复合函数的零点个数问题
复合函数零点个数的探究_王跃
］ 分析 欲讨论函 数 ｈ（ ｘ）＝ ｆ［ ｘ） －ｃ 的 ｆ（ ）＝ ｃ 的 不 同 实 根ｔ 零点 ， 先 考 虑 方 程 ｆ（ ｔ ｉ∈ ｉ（ ，然后考虑方程 ｆ（ Ｎ＋ ） ｘ）＝ｔ ｉ 的根 ． ，考虑方程 ｆ（ ）＝ｃ． 解 令 ｆ（ ｘ）＝ｔ ｔ （ ） ） 当ｃ ＝－２ 时 ， 方程 ｆ（ １ ｔ ＝ｃ 有 ２ 个不相 、 （ ， ） ， 等的实根ｔ 方程 ｆ（ ２ｔ ｘ） ＝ｔ １ｔ ２ｔ １ ＝－ ２ ＝１ １ 有 ２ 个不相等的实根 ， ｘ）＝ｔ ｆ（ ２ 有３个不相等 ， 的实根 ．根据命题 １ 故函数 ｙ ＝ ｈ（ ｘ）的零点个 数为 ５． （ ） ） 当ｃ＝２ 时 ， 方程 ｆ（ ２ ｔ ＝ｃ 有 ２ 个不相等 ） ， 方程 ｆ（ 的 实根ｔ ｔ ｔ １， ｔ ｘ） ＝ｔ ３、 ４（ ３ ＝－ ４ ＝２ ３有
２ 等实根 ．根据命题 ２， 故 ｆ（ ｘ ｘ）＝ ａ 有 ４ 个 ＋２
不相等的实根 ； ） ） （ 当ａ＝８时 ， 方程ｆ（ ４ ｔ ＝ａ 有３ 个不相等 ， ） ， ） 的实根ｔ ｔ ｔ ｔ ０ ＜ｔ ｔ ． ７、 ８、 ９ （ ７ ＝－１ ８ ＜１ ９ ＞１
２ ２ 方 程ｘ ｘ ＝ｔ ｘ ｘ ＝ｔ ＋２ ＋２ ７ 有 １ 个实根 ， ８ 有２ ２ 个不相等的实根 ， ｘ ｘ ＝ｔ ＋２ ９ 有２个不相等的 ２ 实根 ．根据命题２， 故ｆ（ ｘ ｘ） ＋２ ＝ａ 有５ 个不相
２ ， ） 分析 令 ｘ 先讨论 ｆ（ ｔ ＋ｘ ＝ｔ ＝ａ 不同 ２ 的实根ｔ 再研究 ｘ ｉ ∈ Ｎ＋ ）情况 ， ＋ｘ ＝ｔ ｉ（ ｉ 根． ２ 解 令ｘ ． ＋ｘ ＝ｔ
， 故 ２ ｘ ＝ｔ １ ２ 有 ２ 个 不 相 等 的 实 根 ．根 据 命 题 ２
２ ｘ ｘ）＝ ａ 有 ６ 个不相等的实根 ． ＋２ ｆ（ （ ） ） 当ａ＞９时 ， 方程ｆ（ ６ ｔ ＝ａ 有２ 个不相等 ２ ） ， ） 方程ｘ 的 实根ｔ ｔ ０＜ｔ ｔ ｘ ＋２ １ ３、 １ ４ （ １ ３ ＜１ １ ４ ＞１ ２ ｘ ｘ ＝ｔ ＝ｔ ＋２ １ ３ 有 ２ 个不相等的实根 ， １ ４ 有２ 个 ２ 不相等的 实 根 ．根 据 命 题 ２， 故 ｆ（ ｘ ＋２ ｘ）＝ ａ
2.20复合函数零点问题—利哥
秘籍提示：①先看外层零点，把外层零点一一列出：t1，t2，t3 ；②再在外层函数作直线y =t1，y =t1 ，交点个数即为复合函数零点个数.2.20 抖音直播直播—复合函数零点问题——利哥数学，快乐上分我们来一起看几个题去理解秘籍，如下图，左边为f (x)图像，右边为g(x)图像.【例题1】求 f [f (x)]的零点个数：【解析】先看外层零点，外层函数为f (x)，f (x)有两个零点：t1=-2 ，t2= 2 ；在内层函数作直线y =-2 、y = 2 ，如右图，显然四个交点，所以f [f (x)]的零点个数为 4.【例题2】求 f [g(x)]的零点个数：【解析】先看外层零点，外层函数为f (x)，f (x)有两个零点：t1=-2 ，t2= 2 ；在内层函数作直线y =-2 、y = 2 ，如右图，显然两个交点，所以f [g(x)]的零点个数为 2.⎨2x ，x ≤ 0 【例题 3】求 g [g (x )]的零点个数：【解析】先看外层零点，外层函数为 g (x )，g (x )有三个零点： t 1 = -1，t 2 = 0 ，t 3 = 1；在内层函数作直线 y = -1、y = 0、y = 1 ，如右图，显然七个交点，所以 f [g (x )]的零点个数为 7.