从已有知识经验出发寻找解题思路_安振平
ａ ｂ ２， ， 若想到二元均值不等式 ： 获得 ２ ｚ） ａ ｂ≤ （ ＋ ） ２ ｘ （ ２ ｚ） ２ ］ ， ｘ ｘ ｚ ＝ ｘ（ ｚ）≤ ［ ＋ ｙ ＋ ｙ ＋２ ｙ ＋２ ２
２ ２ 如何与条件 槡 中 间量ｘ＋ （ ｚ） ｘ ｚ ＋ｙ ＋ ｙ＋２
为产生字母的平方 ， 联想到柯西不等式 ， ＝１联系？ 当中需要配凑系数 ． 解 利用二元均值不等式和柯西不等式 ， 得 １· ３ ｘ·（ ｚ） ｙ ＋２ 槡 ３ 槡
１［ ３ ｘ＋ （ ｚ） ｙ ＋２ ２ 槡 ］ ２ ３ 槡 ３·ｘ ＋１· ｚ］ １［ ｙ ＋２ ２ 槡 ２ ３ 槡
２ ２ ２ ２ （ （ （ ３） ｘ ｚ］ １［ ＋２ ＋１ ） ＋ｙ ） ２ 槡 槡 ２ ３ 槡
≤ ＝
１（ ２ ３ ２ ２ 槡 ｘ ＋ｙ ． ＋ｚ） ＝ 槡 ３ ３ 槡
ｍ 的值为 Ｍ
ｘ ＋槡 ｙ ｋ， ｘ＋ 槡 ｘ ＋ｙ 变形为 槡 ２ ｙ ≤ｋ 槡 槡 ≤ 即 ２ ｘ ＋ｙ 槡
＋１ ｙ ． ｋ≥ 槡 ｘ ２· ＋１ 槡ｙ 令 ， ， 得ｋ≥ 这样 ， 用 ｔ＞ ０， ＝ｔ ｙ 槡 ２ ｔ ＋１ 槡
２
ｘ
≤
ｘ
ｔ＋１
２ １ ０ 槡 ． ５ 例 ３ （ ２ ０ １ ２ 年浙江高考文科题 ）若 正 数 ｘ， ｙ ２ ８ ２ ４ （ Ｂ） （ Ｃ） ５． Ｄ） ６． Ａ） ． （ （ ５ ５
９
３ １ 分 析 把条件 ｘ＋３ ｘ ｙ ＝５ ｙ 变形为 ＋ ｘ ５ ｙ ５ １ ３） （ ， 于是３ 把上式 ３ ｘ＋４ ｘ＋４ ＝１， ＋ ｙ＝ （ ｙ） ｘ ５ ｙ ５ 右边展开 ， 自然想到用二元均值不等式 ． 解 利用二元均值不等式 ， 得 １ ３ （ ｘ ＋４ ｘ ＋４ ３ ３ ＋ ） ｙ＝ （ ｙ） ５ ｘ ｙ ５ ＝ １ ３ ３（ ４ ４ ｘ ３ ３· ｙ ｘ） １ ２ ｙ· ＋ ＋ ＋ ≥ ５ ５ ｘ ｙ ５ ５ ｘ ｙ
２槡 １ ０ 故２ ｘ ＋ｙ 的最大值是 ． ５ ， 则 ｙ ＝ｔ－２ 代入 点评 若令 ２ ｘ＋ｙ ＝ｔ ｘ， ２ ２ ２ 消元ｙ， 得４ 条 件４ ｘ ＋ｘ ｘ ＋ｘ（ ｔ－２ ｘ） ｙ＋ｙ ＝１，
２ ｔ－２ ｘ） ＝ １， ＋（ 整理为关于 ｘ 的一元二次方程 ２ ２ ）＝ ０ （ ｘ ｔ ｘ＋ （ ｔ ６ －３ －１ ＊） 注意到 ｘ 是 实 数 ， 说明（ 当 然， ＊ ）有 实 数 根 ， ２ ２ ） （ ） 立得｜ 其判别式 Δ ＝ （ ｔ ｔ ｔ ４ －２ －１ ｜ －３ ≥ ０，
系， 自然想到二元均值不等式 ．
２ ２ 解 利用二元均值不等式 ， 得１＝ （ ｘ） ２ ＋ｙ
只 要 让槡 边槡 ｘ＋ 槡 ｘ ＋ｙ， ｘ ２ ＋槡 ｙ 放大到右边 槡 ｙ ＝ １· ２ ｘ ＋１·槡 ｙ 即可 ． 槡 ２ 槡 １· 解 利 用 柯 西 不 等 式， 得槡 ｘ ＋槡 ｙ＝ ２ 槡 ２ ｘ ＋ １· 槡 ｙ ≤ 槡 ） （ （ ＋１ ２ ｘ ＋ｙ） ＝ ２ 槡 １ ６ 槡 ２
分析 注意到解 题 目 标 ｘ ｘ ｚ ＝ ｘ（ ｙ＋ ｙ ＋２
槡
＝ ５． 所以 ， 应当选 （ Ｃ） ． ”的 代 换 技 巧 ， 点评 这里用 到 “ 值得关注 １ ， ， 解出ｙ ＝ １ （ 代 和反思 ．若令３ ｘ＋４ ｔ－３ ｘ） ｙ ＝ｔ ４ 入 条件ｘ＋３ 消元ｙ， 得关于ｘ 的一元二次 ｘ ｙ， ｙ ＝５ 方程 ， 同例 ２ 的点评 ， 用 判 别 式 方 法， 也 可 获 解． 当 中的设元 、 消元思想值得学习 ． 事实 上 ，由 条 件 ｘ ＋ ３ ｘ ｙ ＝５ ｙ，解 出 ｙ ＝
简易逻辑与函数及不等式的综合
１ ２ 年北京文科卷 １ ４ 题为例 ０ ── 以 ２
魏国兵
（ ） 江苏省南京市溧水区教育局教研室 ， ２ １ １ ２ ０ ０
