祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积教学设计08

祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积

［教学内容、地位］

在学生已经初步学习了柱体、锥体、球体的体积公式的基础之上对体积公式的由来的进一步探究，主要内容为用祖暅原理推导柱体、锥体、球体的体积公式；通过模型演示，利用祖暅原理，推广到柱、锥、球体的体积计算.通过学习，使学生感受几何体体积的求解过程，初步了解解决空间几何体问题的思想方法,逐步提高解决空间几何体问题的能力。

［教学编排依据］

主要是从学生获取知识遵循“从特殊到一般，由浅入深，由易到难，循序渐进”的原则出发，符合学生的认知水平和接受能力.

教学目标的确定

（1）理解祖暅原理的含义，理解利用祖暅原理计算几何体体积的方法；

（2）在发现祖暅原理的过程中，体会从“平面”到“空间”的类比、猜想、论证的数学思想方法；体会祖暅原理中由“面积都相等”推出“体积相等”的辩证法的思想；

（3）在推导棱柱体积公式的过程中，理解从特殊到一般，从一般到特殊的归纳演绎的数学思想方法是学习数学概念的基本方法；掌握棱柱、棱锥、球体的体积公式；

（4）通过介绍我国古代数学家对几何体体积研究的成果，激发学生的民族自豪感，提高学生学习数学的兴趣.拓展爱国主义情感教育，

3、教学的重点、难点

（1）柱体、锥体、球体的体积公式的探究

（2）学生探究能力的培养

二、说教法和几何画板和PPT课件导入与学法，探索实际案例。

教法：

1、为了培养学生自主学习的能力以及使得不同层次的学生都能获得相应的满足.因此本节课采用探究性教学.

2、根据本节课的特点也为了给学生的数学探究与数学思维提供支持.

学法：为了发挥学生的主观能动性，提高学生的综合能力，确定了探究性学习

法：通过分析、探索得出柱体、锥体、球体的体积公式；

四、教学过程

1、教学思路

由祖暅原理推导柱、锥以及球的体积．其结构图如下：

2、案例设计

Ⅰ导入课题

回顾已经学习的柱体、锥体、球体的体积公式，并发问：这些公式怎么来的? （设计意图：让学生产生疑问，带着疑问主动的探究柱体、锥体、球体的体积公式的由来）

Ⅱ探究新知

1、祖暅原理的引入

通过小实验引入祖暅原理，让学生直观感知祖暅原理的正确性，为接下来的应用祖暅原理推导公式提供理论基础

课件名称：祖暅原理．

课件运行环境：几何画板4.0以上版本．

课件主要功能：配合教科书“探究与发现祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积”的教学，说明几何体等体积变换的依据．

课件制作过程：

（1）新建画板窗口．如图1，按住Shift键，用【画直线】画4条直线AB，CD，EF，

GH （分别是直线j ，k ，l ，m ）．

图 1

（2）在直线j 上画两点I ，J ．

（3）在直线上画一点K ，在直线l 上画两点L ，M ，在直线m 上画两点N ，O ．

（4）画线段KL ，LN ，NO ，OM ，MK ．

（5）在直线k ，l 之间画一条直线PQ （直线r ）．在直线l ，m 之间画直线RS （直线s ）．

（6）作出线段KL 与直线r 的交点T ．同样作出线段KM 与直线r 的交点U ，线段LN 与直线s 的交点V ，线段OM 与直线s 的交点W ．

（7）在直线k ，r ，l ，s ，m 上分别画一点X ，Y ，Z ，A 1，B 1．

（8）标记向量TU ．依向量TU 平移点Y 得到Y '．同样，标记向量LM ，依向量LM

平移点Z 得到Z '；标记向量VW ，依向量VW 平移点1A 得到；标记向量NO ，依向量VW 平移点1B 得到1B '．

（9）依次选择点K ，L ，N ，O ，M ，按Ctrl+P ，填充五边形KLNOM ，及时单击【Measure 】（度量）菜单中的【Area 】，度量出它的面积，如“面积21 3.93p cm =”．

