空间向量的直角坐标及其运算

证：（1）∵ AP AB 1,2,12,1,4 0， AP AD 1,2,14,2,0 0 ，
∴ AP AB ， AP AD，又 AB AD A ， AP 平面 ABCD，
∴ AP 是平面 ABCD的法向量； 解：（2） AB 22 12 42 21 ， AD 42 22 02 2 5 ，
∴ SABC
1 2
AB
AC
sin
A
101 。 2
7、在棱长为1的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E, F 分别是 DD1、DB 中点，G 在棱CD 上，
CG
1 4
CD
，
H
是
C1G
的中点；
（1）求证： EF B1C ；（2）求 EF 与C1G 所成的角的余弦；（3）求 FH 的长。
解：如图以 D 为原点建立直角坐标系 D xyz ，
（3）证明线面平行：若直线的方向向量与平面的一个法向量垂直，则这直线与该平面平行；
（4）证明面面平行：若两个不重合平面的法向量平行，则这两个平面就互相平行。 11、用向量求异面直线所成角：
找出两条异面直线各自的一个方向向量，计算这两个向量的夹角 ，则 （或 的补角）
即为两条异面直线所成的角。
设 a、b 是异面直线， d1 是直线 a 的一个方向向量， d2 是直线b 的一个方向向量，异面
一、基本概念：
1、空间直角坐标系：
（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用 i, j,k
表示；
（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底 i, j,k ，以点O 为原点，分别以 i, j,k 的方向
为正方向建立三条数轴：x 轴、 y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴；我们称建立了一个空间 直角坐标系 O xyz ，点O 叫原点，向量 i, j, k 都叫单位向量；通过每两个坐标轴的平
a1b2 a2b1 0
a b a1b1 a2b2 a3b3 0 ； a / /b a b a b a1c2 a2c1 0 。
9、空间直线的方向向量和平面的法向量：
b1c2 b2c1 0
（1）空间直线的方向向量： 空间直线的方向用一个与该直线平行的非零向量来表示，该向量称为这条直线的一个方
直线 a、b 所成的角为 ，则 cos d1 d2 。
d1 d2
12、用向量求线面角：
设 为直线 l 与平面 所成的角， 为直线l 的方向向量 d 与平面 的法向量之间的夹
角，则有 或 ，即 ，故有：sin nd ；
2
2
2
nd
特别地，（1）当 0时， ，此时，l ；
j
A(x1,y1,z1) AB
B(x2,y2,z2) y
7、两点间的距离公式：
x
若 Ax1, y1, z1，Bx2, y2, z2 ，则 AB
2
AB
x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2 ，
或 dA,B x2 x1 2 y2 y12 z2 z12 。
8、向量的垂直和平行：
C1G
所成的角
的余弦
51 ； 17
24
（3）∵ FH
1 2
,
3 8
,
1 2
，∴
FH
1
2
2
3 8
2
1 2
2
41 。 8
8、已知点 P 是平行四边形 ABCD所在平面外一点，如果 AB 2,1,4 ，AD 4,2,0 ， AP 1,2,1 ；
（1）求证： AP 是平面 ABCD的法向量；（2）求平行四边形 ABCD 的面积。
A(x,y,z) y
的坐标，记作 Ax, y, z ， x 叫横坐标， y 叫纵坐标， z 叫x竖坐标。
3、空间向量的直角坐标运算律：
（1）若 a a1,a2,a3 ， b b1,b2,b3 ，则：
z
① a b a1 b1,a2 b2,a3 b3 ；
k
② a b a1 b1,a2 b2,a3 b3 ；
2
（2）当 时， 0，此时，l 或l / / 。
2
13、用向量求面面角： 设 n1 ， n2 分别为平面、 的法向量，二面角的大小为 ，向量 n1 ， n2 的夹角为 ，
则当 n1 ，n2 同时指出二面角的内侧与外侧时，有 ；当 n1 ，n2 同时指向二面角的内 侧与外侧时，有 。
a b a b cos a,b ；若 a a1,a2,a3 ，b b1,b2,b3 ，则 a b a1b1 a2b2 a3b3 。
