人教B版高中数学选修(2-1)-2.5知识拓展：活用圆锥曲线“统一性”定义解题
活用圆锥曲线“统一性”定义解题
从点的集合（或轨迹）的观点来看，圆锥曲线（除圆外）都是与定点和定直线距离的比是常数e 的点的集合（或轨迹）．这个定点称为焦点，定直线称为他们的准线，由于常数e 的取值范围不同，曲线分为椭圆、双曲线和抛物线．深刻理解这一定义（以下简称“统一性”定义），对解决有关圆锥曲线问题有着举足轻重的作用，下面就此举例说明：
一、活用圆锥曲线“统一性”定义判断曲线的形状
例1：已知平面上的动点M （x ，y ）
|3412|x y =+-.问点M 的轨迹是 （ ）
（A ）椭圆 (B)双曲线 (C)抛物线 (D)直线
分析：一般情况下，识别点的轨迹是通过化简方程来进行
的，但此例若用此法处理不仅麻烦，且由于其曲线的对称轴与
坐标轴不平行，化简了方程的形式仍很难识别，若能用圆锥曲
线“统一性”定义去思考，答案则显而易见．
解：原方程可化为 .此式的几何意义可理解为：在平面内动点M （x ，y ）到定点（-2，-l ）的距离与到定直线：3x ＋4y 一12＝0的距离之比为5：1，由圆锥曲线的“统一性”定义可知，这样的轨迹是以定点（-2，-l ）为焦点，以直线L ：3x ＋4y 一12二0为准线的双曲线．
二、活用圆锥曲线“统一性”定义求曲线方程
例2：如图，ABCD 是一张矩形纸片，AB=4,AD=8,
按图形所示方法进行折叠，使折叠后的B 点都落在AD
上，此时B 记为B ˊ，（注：折痕EF 中，点F 也可落在边
CD 上）。
过B ˊ作B ˊT ∥CD 交EF 于T 点，求T 点的轨迹
方程.
分析：本题是有关折叠问题的一道题，应注意折叠前后的图形联系。
就本题而言，连结TB 后，有|TB|=|TB ˊ|，即T 到定点B 的距离与到直线AD 距离相等，所以T 的轨迹为抛物线，剩下的工作就是建系，求方程及范围，同样应注意应用图形的几何性质.
解：连结TB ，由ΔEBT 与ΔEB ˊT 全等可知，|TB|=|TB ˊ|即动点T 到定点B 与到
定直线AD 距离相等，所以T 的轨迹为抛物线的一部分，B 为焦点，AD 为准线，以AB 的中垂线为x 轴，以BA 为y 轴建立直角坐标系，AB 中点为O ，设其方程为x 2=-2py ，则|OB|=2
p =2,∴所求方程为x 2=-8y. 当沿x 轴为折痕时，T 在原点O ；当沿A 与BC 中点连线为折痕时，T 在BC 的中点，所以T 点横坐标范围是0≤x≤4.∴T 点的轨迹方程为
x 2=-8y(0≤x≤4).
例3：求经过点M(1,2)，以y 轴为准线，离心率为
12的椭圆左顶点的轨迹方程.
分析：设椭圆左顶点为A(x,y)由题设可知，左焦点F 所
满足的关系是明确的，因此，解决此题的关键是将A 的坐
标转移到F 点上去（找出A 点坐标与F 点坐标的关系式），
然后再根据题设条件（点M 到点F 的距离与到准线的距离之比为
12
），利用圆锥曲线统一性定义，列出关系式，经过化简整理，求得轨迹方程.
解：设椭圆左顶点为A(x,y)，左焦点为F ，反向延长线AF 交y 轴（左准线）于点Q ，则M(1,2)到y 轴的距离d=1，如图，由椭圆统一性定义可得F 点的坐标为3(,)2x y ，再根据统一性定义，由||12MF d =,
12=化简得所求轨迹方程：2229()4(2)13
x y -+-=. 三：活用圆锥曲线“统一性”定义判断直线与圆的位置关系
例4：已知抛物线y 2=2px ，判断以过焦点的弦为直径的圆与抛
物线准线的位置关系。
分析：判断直线与圆的位置关系可考虑圆心到直线的距离.
