MATLAB数值微积分
matlab微分与积分
[I,n]=quadl('fname',a,b,tol,trace) 其中参数的含义和quad函数相似，只是用高
阶自适应递推法，该函数可以更精确地求 出定积分的值，且一般情况下函数调用的 步数明显小于quad函数，从而保证能以更 高的效率求出所需的定积分值。
(3) fft(X,[],dim)或fft(X,N,dim)：这是对于矩 阵而言的函数调用格式，前者的功能与 FFT(X)基本相同，而后者则与FFT(X,N) 基本相同。只是当参数dim=1时，该函数 作用于X的每一列；当dim=2时，则作用于 X的每一行。
数值微积分以及数值分析
2020/5/17
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数值微分
数值微分的实现 两种方式计算函数f(x)在给定点的数值导数：1.用多项式或
者样条函数 2. 利用数据的有限差分
在MATLAB中，没有直接提供求数值导数的函数，只有计 算向前差分的函数diff，其调用格式为：
DX=diff(X)：计算向量X的向前差分，DX(i)=X(i+1)-X(i)， i=1,2,…,n-1。
I=
2.4674
2020/5/17
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3．Trapz : 计算梯形面积的和来计算定积分 在MATLAB中，对由表格形式定义的函数关系的求定积分
问题用trapz(X,Y)函数。其中向量X,Y定义函数关系 Y=f(X)。
例 用trapz函数计算定积分。 命令如下：
X=1:0.01:2.5; Y=exp(-X); %生成函数关系数据向量 trapz(X,Y) ans =
• Help dell2
2020/5/17
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数值积分
数值积分基本原理 求解定积分的数值方法多种多样，如简单 的梯形法、辛普生(Simpson)•法、牛顿－ 柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用 的方法。它们的基本思想都是将整个积分 区i积=1间分,2[问,a…,题b,n]分就，成分其n解中个为x子1=求区a和，间问x[nx+题1i,=x。bi+。1]，这样求定
基于Matlab的数值积分公式问题
数值分析学号：130080402015学生所在学院：测试与光电工程学院学生姓名：张翀任课教师：郑华盛教师所在学院：数信学院基于Matlab的数值积分公式问题张翀，测试与光电工程学院测试计量技术及仪器，130080402015摘要：在求一些函数的定积分时，由于原函数十分复杂难以求出或用初等函数表达，导致积分很难精确求出，只能设法求其近似值，因此能够直接借助牛顿----莱布尼兹公式计算定积分的情形是不多的。
数值积分就是解决此类问题的一种行之有效的方法。
积分的数值计算是数值分析的一个重要分支；因此，探讨近似计算的数值积分方法是有着明显的实际意义的。
本文介绍了数值积分法的几种计算公式，如矩形求积公式、梯形求积公式和辛普森求积公式及相应的MATLAB命令,并给出了用 MATLAB编程求数值积分的实例。
关键词: MA TLAB；数值积分；矩形求积公式；梯形求积公式；辛普森求积公式目录1引言 (1)2数值积分算法介绍 (1)2.1数值求积公式的构造 (1)2.2求积公式的推导 (2)2.3常见的牛顿-科特斯求积公式 (5)2.4复合求积公式 (7)3关于河流横断面积的数值积分问题 (8)4问题的求解过程 (9)5基于MATLAB编程的各种求积公式对问题的求解 (9)6总结 (13)参考文献 (14)附录 (15)1 引言实际问题当中常常需要计算积分。
有些数值方法，如微分方程和积分方程的求解，也都和积分计算相联系。
在一元微积分学中,对于积分 ⎰=badx x f I)(，只要找到被积函数f （x ）原函数为F( x) ,求f(x)在该区间上的定积分便可用牛顿 - 莱布尼兹公式求解,即⎰-=baa Fb F dx x f )()()(。
用牛顿 - 莱布尼兹公式计算定积分的方法在理论上和解决实际问题中起到了很大的作用 ,但它并不能解决定积分计算的所有问题。
在工程技术领域常遇到十分复杂的情况而无法用牛顿 - 莱布尼兹公式求解.其可能出现的情况有:(1) 某些被积函数f(x),其原函数无法用初等函数表示 ,如⎰dx e x 2， dx xx⎰sin 等。
matlab在微积分中的应用
matlab在微积分中的应用MATLAB在微积分中的应用一、MATLAB在求导和积分中的应用MATLAB集成了丰富的数学函数库，可以在求导和积分等方面帮助学生更好地理解微积分知识。
