空间向量的直角坐标运算ppt课件
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课件2：3.1.4空间向量的直角坐标运算
研一研·问题探究、课堂更高效
小结 已知两个向量的坐标，证明这两个向量平行或垂 直，就是根据 a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0，c∥d⇔c ＝xd⇔c1＝xd1，c2＝xd2，c3＝xd3 (x∈R，x≠0)来证明．
研一研·问题探究、课堂更高效
跟踪训练 2 将本例中“若向量 ka＋b 与 ka－2b 互相垂
练一练·当堂检测、目标达成落实处
3．若 ABCD 为平行四边形，且 A(4,1,3)，B(2，－5,1)，
C(－3,7，－5)，则顶点 D 的坐标为
(D )
A．72，4，－1
B．(2,3,1)
C．(－3,1,5)
研一研·问题探究、课堂更高效
例 2 已知空间三点 A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设 a ＝A→B，b＝A→C.若向量 ka＋b 与 ka－2b 互相垂直，求 k 的值．
解 a＝(－1＋2,1－0,2－2)＝(1,1,0)， b＝(－3＋2,0－0,4－2)＝(－1,0,2)， ∴ka＋b＝(k，k,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)， ka－2b＝(k，k,0)－(－2,0,4)＝(k＋2，k，－4)， ∴(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8， 即 2k2＋k－10＝0，∴k＝－52或 k＝2.
＝(2,1,2)－λ(1,1,2)＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，
研一研·问题探究、课堂更高效
则Q→A·Q→B＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ) ＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ) ＝6λ2－16λ＋10， ∴当 λ＝43时，Q→A·Q→B取得最小值． 又O→Q＝λO→P＝43(1,1,2)＝43，43，83. 所以，所求点 Q 的坐标为43，43，83.
空间向量及其运算的坐标表示_课件
数量积
a·
b
_____a_1_b__1＋__a__2b__2_＋_______ a3b3
已知a＝(1,-2,1)，a-b＝(-1,2,-1)，则b 等于（ ）
A.(2,-4,2)
B.(-2,4,-2)
C.(-2,0,-2)
D.(2,1,-3)
解析 依题意，得b＝a-(-1,2,-1)＝a＋(1,-2,1)＝2(1,-2,1) ＝(2,-4,245°）， ∠yOz=90°,如下图
空间直角坐标系
空间直角坐标系
坐标表示：对于空间任意一个向量p，存在有序实数组{x，y，z} ， 使得p＝xi＋yj＋zk，则把x，y，z称作向量p在单位正交基底i，j ， k下的坐标，记作p＝(x，y，z)，其中数x就叫做点P的横坐标，数 y就叫做点P的纵坐标，数z就叫做点P的竖坐标
在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是D1D ， B中D点的，中试点建，立点适G当在的棱坐CD标上系，，且写|C出GE|＝，F|，CDG|，，HH的坐 标.
解 建立如图所示的空间直角坐标系 . 点E在z轴上，它的横坐标、纵坐标均为0
， 而过EF作为FDMD⊥1的A中D点, F故N⊥其D坐C标, 由为平面几何知识 ，
空间向量运算的坐标表示
空间向量a，b，其坐标形式为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，
b3). 向量运算
向量表示
坐标表示
加法 减法 数乘
a＋b a－b λa
(_a_1_＋__b__1，___a_2_＋__b_2_，__a_3_＋___ b_(_3a)_1_-_b__1，__a__2-_b__2，___a_3_-_b_3_)_ _____(λ__a_1_，__λ_a_2_，__λ_a__3)____
原创2：3.1.4 空间向量的直角坐标运算
解：以C为原点建立空间直角坐标系．
(1)依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)．∴||＝ 3，
∴BN的长为 3.
(2)依题意得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，
变式训练
∴ BA1＝(1，－1,2)， CB1＝(0,1,2)，
∴ BA1 ·CB1＝3.