近年来 ， 将简易逻辑与函数及不等式综合在 一起的考题在 高 考 中 时 有 出 现 ， 且往往以小题压 轴题的形式出 现 ， 这类题目已成为高考的热点及 难点 ． 这类 试 题 知 识 覆 盖 面 广 ， 综 合 性 强， 灵活多 样． 从知识目标看能考查 高 中 数 学 核 心 概 念 ， 从能 力目标看能考查学生的分 类 讨 论 、 数 形 结 合、 化归 转化 、 分析问题及解决问 题 等 能 力 ． 在推行高考命 题以 “ 能力立意 ”的今天此种类型倍受命题教师的 青睐 ． 背景及解析 １． ）已知 ｆ（ 题目 （ ｘ） １ ２ 高考北京文科卷 １ ２ ０ ４ ｘ （ ） （ ） ， （ ） ， ｍ ｘ＋ｍ ＋３ ｇ ｘ ＝ ２ －２ 若 ｘ ＝ ｍ ｘ－２ 则 ｍ 的取值范围 ｘ）＜ ０ 或 ｇ（ ｘ）＜ ０， ｆ（ ∈ Ｒ， 是 ． 本题将 函 数 、 不等式及简易逻辑完美地融合 在一起 ， 且涉 及 的 函 数 均 为 高 中 阶 段 的 基 本 函 数 （ ， 二次函数及指数函数 ） 是 一道 精 心打 磨的 好题． 学生在 处 理 这 道 题 目 时 ， 对于“ 若 ｘ ∈ Ｒ， ｘ） ｆ（ ” 这一句话不能正确理解 ， 导致无 ｘ） ＜ ０或ｇ（ ＜０
ｘ ｘ ｚ＝ ｙ ＋２
≤ ＝
ｘ ， 代入目标 ３ 就 实 现 了 消 元， 从而化 ｘ ＋４ ｙ， ５ ｘ －３ 二元问题为一元问题 ， 得 ｆ（ ｘ）＝ ３ ｘ＋４ ｘ＋ ｙ ＝３
４ ｘ （ ３ ， 这可通过求导或变形后用二元均 ｘ＞ ） ５ ｘ －３ ５ 值不等式解答之 ． 例 ４ （ ０ ８ 年 重 庆 高 考 题 ）已 知 函 数 ｙ ＝ ２ ０ 最小值为 ｍ， 则 １－ｘ ＋ 槡 ｘ ＋３ 的最大值为 Ｍ ， 槡
２ 若ｘ 例 ６ （ １ ３ 年浙江大学自主招生题 ） ２ ０ ＋ ２ ２ ２ ， 求ｘ ｘ ｘ， ２ ＋ｙ 的最小值 ． ｙ －ｙ ＝ ７（ ｙ ∈ Ｒ）
） 分 析 注意到 （ ｘ＋３ １－ｘ） ＝４是常数 ， ＋（ ２ 容易 想 到 对 函 数 关 系 两 边 平 方 ，得 ｙ ＝ ４＋ （ （ ） ，于 是 只 要 在 定 义 域 内 ， 研究 ｘ ＋３ ２槡 １－ｘ） （ ）的最大值和最小值即可 ． （ ｘ ＋３ １－ｘ） 解 因为函数ｙ ＝ 槡 ｘ ＋３ 的定义 １ －ｘ＋ 槡 ］ ， 域为 ［ 所以 １ －３，
２ ２ ２ ２ （ ， （ 从左 等 式的形式ａ ｘ＋ ｂ ａ ｘ ＋ｂ ） ＋ｙ ） ｙ≤ 槡
大值 ， 就获得了实数 ｋ 的最小值 ．
２ 例 ２ （ ｘ １ １ 年浙江高考理科题 ）若 ４ ２ ０ ＋ｘ ｙ ２ 则２ ｘ ＋ｙ 的最大值是 ． ＋ｙ ＝ １， ２ ２ 分析 条件 ４ ｘ ＋ｘ ｙ ＋ｙ ＝ １ 左 边 是 二 次 的， 而解题目标 ２ 消 除 次 数 差 异， ｘ ＋ｙ 是一 次 的 ， ２ ２ 获得 （ 容易想到对 ２ ｘ ＋ｙ 平方 ， ｘ ＋ｙ） ｘ ２ ＝４ ＋ ２ 于是 ， 问题转化为在题设 ｘ ｘ ｘ ｙ＋ｙ ＋３ ｙ ＝１＋３ ｙ， ２ ２ 求ｘ 条件４ 这样 ， ｘ ＋ｘ ｙ ＋ｙ ＝ １ 下 ， ｙ 的最大值 ． ２ ２ ２ ２ 需要把 ４ ｘ ｘ ＋ｘ ＋ｙ 与 ｘ ｙ ＋ｙ ＝ １ 里的 ４ ｙ联
１ 于是 即ｘ ｘ ｘ ＋ｘ ｙ ≥ ２·２ ｙ ＋ｘ ｙ ＝５ ｙ， ｙ≤ ． ５ ２ ｘ ＋ ｙ ≤ ≤ ＝２ （ ｘ Fra bibliotekｙ） ２ ＝ 槡
ｘ １＋３ ｙ 槡
１＋ ５ 槡 ２ １ ０ 槡 ． ５
３
所以 ， 满足不等式槡 ｘ ＋ｙ， ｘ＋ 槡 ｘ ＋ｙ ２ ２ ｙ ≤ｋ 槡 槡 ６ 的实数 ｋ 的最小值是槡 ． ２ 点评 如果没有联系到柯西不等式 ， 也可把
