空间向量直角坐标运算详解
高二数学空间向量运算的坐标表示
一、向量的直角坐标运算
设a (a1, a2 , a3 ),b (b1 , b2 , b3 )则
a b (a 1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) ;
a b (a 1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) ;
a (a1 , a2 , a3 ),( R) ;
F A1 B1 E D1 C1
D
C
A
B
练习三：
如图：直三棱柱ABC A1 B1C1 , 底面ABC 中， CA＝CB＝1，BCA＝90o，棱AA1＝2，M、 N分别为A1B1、AA1的中点， 1)求BN的长； 2)求 cos BA1 , CB1 的值； 3)求证：A1B C1M。
（3）当cos a , b 0 时，a b 。 思考：当 0 cos a , b 1 及 1 cos a , b 0时， 的夹角在什么范围内？
练习一：
1.求下列两个向量的夹角的余弦：
(1) a (2 , 3 , 3) , b (1, 0 , 0) ;
解：设正方体的棱长为1，如图建
C1
z
D1 A1
F1 E1 B1
立空间直角坐标系 O xyz ，则
3 B(1,1, 0) , E1 1, ,1 , 4
C
D
O
B
y
1 D(0 , 0 , 0) , F1 0 , ，1 . 4
A
x
1 3 BE1 1, ,1 (1,1, 0) 0 , ,1 , 4 4
（1）线段 AB 的中点坐标和长度； 解：设 M ( x , y , z ) 是 AB 的中点，则
空间直角坐标系与向量解析
空间直角坐标系与向量解析空间直角坐标系是对三维空间中点的位置进行描述的一种方法。
它采用三个相互垂直的坐标轴来表示点的位置，分别为x轴、y轴和z轴。
这种坐标系广泛应用于物理学、几何学、工程学等领域中。
一、空间直角坐标系空间直角坐标系中的每个点都可以用一个有序的三元组(x, y, z)来表示，其中x、y、z分别表示该点在x轴、y轴和z轴上的坐标值。
通过这种方式，我们可以方便地表示三维空间中任意点的位置。
在空间直角坐标系中，我们可以定义向量。
向量可以看作是由起点和终点组成的线段，它具有大小和方向。
在表示向量时，我们通常使用箭头来表示，箭头的起点表示向量的起点，箭头的终点表示向量的终点。
二、向量的基本运算向量的基本运算包括加法、减法和数乘。
1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律。
即对于向量a、b、c，有：a +b = b + a(a + b) + c = a + (b + c)2. 向量的减法：向量的减法可以看作是加上该向量的负向量。
即对于向量a、b，有：a -b = a + (-b)3. 向量的数乘：向量的数乘是指将向量的每个分量与一个标量相乘。
即对于向量a和标量k，有：k * a = (k * a1, k * a2, k * a3)三、向量解析向量解析是一种用数学方法描述物理量变化的工具。
在空间直角坐标系中，我们可以使用向量解析来描述物体的运动、力学问题等。
1. 向量的模向量的模表示向量的大小，也称为向量的长度。
对于向量a，它的模可以通过以下公式计算：|a| = √(a1^2 + a2^2 + a3^2)2. 向量的点积向量的点积可以通过以下公式计算：a ·b = a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b33. 向量的叉积向量的叉积可以通过以下公式计算：a ×b = (a2 * b3 - a3 * b2, a3 * b1 - a1 * b3, a1 * b2 - a2 * b1)通过向量解析，我们可以计算出向量的模、向量之间的夹角、向量的投影等物理量，进而解决一些实际问题。
空间向量的坐标表示与计算
空间向量的坐标表示与计算空间向量是指具有大小和方向的箭头，用于描述空间中的物理量。
为了方便表示和计算，我们需要将空间向量转化为坐标形式。
本文将介绍空间向量的坐标表示与计算方法。
一、空间向量的坐标表示在三维空间中，我们通常使用直角坐标系来表示空间向量。
直角坐标系由三条相互垂直的坐标轴组成，分别记作x轴、y轴和z轴。
一个空间向量可以表示为一个三元组(x, y, z)，其中x、y和z分别表示向量在x轴、y轴和z轴上的投影长度。
例如，假设有一个空间向量a，它的起点坐标为A(x1, y1, z1)，终点坐标为B(x2, y2, z2)。
我们可以通过计算两点坐标的差值，得到向量a 的坐标表示：a = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)二、空间向量的计算1. 加法运算空间向量的加法运算是指将两个向量相加得到一个新向量。
设有两个向量a和b，其坐标分别表示为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)，则它们的和向量c可以计算如下：c = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)2. 减法运算空间向量的减法运算是指将一个向量减去另一个向量得到一个新向量。
