《勾股定理》PPT课件五
合集下载
勾股定理数学优秀ppt课件
实际应用
在建筑、工程等领域，经常需要利用勾股定理求解直角三角形的边长问题，如计算梯子抵墙 时的长度等。
判断三角形类型问题
判断是否为直角三角形
01
若三角形三边满足勾股定理公式，则该三角形为直角三角形。
判断直角三角形的直角边和斜边
02
在直角三角形中，斜边是最长的一边，通过勾股定理可以判断
哪条边是斜边，哪条边是直角边。
06
总结回顾与展望未来
关键知识点总结回顾
勾股定理的定义和表达式
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²。
勾股定理的证明方法
通过多种几何图形（如正方形、梯形等）的面积关系来证明勾股定 理。
勾股定理的应用场景
在几何、三角学、物理学等领域中广泛应用，如求解三角形边长、 角度、面积等问题。
勾股定理与其他数学定理关系探讨
与三角函数关系
勾股定理是三角函数的基础，通 过勾股定理可以推导出正弦、余 弦、正切等三角函数的基本关系。
与向量关系
在向量空间中，勾股定理可以表示 为两个向量的点积等于它们模长的 平方和，这进一步揭示了勾股定理 与向量的紧密联系。
与几何图形关系
勾股定理在几何图形中有着广泛的 应用，如求解直角三角形、矩形、 菱形等图形的边长、面积等问题。
勾股定理是数学中的基本定理之一， 也是几何学中的基础概念，对于理 解三角形、圆等几何形状的性质具 有重要意义。
历史发展及应用
历史发展
勾股定理最早可以追溯到古埃及时期，但最为著名的证明是由 古希腊数学家毕达哥拉斯学派给出的。在中国，商高在周朝时 期就提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。
应用
勾股定理在几何、三角、代数、物理等多个领域都有广泛应用， 如求解三角形边长、角度、面积等问题，以及力学、光学等领 域的计算。
在建筑、工程等领域，经常需要利用勾股定理求解直角三角形的边长问题，如计算梯子抵墙 时的长度等。
判断三角形类型问题
判断是否为直角三角形
01
若三角形三边满足勾股定理公式，则该三角形为直角三角形。
判断直角三角形的直角边和斜边
02
在直角三角形中，斜边是最长的一边，通过勾股定理可以判断
哪条边是斜边，哪条边是直角边。
06
总结回顾与展望未来
关键知识点总结回顾
勾股定理的定义和表达式
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²。
勾股定理的证明方法
通过多种几何图形（如正方形、梯形等）的面积关系来证明勾股定 理。
勾股定理的应用场景
在几何、三角学、物理学等领域中广泛应用，如求解三角形边长、 角度、面积等问题。
勾股定理与其他数学定理关系探讨
与三角函数关系
勾股定理是三角函数的基础，通 过勾股定理可以推导出正弦、余 弦、正切等三角函数的基本关系。
与向量关系
在向量空间中，勾股定理可以表示 为两个向量的点积等于它们模长的 平方和，这进一步揭示了勾股定理 与向量的紧密联系。
与几何图形关系
勾股定理在几何图形中有着广泛的 应用，如求解直角三角形、矩形、 菱形等图形的边长、面积等问题。
勾股定理是数学中的基本定理之一， 也是几何学中的基础概念，对于理 解三角形、圆等几何形状的性质具 有重要意义。
历史发展及应用
历史发展
勾股定理最早可以追溯到古埃及时期，但最为著名的证明是由 古希腊数学家毕达哥拉斯学派给出的。在中国，商高在周朝时 期就提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。
应用
勾股定理在几何、三角、代数、物理等多个领域都有广泛应用， 如求解三角形边长、角度、面积等问题，以及力学、光学等领 域的计算。
勾股定理公开课PPT课件
国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。
在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，
有的因为证明者身份的特殊而非常著名。
现在在网络上看到较多的是16种,包括前面的6种,还有:
欧几里得证明、
利用相似三角形性质证明、
杨作玫证明、
李锐证明、
利用切割线定理证明、
利用多列米定理证明、
作直角三角形的内切圆证明、利用反证法证明、
编辑版pppt
C Aa c
b B
SA+SB=SC探
SA=a2 索
SB=b2 勾
SC=c2 股
a2+b2=c2
定 理
猜想
7
编辑版pppt
如果直角三角形的两条直角边
长分别为a,b，斜边长为c，那么 探
c2=a2+b2.