举例来说，MATLAB中的diff函数可以对一个函数或矩阵进行求导，计算结果准确可靠。
通过MATLAB可以解决一些手动计算困难的问题，有助于提高学生对微积分的理解。
在数值积分过程中，MATLAB也可以很好地发挥作用。
MATLAB中的quad函数可以用来求解函数在给定区间内的数值积分，通过对函数的积分计算，可以更好地理解微积分中的面积和曲线等概念。
在讲解微积分的面积和曲线时，使用MATLAB可以展示较多的面积和曲线实例，有助于学生理解具体实例。
二、MATLAB在微积分三维空间中的应用微积分中的三维空间部分，一般使用手工计算的方式进行，但是这种方式难度较大而且操作繁琐。
而MATLAB可以很方便地模拟三维空间中的曲线表面、曲面、向量场和曲线积分等，为学生提供更具体、直观的视觉体验。
MATLAB还可以使用画图函数，将许多计算步骤集成在一个命令窗口中，方便学生学习和理解三维空间的微积分。
三、MATLAB在微积分应用中的优点1. 计算精度高：MATLAB的计算精度非常高，可以解决许多手动计算困难的问题。
在使用MATLAB计算微积分时，可以快速得出精确的计算结果。
2. 操作简便：MATLAB界面友好，操作简便。
学生可以很容易地进行操作，快速理解微积分中的概念和原理。
3. 可视化更强：MATLAB可以将微积分的概念可视化，将微积分的理论和实际应用结合起来。
这样的教学方式更加形象直观，可以帮助学生更好地理解微积分的知识体系。
四、总结综合以上述，MATLAB在微积分中的应用，可以帮助学生更好地理解和掌握微积分的基本原理和概念，提高学生学习效率和学习兴趣。
MATLAB也为教师提供了一个新的教学工具，可以更加灵活地设计和授课，提高教学质量和教学效果。
matlab中积分的命令
matlab中积分的命令Matlab中有多种命令可以用于数值积分，本文将介绍其中几个常用的积分命令，包括quad、quadl、quadgk和integral。
这些命令可以用于一维和多维积分，可以求解定积分和非定积分。
一、quad命令quad命令用于求解一维定积分，其语法为：Q = quad(fun,xmin,xmax)其中fun为要积分的函数句柄，xmin和xmax为积分的下限和上限。
quad命令使用自适应的数值积分方法，可以在较高的精度下求解积分。
二、quadl命令quadl命令也用于求解一维定积分，其语法为：Q = quadl(fun,xmin,xmax)quadl命令使用高斯-勒让德求积法，可以在较高的精度下求解积分。
与quad命令相比，quadl命令在处理某些特定类型的函数时更为准确和稳定。
三、quadgk命令quadgk命令用于求解一维非定积分，其语法为：Q = quadgk(fun,xmin,xmax)quadgk命令使用高斯-科特斯求积法，可以在较高的精度下求解非定积分。
与quad命令和quadl命令相比，quadgk命令对积分区间的长度不敏感，适用于各种类型的函数。
四、integral命令integral命令用于求解一维定积分和非定积分，其语法为：Q = integral(fun,xmin,xmax)integral命令根据输入的积分区间长度自动选择合适的数值积分方法，可以在较高的精度下求解积分。
与quad命令、quadl命令和quadgk命令相比，integral命令更加智能化，可以根据积分函数的特点自动调整积分算法。
除了以上介绍的命令外，Matlab还提供了其他一些用于数值积分的命令，如dblquad、triplequad和quad2d等。
这些命令可以用于求解二维和多维积分，适用于更复杂的问题。
在使用这些积分命令时，需要注意以下几点：1. 积分区间的选择：根据积分函数的特点选择合适的积分区间，以确保求解的准确性和稳定性。
matlab quad函数用法
MATLAB是一种用于算法开发、数据分析、可视化和数值计算的高级技术计算语言和交互式环境。
在MATLAB中，quad函数是用于数值积分的一个非常重要的函数，被广泛应用于工程、科学和数学领域。
本文将介绍quad函数的用法，帮助读者更好地理解和使用这一函数。
一、quad函数概述quad函数是MATLAB中用于数值积分的函数，可以用于计算一元函数的定积分。
其调用格式为：\[q = \text{quad}(fun, a, b)\]其中fun为要积分的函数句柄，a和b为积分的区间，q为积分的结果。
二、quad函数的基本用法在使用quad函数时，首先需要定义要积分的函数fun，并将其作为参数传递给quad函数。
假设要计算函数f(x) = x^2在区间[0, 1]上的定积分，可以按照以下步骤进行：```matlabfun = @(x) x.^2;a = 0;b = 1;q = quad(fun, a, b);disp(q);```运行以上代码可以得到函数f(x) = x^2在区间[0, 1]上的定积分结果。