【例题 4】求 g [f (x )]的零点个数：【解析】先看外层零点，外层函数为 g (x )，g (x )有三个零点： t 1 = -1，t 2 = 0 ，t 3 = 1；在内层函数作直线 y = -1、y = 0、y = 1 ，如右图，显然六个交点，所以 f [g (x )]的零点个数为 6.【例题 5】（2019 春•邯郸期末）函数 f (x ) = ⎧| log 2 x | ，x > 0 ，则函数 g (x ) = 3 f 2(x ) - 8 f (x ) + 4 的零点个数是⎩ ( )A ．5B ．4C ．3D ．6【解析】令 f (x )= t ，则 g (x ) = 3 f 2 (x ) - 8 f (x ) + 4 ⇒ h (t ) = 3t 2 - 8t + 4 ，外层函数为 h （t ）， h （t ）有两个零点t 1 = 2 ，t3 2 = 2 ，在内层函数 f (x )作直线 y = 2 、y = 2 ，如图，3显然五个交点，所以 f [g (x )]的零点个数为 5，故选 A ．⎩ 4⎨ 现学现卖⎧x2 - 2x + 4, x 0【卖弄 1】（2019 秋•东莞市期末）已知函数 f (x) =⎨⎩lnx, x > 0，若函数 g(x) =f 2 (x) + 3 f (x) +m(m ∈R)有三个零点，则m 的取值范围为( )A．m <94B．m - 28C． -28 m <94D．m > 28【解析】作出f (x) 的图象如图：设t =f (x) ，则由图象知当t 4时，t =f (x) 有两个根，当t < 4 时，t =f (x) 只有一个根，若函数g(x) =f 2 (x) + 3 f (x) +m(m ∈R) 有三个零点，等价为函数g(x) =h(t) =t2 + 3t +m 有两个零点，其中t < 4 或t 4 ，则满足⎧ = 9 - 4m > 0，1 2⎧m <9⎨f (4) = 16 + 12 +m 0⎪，得m - 28 ，故选B ．⎪⎩m -28【卖弄2】（2019•山东模拟）已知函数f (x) =| x2 - 4x + 3 |，若方程[ f (x)]2 +bf (x) +c = 0 恰有七个不相同的实根，则实数b 的取值范围是( )A．(-2, 0) B．(-2, -1) C．(0,1) D．(0, 2)【解析】 f (1)=f (3)= 0 ，f (2)= 1 , f (x) 0 ，若方程[ f (x)]2 +bf (x) +c = 0 恰有七个不相同的实根，∴t 2 +bt +c = 0 ，其中一个根为 1，另一个根在(0,1) 内，∴g(t) =t2 +bt +c ，g (1)= 1 +b +c = 0 ，g(-b ) < 0 ，20 <-b< 1，g(0) =c > 0 2方程[ f (x)]2 +bf (x) +c = 0 恰有七个不相同的实根∴c =-1 -b > 0 ，b ≠-2 ，-2 <b < 0 ，即b 的范围为：(-2, -1) ，故选B ．得则1【卖弄3】（2019 秋•双流县校级期中）已知函数y =f (x) 和y =g(x) 在[-2 ，2] 的图象如下所示：给出下列四个命题：（1）方程f[g(x)]=0有且仅有6个根；（2）方程g[f(x)]=0有且仅有3个根（3）方程f[f(x)]=0有且仅有5个根；（4）方程g[g(x)]=0有且仅有4个根其中正确命题的个数是( )A．4 B．3 C．2 D．1【解析】（1）正确，（2）错误，（3）（4）正确，故选B．【卖弄 4】已知函数 f (x) =lnx，关于x 的方程 f (x) -x1f (x)=m 有三个不等的实根，则m 的取值范围是( )A．