解：如图，由抛物线的定义知|AF|=|AA 1|,|BF|=|BB 1|且
|MM 1|=12|AA 1|+|BB 1|∴|MM 1|=12
|AF|+|BF|即以为直径的圆与抛物线的准线相切. 同理可证以椭圆和双曲线的焦点弦为直径的圆与对应准线分别相离，相切。
四、活用圆锥曲线“统一性”定义求圆锥曲线的离心率．
例5：一直线过圆锥曲线的焦点F 1且倾抖角为600，它与圆锥曲线交于A 、B 两点，若|FA|=2|FB|，求该圆锥曲线的离心率．。
新课标人教B版高中数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程教案
第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程 2.1.2求曲线的轨迹方程一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法．(二)能力训练点通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍，培养学生综合运用各方面知识的能力．(三)学科渗透点通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍，使学生掌握常用动点的轨迹，为学习物理等学科打下扎实的基础．二、教材分析1．重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法．(解决办法：对每种方法用例题加以说明，使学生掌握这种方法．)2．难点：作相关点法求动点的轨迹方法．(解决办法：先使学生了解相关点法的思路，再用例题进行讲解．)教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．三、教学过程学生探究过程：(一)复习引入大家知道，平面解析几何研究的主要问题是：(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；(2)通过方程，研究平面曲线的性质．我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究，今天在上面已经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析．(二)几种常见求轨迹方程的方法1．直接法由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．例1(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程；(2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹．对(1)分析：动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R 或|OP|=0．解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0．即x2+y2=4R2或x2+y2=0．故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0．对(2)分析：题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．由学生演板完成，解答为：设弦的中点为M(x，y)，连结OM，。
人教版数学选修2-1圆锥曲线知识总结
精心整理数学选修2-1圆锥曲线知识归纳一、复习总结：名称椭圆双曲线图象定义平面内到两定点21,FF的距离的和为常数（大于21FF）的动点的轨迹叫椭圆即aMFMF221=+当2a﹥2c时，轨迹是椭圆当2a=2c时，轨迹是一条线段21FF当2a﹤2c时，轨迹不存在平面内到两定点21,FF的距离的差的绝对值为常数（小于21FF）的动点的轨迹叫双曲线即aMFMF221=-当2a﹤2c时，轨迹是双曲线当2a=2c时，轨迹是两条射线当2a﹥2c时，轨迹不存在标准方程焦点在x轴上时：12222=+byax焦点在y轴上时：12222=+bxay注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上焦点在x轴上时：12222=-byax焦点在y轴上时：12222=-bxay常数cba,,的关系222bac+=，渐近线焦点在x轴上时：焦点在y轴上时：抛物线：图形方程 焦点 准线二、知识点：椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹，由这些条件可以求出它们的标准方程，并通过分析标准方程研究这三种曲线的几何性质1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹2．椭圆的标准方程：12222=+b y a x ，12222=+b x a y （0>>b a ）3．椭圆的性质：由椭圆方程12222=+by a x (0>>b a )(1)范围:a x a ≤≤-,b y b ≤≤-，椭圆落在b y a x ±=±=,组成的矩形中．(2)对称性:图象关于y 轴对称．图象关于x 轴对称．图象关于原点对称原点叫椭圆的对称中心，简称中心．x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距． （3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点．椭圆共有四个顶点：)0,(),0,(2a A a A -，),0(),,0(2b B b B -加两焦)0,(),0,(21c F c F -共有六个特殊点21A A 叫椭圆的长轴，21B B 叫椭圆的短轴．长分别为b a 2,2.b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长，椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点．