索
勾
勾a
c弦 股 定
b股
理
试一试?
8
编辑版pppt
请利用此图象，证明勾股定理 ：
a2+b2=c2
角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”。商高那段
话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4 （长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事
实说成“勾三股四弦五”。由于勾股定理的内容最早见于商高的
话中，所以人们就把这个定理叫作"商高定理"。 毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊数学家，他是公元前五
编辑版pppt
13
勾股定理，想得再多一点
如图，受台风莫拉克影响，一棵树在离地面4 米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵 树折断前有多高？
4米
3米
编辑版pppt
苏教版八年级数学上册《勾股定理》课件(共16张PPT)
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
3.1 勾股定理
例2 [教材练习第2题变式题] 如图3－1－2，64、400分
别为所在正方形的面积，则图中字母A所代表的正方形面
积是33_6_______．
图3－1－2
3.1 勾股定理
[解析] 由图可以知道，分别以这三个正方形一边为三角形的 边，围成的三角形恰好是直角三角形，因此它们的三边满足 勾股定理，也就是说以直角边为边的两个正方形的面积和等
c2＝a2＋b2，a2＝c2－b2，b2＝c2－a2.
[注意] 只有在直角三角形中才能运用勾股定理，钝角和锐角 三角形中均不适用．
3.1 勾股定理
重难互动探究
探究问题一 利用勾股定理求单个正方形的面积或直角三 角形的边长
例1 [教材练习第1题变式题] 在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.
于以斜边为边的正方形的面积，则图中字母A所代表的正方形
面积为400－64＝336. [归纳总结] 勾股定理不仅揭示了直角三角形三边之间的数量 关系，而且揭示了以直角三角形的两直角边为边的两个正方 形的面积和与以斜边为边的正方形面积之间的关系．
3.1 勾股定理
探究问题二 综合利用勾股定理求多个直角三角形的相关边长 例3 [勾股定理运用拓展题] 一个零件的形状如图3－1－3
(1)若c＝15，b＝12，求a； (2)若a＝11，b＝60，求c； (3)若a∶b＝3∶4，c＝10，求a，b.
3.1 勾股定理
解：(1)因为 a2＋b2＝c2， 所以 a2＝c2－b2＝152－122＝81， 所以 a＝9. (2)因为 a2＋b2＝c2， 所以 c2＝112＋602＝3721， 所以 c＝61. (3)因为 a∶b＝3∶4， 所以设 a＝3x，b＝4x.
You made my day!
我们，还在路上……
3.1 勾股定理
例2 [教材练习第2题变式题] 如图3－1－2，64、400分
别为所在正方形的面积，则图中字母A所代表的正方形面
积是33_6_______．
图3－1－2
3.1 勾股定理
[解析] 由图可以知道，分别以这三个正方形一边为三角形的 边，围成的三角形恰好是直角三角形，因此它们的三边满足 勾股定理，也就是说以直角边为边的两个正方形的面积和等
c2＝a2＋b2，a2＝c2－b2，b2＝c2－a2.
[注意] 只有在直角三角形中才能运用勾股定理，钝角和锐角 三角形中均不适用．
3.1 勾股定理
重难互动探究
探究问题一 利用勾股定理求单个正方形的面积或直角三 角形的边长
例1 [教材练习第1题变式题] 在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.
于以斜边为边的正方形的面积，则图中字母A所代表的正方形
面积为400－64＝336. [归纳总结] 勾股定理不仅揭示了直角三角形三边之间的数量 关系，而且揭示了以直角三角形的两直角边为边的两个正方 形的面积和与以斜边为边的正方形面积之间的关系．
3.1 勾股定理
探究问题二 综合利用勾股定理求多个直角三角形的相关边长 例3 [勾股定理运用拓展题] 一个零件的形状如图3－1－3
(1)若c＝15，b＝12，求a； (2)若a＝11，b＝60，求c； (3)若a∶b＝3∶4，c＝10，求a，b.