设有两个向量a和b，其坐标分别表示为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)，则它们的差向量c可以计算如下：c = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3)3. 数乘运算空间向量的数乘运算是指将向量的每个坐标分量与一个标量相乘得到一个新向量。
设有一个向量a和一个标量k，其坐标表示为(a1, a2, a3)，则它们的数乘结果向量b可以计算如下：b = (k * a1, k * a2, k * a3)4. 内积运算空间向量的内积运算是指将两个向量的对应坐标分量相乘后相加得到一个标量。
设有两个向量a和b，其坐标表示为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)，则它们的内积结果为一个标量c，计算如下：c = a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b35. 外积运算空间向量的外积运算是指将两个向量进行叉乘得到一个新向量。
空间向量的直角坐标及其运算
∴ AP AB ， AP AD，又 AB AD A ， AP 平面 ABCD，
∴ AP 是平面 ABCD的法向量； 解：（2） AB 22 12 42 21 ， AD 42 22 02 2 5 ，
∴ SABC
1 2
AB
AC
sin
A
101 。 2
7、在棱长为1的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E, F 分别是 DD1、DB 中点，G 在棱CD 上，
CG
1 4
CD
，
H
是
C1G
的中点；
（1）求证： EF B1C ；（2）求 EF 与C1G 所成的角的余弦；（3）求 FH 的长。
解：如图以 D 为原点建立直角坐标系 D xyz ，
（3）证明线面平行：若直线的方向向量与平面的一个法向量垂直，则这直线与该平面平行；
（4）证明面面平行：若两个不重合平面的法向量平行，则这两个平面就互相平行。 11、用向量求异面直线所成角：
找出两条异面直线各自的一个方向向量，计算这两个向量的夹角 ，则 （或 的补角）
即为两条异面直线所成的角。
设 a、b 是异面直线， d1 是直线 a 的一个方向向量， d2 是直线b 的一个方向向量，异面
一、基本概念：
1、空间直角坐标系：
（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用 i, j,k
表示；
（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底 i, j,k ，以点O 为原点，分别以 i, j,k 的方向
为正方向建立三条数轴：x 轴、 y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴；我们称建立了一个空间 直角坐标系 O xyz ，点O 叫原点，向量 i, j, k 都叫单位向量；通过每两个坐标轴的平
原创2：3.1.4 空间向量的直角坐标运算
(1)依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)．∴||＝ 3，
∴BN的长为 3.
(2)依题意得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，
变式训练
∴ BA1＝(1，－1,2)， CB1＝(0,1,2)，
∴ BA1 ·CB1＝3.
原点O重合，得到向量OP＝p，由空间向量基本定理可知，存在有
序实数组{x，y，z}，使得p＝
xԦi＋yԦj＋zkԦ
.把 x，y，z 称作向
量p在单位正交基底Ԧi，Ԧj，k 下的坐标，记作 p＝(x，y，z) .
走进教材
2．空间向量运算的坐标表示
若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
Ԧ ∙
cos<a，b>
Ԧ ||
走进教材
3.空间中向量的坐标及两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则
(1)＝ (a2－a1，b2－b1，c2－c1) ；
(2)d AB＝||＝
(a2−a1)2 +(b2−b1)2 +(c2−c1)2
.
(1)设|Ԧc|＝3，Ԧc∥BC，求Ԧc；(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
【解析】
(1)∵BC＝(－2，－1,2)，且Ԧc∥BC，∴设Ԧc＝λBC＝(－2λ，－λ，2λ).
∴|Ԧc|＝ (－2λ)2 +(－λ)2 +(2λ)2 ＝3|λ|＝3.解得λ＝±1.
∴Ԧc＝(－2，－1,2)或Ԧc＝(2,1，－2).