(4)离心率:椭圆焦距与长轴长之比a c e =⇒2)(1abe -=10<<e 椭圆形状与e 的关系：0,0→→c e ，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在0=e 时的特例,,1a c e →→椭圆变扁，直至成为极限位置线段21F F ，此时也可认为圆为椭圆在1=e 时的特例．（识记方法）以下4-7点要求不高，或者不要求.4.椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率5．椭圆的准线方程对于12222=+by a x ，左准线c a x l 21:-=；右准线c a x l 22:=对于12222=+bx a y ，下准线c a y l 21:-=；上准线c a y l 22:=6.椭圆的焦半径公式：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>焦半径公式:21()a PF e x a ex c =+=+，22()a PF e x a exc =-=-其中e 是离心率其中21,F F 分别是椭圆左右焦点．焦点在y 轴上的椭圆的焦半径公式：其中e 是离心率其中21,F F 分别是椭圆的下上焦点．焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关可以记为：左加右减，上减下加7椭圆的参数方程)(sin cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x以下为椭圆重要结论：（要求记忆1、2、3条，了解4、5）1.准线到中心的距离为2a c，焦点到对应准线的距离(焦准距)c b c c a c c a p 2222=-=-= 过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为：22b a.2.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>两焦半径与焦距构成三角形的面积:1221||tan2F PF P F PFS c y b ∆∠==． 3椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点.例：今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的两个焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，当静放在点A 的小球(小球的半径不计)，从点A 沿直线l 击出，经椭圆壁反弹后再回到A ，若l 与椭圆长轴的夹角为锐角，则小球经过的路程是(???D) A.4b?????????????B.2(a-c)?????????????C.2(a+c)????????????D.4a4.椭圆的的内外部:（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+<.（2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y a b⇔+>.5.椭圆的切线方程:(1)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b +=.（2）过椭圆22221x y a b +=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b +=.（3）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c +=.8．双曲线的定义：平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数（小于21F F ）的动点的轨迹叫双曲线即a MF MF 221=-这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（→两条平行线）两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（→两条射线）双曲线的形状与两定点间距离、定差有关9．双曲线的标准方程及特点：（1）双曲线的标准方程有焦点在x 轴上和焦点y 轴上两种：焦点在x 轴上时双曲线的标准方程为：12222=-b y a x (0>a ,0>b )；焦点在y 轴上时双曲线的标准方程为：12222=-bx a y (0>a ,0>b )(2)c b a ,,有关系式222b a c +=成立，且0,0,0>>>c b a其中a 与b 的大小关系:可以为b a b a b a ><=,,10．焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母2x 、2y 项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即2x 项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；2y 项的系数是正的，那么焦点在y 轴上11．双曲线的几何性质： （1）范围、对称性由标准方程12222=-by a x ，从横的方向来看，直线x=-a ，x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心. （2）顶点顶点：()0,),0,(21a A a A -，特殊点：()b B b B -,0),,0(21实轴：21A A 长为a 2,a 叫做半实轴长虚轴：21B B 长为b 2，b 叫做虚半轴长双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异（3）渐近线过双曲线12222=-b y a x 的渐近线x a b y ±=（0=±bya x ）（4）离心率双曲线的焦距与实轴长的比aca c e ==22，叫做双曲线的离心率范围：1>e 双曲线形状与e 的关系：1122222-=-=-==e ac a a c a b k ，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔12．