(-∞, e -1)eB．(-∞,1-e)eC．(e -1, +∞)eD．(1-e, +∞)e【解析】 f '(x) =1 -lnx，当0 <x <e 时， f '(x) > 0 ，当x >e 时， f '(x) < 0 ，x2即函数f (x) 在(0, e) 为增函数，在(e, +∞) 为减函数，则 f (x)max =f (e) =1，则f (x) 的图象如图所示：令t =f (x) ，e则 f (x) -1f (x)=m 可变形为t -1-m = 0 ，t即t 2 -mt - 1 = 0 ，设方程t 2 -mt - 1 = 0 有两个根t ，t ，1 2关于 x 的方程 f (x) -1f (x)=m 有三个不等的实根等价于t =f (x) 的图象与直线t =t1 ，t =t2的交点个数之和为 3，由图可知t < 0 <t 1，设g(t) =t2 -mt -1 ，2 1<eg( ) =1-m- 1 > 0 ，解得：m <1-e ，故选B ．e e2 e e3 3 ⎨ ⎧| lg (-x ) |, x < 0 【卖弄 5】（2019•全国模拟）定义域为 R 的函数 f (x ) = ⎪ ，若关于 x 的函数 y = 3 f 2 (x ) + 2bf (x ) + 1 ⎨ 1 x⎪1 - ( ) , x 0⎩ 2有 6 个不同的零点，则实数b 的取值范围是()A ． (-2, - 3)B ． (-2, 0)⎧| lg (-x ) |, x < 0C ． (-3, - 3)D ． (- ， +∞) 【解析】 函数 f (x ) = ⎪ 1，作出它的图象如图所示：⎪1 - ( ) , x 0⎩ 2关于 x 的函数 y = 3 f 2 (x ) + 2bf (x ) + 1有 6 个不同的零点，则令t = f (x ) ，则关于t 的方程3t 2 + 2bt + 1 = 0 在(0,1) 上有 2 个不同解． 即函数 g (t ) = 3t 2 + 2bt + 1在(0,1) 上有 2 个不同零点，⎧ = 4b 2 - 12 > 0⎪ b ⎪0 < - < 1故有 ⎨ 3 ，求得-2 < b < - ，故选 A ．⎪ f (0) = 1 > 0⎪ ⎪⎩ f (1) = 3 + 2b + 1 > 0x。
指数型复合函数零点
我们要找出一个指数型复合函数的零点。
首先，我们需要理解什么是零点。
一个函数的零点是指函数值为0的x值。
例如，函数f(x) = x^2 - 4 的零点是x = ±2，因为f(2) = 0 和f(-2) = 0。
对于指数型复合函数，例如f(x) = a^x + b^x，我们可以通过令它等于0来找到零点。
即：a^x + b^x = 0但是，请注意，对于非线性指数函数，我们通常不能直接找到所有零点。
这是因为指数函数是非线性的，所以它的解可能不是简单的x值。
为了找到这个函数的零点，我们可以使用数值方法，例如二分法或牛顿法。
这些方法可以帮助我们在一定的精度范围内找到函数的零点。
为了找到指数型复合函数的零点，我们可以使用二分法或牛顿法等数值方法。
这些方法可以帮助我们在一定的精度范围内找到函数的零点。
例如，对于函数f(x) = a^x + b^x，我们可以使用二分法来找到它的零点。
首先，我们需要选择一个初始区间[a, b]，然后反复将区间一分为二，并检查中间点的函数值。
如果中间点的函数值为负，则说明零点在右半部分；如果中间点的函数值为正，则说明零点在左半部分。
通过不断缩小区间，我们可以找到函数的零点。
另一种方法是使用牛顿法。
