空间直角坐标系和向量的基本知识
空间直角坐标系与向量解析
空间直角坐标系与向量解析空间直角坐标系是对三维空间中点的位置进行描述的一种方法。
它采用三个相互垂直的坐标轴来表示点的位置，分别为x轴、y轴和z轴。
这种坐标系广泛应用于物理学、几何学、工程学等领域中。
一、空间直角坐标系空间直角坐标系中的每个点都可以用一个有序的三元组(x, y, z)来表示，其中x、y、z分别表示该点在x轴、y轴和z轴上的坐标值。
通过这种方式，我们可以方便地表示三维空间中任意点的位置。
在空间直角坐标系中，我们可以定义向量。
向量可以看作是由起点和终点组成的线段，它具有大小和方向。
在表示向量时，我们通常使用箭头来表示，箭头的起点表示向量的起点，箭头的终点表示向量的终点。
二、向量的基本运算向量的基本运算包括加法、减法和数乘。
1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律。
即对于向量a、b、c，有：a +b = b + a(a + b) + c = a + (b + c)2. 向量的减法：向量的减法可以看作是加上该向量的负向量。
即对于向量a、b，有：a -b = a + (-b)3. 向量的数乘：向量的数乘是指将向量的每个分量与一个标量相乘。
即对于向量a和标量k，有：k * a = (k * a1, k * a2, k * a3)三、向量解析向量解析是一种用数学方法描述物理量变化的工具。
在空间直角坐标系中，我们可以使用向量解析来描述物体的运动、力学问题等。
1. 向量的模向量的模表示向量的大小，也称为向量的长度。
对于向量a，它的模可以通过以下公式计算：|a| = √(a1^2 + a2^2 + a3^2)2. 向量的点积向量的点积可以通过以下公式计算：a ·b = a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b33. 向量的叉积向量的叉积可以通过以下公式计算：a ×b = (a2 * b3 - a3 * b2, a3 * b1 - a1 * b3, a1 * b2 - a2 * b1)通过向量解析，我们可以计算出向量的模、向量之间的夹角、向量的投影等物理量，进而解决一些实际问题。
空间解析几何知识点
空间解析几何知识点1. 空间直角坐标系- 定义：由三条互相垂直的直线（x轴、y轴、z轴）确定的坐标系。
- 坐标表示：任意一点P的坐标表示为(x, y, z)。
- 距离公式：两点P1(x1, y1, z1)和P2(x2, y2, z2)之间的距离为√((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2)。
2. 向量及其运算- 向量定义：具有大小和方向的量。
- 向量表示：向量a表示为a = (a1, a2, a3)。
- 向量加法：a + b = (a1+b1, a2+b2, a3+b3)。
- 向量数乘：k * a = (ka1, ka2, ka3)。
- 向量点积：a · b = a1b1 + a2b2 + a3b3。
- 向量叉积：a × b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 -a2b1)。
- 向量模：|a| = √(a1^2 + a2^2 + a3^2)。
- 向量方向余弦：向量a的方向余弦为(a1/|a|, a2/|a|, a3/|a|)。
3. 平面方程- 点法式：A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0，其中A、B、C为平面的法向量，(x0, y0, z0)为平面上一点。
- 两点式：(y-y1)/(x-x1) = (y2-y1)/(x2-x1)，表示过两点P1(x1, y1, z1)和P2(x2, y2, z2)的平面。
- 一般式：Ax + By + Cz + D = 0。
4. 直线方程- 参数式：x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct，其中(x0,y0, z0)为直线上一点，(a, b, c)为直线的方向向量，t为参数。
- 一般式：Ax + By + Cz + D = 0。
- 点向式：(x-x0)/a = (y-y0)/b = (z-z0)/c，其中(x0, y0, z0)为直线上一点，(a, b, c)为直线的方向向量。
向量公式知识点总结
向量公式知识点总结一、向量的定义在空间直角坐标系中，向量是一个由起点和终点确定的有向线段。
向量常用a、b、c等字母表示，一般写作a = (a1, a2, a3)，其中a1、a2、a3分别表示向量在x、y、z轴的投影。
二、向量的性质1. 向量的模向量的模表示向量的长度，记作|a|，计算公式为|a| = √(a1^2 + a2^2 + a3^2)。
2. 向量的方向向量的方向由向量的起点指向终点的方向确定。
3. 零向量零向量是模为0的向量，通常表示为0。
4. 向量的方向余弦向量a的方向余弦分别表示为cosα、cosβ、cosγ，其中α、β、γ为向量a与x、y、z轴的夹角。
三、向量的运算1. 向量的加法向量a和向量b的和记作a + b，计算公式为a + b = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)。
2. 向量的数乘向量a和标量k的乘积记作ka，计算公式为ka = (ka1, ka2, ka3)。