等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±=；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率2=e13．共渐近线的双曲线系如果双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222b y a x以下14-17点要求不高，或者不要求. 14．双曲线的第二定义：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数)0(>>=a c ace 的点的轨迹是双曲线其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线常数e 是双曲线的离心率．15．双曲线的准线方程：对于12222=-b y a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 21:-=，相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线ca x l 22:=；对于12222=-b x a y 来说，相对于上焦点),0(1c F -对应着上准线c a y l 21:-=；相对于下焦点),0(2c F 对应着下准线ca y l 22:=16.双曲线的焦半径（了解）定义：双曲线上任意一点M 与双曲线焦点21,F F 的连线段，叫做双曲线的焦半径焦点在x 轴上的双曲线的焦半径公式：⎩⎨⎧-=+=∴0201ex a MF ex a MF （21,F F 分别是左、右焦点）焦点在y 轴上的双曲线的焦半径公式：⎩⎨⎧-=+=∴0201ey a MF ey a MF （21,F F 分别是下、上焦点）17．双曲线的焦点弦：定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦焦点弦公式：当双曲线焦点在x 轴上时，过左焦点与左支交于两点时：)(221x x e a AB +--=过右焦点与右支交于两点时：)(221x x e a AB ++-=当双曲线焦点在y 轴上时，过左焦点与左支交于两点时：)(221y y e a AB +--=过右焦点与右支交于两点时：)(221y y e a AB ++-=18．双曲线的重要结论：(识记（1）-（4）点，了解（5）点)（1）双曲线焦点到对应准线的距离(焦准距)2b p c=．（2）过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为：22b a.（3）两焦半径与焦距构成三角形的面积1221cot 2F PF F PFS b ∆∠=.（4）焦点到渐近线的距离总是b . （5）双曲线的切线方程:(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b -=.(2)过双曲线22221x y a b -=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b -=.（3）双曲线22221x y a b-=与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c -=.19抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线20．抛物线的准线方程：(1))0(22>=p px y ,焦点:)0,2(p ，准线l ：2px -= (2))0(22>=p py x ,焦点:)2,0(p ，准线l ：2p y -=(3))0(22>-=p px y ,焦点:)0,2(p -，准线l ：2p x =(4))0(22>-=p py x ,焦点:)2,0(p -，准线l ：2p y =相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的41，即242pp = 不同点：(1)图形关于X 轴对称时，X 为一次项，Y 为二次项，方程右端为px 2±、左端为2y ；图形关于Y 轴对称时，X 为二次项，Y 为一次项，方程右端为py 2±，左端为2x （2）开口方向在X 轴（或Y 轴）正向时，焦点在X 轴（或Y 轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X 轴（或Y 轴）负向时，焦点在X 轴（或Y 轴）负半轴时，方程右端取负号21．抛物线的几何性质 （1）范围因为p ＞0，由方程()022>=p px y 可知，这条抛物线上的点M 的坐标(x ，y )满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．（2）对称性以－y 代y ，方程()022>=p px y 不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． （3）顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程()022>=p px y 中，当y=0时，x=0，因此抛物线()022>=p px y 的顶点就是坐标原点．（4）离心率抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示．由抛物线的定义可知，e=1．22抛物线的焦半径公式：（画图即可）抛物线)0(22>=p px y ，0022x pp x PF +=+= 抛物线)0(22>-=p px y ，0022x pp x PF -=-= 抛物线)0(22>=p py x ，0022y pp y PF +=+= 抛物线)0(22>-=p py x ，0022y pp y PF -=-= 23．