三、quad函数的高级用法除了基本的用法外，quad函数还可以处理一些复杂的积分计算情况。
可以通过设置参数选项来控制积分的精度和其他计算参数。
quad函数的调用格式为：\[q = \text{quad}(fun, a, b, \text{'Name1',Value1,...})\]其中Name1、Value1等为参数选项及其取值。
可以通过设定'AbsTol'选项来控制积分的绝对误差容限，通过设定'RelTol'选项来控制积分的相对误差容限。
具体示例代码如下：```matlabfun = @(x) x.^2;a = 0;b = 1;q = quad(fun, a, b, 'AbsTol', 1e-8, 'RelTol', 1e-6);disp(q);```通过设置AbsTol和RelTol选项，可以提高积分的精度和稳定性。
matlab-008
Newton-cotes法 Newton-cotes法求数值积分用quadl()函数，其原理为：
I =
∫
b a
nh n f ( x ) dx ≈ ⋅ ∑ Ai f ( a + ih ) N i=0
其中，Ai为科茨数，可以查表得到 梯形法调用格式为：I=quadl(‘fun’,a,b,tol) ，即用牛顿-科 茨法计算被积函数fun在(a,b)区间内的定积分；tol指定了 迭代精度，默认为.000001
矩阵除法求解
例：采用直接法解方程组：
3 1 0 1 1 −5 2 6 −4 0 1 −1 1 x1 13 7 x2 − 9 = x3 6 −1 x −4 4 0
-0 .1 5 8 7 1 . 1 5 8 6 X = 0 0
-0 .6 4 9 4 -0 .1 2 1 4 + k1 0 .7 3 3 3 -0 .1 6 0 8
+ k2
0 .0 1 8 2 -0 .9 0 0 5 -0 .0 3 8 1 0 .4 3 2 9
例：>>I=quadl('exp(-0.4*x).*cos(x+pi/3)',0,3*pi) I= -0.5874
重积分 二重积分用dblquad()函数求数值积分，其调用格式为： I=dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol,method) 三重积分用triplequad()函数求数值积分，其调用格式为： I=triplequad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax,tol)
第三章-matlab求解微积分
第三章 微积分的数学实验3.1极限与一元微积分3.1.1 初等运算1．定义单个或多个符号变量：syms x y z t ；定义单个符号变量或者符号函数还可以用单引号定义，如x=’x ’，f=’sin(x^2)+2*x-1’。
符号表达式的反函数运算g=finverse(f)，g 是返回函数f 的反函数。
例1 求sin(1)y x =-的反函数>>syms x>>y=sin(x-1); g=finverse(y),结果为 g=1+asin(t)2. f actor(f) 因式分解函数ｆ3．Collect(f) 对函数f 合并同类项4. expand(f) 将函数f 表达式展开5. simple(f) 找出表达式的最简短形式（有时需要用2次）6. roots （p ）对多项式p 求根函数。
7. solve(F) 一般方程的求根函数例2 解方程2510x x +-=解 >>syms x>>solve(x^2+5*x-1)结果为x =[ -5/2+1/2*29^(1/2) -5/2-1/2*29^(1/2)]8．fzero(f,x0)或fzero(f,[a,b]) 在初始点x0处开始或在区间[a,b]上搜索函数的零点，f(a)与f(b)需要符号相反。
3.1.2 Matlab计算函数的极限函数形式：1）limit(F,x,a)，求函数F在 x ->a时的极限。
2）limit(F,a)，默认其中的变量为极限变量.3）limit (F)，默认其中的变量为极限变量且趋向于0.4）limit(F,x,a,'right')或limit(F,x,a,’left') 求函数F在x->a时的右、左极限.例3 >>syms x a t h; %syms作用是申明x,a,t,h是符号变量，不需先赋值再调用。