）． ｘ ＋１ ４＋２ ４－ （ 槡 槡
２
当 ｘ ＝－１时 ， 当ｘ ＝－３， 或 Ｍ ＝ｙｍａ ２； ｘ ＝２ 槡
ｘ ＝１时， ｍ ＝ ｙｍ ． ｎ ＝２ ｉ
２， ２ 所以 ，ｍ ＝ 槡 应当填槡 ． Ｍ ２ ２
１ ０
２ ２ ７＝ｘ ｘ ＋２ ｙ －ｙ ２ ２ （ （ ２－１ ｘ） ＝ ｘ －ｙ ＋２ 槡 槡
８
— —２ 数学通讯 — 上半月 ） ０ １ ４ 年第 ５、 ６期（ · 辅教导学 ·
从已有知识经验出发寻找解题思路 ＊
安振平
（ ） 陕西咸阳师范学院教育科学学院 ， ７ １ ２ ０ ０ ０
］中 ， 江苏于志洪先生在文 ［ 利用三角换元法 １ 解答了６道高考多元条件求最值问题 ， 笔者阅读该 ， 文的同时 思考了怎样从 学 生 的 已 有 知 识 、 经验出 ］中 发， 寻求自然的 、 简明的解题途径 ． 本文以文 ［ １ 的问题为例 ， 探究这些代数最值问题的直接解答 途径 ， 愿对 读 者 开 展 解 题 分 析 ， 探 究 解 题 思 路， 形 成解题过程有所启迪 ． 例 １ （ １ ３ 年宁镇扬三市二模试题 ）若不等 ２ ０ 对任意正实数ｘ， 式槡 ｘ＋ 槡 ｘ ＋ｙ， ２ ｙ ≤ｋ ｙ 成立 ， 槡 求 ｋ 的最小值 ． 分析 联想到柯西不等式 ， 需要配凑柯西不
— —２ 数学通讯 — 上半月 ） ０ １ ４ 年第 ５、 ６期（ · 辅教导学 ·
堆转一圈 ， 看 看 能 否 发 现 老 鼠 的 尾 巴． 如 果 有， 就
ｙ） ２－１ 槡 槡
１
捉出老鼠 ． 如果没有发现 老 鼠 尾 巴 ， 就要寻找这堆 石头的缝隙 ， 某个缝隙可 能 就 是 寻 找 的 突 破 口 ． 联 想曾经抓老鼠 的 经 验 ， 思考能否转化为以前捉老 鼠的方法 ． 如果可以 ， 那 就 搞 定 了； 如 果 不 成 功， 就 需换个途径 ， 直 到 抓 出 老 鼠 为 止． 数 学 解 题， 何尝 不正是这样的道理呢！ 参考文献 ： ［ ］ 应用三角换元法解高考最值问题 １ 于志洪 ． （ ） ［ ］ ， 数学通讯 （ 下半月 ） １ ４ １ ． Ｊ ． ２ ０ ［ ］ 王 峰． 用待定系数法证明不等式 ２ 安 振 平， （ ） ［ ］ ， 中学数学教学参考 （ 上旬 ） １ ３ ８ ． Ｊ ． ２ ０ （ ） 收稿日期 ： １ ４－０ ３－０ ６ ２ ０
一道高考数学压轴题的解法探讨_安振平
1 1+ x
n . n+ 1 笔者以为, 该考题的设计是比较新颖、 独 特的 , 从参考答案 提供的解答方 法来看, 第 ( Ñ ) 题是用/ 倒数变换0 , 构造等比数列求解 的; 第 ( Ò ) 题是 用 / 配凑 0 数 学通 项, 利用 ( Ñ ) 的结论做答的; 而第( Ó ) 题是借助 ( Ò) 的结论, 对 x 取特殊值 , 这个值的选择, 没有 一定的数学悟性 , 是比较难想到的 . 1. 关于第 ( Ñ ) 小题的求解 一个自然的问题是, 如果没有想到/ 取倒 数0 法, 还能够求数列 { an } 的通项吗? 其实 , 由首项出发, 借助递推关系, 求它 的第 2 项 , 第 3 项, 第 4 项 , 就得 3# 3 5 9 3 ; a2 = = ; a1 = 3 11 5 2# + 1 5 9 3# 11 = 27 ; a3 = 9 29 2# + 1 11 3 # 27 29 = 81 . a4 = 27 83 2# + 1 29 n 据此 , 容易猜出 an = n 3 . 接下来, 可 3 + 2 以用数学归纳法证明之. 这种从特殊到一般、 归纳、 猜想、 证明的 思想方法 , 是求解数列问题的基本方法 , 理应 成为考生思考此类问题的通性通法, 也应当 是首选的方法.