3. 向量的减法向量a和向量b的差记作a - b，计算公式为a - b = a + (-1)b。
四、线性相关性1. 线性相关对于n个向量a1、a2、...、an，存在一组不全为0的实数k1、k2、...、kn，使得k1a1 + k2a2 + ... + knan = 0，则称这n个向量线性相关。
2. 线性无关如果向量a1、a2、...、an不线性相关，则称它们线性无关。
五、内积1. 内积的定义向量a和向量b的内积记作a·b，计算公式为a·b = a1b1 + a2b2 + a3b3。
2. 内积的性质(1) 对称性：a·b = b·a(2) 分配律：a·(b + c) = a·b + a·c(3) 数乘结合：(ka)·b = k(a·b)(4) 对于非零向量a和b，a·b = 0当且仅当a与b垂直六、外积1. 外积的定义向量a和向量b的外积记作a×b，计算公式为a×b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)。
空间向量复习课
解：①思路一：几何法 ① 作、证、求
思路二：代数法
② 等体积法
③ 点的迁移
空间向量的应用： 二、空间量的计算
解：②思路一：几何法
① 作、证、求
② 转化为“点到面距离”
思路二：代数法 转化为“方向向量”与“法向量”夹角
空间向量的应用： 二、空间量的计算
解：③思路一：几何法 ① 作、证、求 思路二：代数法 转化为“法向量”与“法向量”夹角
知识点梳理： 一、空间点的坐标：
1. 空间直角坐标系.
知识点梳理： 二、空间向量概念：
1. 定义：在空间，具有大小和方向的量. 模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量、共线向量
2. 向量的坐标表示
终点减起点
知识点梳理： 二、空间向量概念：
1.定义：在空间，具有大小和方向的量. 共线向量
②直线的方向向量： 向量与直线平行
解：② 思路二：代数法 利用“向量共面”证明“线面平行” 利用“向量垂直”证明“线面平行”
空间向量的应用： 一、位置关系的判断
解：③思路一：几何法 线线垂直：共面用“勾股定理”、异面用“三垂线定理”、线面垂直 思路二：代数法
空间向量的应用： 二、空间量的计算
空间距离
空间的角
空间向量的应用： 二、空间量的计算
③共面向量：向量与平面平行 向量共面：平行于同一个平面的向量
知识点梳理： 三、空间向量基本定理：
基向量、基底
基向量、基底
知识点梳理： 三、空间向量基本定理：
基向量、基底
位移
知识点梳理： 三、空间向量基本定理： 重要推论
知识 三角形法则，平行四边形法则 减 法： 三角形法则 数 乘： 数量积：
空间向量的应用： 一、位置关系的判断
空间向量的直角坐标及其运算
∴ AP AB ， AP AD，又 AB AD A ， AP 平面 ABCD，
∴ AP 是平面 ABCD的法向量； 解：（2） AB 22 12 42 21 ， AD 42 22 02 2 5 ，
∴ SABC
1 2
AB
AC
sin
A
101 。 2
7、在棱长为1的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E, F 分别是 DD1、DB 中点，G 在棱CD 上，
CG
1 4
CD
，
H
是
C1G
的中点；
（1）求证： EF B1C ；（2）求 EF 与C1G 所成的角的余弦；（3）求 FH 的长。
解：如图以 D 为原点建立直角坐标系 D xyz ，
（3）证明线面平行：若直线的方向向量与平面的一个法向量垂直，则这直线与该平面平行；
（4）证明面面平行：若两个不重合平面的法向量平行，则这两个平面就互相平行。 11、用向量求异面直线所成角：
找出两条异面直线各自的一个方向向量，计算这两个向量的夹角 ，则 （或 的补角）
即为两条异面直线所成的角。
设 a、b 是异面直线， d1 是直线 a 的一个方向向量， d2 是直线b 的一个方向向量，异面
一、基本概念：
1、空间直角坐标系：
（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用 i, j,k
表示；
（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底 i, j,k ，以点O 为原点，分别以 i, j,k 的方向
为正方向建立三条数轴：x 轴、 y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴；我们称建立了一个空间 直角坐标系 O xyz ，点O 叫原点，向量 i, j, k 都叫单位向量；通过每两个坐标轴的平
高二数学空间向量的坐标运算知识精讲
高二数学空间向量的坐标运算【本讲主要内容】空间向量的坐标运算空间直角坐标系，空间向量的坐标表示，空间向量的坐标运算，空间向量平行，垂直的坐标表示形式。
【知识掌握】 【知识点精析】1. 空间直角坐标系（1）单位正交基底，空间直角坐标系，右手直角坐标系（2）坐标：在空间直角坐标系O-xyz 中，对空间任一点A ，对应一个向量OA →，于是存在唯一的有序实数组x 、y 、z ，使OA xi yj zk =++，则实数组（x ，y ，z ）叫做点A 在此空间直角坐标系中的坐标。