3.1 勾股定理
解：(1)因为 a2＋b2＝c2， 所以 a2＝c2－b2＝152－122＝81， 所以 a＝9. (2)因为 a2＋b2＝c2， 所以 c2＝112＋602＝3721， 所以 c＝61. (3)因为 a∶b＝3∶4， 所以设 a＝3x，b＝4x.
《勾股定理的逆定理》数学教学PPT课件(5篇)
求证:△ ABC是直角三角形
证明:画一个△A′B′C′,
使∠
C′=900,
B′C′= a,
A'
A
B
b
b
a
C
B'
a
C'
在△ ABC和△ A′B′C′中
BC = a = B′C′,
CA = b = C′A′，
AB = c = A ′B′
C′A′=b
∵ ∠ C′=900
∴ A′B′ 2= a2+b2
∵ a2+b2=c2
c
b
C
作用：已知三角形的三边长，判断
这个三角形是否为直角三角形。
a
B
，
自主学习
例1：注意归纳例题的解题步骤和解题技巧！
已知三角形三条边的长度分别是：（1）1，
,
（2）2，3，4；
（3）3n，4n，5n（n > 0）， 它们是否分别构成直角三角形？
解
（1）在 1， ，,
中，
）2 ，所以，边长为1，
（
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD
B
1
= -AB×AD+
2
1
= -×3×4+
2
1
-BD×CD
2
1
-×5×12
2
= 36
所以四边形ABCD的面积
为36.
C
知识升华
满足
a b的三个正整数，
c
2
称为勾股数组.
2
2
自主检测
1、满足________
勾股数组。
的三个____
__
正整数
如:
证明:画一个△A′B′C′,
使∠
C′=900,
B′C′= a,
A'
A
B
b
b
a
C
B'
a
C'
在△ ABC和△ A′B′C′中
BC = a = B′C′,
CA = b = C′A′，
AB = c = A ′B′
C′A′=b
∵ ∠ C′=900
∴ A′B′ 2= a2+b2
∵ a2+b2=c2
c
b
C
作用：已知三角形的三边长，判断
这个三角形是否为直角三角形。
a
B
，
自主学习
例1：注意归纳例题的解题步骤和解题技巧！
已知三角形三条边的长度分别是：（1）1，
,
（2）2，3，4；
（3）3n，4n，5n（n > 0）， 它们是否分别构成直角三角形？
解
（1）在 1， ，,
中，
）2 ，所以，边长为1，
（
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD
B
1
= -AB×AD+
2
1
= -×3×4+
2
1
-BD×CD
2
1
-×5×12
2
= 36
所以四边形ABCD的面积
为36.
C
知识升华
满足
a b的三个正整数，
c
2
称为勾股数组.
2
2
自主检测
1、满足________
勾股数组。
的三个____
__
正整数
如:
《勾股定理》课件精品 (公开课)2022年数学PPT
C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2
D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2
2.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面
积为 36 cm².
8 cm
10 cm
3.在△ABC中，∠C=90°.
（1）若a=15，b=8，则c= 17 .
（2）若c=13，b=12，则a= 5
据说我国著名的数学家华罗庚曾建议“发射”一种勾股 定理的图形(如图).
很多学者认为如果宇宙“人”也拥有文明的话，那么他 们一定会认识这种语言，因为几乎所有具有古代文化 的民族和国家都对勾股定理有所了解.
勾股定理有着悠久的历史：古巴比伦人和古代中国人 看出了这个关系，古希腊的毕达哥拉斯学派首先证明 了这关系，下面让我们一起来通过视频来了解吧：
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第1课时 勾股定理
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一 些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体 会数形结合的思想.（重点）
2.会用勾股定理进行简单的计算 .（难点）
导入新课
情景引入 其他星球上是否存在着“人”呢？为了探寻这一点，世 界上许多科学家向宇宙发出了许多信号，如地球上人 类的语言、音乐、各种图形等.