# 辅教导学 #
数 学通讯( 2008 年第 18 期)
2 2 n 2
19
1 + ( 2a n 1 ) [ 1 # 1+ x 1+ x an 2 = an . 我们知道 , 灵 活的配凑 , 巧凑乘 积的因 子, 妙分和式的项, 这是应用二元均值不等式 的前提. 关注如何消去字母 x , 仅留下 a n , 你 可能就有了点感觉了 . 3. 研究第( Ó ) 小题的证法 数列不等式的证明是历年高考的热门话 题, 这类问题往往有着数学竞赛题目的味道, 其难度是比较大的, 适度的放大或缩小 , 其技 巧性是很高的, 能够有效地检查考生的分析 问题与解决问题的技能. 不用参考答案里的证明方法, 你能证明 吗?这是数列不等式的证明问题, 通性通法是 数学归纳法, 可以证明吗? 完全可以, 但运算 量大 , 技巧性比较高 , 留给读者去完成. 猜透了命题人的原始意图, 看穿了题目 的本质属性, 你就会发现 , 利用 n 元均值不等 式去证明 , 就太简单了! 证明 1 所要证明的不等式等价于 3 32 3n n2 + 2 + ,+ n > . 3+ 2 3 + 2 3 + 2 n+ 1 由 n 元均值不等式 , 得 3 + 32 + ,+ 3n 2 n 3+ 2 3 + 2 3 + 2 n 2 3 3 3n \n # 2 # ,# n , 3+ 2 3 + 2 3 + 2 2 n 3 + 2 + 3 + 2 + ,+ 3 + 2 2 n 3 3 3 n 2 n \ n 3 + 2 # 3 +2 2 # , # 3 +n 2 , 3 3 3 两式相乘, 便得 2 n ( 3 + 2 3 + ,+ n 3 ) ( 3 + 2 + 3+ 2 3 + 2 3 3 + 2 32 + 2 + , + 3n + 2) \ n 2 ¹ 32 3n 注意到 2 n 3 + 2 + 3 + 2 + ,+ 3 + 2 2 n 3 3 3 2 2 2 = n+ ( + 2 + ,+ n ) 3 3 3 2 (1- 1 ) 3 3n = n+ 1- 1 3 1 = n+ 1 - n < n + 1, 3 于 18 期 )
高效课堂,从了解学生的已有知识经验开始——“长方形的特征”案例描述与反思
高效课堂,从了解学生的已有知识经验开始——“长方形的特
征”案例描述与反思
苟艳芳
【期刊名称】《新校园（学习）》
【年(卷),期】2016(000)011
【总页数】1页(P158)
【作者】苟艳芳
【作者单位】东营市垦利区第三实验小学,山东东营257500
【正文语种】中文
【相关文献】
1.把握学生已有知识经验促进历史学科有效教学 [J], 吴振;
2.学生已有的知识经验能被“覆盖”吗——例谈数学教学如何顺应学生的学习心理[J], 魏光明
3.从学生已有知识经验出发开始你的教学 [J], 安振平
4.有效教学应从学生已有的知识经验出发--“小数的意义和读写方法”教学设计与反思 [J], 祁凤芝
5.有效教学应从学生已有的知识经验出发——『小数的意义和读写方法』教学设计与反思 [J], 祁凤芝; 张宝梅
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不等式证明里的运算技巧
例 １ 设 ａꎬｂ > ０ꎬ求证:
ａ２
＋ ２
ｂ２
＋
ａ
＋ ２
ｂ≥ａａ２
＋ ＋
ｂ２ ｂ
＋
ａｂ.
探究 我们 知 道
ａ２
＋ ２
ｂ２
≤
ａ２ ａ
＋ ＋
ｂ２ ｂ
ꎬ
ａ
＋ ２
ｂ
≥
ａｂ是两个异向的不等式. 可是ꎬ将其两边分别相 加ꎬ选择一个不等号方向ꎬ意外地获得了一个待证 的新颖不等式.
证明 待证不等式
⇔
ａ２
＋ ｂ２ ２
－
ａｂ≥ａａ２
＋ ＋
ｂ２ ｂ
－
ａ
＋ ２
的解题思路. 关键词: 运算技巧ꎻ不等式ꎻ证明ꎻ加强 中图分类号:Ｏ１２２. ３ 文献标识码:Ａ 文章编号:１００３ － ６４０７(２０１８)０９￣００３２￣０３
不等式是中学数学的重要内容ꎬ不等式的性质 是不等式的核心知识ꎬ诸如同向不等式相加、相乘 的性质等. 笔者思考的问题是:异向不等式相加、相 乘与同向不等式相减、相除ꎬ可以获得怎样的不等 式呢? 本文通过实际例子探究这个问题. １ 两个不等式相加
２０１８ 年第 ９ 期
中学教研( 数学)
������３３������
相减ꎬ获得的不等式是否正确需要论证. 若是正确
的ꎬ则获得了一个十分有用的局部不等式ꎬ这也为
一些不等式的证明提供了一种有效的可能通道.
高考数学题的题根在哪里_安振平
…
＋ａ１ｎ
＜
３ ２
．
对比之下，两 考 题 的 不 等 式 证 明 情 景 完
五 、在 大 学 教 材 里
全雷同．
高考是为大 学 选 拔 人 才，在 高 等 数 学 和
四 、在 竞 赛 试 题 里
高中数 学 的 衔 接 处，设 计 考 查 数 学 思 想 方 法、数学思维能 力，可 以 体 现 选 拔 性、区 分 性
（３）
证
明 ：１ ２
＋
１ ３
＋
…
＋
１ ｎ＋１
＜
ｌｎ（ｎ＋１）（ｎ∈Ｎ＊ ）．
图１
Ａ．６槡２ Ｂ．６ Ｃ．４槡２ Ｄ．４
●评●说 本 题 类 似 于 ２０１０ 年 高 考 辽 宁
卷第１５题：如 图 ２，网 格 纸 的 小 正 方 形 的 边 长是１ ，在其上 用 粗 线 画 出 了 某 多 面 体 的 三 视图，则 这 个 多 面 体 最 长 的 一 条 棱 的 长 为 ．
考试题是从课 本 问 题、定 理、概 念 改 编 而 来．
这些试题，既考 基 础 知 识、基 本 技 能，又 很 好
二 、在 经 典 问 题 里
地控制了试题难 度，对 备 考 学 习 起 到 了 良 好
的导向作用．
在初等数学 中，有 一 大 批 经 典 的 数 学 问
例 １ （２０１４ 年 高 考 安 徽 理 科 卷 第 ９
在各级各类 国 内 外 数 学 竞 赛 试 题 里，有 一些“小、巧、活”的 题 目，这 些 问 题 既 适 合 竞 赛，又适合高考 水 平，这 样 的 试 题，极 有 可 能 成为高考命题的 生 长 点，在 往 年 的 高 考 真 题 中曾出现了许多例子．
例７ （２０１４ 年 高 考 上 海 理 科 卷 第 １２
从学生已有知识经验出发开始你的教学_安振平
%
%
得14z2-6 姨14 z+9≤0. 化简，
2 2 即 ≤0.而 ≥0， （姨14 z-3 ） （姨14 z-3 ） 这就由不等式 2 导出等式 （姨14 z-3 所以z= =0， ） % % %
变式 1 ： （2012年 湖北 高 考 理 科 题 ） 设a、 b、 c、 x、 y、 z是
正数， x2+y2+z2=40， 且a2+b2+c2=10， ax+by+cz=20， 则 （ ） . A. 1 4 B. 1 3 C. 1 2 D. 3 4
得： 姨14 两边平方， 14x2+14y2+14z2=14，
1 14 z. 代入 x2+y2+z2=1， 得 z2=1. 注意到 x、 y、 z 只能同 3 9 3 姨14
%
正， 所以： z= ， x= 1
%
， y=
2
%
.