原点O重合，得到向量OP＝p，由空间向量基本定理可知，存在有
序实数组{x，y，z}，使得p＝
xԦi＋yԦj＋zkԦ
.把 x，y，z 称作向
量p在单位正交基底Ԧi，Ԧj，k 下的坐标，记作 p＝(x，y，z) .
走进教材
2．空间向量运算的坐标表示
若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
Ԧ ∙
cos<a，b>
Ԧ ||
走进教材
3.空间中向量的坐标及两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则
(1)＝ (a2－a1，b2－b1，c2－c1) ；
(2)d AB＝||＝
(a2−a1)2 +(b2−b1)2 +(c2−c1)2
.
(1)设|Ԧc|＝3，Ԧc∥BC，求Ԧc；(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
【解析】
(1)∵BC＝(－2，－1,2)，且Ԧc∥BC，∴设Ԧc＝λBC＝(－2λ，－λ，2λ).
∴|Ԧc|＝ (－2λ)2 +(－λ)2 +(2λ)2 ＝3|λ|＝3.解得λ＝±1.
∴Ԧc＝(－2，－1,2)或Ԧc＝(2,1，－2).
＝1×(－1)＋1×0＋0×2＝－1
∴(－1,0,2)＝(x－2y，x－y,2y)
(1)依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)．∴||＝ 3，
∴BN的长为 3.
(2)依题意得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，
变式训练
∴ BA1＝(1，－1,2)， CB1＝(0,1,2)，
∴ BA1 ·CB1＝3.
原点O重合，得到向量OP＝p，由空间向量基本定理可知，存在有
序实数组{x，y，z}，使得p＝
xԦi＋yԦj＋zkԦ
.把 x，y，z 称作向
量p在单位正交基底Ԧi，Ԧj，k 下的坐标，记作 p＝(x，y，z) .
走进教材
2．空间向量运算的坐标表示
若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
Ԧ ∙
cos<a，b>
Ԧ ||
走进教材
3.空间中向量的坐标及两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则
(1)＝ (a2－a1，b2－b1，c2－c1) ；
(2)d AB＝||＝
(a2−a1)2 +(b2−b1)2 +(c2−c1)2
.
(1)设|Ԧc|＝3，Ԧc∥BC，求Ԧc；(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
【解析】
(1)∵BC＝(－2，－1,2)，且Ԧc∥BC，∴设Ԧc＝λBC＝(－2λ，－λ，2λ).
∴|Ԧc|＝ (－2λ)2 +(－λ)2 +(2λ)2 ＝3|λ|＝3.解得λ＝±1.
∴Ԧc＝(－2，－1,2)或Ԧc＝(2,1，－2).
＝1×(－1)＋1×0＋0×2＝－1
∴(－1,0,2)＝(x－2y，x－y,2y)
高二数学选修课件：3-1-4空间向量的直角坐标运算
人 教 B 版 数 学
第三章
空间向量与立体几何
→ C1 G EF·→ 51 → ，C1G>＝ → ∴cos<EF ＝ 17 . → |C1G| |EF|·→ 51 即异面直线 EF 与 C1G 所成角的余弦值为 . 17 1 1 7 1 (3)∵F(2，2，0)、H(0，8，2)， → ＝(－1，3，1)， ∴FH 2 8 2 → ∴|FH|＝ 12 32 12 41 (－ ) ＋( ) ＋( ) ＝ . 2 8 2 8
人 教 B 版 数 学
第三章
空间向量与立体几何
[证明]
→ → → 设正方体的棱长为 1，以DA、DC、DD1为坐
标向量，建立空间直角坐标系 D－xyz，如图所示． 1 1 (1)易知 A(1,0,0)、E(1,1，2)、F(0，2，0)、D1(0,0,1)． → ＝(0,1，1)，D1F＝(0，1，－1)． → ∵AE 2 2 → ·→ ＝(0,1，1)· 1，－1)＝0， 又AE D1F (0， 2 2 ∴AE⊥D1F. → → (2)DA＝(1,0,0)＝D1A1，
人 教 B 版 数 学
4)＋(2,1,8)]＝(1,4，－12)·(5,6,4)＝5＋24－48＝－19.