牛顿法是一种迭代方法，它基于函数的泰勒级数展开来逼近函数的零点。
对于函数f(x) = a^x + b^x，我们可以将其泰勒级数展开并保留前几项，然后将其等于0来求解x。
通过不断迭代，我们可以找到函数的零点。
需要注意的是，对于非线性指数函数，我们可能无法找到所有的零点。
因此，在使用数值方法时，我们需要合理选择初始区间或迭代初值，以确保找到的零点具有一定的精度和可靠性。
1复合函数、零点问题
学之导教育中心教案学生: 康洋 授课时间: 8.15 课时: 4 年级: 高二 教师： 廖课 题 复合函数、零点问题教学构架一、 知识回顾 二、错题再现 三、知识新授 四、小结与预习 教案内容 一、 知识回顾1、必修1函数知识梳理二、错题再现1、已知实数a,b 满足等式11()()23a b ，下列5个关系式正确的有：（1）0<a<b;(2)a<b<0;(3)0<a<b;(4)b<a<0;(5)a=b2、如果函数y=a 2x+2ax-1(a>0,且a ≠1)[-1,1]上的最大值为14，求a 值3、求值（1）（log 43+log 83）（log 32+log 92） （2）本次内容掌握情况 总结教 师 签 字学 生 签 字三、知识新授（一）对数函数的定义:（二）对数函数图象及性质：在同一坐标中画出下列函数的图像：（1）y=log 2x （2）y=log 3x （3）y=log 21x （4）y=log 31x练习：1 求下列函数的定义域（1）y=log 5(1-x) (2)y=log 7x311a>10<a<1 图 像性质 （1）定义域： 值域:（2）过定点： （3）奇偶性：(4)单调性：（4）单调性：（5）当x>0时，y>1;当x<0时，0<y<1 (5)(3)y=)34(lo 5.0-x g (4)y=)31(log 2x -(5)y=log x+1(16-4x) (6) y=)32lg(422---x x x2、比较下列各值的大小（1）log 1.51.6,log 1.51.4 (2) log 1.12.3和log 1.22.2 (3) log 0.30.7和log 2.12.9 (4) 8.2log 7.2log 2121和3、已知集合A={2≤x ≤π},定义在集合A 上的函数y=log a x 的最大值比最小值大1，求a 值4、求211221(log )log 52y x x =-+在区间[2,4]上的最大值和最小值5.求函数y=log a (2-ax-a 2x )的值域。
复合函数与零点的关系
复合函数与零点的关系
复合函数和零点之间存在着密切的联系。
通常，当求解复合函数的
零点时，研究者需要捕捉它们之间存在的关系。
究其原因，复合函数
是一系列函数的乘积的结果，而零点又是函数的值为0的点，故而它
们之间存在着一定的联系。
首先，要求解复合函数的零点时，应该将复合函数拆分开，然后求出
其中的函数中的零点；同时，复合函数的零点也应该满足其中的每一
个函数的零点。
其次，可以将复合函数写为一个函数的形式，来求解
该复合函数的零点，但一定要注意函数等式中的函数是不是复合函数，如果是，可以先将其拆开，再求解。
另外，求解复合函数的零点也可以使用不动点定理。
该定理指出，复
合函数的零点可通过解联立方程，从而得出唯一解，从而求出复合函
数的零点。
归纳起来，复合函数和零点之间的关系主要有以下几点：拆分复合函数，然后求解其中每个函数的零点；将复合函数作为一个函数来求解，且要注意是否为复合函数；使用不动点定理来求解复合函数的零点。
浅析复合函数零点的个数问题
一类是判断零点个数，另一类是已知零点个数求参
数的取值范围．以下本文通过对典型例题的分析来探究