姨14 姨14 6 3 % 故x+y+z= % = 姨14 . 姨14 7 实质上只用到了初中数学知识， 上述3种解答途径， 其中的配方法、 非负数的性质， 以及主元思想、 不等与相 等的转化， 是数学解题中的重要思想方法， 很值得读者 思之、 思之、 再思之.这种解题变形、 化归思想， 需要解题 经验的不断丰富， 需要持续反思、 琢磨和感悟.
2 2
2 平方， 得x2 1x2= -
-y y y . y1 2
1 2 2
2 2 x2 代入上式， 有： 注意到①、 ②的变形x2 1=1-y1， 2=1-y2，
高考数学解题思维的具体操作过程
建立坐标系，设点坐标，待定法向 量，列出关系，内积公式利用求解， 最后不忘回头反思检验。
解答题怎样解？ 立体几何：
解答题怎样解？ 立体几何：
解答题怎样解？ 立体几何：
解答题怎样解？ 解析几何：
• 建立坐标系，设点坐标，直线方程
，椭圆方程，列出等量关系（从方程 组到方程，建立不等关系，构造函数 关系，求解，反思检验。
对于数学高考，可以做这样的类比： “考生最痛苦的事情是，人在考场 ，题不会做。” “考生最痛苦的事情是，人在考场， 题会做，但做错了。”
怎样解答高考数学题？
• • • • • • •
转化为熟悉的、做过的题型。 数形结合，由数想形，由形思数。 分合结合。局部入手，分而治之。 构造方程不等式函数，模型求答。 浅层次挖掘，概念、定义入手。 “建、设、列、解、验”五字法。 模式识别，目标意识，差异分析。
解答题怎样解？
抄题不浪费时间，抄题的过程就 是审题的过程，就是读题的过程，就 是分析问题和解决问题的过程。 • 读题与做题，在总结中提高。 • 教会别人，你的心里更亮堂。
解答题怎样解？ 三角函数题： • 正弦、余弦、正切。 • 三角公式，恒等变形。 • 函数图象（5点法）与性质（单调 性、周期性、最值，有界性，特别注 意定义域）。 • 三角形的问题：边与角的转化。
选择题怎样选？
讲解： 通过逻辑推理与分析,
容易知道, 每列成等差数列， 对照选支，只有D符合条件.
选择题怎样选？
选择题怎样选？
选择题怎样选？
选择题怎样选？
选择题怎样选？
选择题怎样选？
选择题怎样选？
【例5】
选择题怎样选？
选择题怎样选？
选择题怎样选？
填空题怎样填？
浅谈解题思路的合理选择_安振平
浅谈解题思路的合理选择安振平 苟春鹏 (陕西省永寿县中学 713400) 由于数学问题千变万化,自然决定了解题思路没有固定不变的解题模式,况且同一问题的解决也会存在多种不同的解题思路.如何合理、自然、快速地选择解题思路,这是我们在解题教学过程中经常思考的课题之一.下面以文[1]中的题目为例,谈谈我们的具体做法,以期抛砖引玉.例1 已知a >13,b >13,ab =29,求证:a +b <1.分析与解答 由a >13,b >13知a -13>0,b -13>0.而由(a -13)(b -13)可生成ab 与a+b ,于是有如下简证:∵ a -13>0,b -13>0,∴ 0<(a -13)(b -13)=ab -13(a +b )+19=13[1-(a +b )]∴ a +b <1.例2 设x >0,y >0,x ≠y ,且x 2-y 2=x 3-y 3.求证:1<x +y <43.分析与解答 ∵x -y ≠0∴由(x -y )(x +y )=(x -y )(x 2+xy +y 2),得x +y =x 2+xy +y 2.将x 2+xy +y 2配方产生目标“x +y ”.不妨设x +y =t ,有t =(x +y )2-xy =t 2-xy ,即 t 2-t =xy .再将xy 向x +y 这个目标转化,自然想到xy <(x +y 2)2=t 24 (∵x ≠y )于是,有t 2-t <t24,即3t 2-4t <0,解得0<t <43.如何证明t >1,这又是我们的解题目标.事实上,由x >0,y >0知t 2-t =xy >0,即t 2>t 而t >0,∴t >1.评注 从已知条件出发,联想已学过的法则、定理,盯着目标设法实施有效的转化,在条件与结论之间搭起一座合理化归的桥梁.这是选择解题思路的重要策略.例3 已知a >0,b >0,a +b =1,求证:(a +1a )(b +1b )≥254.分析与解答 先将(a +1a )(b +1b)展开,得(a +1a )(b +1b )=ab +1ab +a b +b a 显然,a b +ba≥2,于是只要证ab +1ab ≥174而ab 与已知a +b =1联系有ab ≤(a +b 2)2=14利用函数的单调性,从“ab +1ab”想到了构造函数f (t )=t +1t (0<t <1)∵ 0<ab <14<1,∴f (ab )≥f (14)=174.这就证明了原不等式.评注 从外形结构联想到构造函数,利用函数的单调性是证明不等式的一条有效途径.转换角度,若不将(a +1a )(b +1b)展开,如何证明例3的不等式呢?下面又给出三种解题思路.1)从取等号成立的充要条件a =b =12,知a=14a ,b =14b,妙用5元均值不等式,得如下巧证.(a +1a)(b +1b )=(a +14a +14a +14a +14a )(b +14b +14b +14b +14b)≥55a ·(14a)4·55b ·(14b )4=2545(14ab )3≥254 (∵4ab ≤1)评注 利用不等式中等号成立的条件是妙证不等式的重要技巧之一.2)如果考虑化分式不等式为整式不等式,采用分析方法,就有如下妙证.