第三章
空间向量与立体几何
[例 2]
1 1 1 已知 a＝(1,2，2)，b＝(2，－2，1)，c＝(－2,3，
人 教 B 版 数 学
1 2 1 － )，d＝(1，－ ， )． 2 3 4 求证：a⊥b，c∥d.
(7) a· a a· b (8) |a||b| a1b1＋a2b2＋a3b3 2 a2＋a2＋a3 b2＋b2＋b2 1 2 1 2 3
第三章
空间向量与立体几何
2．(1)(a2－a1，b2－b1，c2－c1) (2) (a2－a1)2＋(b2－b1)2＋(c2－c1)2
第三章
空间向量与立体几何
→ C1 G EF·→ 51 → ，C1G>＝ → ∴cos<EF ＝ 17 . → |C1G| |EF|·→ 51 即异面直线 EF 与 C1G 所成角的余弦值为 . 17 1 1 7 1 (3)∵F(2，2，0)、H(0，8，2)， → ＝(－1，3，1)， ∴FH 2 8 2 → ∴|FH|＝ 12 32 12 41 (－ ) ＋( ) ＋( ) ＝ . 2 8 2 8
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第三章
空间向量与立体几何
[证明]
→ → → 设正方体的棱长为 1，以DA、DC、DD1为坐
标向量，建立空间直角坐标系 D－xyz，如图所示． 1 1 (1)易知 A(1,0,0)、E(1,1，2)、F(0，2，0)、D1(0,0,1)． → ＝(0,1，1)，D1F＝(0，1，－1)． → ∵AE 2 2 → ·→ ＝(0,1，1)· 1，－1)＝0， 又AE D1F (0， 2 2 ∴AE⊥D1F. → → (2)DA＝(1,0,0)＝D1A1，
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4)＋(2,1,8)]＝(1,4，－12)·(5,6,4)＝5＋24－48＝－19.
第三章
空间向量与立体几何
[例 2]
1 1 1 已知 a＝(1,2，2)，b＝(2，－2，1)，c＝(－2,3，
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1 2 1 － )，d＝(1，－ ， )． 2 3 4 求证：a⊥b，c∥d.
(7) a· a a· b (8) |a||b| a1b1＋a2b2＋a3b3 2 a2＋a2＋a3 b2＋b2＋b2 1 2 1 2 3
第三章
空间向量与立体几何
2．(1)(a2－a1，b2－b1，c2－c1) (2) (a2－a1)2＋(b2－b1)2＋(c2－c1)2
高中数学空间向量与立体几何1.31.3.1空间直角坐标系课件
[跟进训练] 2．点 P(－3,2，－1)关于平面 Ozx 的对称点是________，关于 z 轴的对称点是________，关于 M(1,2,1)的对称点是________． (－3，－2，－1) (3，－2，－1) (5,2,3) [点 P(－3,2，－1)关 于平面 Ozx 的对称点是(－3，－2，－1)，关于 z 轴的对称点是(3，－ 2，－1)．设点 P(－3,2，－1)关于 M(1,2,1)的对称点为(x，y，z)．
且|EA|＝12. 所以D→E＝i＋12j＋0k，所以 E 点的坐标为1，12，0.
同理 B 点和 B1 点的坐标分别为(1,1,0)和(1,1,1)， 又因为 F 是 BB1 的中点，故 F 点坐标为1，1，12. 同理可得 G 点坐标为1，12，12.
