3.1空间直角坐标系与向量
空间直角坐标系与向量解析
空间直角坐标系与向量解析空间直角坐标系是对三维空间中点的位置进行描述的一种方法。
它采用三个相互垂直的坐标轴来表示点的位置，分别为x轴、y轴和z轴。
这种坐标系广泛应用于物理学、几何学、工程学等领域中。
一、空间直角坐标系空间直角坐标系中的每个点都可以用一个有序的三元组(x, y, z)来表示，其中x、y、z分别表示该点在x轴、y轴和z轴上的坐标值。
通过这种方式，我们可以方便地表示三维空间中任意点的位置。
在空间直角坐标系中，我们可以定义向量。
向量可以看作是由起点和终点组成的线段，它具有大小和方向。
在表示向量时，我们通常使用箭头来表示，箭头的起点表示向量的起点，箭头的终点表示向量的终点。
二、向量的基本运算向量的基本运算包括加法、减法和数乘。
1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律。
即对于向量a、b、c，有：a +b = b + a(a + b) + c = a + (b + c)2. 向量的减法：向量的减法可以看作是加上该向量的负向量。
即对于向量a、b，有：a -b = a + (-b)3. 向量的数乘：向量的数乘是指将向量的每个分量与一个标量相乘。
即对于向量a和标量k，有：k * a = (k * a1, k * a2, k * a3)三、向量解析向量解析是一种用数学方法描述物理量变化的工具。
在空间直角坐标系中，我们可以使用向量解析来描述物体的运动、力学问题等。
1. 向量的模向量的模表示向量的大小，也称为向量的长度。
对于向量a，它的模可以通过以下公式计算：|a| = √(a1^2 + a2^2 + a3^2)2. 向量的点积向量的点积可以通过以下公式计算：a ·b = a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b33. 向量的叉积向量的叉积可以通过以下公式计算：a ×b = (a2 * b3 - a3 * b2, a3 * b1 - a1 * b3, a1 * b2 - a2 * b1)通过向量解析，我们可以计算出向量的模、向量之间的夹角、向量的投影等物理量，进而解决一些实际问题。
空间解析几何知识点
空间解析几何知识点1. 空间直角坐标系- 定义：由三条互相垂直的直线（x轴、y轴、z轴）确定的坐标系。
- 坐标表示：任意一点P的坐标表示为(x, y, z)。
- 距离公式：两点P1(x1, y1, z1)和P2(x2, y2, z2)之间的距离为√((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2)。
2. 向量及其运算- 向量定义：具有大小和方向的量。
- 向量表示：向量a表示为a = (a1, a2, a3)。
- 向量加法：a + b = (a1+b1, a2+b2, a3+b3)。
- 向量数乘：k * a = (ka1, ka2, ka3)。
- 向量点积：a · b = a1b1 + a2b2 + a3b3。
- 向量叉积：a × b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 -a2b1)。
- 向量模：|a| = √(a1^2 + a2^2 + a3^2)。
- 向量方向余弦：向量a的方向余弦为(a1/|a|, a2/|a|, a3/|a|)。
3. 平面方程- 点法式：A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0，其中A、B、C为平面的法向量，(x0, y0, z0)为平面上一点。
- 两点式：(y-y1)/(x-x1) = (y2-y1)/(x2-x1)，表示过两点P1(x1, y1, z1)和P2(x2, y2, z2)的平面。
- 一般式：Ax + By + Cz + D = 0。
4. 直线方程- 参数式：x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct，其中(x0,y0, z0)为直线上一点，(a, b, c)为直线的方向向量，t为参数。
- 一般式：Ax + By + Cz + D = 0。
- 点向式：(x-x0)/a = (y-y0)/b = (z-z0)/c，其中(x0, y0, z0)为直线上一点，(a, b, c)为直线的方向向量。
空间直角坐标系及向量坐标
a (ax )i (ay ) j (az )k ，
即
a b (ax bx ，ay by ，az bz ) ，
a b (ax bx ，ay by ，az bz ) ，
a (ax ，ay ，az ) ．
由此可见，对向量进行加、减及数乘，只需对向量的各个坐标分别进行相应
的运算即可．
高等数学