>>limit(sin(x)/x) %结果为 1>>limit((x-2)/(x^2-4),2) %结果为 1/4>>limit((1+2*t/x)^(3*x),x,inf) %结果为 exp(6*t)>>limit(1/x,x,0,'right') %结果为 inf>>limit(1/x,x,0,'left') %结果为 -inf>>limit((sin(x+h)-sin(x))/h,h,0) %结果为 cos(x)>>v = [(1 + a/x)^x, exp(-x)];limit(v,x,inf,'left') %结果为[exp(a),0]3.1.3 Matlab计算导数与微分1．一元导数和微分diff函数用以计算函数的微分和导数，相关的函数语法有下列4个：diff(f) 返回f对预设独立变量的一次导数值diff(f,'t')或diff(f,t) 返回f对独立变量t的一次导数（值）diff(f,n) 返回f对预设独立变量的n阶导数（值）diff(f,'t',n) 或diff(f,t，n)返回f对独立变量t的n阶导数（值）这里尽管自变量已经作为符号变量，可以不用syms说明，但是在具体执行diff(f)、diff(f,'t')和diff(f,t)会出现差异，有的能够执行，有的不能够，有的执行符号微分，有的执行数值微分，所以比较麻烦。
Matlab中的数值积分和微分方法
Matlab中的数值积分和微分方法在数学和工程领域，数值积分和微分是解决问题的常见方法之一。
而在计算机科学中， Matlab作为一种强大的数值计算软件，提供了许多数值积分和微分的函数，使得这两个问题的解决变得更加简单和高效。
本文将探讨 Matlab 中常用的数值积分和微分方法，包括不定积分、定积分、数值微分和高阶数值微分。
我们将逐一讨论这些方法的原理和使用方法，并展示一些实际的应用案例，以帮助读者更好地理解和应用这些技术。
一、不定积分不定积分是指求一个函数的原函数。
在 Matlab 中，我们可以使用 `int` 函数来实现不定积分的计算。
例如，如果我们想求解函数 f(x) = x^2 的不定积分，可以使用下面的代码：```syms x;F = int(x^2);```这里的 `syms x` 表示将 x 定义为一个符号变量，`int(x^2)` 表示求解函数 x^2 的不定积分。
得到的结果 F 将是一个以 x 为变量的符号表达式。
除了求解简单函数的不定积分外，Matlab 还支持求解复杂函数的不定积分，例如三角函数、指数函数等。
我们只需要将函数表达式作为 `int` 函数的参数即可。
二、定积分定积分是指求函数在一个闭区间上的积分值。
在 Matlab 中，我们可以使用`integral` 函数来计算定积分。
例如，如果我们想计算函数 y = x^2 在区间 [0, 1] 上的积分值，可以使用下面的代码：```y = @(x) x^2;result = integral(y, 0, 1);```这里的 `@(x)` 表示定义一个匿名函数，`integral(y, 0, 1)` 表示求解函数 y = x^2 在区间 [0, 1] 上的积分。
得到的结果 result 将是一个数值。
与不定积分类似，Matlab 还支持对复杂函数求解定积分，只需要将函数表达式作为 `integral` 函数的第一个参数，并指定积分的区间。
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4.1数值微积分4.1.1近似数值极限及导数Matlab 数值计算中，没有求极限指令，也没有求导指令，而是利用差分指令：用一个简单矩阵表现diff和gradient指令计算方式。
差分： Dx=diff(X)对向量： Dx=X(2:n)-X(1:n-1)对矩阵： DX=X(2:n,:)-X(1:n-1,:)长度小1.DIFF(X), for a vector X, is[X(2)-X(1) X(3)-X(2) ... X(n)-X(n-1)]. DIFF(X), for a matrix X, is the matrix of row differences, （结果缺少一行）[X(2:n,:) - X(1:n-1,:)].DIFF(X,N,DIM) is the Nth difference function along dimension DIM.If N >= size(X,DIM), DIFF returns an empty array （N阶差分）梯度：FX=gradient(F)Fx(1)=Fx(2)-Fx(1);F=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]Dx=diff(F) （按行）Dx_2=diff(F,1,2) （按列）[FX,FY]=gradient(F)Fx(1)=Fx(2)-Fx(1),Fx(end)=F(end)-F(end-1)FX与F维数相同。