类型 2 求对称点的坐标 【例 2】 在空间直角坐标系中，点 P(－2,1,4)． (1)求点 P 关于 x 轴的对称点的坐标； (2)求点 P 关于 Oxy 平面的对称点的坐标； (3)求点 P 关于点 M(2，－1，－4)的对称点的坐标．
间中点的坐标和向量的坐标．(重 数学运算的核心 知识点2
(1)如图所示，怎样才能刻画地球的卫星在空 间中的位置？
(2)我们知道，在直线上建立数轴后，就可以 用一个数来刻画点在直线上的位置；在平面内建 立平面直角坐标系之后，就可以用一对有序实数 来刻画点在平面内的位置．那么，怎样才能刻画 空间中点的位置呢？
(3)设对称点为 P3(x，y，z)，则点 M 为线段 PP3 的中点．由中点 坐标公式，可得 x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－ 4)－4＝－12，
所以 P3(6，－3，－12)．
1．点 P(x，y，z)关于坐标轴，坐标平面对称的点 P′的坐标与点 P 的坐标有什么关系？
空间向量运算的坐标表示ppt课件
我们已经学过平面向量运算的坐标表示：
向量相加：
a+b
向量相减：
a-b
向量的数乘：
λa
空间向量运算的坐标
表示是怎样的呢？
向量的数量积：a•b
向量的模：
|a|
向量的夹角：
cos<a,b>
向量a在平面上可用有序实数对（x,y）表示，在空
间则用有序实数组（x,y,z）表示.
类比
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
a1=λb1，a2=λb2，
a·b=0
a1b1+a2b2=0
设a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3) （ ≠ 0 ）
a//b
a=λ b
a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3(λ∈R)
a⊥b
a ·b=0
a1b1+a2b2+a3b3=0
题型二：向量平行和垂直的坐标表示
1、已知a＝(1，－5，6)，b＝(0，6，5)，则a与b ( A )
a1b1+a2b2+a3b3=0
|| =
·=
1 2 + 2 2 + 3 2
d AB | AB | (a 2 a1 )2 (b2 b1 )2 (c2 c1 )2
a
b
a
b
a
b
·
1
1
2
2
3
2 2 2 2 32 2
cos < , >=
a
a
a
b
b
1
A．垂直
B．不垂直也不平行
C．平行且同向
D．平行且反向
2、设a＝(1，y，－2)，b＝(－2，－4，z)，若
向量相加：
a+b
向量相减：
a-b
向量的数乘：
λa
空间向量运算的坐标
表示是怎样的呢？
向量的数量积：a•b
向量的模：
|a|
向量的夹角：
cos<a,b>
向量a在平面上可用有序实数对（x,y）表示，在空
间则用有序实数组（x,y,z）表示.
类比
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
a1=λb1，a2=λb2，
a·b=0
a1b1+a2b2=0
设a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3) （ ≠ 0 ）
a//b
a=λ b
a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3(λ∈R)
a⊥b
a ·b=0
a1b1+a2b2+a3b3=0
题型二：向量平行和垂直的坐标表示
1、已知a＝(1，－5，6)，b＝(0，6，5)，则a与b ( A )
a1b1+a2b2+a3b3=0
|| =
·=
1 2 + 2 2 + 3 2
d AB | AB | (a 2 a1 )2 (b2 b1 )2 (c2 c1 )2
a
b
a
b
a
b
·
1
1
2
2
3
2 2 2 2 32 2
cos < , >=
a
a
a
b
b
1
A．垂直
B．不垂直也不平行
C．平行且同向
D．平行且反向
2、设a＝(1，y，－2)，b＝(－2，－4，z)，若
课件2：1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系
cos〈a，b〉＝
a1b1＋a2b2＋a3b3 a21＋a22＋a23 b21＋b22＋b23
知识点四 空间直角坐标系
1．空间直角坐标系
以空间中两两__垂__直____且相交于一点 O 的三条直线分别
定义
为 x 轴、y 轴、z 轴，这时就说建立了空间直角坐标系 Oxyz，其中点 O 叫做坐标__原__点____，x 轴、y 轴、z 轴叫
【基础自测】
1．已知向量 a＝(－3,2,5)，b＝(1，x，－1)，且 a·b＝2，
则 x 的值为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
解析：∵a·b＝－3×1＋2x＋5×(－1)＝2，∴x＝5. 答案：C
2．已知向量 a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，则 4a＋2b 等于( )
A．(16,0,4)
方法归纳 解决空间向量垂直、平行问题的思路 1．若有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标，例如， 设向量 a＝(x，y，z)． 2．在有关平行的问题中，通常需要引入参数，例如，已 知 a∥b，则引入参数 λ，有 a＝λb，再转化为方程组求解． 3．选择向量的坐标形式，可以达到简化运算的目的．
跟踪训练 3 (1)(变条件)若将本例(1)中“c∥B→C”改为 “c⊥a 且 c⊥b”，求 c.