要证 (a +1a )(b +1b )≥254只要证 (a 2+1)(b 2+1)≥254ab ,即 a 2+b 2+a 2b 2+1≥254ab ,只需证 1-2ab +a 2b 2+1≥254ab ,即 4(ab )2-33ab +8≥0(4ab -1)(ab -8)≥0(▲)∵ ab ≤14,∴ 4ab -1≤0,又 ab -8<0∴ (▲)式成立.评注 有些不等式从条件出发直接难以证明时,不妨转换角度,从结论出发,采用分析法,不仅使思路清晰、自然,而且证法简捷,如高中《代数》下册P 26中的定理1,教材中的证法学生很不容易想到,若采用分析法,证明过程就显得非常简洁、自然,请读者自证.3)由a >0,b >0,a +b =1,联想到三角基本平方关系式:sin 2β+c os 2β=1,自然考虑选择三角代换,则有如下证法.设a =sin 2α2,b =cos 2α2,α∈(0,π2].则 (a +1a )(b +1b ) =(sin 2α2+1sin 2α2)(cos 2α2+1cos 2α2 =(1-cos α2+21-cos α)(1+cos α2+21+cos α) =1-cos 2α4+41-c os 2α+1-cos α1+cos α+1+c os α1-c os α =sin 2α4+4sin 2α+2+2cos 2αsin 2α =sin 2α4+8sin 2α-2(▲)这里,将原不等式的证明问题转化为求三角式子(▲)的最小值问题.由其结构特点自然想到运用均值不等式a +b ≥2ab (a ,b >0)消掉sin 2α,但若直接应用公式,由于受正弦函数有界性的制约,等号取不到,所以须对(▲)式中的系数进行合理凑配.则有sin 2α4+8sin 2α-2=sin 2α4+14sin 2α+314sin 2α-2≥12+314sin 2α-2≥12+314-2=254评注 此题在转化为求三角式子的最值时,既用到了均值不等式,又用到了正弦函数的有界性,特别要注意的是:系数的凑配要以均值不等式中等号成立的条件与三角函数的有界性必须保持一致为前提.从对以上几个例题解题思路的分析看出,数学解题思路的合理选择,一方面受解题者自身知识水平的制约,另一方面要求我们在学习中要善于不断的总结,不断探索,寻求合理、准确、恰当的思维起点,以达到解题思路既自然,又流畅.只有这样,才能不断开发解题智慧,逐步提高分析问题和解决问题的能力.参考资料1.赵岳云.构造二次方程证明不等式.数学通报,1998,8.P 8。
解析几何中的解题技巧
因为 ｌ ＡＢｌ 一２ ， ｌ ＡＣＩ 一， ｚ ｌ Ｂ Ｃｌ （ ∈Ｎ ， ≥２ ） ，
所以 （ ＋１ ） ＋ 一 、 ／ ／ （ 一１ ） ＋ 。 ．
所以 ｚ ＋ 。 ：Ｘ （ Ｃ Ｏ Ｓ 口 ＋ｃ ｏ ｓ ） ＋ｙ （ ｓ ｉ ｎ ａ ＋
的定 义 ， 挖 掘 曲线 的几何 性 质 ， 体 现 问题 蕴涵 的 几 何 味道 ， 便 能简化 运算 过程 ， 优 化解 题思 维．
例 ４ 在 面 积 为 １ 的 △Ｐ ＭＮ 中，
１
厶
Ｐｌ Ｐ ２为 直径 的 圆上 的任 意 一 点 ， 求证 ： ＋ 。
＜ ２ ．
。
解 题 探 讨
解析几何中的解题技巧
陕西 安振 平
解析几何是高中数学的核心内容 ， 历年高 考 中一般 设计 ２小 １大 ３个 题 目． 其 主要 涉 及
的题 型 有 两个 ， 一 是 已知 曲线 属性 探求 曲线 的 方程 ； 二是 已知 曲线 方 程 ， 研究 曲线 的性 质． 解 答 问题 的核心 是 把几 何 问题 代 数 化 ， 充分 运 用 逻辑 推理 、 代数 变形等 来实 现解 题 目标 ．
一
列的裂 项求和 、 不等 式证 明 ， 则体 现 了问题 的综
合性， 以及考 查数 学思 维的价值 所在．
二、 借助 向量 法
没有 涉及 向量 知识 的问题 ， 若 能 引进 向量 ， 利 用 向量 方 法解 决 问题 ， 其 思 维 流程 也许 就 自
然 流淌 出来 了． 如 问题 中存在两 直线 垂直 ， 便有
≤２ ．
∈Ｎ ， ≥２ ） ， ＡＡＢ Ｃ的面积 的最 大值 为 ｎ ， 求
２ ４＿ ￣ ４ ＿ ａ 证： ａ
寻找简捷的解题途径
5-38故学故学2020年第5期寻找简捷的解题途径<安振平(陕西省咸阳师范学院，陕西咸阳712000)数学是一种关系，数量关系、图形关系和 随机关系，数学解题就是寻找关系.寻找题设条件与解题目标之间的联系.这里思维链接愈 直接，其解题思维长度就愈短，解题过程就愈 简单、明快.寻求解题捷径,修改已有解法，修 炼解题思维，这是学解数学问题的一种有效途 径.本文从贵刊的几个数学问题着手，谈谈笔 者的解题思路.1从问题结构入手,展开思维联想例1 (《数学教学》2015年第2期问题963)已知A ：、y 、z > 1，且一 + —• + 一 = 2•求证：x y z J x + y + z Ss J x — 1 + -Jy — 1 + J z — \.本题原刊登的解答是采用三角换元后，再 借助柯西不等式.其实，直接证明不是很简 洁吗？从条件和解题目标出发，展开联想，仔细 观察结构特征* - 1, y - 1，z - 1,对条件等式1 1 1 ^ x — I y — \—+ — + — = 2变形，易得----+ -—+x y z x y d= i .