2. 向量的直角坐标运算设a a a ab b b b ==()()123123，，，，，则a b a b a b a b +=+++()112233，，a b a b a b a b -=---()112233，，a b a b a b a b ⋅=++112233a b a b a b a b R //⇔===∈112233λλλλ，，，或a b a b a b 112233==a b a b a b a b ⊥⇔++=11223303. 夹角和距离公式（1）夹角公式：设a a a ab b b b ==()()123123，，，，，则cos <>=++++⋅++a b a b a b a b a a a b b b ，112233122232122232（2）距离公式：设A x y z B x y z ()()111222，，，，， 则d x x y y z z AB =-+-+-()()()122122122（3）平面的法向量：如果表示向量a 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a ⊥α。
如果 a ⊥α，那么向量a 叫做平面α的法向量。
【解题方法指导】1. 在证明线线平行时，利用a b a b //⇔=λ即()()a a a b b b 123123，，，，=λλλ，在证明线面平行或面面平行时，需转化为线线平行问题。
课件1：1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系
核心素养 1．通过空间向量的直角坐标运算的学习，提升数学运算、 逻辑推理素养． 2．通过对空间直角坐标系的学习，提升数学抽象素养．
【新知初探】
1．空间中向量的坐标 一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3 都是单 位向量，而且这三个向量 两两垂直 ，就称这组基底为单位正交 基 底，在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而 且，如果 p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组 (x，y，z) 为 向量 p 的坐标，记作__p_＝__(x_，__y_，__z_)_．其中 x，y，z 都称为 p 的 坐标分量．
(2)已知空间四点 A，B，C，D 的坐标分别是(－1,2,1)，(1,3,4)， (0，－1,4)，(2，－1，－2)．若 p＝A→B，q＝C→D．求①p＋2q； ②3p－q；③(p－q)·(p＋q)． [解] 由于 A(－1,2,1)，B(1,3,4)，C(0，－1,4)，D(2，－1，－2)， 所以 p＝A→B＝(2,1,3)，q＝C→D＝(2,0，－6)． ①p＋2q＝(2,1,3)＋2(2,0，－6)＝(2,1,3)＋(4,0，－12)＝(6,1，－9)； ②3p－q＝3(2,1,3)－(2,0，－6)＝(6,3,9)－(2,0，－6)＝(4,3,15)； ③(p－q)·(p＋q)＝p2－q2＝|p|2－|q|2＝(22＋12＋32)－(22＋02＋62)＝－26．
(4)空间直角坐标系的画法：在平面内画空间直角坐标系 Oxyz 时，一般把 x 轴、y 轴画成水平放置，x 轴正方向与 y 轴正方向夹角为 135°(或45°) ， z 轴与 y 轴(或 x 轴)垂直． (5)空间中一点的坐标：空间一点 M 的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表 示，有序实数组(x，y，z)叫做点 M 在此空间直角坐标系中的坐标，其中 x 叫做点 M 的横坐标(或坐标)，y 叫做点 M 的 纵坐标(或坐标) ，z 叫 做点 M 的 竖坐标(或坐标) ．
《空间直角坐标系与向量的概念》课件
| AB | ， | a | 等表示。
A
0
a
长度为1的向量称为单位向量， 用 AB ，a 0等表示。 始点和终点重合的向量称为零向量， 用O表示， 其方向任意。
2 向量的关系和运算
（1）向量的相等 方向相同，模相等的两个向量a、b称为相等，记作 a=b。 向量仅与模、方向有关，而与始点的位置无关。 （2）向量的加法——平行四边形法则
2 坐标面和空间的划分
Ⅲ
z
Ⅱ
Ⅳ
Ⅰ
O
y
Ⅵ
Ⅶ
x
Ⅴ
Ⅷ
3 空间点的坐标
一一对应 有序数组（x，y，z） 空间任意一点A
z
z
A
y
x
x
O
y
二、空间两点的距离
设M1（x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)是空间两点，如图， 如何求|M1M2|？
z
z2
z1 M1 P
O
M2
N y1 y2
y
x1 x2
b
a+b a
或三角形法则：
b a+b a b
运算律 交换律 结合律 a+b=b+a （a+b）+c=a+（b+c）
（3）向量的减法 ★负向量： 与向量a模相等而方向相反的向量称为a 的负向量， 记作-a。 向量a减去向量b，可以看成向量a加上向量b的负 向量-b，即a-b=a+（-b）。 如图所示
b a-b
a
（4）数与向量的乘积
定义：数量λ与向量a的乘积记为λ a，它是一个向 量。 模| λa|=| λ||a|；方向： 如果λ<0，则与向量a的方向相反；
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a | a | a0
a a0 . |a|
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量.