直线与抛物线： （1）位置关系：相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）将b kx y l +=:代入0:22=++++F Ey Dx Cy Ax C ，消去y ，得到 关于x 的二次方程02=++c bx ax （*）若0>∆，相交；0=∆，相切；0<∆，相离综上，得： 联立⎩⎨⎧=+=pxy b kx y 22，得关于x 的方程02=++c bx ax 当0=a （二次项系数为零），唯一一个公共点（交点） 当0≠a ，则若0>∆，两个公共点（交点）0=∆，一个公共点（切点）0<∆，无公共点（相离）（2）相交弦长： 弦长公式：21k ad +∆=， （3）焦点弦公式：抛物线)0(22>=p px y ，)(21x x p AB ++=（识记）抛物线)0(22>-=p px y ，)(21x x p AB +-=抛物线)0(22>=p py x ，)(21y y p AB ++=抛物线)0(22>-=p py x ，)(21y y p AB +-=（4）通径：定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦通径：p d 2=通径是所有焦点弦（经过焦点的弦简称焦点弦）中最短的弦． （5）若已知过焦点的直线倾斜角θ（识记这条结论）则⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y ⎪⎩⎪⎨⎧-==+⇒221212py y k p y y （6）常用结论：⎪⎩⎪⎨⎧=-=pxy p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y 和04)2(22222=++-p k x p p k x k 221.3p y y -=⇒结论和421px x =（7）若OA 、OB 是过抛物线22(0)y px p =>顶点O 的两条互相垂直的弦，则直线AB 恒经过定点(2,0)p （8）过抛物线px y 22=的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，则pFQ PF 211=+． 24．抛物线)0(22>=p px y 的参数方程：⎩⎨⎧==222pt y pt x （t 为参数）25.提示.处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用点差法：设为曲线上不同的两点，是的中点，则可得到弦中点与两点间关系：?????推导：。
高中数学选修2-1圆锥曲线的统一定义(复习讲义)
圆锥曲线的统一定义(复习讲义)一.基础知识1. 椭圆的第一定义：____________________________________________椭圆的第二定义：______________________________________________2 .双曲线的第一定义：___________________________________________双曲线的第二定义：____________________________________________3. 抛物线的定义：________________________________________________4. 圆锥曲线的定义：平面内到一个定点的距离与到一条定直线的距离的比等于常数e(e>0)的点的轨迹叫做圆锥曲线当e>1时为双曲线；当0<e<1时为椭圆；当e=1时为抛物线二、经典回顾1、若动圆过定点A (-3,0)，且和定圆4)3(22=+-y x 外切，动圆圆心P 的轨迹方程为 ；2、若点P 到点F (4,0)的距离比它到定直线x +5=0 的距离小1，则点P 的轨迹方程是 .3.已知椭圆 12422=+y x 中F 1，F 2 分别为其 左、右焦点，点A （1，1/2），试在椭圆上找一点 P 使 （1）2PF PA + 取得最小值;（2）12PF PA + 取得最小值.4、 已知双曲线1422=-y x F 1，F 2为左、右焦点，点A(3,-1)，在双曲线上 求一点P ，使（1）2PF PA + 取得最小值;（2）1525PF PA + 取得最小值.5、若点A 的坐标为（3，2），F 为抛物线y 2=2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，求|MA |+|MF |的最小值，并求这时M 的坐标.6、已知双曲线12222=-by a x 过左焦点F 1 作一弦与左支相交于A,B 两点，若|AB |=m ,求ΔF 2 AB 的周长 .三、规律总结1、在求轨迹方程时先利用定义判断曲线形状可避免繁琐的计算.2、涉及椭圆双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题，常用第一定义结合正、余弦定理来解决.3、涉及焦点、准线、离心率、圆锥曲线上的点中的三者，常用统一定义解决问题.四.圆锥曲线统一定义的应用1、利用定义求轨迹方程例1、求与直线x=1和圆都相切的动圆圆心P 的轨迹方程.2、利用定义求解最（定）值问题例2、设椭圆 的焦点为F 1和F 2 , P 是椭圆上任一点， 若∠F 1PF 2 的最大值为 ,求椭圆的离心率()42:22=+-y x C ()0,012222>>=+b a b y a x 32π。
高二数学人教B版选修2-1课件：2.5 直线与圆锥曲线
A. 15
B.2 15
C.
15 2
D.15
解析:令直线与抛物线交于点 A(x1,y1),B(x2,y2),
由
������ = ������2
=2������1+2x1, ,得
4x2-8x+1=0,
∴x1+x2=2,x1x2=14,
∴|AB|= (1 + 22)(������1-������2)2
1234 5
由 OP⊥OQ,得 x1x2+y1y2=0, 即 2x1x2+(x1+x2)+1=0,
∴2(������-1)
������+������
−
������2+������������+1=0,∴m+n=2.①
探究一
探究二
探究三
探究四
又|PQ|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2
=2[(x1+x2)2-4x1x2]=8(���(���������++���������-������)2���������) =