一下复合函数零点问题中求零点个数和求参数的问题．
１．判断复合函数零点的个数
｛ 例１ 已知函数犳（狓）＝
５ 狓－１ －１（狓 ≥０）， 则 狓２＋４狓＋４（狓 ＜０），
关 于狓的方程犳２（狓）－５犳（狓）＋４＝０的实数根的个数
零点个数即方程犳（狓）＝０的
根个数，也即犳（狓）的图像与
狓 轴 交 点 的 个 数，若 方 程
犳（狓）＝０犵（狓）＝犺（狓），即
为两函数犵（狓）与犺（狓）图像
图１
交点的个数．该问题只需要确
定零点个数并 不 需 要 求 出 零 点，也 可 画 出 函 数 图 像，
结合图像确定交点的个数，由狋２ －５狋＋４＝０，得狋＝４ 或１，所以犳（狓）＝４或１，由函数图像犳（狓）分别与狔＝ １、狔＝４有４个交点和３个交点，所以犳（狓）＝１、犳（狓） ＝４分别有４个根和３个根，所以方程犳２（狓）－５犳（狓） ＋４＝０共有７个根．
图２ 图３
２．已知复合函数的零点个数求参数的取值范围 例２ 已 知 函 数 犳（狓）的 图 像，若 函 数 犵（狓）＝ ［犳（狓）］２ －犽犳（狓）＋１恰有４个零点，则实数犽 的取值 范围是（ ）．
（ ） Ａ．（－
∞，－２）∪
（２，＋
∞）
８ Ｂ．ｅ２
，２
（ ） ４
Ｃ．ｅ２
若犳（狓）＝１，当狓 ≥０时，即５ 狓－１ －１＝１，解得
狓＝１±ｌｏｇ５２，当狓 ＜０时，即狓２＋４狓＋３＝０，解得狓
＝－１或 －３．
若犳（狓）＝４，当狓 ≥０时，即５ 狓－１ －１＝４，解得
零点问题的类型及解决方法
题型 一 ： 函数 零 点 所 在 区 间 的 判 断— — 利 用 零 点 存 在 性 定 理 判 断零 点所 在 区 间
利用零点存在性定理 时 ， 函数ｙ ） 在 区间［ ａ ， ｂ ］ 上 的图像 必须是连续 曲线 ， 并且 在 区间端 点的 函数值符 号
证明： 曲 线 证明： 曲
厂 （ ｃ ） ＝ （ ｃ — ａ ） （ ｃ — ｂ ） ＞ ０ ， 且厂 （ ） 是二次函数 ， 所以函数 ） ＝ （ — ａ ） （ — ｂ ） ＋ （ — ｂ ） （ — ｃ ） ＋ （ — ａ ） （ — ｃ ）的两个零 点分另 Ｕ
位于 区间（ ａ ， ｂ ） 、 （ ｂ ， ｃ ） ． 点 评 ：运 用 零 点 存 在 性 定 理 判 断零 点 所 在 区 间 ， 必
ｙ ＝ ÷ ＋ １ 有唯一的公共点．
点评 ： 本 题 要 证 明指 数 函数 与 二 次 函数 的 交 点 个 数
令 厂 （ ） ： （ ÷ ） ， ｇ （ ） ： ＋ ３ ’ 从
而将原题转化成 函数 ） ， ｙ ＝ ｇ （ ｘ ） 的交点个数 ， 如 图１ 所示． 由图可知原方程有 两个解 ．
点评 ： 将 函 数 的 零 点 问题 转 化 为 两 个 函数 图像 的 交
Hale Waihona Puke 羔问题 来 解 决． 确 定 零 点 个 数．
高 中 版中 敷－ ？
研 究
考试
备考指南
２ ０ １ ４年 ３月
题型 四、 复 合 函 数 的 零 点 个 数 问题 — — 通 过 换 元 转 化 为 两 个 函数 图 像 交 点 的个 数
图１
－
问题 ， 可把函数交点问题转化为函数零点问题 ． 利用函
复合函数的零点问题
3.已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求 x 的解,则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出
x 的值.例如：已知 f x 2x ， g x x2 2x ，若 g f x 0 ，求 x .
