空间向量的直角坐标及其运算

课 题：9 6空间向量的直角坐标及其运算 (一)教学目的：⒈掌握空间右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体（正方体、长方体）的顶点坐标； ⒉掌握空间向量坐标运算的规律；3.会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直；4.会用中点坐标公式解决有关问题教学重点：空间右手直角坐标系，向量的坐标运算 教学难点：空间向量的坐标的确定及运算 内容分析：本节有两个知识点：向量和点的直角坐标及向量的坐标运算、夹角和距离公式这一小节，我们在直角坐标系下，使向量运算完全坐标化去掉基底，使空间一个向量对应一个三维数组，这样使向量运算更加方便在上一小节已学习向量运算的基础上，把向量运算完全坐标化，对学生已不会感到抽象和困难在第2个知识点中，我们给出空间解析几何两个最基本的公式：夹角和距离公式在这个知识点中，作为向量坐标计算的例题，还顺便证明了直线与平面垂直的“性质定理”通过解一些立体几何的应用题，就可为学生今后进一步学习空间解析几何、高维向量和矩阵打下基础要求学生理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算，掌握两点的距离公式垂直于平面的性质定理 教学过程：一、复习引入：平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得j y i x a+=把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a在y 轴上的坐标， 特别地，)0,1(=i，)1,0(=j ，0,0(0=2．平面向量的坐标运算 若),(11y x a =，),(22y x b = ，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，,(y x a λλλ=若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x --=3．a ∥b (b≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=04平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a = ，),(22y x b = ，试用a 和b 的坐标表示b a⋅设i 是x 轴上的单位向量，j是y 轴上的单位向量，那么j y i x a11+=，j y i x b 22+=所以))((2211j y i x j y i x b a++=⋅2211221221j y y j i y x j i y x i x x +⋅+⋅+=又1=⋅i i ，1=⋅j j ，0=⋅=⋅i j j i所以b a⋅2121y y x x +=这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 5.平面内两点间的距离公式（1）设),(y x a = ，则222||y x a +=或||a =（2）如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)6.向量垂直的判定设),(11y x a =，),(22y x b = ，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x7.两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）cos ＜a ,b ＞= co s θ=||||b a ba⋅⋅8．空间向量的基本定理：若{,,}a b c 是空间的一个基底，p是空间任意一向量，存在唯一的实数组,,x y z 使p xa yb zc =++． 二、讲解新课：1 空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k表示；A （2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量 ,,i j k都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面；（3）作空间直角坐标系O xyz -时，一般使135xOy ∠=（或45 ），90yOz ∠= ；（4）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系规定立几中建立标系2．空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐标系和向量a ，设,,i j k则存在唯一的有序实数组123(,,)a a a ，使123a a i a j a k =++有序实数组123(,,)a a a 叫作向量a在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作123(,,)a a a a =．在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．3．空间向量的直角坐标运算律：（1）若123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b =， 则112233(,,)a b a b a b a b +=+++， 112233(,,)a b a b a b a b -=---， 123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233a b a b a b a b ⋅=++，112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈，1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=．（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 三、讲解范例：例1 已知(2,3,5)a =- ，(3,1,4)b =--，求a b + ，a b - ，||a，8a ，a b ⋅ ．解：(2,3,5)(3,1,4)(1,2,1)a b +=-+--=--， (2,3,5)(3,1,4)(5,4,9)a b -=----=-，||a =88(2,3,5)(16,24,40)a =-=-， (2,3,5)(3,1,4)29a b ⋅=-⋅--=-．例2．