[FX_2,FY_2]=gradient(F,0.5)%采样间隔0.5 即：Fx(1)=(Fx(2)-Fx(1))/2F =1 2 34 5 67 8 9Dx =3 3 33 3 3Dx_2 =1 11 11 1FX =1 1 11 1 1 1 1 1 （列方向） FY =3 3 3 3 3 3 3 3 3 （行方向） FX_2 =2 2 2 2 2 2 2 2 2 FY_2 =6 6 6 6 6 6 6 6 6【例4.1-1】设xx xx f sin 2cos 1)(1-=，xxx fsin )(2=，试用机器零阈值eps 替代理论0计算极限)(lim )0(11x f L x →=，)(lim )0(22x fL x →=。
x=eps;L1=(1-cos(2*x))/(x*sin(x)), L2=sin(x)/x, L1 =(注意错误！ 数值法求极限得到错误结果) L2 = 1syms tf1=(1-cos(2*t))/(t*sin(t));f2=sin(t)/t;Ls1=limit(f1,t,0)Ls2=limit(f2,t,0)Ls1 =2Ls2 =1【例4.1-2】已知)2,0[π中的近x=，求该函数在区间]sin(t似导函数。
d=pi/100;t=0:d:2*pi;x=sin(t);dt=5*eps;x_eps=sin(t+dt);dxdt_eps=(x_eps-x)/dt;plot(t,x,'LineWidth',5)hold onplot(t,dxdt_eps)hold offlegend('x(t)','dx/dt')xlabel('t')图 4.1-1 增量过小引起有效数字严重丢失后的毛刺曲线x_d=sin(t+d);dxdt_d=(x_d-x)/d;plot(t,x,'LineWidth',5)hold onplot(t,dxdt_d)hold offlegend('x(t)','dx/dt')xlabel('t')图 4.1-2 增量适当所得导函数比较光滑【例4.1-3】已知)x=，采用diff和gradient计算该sin(t函数在区间]2,0[π中的近似导函数。
clfd=pi/100;t=0:d:2*pi;x=sin(t);dxdt_diff=diff(x)/d;dxdt_grad=gradient(x)/d;subplot(1,2,1)plot(t,x,'b')hold onplot(t,dxdt_grad,'m','LineWidth',8) plot(t(1:end-1),dxdt_diff,'.k','Marker Size',8)axis([0,2*pi,-1.1,1.1])title('[0, 2\pi]')legend('x(t)','dxdt_{grad}','dxdt_{dif f}','Location','North')xlabel('t'),box offhold offsubplot(1,2,2)kk=(length(t)-10):length(t);hold onplot(t(kk),dxdt_grad(kk),'om','MarkerS ize',8)plot(t(kk-1),dxdt_diff(kk-1),'.k','Mar kerSize',8)title('[end-10, end]')legend('dxdt_{grad}','dxdt_{diff}','Lo cation','SouthEast')xlabel('t'),box offhold off图 4.1-3 diff和gradient求数值近似导数的异同比较4.1.2数值求和与近似数值积分【例 4.1-4】求积分⎰=2/) ()(πdttyxs，其中)sin(2.0ty+=。
cleard=pi/8;t=0:d:pi/2;y=0.2+sin(t);s=sum(y);s_sa=d*s;s_ta=d*trapz(y);disp(['sum求得积分',blanks(3),'trapz求得积分'])disp([s_sa, s_ta])t2=[t,t(end)+d];y2=[y,nan];stairs(t2,y2,':k')hold onplot(t,y,'r','LineWidth',3) h=stem(t,y,'LineWidth',2); set(h(1),'MarkerSize',10) axis([0,pi/2+d,0,1.5])hold offshgsum求得积分 trapz求得积分1.5762 1.3013图 4.1-4 sum 和trapz求积模式示意4.1.3计算精度可控的数值积分一元函数的数值积分函数1 quad、quadl、quad8功能数值定积分，自适应Simpleson积分法。
格式q = quad(fun,a,b) %近似地从a到b计算函数fun的数值积分，误差为10-6。
若给fun输入向量x，应返回向量y，即fun是一单值函数。