＝1×(－1)＋1×0＋0×2＝－1
∴(－1,0,2)＝(x－2y，x－y,2y)
空间向量的坐标运算1
空间直角坐标系O--xyz中的坐标， 记作.
a =( a 1 , a2, a3)
z
a
k i Oj
A(a1,a2,
a3) y
x
；菲律宾签证 https:/// 菲律宾签证
;
；
马上就明白了。哈里被人领养了，而汤姆没有，他还依旧被留在孤儿院。 如何答复汤姆呢？摩罗·邦尼博士知道，最直截了当的办法，就是找一家愿意领养孩子的人，然后秘密地办理领养手续，待一切办好之后，给汤姆回信，说：汤姆，我的孩子！我真有点疏忽大意了，像您这样好的孩 子，是不应该没有爸爸妈妈的。明天我一定给您送去。 对于一个孤儿，上帝真的会这样答复吗？摩罗·邦尼博士心里非常矛盾。他想，对于一个从小失去依靠的人，要想让他知道上帝是公平的，绝不能用这种办法。经过深思熟虑，他给汤姆回了这么一封信。 亲爱的汤姆： 我不 期望您现在就读懂这封信，不过我还是想现在就告诉您，上帝永远是公平的。假若您认为我没有送给您爸爸妈妈，就是我的不公，这实在让我感到遗憾。我想告诉你：我的公平在于免费地向人类供应了三样东西：生命、信念和目标。 您知道吗？你们每一个人的生命都是免费得到的。到目 前为止，我没让任何一个人在生前为他的生命支付过一分钱。信念和目标与生命一样，也是我免费提供给你们的，不论你生活在人间的哪一个角落，不论你是王子还是贫儿，只要想拥有它们，我都随时让您们据为己有。 孩子，让生命、信念和目标成为免费的东西，这就是我在人间的公平 所在，也是我作为上帝的最大智慧。但愿有一天，您能理解。 您的上帝 这封信后来被刊登在《基督教科学箴言报》上，成为上帝最著名的公平独白，同时也使很多人第一次真正地认识了上帝 务实的李敖 ?你会说我的思想有一点老古板，我对你们清华大学早期的校友名字叫胡适的态 度，你们知道我是老牌的态度，在很早的时候胡适送给我1000块，我在大学捐了150万台币，相当于35万人民币，我是来还这个情，告诉大家，人间有情有义，可是人间也会疏财仗义，我的解释是钱拿出来才是事，光同情你是不可以的。 在帮助慰安妇的时候我把胡适送给我的字都义卖了。 因为二次世界大战，在中国，在朝鲜，在高丽，在台湾，在菲律宾，街上走的女孩子17、18岁抓着就跑，放在军营里面，给他们做性奴隶，不但集体乱奸，怀孕了把她绑在门板上动妇科手术，没有麻醉药，日本人是这样子对待我们的。后来日本人为了应付联合国，就说我们和解这件事情，就 是全世界对慰安妇每个人送50万新台币，相当于10几万人民币，台湾当时还剩下54个老太太，很可怜，有的眼睛看不到，有的路走不动，一身都是性病，没有人理她们。慰安妇的团体和他们说，这个钱不能要，日本人说原谅他们，这50万现金对她们太重要了，可是她们说不可以拿这个钱，为 了国家的尊严和个人的荣誉不可以拿这个钱。不拿可是心里觉得很难过，因为她们现在需要这个钱，我李敖实在看不过去，我站出来，我拿出100件收藏品，举行义卖，我们卖了100万美金，每个人发50万，条件就是你不能要日本鬼子的50万，你要我的50万，还定了一个规定，如果你拿了日本 的50万，这个50万要还我，最后日本人真这样了，但是我说不行，不能要日本人的钱。所以日本人是行不通的，至少在台湾保留了我们中国人的尊严。 我和大家讲，大家注意，我这个招不谈高调的，就是你道德劝说慰安妇不拿这个钱，不尽人情，老太太们实在要这个钱，她内心发生了天 人交战，什么办法，就是我的方法，这才是务实。你们只看到我张牙舞爪，骂张三和李四，你们没有看到我务实这一面，这是很重要的。今天的意思就是大家要务实，面对今天的中国问题和中国的前途，就是说中国才是我们真正努力的方向，真正努力的目标，真正献身的目标。 摘自《李 敖2005年9月23日清华大学演讲文字实录》 爱的遗赠 ?艾尔非常年轻的时候，就已经是一个娴熟的艺术家和制陶工人了。他有一个妻子和两个优秀的儿子。 一天晚上，他的长子感到胃部疼得厉害，但是艾尔和妻子都认为这只是普通的肠道疾病，而没有多加注意。可是男孩得的却是急性阑尾炎， 他在那天晚上意外地死去了。如果不是由于他的粗枝大叶，如果他能稍微意识到儿子病情的严重性，儿子的死本来是完全可以避免的。——在这样巨大的犯罪感的压制下，艾尔的情绪急剧地变坏了。 