求点(2,3,1)A --关于xOy 平面，zOx 平面及原点O 的对称点解：∵(2,3,1)A --在xOy 平面上的射影(2,3,0)C -，在zOx 平面上的射影为(2,0,1)B -，∴点(2,3,1)A --关于xOy 平面的对称点为(2,3,1)C '-，关于zOx 平面及原点O 的对称点分别为(2,3,1)B '-，(2,3,1)A '-．例3．在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1,BB CD 的中点，求证1D F ⊥平面ADE ．证明：不妨设已知正方体的棱长为1个单位长度，设DA i = ，DC j = ，1DD k =，分别以,,i j k为坐标向量建立空间直角坐标系O xyz -，则(1,0,0)AD =- ，11(0,,1)2D F =- ，11(1,0,0)(0,,1)02AD D F ⋅=-⋅-= ，∴1D F AD ⊥，又1(0,1,)2AE = ，111(0,1,)(0,,1)022AE D F ⋅=⋅-= ，∴1D F AE ⊥，AD AE A = ， 所以，1D F ⊥平面ADE ．四、课堂练习：1．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体，E 、F 分别是BB 1和DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出图中各点的坐标分析：要求点E 的坐标，过点E 与x 轴、y 轴垂直的平面已存在，只要过E 作平面垂直于z 轴交E ‘点，此时|x|＝||,DA |y|＝||,DC|z|＝'||DE ，当DA 的方向与x 轴正向相同时，x ＞0，反之x ＜0，同理确定y 、z 的符号，这样可求得点E 的坐标解：D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)，A 1(2,0,2)，B 1(2,2,2)，C 1(0,2,2)，,D 1(0,0,2)，E(2,2,1)，F(0,1,0)2．已知a ＝(2，－3,5)，b ＝(－3,1，－4)，求a ＋b ，a －b ，8a ，a •b解：a ＋b＝（2，－3,5）＋（－3,1，－4）＝（－1，－2,1）， a －b＝（2，－3,5）－（－3,1，－4）＝（5，－4,9）， 8a＝8（2，－3,5）＝（16，－24,40）， a •b＝（2，－3,5）•（－3,1，－4）＝－6＋（－3）＋（－20）＝－29 3． 在正方体要ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1、CD 的中点， 求证：D 1F ⊥平面ADE证明：不妨设已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则111(2,0,0),(0,1,2),(2,0,0)(0,1,2)0AD D F AD D F D F AD =-=-⋅=-⋅-=∴⊥又(0,2,1),AE =11(0,2,1)(0,1,2)220,AE D F D F AE ⋅=⋅-=-=∴⊥∴D 1F ⊥AE ，又AD ∩AE ＝A ，∴D 1F ⊥平面ADE①本例中坐标系的选取具有一般性，在今后会常用到，这样选取可以使正方体各顶点的坐标均为非负，且易确定②原点的坐标为(0,0,0)，x 轴上的坐标为(x,0,0)，y 轴上的坐标为(0,y,0)，z 轴上的坐标为(0,0,z).③要使一向量a ＝(x,y,z)与z 轴垂直，只要z ＝0即可要使向量a 与哪一个坐标轴垂直，只要向量a 的相应坐标为0巩固练习 P 39 练习 1－6 五、小结 ：⒈ 空间右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标； ⒉ 掌握空间向量坐标运算的规律；3. 会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直；4. 会用中点坐标公式解决有关问题5．用向量坐标法证明或计算几何问题的基本步骤：建系设坐标→向量点的坐标化→向量的直角坐标运算六、课后作业： 七、板书设计（略）八、课后记：教学以单位正交基底建立直角坐标系时，根据前面向量分解定理，引导学生体会从一般到特殊的思想方法在解数学问题中的重要性；.点的坐标与向量的坐标一般不同，只有表示向量的有向线段的起点是坐标原点时.有向线段终点的坐标与向量的坐标相同.这一点务必向学生讲清楚.；明确用向量坐标法证明或计算几何问题的基本步骤：建系设坐标→向量点的坐标化→向量的直角坐标运算课 题：6空间向量的直角坐标及其运算 (二)教学目的：1.掌握空间向量的模长公式、夹角公式、两点间的距离公式，会用这些公式解决有关问题；2.会根据向量的坐标判断两个向量共线或垂直 教学重点：夹角公式、距离公式教学难点：模长公式、夹角公式、两点间的距离公式及其运用 教学过程：一、复习引入： 1 空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k表示； （2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量 ,,i j k都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面； 2．空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使O A x i y j z k =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标． 3．空间向量的直角坐标运算律：（1）若123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++ ，112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈ ，112233a b a b a b a b ⋅=++， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈， 1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=．（2）若111(,,)A xy z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y zz =---．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 二、讲解新课： 1 模长公式：若123(,,)a a a a= ，123(,,)b b b b =，则||a == ||b == ．2．夹角公式：cos ||||a ba b a b⋅⋅==⋅3．