这样，结合柯西不等式，实现分离z变形.证明：由条件等式丄+丄+丄=2变形，x y z 易得xyz于是，应用柯西不等式，得 J x ~ 1 + J y — 1 + J z ~ 1(% + y + z )=J x + j + z .说明：本题的一个推广见笔者提供的本刊2012年第4期问题864:nI »= 1设义 > 1，i = 1, 2，…，几（n >3)，且—=几一 1.求证：^ X A 一 1 •\ »• = 11 = 1例2 (《数学教学》2016年第2期问题969)已知s 为给定的正整数，〇1，a 2，…，& > 0, 且a , . a 2....a , = 1.求证：对一切n e N *，有n +1 . n +1 , . n +1 n , n , , n al + a 2 + ••• + as ^ a x + a 2 + ••• + .本题原刊登的解答是应用数学归纳法，过 程较长，如果联想到把字母的n +i 次分离为《 次和1次，就可以应用切比雪夫不等式来解答， 这样的解答似乎更直接.证明：因为a ,，a 2，…，a ,与a ?, a ;,…， <同序，所以，应用切比雪夫不等式和算术一 几何平均值不等式，得n +1 , n +1 , , n +1ax + a 2 + ••• +as ^ 一(aj + a 2 + ••• + a s) {a n { + a2 + ••• + )n ^ /J a x a 2','ds • (a ? + ag + ••• + a 》=+ aj + ••* + a ".说明：简洁的解答来源于知识的积累和运咸阳师范学院教育科学学院2018年度专项科研基金项目（JKKY 201827):基于核心素养的数学解题思维研究.2020年第5期故学故学5-39用，有效的联想，实现了问题情境和解题者大 脑思维的最佳链接.2从设元换元入手,展开思维联通例3 (《数学教学》2015年第6期问题947)设实数*、y、z满足d+y2+Z2= l j*y+ 2x z的最大值.本题原刊登的解答是引人2个参数，应用 基本不等式和待定系数方法求解.这里，将引 入1个参数，给出一种另解.解：设正数A是待确定的常数，应用基本 不等式和柯西不等式，得xy + 2xz = 一• (Ax)(y + 2z)A^ -：—•[\x + (y + 2z)]2111^-------+-------+-------2 J x y2y/yz2y/zx1ln(x + y + z\_73W=T等号成立的条件为$=y=z=y?.所以，l11的最大值为x + y y + z z + x1说明：若令a =丄，6=丄，C=丄，则获得x y z本题的一个变式为：已知正实数a、6、c满足a6 + 6c + ca = 1.求证：^7-(A2 + l2 + 22)(x2 + y2 + z2)4AA2 + 54A等号成立的条件为A* = y + 22,f =十=+，x2 +y2 +z2 = 1,解得正数A =7?, * = ，y=X 752* + 57=：,这时^75 4A752 _所以，M +的最大值为说明：本题的一个变式，即为2019年上海交大自主招生第9题：已知h y、Z不全为零，求^y+22yZ2的x+ y+ z最大值.例4 (《数学教学》2015年第8期问题952)已知正实数l y、z满足x + y+2 = ^，求ab be ca J3----+----- +----^ —•a +b b +c c + a23从构造模型入手，展开思维移动例5 (《数学教学》2018年第4期问题1026)设a、6、c为A4B C的三边长，满足a + 6 + c = 2又求证：a2 + 62 + c2 + —abc < 2s2.s本题原刊登的解答是作差分解因式，这 题可以逆向思考，从三角形边长之间的不等关系，合成构造所要证明的不等式，也是殊 途同归.证明：因为厶 + c >a，c+a >6，a+6 > c9a+b+c = 2s,所以 s-a > 0,s-6 > 0，s-c > 0,即（s-a)(s-6)(s-c)>0，有x + y y + z —的最大值. z + x本题原刊登的解答书写较繁，可以改得简 单些.解：应用基本不等式和柯西不等式，得53 - (a + 6 + c)s2 + (ab + be+ ca)s - abc > 0.将0 + 6+0 = 25，616+6〇+0(1 = 252 - 了(a2 + 62 + c2)，代入上式得2s3 + 2s1 - ^"(f l2^ b2 + c2)s - abc >0,5-¥)故等•故学2020年第5期所以 a2 + 厶2 + c2 + —abc < 2s2,s说明：研究本题的下界，可以获得：®正数a、i、c满足a + 6 + c = 2s•求证：a2 + b2 + c2 +—abc ^—52.527例6 (《数学教学》2013年第12期问题903)设 ac、e R，且 i+y+2 = 8.求证：X2 + I+ \/j2 + 4 + V^2 + 9 多 10.本题原刊登的解答是构图证法，甚是巧 妙.如果构造复数，证明更为直接.证明：构造复数A =尤+ i，= y+ 2i，2：3 = z + 3i,则y/x2 + l+ \/y2 + 4 + \/z2 + 9=1 Z j I + I z2\ + \Z3\^\z{ + z2 + z3 \=I(% + y + z) + 6i I=1 8 + 6i I = 10.