1.1 空间直角坐标系
在平面解析几何中，通过建立平面直角坐标系，把平面上的点与 二元有序实数组对应起来．同样，在空间解析几何中，通过建立空间 直角坐标系，也可以把空间的点与三元有序实数组对应起来．
如图所示，过空间一定点 O ，作三个两两垂直的单位向量 i ，j ，k ，就确定了三 条都以 O 为原点的两两垂直的数轴，依次记为 x 轴（横轴）z ) ，b (bx ，by ，bz ) ， 即 a axi ay j azk ，b bxi by j bzk ， 利用向量的运算律，有
a b (ax bx )i (ay by ) j (az bz )k ，
a b (ax bx )i (ay by ) j (az bz )k ，
1.2 向量的坐标表示
如图所示，设 M 为空间一点，过点 M 分别作垂直于 x 轴、 y 轴、 z 轴的平面，它 们与 x 轴、 y 轴、 z 轴分别交于 P ，Q ，R 三点，这三个点在 x 轴、 y 轴、 z 轴上的坐标分 别为 x，y，z ，这样就确定了空间点 M 的唯一一个三元有序实数组 (x ，y ，z) ．反之，若 给定一个三元有序实数组 (x ，y ，z) ，分别在 x 轴、 y 轴、 z 轴找到坐标分别为 x，y，z 的 三点 P ，Q ，R ，过这三点分别作垂直于 x 轴、 y 轴、 z 轴 的平面，这三个平面有唯一交点 M ，于是就建立了空间 点 M 和三元有序实数组 (x ，y ，z) 之间的一一对应关系． 这组数 x，y，z 称为点 M 的坐标，记为 M (x ，y ，z) ，并依 次称 x，y 和 z 为点 M 的横坐标、纵坐标和竖坐标．
高中数学空间向量与立体几何1.31.3.1空间直角坐标系课件
[跟进训练] 2．点 P(－3,2，－1)关于平面 Ozx 的对称点是________，关于 z 轴的对称点是________，关于 M(1,2,1)的对称点是________． (－3，－2，－1) (3，－2，－1) (5,2,3) [点 P(－3,2，－1)关 于平面 Ozx 的对称点是(－3，－2，－1)，关于 z 轴的对称点是(3，－ 2，－1)．设点 P(－3,2，－1)关于 M(1,2,1)的对称点为(x，y，z)．
且|EA|＝12. 所以D→E＝i＋12j＋0k，所以 E 点的坐标为1，12，0.
同理 B 点和 B1 点的坐标分别为(1,1,0)和(1,1,1)， 又因为 F 是 BB1 的中点，故 F 点坐标为1，1，12. 同理可得 G 点坐标为1，12，12.
类型 2 求对称点的坐标 【例 2】 在空间直角坐标系中，点 P(－2,1,4)． (1)求点 P 关于 x 轴的对称点的坐标； (2)求点 P 关于 Oxy 平面的对称点的坐标； (3)求点 P 关于点 M(2，－1，－4)的对称点的坐标．
间中点的坐标和向量的坐标．(重 数学运算的核心 知识点2
(1)如图所示，怎样才能刻画地球的卫星在空 间中的位置？
(2)我们知道，在直线上建立数轴后，就可以 用一个数来刻画点在直线上的位置；在平面内建 立平面直角坐标系之后，就可以用一对有序实数 来刻画点在平面内的位置．那么，怎样才能刻画 空间中点的位置呢？
(3)设对称点为 P3(x，y，z)，则点 M 为线段 PP3 的中点．由中点 坐标公式，可得 x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－ 4)－4＝－12，
所以 P3(6，－3，－12)．
1．点 P(x，y，z)关于坐标轴，坐标平面对称的点 P′的坐标与点 P 的坐标有什么关系？
高二数学 3.1.4 空间向量的直角坐标运算
3.1.4 空间向量的直角坐标运算1．空间直角坐标系及空间向量的坐标(1)建立空间直角坐标系Oxyz ，分别沿x 轴、y 轴、z 轴的正方向引单位向量i 、j 、k ，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i ，j ，k }，这个基底叫做______________；单位向量i 、j 、k 都叫做____________． (2)空间向量的坐标：已知任一向量a ，根据空间向量分解定理，存在唯一实数组(a 1，a 2，a 3)，使a ＝a 1i ＋a 2j ＋a 3k ，a 1i ，a 2j ，a 3k 分别为向量a 在i ，j ，k 方向上的分向量，有序实数组(a 1，a 2，a 3)叫做向量a 在此直角坐标系中的________．上式可简记作a ＝____________. 23. 123123(1)a ∥b (b ≠0)⇔________⇔⎩⎪⎨⎪⎧当b 与三个坐标平面都不平行时，a ∥b ⇔__________________(2)a ⊥b ⇔________________⇔________________________. 4．