（10）类似于上一步，用【选择】工具顺次选择点X ，Y ，Z ，1A ，1B ，1B '，，

Z '，Y '，按Ctrl+L ，得到一个凹九边形．

（11）用【选择】工具顺次选择点X ，Y ，Z ，1A ，1B ，1B '，，

Z '，Y '，并单击【Construct 】（作图）菜单中的【Polygon Interior 】（多边形内部）给这个凹九边形内部填充，及时单击【Measure 】菜单中的【Area 】，度量出凹九边形的面积，如“面积22 3.93p cm =”．

（12）如图2，用【画点】工具在直线j 上画一点1C （位于点J 的左边）．过点1C 作出

1A '1A '1A

'

直线j 的垂线（直线a ）．用【选择】工具作出直线a 与直线k 的交点1D ．

图2

（13）双击点I ，把点I 标记为缩放中心．选中五边形KLNOM （边与顶点）及其内部，并单击【Transform 】（变换）菜单中的【Dilate 】（缩放），弹出对话框，把缩放改为1：3，单击【Dilate 】，得到一个小的五边形．选择它的内部，并单击【Measure 】菜

单中的【Area 】，度量出它的面积， “面积210.44p cm '=”．

（14）用【选择】工具双击点J ，把点J 标记为缩放中心．选中凹九边形（边与顶点）及其内部，并单击【Transform 】菜单中的【Dilate 】．同样，以1：3缩放得到一个小的凹九

边形，度量出它的面积“面积220.44p cm '=”．

（15）画直线K X ''，得到直线b ，作出直线b 与直线a 的交点．

（16）用【画线段】工具把点和1D 用线段连结起来．

（17）在线段1D 上画点1F ，用【画线段】工具作出线段1F 1C （线段c ）

，1C （线段d ）．

（18）先后选择线段c ，d ，并单击【Transform 】菜单中的【Mark Segment Ratio 】（标

K L N O M '''''1E 1E 1E 1E

记线段比）标记为c/d ．

（19）用【选择】工具双击点I ，把点I 标记为缩放中心．选择五边形KLNOM （边与顶点）及其内部，并单击【Transform 】菜单中的【Dilate 】，弹出对话框，单击【Dilate 】，如图3，得到一个小的五边形．选择它的内部，并单击【Measure 】菜单中的【Area 】，

度量出它的面积， “面积21 1.70p cm ''=”．

图3

（20）类似地，也把凹九边形及其内部按同样的缩放比关于中心点J 缩放，度量缩放

后的对象的面积“面积22 1.70p cm ''=”．

（21）画线段,,,,KK LL NN OO MM '''''，作出一个五棱台．

（22）画线段,,...XX YY ''，作出右边的凹九棱台．

2．探究柱体的体积公式

III.拓展爱国主义情感教育

祖暅，祖冲之之子，同其父祖冲之一起圆满解决了球面积的计算问题，得到正确的体积公式。现行教材中著名的“祖暅原理”，在公元五世纪可谓祖暅对世界杰出的贡献。

祖冲之之子祖暅总结了刘徽的有关工作，提出“幂势既同则积不容异”，即等高的两立体，若其任意高处的水平截面积相等，则这两立体体积相等，这就是著名的祖暅公理（或刘祖原理）。祖暅应用这个原理，解决了刘徽尚未解决的球体积公式。该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利﹝Bonaventura Cavalieri ﹞发现，比祖暅晚一千一百多年.

祖暅。中国数学家、天文学家。祖冲之之子，字景烁。在梁朝担任过员外散骑侍郎、太府卿、南康太守、材官将军、奉朝请等职务。青年时代已对天文学和数学造诣很深，是祖冲之科学事业的继承人。他的主要贡献是修补编辑祖冲之的《缀术》，因此可以说《缀术》是他们父子共同完成的数学杰作。《九章算术》少广章中李淳风注所引述的“祖呕之开立圆术”，详细记载了祖冲之父子解决球体积问题的方法。刘徽注释《九章算术》时指出球与外切“牟合方盖”的体积之比为a:4，但他未能求出牟合方盖的体积。祖冲之父子采用了“幂势既同，则积不容异”（两个等高的立体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等）的原理，解决了这一问题，从而给出球体积的正确公式。这一原理后人称之为“祖暅原理”，在西方，直到17K L N O M ''''

'