(b + c)(6a + b + c)2 | =(I (6a + 6 + c)),即(y/l +-^-)&(I (6« +6 +c))^•l^V b + c]^(b + c)(6a + b + c)2要证原不等式，只要证明(^ (6a + 6 + c))-------------------------^ 36,(^ (6 + c)(6a + 6 + c)2)即需要证明([(6a+ b +c))5：36(工（6 +c)(6a +6 +c)2)化简得22 ^a3 + 24a6c ^ 15 ^a b + 15 ab\...............................(* )应用三元均值不等式，得说明：本解法中，用到复数模的不等式，这 自然联想到了闵可夫斯基（Minkowski)不等式的特例：已知y i> 0,则有X a2b + X ab2^a3 + a3 + 63^4—3+I+ b3 +b33=2^«3,即 2 X a3 多X a26 + Z d2....①4从运用重要不等式入手，寻找解题别径例7 (《数学教学》2013年第12期问题905)设 a、6、c e R+•求证：本题原刊登的解答是运用三元A M—G M 不等式和舒尔（Schur)不等式证明的，运算量 较大.如果联想到赫尔德（Halde)不等式，那么 可以获得另一证法.证明：应用赫尔德不等式，得+ c)2]注意到著名的舒尔不等式Z a3 + 3abc 5= 2a2b + ^ab2............................(D由7 x①+ 8 x②，易知不等式（* )成立，获证.说明：若令 * = ，乂= ’ 2 = ~^7,b +c c + a a+o则本题等价于：设正数*、y、z满足+yz+za£+ 2外2：= 1.求证：yi + 6x + y1 + 6y + y l + 6z 2： 6.“复盘”本是棋类术语，是指棋手在对局之2020年第5期故学轧学5-41基于“关键能力”命制数学操作题盛小青(江苏省常州市新北区飞龙中学，江苏常州213022)数学操作题具有新颖、开放、灵动、创新、思辨等其他题型无法比拟的独特性而成为近几年中考的热门题型.操作题能综合考查学生猜想与推理、抽象与建模、直观与想象、理解与运算等数学“关键能力本文结合例题阐述基于“关键能力”命制数学操作题的策略.1基于猜想与推理能力命制操作题操作题可以立足教材或生活实际进行取 材,这样的低起点可以确保学生通过简单的尝 试解决一些基本问题，然后运用类比、迁移等 方法与提供的素材进行关联设计、拓展延伸，这样的操作题才能构思巧妙、立意高远.例1(2016年常州市数学中考第26题）(1)阅读材料教材中的问题，如图1，把5个边长为1的小正方形组成的十字形纸板剪开，使剪成的若 干块能够拼成一个大正方形，小明的思考：因为剪拼前后的图形面积相等，且5个小正方 形的总面积为5,所以拼成的大正方形边长为________，故沿虚线剪开可拼成大正方形的一边，请在图1中用虚线补全剪拼示意图.(2)类比解决如图2,已知边长为2的正三角形纸板A B C,沿中位线〇£剪掉请把纸板剩下的部分剪开，使剪成的若干块能够拼成一个 新的正三角形.后，复演这盘棋的走法,来检查招式的优劣与 得失的关键.学解数学题也是如此，如果你时 常“复盘”，就能优化解法，扬长避短.在学习和欣赏期刊、图书上已有问题解 答的同时，也应当善于修改其已有的解答，提 出自己的别解，探究问题的变式•让自己的数 学思考和原问题交流，在与原作者对话的思图1①拼成的正三角形边长为________;② 在图2中用虚线画出一种剪拼示意图.图2(3)灵活运用如图3,把一边长为60 c m的正方形彩纸剪开，用剪成的若干块拼成一个轴对称的风筝，其中乙B C D= 90。
从学生已有知识经验出发开始你的教学
瀚鞠簟
十 ７ 擞・ ？高 中 版
２ ０ １ ４年 ３月
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ｌ
：— — 。 Ｖ＝ —
材 法
“ 化 多为少 ” 的策略 出发 ， 依 然用 “ 解代 消元法 ” ， 经过 多
次 尝试 、 修正 ， 获得如下解题过 程．
２
— ， ｚ＝ —
３
— ．
、 ／ 故 ： — ：
二
ｌ
２
３ ２ ＝ ｙ ； ＋ ＝ ÷
做 完一道题 目之后 ， 做 点儿解题 回顾 、 解 题反思 、 解 题 总结 ， 多问点儿为什 么 ， 这有利于进一 步收拢思绪 ， 感
按 照波利 亚的解题 模式 ， 首先需 要弄 清题意 ， 这是
一
个条件等式证 明题 ，题设 条件涉及６ 个 字母 ， ５ 个条件
２
１
２ ＋ ；
２
＋ ｙ ； ： ÷
注意 到 由 １ ＋ ｙ ２ ３ ＝ ０ ，得 ＝ 一 （ ） ， ） ’以及上式 ， 便
有：
这个题 目的知识超越 了初 中生的知识要求 ， 自然需 要改 造 ， 笔者给学生呈现 了如下等价 的题 目．
＝
＋ ｙ ； ＋ ） ， ；
注意到① 、 ②的变形 ＝ １ 一 ｙ ， ２ ， ； ＝ １ 一 ｙ ２ ， 代入上式 ， 有：
， １ 、
（ １ ） （ １ ｉ ） ＝ （ ÷＋ ｙ Ｙ ｚ ）
化简， ． １ ｅ 哥 ｙ ２ １ 十 ２ ｌ ｙ ２ ＝ ÷．
斗
ｙ ３ ＝ Ｏ ， 求证：
悟尝试 、 调 整思 维． 其实 ， 在 如上 的解答 过程 中 ， 已经 出
现 了如下 的简单变式题．