10 2
2
,
将 m+n=2 代入得 mn=34.②
由①②式,得
������ ������
= =
1
2 3
2
,
或
������
=
3 2
,
������
=
1 2
.
故椭圆方程为������2
2
+
32y2=1
或32x2+���2���2=1.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究三中点弦问题
人教版高中选修(B版)4-12.2.4圆锥曲线的统一定义教学设计
人教版高中选修(B版) 4-12.2.4 圆锥曲线的统一定义教学设计教学目标1.理解圆锥曲线的统一定义方法。
2.能够根据圆锥曲线的不同参数绘制出不同类型的图形。
3.掌握圆锥曲线的一些基本概念，如焦距、离心率等。
4.熟练掌握圆锥曲线的基本公式和性质。
教学重点1.圆锥曲线的统一定义方法。
2.圆锥曲线的基本公式和性质。
教学难点1.理解和掌握圆锥曲线的统一定义方法。
2.对圆锥曲线的不同参数，如焦距，离心率等的理解和运用。
教学方法1.授课法2.演示法教学准备1.课件2.准备好黑板、多彩粉笔、直尺、圆规等教学工具1. 导入新课1.引入圆锥曲线。
2.过渡到圆锥曲线的统一定义。
2. 讲解圆锥曲线的统一定义1.通过展示圆锥切割图来说明圆锥曲线的本质。
2.介绍圆锥曲线的统一定义方法。
3.给出圆锥曲线的基本形式：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0。
解释各参数的含义。
3. 讲解圆、椭圆、双曲线、抛物线的统一定义方法1.给出不同参数下的统一定义公式。
2.利用统一定义方法，绘制出不同类型的图形，如圆、椭圆、双曲线、抛物线。
4. 讲解圆锥曲线的性质及运用1.圆锥曲线的焦点和焦距的概念及运用。
2.圆锥曲线的离心率及相关公式的推导。
3.圆锥曲线的常见性质及相关公式的推导。
5. 课堂小结1.确认本节课的教学内容。
2.总结圆锥曲线的统一定义方法，以及圆、椭圆、双曲线、抛物线的统一定义公式和性质。
通过课堂教学，学生们对圆锥曲线有了更深入的理解，能够根据不同的参数绘制出不同类型的图形，同时也能够掌握圆锥曲线的基本公式和性质。
但是，在课堂中存在一些小问题，如学生对部分概念的理解不够深入，需要加强课后的练习和巩固。
另外，需要更加注重学生的思维能力和创造性思维的培养，增强学生实际应用能力。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-1 2.5 直线与圆锥曲线》
直线与圆锥曲线
一位置关系
【教学目标】
知识与技能：掌握直线与圆锥曲线的位置关系，能利用对方程组解的的讨论来研究直线与圆锥曲线的位置关系并学会用几何法加以分析。
过程与方法：在探究过程中,运用数形结合和方程的思想,以运动的观点观察问题，思考问题，
分析问题,进一步提高学生解决问题的能力
情感态度价值观：学会正确运用数形结合、等价转化、分类讨论等数学思想方法，并且让学生在解决综合性问题的过程中培养计算的严谨性和辩证的看待问题的数学素养。
【学科素养】让学生体会站在代数、几何的不同角度辩证的看待问题的思想,加强对数学抽象能力及数学运算能力等核心素养的培养
【教学重点】
重点：用代数和几何方法来研究直线与圆锥曲线的公共点问题
难点：对直线与圆锥曲线仅有一个公共点时位置关系的应用探究。
【教学手段】多媒体一体机、
C
1
2
4
2
2
=
+
y
x l m
x
y+
=2m l C
2
8l1
2
4
2
2
=
+
y
x
1
22=-y x 02=++c bx ax ∆及判别式a 02=++c bx ax C 12
422
=+y x l m x y +=2=0时，直线与该
椭圆相交，交点M,N, C NP 的面积最大值。
【设计意图】通过动画的演示让学生理解这类求面积最值得问题也是与直线位置关系相关的让学生对本节课理解更加透彻。
【课后作业】A70页3,4 B 71页
【板书设计】
直线与圆锥曲线
一位置关系。
高中数学新人教B版选修2-1课件：第二章圆锥曲线与方程2.5直线与圆锥曲线
= 2-1,
2
2
-
2
=1
典例透析
题型一
题型二
题型三
正解:设 P(x1,y1),Q(x2,y2),代入双曲线方程得,
2
12 - 1 = 1,
2
2
22 - 2 = 1.
2
①
②
1
2
①-②得,(x1+x2)(x1-x2)= (1 + 2)(1 − 2).
的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点, ⊥l,垂足为 K,则
△AKF 的面积是(
)
A.4
B.3 3
C.4 3
D. 8
解析:由抛物线的定义知|AF|=|AK|,
又∠KAF=60°,所以△AFK 是正三角形.
2 = 4,
联立方程组
= 3(-1),
消去 y 得 3x2-10x+3=0,
2
1
4
所以直线 AB 的斜率 kAB= = − .
(0 -)2 (0 -)
+
= 1,
4
3
又
2
2
(
+
)
(0 + )
+ 0
= 1,②
4
3
①
典例透析
题型一
题型二
①-②得,
=
题型三
30
−
, 即y0=3x0.
40
0 = -,
而点 C'在直线 y=4x+m 上,则
0 = -3.
2 = 1, 即
2 − 1 = 0,
2018学年高中数学选修2-1课件：2.5 圆锥曲线的统一定义 精品
[再练一题] 4．过双曲线1x62 －y92＝1 的右焦点 F，且倾斜角为 45°的直线与双曲线交于 A， B 两点，求线段 AB 的长． 【解】 易知 F(5,0)，则直线的方程 y＝x－5.
y＝x－5， 由1x62 －y92＝1， 得 7x2－160x＋544＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝1760.
解决此类题目有两种方法： 1是直接列方程，代入后化简整理即得方程. 2是根据定义判断轨迹是什么曲线，然后确定其几何性质， 从而得出方程.
[再练一题]
2．方程 1＋x2＋y2＝|x＋y－1|对应点 P(x，y)的轨迹为________.