不久之后，他的妻子也离开了他，留下他和6岁的小儿子相依为命，这使本来就已经很糟 的局面更加恶化。艾尔受不了这两件事给他带来了打击和痛苦，就妄图从酒精中寻求帮助和解脱，没过多久，他就变成了一个酒鬼。 随着对酒精的迷恋越来越深，艾尔所拥有的一切开始一点一点地失去了--他的家，他的土地，他的艺术作品，他的一切。最后，艾尔在旧金山的一家汽车旅 馆里孤独地死去了。 当我听到艾尔去世的消息后，我对他的蔑视也和世人对那些死后没给子孙留下任何遗产的人的蔑视一样。"这是一个多么彻底的失败者呀！"我心里这样想，"完全是浪费生命！" 随着时间的流逝，我开始对早年自己对艾尔的苛刻评断重新估价，因为，我认识了艾 尔现在已经成年的小儿子厄尼。他是我所知道的最仁慈最精细最富爱心的人之一。我观察着厄尼和他的孩子们，看见他们之间洋溢着丰富的关爱之情。我知道那种仁慈和爱心一定源自某处。 我很少听到厄尼谈论他的父亲。要为一个酒鬼辩护是多么困难啊。一天，我鼓起勇气问他，"有一 件事使我感到很迷惑，"我说，"我知道你主要由你的父亲抚养长大的。那么他究竟是如何使你成为这样一个非同一般的人的呢？" 厄尼平静地坐在那儿，仔细思索了一会儿，然后他说："从我记事起一直到我18岁离开家，父亲每天晚上都到我的房间里来，在我的面颊上吻一下，并且说：' 我爱你，儿子。'" 我的眼睛湿润了，我意识到我过去觉得艾尔是一个失败者的想法是多么的愚蠢。他虽然没给儿子留下了什么物质财富，但是他用一个父亲的仁慈和爱心，培养出了一个非常善良无私的儿子。 ? 给狗取个好名字 ? 我的朋友琴德太太，住在纽约白利斯德路，她刚雇好一个 女佣，告诉她下星期一开始来工作。琴德太大打电话给那女佣以前的女主人，那太太指这个女佣并不好。当那女佣来上班的时候，琴德太太说： "妮莉，前天我打电话给你以前做事的那家太太。她说你诚实可靠，会做菜，会照顾孩子，不过她说你平时很随便，总不能将房间整理干净。 我相信她说的是没有根据的，你穿的很整洁，这是谁都可以看出来的……我可以打赌，你收拾房间，一定同你的人一样整洁干净。我也相信，我们一定会相处得很好。" 是的，她们果然相处得非常好，妮莉不得不顾全她的名誉，所以琴德太太所讲的，她真的做到了。她把屋子收拾得干干 净净，她宁愿自己多费些时间，辛苦些，也不愿意破坏琴德太太对她的好印象。 包德文铁路机车工厂总经理华克伦，他说过这样的话："一般人，都会愿意接受指导，如果你得到他的敬重，并且对他的某种能力表示敬重的话。" 我们也可以这样说，如果你想改善一个人某方面的缺点， 你要表示出，他已经具有这方面的优点了。莎士比亚说： "如果你没有某种美德，就假定你有。"最好是"假定"对方有你所要激发的美德，给他一个美好的名誉去表现，他会尽其所能，也不愿意使你感到失望的。 雷布利克在她的《我和梅脱林克的生活》一书中，曾叙述一个低卑的比 利时女佣的惊人改变。 她这样写着：隔壁饭店里有个女佣，每天替我送饭菜来，她的名字叫洗碗的玛丽。因为她开始工作时，是厨房里的一个助手。她那副长相真古怪，一对斗鸡眼，两条弯弯的腿，身上瘦得没有四两肉，精神也是显得无精打采、迷迷糊糊的。 有一天，当她端着一 盘面来给我时，我坦白的对她这样说："玛丽，你不知你有内在的财富？" 玛丽平时似乎有约束自己感情的习惯，生怕会招来什么灾祸，不敢做出一点喜欢的样子，她把面放到桌上后，才叹了口气说："太太，我是从来不敢想到那些的。"她没有任何怀疑，也没有提出更多的问题，她只是回 到厨房，反复思索我所说的话，深信这不是人家开她的玩笑。 就从那天起，她自己似乎也考虑到那回事了；在她谦卑的心理，已起了一种神奇的变化。她相信自己是看不见的暗室之宝；她开始注意修饰她的面部和身体。她那原来枯萎了的青春，渐渐洋溢出青春般的气息来。 两个月 后，当我要离开那地方时，她突然告诉我，她就要跟厨师的侄儿结婚了。她悄悄的告诉我："我要去做人家的太太了！她向我道谢我只用了这样简短的一句话，就改变了她的人生。 雷布利克给"洗碗的玛丽"，一个美好的名誉，而那个名誉改变了她的一生。 当利士纳要影响在法国的美 国士兵的行为时，也用了同样的方法。哈巴德将军--一位最受人们欢迎的美国将军，他曾经告诉利士纳说，在他看来，在法国的二百万美国兵，是他所接触过最合乎理想、最整洁的队伍。 