q = quad(fun,a,b,tol) %用指定的绝对误差tol代替缺省误差。
tol越大，函数计算的次数越少，速度越快，但结果精度变小。
[q,n] = quad(fun,a,b,…) %同时返回函数计算的次数n…= quadl(fun,a,b,…) %用高精度进行计算，效率可能比quad更好。
…= quad8(fun,a,b,…) %该命令是将废弃的命令，用quadl代替。
例：>>fun = inline(‘’3*x.^2./(x.^3-2*x.^2+3)’);>>Q1 = quad(fun,0,2)>>Q2 = quadl(fun,0,2)计算结果为：Q1 =3.7224Q2 =3.7224函数2 trapz功能梯形法数值积分格式T = trapz(Y)%用等距梯形法近似计算Y的积分。
若Y是一向量，则trapz(Y)为Y的积分；若Y是一矩阵，则trapz(Y)为Y的每一列的积分；若Y是一多维阵列，则trapz(Y)沿着Y的第一个非单元集的方向进行计算。
T = trapz(X,Y)%用梯形法计算Y在X点上的积分。
若X为一列向量，Y为矩阵，且size(Y,1) =length(X)，则trapz(X,Y)通过Y的第一个非单元集方向进行计算。
T = trapz(…,dim) %沿着dim指定的方向对Y进行积分。
若参量中包含X，则应有length(X)=size(Y ,dim)。
例：>>X = -1:.1:1;>>Y = 1./(1+25*X.^2);>>T = trapz(X,Y)计算结果为：T =0.5492二重积分S2=ablquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol)Tol 来控制绝对误差。
默认10^{-6}。
【例 4.1-5】求dx e I x ⎰-=102 。
syms xIsym=vpa(int(exp(-x^2),x,0,1)) Isym =.74682413281242702539946743613185format longd=0.001;x=0:d:1;Itrapz=d*trapz(exp(-x.*x))Itrapz =0.746824071499185fx='exp(-x.^2)';Ic=quad(fx,0,1,1e-8)Ic =0.746824132854452【例 4.1-6】求dxdy x s y ⎰⎰=21 1 0 。
syms x ys=vpa(int(int(x^y,x,0,1),y,1,2))s =.40546510810816438197801311546432format longs_n=dblquad(@(x,y)x.^y,0,1,1,2)s_n =0.4054662672435084.1.4函数极值的数值求解【例4.1-7】已知)sin()(ππ+⋅+=x ex y ，在2/2/ππ≤≤-x 区间，求函数的极小值。
（1）syms x y=(x+pi)*exp(abs(sin(x+pi)));yd=diff(y,x);xs0=solve(yd) yd_xs0=vpa(subs(yd,x,xs0),6)y_xs0=vpa(subs(y,x,xs0),6)y_m_pi=vpa(subs(y,x,-pi/2),6)y_p_pi=vpa(subs(y,x,pi/2),6)Warning: Warning, solutions may have been lostxs0 =-1.0676598444985783372948670854801yd_xs0 =0.y_xs0 =4.98043y_m_pi =4.26987y_p_pi =12.8096（2）x1=-pi/2;x2=pi/2;yx=@(x)(x+pi)*exp(abs(sin(x+pi))); [xn0,fval,exitflag,output]=fminbnd(yx, x1,x2)xn0 =-1.2999e-005fval =3.1416exitflag =1output =iterations: 21funcCount: 22algorithm: 'golden section search, parabolic interpolation'message: [1x112 char]（3）xx=-pi/2:pi/200:pi/2;yxx=(xx+pi).*exp(abs(sin(xx+pi)));plot(xx,yxx)xlabel('x'),grid on图 4.1-5 在[-pi/2,pi/2]区间中的函数曲线[xx,yy]=ginput(1)xx=1.5054e-008yy=3.1416图 4.1-6 函数极值点附近的局部放大和交互式取值【例4.1-8】求22)2xyf--=的极小值点。