两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式：(1)设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则|a |＝________________，|b |＝________________. cos 〈a ，b 〉＝___________________________________________. (2)设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB →＝________________________， |AB →|＝________________________________________.探究点一 空间向量的坐标表示及运算问题1 如何确定向量的坐标？ 问题2 向量的坐标和点的坐标有什么联系？例1 设正四棱锥S —P 1P 2P 3P 4的所有棱长均为2，建立适当的空间直角坐标系，求SP 1→、P 2P 3→的坐标．跟踪1 (1)已知向量a ，b ，c 分别平行于x 轴、y 轴、z 轴，它们的坐标各有什么特点？ (2)设O 为坐标原点，向量OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取得最小值时，求点Q 的坐标． 探究点二 垂直与平行问题问题1 已知a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)，a 、b 共线的充要条件为a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2，对吗？问题2 a 与b 垂直的充要条件是什么？例2 已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.若向量ka ＋b 与ka －2b 互相垂直，求k 的值．跟踪2 将本例中“若向量ka ＋b 与ka －2b 互相垂直”改为“若向量ka ＋b 与a ＋kb 互相平行”其他条件不变，求k 的值．探究点三 向量的夹角与长度计算例3 已知在△ABC 中，A (2，－5,3)，AB →＝(4,1,2)，BC →＝(3，－2,5)，求顶点B 、C 的坐标，向量AC →及∠A 的余弦值．跟踪3 在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是D 1D 、BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，H 为C 1G 的中点，应用空间向量方法求解下列问题：(1)求EF 与C 1G 所成的角的余弦值； (2)求FH 的长． 【达标检测】1．若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3是a ∥b 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 2．已知a ＝3i ＋2j －k ，b ＝i －j ＋2k ，i ，j ，k 是两两垂直的单位向量，则5a 与3b 的数量积等于 ( )A ．－15B ．－5C ．－3D ．－1 3．若ABCD 为平行四边形，且A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (－3,7，－5)，则顶点D 的坐标为 ( ) A ．⎝⎛⎭⎫72，4，－1B ．(2,3,1)C ．(－3,1,5)D ．(－1,13，－3)4．已知A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形5．已知A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，则AB →在AC →上的投影为______． 【课堂小结】1．利用空间向量的坐标运算可以判断两个向量的平行、垂直；可以求向量的模以及两个向量的夹角．2．几何中的平行和垂直可以利用向量进行判断，利用直线的方向向量的关系可以证明直线的平行和垂直；距离、夹角问题可以借助于空间直角坐标系利用数量积解决.3.1.4 空间向量的直角坐标运算一、基础过关1．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点A 的坐标为(－1，2,1)，点B 的坐标为(1,3,4)，则( ) A.AB →＝(－1,2,1) B.AB →＝(1,3,4)C.AB →＝(2,1,3)D.AB →＝(－2，－1，－3)2．与向量m ＝(0,2，－4)共线的向量是 ( )A ．(2,0，－4)B ．(3,6，－12)C ．(1,1，－2)D.⎝⎛⎭⎫0，12，－1 3．