【解析】 由 1＋x2＋y2＝|x＋y－1|，
【导学号：09390051】
由圆锥曲线的统一定义，知 AF＝e·d＝ex1－ac2＝acx1－a，同理 BF＝acx2－a， ∴AB＝AF＋BF＝acx1＋x2－2a＝54×1670－8＝1474. 即 AB 的长为1474.
∴x20＋y0＋p22＝17， ∴x20＝8，代入方程 x20＝2py0 得，
8＝2p3－p2，解得 p＝2 或 p＝4. ∴所求抛物线的标准方程为 x2＝4y 或 x2＝8y.
用圆锥曲线的统一定义求轨迹
已知动点 P(x，y)到点 A(0,3)与到定直线 y＝9 的距离之比为 33，求
动点 P 的轨迹． 【精彩点拨】 此题解法有两种：一是定义法，二是直译法． 【自主解答】 法一：由圆锥曲线的统一定义知，P 点的轨迹是椭圆，c＝3，
则椭圆的方程为x52＋y2＝1. 【答案】 x52＋y2＝1
4．双曲线ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的离心率为 2，右准线为 x＝12，则右焦点 的坐标为________．
人教版高中数学选修2-1《圆锥曲线起始课》教学设计(特级教师一等奖)
人教版高中数学选修2-1《圆锥曲线起始课》教学设计(特级教师一等奖)“圆锥曲线起始课”教学设计一．【教学内容解析】1．圆锥曲线是平面解析几何的重要组成部分，也可以说是核心内容．它是继研究了以直线和圆为代表的简单图形之后，用平面几何的方法无法研究的较为复杂的图形．圆锥曲线能充分体现解析几何研究方法．2．圆锥曲线是体现数形结合思想的重要载体．圆锥曲线的研究不是采用逻辑推理的形式，而是运用代数的方法．即以代数为工具解决几何问题，用代数的语言来描述几何图形，把几何问题转化为代数问题，实施代数运算，求解代数问题，再将代数解转化为几何结论，这一过程体现了从形到数的数形结合的思想．3．圆锥曲线是二次曲线非常重要的数学模型，同时它的几何性质在日常生活，社会生产以及其他科学中都有着重要而广泛的应用，宇宙天地的运动，光学仪器，建筑学等等．因此圆锥曲线的研究对学生进一步理解数学模型的意义，树立观念都非常有价值．本节课的内容是选自XXX《高中数学选修2-1》第三章知识的引言部分，属于策略性和介绍性为主的起始课．二．【教学目标设置】1．知识与技能目标本节课的主线为圆锥曲线的发展史，从中参插各种情景．通过用平面对圆锥面的不同的截法，产生三种不同的圆锥曲线，经历概念的形成过程，从整体上认识三种圆锥曲线的内在关系，通过具体情境，从中抽象出椭圆、双曲线、抛物线模型的过程，理解它们的定义（主要是椭圆）．2．过程与方法目标初步了圆锥曲线研究的内容；通过动手试验、互相讨论等环节，使学生形成自主研究以及相互协作的团队精神；通过对具体情形的分析，归纳得出一般规律，让学生具备初步归纳能力；借助实物模型，通过整体观察、直观感知，使学生形成积极主动、勇于探索的研究方式，完善思维结构，体会解析几何的研究方法．3．情感、态度与价值观目标通过以圆锥曲线的发展史为主线，设立多种情景引入方式，让学生激发研究圆锥曲线的兴趣，能够自主研究、自我探索，形成注重实践、热爱科学、勇于创新的情感、态度与价值观．4．重难点重点：圆锥曲线的发展史及定义，椭圆的定义．难点：用Dandelin双球发现椭圆的定义，通过椭圆的定义类比双曲线定义．三．【学生学情阐发】1．这节课的授课工具是高中二年级的学生，他们有较好的研究惯，有一定的口头和书面表达的能力．在知识层面上，高一阶段已研究了立体几何空间旋转体中的圆锥，学生具有一定的空间想象能力，学生还研究相识析几何中的直线和圆，具有一定的用解析方法处理题目的能力．在方法的层面，学生在高1、高二年级的研究中基本把握了数形结合的脑筋与类比与转化脑筋．2．