这是不是过份的赞许？或许是的。可是我们看利士纳如何应用它！ 利士纳说："我从未忘记把哈 巴德将军所说的话，告诉士兵们，我并没有怀疑这话的真实性，即使并不真实，那些士兵们知道哈巴德将军的意见后，他们会努力去达到那个水准。" 有这样一句古语："如果不给一条狗取个好听的名字，不如把它勒死算了。" 几乎包括了富人、穷人、乞丐、盗贼，每一个人都愿意竭 尽其所能，保持别人赠予他的"诚实"的美誉。 "星星监狱"狱长洛斯说： "如果你必须去对付一个盗贼、骗子，只有一个办法可以制服他，那就是待他如同一个诚会、体面的绅士一样，假设他是位规规矩矩的正人君子。他会感到受宠若惊，他会很骄傲的认为有人信任他。" 那句话 太重要，太好了！我们不妨再说一遍： "如果你必须去对付一个盗贼、骗子，只有一个办法可以制服他，那就是待他如同一个诚实、体面的绅士，假设他是位规规矩矩的正人君子。他会感到受宠若惊，他会很骄傲的认为有人信任他。" 所以，如果你要影响一个人的行为，而不引起他 的反感，记住这项规则，那是： 给人一个美名让他去保全。 ? 松下幸之助：为你配副好眼镜 ?每一个生意人都想赚钱，这是天经地义的事。可是，满脑子都是生意经，这只是一般人的想法。 很久以前，我曾接到一封从北海道的札幌市寄来的信件，内容大致如下："我是一位眼镜商 人，前几天，在杂志上看到了您的照片。因为您所配戴的眼镜不大适合脸形，希望我能为您服务，
空间向量的坐标和运算
空间向量的坐标和运算一、空间向量的坐标和运算1.空间直角坐标系在单位正方体$oabc$-$d$′$a$′$b$′$c$′中，以$o$点为原点，分别以射线$oa$，$oc$，$od$′的方向为正方向，以线段$oa$，$oc$，$od$′的长为单位长，建立三条数轴：$x$轴、$y$轴、$z$轴。
这时我们说建立了一个空间直角坐标系$oxyz$，其中点$o$叫做坐标原点，$x$轴、$y$轴、$z$轴叫做坐标轴。
通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为$xoy$平面、$yoz$平面、$xoz$平面。
2.空间矢量的坐标一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。
如果$a（x_1，y_1，z_1）$，$B（x_2，y_2，z_2）$，那么$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{ob}-\overrightarrow{OA}$=$（x_2-x_1$，$y_2-y_1$，$z_2-z_1）$。
3、空间向量的坐标运算设置$\boldsymbol（x_1，y_1，z_1）$，$\boldsymbol B（x_2，y_2，z_2）$，然后（1）$\boldsymbola+\boldsymbolb$=$(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)$。
（2） $\boldsymbola-\boldsymbolb$=$（x_1-x_2，y_1-y_2，z_1-z_2）$（3）$\boldsymbola·\boldsymbolb$=$x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$。
（4） $|\boldsymbola |=\sqrt{x^2_1+y^2_1+z^2_1}$（5）$λ\boldsymbola=（λx_1,λy_1,λz_1）$。
4.平行（共线）和垂直空间向量的充要条件设非零向量$\boldsymbola(x_1,y_1,z_1)$，$\boldsymbolb(x_2,y_2,z_2)$，则$\boldsymbola∥\boldsymbolb\leftrightarrow\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}=\frac{z_1}{z_2}=λ（λ∈\mathbf{r}）$$\boldsymbola⊥\boldsymbolb\leftrightarrow\boldsymbola·\boldsymbolb=0\leftrig htarrow$$x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2=0$。