时，显然只有一个交点，所以 ，只需要对数从点 B,点Ｃ下
面穿过就有 4 个零点，所以
解得 ，选 D．
【点睛】对于求不同类的两个函数构成的方程,我们常把方程变形为ｆ（ｘ)=g(x),然后根据 y＝f(ｘ）与 y
＝g(ｘ)的两个图像交点个数来判断原方程根的个数．如本题把方程
变形为
,再画出两个函数的图像,根据两个图像有 4 个交点，求出参数 a 的范围．
c (a,b) ，使 f (c) 0 ．
②如果函数 f x 在区间a,b 上的图象是连续不断的曲线,并且有 f (a) · f (b) 0 ,那么，函数 f x 在
--
--
区间 (a, b) 内不一定没有零点.
③如果函数 f x 在区间a,b 上的图象是连续不断的曲线,那么当函数 f x 在区间 (a, b) 内有零点时不
1．复合函数定义:设 y f t ，t g x ,且函数 g x 的值域为 f t 定义域的子集,那么 y 通过 t 的联系
而得到自变量 x 的函数，称 y 是 x 的复合函数,记为 y f g x .
2.复合函数函数值计算的步骤：求 y g f x 函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值.
③由函数 y f (x) 在闭区间a,b 上有零点不一定能推出 f (a) · f (b) 0 ,如图所示．所以 f (a) · f (b) 0 是 y f (x) 在闭区间a,b 上有零点的充分不必要条件．
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复合函数、分段函数零点个数问题
2012.12.31
1.（2013届八校联考理10）已知函数⎩⎨⎧<≥=)
0()-(log )
0(3)(3x x x x f x ，函数
)()()()(2R t t x f x f x g ∈++=.关于)(x g 的零点，下列判断不正确．．．
的是（ ） A .若)(,41x g t =
有一个零点 B .若)(,4
1
2-x g t <<有两个零点 C .若)(,2-x g t =有三个零点 D .若)(,2-x g t <有四个零点
2、（2013届八校联考-文10）已知函数(0)
()lg()(0)x e x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩
，则实数2t ≤-是关
于x 的方程2
()()0f x f x t ++=.有三个不同实数根的（ ） A .充分不必要条件 B .必要不充分条件
C .充分必要条件
D .既不充分也不必要条件
3（2013荆州市12月质量检测-8）设定义域为R 的函数1251,0
()44,0
x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩，
若关于x 的方程22
()(21)()0f x m f x m -++=有5个不同的实数解，则m =
A 2
B 6
C 2或6
D 4或6
4.设定义域为R 的函数2
lg (>0)
()-2(0)
x
x f x x x x ⎧=⎨
-≤⎩ 则关于x 的函数1)(3-)(2y 2
+=x f x f
的零点的个数为
________.
5.已知函数1
+
(0)()0(=0)
x x f x x
x ⎧≠⎪=⎨⎪⎩
则关于x 的方程 2
()b ()0f x f x c ++= 有5个
不同的实数解的充要条件是（ ）
A b<-2且c>0
B b>-2且c<0
C b<-2且c=0
D b 2c=0≥-且
6 已知函数31
+,>0()3,0x x f x x x x ⎧⎪=⎨⎪+≤⎩
， 则函数)2(-)2()(F 2
>+=a a x x f x 的零点个数不可能．．．
为（ ） A 3 B 4 C 5 D 6
7．（2012武汉市四月调考-10题）已知函数f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧
ax ＋1，x ≤0，
log 2x ， x ＞0。
则下列关于函数y ＝f(f(x))
＋1的零点个数的判断正确的是（ ）
（A ）当a ＞0时，有4个零点；当a ＜0时，有1个零点 （B ）当a ＞0时，有3个零点；当a ＜0时，有2个零点 （C ）无论a 为何值，均有2个零点 （D ）无论a 为何值，均有4个零点
8．(2010·广东六校)若函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f (1－x )的图象大致为( )
9.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x
x ≤1log 12x x >1，则函数y ＝f (2－x )的图象可以是
10.已知函数),4()0,(,,()(2
3
+∞⋃-∞∈+++=k d c b d cx bx x x f 为常数），当时，
0)(=-k x f 只有一个实根；当k ∈（0，4）时，0)(=-k x f 只有3个相异实根，
现给出下列4个命题：
①04)(=-x f 和0)(='x f 有一个相同的实根； ②0)(0)('
==x f x f 和有一个相同的实根；
③03)(=-x f 的任一实根大于01)1(=-f 的任一实根； ④05)(=+x f 的任一实根小于02)(=-x f 任一实根. 其中正确命题的序号是________________