0的相反数是___0__. 一个正数的相反数是一个 负数 。 一个负数的相反数是一个 正数 。 一个数的相反数是它本身的数是 __0____．
探究二 相反数的几何意义
思考：在数轴上，画出几组表示相反数的点，并观 察这两个点具有怎样的特征？
-5
-a -1 0 1 a 5
勾股定理ppt课件
B 图2-1
C A
B
正方形B的面积是 9 个单位面积。 正方形C的面积是
图2-2
18 个单位面积。
（图中每个小方格代表一个单位面积） 你是怎样得到上面的结
果的？与同伴交流交流。
C A
S正方形c
B C
图2-1
A
413318 2
B
（单位面积）
图2-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
分“割”成若干个直 角边为整数的三角形
(1)若a=3, b=4,求c的长(2)若a=5, c =12,求b的长
(3)若a:b=3:4,c=15,求a,b的长
练习 (1)在直角△ABC中，∠A=90° a=5，b=4，则求c的值？
(2) 在直角△ABC中，∠B=90°， ①a=3， b=4，则求c的值？ ②c =24，b=25，则求a的值？
x622232 42
2.求下列直角三角形中未知边的长:
比
5
一
比8
17
看
x
16
x 12
看
x
谁
20
算
得
快 方法小结: 可用勾股定理建立方程.
！
１、如图,一个高3 米,宽4 米的大门,需在相
对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长
为
( C)
A.3 米 B.4 米 C.5米 D.6米
３ ４
２、湖的两端有A、Ｂ两点，从与ＢA方向成直
≈4.96（米）
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
81 144
144 169
z
625 576
①
②
③
做一做：
A
625
P
《勾股定理》数学教学PPT课件(10篇)
= (DE+CE)·( DE- BE)
=BD·
CD.
D
B
E
C
课堂小
结
利用勾股定理解
决实际问题
勾股定理
的应用
构造直角三角形
解决实际问题
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第3课时
利用勾股定理作图和计算
知识要点
1.勾股定理与数轴、坐标系
2.勾股定理与网格
3.勾股定理与几何图形
新知导入
想一想：
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你
能在数轴上画出表示 13 的点吗？
如果能画出长为 13 的线段，就能在数轴上画出表示 13 的
2
点.容易知道，长为
的线段是两条直角边的长都为1的直角三
角形的斜边.
长为 13 的线段能是直角边的长为正整数的直角三角形的
斜边吗？
新知导入
想一想：
利用勾股定理，可以发现，直角边的长为正整数2, 3
知识
的直角三角形的斜边长为
AC2+BC2=AB2
由上面的例子，我们猜想：
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边
长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方.
a
c
b
课程讲授
1
勾股定理
下面让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.
c
证明：∵S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b-a)2,
b
a
b-a
例 如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”，只用没有刻
度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为
8
_____条．
=BD·
CD.
D
B
E
C
课堂小
结
利用勾股定理解
决实际问题
勾股定理
的应用
构造直角三角形
解决实际问题
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第3课时
利用勾股定理作图和计算
知识要点
1.勾股定理与数轴、坐标系
2.勾股定理与网格
3.勾股定理与几何图形
新知导入
想一想：
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你
能在数轴上画出表示 13 的点吗？
如果能画出长为 13 的线段，就能在数轴上画出表示 13 的
2
点.容易知道，长为
的线段是两条直角边的长都为1的直角三
角形的斜边.
长为 13 的线段能是直角边的长为正整数的直角三角形的
斜边吗？
新知导入
想一想：
利用勾股定理，可以发现，直角边的长为正整数2, 3
知识
的直角三角形的斜边长为
AC2+BC2=AB2
由上面的例子，我们猜想：
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边
长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方.
a
c
b
课程讲授
1
勾股定理
下面让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.
c
证明：∵S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b-a)2,
b
a
b-a
例 如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”，只用没有刻
度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为
8
_____条．
《勾股定理》PPT课件
a2 b2 c2
A
(2) 那么直角三角形三边a、b、c
之间的关系式是__a__2__b__2 __c__2 _。
B
C
aa cc
C bb A
B
图3
直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方．
a
c
b
a2 b2 c2
证法一：
.a、b、c 之间的关系 a2 +b2 =c2
用
拼
图 法
a
证 明
b
ac
则 a2 b2 c2
议一议：判断下列说法是否正确,并说明理由： (1)在△ABC中,若a=3,b=4,则c=5 (2)在Rt△ABC中，如果a=3，b=4,则c=5. (3)在Rt△ABC中，∠C=90° , 如果a=3，b=4,则c=5.