做_坐__标__轴___．通过每两个坐标轴的平面叫做_坐__标__平__面_，
分别称为 xOy 平面、yOz 平面、___x_O_z___平面
画法
在平面上画空间直角坐标系 Oxyz 时，一般使∠xOy＝ __1_3_5_°___，∠yOz＝90°
图示
说明
本书建立的坐标系都是___右__手___直角坐标系，即在空间 直角坐标系中，让右手拇指指向____x____轴的正方向， 食指指向____y____轴的正方向，中指指向____z____轴的 正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系
人教版高中数学选择性必修1《空间直角坐标系》PPT课件
又GD＝34，故G点坐标为0，34，0. 由H作HK⊥CG于K，由于H为C1G的中点． 故HK＝12，CK＝18， ∴DK＝78， 故H点坐标为0，78，12.
[方法技巧] 求某点P的坐标的方法
(1)找到点P在x，y，z轴上的射影； (2)确定射影在相应坐标轴上的坐标； (3)求出点P的坐标．
[对点练清] 已知正四棱锥 P-ABCD 的底面边长为 5 2，侧棱长为 13， 建立的空间直角坐标系如图，写出各顶点的坐标．
解：因为|PO|＝ |PB|2－|OB|2＝ 169－25＝12， 所以各顶点的坐标分别为 P(0,0,12)， A52 2，－52 2，0，B5 2 2，52 2，0， C－52 2，52 2，0，D－522，－522，0.
题型二 空间向量的坐标表示 [学透用活]
[典例2] 如图所示，PA垂直于正方形ABCD 所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且 PA＝AB＝1.试建立适当的空间直角坐标系，求 向量―M→N 的坐标．
中点，试建立适当的坐标系，写出E，F，G，H的坐标．
[解] 建立如图所示的空间直角坐标系．点E在z轴上，它 的x坐标、y坐标均为0，而E为DD1的中点，故其坐标为 0，0，12.
由F作FM⊥AD，FN⊥DC，垂足分别为M，N， 由平面几何知识知FM＝12，FN＝12， 故F点坐标为12，12，0. 点G在y轴上，其x，z坐标均为0，
[课堂思维激活] 一、综合性——强调融会贯通
1．在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，|AB|＝5，|AD|＝4，|AA1|＝4， A1C1 与 B1D1 相交于点 P，建立适当的空间直角坐标系，求出 点 C，B1，P 的坐标(写出符合题意的一种情况即可)． 以下是两名同学的解法．
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r a(a1,a2,a3)
za
a3k
a1i
a2j
k
y
ij
.x
复习二：平面向量的坐标运算
若
a (x1,y1)
b(x2,y2)
则
ab(x1x2,y1y2)
aab((xx 11 , y x1 2),y 1 ( y2 R ))
abx1x2y1y2
若 A(x1, y1) B(x2,y2) 则 AB x 2 x 1 ,y 2 y 1
(2)若 a b ,求 x,y满足的 。 条件
.
例2：A(0,1,1),B(1,2,1),C(1,1,2)求
(1)AB,AC
(2)AC在AB上正投影的数量
z
C
o
B
y
D A
x
.