空间向量的直角坐标运算律
.空间向量的直角坐标运算律：（1）若，，则．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
（2）若，，则，，，，，；，．夹角公式：．（3）两点间的距离公式：若，，则或。
对于垂直问题，一般是利用进行证明；对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明．2．利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便．其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角或其补角，而求两个向量的夹角则可以利用向量的夹角公式。
3．用向量法求距离的公式设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，则点B到平面的距离为（如图）。
向量法在求空间角上的应用平面的法向量的求法：设n=(x,y,z)，利用n与平面内的两个不共线的向a，b垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取其一组解，即得到平面的一个法向量（如图）。
线线角的求法：设直线AB、CD对应的方向向量分别为a、b，则直线AB与CD所成的角为。
（注意：线线角的范围[00,900]）线面角的求法：设n是平面的法向量，是直线的方向向量，则直线与平面所成的角为（如图）。
二面角的求法：设n1，n2分别是二面角的两个面，的法向量，则就是二面角的平面角或其补角的大小（如图）利用法向量求空间距离⑴点A到平面的距离：，其中，是平面的法向量。
⑵直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。
⑶两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。
①线线平行的判定：判定定理性质定理判定定理判定定理性质定理判定定理总结：从中可以看出，一般情况下，往往借助一些“性质定理”来构造满足“判定定理”的条件。
(2)还会考查到的位置关系：异面直线的判定。
判定方法：定义(排除法与反证法)、判定定理。
二、基本例题例1已知：分析：利用线面平行的性质与平行公理。
注意严格的公理化体系的推理演绎。
说明：过l分别作平面∴l∥m同理l∥n∴m∥n又又例2. 已知：AB是异面直线a、b的公垂线段，P是AB的中点，平面经过点P且与AB垂直，设M是a上任意一点，N是b 上任意一点。
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a // b a b( R) a // b a b( R)
a1 b1,a2 b2( R); a1 b1,a2 b2,a3 b3( R);
a b ab 0
a b ab 0
ab a b 0 ab a b a b 0
2．空间向量的平行和垂直的条件
1， a / /b(b 0) a b
例 1．已知 a =(1，1，0)， b =(0，1，1)， c =(1，0，1)， p = a － b ，q = a +2 b － c ， 求 p, q, p q 。
p (1, 0, 1)
q (0, 3, 1)
p q 1
探究二：垂直与平行问题
平面向量运算的坐标表示： 空间向量运算的坐标表示：
一对实数1，2，使a＝1e1＋2 e2。
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
平面向量的正交分解及坐标表示 y
a
a xi y j
i (1, 0), j (0,1), 0 (0, 0). i
空间向量基本定理：
如果三个向量 a, b, c不共面，那么对空间任一
向量 p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，
使 p xa yb zc.