勾 股
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上 半部分称为"勾"，下半部分称为"股"。我国古代 学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较 长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.
S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形
即：c2=4•
1 2
ab+(b-a)2
C2=2ab+a2-2ab+b2
a2 + b2 = c2
证法三：
伽菲尔德证法:
a bc
c a
b
S梯形
1 2
(a
b)(a
b)
SS梯 形
1 2
ab
1 2
ab
1 c2 2
∴ a2 + b2 = c2
定理：经过证明被认为是正确的命题叫做定理.
• 这个图案就是我 国汉代数学家赵 爽在证明勾股定 理时用到的，被 称为“赵爽弦图”
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
正方形C的面积是__1_8__ 个单位面积.
（图中每个小方格代表一个单位面积）
（2）（3）
C A
B C
A B
S正方形c
4 1 3 3 18 2
（单位面积）
把正方形C分割成若干 个直角边为整数的三角 形来求
（图中每个小方格代表一个单位面积）
C A
B C
A B
S正方形c
1 62 2
18
（单位面积）
90cm,与AB垂直的BC长120cm.太阳
能真空管AC有多长?
C
B
【解析】在Rt△ABC中,由勾股定理,得
AC= AB2 B=C 2
9=0215102(0c2m)
答:太阳能真空管AC长150cm.
1、（2010·义乌中考）在直角三角形中，满足条件的三
边长可以是
．(写出一组即可)
【解析】只要是勾股数即可.
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么
a2 b2 c2
c a
直角三角形两直角边的平方和等于
斜边的平方.
b
弦 勾
股
我们用另外一种方法来说明勾股定理是正确的
c
c
c
c
a
a
a
a
b
b
b
b
用两种方法表示大正方形的面积: a
b
(a b)2
b cc
a
4 (1 a b) c2 2
a
答案：3、4、5（满足题意的均可）
2、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头 顶上方3千米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5千米. 这一过程中飞机飞过的距离是多少千米？
【解析】在Rt△ABC中，
C
？
B
BC2 52 32 16 BC 0
BC 4(千米)
3 5
答：飞机飞过的距离是4千米.
9
16
？
怎么求SR的大小？ 有几种方案？
P
Q CR
用“补”的方法 求正方形R的面积？
SR
49
4
1 2
4
3
25
P
Q CR
用“割”的方法
SR
4
1 2
4
3
1
25
探究勾股定理
C A
B C
A B
（1）在图中，正方形A中含 有 9 个小方格，即A的面积 是 9 个单位面积.
正方形B的面积是__9__个 单位面积.
A
3.求斜边长17厘米、一条直角边长15厘米的直角三角形 的面积.
【解析】设另一条直角边长是x厘米.由勾股定理得: 152+ x2 =172而x2=172-152=289–225=64 所以 x=±8（负值舍去） 所以另一直角边长为8厘米 直角三角形的面积是: 1 8 15 60 (平方厘米)
把正方形C可以看成边 长为6的正方形面积的 一半
（图中每个小方格代表一个单位面积）
C A
（2）在图2中，正方形A，B， C中各含有多少个小方格？ 它们的面积各是多少？
B C
图1
A
（3）你能发现图1中三个 正方形A，B，C的面积之间 有什么关系吗？图2呢？
B 图2
SA+SB=SC
（图中每个小方格代表一个单位面积）
勾是6， 62=36, 勾是5，
股是8， 82=64, 股是12，
弦一定是10；
102=100
62+82=102
弦一定是3，
52=25, 122=144, 132=169 52+122=132 等等. 是不是所有的直角三角形都有这个性质呢？世界上许
多数学家，先后用不同方法证明了这个结论. 我国把它称 为勾股定理.