设A (3,3,1)、B (1,0,5)、C (0,1,0)，则AB 的中点M 到C 的距离|CM |的值为( ) A.534 B .532 C.532D.1324．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量AB →与AC →的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°5．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－4,2，x )，c ＝(1，－x,2)，若(a ＋b )⊥c ，则x 等于( ) A ．4 B ．－4 C.12D ．－66．已知a ＝(2，－1,2)，b ＝(2,2,1)，则以a 、b 为邻边的平行四边形的面积为( ) A.65 B.652C ．4D ．8 二、能力提升7．与a ＝(2，－1,2)共线且满足a·z ＝－18的向量z ＝__________.8．已知2a ＋b ＝(0，－5,10)，c ＝(1，－2，－2)，a·c ＝4，|b |＝12，则〈b ，c 〉＝________. 9．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝1，DD 1＝3，则AC →与BD 1→夹角的余弦值是________．10．单位向量a ＝(x ，y,0)与向量c ＝(1,1,1)的夹角为π4，求：x ＋y 与xy 的值．11．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)． (1)求以向量AB →，AC →为一组邻边的平行四边形的面积S ；(2)若向量a 分别与向量AB →，AC →垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标．12．已知正四棱锥S —ABCD 的侧棱长为2，底面的边长为3，E 是SA 的中点，求BE →与SC →的夹角．三、探究与拓展13．已知a ＝(5,3,1)，b ＝⎝⎛⎭⎫－2，t ，－25且a 与b 的夹角为钝角．求t 的取值范围．。
空间直角坐标系与向量
©
减法
a
三角不等式
定义2：设 a ( ax , a y , az ), b (bx , by , bz ) ,
则
a
b
(ax
bx
,
ay
by
, az
bz
)
©
4. 向量与数的乘法
是一个数
,
与
a
的乘积是一个新向量,
记作
a
.
规定 :
总之:
a a
运算律 : 结合律 ( a) ( a) a
在直角三角形
M1 NM 2和 M1PN 中, 用勾股定理
O
y
x
d 2 M1P 2 PN 2 NM2 2
M1P x2 x1 , PN y2 y1 , NM2 z2 z1
d M1P 2 PN 2 NM 2 2
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2
©
Pr
ju (a )
Pr
jua
例的+两O个是点轴.ue坐是标与原轴点u同, A方、向B 坐的标单依位次向为量u(1如,u2图),
证明
:
AB
(u2
u1
)e
.
e
AB
•
•
•
O1
u1
u2 u
证
因点A的坐标为u1, 即OA
同理
OB
u2e .
于是
u1
,故
OA
u1e ,
AB OB OA
u2
e
u1
e
(u2
第一节
第七章
空间直角坐标系与向量代数
一、空间直角坐标系 二、向量的概念 三、向量的线性运算 四、利用坐标作向量的线性运算
3.1空间向量的标准正交分解与坐标表示1
精彩互动
例1、已知PA垂直于正方形ABCD所表示的平面，M,N分别是AB、PC的中点，并且PA=AD=1.求 、 的坐标
例2、在棱长为1的正方体 中，M,N分别是面 和面 的中心。
（1）求点M、N的坐标，及 关于 的分解式；
（2）求向量 在 上的投影.
检测案
1、在空间四边形 中 是 的重心，若 ，则 等于（）
二、预习自测
1.设 ，则向量 的坐标为.
探究案
一、基础知识探究
新知：
1空间向量的正交分解：
2空间向量基本定理：
反思：空间任意一个向量的基底有个.
3单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相，长度都为，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i,j,k｝表示.
4空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz和向量a，且设i、j、k为x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，则存在有序实数组 ，使得 ，则称有序实数组 为向量a的坐标，记着 .