任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。
a, b, c都叫做基向量
z
从空间某一个定点０
引三条互相垂直且有相
同单位长度的数轴，这
o
样就建立了空间直角坐
y
标系０－xyz．
x
点Ｏ叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做
坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标
平面，分别称为xoy平面、 yoz平面、和 Zox
优秀个人与小组
小组 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十
学案完成情况
齐浩、孟晗、周夏槿 朱若瑜
王善航、韩信 董坤霞、王磊 费振豪、张孝莹、 李爱敏、胡晔文 高慧、于晴 孙庆帅、陈硕
郭晓东 黄鑫鑫、潘毅
得分 3 1 2 2 2 2 2 2 1 1
复习
平面向量基本定理：
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
p xi y j zk
k
O
xi
j
y 记 p (x, y, z)
y OP ( x, y, z)
x
P(x, y, z)
若A(x1,y1,z1) , B(x2,y2,z2),
则 AB = OB - OA=(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)
合作学习（5分钟）
重点讨论内容及时间
展示
1 类比平面向量的坐标表示，在在棱长为1的正 投
平面．
空间直角坐标系的画法:
z 1.X轴与y轴、x轴与z轴均成1350, 而z轴垂直于y轴．
2.y轴和z轴的单位长度相同， 1350 o
x轴上的单位长度为y轴（或z
1350
y
轴）的单位长度的一半． x
探究一：空间直角坐标系与空间向量的坐标表示
单位正交基底： 如果空间的一个基底的三个基向量互相垂
直，且大小都为1，那么这个基底叫做单位正交
设a
a
(a1
,
a2
),
a
b
a
(b1
,
b2
)则
设a (a1,a2,a3 ),b (b1,b2,b3 )则
a aa
a22
;类
比
a12 a22 a32;
ab
ab
cos a,b a b
a1b1 a2b2
推 广
cos
a,b
ab
a1b1 a2b2 a3b3
a12 a22 b12 b22; a12 a22 a32 b12 b22 b32;
0 0
，这个方程组有三个
未知数，但只有两个方程，不妨把未知数 x 当
换用坐标表示，得
a
/
/b(b
0)
aa21
b1 b2
a3 b3
2， a b a b 0
换用坐标表示，得
a b a1b1 a2b2 a3b3 0
已知 a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，a、b 共线的充要条 件为aa12＝bb12＝cc12，对吗？
答案 不对．∵a2，b2，c2 中会有为零的情况，只有 b 与三 个坐标平面都不平行时，条件才是充要的．
方体ABCD－A1B1C1D1中建立空间直角坐标 影 系，求各个顶点的坐标（1分钟）
2 如何根据图形在空间中任意一点P的坐标（2 投
分钟）
影
讲
解
3 谈论探究一思考（2），并总结平行于x轴，y 投
轴，z轴的向量的的坐标特点（2分钟）
影
讲
解
探究一
平面向量运算的坐标表示： 空间向量运算的坐标表示：
设a (a1,a2),b (b1,b2)则 设a (a1,a2,a3),b (b1,b2,b3)则
a
b
(a 1 b1 , a2
b2
);
类 比
a
b
(a 1b1,a2
b2 ,a3
b3) ;
a b (a1b1,a2 b2 ); 推 a b (a1b1,a2 b2 ,a3 b3 );
a (a1,a2 ) ; 广 a (a1,a2 ,a3 ) ;
a b a1b1 a2b2 ;
a b a1b1 a2b2 a3b3 ;
例 2．已知向量 a =(－2，2，0)， b =(－2，0，2)，
求向量 n ，使得 n ⊥ a 且 n ⊥ b 。
解：设 n =(x，y，z)，
则 n a =(x，y，z)·(－2，2，0)=－2x+2y=0，
n b =(x，y，z)·(－2，0，2)=－2x+2z=0，
解方程组
x x
y z
单击此第处三添加章标空题间向量与立体几何
★导学案，直尺，铅笔 ★课前准备
1）订正学案 今日赠言：每学到一个数学难点的时 候，尝试着对别人讲解这个知识点并 让他理解——你能讲清楚 才说明你真的理解了。
3.1.4 空间向量的直角 坐标运算
章丘七中高二数学备课组
学习目标
1. 理解空间向量与有序数组之间的一一 对应关系； 2. 能用坐标表示空间向量，掌握空间向 量的坐标运算． 3. 能运用向量的坐标运算判断向量的共 线与垂直． 重点：空间向量的坐标运算 难点：空间向量的坐标运算．
基底，常用 {i, j, k } 来表示.
k
空间向量 p
i, j, k
为基底 i
j
有序实数组
一一对应
(x, y, z)
p xi y j zk
因此我们可以类似平面直角坐标系,建立空间直角坐标系
以 i, j, k 为单位正交基底
z
z
建立空间直角坐标系O—xyz
p P(x, y, z)
i, j,k 为基底 ( x, y, z)