第一章 勾股定理
1
1
1、经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，了解勾股 定理的探究方法及其内在联系. 2、掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些实际问题.
这是1955年希腊为纪念一个数学学派曾经发行的邮票.
P
C
A
Q
R B
如图，小方格的边长为1.
正方形P 正方形Q 正方形R 的面积 的面积 的面积
即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积
做一做 （1）观察图1、图2，并填 写右表：
A的面积 （单位面积）
图1
16
图2
4
C A
B
图1
B的面积 （单位面积）
9 9
C A
B
图2 C的面积 （单位面积）
25
13
（2）右图中正方形 A,B，C的面积之间有 什么关系？
SA+SB=SC
即：两条直角边上的 正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面 积
C A
B
C
A 图1
B
图2
中国古代把直角三角形中较短的直角 边叫做勾,较长的直角边叫做股，斜边叫 做弦.
据《周髀算经》记载，西周战国时期 4 股 （约公元1千多年）有个叫商高的人对周 公说，把一根直尺折成直角，两端连接得 一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那 么弦等于5.
∟
弦5
勾 3
人们还发现，在直角三角形中，
c
b
对比两种表示方法,你得到勾股定理了吗?
c b
a
例题
【例】如图,一根旗杆在离地面9米处折裂,旗杆顶部落在离 旗杆底部12米处.旗杆原来有多高?
9米 12米
【解析】设旗杆顶部到折裂处的距离为x米，根据勾股定
理得
92 122 x2
x=15, 15+9=24 答：旗杆原来高24米.
跟踪训练
A
如图,太阳能热水器的支架AB长为
2
通过本课时的学习，需要我们掌握： 勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即
a2 b2 c2
没有智慧的头脑，就像没有蜡烛的灯笼.
对待生命要认真，对待生活要活泼。 敌近而静者，恃其险也；远而挑战者，欲人之进也。——孙子 教师进行劳动和创造的时间好比一条大河,要靠许多小的溪流来滋养它。教师时常要读书,平时积累的知识越多,上课就越轻松。——苏霍姆林斯 基 业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈 每一片绿叶都有向阳的需要，每一朵花都有盛开的理由，每一个孩子都需要教师的呵护。（刘玉春） 我这一生就只有两样不会，那就是这也不会那也不会！ 一个不注意小事情的人，永远不会成功大事业。——戴尔·卡耐基 没有不会做的事，只有不想做的事。 盆景秀木正因为被人溺爱，才破灭了成为栋梁之材的梦。 多用心去倾听别人怎么说，不要急着表达你自己的看法。 孝弟（tì悌）也者，其为仁之本与。——《论语·学而》 知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
（图中每个小方格代表一个单位面积）
（2）（3）
C A
B C
A B
S正方形c
4 1 3 3 18 2
（单位面积）
把正方形C分割成若干 个直角边为整数的三角 形来求
（图中每个小方格代表一个单位面积）
C A
B C
A B
S正方形c
1 62 2
18
（单位面积）
90cm,与AB垂直的BC长120cm.太阳
能真空管AC有多长?
C
B
【解析】在Rt△ABC中,由勾股定理,得
AC= AB2 B=C 2
9=0215102(0c2m)
答:太阳能真空管AC长150cm.
1、（2010·义乌中考）在直角三角形中，满足条件的三
边长可以是
．(写出一组即可)
【解析】只要是勾股数即可.
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么
a2 b2 c2
c a
直角三角形两直角边的平方和等于
斜边的平方.
b
弦 勾
股
我们用另外一种方法来说明勾股定理是正确的
c
c
c
c
a
a
a
a
b
b
b
b
用两种方法表示大正方形的面积: a
b
(a b)2
b cc
a
4 (1 a b) c2 2
a
答案：3、4、5（满足题意的均可）
2、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头 顶上方3千米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5千米. 这一过程中飞机飞过的距离是多少千米？
【解析】在Rt△ABC中，
C
？
B
BC2 52 32 16 BC 0
BC 4(千米)
3 5
答：飞机飞过的距离是4千米.