两点间的距离公式： 若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则||AB == ，或,A B d =三、讲解范例：例1 已知(3,3,1)A ，(1,0,5)B ，求：（1）线段AB 的中点坐标和长度；（2）到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 满足的条件解：（1）设M 是线段AB 的中点，则13()(2,,3)22OM OA OB =+= ．∴AB 的中点坐标是3(2,,3)2，,A B d ==（2）∵ 点(,,)P x y z 到,A B 两点的距离相等，=化简得：46870x y z +-+=,所以，到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 满足的条件是46870x y z +-+=． 点评：到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 构成的集合就是线段AB 的中垂面，若将点P 的坐标,,x y z 满足的条件46870x y z +-+=的系数构成一个向量(4,68)a =-，发现与(2,3,4)AB =--共线例2．如图正方体1111ABCD A B C D -中，11111114B E D F A B ==，求1BE 与1DF 所成角的余弦 解：不妨设正方体棱长为1，建立空间直角坐标系O xyz -，则(1,1,0)B ，13(1,,1)4E ，(0,0,0)D ， 11(0,,1)4F ，∴11(0,,1)4BE =- ，11(0,,1)4DF = ，∴11BE DF == ，11111500()114416BE DF ⋅=⨯+-⨯+⨯= ．111515cos ,1744BE DF == ．例3．已知三角形的顶点是(1,1,1)A -，(2,1,1)B -，(1,1,2)C ---，试求这个三角形的面积分析：可用公式1||||sin 2S AB AC A =⋅⋅来求面积解：∵(1,2,2)AB =- ，(2,0,3)AC =--，∴||3AB ==，||AC ==(1,2,2)(2,0,3)264AB AC ⋅=-⋅--=-+=，∴cos cos ,||||AB AC A AB AC AB AC ⋅=<>===⋅，∴13sin sin ,39A AB AC =<>== ，所以，1||||sin 22ABCS AB AC A ∆=⋅⋅=． 点评：三角形的内角可看成由该角的顶点出发的两边所在向量的夹角四、课堂练习：1 若(3cos ,3sin ,1)A θθ，(2cos ,2sin ,1)B θθ，求||AB的取值范围；2．已知(,2,0)a x = ，2(3,2,)b x x =- ，且a 与b 的夹角为钝角，求x 的取值范围；3．若(cos ,sin ,2sin )P ααα，(2cos ,2sin ,1)Q ββ，求||PQ的最大值和最小值4．求证：如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行． 已知：直线OA ⊥平面α，直线BD ⊥平面α，O 、B 为垂足． 求证：OA //BD ．证明：以点O 为原点，以射线OA 为非负z 轴，建立空间直角坐标系O -xyz ，i ,j ,k为沿x 轴，y轴，z 轴的坐标向量，且设BD＝),,(z y x ．∵BD ⊥α，∴BD ⊥i ，BD ⊥j，∴BD ·i＝),,(z y x ·(1,0,0)＝x ＝0， BD ·j＝),,(z y x ·(0,1,0)＝y ＝0, ∴BD＝(0,0,z )．∴BD ＝z k．即BD //k ．由已知O 、B 为两个不同的点，∴OA //BD ．说明：⑴请注意此例建立空间直角坐标系的方法，这是今后解题时常用的方法；⑵如果表示一个向量的有向线段所在直线垂直于平面α，则表示该向量所有的有向线段所在直线都垂直于α．如果表示向量a 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a⊥α．如果a ⊥α，那么向量a叫做平面α的法向量． 五、小结 ：1．空间向量的模长公式、两点间的距离公式的形式与平面向量中相关内容一致，因此可类比记忆；2．在计算异面直线所成角时，仍然用向量数量积的知识，建立空间直角坐标系后能方便的求出向量的坐标，则通常考虑用坐标运算来求角3．对于一些较特殊的几何体或平面图形中有关夹角，距离，垂直，平行的问题，都可以通过建立坐标系将其转化为向量间的夹角，模，垂直，平行的问题，从而利用向量的坐标运算求解，并可以使解法简单化．值得注意的是——坐标系的选取要合理、适当． 六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记： 课 题：9 6空间向量的直角坐标及其运算 (三)教学目的：1.进一步掌握空间向量的夹角、距离等概念，并能熟练运用；2.能综合运用向量的数量积知识解决有关立体几何问题；3.了解平面法向量的概念教学重点：向量的数量积的综合运用 教学难点：向量的数量积的综合运用 教学过程：一、复习引入：1 空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1底，用{,,}i j k表示；（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k，以点O 为原点，分别以,,i j k的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量 ,,i j k都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面； 2．空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk=++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．3．空间向量的直角坐标运算律：（1）若123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b = ，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++， 112233(,,)a b a b a b a b -=--- ，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233a b a b a b a b ⋅=++ ， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈， 1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=．