例1
化简
a
b
5
1
b
b
3a
2
5
解
a
b
5
1
b
b
3a
2
5
(1
3)a
1
5 2
1 5
M1P x2 x1 , PN y2 y1 , NM 2 z2 z1 ,
zR
M1
P
o x
d M1P 2 PN 2 NM2 2
M2
Q N
y
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2 .
空间两点间距离公式
相等向量：大小相等且方向相同的向量.
a
b 负向量：大小相等但方向相反的向量. a
a
a
向径： 空间直角坐标系中任一点 M与原点 构成的向量.OM
2、向量的线性运算
[1]
加法： a
b
c
（平行四边形法则）
b
c
a
（平行四边形法则有时也称为三角形法则）
特殊地：若a‖ a b
特殊地：若两点分别为 M( x, y, z) , O(0,0,0)
d OM x2 y2 z2 .
例 1 求证以M1(4,3,1)、M 2 (7,1,2)、M 3 (5,2,3)
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
解 M1M2 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14, M2M3 2 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6, M3M1 2 (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6,
M2M3 M3M1 , 原结论成立.
例 2 设P 在x 轴上，它到P1(0, 2,3) 的距离为 到点P2 (0,1,1)的距离的两倍，求点P 的坐标.
解 因为P 在x 轴上，设P点坐标为 ( x,0,0),
PP1 x2 2 2 32 x2 11,
PP2 x2 12 12 x2 2,
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
空间的点 11 有序数组( x, y, z)
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P, Q, R, 坐标面上的点 A, B, C, O(0,0,0)
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C( x,o, z)
o x P( x,0,0)
M(x, y, z)
y
Q(0, y,0) A( x, y,0)
5
b
2a
5
b.
2
例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的
四边形必是平行四边形.
二、空间两点间的距离公式
设M1 ( x1 , y1 , z1 )、M 2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两点
zR
M1
P o
d M1M2 ?
M2
Q N
在直角M1 NM 2 及 直 角 M1 PN
中，使用勾股定
y 理知
x
d 2 M1P 2 PN 2 NM 2 2 ,
a
b
两个向量的平行关系
定理
设向量
a
0，那末向量
b
平行于
a
的充
分必要条件是：存在唯一的实数
，使
b
a.
证 充分性显然；
当
b
必要性
设 b‖
a
取
与 a 同向时 取正值，
b a
,
当
b
与
a
反向时
取负值，
即有
b
a.
此时 b 与 的唯一性.
a 同向. 且 a
设
b
a，又设
b
a
aba， a
b.
两式相减，得 ( )a 0， 即 a 0，
a 0， 故 0， 即 .
设a0表示与非零向量a 同方向的单位向量，
按照向量与数的乘积的规定，
第一节 空间直角坐标系与向量的基本知识
一、空间直角坐标系
z 竖轴
三个坐标轴的正方向符合
右手系.
即以右手握住 z 轴，当
右手的四个手指从正向
x轴以 角
2
度转向正向 y 轴时，大
定点 o
横轴 x
y 纵轴
拇指的指向就是 z 轴的
正向.
空间直角坐标系
Ⅲ
yoz面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ
x
Ⅷ
z zox 面
Ⅱ
o
yⅠ
PP1 2 PP2 , x2 11 2 x2 2
x 1, 所求点为 (1,0,0), (1,0,0).
思考题
在空间直角坐标系中，指出下列各 点在哪个卦限？
A(1,2,3), B(2,3,4),
C(2,3,4), D(2,3,1) .
思考题解答 A:Ⅳ; B:Ⅴ; C:Ⅷ; D:Ⅲ;
b
分为同向和反向
c | c || a
|
|
b
|
b a
c
|
c
|
|
a
|
|
b
|
向量的加法符合下列运算规律：
（1）交换律：
a
b
b
a.
（2）结合律：
a
b
c
(a
b)
c
a
(b
c).
（3）
a
(a)
0.
[2]
减法
a
b
a
(b)
a
b
b
b
b c
a
b
c
a
(b)
a
a
b
a
b
〔3〕、向量与数的乘法
设 是一个数，向量a与 的乘积a规定为
(1) 0, a与a 同向，| a | | a |
(2) 0,
a
0
(3) 0, a与a 反向，| a || | | a |
a 2a 1 a 2
数与向量的乘积符合下列运算规律：
（1）结合律：(a) ( a) ()a
（2）分配律：( )a a a
(a
b)
三、向量的概念及线性运算
1、概念：
M2
向量：既有大小又有方向的量.
向量表示：a 或 M1M2
M1
向量的以模M：1向为量起点 的，大M小.2 为| a终| 或点|的M有1M向2线| 段.
单位向量：模长为1的向量. a0
或
M1M0 2零向量：模长为0的向量. 0
自由向量：不考虑起点位置的向量.