6、夹角公式：
z
cos a，b ab
a1b1 a2b2 a3b3
。
a b a12 a22 a32 b12 b22 b32
k
O i
∴ AB AD 2,1,44,2,0 6 ，∴ cos(AB, AD) 6 3 105 ，
212 5 105
∴ sin BAD
1 9 105
32 ，∴ S 35
ABCD
AB AD sin BAD 8
6。
9、如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E 是 BC1 的中点，求直线 DE 与平面 ABCD所成的角的大小。
解：如图建立空间直角坐标系，则 D0,0,0,B2,2,0,C10,2,2, E1,2,1，
∴ DE 1,2,1 ，平面 ABCD的一个法向量 n 0,0,1 ；
设 DE 与平面 ABCD所成的角 ，
n DE
则 sin
6 ，∴ arcsin
6；
n DE 6
6
∴ 直线 DE 与平面 ABCD所成的角为arcsin 6 。
D1
C1
∴ EF B1C ；
A1 E
（
2）∵
C1G
0,
1 4
,
1
，∴
EF
C1G
1 2
,
1 2
,
1 2
0,
1 4
,
1
3 8
，
A
D
F
x
B1 H
G
C y
B
EF
1
2
2
1
2
2
1
2
2
3 2
，
C1G
02
1
2
4
12
17 ， 4
3
∴ cos(EF,C1G)
8 3
17
51 17
，∴
EF
与
,
3
，
d
A,B
1 32 0 32 5 12
29 ；
（2）∵ 点 Px, y, z 到 A, B 两点的距离相等，
则 x 32 y 32 z 12 x 12 y 02 z 52 ，
化简得： 4x 6y 8z 7 0 ，所以，到 A, B 两点的距离相等的点 Px, y, z 的坐
14、用向量求点到面的距离：
设 n 为平面 的法向量， A、B 分别为平面 内、外的点，则点 B 到平面 的距离：
AB n
d
。
n
二、例题讲解：
1、已知 a 2,3,5 ，b 3,1,4 ，求a b ，a b ， a ，8a ，a b 。
解： a b 2,3,53,1,4 1,2,1 ， a b 2,3,5 3,1,4 5,4,9 ，
分别以 i, j, k 为坐标向量建立空间直角坐标系O xyz ，
则
AD
1,0,0
，
D1F
0,
1 2
,
1
，
AD
D1F
1,
0,
0
0,
1 2
,
1
0
，∴
D1F
AD
，
又
AE
0,1,
1 2
，
AE
D1F
0,1,
1 2
0,
1 2
,
1
0
，
∴ D1F AE ， AD AE A，所以， D1F 平面 ADE 。
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的 坐标。
4、模长公式：
若 a a1,a2,a3 ， b b1,b2,b3 ，则 a a a a12 a22 a32 ，
b b b b12 b22 b32 。
5、向量的数量积：
已知向量 a,b ，则 a b cos a,b 叫做 a,b 的数量积，记作 a b ，即：
4、已知 A3,3,1， B1,0,5；
求：（1）线段 AB 的中点坐标和长度；
（2）到 A, B 两点的距离相等的点 P(x, y, z) 的坐标 x, y, z 满足的条件。
解：（1）设 M 是线段 AB 的中点，则OM 1 2
OA OB
2,
3 2
,3
；
∴
AB
的中点坐标是
2,
3 2
a 22 (3)2 52 38 ，8a 82,3,5 16,24,40 ，
ab 2,3,53,1,4 29 。
2、求点 A2,3,1关于 xOy 平面， zOx 平面及原点O 的对称点。
解：∵ A2,3,1在 xOy 平面上的射影C2,3,0，x 在 zOx 平面上的射影为 B2,0,1 ，
向向量。
（2）平面的法向量：
已知平面 ，如果表示向量 n 的有向线段所在直线与平面 垂直，则n 就叫做平面 的
一个法向量。
注：（1）平面 的一个法向量垂直于与平面 共面的所有向量；
（2）一个平面的所有法向量共线（或平行）； （3）一个平面的法向量有互相相反的两个方向。
10、用法向量解题的几个基本原理： （1）证明线面垂直：若直线的方向向量与平面的法向量平行，则这条直线就与该平面垂直； （2）证明面面垂直：若两个平面的法向量垂直，则这两个平面就互相垂直；