学生在研究过程中,也可能会遇到诸多艰巨：从空间的圆锥截出平面图形的转化题目，特别是通过Dandelin双球发觉椭圆的定义；还有理解椭圆，双曲线定义时点的轨迹及静态题目．四．【讲授策略阐发】1．整个课堂的主线是圆锥曲线的发展史，使学生产生兴趣，并以润物细无声的方法安排各种情景，让学生很自然进入研究圆锥曲线的研究，为后面采用解析的方法研究埋下了伏笔．2．由于是起始课，因此多采取直观的演示幻灯片、动画、实验和使用实物模型，直观感知、操1作确认，避免过分抽象.思争吵证、度量计算等手腕在后续课程中再接纳．3．在处理椭圆定义的环节，创造条件让学生亲自动手画出椭圆，并安排了一系列情节引导学生在操作过程中注意细节，鼓励学生通过动手实验、独立思考、相互讨论等手段得出结论，鼓励学生表达自己的见解．4．从多种具体情形出发，引导学生归纳出一般规律，培养学生的归纳总结能力．采用模型和软件，使学生的想法能够即时得到实现，所想即所见，快速形成正确认知，提高教学实效性．五．【教学过程】环节1．课题引入教学过程和师生活动通过生活中的一系列图片让学生在认知的曲线．意图，理念与备注1．从实践生活出发，直观感知各种圆锥曲线的存在，使学生在脑筋中产生各类曲线的开端印象，为下一步的数学抽象做准备．2．特别是“愤怒的小鸟”这个抛物线段片让学生马上产生兴趣，积极参与发现与探索，加深直观印象．师生活动：让学生踊跃讲话．2．复和准备1.温圆锥的形成2.由圆锥的形成过程引入圆锥面注：这里还要提出圆锥的轴截面是等腰三角形,并引入顶角的一半,为后面轴截面和旋转轴所成的角的大小截出分歧的曲线留下知识.师生活动：教师引导学生回忆知识，尽量让学生口述其过程。
人教版高中选修(B版)4-12.2.4圆锥曲线的统一定义课程设计
人教版高中选修(B版)4-12.2.4圆锥曲线的统一定义课程设计一、课程目标本次课程的主要目标是让学生了解圆锥曲线的基本概念，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线的数学定义及其图像特征，并掌握它们在代数方程和几何方程中的表示方法。
二、教学过程1. 引入在介绍圆锥曲线之前，先让学生回忆一下二次函数的基本知识，包括二次函数图像的基本特征、二次函数的代数方程和几何方程等。
2. 圆的统一定义引入圆的统一定义，即平面内到定点距离等于定值的点的集合为圆。
让学生通过画图来理解和掌握圆的性质，包括圆的半径、直径、弧度、圆心角等。
3. 椭圆的统一定义介绍椭圆的统一定义，即平面内到两个定点的距离之和等于定值的点的集合为椭圆。
让学生通过画图来理解和掌握椭圆的性质，包括椭圆的焦距、长轴、短轴、离心率等。
4. 双曲线的统一定义引入双曲线的统一定义，即平面内到两个定点的距离之差等于定值的点的集合为双曲线。
让学生通过画图来理解和掌握双曲线的性质，包括双曲线的焦距、渐近线、离心率等。
5. 抛物线的统一定义介绍抛物线的统一定义，即平面内到定点的距离等于定直线的距离的点的集合为抛物线。
让学生通过画图来理解和掌握抛物线的性质，包括抛物线的离心率、对称轴、焦点、准线等。
6. 圆锥曲线的数学表示方法通过以上几个部分的学习，让学生对圆锥曲线的基本特征有了一定的了解和掌握。
接下来，我们要学习如何将圆锥曲线用代数方程或几何方程进行表示。
7. 代数方程的表示方法介绍圆、椭圆、双曲线和抛物线在代数方程中的表示方法，包括二次方程和一次方程的形式。
8. 几何方程的表示方法介绍圆、椭圆、双曲线和抛物线在几何方程中的表示方法，包括参数方程、极坐标方程和直角坐标方程等。
9. 综合练习通过对之前所学内容的综合练习，测验学生掌握情况，并巩固知识点。
三、课后作业1.查找资料了解圆锥曲线在工程和技术方面的应用。
2.制作一个关于圆锥曲线的海报，用来介绍圆锥曲线的基本概念和图像特征。