11．已知函数()f x 的定义域为[]15-，，部分对应值如下表．
()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示．
下列关于函数()f x 的命题： ① 函数()y f x =是周期函数； ② 函数()f x 在[]02，是减函数；
③ 如果当[]1,x t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④ 当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点．
其中真命题的个数是 ( )
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个 12．已知函数),0()0,()(+∞⋃-∞是定义在x f 上的偶函数，当0>x 时，
1)(4)(2),2(2
1,20,12)(|1|-=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-=-x f x g x x f x x f x 则函数的零点个数为
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
13.已知f (x )＝log 3x ＋2(x ∈[1,9])，则函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值是( )
A ．13
B ．16
C ．18
D ．22
14.已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)且满足f (－1)＝0，对任意实数x ，恒有f (x )－x ≥0，并且当x ∈(0,2)时，有f (x )≤⎝⎛⎭⎫x ＋122
.
(1)求f (1)的值； (2)证明a >0，c >0；
(3)当x ∈[－1,1]时，函数g (x )＝f (x )－mx (x ∈R)是单调函数，求证：m ≤0或m ≥1. 15．已知函数()f x 的定义域为D ，若对任意12,x x D ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤，
则称函数()f x 在D 上为非减函数．设函数()f x 在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①(0)0f =；②1()()3
2x
f f x =；③(1)2()f x f x -=-．则11()()38
f f += (A) 1
(B)
32
(C) 2 (D) 5
2
16．函数()f x 的定义域为R ，对任意实数x 满足(1)(3)f x f x -=-，且
(1)(3)f x f x -=-．当l ≤x ≤2时，函数()f x 的导数()0f x '>，则()f x 的单调递
减区间是
（ ）
A ．[2,21]()k k k Z +∈
B ．[21,2]()k k k Z -∈
C ．[2,22]()k k k Z +∈
D ．[22,2]()k k k Z -∈
17．已知函数 2342013()12342013x x x x f x x =+-+-+⋅⋅⋅+，2342013
()12342013
x x x x g x x =-+-+-⋅⋅⋅-，设
函数()(3)(4)F x f x g x =+⋅-，且函数()F x 的零点均在区间),,](,[Z ∈<b a b a b a 内，则-b a 的最小值为
A ．8
B ．9
C ． 10
D ． 11
18．函数f （x ）=234
20122013123420122013x x x x x x ⎛⎫
+-+-+
-+ ⎪⎝⎭
cos2x 在区间[-3，3]上的零点的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
19．O 是锐角三角形ABC 的外心，由O 向边BC ，CA ，AB 引垂线，垂足分别是D ，E ，F ，
给出下列命题： ①0OA OB OC ++=； ②0OD OE OF ++=； ③||OD ：||OE ：||OF =cosA ：cosB ：cosC; ④R λ∃∈，使得()||||AB AC
AD AB SINB AC SINC
λ=+。
以上命题正确的个数是 （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4；
20．()f x 是定义在()11-，上的函数，对于(),11x y ∀∈-，，有()())1(xy
y
x f y f x f --=-成立，且当()1,0x ∈-时，()0f x >．给出下列命题：
①()00f =； ②函数()f x 是偶函数；③函数()f x 只有一个零点； ④)4
1()31()21(f f f <+．其中正确命题的个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
21．已知直角三角形ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，
且不等式c
b a 111++ c
b a m
++≥
恒成立，则实数m 的最大值是___________．
22．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染指数量L /mg P 与时间t h。