9
16
？
怎么求SR的大小？ 有几种方案？
P
Q CR
用“补”的方法 求正方形R的面积？
SR
49
4
1 2
4
3
25
P
Q CR
用“割”的方法
SR
4
1 2
4
3
1
25
探究勾股定理
C A
B C
A B
（1）在图中，正方形A中含 有 9 个小方格，即A的面积 是 9 个单位面积.
正方形B的面积是__9__个 单位面积.
A
3.求斜边长17厘米、一条直角边长15厘米的直角三角形 的面积.
【解析】设另一条直角边长是x厘米.由勾股定理得: 152+ x2 =172而x2=172-152=289–225=64 所以 x=±8（负值舍去） 所以另一直角边长为8厘米 直角三角形的面积是: 1 8 15 60 (平方厘米)
把正方形C可以看成边 长为6的正方形面积的 一半
（图中每个小方格代表一个单位面积）
C A
（2）在图2中，正方形A，B， C中各含有多少个小方格？ 它们的面积各是多少？
B C
图1
A
（3）你能发现图1中三个 正方形A，B，C的面积之间 有什么关系吗？图2呢？
B 图2
SA+SB=SC
（图中每个小方格代表一个单位面积）
勾是6， 62=36, 勾是5，
股是8， 82=64, 股是12，
弦一定是10；
102=100
62+82=102
弦一定是3，
52=25, 122=144, 132=169 52+122=132 等等. 是不是所有的直角三角形都有这个性质呢？世界上许
多数学家，先后用不同方法证明了这个结论. 我国把它称 为勾股定理.
第一章 勾股定理
1
1
1、经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，了解勾股 定理的探究方法及其内在联系. 2、掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些实际问题.
这是1955年希腊为纪念一个数学学派曾经发行的邮票.
P
C
A
Q
R B
如图，小方格的边长为1.
正方形P 正方形Q 正方形R 的面积 的面积 的面积
即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积
做一做 （1）观察图1、图2，并填 写右表：
A的面积 （单位面积）
图1
16
图2
4
C A
B
图1
B的面积 （单位面积）
9 9
C A
B
图2 C的面积 （单位面积）
25
13
（2）右图中正方形 A,B，C的面积之间有 什么关系？
SA+SB=SC
即：两条直角边上的 正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面 积
C A
B
C
A 图1
B
图2
中国古代把直角三角形中较短的直角 边叫做勾,较长的直角边叫做股，斜边叫 做弦.
据《周髀算经》记载，西周战国时期 4 股 （约公元1千多年）有个叫商高的人对周 公说，把一根直尺折成直角，两端连接得 一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那 么弦等于5.
∟
弦5
勾 3
人们还发现，在直角三角形中，
c
b
对比两种表示方法,你得到勾股定理了吗?
c b
a
例题
【例】如图,一根旗杆在离地面9米处折裂,旗杆顶部落在离 旗杆底部12米处.旗杆原来有多高?
9米 12米
【解析】设旗杆顶部到折裂处的距离为x米，根据勾股定
理得
92 122 x2
x=15, 15+9=24 答：旗杆原来高24米.
跟踪训练
A
如图,太阳能热水器的支架AB长为
2
通过本课时的学习，需要我们掌握： 勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即
a2 b2 c2
没有智慧的头脑，就像没有蜡烛的灯笼.
对待生命要认真，对待生活要活泼。 敌近而静者，恃其险也；远而挑战者，欲人之进也。——孙子 教师进行劳动和创造的时间好比一条大河,要靠许多小的溪流来滋养它。教师时常要读书,平时积累的知识越多,上课就越轻松。——苏霍姆林斯 基 业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈 每一片绿叶都有向阳的需要，每一朵花都有盛开的理由，每一个孩子都需要教师的呵护。（刘玉春） 我这一生就只有两样不会，那就是这也不会那也不会！ 一个不注意小事情的人，永远不会成功大事业。——戴尔·卡耐基 没有不会做的事，只有不想做的事。 盆景秀木正因为被人溺爱，才破灭了成为栋梁之材的梦。 多用心去倾听别人怎么说，不要急着表达你自己的看法。 孝弟（tì悌）也者，其为仁之本与。——《论语·学而》 知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子