底数）．若曲线sin y x =上存在点00(,)x y 使00(())f f y y =，求a 的取值范围
a x e x f x -+=)( 在定义域上单调递增，[]1,10-∈∃∴y ，使得00(())f f y y = [][][]有解，所以，在有解，于是，在，即等价于方程1010)(1,020x x e a x x f y x -+==∈∃⇔[][]恒正，在的值域，的取值范围就是函数1021)(1,0,)(/2x e x g x x x e x g a x x -+=∈-+= [][][]e a e x g x g ,1,,1)(10)(∈∈∴即上单调递增，所以，在函数
5．设定义域为R 的函数,0
,20|,lg |)(2⎩⎨⎧≤-->=x x x x x x f 若关于x 的方程01)(2)(22=++x bf x f
有8个不同的实数根,求实数b 的取值范围 )2,23(- 6．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数.当0x ≥时，25(02)16()1()1(2)2
x x x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，若关于x 的方程[]2
()()0,,f x af x b a b R ++=∈有且仅有6个不同实数根，求实数a 的取值范围 )1,4
9()49,25(---- 7. 设定义域为R 的函数()24,044,0
x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩，若函数()()()()2221g x f x m f x m =-+⋅+有7个零点，求实数m 的值
2
8. 函数()()g x x R ∈的图像如图所示，关于x 的方程2[()]()230g x m g x m +⋅++=有三
个不同的实数解，求m 的取值范围是．
9. 已知函数()32
f x x ax bx c ＝＋＋＋有两个极值点12x x ，，若()112f x x x ＝＜，求关于x 的方程()()()2
320f x af x b ＋＋＝的不同实根个数 3
423-≤<-
m 10.已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c 有两个极值点x 1，x 2，若f (x 1)=x 1<x 2，求关于x 的方程3(f (x ))2+2af (x )+b =0的不同实根个数
令t =f (x )，g (t )=3t 2+2at +b . 由于f ’(x )=3x 2+2ax +b ，且函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，故x 1，x 2是方程f ’(x )= 3x 2+2ax +b 的两个根，也是方程g (t )=3t 2+2at +b =0的两个根. 在同一坐标系内
分别作出y =f (x )、y =t (其中t =x 1或x 2)的图象，如图所示. 由于f (x 1)=x 1<x 2，观察图象可知：y =f (x )与y =x 1有2个交点，而与y =x 2只有1个交点，即共有3个交点.
【答案】3
11.若函数2()ln 2f x x ax bx a b =-++--有两个极值点12,x x ，其中10,02
a b -
<<>，且221()f x x x =>，求方程22[()]()10a f x bf x +-=的实根个数
5
12.已知定义域为R 的函数f (x )满足f (f (x )-x 2+x )=f (x )-x 2+x .有且只有一个实数x 0，使得f (x 0)=x 0，求函数f (x )的解析式.
令t =f (x )-x 2+x ，由题意知，方程f (t )=t 只有一解x 0，∴x 0=f (x )-x 2+x ，即f (x )=x 2-x +x 0，又因为f (x 0)=x 0，所以x 0=x 02-x 0+x 0，解得x 0=0，1.
当x 0=0时，f (x )=x 2-x ，此时方程f (x )=x 为x 2-x =x 有两解，不符合题意，故舍去；
当x 0=1时，f (x )=x 2-x +1，此时方程f (x )=x 为x 2-2x +1=0只有一解，符合题意. 综合所述，f (x )=x 2-x +1. 13．已知函数(6)()(1)1
x x f x x x +=
≠-+，下列关于函数[]a x f x f x g +-=)()()(2(其中a 为常数)的叙述中: ①∀a>0，函数g(x)至少有4个零点；
②当a ＝0时，函数g(x)有5个不同零点；
③∃a ∈R ，使得函数g(x)有6个不同零点；
④函数g(x)有8个不同零点的充要条件是0<a<4
1．其中真命题有________．(把你认为的1
2
真命题的序号都．填上) ②③④。