(A) (B) (C) (D)
2、设 ，且 是空间的一个基底，给出下列向量组① ② ③ ④ 其中可作为空间基底的有_____________
4、已知 是两两垂直的单位向量， 则 等于（）
(A) -2 (B)-1 (C) (D) 2
5、已知单位正方体 ，求：
（1）求向量 在 上的投影；
（2）求向量 在 上的投影。
课题
3.1空间向量的标准正交分解与坐标表示
编写
审核
使用时间
学习
目标
1、掌握空间向量的正交分解及坐标表示。
2、了解投影的概念与坐标的意义
重点
空间向量的标准正交分解
难点
空间向量的标准正交分解
《空间直角坐标系与向量的概念》课件
| AB | ， | a | 等表示。
A
0
a
长度为1的向量称为单位向量， 用 AB ，a 0等表示。 始点和终点重合的向量称为零向量， 用O表示， 其方向任意。
2 向量的关系和运算
（1）向量的相等 方向相同，模相等的两个向量a、b称为相等，记作 a=b。 向量仅与模、方向有关，而与始点的位置无关。 （2）向量的加法——平行四边形法则
2 坐标面和空间的划分
Ⅲ
z
Ⅱ
Ⅳ
Ⅰ
O
y
Ⅵ
Ⅶ
x
Ⅴ
Ⅷ
3 空间点的坐标
一一对应 有序数组（x，y，z） 空间任意一点A
z
z
A
y
x
x
O
y
二、空间两点的距离
设M1（x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)是空间两点，如图， 如何求|M1M2|？
z
z2
z1 M1 P
O
M2
N y1 y2
y
x1 x2
b
a+b a
或三角形法则：
b a+b a b
运算律 交换律 结合律 a+b=b+a （a+b）+c=a+（b+c）
（3）向量的减法 ★负向量： 与向量a模相等而方向相反的向量称为a 的负向量， 记作-a。 向量a减去向量b，可以看成向量a加上向量b的负 向量-b，即a-b=a+（-b）。 如图所示
b a-b
a
（4）数与向量的乘积
定义：数量λ与向量a的乘积记为λ a，它是一个向 量。 模| λa|=| λ||a|；方向： 如果λ<0，则与向量a的方向相反；
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
向量OA的坐标a1, a2, a3分别是 OA 在三个坐标轴
上的投影.
利用勾股定理从图中可得
||OA|| a12a2 2a3 2
z
||kOA||(k1 )a 2 (k2)a 2 (k3)a 2
|k| a12a22a32
a3
A
| k | ||OA||
o
x
a1
a2
y
例 p
5i设 mj4k3i，求5向j 量8ak， 4nm
例 化简 a b 51b b 3a 2 5
解 a b 51b b 3a 2 5
arbr52brbr3ar
(13)ar1521br
2a 5b. 2
4. 基向量与线性表出
i ( 1 , 0 , 0 ) j , ( 0 , 1 , 0 ) k , ( 0 , 0 , 1 )
单位向量
i,
2i 4 3n
j 7k ， p在 x 轴上
的投影及在 y 轴上的分向量.
解 a 4 m 3 n p
4 ( 3 i 5 j 8 k ) 3 ( 2 i 4 j 7 k )
(5 i j 4 k ) 1i 3 7 j 1k ,5
在 x轴上的投影为a1 13,
在 y 轴上的分向量为7 j .
Ⅶ
x
x轴(横轴)
Ⅷ
zz 轴(竖轴)
Ⅱ
yoz面 oxoy面
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ Ⅴ
空间的点M 1 1有序数组(x, y, z)
x,y,z称为 M 的 点 坐 . 标
特殊点的表示: 坐标轴上的点P, Q , R, 坐标面上的点A, B, C, 原点O(0,0,0)
z
R(0,0,z)
C(x,0,z)
o x P(x,0,0)
五、线性运算的几何意义
设O ( a 1 , A a 2 ) O , ( b 1 , B b 2 ) 则 , y
uuur OA O B (a 1b 1,a 2b 2) OP
P j O B r x a 1 P b 1 b 1 a 1 a2+bb22 B
+ = (a1 +b1, a2 +b2, a3+ b3),
k • =(ka1, ka2, ka3 ). + 称为加法， k • 称为数乘.
加法与数乘统称为线性运算.
- = +（- ）
= (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3).
3. 线性运算满足的运算规律
(1) + = + ; (2) ( +) + = +( +); (3) + 0 = ; (4) +(- ) = 0 ; (5) 1 = ; (6) k(l ) = (kl) ; (7) k( +) = k +k ; (8) (k+l) = k +l .