（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标4 模长公式：若123(,,)a a a a = ，123(,,)b b bb =，则||a ==||b == ．5．夹角公式：cos ||||a ba b a b ⋅⋅==⋅6．两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则||AB == ，或,A B d =二、讲解范例：例1 求证：如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行 已知：直线OA α⊥于O ，BD α⊥于B ． 求证：//OA BD ．证明：以O 为原点，射线OA 为非负z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，,,i j k分别为沿x 轴，y 轴，z 轴的坐标向量，设(,,)BD x y z =，∵BD α⊥，∴BD i ⊥ ，BD j ⊥，(,,)(1,0,0)0BD i x y z x ⋅=⋅==， (,,)(0,1,0)0BD j x y z y ⋅=⋅==， ∴(0,0,)BD z =，即BD zk = ，又知O ，B 为两个不同的点，∴//BD OA ．点评：如果表示向量a 的有向线段所在直线垂直于平面α，记作a α⊥ ，此时向量a叫做平面α的法向量．例2．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1,DD DB 中点，G 在棱CD 上，14CG CD =，H 是1C G 的中点， （1）求证：1EF B C ⊥；（2）求EF 与1C G 所成的角的余弦； （3）求FH 的长解：如图以D 为原点建立直角坐标系D xyz -，则1(1,1,1)B ，(0,1,0)C ，1(0,0,)2E ，11(,,0)22F ，3(0,,0)4G ，1(0,1,1)C ，71(0,,)82H ，（1）111(,,)222EF =- ，1(1,0,1)B C =-- ，∴1111(,,)(1,0,1)0222EF B C ⋅=-⋅--= ，∴1EF B C ⊥．（2）∵11(0,,1)4C G =-- ，∴111113(,,)(0,,1)22248EF CG ⋅=-⋅--= ，||EF ==，1||C G ==∴13cos(,)EF CG ==， ∴EF 与1C G （3）∵131(,,)282FH =- ，∴||8FH == ．例3．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，如果(2,1,4)AB =-- ，(4,2,0)AD =，(1,2,AP =--（1）求证：AP是平面ABCD 的法向量；（2）求平行四边形ABCD 的面积．（1）证明：∵(1,2,1)(2,1,4)0AP AB ⋅=--⋅--=，(1,2,1)(4,2,0)0AP AD ⋅=--⋅=，∴AP AB ⊥，AP AD ⊥，又AB AD A = ，AP⊥平面ABCD ，∴AP是平面ABCD 的法向量．（2）||AB == ||AD =∴(2,1,4)(4,2,0)6AB AD ⋅=--⋅=， ∴cos(,)105AB AD ==， ∴sin BAD ∠=∴||||sin ABCD S AB AD BAD =⋅∠=例4 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝a ，BC ＝b ，AA 1＝c ，求异面直线BD 1和B 1C 所成角的余弦值分析一：利用11BD BA BC BB =++ 11BC BC BB =- ，以及数量积的定义，可求出cos ＜11,BD B C＞，从而得到异面直线BD 1和B 1C 所成角的余弦值 分析二：建立空间直角坐标系，利用向量，且将向量的 运算转化为实数（坐标）的运算，以达到证明的目的解：建立如图所示空间直角坐标系，使D 为坐标原点， 则B(b,a,0),D 1(0,0,c),B 1(b,a,c),C(0,a,0)11(,,),(,0,)BD b a c BC b c ∴=--=-- 22211)(0)()(c b c c a b CB BD -=-⋅+⋅-+-=⋅∴1122111111|||cos ,||||BD B C BD B C BD B C BD B C ==⋅==设异面直线BD 1和B 1C 所成角为θ，则cos 22=θ三、课堂练习：设231(,,)a a a a = ，231(,,)b b b b = ，且a b ≠ ，记||a b m -=，求a b -与x 轴正方向的夹角的余弦值解：取x 轴正方向的任一向量(,0,0)c x =，设所求夹角为α，∵22331111()(,,)(,0,0)()a b c a b a b a b x a b x -⋅=---⋅=-∴1111()()cos ||||a b c a b x a bmx m a b c α-⋅--===-⋅ ，即为所求2． 在ΔABC 中，已知AB ＝(2,4,0),BC ＝(－1,3,0)，则∠ABC ＝＿＿＿解： (2,4,0),(1,3,0),BABC =--=-cos ,2||||BA BC BA BC BA BC ⋅∴===-∴∠ABC ＝45°3．已知空间三点A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,－1,5)⑴求以向量,AB AC为一组邻边的平行四边形的面积S ；⑵若向量a 分别与向量,AB AC 垂直，且|a |＝3，求向量a的坐标分析：⑴1(2,1,3),(1,3,2),cos 2||||AB AC AB AC BAC AB AC ⋅=--=-∴∠==∴∠BAC ＝60°，||||sin60S AB AC ∴==⑵设a ＝(x,y,z)，则230,a AB x y z ⊥⇒--+=222320,||3a AC x y z a x y z ⊥⇒-+==++=解得x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1，∴a ＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1).四、小结 ：在计算和证明立体几何问题时，如果能够在原图中建立适当的空间直角坐标系，将图形中有关量用坐标来表示，利用空间向量的坐标运算来处理，则往往可以在很大程度上降低对空间相象的要求；求向量坐标的常用方法是先设出向量坐标，再待定系数 五、课后作业：六、板书设计（略）七、课后记：。