探索与研究
若 1 中 a ( 例 a 1 , a 2 的 , a 3 ) b , ( b 1 , b 2 , b 3 ), 求一向 a,b量 都与 垂直。
AB (x 2 x 1 ,y 2 y 1 ,z 2 z 1 )
.
复习三：
平面向量平行和垂直的条件
若
a (x1,y1)
b(x2,y2)
a //b (b 0 ) a b (R)
x1y2x2y10
a b ab0
x1x2y1y20
.
类比三：空间向量平行和垂直的条件
r
r
若 a(a1,a2,a3) b(b1,b2,b3)
a //b (b 0 ) a b2
a 3 b3
当b与三个坐标平面 行都 时不平
a a / /b (b b 0 ) a b ab110ab22
a3 b3
rr
a b a 1 b 1 a 2 .b 2 a 3 b 3 0
复习四：
平面两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式
则 a a12 a22 a32
b b12 b22b32
Cosa,baa
b
b
a1b1a2b2a3b3 a12a22a32 b12b22b32
若 A(x1, y1, z1) B(x2, y2,z2)则
AB (x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2
.
例已 1： a 知 ( 2 ,2 ,0 向 )b , ( 2 ,0 量 ,2 )求 , n 向
.
小结 空间向量的直角坐标运算
一、空间向量的坐标表示 二、空间向量的坐标运算 三、空间向量平行和垂直的条件
四、空间两个向量夹角与向量长度的 坐标计算公式
.
课本 P93 课内练习 1、2、3、4、5
.
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
使 n a ,且 n b
： ， 变 若 m 与 a 共 式 且 m b 线 4 求 m .
m (2, 2,0)
.
练习c q 一 ：(1已a , 0知, 1a )2 b (p1 ,1,0c )ab b(0,1,1)
求 :p ,q ,p q
.
练习二：已 a ( x , 知 2 , 5 ) b ,( 1 ,y , 3 ) (1 )若 a /b / ,求 x,y
若
a (x1,y1)
b(x2,y2)
a x12 y12 Cosa,ba
b
a b
b x22 y22
x1y1 x2y2
x12 y12 x22 y22
若 A(x1, y1) B(x2, y2)
AB (x1x2)2(y1y2)2
.
类比四：
空间两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式
若
r
r
a(a1,a2,a3) b(b1,b2,b3)
a 把(x,y) 叫做 的（直角）坐标，记作 a (x,y)
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类比一：空间向量的坐标表示
给定空间直角坐标系和向量
r a
rr r ，i, j , k
设为坐标向量
根据空间向量分解定理则存在唯一的有序实数组
rrr r
(a1, a2, a3) 使r ，aa1ia2ja3k有序实数组(a1, a2, a3) 叫作向量 a 在空间直角坐标系中的坐标，记作
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空间中点的坐标
对于空间任意一点P，要求它的坐标
z
z • P3
1
x
x
•
P1
•o
1
1
P点坐标为 (x,y,z)
•P
y
• P2 y
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空间向量的直角坐标运算
金州高中 吴家成
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空间直角坐标系
建立空间直角坐标系 Oxyz, 分别沿r xr 轴r ， y 轴， z 轴的正方向引单位向量 i, j , k
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类比二：空间向量的坐标运算
r
r
若 a(a1,a2,a3) b(b1,b2,b3) 则
ab(a 1 b 1,a 2 b 2,a 3 b 3)
aab(a (1 a ,1 a b 2 1,,a 2 a 3)b 2,(a 3 R b )3)
ab a1b1a2b2a3b3
若 A(x1, y1, z1)B(x2, y2,z2) 则
这三个互相垂r 直r 的r 单位向量构成空间向量
的一个基底 {i, j, k}这个基底叫单位正交基底。
单位向量
i,
j,
k 都叫做坐标向量。
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复习一：
平面向量的坐标表示 分两一别个个取单向与 位 量向a x量轴,i y j 轴作方为向基相底同任的作
由一平对面实向数量x基, 本y 定使理得知a，有xi 且只y有 j