. B(0,y,z) M(x,y,z)
y
Q(0,y,0) A(x,y,0)
点的坐标的符号特点
卦限
坐标
I Ⅱ ⅢⅣⅤⅥ Ⅶ Ⅷx＋ － －＋＋－ － ＋
y
＋ ＋ －－＋＋ － －
z
＋ ＋ ＋＋－－ － －
例 在O-xyz坐标系中表示以下三个点： M1(1, 2, 3), M2(-1, 2, 3), M3(1, 2, -3).
上的投影定义为
A
o A'
PrjuAB
||A’B’||, A’B’与u同向
- ||A’B’||, A’B’与u反向
B
B'
u
向量在轴上的投影有以下两个性质：
(1)向量 AB 在轴u 上的投影等于向量的模乘以
轴与向量的夹角的余弦：Pr ju AB ||A|B |cos
证
B
A
B
A
B
PrjuAB PrjuAB
z
. 3
M1
O
1
2y
x
. M2(-1, 2, 3), M3(1, 2, -3).
z
M2
3
z
-1
O 2y
x
O
1
x
-3
2
y
. M3
二、 向量的概念
向量：既有大小又有方向的量.
aB
向量的表示： a或 AB
A
以A为起点，B为终点的有向线段.
向量的模：向量的大小. ||a||或||AB||
（模又称为长度或范数）.
3.1 空间直角坐标系
一、空间直角坐标系 二、 向量的概念 三、向量的线性运算 四、向量在轴上的投影 五、 线性运算的几何意义 六、向量的模与方向余弦
一 空间直角坐标系
过空间一定点 o, 做三条互相垂直的数轴,组成一个 空间直角坐标系.三条坐标轴符合右手规则
• 坐标原点o
• 坐标轴
Ⅲ
• 坐标面
Ⅳ
• 卦限(八个)
||A|B |cos
u u
由性质1容易看出：
(1)0 , 投影为正；
2
(2)
,
2
投影为负；
(3) ,
2
投影为零；
c
b
a
u
(4) 相等向量在同一轴上投影相等；
(2)两个向量的和在轴上的投影等于两个向 量在该轴上的投影之和.
（可推广到有限多个）
P r j u ( a r 1 a r 2 ) P r j u a r 1 P r j u a r 2 .
b
a
a ,b b,a (0)
类似地，可定义向量与一轴的夹角.
特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定 它们的夹角可在0与 之间任意取值.
2. 空间一点在轴上的投影
•A
过点A作轴u的垂直
A
u
平面，交点A即为点 A在轴u上的投影.
3. 向量在轴上的投影
过空间点A,B作平面与轴 u垂直，
与轴 u相交于A’, B’,向量 AB 在轴 u
单位向量：模为1的向量. 零向量：模为 0 的向量. 0
自由向量：不考虑起点位置的向量.
相等向量：大小相等且方向相同的向量.
rr
a
ab
b
负向量：大小相等但方向相反的向量.a
a
a
向径： 空 构成间的直向角量坐标OuuP系ur 中任一点 P与原点
z
P
o
y
x
三、向量的线性运算
1. 向量的分量：
把向量 a作平行移动，使其起点
j,k称为基向量.
a=(a1, a2, a3)
=(a1 , 0,0) +(0, a 2, 0)+(0, 0, a3)
z
a 1 i a 2 j a 3 k
称
a可由
i, j,k线性表出。
k
O
j
a 1 i 称为 a 在 x 轴 向 分上 向量 量。的i
y
x
四、向量在轴上的投影
向1.量空a间a0与两,向向b量量的b0,的夹夹角角的概念：
与原点重合。
设称其a1,终a2点, aA3为的向坐量标为a(aO1,Aa的2, a分3)量, 则 或坐标，
z
a3
A
a
记为 a=(a1, a2, a3). r
零向量 0(0,0,0)
a1o
x
a2
y
2. 向量的线性运算
定义 设 =(a1, a2, a3), =(b1, b2, b3),
=
a1 =b1, a2 =b2, a3=b3.